竞赛中含绝对值的问题
七年级数学竞赛训练题(绝对值)
七年级数学竞赛题之二---绝对值知识点：1.去绝对值的符号法则：a =⎪⎩⎪⎨⎧-=)0()0(0)0( a a a a a2.绝对值的基本性质:（1）非负性质：a ≥0 ，b a ab =，ba b a =（b ≠0）, a 2=22a a =,b a b a +≤+, b a b a b a +≤-≤- 3.绝对值的几何意义 从数轴上看，a 表示数a 的点到原点的距离（长度，非负）；b a -表示数a 和数b 两点间的距离。
练习1.若一个数的绝对值为4，则这个数是 。
2.已知︱a-2︱+︱b-3︱=0,则a= ,b= .3.若a 与b 互为相反数，则100a+100b=( )A.0B.1C.2D.34.绝对值和相反数都等于本身的数是 。
5.若a 是有理数，则︱a ︱一定是（ ）A.正数B.非正数C. 负数D. 非负数6.下列说法正确的是（ ）A.-︱a ︱一定是负数B.若︱a ︱=︱b ︱，则a 与b 互为相反数C.只有两个数相等时它们的绝对值才相等D.若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数7.若︱2a ︱=-2a,则a 一定是（ ）A.正数B.负数C. 非正数D. 非负数8.（第16届“希望杯”邀请赛“）如果∣a ∣=3,∣b ∣=5,那么a= ,b= , ∣a+b ∣-∣a-b ∣的绝对值等于 .9.已知∣x ∣=5,∣y ∣=1,那么∣∣x-y ∣-∣x+y ∣∣= .10.数轴上有A 、B 两点，如果点A 对应的数是-2，且A,B 两点的距离为3，那么 点B 对应的数是 。
11.在数轴上表示数a 的点到原点的距离为3，则a-3= .12.已知a 、b 为有理数，且a ＞0,b ＜0,a+b ＜0,将四个数a,b,-a,-b 按小到大的顺序排列是 。
13.有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图，化简b c b a --+的结果为（ ）A.aB.-a-2b+cC.a+2b-cD.-a-c14.在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所示，有下面四个结论：①abc ＜0 ②c a c b b a -=-+- ③(a-b)(b-c)(c-a)＞0④a ＜1-bc.其中，正确的结论有（ ）个 A.4 B.3 C.2 D.114.计算：214131412131---+-= 。
七年级数学竞赛题：绝对值
七年级数学竞赛题：绝对值绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面： 1．去绝对值符号法则2．绝对值的几何意义从数轴上看，a 即表示数a 的点到原点的距离，即a 代表的是一个长度，故a 表示一个非负数．3．绝对值常用的性质例1 已知a =5，b =3，且b a -=b －a ，那么a ＋b= .(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路 由已知求出a 、b 的值，但要注意条件b a -=b －a 的制约，这是解本例的关键．例2 如果0＜p ＜15,那么代数式p x -＋15-x ＋15--p x 在p≤x ≤15的最小值是( )．(湖北省黄冈市竞赛题)(A)30 (B)0 (C)15 (D)一个与P 有关的代数式解题思路设法脱去绝对值符号是解绝对值有关问题的基本思路，就本例而言，应结合已知条件判断每一个绝对值符号内代数式值的正负性．例3 已知11-x ＋22-x ＋33-x ＋…＋20022002-x ＋20032003-x =0, 求代数式2003200232122222x x x x x +---- 的值.解题思路 运用绝对值、非负数的概念与性质，先求出x 1、x 2、x 3…x 2002、x 2003的值，注意21+n －2n 的化简规律．例4 设a 、b 、c 是非零有理数，求a a +b b +c a +ab ab +ac ac +bc bc ＋abcabc 的值． (“希望杯”邀请赛试题)解题思路 根据a 、b 、c 的符号的所有可能情况讨论，化去绝对值符号，这是解本例的关键． 例5若a 、b 、c 为整数，且19ba -＋99ac -=1，试求a c -+b a -＋c b -的值．(北京市“迎春杯”竞赛题) 解题思路 1写成两个整数的和的形式有几种可能?l 写成两个非负整数的和的形式又有几种可能?这是解本例的突破口．1．若m 、n 为有理数，那么，下列判断中： (1)若∣m ∣=n ，则一定有m=n ；(2)若∣m ∣>n ，则一定有∣m ∣>∣n ∣； (3)若∣m ∣<∣n ∣，则一定有m<n ；(4)若∣m ∣=n ，则一定有m 2=(-n)2。
例谈绝对值问题的求解方法
例谈绝对值问题的求解方法在初中数学竞赛试题中常出现绝对值问题，这是初中生较难把握的一类问题，现介绍若干种常见的解题方法，供参考。
