绝对值典型例题精选
绝对值的八种题型
以下是关于绝对值的八种题型：
1. 已知一个数，求其绝对值。
例如：求-5的绝对值。
解：绝对值是一个数到原点的距离，所以|-5|=5。
2. 已知一个数的绝对值，求这个数。
例如：若|x|=3，求x的值。
解：绝对值等于3的数有两个，即x=3或x=-3。
3. 绝对值范围内的整数问题。
例如：求绝对值小于3的非负整数。
解：非负整数就是正整数或0，所以绝对值小于3的非负整数有0、1、2。
4. 含有绝对值的方程求解。
例如：求解方程|x-2|=3。
解：将绝对值拆开，得到两个方程x-2=3和x-2=-3，解得x=5或x=-1。
5. 含有绝对值的不等式求解。
例如：求解不等式|x-1|>2。
解：将绝对值拆开，得到两个不等式x-1>2和x-1<-2，解得x>3或x<-1。
6. 绝对值的最小值问题。
例如：求几个绝对值和的最小值。
解：根据绝对值的性质，求最小值只需记住口诀：奇点求中间，偶点求中段。
7. 绝对值的最大值问题。
例如：求几个绝对值和的最大值。
解：先确定零点，画出数轴，标出零点，分三种情况讨论比较大小即可。
8. 绝对值的应用题。
例如：在数轴上，已知点A的坐标为3，点B的坐标为-5，求线段AB的长度。
解：线段AB的长度就是点A和点B之间的距离，即|3-(-5)|=8。
通过掌握这八种题型，可以帮助我们更好地理解和解决与绝对值相关的问题。
1.4与绝对值有关的十种常见题型与解法(新教材,重难点分层培优提升)(解析版)
1.4与绝对值有关的十种常见题型与解法（新教材，重难点分层培优提升）类型一、绝对值的有关概念1．（23-24·吉林延边·阶段练习）在下列数中，绝对值最大的数是（）A．0B．1-C．2-D．1【答案】C【分析】本题考查的是绝对值与有理数的大小比较，熟练掌握上述知识点是解题的关键．先计算出各选项的绝对值，再进行大小比较即可．=-=-==，【详解】解：∵|0|0,|1|1,|2|2,|1|1而210>>，∴->-=>，|2||1||1|0故选：C．-，那么a=．2．（23-24七年级上·甘肃定西·阶段练习）如果a的相反数是0.74【答案】0.74【分析】本题主要考查了绝对值和相反数的知识，根据“只有符号不相同的两个数互为相反数；互为相反数3．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各数：(1)34--；(2)()0.5-+-⎡⎤⎣⎦；(3)6217⎡⎤⎛⎫-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；(4)()2-+．4．（2024·辽宁抚顺·三模）下列各数在数轴上表示的点距离原点最远的是（）A ．2-B ．1-C ．3D ．05．（23-24七年级上·四川宜宾·期中）若有理数m 在数轴上的位置如图所示，则化简3m m ++结果是．6．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）已知|2||1|6a a ++-=，则=a ；7．（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知3535x x -=-，则x 的取值范围是．8．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如果0a b c ++=且c b a >>．则下列说法中可能成立的是（）A ．a 、b 为正数，c 为负数B ．a 、c 为正数，b 为负数C ．b 、c 为正数，a 为负数D ．a 、b 、c 为正数9．（23-24·黑龙江哈尔滨·期中）已知a 为有理数，则24a -+的最小值为．10．（24-25七年级上·全国·随堂练习）比较大小：76-65--．11．（24-25七年级上·全国·假期作业）比较下列各对数的大小：①1-与0.01-；②2--与0；③0.3-与13-；12．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）已知下列各数，按要求完成各题：4.5+，142--，0， 2.5-，6，5-，()3+-．(1)负数集合：{．．．．．．}；(2)用“<”把它们连接起来是；(3)画出数轴，并把已知各数表示在数轴上．大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小进行求解即可；13．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如果21(2)0a b ++-=，则a b +的值为（）A ．1B ．3C ．1-D ．3-14．（23-24·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知|3||5|0x y -++=，求||x y +的值．15．（21-22七年级上·陕西·期中）已知（a ＋2）2＋|b ﹣3|＝0，c 是最大的负整数，求a 3＋a 2bc ﹣12a 的值．二、填空题16．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若12x <<，求代数式2121x x xx x x---+=．17．（23-24·上海杨浦·期末）12345x x x x x -+-+-+-+-的最小值为．18．（2024七年级下·北京·专题练习）已知112x -<<，化简|||2|3x x ---=．三、解答题19．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在数轴上，a ，b ，c 对应的数如图所示，b c =．(1)确定符号：a ______0，b ______0，c _____0，b c +_____0，a c -______0；(2)化简：a c b +-；(3)化简：a a c --．20．（23-24·北京海淀·期中）有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示．