绝对值的性质及运用
高考数学中绝对值函数的性质与应用
高考数学中绝对值函数的性质与应用在高考数学中，绝对值函数是一道经典的数学题型，也是许多同学所困扰的难点，今天我来为大家详细讲解绝对值函数的性质与应用。
一、绝对值函数的定义绝对值函数就是一个把自变量转变符号的函数，一般表示为|f(x)|，其中x为自变量，f(x)为函数。
我们可以对绝对值函数进行分类讨论：1.当x>0时，|x| = x；2.当x<0时，|x| = −x；3.当x=0时，|x| = 0。
二、绝对值函数的性质1.非负性：|x|≥0，即绝对值不会小于0。
2.同号性：|ab|=|a|·|b|，当且仅当a和b同号时，成立。
3.三角不等式：|a+b|≤|a|+|b|，a、b为任意实数。
三、绝对值函数的应用现在我们来看几个具体的例子。
1.绝对值函数的应用于解方程首先我们来看一个简单的例子：|x−3|=5，我们需要解出x的值。
首先我们可以根据绝对值的两种情况对原式进行分类讨论：①当x−3≥0时，|x−3|=x−3，则原式变成x−3=5。
解得：x=8②当x−3<0时，|x−3|=−(x−3)，则原式变成−(x−3)=5。
解得：x=−2因此绝对值方程的解法就是把绝对值函数拆分成两条方程，然后求解。
2.绝对值函数的应用于证明不等式题目：设a，b为正实数，证明：(a+b)²≥4ab。
解析：我们先来试着将(a+b)²拆开，得到：(a+b)²= a²+2ab+b²又因为x²≥0，所以a²+b²≥2ab。
将此代入(a+b)²= a²+2ab+b²中，得(a+b)²= (a²+b²)+2ab ≥4ab3.绝对值函数的应用于优化问题考虑一个面积固定的长方形，现在把它分成两个相等的正方形，求它的周长的最小值。
解析：设长为x，宽为y，面积为xy，由题目可知x²=2xy，可得到y=x/2。
绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
(完整版)绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
绝对值的性质及运用方法
绝对值的性质及运用方法绝对值是我们在数学中经常遇到的一个概念。
它代表了一个数与零的距离，无论这个数是正数还是负数。
在数学中，绝对值的性质和运用方法是非常重要的，它们可以帮助我们解决各种问题。
首先，让我们来讨论绝对值的性质。
绝对值的定义很简单，对于任意实数x，其绝对值记作| x |，它的值可以表示为以下两种情况：当x≥0时，| x | = x；当x<0时，| x | = -x。
这意味着无论x是正数还是负数，它的绝对值都是非负数。
绝对值有一些重要的性质。
首先，绝对值的非负性质指的是绝对值永远大于等于零，即| x | ≥ 0。
其次，绝对值的零性质指的是当且仅当x等于零时，| x | 等于零，即| 0 | = 0。
最后，绝对值的可加性质指的是对于任意实数x和y，| x + y | ≤ | x | + |y |。
这个性质可以帮助我们解决一些复杂的绝对值问题，例如求解绝对值不等式。
接下来，让我们探讨绝对值的运用方法。
绝对值在数学中有许多实际的应用。
首先，它可以用来表示距离。
例如，当我们要计算两个点之间的距离时，可以使用绝对值。
假设有两个点A和B，它们的横坐标分别为x1和x2，纵坐标分别为y1和y2，那么这两个点之间的距离可以表示为√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。
在这个公式中，我们需要计算两个坐标差的平方和，而绝对值正是用来确保差的平方和是非负的。
其次，绝对值可以用来表示误差。
例如，在实验中，我们经常需要计算测量值与真实值之间的误差。
假设我们测量得到的值为x，真实值为y，那么误差可以表示为| x - y |。
通过计算绝对值，我们可以得到一个非负的误差值，这样可以更好地评估我们的测量准确性。
此外，绝对值还可以用来解决一些实际问题。
例如，在生活中，我们经常会遇到金融问题，如计算利润或损失。
假设我们的初始投资为x，最终收益为y，那么我们可以使用绝对值来表示利润或损失的大小，即| y - x |。
绝对值的性质和运算
绝对值的性质和运算绝对值是数学中常见的概念，它表示一个数与零的距离。
本文将探讨绝对值的性质和运算。
在讨论绝对值时，我们可以考虑整数和实数两种情况。
一、整数的绝对值性质和运算整数的绝对值是指一个数与零的距离，具体来说，对于一个整数a，其绝对值表示为|a|，可以用以下性质来描述：1. 若a是一个非负整数，则|a| = a。
例如，|5| = 5。
2. 若a是一个负整数，则|a| = -a。
例如，|-5| = 5。
通过这些性质，我们可以得出绝对值的一个重要结论：不管整数是正数还是负数，其绝对值总是非负数。
接下来，我们将探讨整数绝对值的运算：1. 绝对值的加法：对于两个整数a和b，有以下运算法则：|a + b| ≤|a| + |b|。
例如，|(-3) + 5| ≤ |-3| + |5|。
2. 绝对值的减法：对于两个整数a和b，有以下运算法则：|a - b| ≥||a| - |b||。
例如，|(-3) - 5| ≥ |-3| - |5|。
3. 绝对值的乘法：对于两个整数a和b，有以下运算法则：|a * b| =|a| * |b|。
例如，|(-3) * 5| = |-3| * |5|。
以上是整数的绝对值性质和运算的基本内容，接下来我们将讨论实数的绝对值。
二、实数的绝对值性质和运算类似于整数的情况，实数的绝对值也满足以下性质：1. 若a是一个非负实数，则|a| = a。
例如，|3.5| = 3.5。
2. 若a是一个负实数，则|a| = -a。
例如，|-3.5| = 3.5。
同样地，根据这些性质我们可以得出结论：无论实数是正数还是负数，其绝对值总是非负数。