一、定义法----- x —X—1597 = 0例1 若方程^7' 只有负数解，则实数a的取值范围是：。
分析与解因为方程只有负数解，故'-■"!'，原方程可化为：-一+1 x = -199711997 丿+1> 0, ■ a >-1997即-厂说明绝对值的意义有两点。
其一，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零；其二，在数轴上表示一个点到原点的距离。
利用绝对值的定义常可达到去掉绝对值符号的目的二、利用非负性例2 方程刪+1工7 + 1卜°的图象是((A)三条直线：■「―|■工.-f ；(B) ................................. 两条直线：「:■'(C)一点和一条直线：(0, 0), - 1 1 1(D)两个点：(0, 1), (- 1, 0)=叶闵啊-炖十血啊-问）=（同-01）（1 必 1+亦）=（卜卜怦）（70+处）=0说明 本题根据公式1I = H ，将原式化为含有同 的式子，再根据绝对值的定义求值。
四、分类讨论法分析与解 由已知，根据非负数的性质，得 矽二0.兀一尹+1 =解之得: 故原方程的图象为两个点(0, 1),(- 1 说明 利用非负数的性质，可以将绝对值符 题转化为其它的问题来解决。
0)。
去掉，从而将问 三、公式法例3 已知必V 。
，求邢卜『同+必也卜购分析与解 丫宀涉同牯圈， ...原式*冲|-甘巾|+必(同-同)的值或小” -1例4 实数a满足同+ "°且"-1，那么"1分析与解由1'1_，'可得心且】。
当-1 时，*卜1. ”1*+1| 一口十］一说明有的题目中，含绝对值的代数式不能直接确定其符号, 这就要求分情况对字母涉及的可能取值进行讨论。
解含绝对值的方程的四种方法
“解含绝对值的方程”例题解析绝对值概念在初中代数，乃至初等数学中，均占有相当重要的地位。
解含绝对值的方程在初中数学竞赛中经常出现，同学们往往感到困惑，难于解答。
下面举例说明解这类方程的几种常用方法。
一. 运用基本公式：若，则解方程例1. 解方程解：去掉第一重绝对值符号，得移项，得或所以所以原方程的解为：例2. 解方程所以即或解方程（1），得解方程（2），得又因为，所以所以原方程的解为二. 运用绝对值的代数意义解方程例3. 方程的解的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4或4以上解：方程可化为所以所以方程的解有无数个，故选（D）。
三. 运用绝对值的非负性解方程例4. 方程的图像是（）A. 三条直线：B. 两条直线：C. 一点和一条直线：（0，0），D. 两个点：（0，1），（-1，0）而所以所以原方程的图象为两个点（0，1），（-1，0）故选（D）。
四. 运用绝对值的几何意义解方程例5. 解方程解：设，由绝对值的几何意义知所以又因为所以从数轴上看，点落在点与点的内部（包括点与点在内），即原方程的解为。
五. 运用方程的图象研究方程的解例6. 若关于x的方程有三个整数解，则a的值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3解：作的图象，如图1所示，由于方程解的个数就是直线与的图象的交点个数，把直线平行于x轴上、下移动，通过观察得仅当时方程有三个整数解。
故选（B）。
图1同时，我们还可以得到以下几个结论：（1）当时，方程没有解；（2）当或时，方程有两个解；（3）当时，方程有4个解。
绝对值专题(竞赛辅导)
绝对值专题（竞赛辅导）一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．解(1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立．(6)不对．当a＋b＞0时成立．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)=｜3+｜3+x｜｜=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．解因为abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．(1)当y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5．所以x+y的值为-1或-5．例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．解a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①或｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，所以｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．