绝对值几何意义知识点、经典例题及练习题带答案
专题：人教版七年级上册 绝对值的几何意义综合题型讲解和练习
绝对值的几何意义综合题型讲解与练习知识背景绝对值的定义（几何定义）：数轴上，表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值。
记作a 图形解释：0a -表示数轴上数a 到数字0的距离；例子：3a -表示数轴上数a 到数字3的距离；2a +=(2)a --表示数轴上数a 到数字2-的距离；类型一：绝对值方程1.先阅读下列小明和小红的解题过程，再解答问题：解方程：32x +=．小明：当30x +≥时，原方程可化为32x +=，解得1x =-；当30x +<时，原方程可化为32x +=-，解得 5.x =-所以原方程的解是1x =-或5x =-． 小红：32x +=可以理解为数轴上数x 到数字3-的距离为2，在数轴上可以找到，距3-的距离是2的数字有-5和-1，则1x =-或5x =-(1) 解方程：150x --=；（用小明的方法）(2) 解方程：4160x --=；（用小红的方法）针对练习1．已知30x -=，那么x = ．2．关于x 的方程136++-=x x 的解是 ．3．若26x -=-，则x = ．4．定义运算a b ab a =-★，如131312=⨯-=★．若2a =，且4a b =★，则b 的值为 ．5．求解含绝对值的一元一次方程的方法我们没有学习过，但我们可以采用分类讨论的思想先把绝对值去除，使得方程成为一元一次方程，这样我们就能轻松求解了．比如，求解方程：32x -=．解：当30x -≥时，原方程可化为32x -=，解得5x =；当30x -<时，原方程可化为32x -=-，解得1x =，所以原方程的解是5x =或1x =．请你依据上面的方法，求解方程：3270x --=，得到的解为 ．类型二：绝对值最值问题模型：求x a b ++的最小值，当0x a +=时，式子有最小值b求x a b -++的最大值，当0x a +=时，式子有最大值b1. 当x = 时；12x +有最小值，最小值为 ；2. 当x = 时；47x ++有最小值，最小值为 ；3. 当x = 时；374x -+有最小值，最小值为 ；4. 当x = 时；12x -+有最大值，最大值为 ；5. 当x = 时；47x -++有最大值，最大值为 ；6. 当x = 时；374x --+有最大值，最大值为 ；7．若a 表示一个有理数，则式子51a --有最 值（填“大”或“小”），式子取到最值时，a = ．类型三：绝对值非负性1．已知()2120a b -++=，则()2018a b ＋的值为 ．2．若2m -和()22n +互为相反数，则2m n -的值为 ．3．若|1||2|0a ab -+-=，则111(1)(1)(2)(2)(2022)(2022)a b a b a b +++++++++= ．4．若a ，b 为实数，且()222|16|04a b b -+-=+，求3a b -的值 ． 5．如果p ，q 是非零实数，关于x 的方程||20232024||x p q --=-始终存在四个不同的实数解，则||||||||||p q p q pq p q p q p q pq p q +-+++++-的值为类型四：绝对值几何意义的应用1．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示x 和2-的两点之间的距离表示为 ；（3）若x 表示一个有理数，且31x -<<，则13x x -++= ；（4）求32x x -++的最小值。
有理数练习题：绝对值的几何意义
绝对值的几何意义
【知识点】
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作a 一个正数的绝对值是它本身；
一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0
例：5的绝对值就是数轴上表示5的点与原点的距离
到原点距离为3的点有两个，分别在原点的左边和右边
【练习题】
1.到原点的距离等于2的数是______
2.到原点的距离等于1.6的数是______
3.到原点的距离等于2019的数是______
4.到原点的距离等于6的数是______
5.到原点的距离等于1
的数是______
9
的数是______
6.到原点的距离等于7
3
的数是______，在原点左侧的数是______
7.到原点的距离等于2
3
8.到原点的距离等于a（a>0）的数是______
的数是______，其中在原点右侧的数是______ 9.到原点的距离等于7
8
10.到原点的距离等于0.8的数是______，其中在原点右侧的数是______
答案
1. 2或-2
2. 1.6或-1.6
3. 2019或-2019
4. 6或-6
5. 19±
6. 123±
7. 23±，23-
8. a 或-a 9. 78±；78
10. 0.8或-0.8；0.8。
绝对值不等式(高考版)(含经典例题+答案)
绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离；b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。
b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。
x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。
分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可．若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a ≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a ≤3.例2：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1<x <32；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32<x <－1.综上可得：－32<x <32。
3.绝对值问题(含答案)-
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x ≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
绝对值知识讲解及经典例题
第三讲绝对值2.一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越_____.3.－32的绝对值是_____. 4.绝对值最小的数是_____.5.绝对值等于5的数是_____，它们互为_____.6.若b＜0且a=|b|，则a与b的关系是______.7.一个数大于另一个数的绝对值，则这两个数的和一定_____0（填“＞”或“＜”）.8.如果|a|＞a，那么a是_____.9.绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为_____.10.将下列各数由小到大排列顺序是_____.11.12.13.（1）14.（1）（3）15.16.若A.正数B.负数C.非负数D.非正数17.下列说法正确的是（）A.一个有理数的绝对值一定大于它本身B.只有正数的绝对值等于它本身C.负数的绝对值是它的相反数D.一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数18.下列结论正确的是（）A.若|x|=|y|，则x=－yB.若x=－y，则|x|=|y|C.若|a|＜|b|，则a＜bD.若a＜b，则|a|＜|b|19.某班举办“迎七一”知识竞赛，规定答对一题得10分，不答得0分，答错一题扣10分，今有甲、乙、丙、丁四名同学所得分数，分别为+50，+20，0，－30，请问哪个同学分数最高，哪个最低，为什么？最高分高出最1A．a的相反数大于b的相反数B．a的相反数小于b的相反数C．a，b的相反数的大小比较要根据a，b的正负情况确定D．无法比较a，b的相反数的大小=．(第13题)7．已知a，b，c在数轴上的位置如图，且a b(1)比较a+b与c的大小及a+b与c的大小；(2)判断b+c与a+c的符号．8．下表记录了我国几个城市某天的平均气温．。
绝对值几何意义知识点、经典例题及练习题带答案
绝对值几何意义知识点、经典例题及练习题带答案【考纲说明】1、 理解绝对值的几何意义,了解绝对值的表示法,会计算有理数的绝对值；2、 能够利用数形结合思想来理解绝对值的几何意义,根据绝对值的意义及性质进行简单应用。
【趣味链接】正式篮球比赛所用球队质量有严格的规定,下面是6个篮球的质量检测结果,用正数记超过规定质量的克数,用负数记不足规定质量的克数,检测结果为：-20,+10、+12、-8、-11 请指出那个篮球的质量好一些,并用绝对值的知识进行说明。
【知识梳理】1、绝对值的定义：在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值,记作|a|。
2、绝对值的性质：（1） 绝对值的非负性,可以用下式表示：|a|≥0,这是绝对值非常重要的性质；a （a ＞0）（2） |a|= 0 （a=0） （代数意义）-a (a ＜0)（3） 若|a|=a,则a≥0；若|a|=-a,则a≤0；（4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数,即|a|≥a ,且|a|≥-a ；（5） 若|a|=|b|,则a=b 或a=-b ；（几何意义）（6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=||||b a （b≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2；（8） |a+b|≤|a|+|b| |a -b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a -b|【经典例题】【例1】（2011青岛）若ab<|ab|,则下列结论正确的是（ ）A.a ＜0,b ＜0B.a ＞0,b ＜0C.a ＜0,b ＞0D.ab ＜0【例2】（2011莱芜）下列各组判断中,正确的是（ ）A ．若|a|=b,则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞bC. 若|a|＞b,则一定有|a|＞|b|D.若|a|=b,则一定有a 2=(-b) 2【例3】（2011日照）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示,则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A ．2a+3b-cB ．3b-cC ．b+cD ．c-b【例4】（2009淮安）如果a a -=||,下列成立的是（ ）A ．0>aB ．0<aC ．0≥aD ．0≤a【例5】（2008扬州）在数轴上,点A 所表示的数为2,那么到点A 的距离等于3个单位长度的点所表示的数是 .【例6】（2010南京）数轴上分属于原点两侧且与原点的距离相等的两点间的距离为5,那么这两个点表示的数为________.【例7】（2010泰安）已知a 是有理数,| a －2007|+| a －2008|的最小值是________．【例8】绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？