实数的绝对值运算也与整数类似：1. 绝对值的加法：对于两个实数a和b，有以下运算法则：|a + b| ≤ |a| + |b|。
例如，|(-3.8) + 5.2| ≤ |-3.8| + |5.2|。
2. 绝对值的减法：对于两个实数a和b，有以下运算法则：|a - b| ≥ ||a| - |b||。
绝对值的性质与计算
绝对值的性质与计算绝对值是初中数学中常见的概念之一，它具有一些特殊的性质和计算方法。
在本文中，我将为大家详细介绍绝对值的性质与计算方法，并通过实例进行说明，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这一概念。
一、绝对值的定义与性质绝对值是一个数的非负值，用两个竖线表示。
对于任意实数x，其绝对值记作|x |，表示x到原点的距离。
绝对值有以下几个重要性质：1. 非负性：对于任意实数x，| x | ≥ 0。
2. 正负性：如果x > 0，则| x | = x；如果x < 0，则| x | = -x。
3. 非零性：如果x ≠ 0，则| x | ≠ 0。
4. 三角不等式：对于任意实数x和y，有| x + y | ≤ | x | + | y |。
这些性质是我们理解和运用绝对值的基础，可以帮助我们解决一些数学问题。
二、绝对值的计算方法1. 绝对值的计算：当一个数x不为0时，其绝对值等于x本身；当x为0时，其绝对值为0。
例如，| 5 | = 5，| -3 | = 3，| 0 | = 0。
2. 绝对值的运算法则：（1）绝对值的加法：| x + y | ≤ | x | + | y |。
例如，| 3 + 4 | ≤ | 3 | + | 4 |，即7 ≤ 7。
（2）绝对值的减法：| x - y | ≥ | | x | - | y | |。
例如，| 5 - 2 | ≥ | | 5 | - | 2 | |，即3 ≥ 3。
（3）绝对值的乘法：| x * y | = | x | * | y |。
例如，| 2 * 3 | = | 2 | * | 3 |，即6 = 6。
三、绝对值的应用举例1. 求解绝对值方程：绝对值方程是含有绝对值符号的方程。
例如，| x - 3 | = 5。
我们可以通过以下步骤求解：（1）根据绝对值的定义，将方程分为两个情况：x - 3 = 5 或 x - 3 = -5。
（2）求解两个方程，得到x的值：x = 8 或 x = -2。
绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
绝对值的运算
绝对值的运算绝对值是数学中常见的一个概念，用于表示一个数与零之间的距离，无论这个数是正数还是负数，它的绝对值都是正数。
一、绝对值的定义绝对值通常用两竖线“| |”来表示，例如 |x| 表示数 x 的绝对值。
一个数 x 的绝对值记作 |x|，它的定义如下：当 x 大于等于 0 时，|x| = x；当 x 小于 0 时，|x| = -x。
二、绝对值的运算性质1. 非负性：对于任意实数 x，有|x| ≥ 0。
2. 零的绝对值：|0| = 0。
3. 正数的绝对值：对于任意正实数 a，有 |a| = a。
4. 负数的绝对值：对于任意负实数 b，有 |b| = -b。
5. 绝对值的平方：对于任意实数 x，有 |x|^2 = x^2。
绝对值的运算可归纳为以下几种情况：1. 两个正数的绝对值相加：|a| + |b|，结果是两数之和的绝对值。
例如，|3| + |4| = 3 + 4 = 7。
2. 两个正数的绝对值相减：|a| - |b|，结果是两数之差的绝对值（大数减去小数）。
例如，|5| - |3| = 5 - 3 = 2。
3. 一个正数与一个负数的绝对值相加：|a| + |-b|，结果是两数之差的绝对值。
例如，|6| + |-2| = 6 + 2 = 8。
4. 一个正数与一个负数的绝对值相减：|a| - |-b|，结果是两数之和的绝对值。
例如，|7| - |-4| = 7 - 4 = 3。
5. 两个负数的绝对值相加：|-a| + |-b|，结果是两数之和的绝对值。
例如，|-3| + |-4| = 3 + 4 = 7。
6. 两个负数的绝对值相减：|-a| - |-b|，结果是两数之差的绝对值（大数减去小数）。
例如，|-5| - |-3| = 5 - 3 = 2。
7. 一个正数与一个负数的绝对值相等：如果|a| = |-b|，则 a = -b 或 a = b。
例如，|8| = |-8|，则 8 = -8 或 8 = 8。
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基本要求：借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值
略高要求：会利用绝对值的知识解决简单的化简问题
【知识点整理】
绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.
②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.
④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.
求字母a 的绝对值：
①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.
绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.
例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =
绝对值的其它重要性质：