解依相反数的意义有｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得2y=2002，y=1001，所以例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即这样我们就可以分类讨论化简了．原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．即说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．解有三个分界点：-3，1，-1．(1)当x≤-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．(2)当-3≤x≤-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．(3)当-1≤x≤1时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．(4)当x≥1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．例10设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．解设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．故x应满足的条件是此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7．练习二1．x是什么实数时，下列等式成立：(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．2．化简下列各式：(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x来说，T的最小值是多少？6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．(1)在A，C点的右边；(2)在A，C点的左边；(3)在A，C点之间；(4)以上三种情况都有可能．跟踪检测1、已知|x|=3，|y-2|=3求x、y的值。
绝对值常考题
绝对值常考题1、下面用正负数表示四个足球与规定克数偏差的克数，其中质量好一些的是（ ）A 、+4B 、-1C 、-6D 、+52、下面各组中，互为相反数的是（ ）A 、|-2|与|2|B 、-|+2|与|-2|C 、-（+2）与+（-2）D 、-（-2）与+（+2）23、（2008•鄂尔多斯）如果x 与2互为相反数，那么|x-1|等于（ ）A 、1B 、-2C 、3D 、-324、（2008•赤峰）如果|a|=-a ，下列成立的是（ ）A 、a ＞0B 、a ＜0C 、a ≥0D 、a ≤032、（2006•哈尔滨）若x 的相反数是3，|y|=5，则x+y 的值为（ ）A 、-8B 、2C 、8或-2D 、-8或234、（2005•济南）若a 与2互为相反数，则|a+2|等于（ ）A 、0B 、-2C 、2D 、436、（2004•十堰）如果|a|=-a ，那么a 的取值范围是（ ）A 、a ＞0B 、a ＜0C 、a ≤0D 、a ≥038、关于0，下列几种说法不正确的是（ ）A 、0既不是正数，也不是负数B 、0的相反数是0C 、0的绝对值是0D 、0是最小的数39、下列说法不正确的是（ ）A 、0既不是正数，也不是负数B 、1是绝对值最小的数C 、一个有理数不是整数就是分数D 、0的绝对值是040、已知ab ≠0，则 a a +bb 的值不可能的是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、-243、下列说法不正确的是（ ） A 、0小于所有正数 B 、0大于所有负数C 、0既不是正数也不是负数D 、0没有绝对44、若|x|=-x ，则x 是（ ）A 、正数B 、负数C 、负数或零D 、正数或零45、下列说法不正确的是（）A、0既是正数也是负数B、0是整数C、0的相反数是0D、0的绝对值是046、下列判断错误的是（）A、任何数的绝对值一定是正数B、一个负数的绝对值一定是正数C、一个正数的绝对值一定是正数D、任何数的绝对值都不是负数47、a为有理数，下列判断正确的是（）A、-a一定是负数B、|a|一定是正数C、|a|一定不是负数D、-|a|一定是负数49、下列说法不正确的是（）A、a的相反数是-aB、正整数和负整数统称为整数C、在有理数中绝对值最小的数是零D、在有理数中没有最大的数50、下列各式中正确的是（）A、|-3|=-|3|B、|-1|=-（-1）C、|-2|＜|-1|D、-|+2|=+|-2|51、下列说法不正确的是（）A、a的相反数是-aB、正整数和负整数统称为整数C、在有理数中绝对值最小的数是零D、在有理数中没有最大的数52、下列各式中正确的