【例9】（2012盐城）|x|=4,|y|=6,求代数式|x+y|的值.【例10】（2012宿迁）已知：|x-2|+x-2＝0,求：(1)x+2的最大值；(2)6-x 的最小值.【课堂练习】1、（2012镇江）若a ＞b,且|a|<|b|,则下面判断正确的是（ ）A.a ＜0B.a ＞0C.b ＜0D.b ＞02、（2008合肥）|x-2|+|x-1|+|x-3|的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．43、（2009常州）绝对值大于或等于1,而小于4的所有的正整数的和是（ ）A. 8B.7C. 6D.54、数轴上表示数5-和表示14-的两点之间的距离是__________.5、（2010曲阳）若|x-3|=3-x,则x 的取值范围是____________ .6、（2009南通）若|a-2|＝2-a,求a 的取值范围.【课后作业】1、下列代数式中,值一定是正数的是( )A ．x 2 B.|－x+1| C.(－x)2+2 D.－x 2+12、若a 为任意实数,则下列式子中一定成立的是( )．A ．|a|＞0B ．|a|＞a C. aa 1> D. 01>+a 3、若 |x+1|+|2－x|＝3,则x 的取值范围是________．4、 |x －2|－| x －5| 的最大值是_______,最小值是_______．5、绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？6、设a,b 是有理数,则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？7、求满足关系式|x-3|-|x+1|＝4的x的取值范围．8. 已知a＜-2＜0＜b＜2,去掉下列三式的绝对值符号：【参考答案】【经典例题】1、D2、D3、C4、D5、5或-16、 2.5±7、1 8、0,±1,±2,±3,和为0 9、2或10 10、(1)当x＝2时,x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时,6-x得最小值6-2＝4【课堂练习】1、C2、B3、C4、95、x≤36、a≤2【课后作业】1、C2、D3、－1≤x≤24、3,-35、±3,±4,有4个6、有最小值97、x≤-18、2a-,()a b-+,2ba b+。
绝对值的性质与几何意义、数轴上动点问题(6种常考题型)
绝对值的性质与几何意义、数轴上动点问题（6种常考题型）题型一利用绝对值的性质化简题型二绝对值非负性的应用题型三利用绝对值的性质求最值题型四绝对值几何意义题型五数轴上两点之间的距离题型六数轴上动点问题一．利用绝对值的性质化简（共15小题）1．已知表示有理数a ，b 的点在数轴上的位置如图所示，则a ba b+的值是（）A ．2-B ．1-C ．0D ．22．若0ab ≠，那么a ab b+的取值不可能是（）A ．2-B ．0C ．1D ．23．已知有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简1a b a +--的结果为（）A ．21a b -+B ．1b -+C ．1b --D ．21a b ---4．0a <，则化简a a aa aa++-的结果为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．25．三个有理数a ，b ，c 在数轴上表示的位置如图所示，则化简a b c b a +--+的结果是（）A ．22a b +B ．22a b c+-C ．c-D ．2b c--6．有理数a ，b ，c ，d 使||1abcd abcd =-，则a b c d a b c d+++的最大值是．7．已知数a b c 、、位置如图所示，化简a b a c --+=．8．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图所示，则化简||2||a b a c --+的结果是．9．若12x <<，求代数式2121x x x x xx---+=--．10．若0a >，||a a=；若0a <，||a a =；①若0||||a b a b +=，则||ab ab=-；②若0abc <，则||||||a b ca b c ++=．11．有理数0a >，0b >，0c <，且a c b <<．(1)在数轴上将a ，b ，c 三个数在数轴上表示出来如图所示；(2)化简：2b c a b a c +--+-．12．已知有理数a b c d 、、、在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：a c b d c b++---13．a ，b 在数轴上的位置如图，化简b a a a b --++．14．已知有理数a 、b 、c 在数轴上位置如图所示，化简：|1|||||a c b a b c +---++．15．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示．(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：a b +______0，c a -______0，2b +______0．(2)化简：22a b c a b ++--+．二．绝对值非负性的应用（共11小题）1．如果21(2)0a b ++-=，则a b +的值为（）A ．1B ．3C ．1-D ．3-2．若()23a +与1b -互为相反数，则（）．A ．3,1a b =-=-B ．3,1a b =-=C ．3,1a b ==D ．3,1a b ==-3．若320x y -++=，则x y +的值是（）．A ．5B ．1C ．2D ．04．如果有理数x 、y 满足10x x y -++=，那么xy 的值是（）A ．1-B ．1±C ．1D ．25．若()22430||a b ++--=，则b =；a =．6．已知x 是非负数，且非负数中最小的数是0．(1)已知210a b -+-=，则a b +的值是_________；(2)当a =________时，12a -+有最小值，最小值是______．7．已知2(3)|24|0x y x +++-=，则y =．8．已知a ，b 是有理数，且满足|1||2|0a b -+-=，求a 与b 的值．9．已知230x y -++=．(1)求x y +的值．(2)求x y -的值．10．若|21||3|0x y -++=，求x 、y 的值．11．若201503b a --+=，求a ，b 的值．三．利用绝对值的性质求最值（共9小题）1．设n 个有理数12,,,n x x x ⋅⋅⋅满足1(1,2,,)i x i n <= ，且12x x +++ 1219n n x x x x =++++ ，则n 的最小值是（）A ．19B ．20C ．21D ．222．如果x 为有理数，式子20232x -+存在最大值，这个最大值是（）A ．2025B ．2024C ．2023D ．20223．若a 是有理数，则|1|2a -+的最小值是（）A ．0B ．1C ．2D ．34．（1）若6m -有最小值，则当m =时，取最小值，最小值为．（2）若260m n -+-=，则m =，n =．（3）5m -有最（填“大”或“小”）值，这个最（大）小值是．5．已知a 为有理数，则24a -+的最小值为．6．如果x 为有理数，式子20213x --存在最大值，那么这个式子有最值是，此x =7．已知，数轴上A ，B ，C 三点对应的有理数分别为a ，b ，c ．其中点A 在点B 左侧，A ，B 两点间的距离为4，且a ，b ，c 满足()220240a b c ++-=，则（1）c 的值为．（2）数轴上任意一点P ，点P 对应的数为x ，若存在x 使x a x b x c -+-+-的值最小，则x 的值为．8．阅读材料：x 的几何意义是数轴上数x 的对应点与原点之间的距离，即0x x =-，也可以说x 表示数轴上数x 与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为12x x -表示数轴上数1x 与数2x 对应点之间的距离，根据材料的说法，试求：(1)34x +=；(2)若x 为有理数，代数式32x -+有没有最大值？如果有，求出这个最大值及此时x 的值是多少？如果没有，请说明理由；(3)若x 为有理数，则13x x -+-有最______值（填“大”或“小”），其值为________．9．阅读下面的材料：点A B ，在数轴上分别表示有理数a b ，，A B ，两点之间的距离表示为AB ．当A B ，两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图①所示，AB OB b a b ===-；当A B ，两点都不在原点时，a ．如图②所示，点A B ，都在原点的右边，AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-；b ．如图③所示，点A B ，都在原点的左边，()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=-；c ．如图④所示，点A B ，在原点的两边，()AB OA OB a b a b a b =+=+=+-=-．综上，数轴上A B ，两点之间的距离AB a b =-．回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是；(2)数轴上表示x 和1-的两点A 和B 之间的距离是，如果2AB =，那么x 为；(3)当47x y ++-取最小值时，x =，y =．四．绝对值几何意义（共6小题）1．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：1x +的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数1-的点的距离，2x -的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数2的点的距离．当12x x ++-取得最小值时，x 的取值范围是（）A ．12x ≤≤B ．1x ≤-或2x ≥C ．12x -≤≤D ．12x ≤≤-2．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：1x +的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数1-的点的距离，2x -的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数2的点的距离．当12x x ++-取得最小值时，x 的取值范围是．3．阅读理解：对于有理数a 、b ，a 的几何意义为：数轴上表示数a 的点到原点的距离；|a -b |的几何意义为：数轴上表示数a 的点与表示数b 的点之间的距离．如：2x -的几何意义即数轴表示数x 的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题：(1)根据2x +的几何意义，若23x +=，那么x 的值是．(2)画数轴分析23x x +++的几何意义，并求出23x x +++的最小值是．(3)11232023x x x x x x +++-+-+-+⋯+-的最小值是多少？4．