（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；
（2）若a b =，则a b =或a b =-；
（3）ab a b =⋅；a a b b
=(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；
a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．
a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离．
【例题精讲】
模块一、绝对值的性质
【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ）
A ．±2
B ．2
C ．-2
D ．4
【例2】下列说法正确的有（ ）
①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相绝对值
反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．
A ．②④⑤⑥
B ．③⑤
C ．③④⑤
D ．③⑤⑥
【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ）
A ．2
B ．-2
C ．±2
D ．12
± 【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ）
A ．11a
B ．-11a
C ．-3a
D ．3a
【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）
A ．1，0
B ．正数
C ．非正数
D ．非负数
【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）
A ．7或-7
B ．7或3
C ．3或-3
D ．-7或-3
【例7】若1-=x x
，则x 是（ ）
A ．正数
B ．负数
C ．非负数
D ．非正数
【例8】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）
A ．2
B ．2或3
C ．4
D ．2或4
【例9】给出下面说法：
（1）互为相反数的两数的绝对值相等；（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；
【例11】已知数,,a b c 的大小关系如图所示，则下列各式：
①()0b a c ++->；②0)(>+--c b a ；③1=++c
c b b a a ；④0>-a bc ；
⑤b c a b c b a 2-=-++--．其中正确的有 ．（请填写番号）
当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = ________； 当a 、b 、c 都是负数时，M =__________ ．
模块二 绝对值的非负性
1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0
2. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =
【例1】 若42a b -=-+，则_______a b +=
【巩固】若7322102
m n p ++-
+-=，则23_______p n m +=＋
【例2】()2
120a b ++-=，分别求a b ，的值
【课堂检测1】
1. 若a 的绝对值是12
，则a 的值是（ ） A ．2 B ．-2 C ．
12 D ．12± 2. 若|x |=-x ，则x 一定是（ ）
A ．负数
B ．负数或零
C ．零
D ．正数
3. 如果|x -1|=1-x ，那么（ ）
A ．x ＜1
B ．x ＞1
C ．x ≤1
D ．x ≥1
4. 若|a -3|=2，则a +3的值为（ ）
A ．5
B ．8
C ．5或1
D ．8或4
【课堂检测2】
1. -19的绝对值是________
2. 如果|-a |=-a ，则a 的取值范围是（
A ．a ＞0
B ．a ≥0
C ．a ≤0
D ．a ＜0
3. 对值大于1且不大于5的整数有 __________个．
7. 若3230x y -++=，则x
的值是多少？
模块三 零点分段法
1. 零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．
【例1】阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()
0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：
⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+
⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=
⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-
综上讨论，原式()()()
211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥
通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：
（1）别求出2x +和4x -的零点值
（2）化简代数式24x x ++-
【巩固】 1、化简12x x +++ 2、化简12m m m +-+-的值
3、化简523x x ++-．。