是（）A、|-3|=-|3|B、|-1|=-（-1）C、|-2|＜|-1|D、-|+2|=+|-2|53、若ab＜0，且a＞b，则a，|a-b|，b的大小关系为（）A、a＞|a-b|＞bB、a＞b＞|a-b|C、|a-b|＞a＞bD、|a-b|＞b＞a56、已知|a|=3，|b|=2，其中b＜0，则a+b=（）A、-1B、1或-5C、-1或1D、-1或-557、下列说法中正确的是（）A、绝对值等于其本身的数是0和1B、有理数分为整数、零和分数C、如果两个数的绝对值相等，则这两个数相等D、互为相反数的两个数的绝对值相等58、下列说法中，正确的是（）A、绝对值较大的数较大B、绝对值较大的数较小C、互为相反数的绝对值相等D、绝对值相等的两个数一定相等59、绝对值等于它的相反数的数是（）A、正数B、负数C、正数和零D、负数和零60、下列说法正确的是（）A、绝对值较大的数较大B、绝对值较小的数较小C、绝对值相等的两个数相等D、两个相反数的绝对值相等61、在一次智力竞赛中，主持人问了这样的一道题目：“a是最小的正整数，b是最大的负整数的相反数，c是绝对值最小的有理数，请问：a、b、c三数之和为多少？”你能回答主持人的问题吗？其和应为（）A、-1B、0C、1D、262、有理数a、b在数轴上的位置如图所示，那么（）A、b-a＞0B、a-b＞0C、-a-b＜0D、b+a＞063、下列说法不正确的是（）A、任何一个有理数的绝对值都是正数B、0既不是正数也不是负数C、有理数可以分为正有理数，负有理数和零D、0的绝对值等于它的相反数65、下列各式中，等号不成立的是（）A、|-2|=2B、-|2|=-|-2|C、|-2|=|2|D、-|2|=268、下列说法错误的个数是（）①一个数的绝对值的相反数一定是负数；②只有负数的绝对值是它的相反数；③正数和零的绝对值都等于它本身；④互为相反数的的两个数的绝对值相等．A、3个B、2个C、1个D、0个69、若|a|=8，|b|=5，a+b＞0，那么a-b的值是（）A、3或13B、13或-13C、3或-3D、-3或1382、（2009•滨州）大家知道|5|=|5-0|，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6-3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子|a+5|在数轴上的意义是表示数a的点与表示-5的点之间的距离．96、如图，a、b、c在数轴上的位置如图所示，则|a+b|-|a+c|-|c-b|=0．97、a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，则a+b= -1．99、绝对值小于3.14的整数有7个．102、绝对值大于1而不大于3的整数有±2，±3，它们的和是0．106、最小的正整数是1；绝对值最小的有理数是0；绝对值等于本身的数是非负数．108、数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简a-|b-a|= b．109、绝对值小于5大于2的整数是±3，±4．110、表示a、b两数的点在数轴上的位置如图，则|a-1|+|1+b|= -a-b．112、若|x|=7，则x= ±7；若|x-2|=4，则x= 6或-2．116、若a＜0，ab＜0，则化简|b-a+3|-|a-b-9|的结果为-6．117、若有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则|a-c|-|b+c|可化简为-a-b．120、有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简下式：|a-c|-|a-b|+|2a|．解：由图可知：c＜a＜0＜b；∴a-c＞0，a-b＜0，2a＜0；∴原式=a-c+a-b-2a=-b-c．121、已知|a|=3，|b|=5，且a＜b，求a-b的值．解：∵|a|=3，|b|=5，∴a=±3，b=±5．∵a＜b，∴当a=3时，b=5，则a-b=-2．当a=-3时，b=5，则a-b=-8．解答题1、有200个数1，2，3，…，199，200．任意分为两组（每组100个），将一组按由小到大的顺序排列，设为a1＜a2＜…＜a100，，另一组按由大到小的顺序排列，设为b1＞b2＞…＞b100，试求代数式|a1-b1|+|a2-b2|+…+|a99-b99|+|a100-b100|的值由题意可知绝对值式展开后就会发现，最后的式子是一百个大数的和减一百个小数的和，而这些数都是1到200之间的，故可得出结论．解答：解：∵将一组按由小到大的顺序排列，设为a1＜a2＜…＜a100，另一组按由大到小的顺序排列，设为b1＞b2＞…＞b100，∴设a1=b1+1，a2=b2+2…，∴原式=（101+102+…+200）-（1+2+…+100）=100×100=10000．故答案为：10000．