阅读下面的材料：根据绝对值的几何意义，我们知道53-表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；535(3)+=--，所以53+表示5、3-在数轴上对应的两点之间的距离；550=-，所以5表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，那么A 、B 两点之间的距离可以表示为AB a b =-．回答下列问题：(1)数轴上表示6与9-的两点之间的距离是_________；数轴上表示x 与2的两点之间的距离是_______．(2)若33x -=，则x =_______．(3)满足235x x ++-=的整数x 有_______个．(4)当a =_______时，代数式12x a x ++-的最小值是3．5．阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道53-可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，()52--可以表示5与2-之差的绝对值，也可以表示5与2-两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究：(1)5x -表示数轴上有理数x 所对应的点到________所对应的点之间的距离；2x +表示数轴上有理数x 所对应的点到________所对应的点之间的距离．若25x +=，则x =________．(2)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x ，使得257x x ++-=．这样的整数x 有________________．（写出所有的整数x ）(3)利用绝对值的几何意义，求出123x x x -+++-的最小值，并说明理由．6．如图，已知数轴上点A 表示的数为8，B 是数轴上位于点A 左侧一点，且19AB =．(1)直接写出数轴上点B 表示的数；(2)53-表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如3x -的几何意义是数轴上表示有理数x 3的点之间的距离，试探索：①若82x -=，则x =（直接写出）；②118x x ++-的最小值为（直接写出）；(3)请直接写出所有满足37329a a ++-=的整数a 的值．五．数轴上两点之间的距离（共15小题）1．已A B 、两点在数轴上表示的数分别是3-和6-，若在数轴上找一点C ，使得A 和C 之间的距离是4，使得B D 、之的距离是1，则C D 、之间的距离不可能是（）A ．0B ．6C ．2D ．42．如图，一条数轴上有点A 、B 、C ，其中点A 、B 表示的数分别是14-，10，现以点C 为折点，将数轴向右对折，若点A 落在射线C 上且到点B 的距离为6，则C 点表示的数是（）A ．1B ．3-C ．1或5-D ．1或4-3．如图，已知A ，(B B 在A 的左侧)是数轴上的两点，点A 对应的数为12，且18AB =，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P 的运动过程中，M ，N 始终为AP ，BP 的中点，设运动时间为(0)t t >秒，则下列结论中正确的有()①B 对应的数是6-；②点P 到达点B 时，9t =；③2BP =时，6t =；④在点P 的运动过程中，线段MN 的长度会发生变化．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．在数轴上，点A ，B 在原点O 的两侧，分别表示数a ，2，将点A 向右平移2个单位长度，得到点C ．若点C 到A 、B 两个点的距离相等，则a 的值为（）A ．0B ．1-C ．2-D ．15．如图，小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是（）．A ．1-B ．0C ．1D ．26．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2013厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点的个数是（）A ．2011或2012B ．2012或2013C ．2013或2014D ．2014或20157．在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是1个单位长度，有理数a ，b ，c ，d 表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图所示．已知343a b =-，则代数式5c d -的值是．8．如图，在数轴上，点A 表示的数是10，点B 表示的数为50，点P 是数轴上的动点．点P 沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离比是2:3时，点P 表示的数是．9．一把刻度尺的部分在数轴上的位置摆放如图所示，若刻度尺上的刻度“4cm ”和“1cm ”分别对应数轴上的0和2，现将该刻度尺沿数轴向右平移3个单位，则刻度尺上6.1cm 对应数轴上的数为．10．如图，边长为3的正方形ABCD 的边AB 在数轴上，数轴上的点A 表示的数为4-，将正方形ABCD 在数轴上水平移动，移动后的正方形记为A B C D ''''，点、、A B C 、D 的对应点分别为A B C D ''''、、、，点E 是线段AA '的中点，当BEC '△面积为9时，点A '表示的数为．11．如图，A ，B ，C 为数轴上的点，4AC =，点B 为AC 的中点，点P 为数轴上的任意一点，则2PA PB PC ++的最小值为．12．如图所示，观察数轴，请回答：(1)点C 与点D 的距离为，点B 与点D 的距离为；(2)点B 与点E 的距离为，点A 与点C 的距离为；发现：在数轴上，如果点M 与点N 分别表示数m ，n ，则他们之间的距离可表示为MN =（用m ，n 表示）13．同学们都知道，()73--表示7与3-之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与3-的两点之间的距离．试探索：(1)()73--=________；(2)找出所有符合条件的整数x ，使得415x x ++-=；(3)对于任何有理数x ，36x x -+-是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由；(4)若169x x ++-=时，求x 的值．14．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．(1)若1表示的点与1-表示的点重合，则2-表示的点与数表示的点重合；(2)若1-表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A 、B 两点之间的距离为2023（A 在B 的左侧），且A 、B 两点经折叠后重合，求A 、B 两点表示的数是多少？15．如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有三点、、A B C ，其中2AB =，1BC =，设点、、A B C 所对应的数的和是m ．(1)若B 为原点．则A 点对应的数是__________；点C 对应的数是__________，m =__________．(2)若原点O 在图中数轴上点C 的右边，且6CO =．求m ．六．数轴上动点问题（共12小题）1．正方形ABCD 在数轴上的位置如图所示，点D 、A 对应的数分别为1-和0，若正方形ABCD 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B 所对应的数为1；则翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是（）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D2．一个电子跳蚤在一条数轴上从原点开始，第一次向右跳1个单位长度，紧接着第二次向左跳2个单位长度，第三次向右跳3个单位长度，第四次向左跳4个单位长度…以此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处距离原点（）个单位长度．A．0B．100C．50D．－503．如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣2、4，若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过秒后，M、N两点间的距离为8个单位长度．4．如图，动点A，B，C分别从数轴－30，10，18的位置沿数轴正方向运动，速度分别为2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，8个单位长度/秒，线段OA的中点为P，线段OB的中点为M，线段OC的中点为N，若⋅-为常数，则k为．k PM MN5．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．例如：如图1，点A表示的数为1-，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．-，点N所表示的数为2如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为7(1)点E，F，G表示的数分别是3-，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是_；写出【N，M】美好点H所表示的数是_．(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？6．若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点．例如，如图1，点A表示的数为1-，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的好点，但点D是【B，A】的好点．知识运用：如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为2-，点N所表示的数为4．(1)数所表示的点是【M，N】的好点；-，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点(2)如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为20B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？、两点表示的数是互为相反数；7．如图，数轴上的单位长度为1，A B(1)点A表示的数是______，点B表示的数______．(2)数轴上一个动点P先向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位到达点M，若点M表示的数是1，则点P所表示的数是______．(3)在数轴上，点O 为坐标原点，若点A 、点B 分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度向右运动，当两点同时运动时，设运动时间为t 秒()0t >．①点A 表示的数为______；点B 表示的数为______．（用含t 的式子表示）②当t 为何值时，点A 、点B 、点O 三点之间恰好有一个点到其他两个点的距离相等？8．如图，已知点A 、B 、C 是数轴上三点，O 为原点．点C 对应的数为3，2BC =，6AB =．