绝对值的意义及应用

绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。

对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。

总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。

二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。

2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。

3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。

4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。

四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。

即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。

例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。

解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。

例3. 已知|x-2|+x与x-2+|x|互为相反数，求x的最大值．解：由题意得(|x-2|+x)+(x-2+|x|)＝0，整理得|x-2|+|x|+2x-2＝0令|x-2|＝0，得x＝2，令|x|＝0，得x＝0以0，2为分界点，分为三段讨论：(1)x≥2时，原方程化为x-2+x+2x-2＝0，解得x＝1，因不在x≥2的范围内，舍去。

(2)0≤x＜2时，原方程化为2-x+x+2x-2＝0，解得x＝0(3)x＜0时，原方程化为2-x-x+2x-2＝0，从而得x＜0综合(1)、(2)、(3)知x≤0，所以x的最大值为03. 整体参与运算过程．即整体配凑，借用已知条件确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值符号进行运算。

例4. 若|a-2|＝2-a，求a的取值范围。

解：根据已知条件等式的结构特征，我们把a-2看作一个整体，那么原式变形为|a-2|＝-(a-2)，又由绝对值概念知a-2≤0，故a的取值范围是a≤24. 运用绝对值的几何意义．即通过观察图形确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算．例5. 求满足关系式|x-3|-|x+1|＝4的x的取值范围．解：原式可化为|x-3|-|x-(-1)|＝4它表示在数轴上点x到点3的距离与到点-1的距离的差为4由图可知，小于等于-1的范围内的x的所有值都满足这一要求。

所以原式的解为x ≤-1五. 有关绝对值知识的应用1. 如果根据已知条件或题目中的隐含条件可以确定绝对值符号内的数(或代数式)为“负”值或“非负”值，则由绝对值的定义可直接写出其结果.例6. 设x ，y ，a 是实数，并且|x|＝1-a ，|y|＝(1-a)(a-1-a 2)，试求|x|+y+a 2+1的值等于______．解：显然|x|≥0，|y|≥0，∴由|x|≥0得1-a ≥0，由|y|≥0得1-a ≤0，∴1-a ＝0，从而x ＝0，y ＝0，a ＝1∴原式＝|0|+0+12+1＝22. 如果根据已知或题目自身不能确定绝对值符号内的代数式为“负”或“非负”，就应分别对各种情况进行讨论。

讨论的方法有：(1)直接利用绝对值的性质，去掉绝对值符号，把式子转化为不含绝对值的式子进行讨论。

例7. 已知|a|＝3，|b|＝2，求a+b 的值。

解：∵|a|＝3，|b|＝2，∴ a ＝3或-3，b ＝2或-2因此a ，b 的取值应分四种情况：a ＝3，b ＝2或a ＝3，b ＝-2或a ＝-3，b ＝2或a ＝-3，b ＝-2，从而易求a+b 的值分别为5，1，-1，-5解这类问题，要正确组合，全面思考，谨防漏解。

(2)采用零点分区间法，求出绝对值的零点，把数轴分成相应的几个区间进行讨论(所谓绝对值的零点就是使绝对值符号内的代数式等于零的字母所取值在数轴上所对应的点)。

例8. 化简：|1-3x|+|1+2x|．解：由031=-x 和021=+x 得两个零点：31=x 和21-=x ，这两个点把数轴分成三部分：（1）当21-<x 时，031>-x ，021<+x ∴ 原式;5)]21([)31(x x x -=+-+-=（2）当3121<≤-x 时，031>-x ，021≥+x ∴ 原式x x x -=++-=2)21()31(；（3）当31≥x 时，031≤-x ，021>+x ， ∴原式＝-(1-3x)+(1+2x)＝5x ．3. 利用绝对值的几何意义解含绝对值的方程，这样既直观，又简便。

因为|x|的几何意义是表示数轴上点x 到原点的距离，因此|x-a|的几何意义是表示点 x 到点 a 的距离．由此可知，方程 |x-a|＝k 的解是x ＝a+k 或 x ＝a-k(k ≥0)例9. |x-2|+|x-1|+|x-3|的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解：设A(1)，B(2)，C(3)，P(x)，如图所示，求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值，即是在数轴上求一点P ，使AP+BP+PC 为最小，显然，当P 与B 重合，即x ＝2时，其和有最小值2，故应选(B)4. 利用“一个实数的绝对值是一个非负数”这一性质解题，可使问题化难为易。