(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：a b +______0，c a -______0，2b +______0．(2)化简：22a b c a b ++--+．【答案】(1)>，<，>(2)322a c --21．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）求解含绝对值的一元一次方程的方法我们没有学习过，但我们可以采用分类讨论的思想先把绝对值去除，使得方程成为一元一次方程，这样我们就能轻松求解了．比如，求解方程：32x -=．解：当30x -≥时，原方程可化为32x -=，解得5x =；当30x -<时，原方程可化为32x -=-，解得1x =，所以原方程的解是5x =或1x =．请你依据上面的方法，求解方程：3270x --=，得到的解为．22．（23-24七年级下·甘肃天水·期中）阅读下列材料：我们知道x 表示的是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即0x x =-，也就是说，x 对表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为12x x -表示在数轴上数1x ，2x 对应点之间的距离．例1：解方程6x =．解：∵06x x =-=，∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为6±，即该方程的解为6x =±．例2：解不等式12x ->．解：如图，首先在数轴上找出12x -=的解，即到1的距离为2的点对应的数为1-，3，则12x ->的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为1x <-或3x >．参考阅读材料，解答下列问题：(1)方程53x -=的解为______；(2)解不等式2219x ++<；(3)若123x x -++=，则x 的取值范围是_______；故答案为：8x =或2x =．（2）2219x ++<（3）123x x -++=，表示到1的点与到2-的点距离和为3，故答案为：21x -£<．23．（24-25七年级上·全国·假期作业）数学实验室：点A 、B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离||AB a b =-．利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示x 和3-的两点之间的距离表示为．(2)若34x +=，则x =．(3)32x x --+最大值为，最小值为．24．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）我们知道，a 可以理解为0a -，它表示：数轴上表示数a 的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A ，B ，分别用数a ，b 表示，那么A ，B 两点之间的距离为AB a b =-，反过来，式子a b -的几何意义是：数轴上表示数a 的点和表示数b 的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数1-的点和表示数3-的点之间的距离是_________．(2)数轴上点A 用数a 表示，则①若35a -=，那么a 的值是_________．②36a a -++有最小值，最小值是_________；③求123202*********a a a a a a ++++++++++++ 的最小值．25．（23-24·黑龙江哈尔滨·期中）出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客，若按规定向东为正，李师傅营运八批乘客里程数记录如下（单位：千米）：8+，6-，3+，4-，8+，4-，5+，3-．(1)将最后一批乘客送到目的地后，李师傅位于第一批乘客出发地多少千米？(2)若出租车的收费标准为：起步价10元（不超过5千米），超过5千米，超过部分每千米2元，不超过5千米则收取起步价，求李师傅在这期间一共收入多少元？26．（23-24·黑龙江哈尔滨·阶段练习）刚刚闭幕的第33届“哈洽会”，于2024年5月16日至21日在哈尔滨市举办，中外宾客齐聚冰城．为确保全市道路交通安全有序，哈尔滨市公安交通管理局在开幕式当日对会展中心周边区域，以及部分道路进行交通管制和诱导分流．萧萧作为哈市青年当日也贡献了自己的一份力量．如图是某一条东西方向直线上的公交线路的部分路段，西起A 站，东至L 站，途中共设12个上下车站点，“哈洽会”开幕式当日，萧萧参加该线路上的志愿者服务活动，从C站出发，最后在某站结束服务活动，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：5,3,4,5,8,2,1,3,4,1+-+-+-+--+．(1)请通过计算说明结束服务的“某站”是哪一站？(2)若相邻两站之间的平均距离约为2.5千米，求这次萧萧志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程约是多少千米？(3)已知油箱中要保持不低于10%的油量才能保证汽车安全行驶，若萧萧开始志愿服务活动时该汽车油量占油箱总量的1170，每行驶1千米耗油0.2升，活动结束时油量恰好能保证汽车安全行驶，则该汽车油箱能存储油多少升？一、单选题1．（22-23七年级上·云南保山·期末）有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，在下列结论中：①0a b ->；②0ab <；③a b a b +=--；④()0b a c ->，正确的个数有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（23-24七年级上·浙江台州·期末）有理数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A ．