(1)则点A 对应的数是，点B 对应的数是；(2)动点P 、Q 分别同时从A 、C 出发，分别以每秒8个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动．M 在线段AP 上，且AM MP =，N 在线段CQ 上，且14CN CQ =，设运动时间为()0t t >．①求点M 、N 对应的数（用含t 的式子表示）②猜想MQ 的长度是否与t 的大小有关？如果有关请你写出用t 表示的代数式；如果无关请你求出MQ 的长度．9．阅读下面的材料：如图1，在数轴上A 点所示的数为a ，B 点表示的数为b ，则点A 到点B 的距离记为AB ，线段AB 的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB b a =-．请用上面的知识解答下面的问题：如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达A点，再向左移动3cm到达B点，然后向右移动9cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．(1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置：(2)点C到点A的距离CA=______cm；若数轴上有一点D，且5AD=，则点D表示的数为_________；x，则移动后的点表示的数为_____；（用代数式表示）(3)若将点A向右移动cm(4)若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间-的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．为t秒，试探索：AC AB-、10，动点P从A出发，以每秒1个单位10．已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数24-、10长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．若用PA，PB，PC分别表示点P与点A、点B、点C的距离，试回答以下问题．(1)当点P运动10秒时，PA=______，PB=______，PC=______；(2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示P到点A、点B、点C的距离：PA=______，PB=______，PC=______；(3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？(4)当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为4个单位长度？如果能，请直接写出点P表示的数；如果不能，请说明理由．11．定义：数轴上A 、B 两点的距离为a 个单位记作AB a =，根据定义完成下列各题．两个长方形ABCD 和EFGH 的宽都是3个单位长度，长方形ABCD 的长AD 是6个单位长度，长方形EFGH 的长EH 是10个单位长度，其中点A 、D 、E 、H 在数轴上（如图），点E 在数轴上表示的数是5，且E 、D 两点之间的距离为14，原点记为0．(1)求数轴上点H 、A 所表示的数？(2)若长方形ABCD 以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形EFGH 以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M 、N 两点，其中点M 在A 、D 两点之间，且12AM AD =，其中点N 在E 、H 两点之间，且15EN EH =，设运动时间为x 秒．①经过x 秒后，M 点表示的数是，N 点表示的数是（用含x 的式子表示，结果需化简）．②求MN （用含x 的式子表示，结果需化简）．(3)若长方形ABCD 以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形EFGH 固定不动，设长方形ABCD 运动的时间为()0t t >秒，两个长方形重叠部分的面积为S ，当12S =时，求此时t 的值．12．阅读下面材料：若点A B 、在数轴上分别表示实数a b 、，则A B 、两点之间的距离表示为AB ，且AB a b =-；回答下列问题：(1)①数轴上表示x 和2的两点A 和B 之间的距离是；②在①的情况下，如果3AB =，那么x 为；(2)代数式12x x ++-取最小值时，相应的x 的取值范围是．(3)若点、、A B C 在数轴上分别表示数a b c 、、，a 是最大的负整数，且2(5)0-++=c a b ，①直接写出a b c 、、的值．A B C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分②点、、别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．。
绝对值教案知识要点例题及答案习题
绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续算术根的基础。
绝对是又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组）、解不等式（组）等问题中有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面入手。
1．去绝对值的符号法则：⎪⎩⎪⎨⎧<=>=0)(a a -)0a (0)0(a a a 2．绝对值的基本性质①非负性：|a|≥0；②|ab|=|a||b|；③ba b a=（b ≠0）； ④|a|2=|a|2=a 2；⑤|a+b|≤|a|+|b|；⑥||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|3．绝对值的几何意义从数轴上看，|a|表示数a 的点到远点的距离（长度，非负）；|a-b|表示数a 、数b 的两点间的距离。
4. 零点分段法零点分段法的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号，即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，崽崽各区间内化简求值即可。
请读者通过例4的解决，仔细体会上述解题步骤。
≮例题求解≯【例1】（1）已知，，1y 5==x 那么=+-y x y -x 。
（2）非零整数m,n 满足,05m =-+n 所有这样的整数组(m,n)共有组。
（首届江苏省数学文化节基础闯关题） 思路点拨（1）既可以对x,y 的取值进行分类求解，又可以利用绝对值的几何意义解；（2）从把5拆分成两个正整数的和入手。
【例2】如果a 、b 、c 是非零有理数，且a+b+c=0，那么abcabc c c b b a +++a 的所有可能的值为（ ）。
A ．0B ．±1C ．±2D ．0或-2（山东省竞赛题）思路点拨根据a 、b 的符号所有可能情况，脱去绝对值符号，这是解本例的关键。
【例3】已知2-ab 与1-b 互为相反数，试求代数式+ab 1+++)1)(1(1b a )2)(2(1++b a +…+)2002)(2002(1++b a 的值。
绝对值知识点经典例题练习
绝对值【知识要点】一、绝对值的概念1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值.数a 的绝对值记作：a ; 读作：a 的绝对值.2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.3．绝对值的几何意义：a 的几何意义：在数轴上，表示a 的点离原点的距离.离原点的距离越远，绝对值越大;离原点的距离越近，绝对值越小.4．绝对值的性质：（1）绝对值是非负数，即0≥a ；（2）互为相反数的数绝对值相等，即a a -=；（3）反之，若两个数绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数， 即若b a =，则b a =或b a -=；（4）若0=+y x ，则0=x ,0=y .二、绝对值的求法绝对值是一种运算，这个运算符号是“”，求一个数的绝对值就是想办法去掉绝对值符号，对于任意有理数a ，有 （1）(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2）⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a （3）⎩⎨⎧≤->=)0()0 (a a a a a 【典型例题】例1. 求下列各数的绝对值.（1）8- （2）3.0- （3）313- （4）0例2.（1）一个数的绝对值是3，则这个数是（2）一个数的绝对值是0，则这个数是（3）有没有一个数的绝对值是-4？ 思考：①a 与0的大小关系②有没有绝对值最小的数？例3.（1）5=a ，则=a ;（2）若2m -=，求m 的值；（3）若a b =，则a b 与的关系是什么？例4.（1）写出绝对值不大于3的所有整数 ．（2）写出绝对值小于5.2而又大于2.1的所有整数 ．例5. 化简：（1）()=---3 ；（2） ()=-+--32 ；（3）=-14.3π ；例6. 化简：（1）若2>a ，则=-2a ；（2）若x<0，则x = ；（3）若1≤a ，则1-a = .【初试锋芒】1．31-的绝对值是 ； 的绝对值是31． 2. 一个正数的绝对值为8，这个数是 ；一个负数的绝对值为8，这个数是 ．3. 的绝对值是它本身； 的绝对值是它的相反数．4. 若0>a ，则=a ；若0<a ，则=a ；若0=a ，则=a ．6．试写出：绝对值小于5的所有负整数 *7．对任意有理数a ，式子1a -，1a +，1a -+，1a +中，取值不能为0的是 *8．绝对值小于2011的所有整数之和是9．已知一组数；4，－3，21-，+5.1，214-，0，－2.2．在这组数中： （1）绝对值最大的数为 ；绝对值最小的数为 .（2）相反数最大的数为 ；相反数最小的数为 ．10．下列等式中，成立的是（ ） A. 33±=+ B. ()33--=- C. 33±=± D. 3131=--11．下列计算中，错误的是（ ） A. 1257=-+- B. 04.03.034.0=--- C. 535154=-- D. 311312213=--- 12．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数必满足（ ）A. 相等B. 都是0C. 互为相反数D. 相等或互为相反数13．下列各式中，不正确的是（ ） A. 01.001.0->- B. 001.001.0->- C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛--<--3131 D. 2.32.3->-- 14．下列判断正确的是（ ）A. 若b a =，则b a =B. 若b a =，则b a =C. 若b a <，则b a <D. 若b a >，则b a >* 15．指出下列各式中的a 是什么数．（1）a a = （2） a a -= （3）a a =-* 16．若,053=-++y x 求y x ,的值.* 17. 当31<≤-x 时，求31-++x x 的值．* 18.有理数a ，b ，c 在数轴上位置如下图所示，化简：|b-1|-|a-c|-|1-c|.【大显身手】1．求出下列各数的绝对值．（1）15.0 （2）3- （3）313- （4）0 （5）π-2．写出绝对值小于3.5的所有整数3．下列各组数中，互为相反数的是（ ） A.21-与21 B.32-与32- C.23-与32 D.1-与()1-- 4．下列各式：①33+=-; ②5.15.1-=-; ③11-=-a a ; ④1=a ，则1=a ; ⑤⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-2323 其中正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 45．下列说法正确的是（ ）A. 如果两个数的绝对值相等，则这两个数必相等B. 如果两个数不相等，那么它们的绝对值肯定不相等C. 在()()2,2,2,2-------中有两个负数D. 若()[]7,7--=-+-=b a ，则b a ,互为相反数6. 某司机在东西走向的路上（取东向为正）开车接送乘客，早晨从A 地出发，到晚上送 走最后一名乘客为止，他一天行驶路程记录如下（单位：km ）：1416203015510+--+--+，，，，，，（1）若该车每千米耗油0.03L ，则这辆车今天共耗油多少升?(2) 根据记录情况，你能否知道该车送完最后一名乘客时，它在A 地的什么方向？ 距A 地多远？。