点评：本题考查的是整数问题的综合运用，能根据题意得出原式=（101+102+…+200）-（1+2+…+100）是解答此题的关键．2、某巡警骑摩托车在一条南北大道上来回巡逻，一天早晨，他从岗亭出发，中午停留在A 处，规定向北方向为正，当天上午连续行驶情况记录如下（单位：千米）：+5，-4，+3，-7，+4，-8，+2，-1．（1）A处在岗亭何方？距离岗亭多远？（2）若摩托车每行驶1千米耗油a升，这一天上午共耗油多少升？计算题．分析：（1）根据正、负数的定义来确定A的位置；（2）在计算摩托车所走的路程时，要计算正数和负数的绝对值．解答：解：（1）∵+5-4+3-7+4-8+2-1=-6，（1分）又∵规定向北方向为正，∴A处在岗亭的南方，距离岗亭6千米．（3分）（2）∵|+5|+|-4|+|+3|+|-7|+|+4|+|-8|+|+2|+|-1|=34，（4分）又∵摩托车每行驶1千米耗油a升，∴这一天上午共耗油34a升．（5分）点评：本题考查了正数和负数、绝对值的定义．用正数表示其中一种意义的量，另一种量用负数表示．3、把下列各数分别填入相应的集合里：+（-2），0，-0.314，-（-11），227，-4 13，0. 3•，|-235| 正有理数集合：{…}，负有理数集合：{…}，整数集合：{…}，自然数集合：{…}，分数集合：{…}．按照有理数的分类填写：有理数{整数{正整数0负整数分数{正分数负分数解答：解：正有理数集合：（-（-11），227，0. 3•，|-235|）；负有理数集合：（+（-2），-0.314，-4 13）；整数集合：（+（-2），0，-（-11））；自然数集合：（0，-（-11））；分数集合：（-0.314，227，-4 13，0. 3•，|-235|）．点评：认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．4、把下列各数填入表示它所在的数集的括号，并把它们在数轴上表示出来：-2.5，3，- 103，1 14，0，-（-2），-|-4|．正有理数集合：（…）负分数集合：（…）正有理数就是大于0的有理数，负数就是小于0的数，依据定义即可进行判断．解答：解：正有理数集合：（3，114，-（-2））负分数集合：（-2.5，-103）点评：此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．5、把下列各数填入它所属的大括号内．+8，0、275，-|-2|，0，-1、04，-（-10），227，-13，7%，π正分数{ 227、7%}；正整数{+8、-|-2|、04、-（-10）}；整数{+8、-|-2|、0、-1、04、-（-10）}；有理数{+8、0.275、-|-2|、0、-1、04、-（-10）、227、-13、7%、}．①根据正分数的定义：在有理数的集合中，大于0的分数叫做正分数，可得出正分数有：227、7%；②根据正整数的定义：用来表示物体个数的数1，2，3，4，5…叫做正整数可得出正整数有：+8、-|-2|、04、-（-10）；③根据整数的定义：像-2，-1，0，1，2这样的数称为整数可得出整数有：+8、-|-2|、0、-1、04、-（-10）；④根据有理数的定义：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式，可得出有理数有：+8、0.275，-|-2|、0、-1、04、-（-10）、227、-13、7%．解答：解：正分数有：227、7%；正整数有：+8、-|-2|、04、-（-10）；整数有：+8、-|-2|、0、-1、04、-（-10）；有理数有：+8、0.275、-|-2|、0、-1、04、-（-10）、227、-13、7%．点评：本题主要考查了正分数、正整数、整数、有理数的定义，学生要熟练掌握．。
2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题《绝对值》原卷
专题2 绝对值一、绝对值的化简【学霸笔记】1. 一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，关系如下：；2. 绝对值可以与数轴结合起来，可用于表示距离，表示数a表示数a与数b间的距离；3. 绝对值的性质；②；③；⑤【典例】若a+b+c＝0，则|a|a +|b|b+|c|c+|ab|ab+|ac|ac+|bc|bc+|abc|abc的值为（）A．﹣7B．﹣1C．1D．7【解答】解：∵a+b+c＝0，∴a，b，c中两正一负或一正两负，假设a＞0，b＞0，c＜0，原式＝1+1﹣1+1﹣1﹣1﹣1＝﹣1，其他情况同理值为﹣1；假设a＞0，b＜0，c＜0，原式＝1﹣1﹣1﹣1﹣1+1+1＝﹣1，其他情况同理值为﹣1，故选：B．【巩固】数形结合是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，当a在数轴上位于原点的右侧时，|a|＝a；当a在数轴上位于原点时，|a|＝0；当a在数轴上位于原点的左侧时，|a|＝﹣a．