0ab >B ．4b a ->C ．2a b a b +=D ．()()230a b +-<3．（23-24七年级上·山东德州·期末）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则b a b c a c --+--的化简结果为（）A ．2c-B ．2a C ．2b D ．22b c+4．（18-19七年级上·北京海淀·期末）如图，数轴上点A ，M ，B 分别表示数a a bb +，，，若AM BM >，则下列运算结果一定是正数的是（）A ．a b +B ．a b -C ．abD ．a b -5．（23-24七年级上·江西抚州·期末）适合|5||3|8a a ++-=的整数a 的值有（）A ．5个B ．7个C ．8个D ．9个二、填空题6．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知a 、b 为整数，202320a b +--=，且b a <，则a 的最小值为．7．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若0a b c ++=，且a b c >>，以下结论：①0a >，0c >；8．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）已知x a b ，，为互不相等的三个有理数，且a b >，若式子||||x a x b -+-的最小值为2，则2023a b +-的值为．三、解答题9．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）出租车司机小王某天下午营运全是东西走向的玄武大道进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行驶记录如下：(单位：千米)15+，3-，13+，11-，10+，12-，4+，15-，16+，19-(1)将最后一名乘客送到目的地时，小王距下午出车地点的距离是多少千米？(2)若汽车耗油量为a 升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？(3)出租车油箱内原有5升油，请问：当0.05a =时，小王途中是否需要加油？若需要加油，至少需要加多少升油？若不需要加油，说明理由．10．（23-24七年级下·四川资阳·期末）（1）【阅读理解】“a ”的几何意义是：数a 在数轴上对应的点到原点的距离，所以“2a ≥”可理解为：数a 在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：“2a <”可理解为：；我们定义：形如“x m ≤，≥x m ，x m <，x m >”（m 为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．例如：315x x -≤+我们将x 作为一个整体，整理得：315x x -≤+3x ≤再根据绝对值的几何意义：表示数x 在数轴上的对应点到原点的距离不大于3，可得：解集为33x -≤≤仿照上述方法，解下列绝对值不等式：①254x x -<-②1312313x x -+<-．11．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于||m n -．例如数轴上表示数2和5的两点距离为|25|3-=；数轴上表示数3和1-的两点距离为|3(1)|4--=；由此可知|63|+的意义可理解为数轴上表示数6和3-这两点的距离；|4|x +的意义可理解为数轴上表示数x 和4-这两点的距离；(1)如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A 和B ，要在流水线上设一个材料供应点P 往两个加工点输送材料，材料供应点P 应设在_________时，才能使P 到A 的距离与P 到B 的距离之和最小？(2)如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A B C ，，，要在流水线上设一个材料供应点P 往三个加工点输送材料，材料供应点P 应设在_________时，才能使P 到A B C ，，三点的距离之和最小？(3)如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A B C D ，，，，要在流水线上设一个材料供应点P 往四个加工点输送材料，材料供应点P 应设在_________时，才能使P 到A B C D ，，，四点的距离之和最小？(4)①|3||4|x x ++-的最小值是_________，此时x 的范围是_________；②|6||3||2|x x x ++++-的最小值是_________，此时x 的值为_________；③|7||4||2||5|x x x x ++++-+-的最小值是_________，此时x 的范围是_________．（3）①根据（1）的结论即可得出答案；②根据（2）的结论即可得出答案；③根据（3）的结论即可得出答案．