绝对值的性质与几何意义、数轴上动点问题(6种常考题型(解析版)
绝对值的性质与几何意义、数轴上动点问题（6种常考题型）题型一利用绝对值的性质化简题型二绝对值非负性的应用题型三利用绝对值的性质求最值题型四绝对值几何意义题型五数轴上两点之间的距离题型六数轴上动点问题一．利用绝对值的性质化简（共15小题）1．已知表示有理数a ，b 的点在数轴上的位置如图所示，则a b a b +的值是（）2．若0ab ≠，那么a ab b +的取值不可能是（）A ．2-B ．0C ．1D ．2【答案】C【分析】本题考查了绝对值的意义，由0ab ≠，可得：①0a >，0b >，②0a <，0b <，③0a >，0b <，④0a <，0b >；分别计算即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键．【详解】解：∵0ab ≠，，3．已知有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简1a b a +--的结果为（）4．0a <，则化简a a a a a a ++-的结果为（）5．三个有理数a ，b ，c 在数轴上表示的位置如图所示，则化简a b c b a +--+的结果是（）A ．22a b+B ．22a b c +-C ．c -D ．2b c--【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减和去绝对值，根据数轴分别判断0a b +<，0c b ->的正负，然后去掉绝对值即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负．6．有理数a ，b ，c ，d 使||1abcd abcd =-，则a b c d a b c d +++的最大值是．7．已知数a b c 、、位置如图所示，化简a b a c --+=．的结果是．【答案】32a b c-+【分析】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．先根据各点在数轴上的位置判断出a 、b 、c 的符号及大小，再去绝对值符号，合并同类项即可．【详解】解： 由图可知，0b a c <<<，||a c >，0a b ∴->，0a c +<，∴原式()22232a b a c a b a c a b c =-++=-++=-+．故答案为：32a b c -+．9．若12x <<，求代数式21x x x ---+=．10．若0a >，a=；若0a <，||a =；①若0||||a b a b +=，则||ab ab=-；②若0abc <，则||||||a b c a b c ++=．1111||||||a b c a b c ++=-++=，当a 、b 、c 中有三个负数时，1113||||||a b c a b c ++=---=-，故答案为：1或3-．11．有理数0a >，0b >，0c <，且a c b <<．(1)在数轴上将a ，b ，c 三个数在数轴上表示出来如图所示；(2)化简：2b c a b a c +--+-．【答案】(1)见详解(2)3a【分析】（1）根据所给的范围确定数在数轴上的位置即可；（2）由题意可知0b c +>，0a b -<，0a c ->，再化简即可．本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的意义是解题的关键．【详解】（1）解：依题意，有理数0a >，0b >，0c <，且a c b<<∴如图所示：（2）解：0a > ，0b >，0c <，且a c b <<，0b c ∴+>，0a b -<，0a c ->，|||||2|b c a b a c ∴+--+-()(2)b c b a a c =+--+-2b c b a a c=+-++-3=a ．12．已知有理数a b c d 、、、在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：a c b d c b++---【答案】2a c d--+【分析】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，熟练掌握以上知识是解题的关键．先观察数轴，得到0a b c d <<<<，从而得到0a c +<，0b d -<，0c b ->，然后根据绝对值的性质进行化简即可．【详解】解：由数轴可知，0a b c d <<<<，∴0a c +<，0b d -<，0c b ->，∴2a c b d c b a c b d c b a c d++---=---+-+=--+13．a ，b 在数轴上的位置如图，化简b a a a b --++．b ，．【答案】21b -【分析】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据数轴可以判断a 、b 、c 的正负和绝对值的大小，从而可以化简题目中的式子．【详解】解：根据数轴，得10,0,0a c b a b c +<->++<，|1|(1),||,||()a a c b c b a b c a b c ∴+=-+-=-++=-++，|1|||||a cb a bc ∴+---++(1)()()a cb a bc =-+--+++1a c b a b c=---++++21b =-．15．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示．(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：a b +______0，c a -______0，2b +______0．(2)化简：22a b c a b ++--+．二．绝对值非负性的应用（共11小题）1．如果21(2)0a b ++-=，则a b +的值为（）2．若()23a +与1b -互为相反数，则（）．3,1a b =-=-3．若320x y -++=，则x y +的值是（）．4．如果有理数x 、y 满足10x x y -++=，那么xy 的值是（）5．若()22430||a b ++--=，则b =；a =．【答案】32【分析】根据有理数的非负性解答即可．本题考查了有理数的非负性，熟练掌握性质是解题的关键．【详解】解：∵()22430||a b ++--=，∴20,30a b +=-=-，解得：3,2b a ==．故答案为：3，2．6．已知x 是非负数，且非负数中最小的数是0．(1)已知210a b -+-=，则a b +的值是_________；(2)当a =________时，12a -+有最小值，最小值是______．故答案为：1，2．2y =8．已知，b 是有理数，且满足，求与b 的值．【答案】1a =，2b =【分析】本题考查了绝对值非负的性质．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值．【详解】解：|1||2|0a b -+-= ，10a ∴-=，20b -=，1a ∴=，2b =，故答案为：1a =，2b =．9．已知230x y -++=．(1)求x y +的值．x y -的值．，求、的值．11．若201503b a --+=，求a ，b 的值．【答案】3a =，2015b =根据绝对值的性质去绝对值是解题的关键．三．利用绝对值的性质求最值（共9小题）1．设n 个有理数12,,,n x x x ⋅⋅⋅满足1(1,2,,)i x i n <= ，且12x x +++ 1219n n x x x x =++++ ，则n 的最小值是（）2．如果x 为有理数，式子20232x -+存在最大值，这个最大值是（）的最小值是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】根据绝对值的非负性即可求解．【详解】解：∵a 是有理数∴1a -可为正数、负数、零由绝对值的非负性可知：|1|0a -≥∴2|12|a -+≥即：|1|2a -+的最小值是2故选：C【点睛】本题考查绝对值的非负性．熟记相关结论即可．4．（1）若6m -有最小值，则当m =时，取最小值，最小值为．（2）若260m n -+-=，则m =，n =．（3）5m -有最（填“大”或“小”）值，这个最（大）小值是．5．已知a 为有理数，则24a -+的最小值为．【答案】4【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，6．如果x 为有理数，式子20213x --存在最大值，那么这个式子有最值是，此x =a ，b ，c 满足()220240a b c ++-=，则（1）c 的值为．（2）数轴上任意一点P ，点P 对应的数为x ，若存在x 使x a x b x c -+-+-的值最小，则x 的值为．8．阅读材料：x 的几何意义是数轴上数x 的对应点与原点之间的距离，即0x x =-，也可以说x 表示数轴上数x 与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为12x x -表示数轴上数1x 与数2x 对应点之间的距离，根据材料的说法，试求：(1)34x +=；(2)若x 为有理数，代数式32x -+有没有最大值？如果有，求出这个最大值及此时x 的值是多少？如果没有，请说明理由；(3)若x 为有理数，则13x x -+-有最______值（填“大”或“小”），其值为________．点A B ，在数轴上分别表示有理数a b ，，A B ，两点之间的距离表示为AB ．当A B ，两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图①所示，AB OB b a b ===-；当A B ，两点都不在原点时，a ．如图②所示，点A B ，都在原点的右边，AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-；b ．如图③所示，点A B ，都在原点的左边，()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=-；c ．如图④所示，点A B ，在原点的两边，()AB OA OB a b a b a b =+=+=+-=-．综上，数轴上A B ，两点之间的距离AB a b =-．