在运用这一性质时，常与非负数的性质：“有限个非负数的和为零时，则每一个非负数必为零”联用。

例10. 若|m+1|+|2n+1|＝0，那么m 2003-n 4＝______．六. 绝对值化简与求值的基本方法例11. 若a 、b 互为相反数，cd 互为负倒数．则|a+b+cd|＝____________．(96年泰州市初中数学竞赛)解：由题设知a+b ＝0，cd ＝-1，则|a+b+cd|＝|0-1|＝1例12. 若|x-y+2|与|x+y-1|互为相反数，则xy 的负倒数是________．(95年希望杯邀请赛初一培训题)解：由题设知|x-y+2|≥0，|x+y-1|≥0，但二者互为相反数，故只能x-y+2＝0，x+y-1＝0 解得21-=x ，23=y ，43-=xy ∴其负倒数是34 例13. 已知a 、b 是互为相反数，c 、d 是互为负倒数，x 的绝对值等于它的相反数的2倍，则x 3+abcdx+a-bcd 的值是_______．(94年希望杯邀请赛初一试题)解：由题设知a+b ＝0，cd ＝-1．又x 的绝对值等于它的相反数的2倍，∴x ＝0，∴原式＝03+0+a-b ·(-1)＝a+b ＝0例14. 化简|x+1|+|x-2|令x +1＝0，x-2＝0，得x ＝-1与x ＝2，故可分段定正负再去符号．(1)当x ＜-1时，原式＝-(x+1)-(x-2)＝-2x+1；(2)当-1≤x ＜2时，原式＝(x+1)-(x-2)＝3；(3)当x ≥2时，原式＝x+1+(x-2)＝2x-1说明：例14中没有给定字母任何条件，这种问题应先求零点，然后分区间定正负再去绝对值符号，这种方法可归纳为：“求零点，分区间，定性质，去符号”。

例15. 设x 是实数，y ＝|x-1|+|x+1|。

下列四个结论：Ⅰ.y 没有最小值；Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值；Ⅲ.有有限多个x(不只一个)使y 取到最小值；Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值。

其中正确的是( )．A ．ⅠB ．ⅡC ．ⅢD ．Ⅳ(1993年全国初中数学竞赛试题)解：原问题可转化为求x 取哪些值时，数轴上点x 到点1与点-1的距离之和为最小。

从数轴上可知，区间[-1，1]上的任一点x 到点1与点-1的距离之和均为2；区间[-1，1] 之外的点x 到点1与点-1的距离之和均大于2，所以函数y ＝|x-1|+|x+1|当-1≤x ≤1时，取得最小值2，故选(D)七. 绝对值与非负数我们称不是负数的有理数为非负有理数，简称非负数。

当我们说x 是一个非负数时，用数学符号表示就是x ≥0.值得注意的是，有的同学们往往用x ＞0表示任意一个非负数，而忘掉等号！这是因为他们错将非负数理解为负数的相反数了！尽管只是丢掉一个零，在数轴上只差一个点，但就全体有理数而言，却是丢掉了三类有理数中的一类。

也就是说，|x|表示数轴上坐标为x 的点与原点的距离。

我们看到，任何有理数的绝对值都是一个非负数，而任何一个非负数都可表示为某数的绝对值。

即对任意有理数x 有|x|≥0，这一点至关重要。

只有牢牢掌握绝对值总是非负数并且清楚地认识到什么是非负数，才会正确地处理各种问题。

例16. 若a 为任意实数，则下列式子中一定成立的是( )．A ．|a|＞0B ．|a|＞a C. aa 1> D. 01>+a 对这个问题的分析首先要注意到绝对值都是非负数，而非负数包括零。

如此就很容易淘汰掉A 、B ，而C 需从a 的取值范围来讨论，如21=a ，则C 不对，至于D 有非负数的性质：“一个非负数加上一个正数，得正数”，即可知其正确。

例17. 已知a ＜0＜c ，ab ＞0，|b|＞|c|＞|a|，化简|a+c|+|b+c|-|a-b|．解：分析这个题目的关键是确定a+c 、b+c 、a-b 的符号，根据已知可在数轴上标出a 、b 、c 的大致位置，如图所示：很容易确定a+c＞0，b+c＜0，a-b＞0，由绝对值的概念，原式＝(a+c)-(b+c)-(a-b)＝a+c-b-c-a+b＝0用数轴上的点来表示有理数，用这样的点与原点的距离来表示有理数的绝对值，这里运用了数形结合的思想。