当a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题．（1）当a＝1时，求|a|a =，当b＝﹣2时，求|b|b=．（2）请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，求|a|a +|b|b+|c|c的值．（3）请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，化简：|a+c|+|c|+|a+b|﹣|b﹣c|．二、绝对值的非负性【学霸笔记】不小于0的数（或大于等于0的数）称为非负数，具有以下性质：（1）非负数具有最小值0；（2）若几个非负数的和为0，那么每个非负数均为0；（3）任何数的绝对值都大于等于0，即任何数的绝对值都是非负数.【典例】有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，给出下面四个命题：（1）abc＜0（2）|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|（3）（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0（4）|a|＜1﹣bc其中正确的命题有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：由图可知c＜﹣1＜0，0＜a＜b＜1，（1）命题abc＜0正确；（2）在命题中a﹣b＜0，b﹣c＞0，所以|a﹣b|+|b﹣c|＝﹣（a﹣b）+（b﹣c）＝2b﹣a﹣c．又因为a﹣c＞0，所以|a﹣c|＝a﹣c．左边≠右边，故错误；（3）在该命题中，因为a﹣b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＜0，所以（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0，故正确；（4）在命题中，|a|＜1，bc＜0，∴1﹣bc＞1，所以|a|＜1﹣bc，故该命题正确．所以正确的有命题①③④这三个．故选：B．【巩固】如果有理数a，b满足|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，试求：1ab +1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+⋯+1(a+2022)(b+2022)的值为．三、绝对值的最值【学霸笔记】1. a与数b两点间的距离；2. n为奇数，当n.【典例】阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．理解：（1）数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和﹣5的两点A和B之间的距离是；（3）当代数式|x﹣1|+|x+3|取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是；（4）当x在何范围，|x﹣1|﹣|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣4|有最大值，并写出它的最大值．【解答】解：（1）数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是2﹣（﹣3）＝5．故答案为：5；（2）数轴上表示x和﹣5的两点A和B之间的距离是|x+5|．故答案为：|x+5|；（3）在数轴上，|x﹣1|+|x+3|表示数轴上x和1的两点之间与x和﹣3的两点之间距离和，当代数式|x﹣1|+|x+3|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣3≤x≤1，最小值是4．故答案为：﹣3≤x≤1，4；（4）∵|x﹣1|﹣|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣4|表示x到1的距离与x到2的距离的差与x到3的距离与x到4的距离的差的和，∴x≥4时有最大值1+1＝2．【巩固】已知数轴上表示数a的A与表示数b的点B之间的距离|AB|＝|a﹣b|．（1）当x＝时，|x﹣3|有最小值，这个最小值是．（2）当x＝时，5﹣|x﹣2|有最大值，这个最大值是．（3）当整数x＝时，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，这个值是．（4）当整数x＝时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣5|有最小值，这个值是．（5）|x﹣1|﹣|x﹣5|有最大值，这个值是；|x﹣1|﹣|x﹣5|有最小值，这个最小值是；（6）已知|x﹣2|+|x﹣4|+|y﹣1|﹣|y﹣2|＝1，则（x+y）有最值（填“大”，“小”），这个值是．