回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是；(2)数轴上表示x 和1-的两点A 和之间的距离是，如果2AB =，那么x 为；(3)当47x y ++-取最小值时，x =，y =．四．绝对值几何意义（共6小题）1．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：1x +的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数1-的点的距离，2x -的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数2的点的距离．当12x x ++-取得最小值时，x 的取值范围是（）A ．12x ≤≤B ．1x ≤-或2x ≥ 2．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：1x +的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数1-的点的距离，2x -的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数2的点的距离．当12x x ++-取得最小值时，x 的取对x 的值进行分类讨论，进而得出代数式的值．以1-和2为界点，将数轴分成三部分，对x 的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可．【详解】解：如图，当1x <-时，10x +<，20x -<，|1||2|x x ++-(1)(2)x x =-+--12x x =---+213x =-+>；当2x >时，10x +>，20x ->，|1||2|x x ++-(1)(2)x x =++-12x x =++-213x =->；当12x -≤≤时，10x +≥，20x -≤，|1||2|x x ++-(1)(2)x x =+--123x x =+-+=；综上所述，当12x -≤≤时，|1||2|x x ++-取得最小值，所以当|1||2|x x ++-取得最小值时，x 的取值范围是12x -≤≤．故答案为：12x -≤≤．3．阅读理解：对于有理数a 、b ，a 的几何意义为：数轴上表示数a 的点到原点的距离；|a -b |的几何意义为：数轴上表示数a 的点与表示数b 的点之间的距离．如：2x -的几何意义即数轴表示数x 的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题：(1)根据2x +的几何意义，若23x +=，那么x 的值是．(2)画数轴分析23x x +++的几何意义，并求出23x x +++的最小值是．(3)11232023x x x x x x +++-+-+-+⋯+-的最小值是多少？的点之间的距离，当23x -≤≤-时，23x x +++的最小值是为根据绝对值的几何意义，我们知道53-表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；535(3)+=--，所以53+表示5、3-在数轴上对应的两点之间的距离；550=-，所以5表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，那么A 、B 两点之间的距离可以表示为AB a b =-．回答下列问题：(1)数轴上表示6与9-的两点之间的距离是_________；数轴上表示x 与2的两点之间的距离是_______．(2)若33x -=，则x =_______．(3)满足235x x ++-=的整数x 有_______个．经过有理数运算的学习，我们知道53-可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，()52--可以表示5与2-之差的绝对值，也可以表示5与2-两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究：(1)5x -表示数轴上有理数x 所对应的点到________所对应的点之间的距离；2x +表示数轴上有理数x 所对应的点到________所对应的点之间的距离．若25x +=，则x =________．(2)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x ，使得257x x ++-=．这样的整数x 有________________．（写出所有的整数x ）(3)利用绝对值的几何意义，求出123x x x -+++-的最小值，并说明理由．(1)直接写出数轴上点B 表示的数；(2)53-表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如3x -的几何意义是数轴上表示有理数x 的点与表示有理数3的点之间的距离，试探索：①若82x -=，则x =（直接写出）；②118x x ++-的最小值为（直接写出）；(3)请直接写出所有满足37329a a ++-=的整数a 的值．故答案为：，，0．五．数轴上两点之间的距离（共15小题）1．已A B 、两点在数轴上表示的数分别是3-和6-，若在数轴上找一点C ，使得A 和C 之间的距离是4，使得B D 、之的距离是1，则C D 、之间的距离不可能是（）A ．0B ．6C ．2D ．4【答案】D【分析】本题考查了数轴，画出数轴，然后根据两种情况确定出点C D 、的位置，再根据数轴上的两点间的距离求出C 的可能值，据此即可求解，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．【详解】解：如图，C D 、间的距离可能是0268、、、，∴C D 、之间的距离不可能是4，故选：D ．2．如图，一条数轴上有点A 、B 、C ，其中点A 、B 表示的数分别是14-，10，现以点C 为折点，将数轴向右对折，若点A 落在射线C 上且到点B 的距离为6，则C 点表示的数是（）A ．1B ．3-C ．1或5-D ．1或4-【答案】C 【分析】本题考查了数轴，分类讨论思想是解题的关键．先根据两点间的距离公式求出点A 落在对应点表示的数，在利用中点公式求出C 点表示的数．【详解】设A '是点A 的对应点，由题意可知点C 是A 和A '的中点当点A 在B 的右侧，6BA '=，A '表示的数为10616+=，那么C 表示的数为：(1416)21-+÷=，当点A 在B 的左侧，6BA '=，A '表示的数为1064-=，那么C 表示的数为：(144)25-+÷=-，故选：C ．3．如图，已知A ，(B B 在A 的左侧)是数轴上的两点，点A 对应的数为12，且18AB =，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P 的运动过程中，M ，N 始终为AP ，BP 的中点，设运动时间为(0)t t >秒，则下列结论中正确的有()①B 对应的数是6-；②点P 到达点B 时，9t =；③2BP =时，6t =；④在点P 的运动过程中，线段MN 的长度会发生变化．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点距离．利用数轴，分类讨论即可求解．【详解】解： 已知A ，(B B 在A 的左侧)是数轴上的两点，点A 对应的数为12，且18AB =，B ∴对应的数为：12186-=-；故①是正确的；1829÷= ，故②是正确的；当2BP =时，16AP =，1628t =÷=，故③是错误的；在点P 的运动过程中，9MN =，故④是错误的；故选：B ．4．在数轴上，点A ，B 在原点O 的两侧，分别表示数a ，2，将点A 向右平移2个单位长度，得到点C ．若点C 到A 、B 两个点的距离相等，则a 的值为（）A ．0B ．1-C ．2-D ．1【答案】C【分析】此题考查了数轴上点的移动，由题意得点A 表示数为a ，点B 表示数为2，点C 表示数为2a +，熟知数轴A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 【分析】根据已知图形可写出墨水盖住的整数，相加即可；【详解】由图可知，被墨水盖住的整数为：3-，2-，1，2，3，相加为()321231-+-+++=；故选C ．【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算，准确表示出盖住的整数是解题的关键．6．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2013厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点的个数是（）个，且在数轴上的位置如图所示．已知343a b =-，则代数式5c d -的值是．【答案】12-【分析】根据题意，则2b a =+，3c a =+，7d a =+，结合343a b =-，列式解答即可．本题考查了数轴的意义，有理数的计算，熟练掌握有理数加减运算是解题的关键．【详解】解：仔细观察图形，由数轴可知：a b c d <<<.∵每相邻两点之间的距离是1个单位长，∴2b a =+，3c a =+，7d a =+.∵343a b =-，∴()3423a a =+-，∴5a =-，∴3532c a =+=-+=-，7572d a =+=-+=，∴521012c d -=--=-.故答案为：12-．8．如图，在数轴上，点A 表示的数是10，点B 表示的数为50，点P 是数轴上的动点．点P 沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离比是2:3时，点P 表示的数是．现将该刻度尺沿数轴向右平移3个单位，则刻度尺上6.1cm 对应数轴上的数为．平移动，移动后的正方形记为A B C D ''''，点、、A B C 、D 的对应点分别为A B C D ''''、、、，点E 是线段AA '的中点，当BEC '△面积为9时，点A '表示的数为．【分析】本题考查了数轴上的动点问题，三角形的面积，解题的关键是根据正方形平移后正确地表示出各线段的长∵113922BEC S BE D A BE '''=⋅=⨯=V ，∴6BE =，∴369AE AB BE =+=+=，∵点E 是线段AA '的中点，∴18AA '=，∵点A 表示的数为4-，∴点A '表示的数为41814-+=；②当正方形ABCD 沿数轴向左移动时，如图，S V Q 6,BE ∴=∴633AE BE AB =-=-=，∵点E 是线段AA '的中点，∴6AA '=，∵点A 表示的数为4-，∴点A '表示的数为4610--=-．综上，数轴上点A '表示的数是14或10-；故答案为：14或10-．11．如图，A ，B ，C 为数轴上的点，4AC =，点B 为AC 的中点，点P 最小值为．【答案】6【分析】根据题意得出2AB BC ==，然后分情况讨论，作出相应图形求解即可．【详解】解：∵4AC =，点B 为AC 的中点，∴2AB BC ==，当点P 位于点A 左侧时，如图所示，()22410PA PB PC PA PA AB PA AC PA ++=++++=+；当点P 与点A 重合时，如图所示，202810PA PB PC ++=++=；当点P 位于点A 与点B 之间时，如图所示：()22226PA PB PC PB BC PB ++=++=+；当点P 与点B 重合时，如图所示，220226PA PB PC ++=++⨯=；当点P 位于点B 与点C 之间时，如图所示：22246PA PB PC AB PB PB PC ++=+++=+=；当点P 与点C 重合时，如图所示，2426PA PB PC ++=+=；当点P 位于点C 右侧时，如图所示，2264PA PB PC AC PC BC PC PC PC ++=++++=+；综上可得：2PA PB PC ++的最小值为6，故答案为：6．【点睛】本题主要考查数轴上两点之间的距离及分类讨论思想，理解题意，进行分类讨论是解题关键．12．如图所示，观察数轴，请回答：(1)点C 与点D 的距离为，点B 与点D 的距离为；(2)点B 与点E 的距离为，点A 与点C 的距离为；发现：在数轴上，如果点M 与点N 分别表示数m ，n ，则他们13．同学们都知道，()73--表示7与3-之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与3-的两点之间的距离．试探索：(1)()73--=________；(2)找出所有符合条件的整数x ，使得415x x ++-=；(3)对于任何有理数x ，36x x -+-是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由；(4)若169x x ++-=时，求x 的值．+=--=-，617112∴x的值为2-或7．14．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．(1)若1表示的点与1-表示的点重合，则2-表示的点与数表示的点重合；(2)若1-表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2023（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？的和是m．(1)若B为原点．则A点对应的数是__________；点C对应的数是__________，m=__________．CO=．求m．(2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且6【答案】(1)2--，1，1(2)22-A B C所对应的数是解题关键．【分析】本题主要考查了数轴的知识，根据题意确定点、、A B C所对应的数，即可获得答案；（1）根据题意，确定点、、A B C所对应的数，即可获得答案．（2）根据题意，确定点、、【详解】（1）解：根据题意，2BC=，AB=，1若B为原点，即点B对应的数为0，则点A 对应的数为2-，点C 对应的数为1，∴2011=-++=-m ．故答案为：2-，1，1-；（2）解：根据题意，原点O 在图中数轴上点C 的右边，且6CO =，则点C 对应的数为6-，点B 对应的数为7-，点A 对应的数为9-，∴()()67922m =-+-+-=-．六．数轴上动点问题（共12小题）1．正方形ABCD 在数轴上的位置如图所示，点D 、A 对应的数分别为1-和0，若正方形ABCD 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B 所对应的数为1；则翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是（）三次向右跳3个单位长度，第四次向左跳4个单位长度…以此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处距离原点（）个单位长度．A ．0B ．100C ．50D ．－50【答案】C【分析】数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可．【详解】解：0＋1﹣2＋3﹣4＋5﹣6＋…＋99﹣100＝﹣50，所以落点处离0的距离是50个单位．故答案为：C ．【点睛】主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．3．如图，在数轴上点A 、B 表示的数分别为﹣2、4，若点M 从A 点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N 从B 点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M 、N 同时出发，运动时间为t 秒，经过秒后，M 、N 两点间的距离为8个单位长度．【答案】14或149【分析】已知运动时间为t 秒，根据题意建立含有t 的一元一次方程，解出t 的值即可．【详解】解：已知运动时间为t 秒，根据题意M 、N 两点间的距离为8个单位长度，分析N 点的两种移动方向分别建立一元一次方程可得：当N 向左运动，则有25448t t -+-+=，解得t =149，当N 向右运动，则有25448t t -+--=，解得t =14．故答案为14或149．【点睛】本题主要考查线段的动点和数轴问题，根据题意分情况列出含有t 的一元一次方程是解决本题的关键．4．如图，动点A ，B ，C 分别从数轴－30，10，18的位置沿数轴正方向运动，速度分别为2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，8个单位长度/秒，线段OA 的中点为P ，线段OB 的中点为M ，线段OC 的中点为N ，若k PM MN ⋅-为常数，则k 为．【答案】2【分析】运动t 秒后，点P 在数轴上表示的数为-15+t ，点M 在数轴上表示的数是5+2t ，点N 在数轴上表示的数是9+4t ，分别表示出PM =20+t ，MN =2t +4，再代入k PM MN ⋅-，根据k PM MN ⋅-为常数，得到关于k 的方程，解方程即可．【详解】解：根据题意得，点P 在数轴上表示的数为-3022t +=-15+t ，点M 在数轴上表示的数是1042t +=5+2t ，点N 在数轴上表示的数是1882t +=9+4t ，则PM =20+t ，MN =2t +4，(20)(24)(2)204k PM MN k t t k t k ∴⋅-=+-+=-+- k PM MN ⋅-为常数，2=0k ∴-2k ∴=故答案为：2．【点睛】本题考查一元一次方程的应用、数轴上点的位置关系，根据k PM MN ⋅-为常数列方程是解题关键．5．定义：若A ，B ，C 为数轴上三点，若点C 到点A 的距离是点C 到点B 的距离2倍，我们就称点C 是【A ，B 】的美好点．例如：如图1，点A 表示的数为1-，点B 表示的数为2．表示1的点C 到点A 的距离是2，到点B 的距离是1，那么点C 是【A ，B 】的美好点；又如，表示0的点D 到点A 的距离是1，到点B 的距离是2，那么点D 就不是【A ，B 】的美好点，但点D 是【B ，A 】的美好点．如图2，M ，N 为数轴上两点，点M 所表示的数为7-，点N 所表示的数为2(1)点E ，F ，G 表示的数分别是3-，6.5，11，其中是【M ，N 】美好点的是_；写出【N ，M 】美好点H 所表示的数是_．(2)现有一只电子蚂蚁P 从点N 开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t 为何值时，P ，M 和N 中恰有一个点为其余两点的美好点？【答案】(1)G ；4-或16-(2)1.5，2.25，3，6.75，9，13.5【分析】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M ，N 】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E ，F ，G 到点M ，N 的距离，只有点G 符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N 的距离是到点M 的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．（2）根据美好点的定义，P ，M 和N 中恰有一个点为其余两点的美好点分8种情况，须区分各种情况分别确定P 点的位置，进而可确定t 的值．【详解】（1）解：根据美好点的定义，18GM =，9GN =，2GM GN =，只有点G 符合条件，故答案是：G ．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N 的距离是到点M 的距离2倍的点，点N 的右侧不存在满足条件的点，点M 和N 之间靠近点M 一侧应该有满足条件的点，进而可以确定4-符合条件．点M 的左侧距离点M 的距离等于点M 和点N 的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是16-．故答案为：4-或16-；（2）解：根据美好点的定义，P ，M 和N 中恰有一个点为其余两点的美好点分8种情况，第一情况：当P 为【M ，N 】的美好点，点P 在M ，N 之间，如图1，当2MP PN =时，3PN =，点P 对应的数为231-=-，因此 1.5t =秒；第二种情况，当P 为【N ，M 】的美好点，点P 在M ，N 之间，如图2，当2PM PN =时，6NP =，点P 对应的数为264-=-，因此3t =秒；第三种情况，P 为【N ，M 】的美好点，点P 在M 左侧，如图3，当2PN MN =时，18NP =，点P 对应的数为21816-=-，因此9t =秒；第四种情况，M 为【P ，N 】的美好点，点P 在M 左侧，如图4，当2MP MN =时，27NP =，点P 对应的数为22725-=-，因此13.5t =秒；第五种情况，M 为【N ，P 】的美好点，点P 在M 左侧，如图5，当2MN MP =时，13.5NP =，点P 对应的数为213.511.5-=-，因此 6.75t =秒；第六种情况，M 为【N ，P 】的美好点，点P 在M ，N 左侧，如图6，当2MN MP =时， 4.5NP =，因此 2.25t =秒；第七种情况，N 为【P ，M 】的美好点，点P 在M 左侧，当2PN MN =时，18NP =，因此9t =秒，第八种情况，N 为【M ，P 】的美好点，点P 在M 右侧，当2MN PN =时， 4.5NP =，因此 2.25t =秒，综上所述，t 的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5．6．若A 、B 、C 为数轴上三点，若点C 到A 的距离是点C 到B 的距离2倍，我们就称点C 是【A ，B 】的好点．例如，如图1，点A 表示的数为1-，点B 表示的数为2．表示1的点C 到点A 的距离是2，到点B 的距离是1，那么点C 是【A ，B 】的好点；又如，表示0的点D 到点A 的距离是1，到点B 的距离是2，那么点D 就不是【A ，B 】的好点，但点D 是【B ，A 】的好点．知识运用：如图2，M 、N 为数轴上两点，点M 所表示的数为2-，点N 所表示的数为4．(1)数所表示的点是【M ，N 】的好点；(2)如图3，A 、B 为数轴上两点，点A 所表示的数为20-，点B 所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P 从点B 出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？【答案】(1)2或10t=秒或20秒或15秒(2)10【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题：（1）根据数轴求出两点距离，再根据新定义的概念求出结果，注意有两种情况；（2）分情况讨论，根据好点的定义可求出结果；正确理解新定义是解题的关键．