巩固练习1．设x是有理数，y＝|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（）A．y没有最小值B．只有一个x的值使y取最小值C．有有限个（不止一个）x的值使y取最小值D．有无数多个x的值使y取最小值2．已知整数a1、a2、a3、a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|…，以此类推，则a2022的值为（）A．﹣2021B．﹣1010C．﹣1011D．﹣10093．如果对于某一特定范围内的任意允许值，p＝|1﹣2x|+|1﹣3x|+…+|1﹣9x|+|1﹣10x|的值恒为一常数，则此值为（）A．2B．3C．4D．54．设有理数a、b、c满足a＞b＞c（ac＜0），且|c|＜|b|＜|a|，则|x−a+b2|+|x−b+c2|+|x+a+c2|的最小值是（）A．a−c2B．a+b+2c2C．2a+b+c2D．2a+b−c25．若有理数m，n，p满足|m|m +|n|n+|p|p=1，则2mnp|3mnp|=．6．已知|x+2|+|1﹣x|＝9﹣|y﹣5|﹣|1+y|，则x+y的最小值为，最大值为．7．有理数a、b、c均不为0，且a+b+c＝0，设x=|a|b+c +|b|c+a+|c|a+b，则代数式x2021+2021x﹣2021的值为．8．设abcd是一个四位数，a、b、c、d是阿拉伯数字，且a≤b≤c≤d，则式子|a﹣b|+|b ﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|的最大值是．9．如果a，b，c是非零有理数，求a|a|+b|b|+c|c|的值．10．设x1，x2，x3，x4，x5，x6是六个不同的正整数，取值于1，2，3，4，5，6，记S＝|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+|x3﹣x4|+|x4﹣x5|+|x5﹣x6|+|x6﹣x1|，求S的最小值．11．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：2|a+b|﹣3|a﹣c|+2|c﹣b|12．有一正整数列1，2，3，…，2n﹣1、2n，现从中挑出n个数，从大到小排列依次为a1，a2，…，a n，另n个数从小到大排列依次为b1，b2，…，b n．求|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|a n﹣b n|之所有可能的值．。
数学竞赛中含绝对值问题
竞赛中含绝对值的问题绝对值是初中代数中的一个基本概念,在竞赛中经常会遇到含有绝对值符号的问题,同学们要注意知识的创新运用, 掌握好方法,顺利解决这些问题．一、直接推理法例1：已知0,>-<b a b a ,a b a b ab -+++则等于 A ab b a ++22.B ab -.C ab b a +--22.D ab a +-2.解：因为0>ba ,所以b a ,同号.又因为b a -<,即0<+b a ,所以b a ,必须同为负. 所以()()ab a ab b a b a ab b a b a +-=++----=+++-2.答案为D.说明: 本题是直接利用有理数加法法则和有理数乘法法则确定字母符号.二、巧用数轴法例2:设有理数c b a ,,在数轴上的对应点如图1-1所示,化简b c c a a b -+++-. 解: 由图可知,0,0,0<<>c b a ,且0>>>b a c .所以 0,0,0<-<+<-b c c a a b ．可得()c b b c c a c a a b a b -=-+-=+-=-,,．所以 原式=()()()c c b c a b a c b c a b a 2-=-+---=-++--.说明:本题是通过数轴,运用数形结合的方法确定字母的大小顺序,从而达到去掉绝对值的目的.三、零点分段法例3:已知40≤≤a ,那么a a -+-32的最大值等于A1.B5.C8.D3.解：1当20≤≤a 时, a a a a a 253232-=-+-=-+-a a a a a 253232-=-+-=-+-,在这一段内,当0=a 时a a -+-32取得最大值,最大值是5;2当32<<a 时, 13232=-+-=-+-a a a a ;3当43≤≤a 时, ()523232-=---=-+-a a a a a ,在这一段内,当4=a 时a a -+-32取得最大值,最大值是3;综上可知,当40≤≤a 时, a a -+-32的最大值是5.答案为B.说明:本题是求两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号,则是很容易的事．解这类题目,可先求出使各个绝对值等于零的字母的值,这几个字母的值就是用以确定如何将字母的取值范围分段的零点.