【详解】（1）解：设点H是【M，N】的好点，∴=，2HM HN当H在M、N之间时，HM HN MN∴+==--=，4(2)6∴+=，HN HN26∴=，2HN∴表示的数为422H-=，当H在N右边时，设H表示的数为h，h h∴--=-，(2)2(4)∴=，10h故答案为：2或10；（2）解：当P是【A，B】好点时，即2=，PA PB\-=´，t t60222t∴=；10当P是【B，A】好点时，即2=，PB PA∴=-，t t22(602)t∴=；20当B是【A，P】好点时，即2BA BP=，\=´，6022tt∴=，15当A是【B，P】好点时，即2=，AB AP∴=-，602(602)tt∴=；15t=秒或20秒或15秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点．综上所述，当10、两点表示的数是互为相反数；7．如图，数轴上的单位长度为1，A B(1)点A表示的数是______，点B表示的数______．(2)数轴上一个动点P先向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位到达点M，若点M表示的数是1，则点P所表示的数是______．(3)在数轴上，点O为坐标原点，若点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度向右运动，当两点t>．同时运动时，设运动时间为t秒()0①点A 表示的数为______；点B 表示的数为______．（用含t 的式子表示）②当t 为何值时，点A 、点B 、点O 三点之间恰好有一个点到其他两个点的距离相等？(1)则点A 对应的数是，点B 对应的数是；(2)动点P 、Q 分别同时从A 、C 出发，分别以每秒8个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动．M 在线段AP 上，且AM MP =，N 在线段CQ 上，且14CN CQ =，设运动时间为()0t t >．①求点M、N对应的数（用含t的式子表示）②猜想的长度是否与t的大小有关？如果有关请你写出用t表示的代数式；如果无关请你求出的长度．如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB，线段AB的长可以用右边=-．的数减去左边的数表示，即AB b a请用上面的知识解答下面的问题：如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达A点，再向左移动3cm到达B点，然后向右移动9cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．(1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置：(2)点C到点A的距离CA=______cm；若数轴上有一点D，且5AD=，则点D表示的数为_________；x，则移动后的点表示的数为_____；（用代数式表示）(3)若将点A向右移动cm(4)若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间为t秒，-的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．试探索：AC AB-，C表示4，图见解析；【答案】(1)A表示2-，B表示5CA=--=+=（cm）；（2）4(2)426设D表示的数为a，度向终点C移动，设移动时间为t秒．若用PA，PB，PC分别表示点P与点A、点B、点C的距离，试回答以下问题．(1)当点P运动10秒时，PA=______，PB=______，PC=______；(2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示P到点A、点B、点C的距离：PA=______，PB=______，PC=______；(3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？(4)当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为4个单位长度？如果能，请直接写出点P表示的数；如果不能，请说明理由．当Q 点未到达点，此时3AQ x =，BP x =，则Q 则()10243PQ x x =-+--+此时(343AQ AC QC =-=-则Q 点表示的数为2468-+-两个长方形ABCD 和EFGH 的宽都是3个单位长度，长方形ABCD 的长AD 是6个单位长度，长方形EFGH 的长EH 是10个单位长度，其中点A 、D 、E 、H 在数轴上（如图），点E 在数轴上表示的数是5，且E 、D 两点之间的距离为14，原点记为0．(1)求数轴上点H 、A 所表示的数？(2)若长方形ABCD 以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形EFGH 以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M 、N 两点，其中点M 在A 、D 两点之间，且12AM AD =，其中点N 在E 、H 两点之间，且15EN EH =，设运动时间为x 秒．①经过x 秒后，M 点表示的数是，N 点表示的数是（用含x 的式子表示，结果需化简）．②求MN （用含x 的式子表示，结果需化简）．(3)若长方形ABCD 以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形EFGH 固定不动，设长方形ABCD 运动的时间为()0t t >秒，两个长方形重叠部分的面积为S ，当12S =时，求此时t 的值．。
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绝对值的几何意义
【考纲说明】
1、 理解绝对值的几何意义，了解绝对值的表示法，会计算有理数的绝对值；
2、 能够利用数形结合思想来理解绝对值的几何意义，根据绝对值的意义及性质进行简单应用。
【趣味链接】
正式篮球比赛所用球队质量有严格的规定,下面是6个篮球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数，检测结果为：-20，+10、+12、-8、-11 请指出那个篮球的质量好一些,并用绝对值的知识进行说明。
【知识梳理】
1、绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。
2、绝对值的性质：
（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；
a （a ＞0）
（2） |a|= 0 （a=0） （代数意义）
-a (a ＜0)
（3） 若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0；
（4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ，
且|a|≥-a ；
（5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义）
（6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=|
|||b a （b≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2
；
（8） |a+b|≤|a|+|b| |a -b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a -b|
【经典例题】
【例1】（2011青岛）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ）
A.a ＜0，b ＜0
B.a ＞0，b ＜0
C.a ＜0，b ＞0
D.ab ＜0
【例2】（2011莱芜）下列各组判断中，正确的是（ ）
A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞b
C. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b|
D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2
【例3】（2011日照）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )
A ．2a+3b-c
B ．3b-c
C ．b+c
D ．c-b
【例4】（2009淮安）如果a a -=||，下列成立的是（ ）
A ．0>a
B ．0<a
C ．0≥a
D ．0≤a
【例5】（2008扬州）在数轴上，点A 所表示的数为2，那么到点A 的距离等于3个单位长度的点所表示的数是 .
【例6】（2010南京）数轴上分属于原点两侧且与原点的距离相等的两点间的距离为5，那么这两个点表示的数为________.
【例7】（2010泰安）已知a 是有理数，| a －2007|+| a －2008|的最小值是________．
【例8】绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？
【例9】（2012盐城）|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值.
【例10】（2012宿迁）已知：|x-2|+x-2＝0，
求：(1)x+2的最大值；(2)6-x 的最小值.
【课堂练习】
1、（2012镇江）若a ＞b ，且|a|<|b|，则下面判断正确的是（ ）
A.a ＜0
B.a ＞0
C.b ＜0
D.b ＞0
2、（2008合肥）|x-2|+|x-1|+|x-3|的最小值是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3、（2009常州）绝对值大于或等于1，而小于4的所有的正整数的和是（ ）
A. 8
B.7
C. 6
D.5
4、数轴上表示数5-和表示14-的两点之间的距离是__________.
5、（2010曲阳）若|x-3|=3-x ，则x 的取值范围是____________ .
6、（2009南通）若|a-2|＝2-a ，求a 的取值范围.
【课后作业】
1、下列代数式中，值一定是正数的是( )
A ．x 2 B.|－x+1| C.(－x)2+2 D.－x 2+1
2、若a 为任意实数，则下列式子中一定成立的是( )．
A ．|a|＞0
B ．|a|＞a C. a
a 1> D. 01>+a 3、若 |x+1|+|2－x|＝3，则x 的取值范围是________．
4、 |x －2|－| x －5| 的最大值是_______，最小值是_______．
5、绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？
6、设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？
7、求满足关系式|x-3|-|x+1|＝4的x的取值范围．
8. 已知a＜-2＜0＜b＜2，去掉下列三式的绝对值符号：
【参考答案】
【经典例题】
1、D
2、D
3、C
4、D
5、5或-1
6、 2.5
±7、1 8、0，±1，±2，±3，和为0 9、2或10 10、(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝4
【课堂练习】
1、C
2、B
3、C
4、9
5、x≤3
6、a≤2
【课后作业】
1、C
2、D
3、－1≤x≤2
4、3，-3
5、±3，±4，有4个
6、有最小值9
7、x≤-1
8、
2
a
-，()
a b
-+，
2
b
a b
+。