四、分类讨论法例4:如果d c b a ,,,为互不相等的有理数,且1=-=-=-b d c b c a ,那么d a -等于 A1.B2.C3.D4.解:已知c b ≠,可设c b <,由于c b c a -=-,所以c a -与c b -必互为相反数否则b a =,不合题意,即()c b a c b c a 2,=+--=-.又因为c b <,所以c a >. 由于b d c b -=-,所以c b -与b d -必相等否则d c =,不合题意,即b d c b -=-,从而得d c b +=2.因为c b <,所以d b >.因此有a c b d <<<. 所以()()()3111=++=-+-+-=-=-d b b c c a d a d a .若设c b >,同理可得3=-d a .答案为C.说明:本例的解法是采取把b,c 分为c b <和c b >两种情况加以解决的,这种解法叫作分类讨论法,它在解决绝对值问题时很常用．本题还可以分为b a <和b a >两种情况进行讨论,同学们不妨试一试.。
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竞赛中含绝对值的问题
绝对值是初中代数中的一个基本概念，在竞赛中经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要注意知识的创新运用， 掌握好方法，顺利解决这些问题．
一、直接推理法
例1：已知0,>-<b
a b a ，a b a b ab -+++则等于（ ）（第八届“希望杯”初一试题）
（A ）ab b a ++22.（B ）ab -.（C ）ab b a +--22.（D ）ab a +-2. 解：因为0>b
a ，所以
b a ,同号.又因为b a -<，即0<+b a ，所以b a ,必须同为负. 所以()()ab a ab b a b a ab b a b a +-=++----=+++-2.
答案为D.
说明: 本题是直接利用有理数加法法则和有理数乘法法则确定字母符号.
二、巧用数轴法
例2:设有理数
c b a ,,在数轴上的对应点如图1-1所示，化简b c c a a b -+++-.（2005年上海市七年级数学
竞赛预赛卷）
解: 由图可知，0,0,0<<>c b a ，且0>>>b a c .
所以 0,0,0<-<+<-b c c a a b ． 可得()c b b c c a c a a b a b -=-+-=+-=-,,．
所以 原式=()()()c c b c a b a c b c a b a 2-=-+---=-++--.
说明:本题是通过数轴，运用数形结合的方法确定字母的大小顺序，从而达到去掉绝对值的目的.
三、零点分段法
例3:已知40≤≤a ，那么a a -+-32的最大值等于 （ ）
（A ）1.（B ）5.（C ）8.（D ）3. （第十届“希望杯”初一试题） 解：(1)当20≤≤a 时， a a a a a 253232-=-+-=-+-
a a a a a 253232-=-+-=-+-，
在这一段内，当0=a 时a a -+-32取得最大值，最大值是5;
(2)当32<<a 时， 13232=-+-=-+-a a a a ;
(3)当43≤≤a 时， ()523232-=---=-+-a a a a a ，
在这一段内，当4=a 时a a -+-32取得最大值，最大值是3; 综上可知，当40≤≤a 时， a a -+-32的最大值是5.
答案为B.
说明:本题是求两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的字母的值，这几个字母的值就是用以确定如何将字母的取值范围分段的零点.
四、分类讨论法
例4:如果d c b a ,,,为互不相等的有理数，且1=-=-=-b d c b c a ，那么d a -等于（ ）（山东省第二届“灵通杯”七年级数学竞赛题）
（A ）1.（B ）2.（C ）3.（D ）4.
解:已知c b ≠，可设c b <，由于c b c a -=-，所以c a -与c b -必互为相反
数(否则b a =，不合题意)，即()c b a c b c a 2,=+--=-.又因为c b <，所以c a >. 由于b d c b -=-，所以c b -与b d -必相等(否则d c =，不合题意)，即b d c b -=-，从而得d c b +=2.因为c b <，所以d b >.
因此有a c b d <<<. 所以()()()3111=++=-+-+-=-=-d b b c c a d a d a .
若设c b >，同理可得3=-d a .答案为C.
说明:本例的解法是采取把b ，c 分为c b <和c b >两种情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．本题还可以分为b a <和b a >两种情况进行讨论，同学们不妨试一试.。