【详解】（1）解：当点P 在点A 左边时，2PA PB PA PA AB PA AB +=++=+，当点P 在A 、B 之间时，PA PB AB +=，当点P 点点B 的右边时，2PA PB AB PB PB AB PB +=++=+，∴当点P 在A 、B 之间时，才能使P 到A 的距离与P 到B 的距离之和最小；（2）解：当点P 在点A 左边时，2PA PB PC PA PA AC PB PA PB AC ++=+++=++，当点P 在A 、B 之间时，PA PB PC PB AC ++=+，当点P 在B 点时，PA PB PC AC ++=，当点P 在B C 、之间时，PA PB PC PB AC ++=+，当点P 在点C 的右边时，2PA PB PC PC PB AC ++=++，∴当点P 在B 点时，才能使P 到A B C ，，三点的距离之和最小（3）解：当点P 在点A 左边时，42PA PB PC PD PA AB CB AD +++=+++，当点P 在A 、B 之间时，2PA PB PC PD PB CB AD +++=++，当点P 在B C 、之间时，PA PB PC PD BC AD +++=+，当点P 在C D 、之间时，2PA PB PC PD BC AD PC +++=++，当点P 在点D 的右边时，24PA PB PC PD BC AD DC PD +++=+++，∴当点P 在B C 、之间时，才能使P 到A B C D ，，，四点的距离之和最小；（4）解：①由（1）可得：当34x -≤≤时，有最小值，最小值为()437--=，∴|3||4|x x ++-的最小值7，此时x 的范围是34x -≤≤；②由（2）可得：这是在求点x 到6-，3-，2三点的最小距离，∴当3x =-时，有最小值，最小值为|6||3||2||36||33||32|8x x x ++++-=-++-++--=；③由（3）可得：这是在求点x 到7-，4-，2，5四点的最小距离，∴当42x -≤≤时，由最小值，最小值为|7||4||2||5|742518x x x x x x x x ++++-+-=++++-+-=．12．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）有数a b c 、、在数轴上的大致位置如图所示：(1)a c +__________0，b c -__________0，a b -__________0（用“＞”、“<”、“=”）；(2)化简||||||a c b c a b ++---．13．（23-24七年级上·江西上饶·期中）如图所示，数轴上从左到右的三个点A ，B ，C 所对应的数分别为a ，b ，c ．其中点A 、点B 两点间的距离AB 的长是2021，点B 、点C 两点间的距离BC 的长是1000．(1)若以点C 为原点，直接写出点A ，B 所对应的数；(2)若原点O 在A ，B 两点之间，求a b b c ++-的值；(3)若O 是原点，且18OB =，求a b c +-的值．【答案】(1)点A 所对应的数a 为3021-，点B 所对应的数b 为1000-(2)3021(3)a b c +-的值为3003-或3039-【分析】本题考查了数轴与绝对值的意义，理解绝对值的意义是解答本题的关键．（1）根据题意先求解AC 的长，结合数轴的定义可求解点A ，B 所对应的数；（2）根据数轴上点的特征可得a<0，0b >，0c >，0b c -<，结合绝对值的性质化简可求解；，14．（22-23七年级上·北京·期中）已知a ，b 在数轴上的位置如图所示：(1)用“>”、“<”或“=”填空：____0a ，____0a b +，____0b a -；(2)化简：||||2||a b a a b +--+；(3)若21a b =-=，，x 为数轴上任意一点所对应的数，则代数式||||x a x b -+-的最小值是______；此时x 的取值范围是______．。
关于《绝对值》典型例题
《绝对值》典型例题例1求下列各数的绝对值，并把它们用“＞”连起来．87-，91+，0，－1.2 分析 首先可根据绝对值的意义，即正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0来求出各数的绝对值．在比较大小时可以根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”比较出2.187->-，其他数的比较就容易了． 解 .2.12.1,00,9191,8787=-==+=- .2.187091->->>+ 说明： 利用绝对值只是比较两个负数．例2求下列各数的绝对值：（1）－38；（2）0.15；（3）)0(<a a ；（4）)0(3>b b ；（5）)2(2<-a a ；（6）b a -．分析：欲求一个数的绝对值，关键是确定绝对值符号内的这个数是正数还是负数，然后根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号，(6)题没有给出a 与b 的大小关系，所以要进行分类讨论．解：（1）|-38|＝38；（2）|+0.15|＝0.15；（3）∵a ＜0，∴|a |＝－a ；（4）∵b ＞0，∴3b ＞0，|3b|＝3b ；（5）∵a ＜2，∴a -2＜0，|a -2|＝-(a -2)＝2-a ；（6）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>-=-).();(0);(b a a b b a b a b a b a说明：分类讨论是数学中的重要思想方法之一，当绝对值符号内的数(用含字母的式子表示时)无法判断其正、负时，要化去绝对值符号，一般都要进行分类讨论．例3一个数的绝对值是6，求这个数．分析 根据绝对值的意义我们可以知道，绝对值是6的数应该是6±． 说明：互为相反数的两个数的绝对值相等．例4 计算下列各式的值（1）272135-+++-；（2）21354543-+--； （3）71249-⨯-；（4）.21175.0-÷- 分析 这些题中都带有绝对值符号，我们应先计算绝对值再进行其他计算． 解 （1）83272135272135=++=-+++-；（2）2162135454321354543=+-=-+--； （3）1057124971249=⨯=-⨯-； （4）.5.021175.021175.0=÷=-÷- 说明：在去掉绝对值之后，要注意能简算的要简算，如（2）题．例5 已知数a 的绝对值大于a ，则在数轴上表示数a 的点应在原点的哪侧？分析 确定表示a 的点在原点的哪侧，其关键是确定a 是正数还是负数．由于负数的绝对值是它的相反数正数，所以可确定a 是负数．解 由于负数的绝对值是它的相反数，所以负数的绝对值大于这个负数；又因为0和正数的绝对值都是它本身，所以a 是负数，故表示数a 的点应在原点的左侧．说明：只有负数小于其本身的绝对值，而0和正数都等于自己的绝对值． 例6 判断下列各式是否正确(正确入“T”，错误入“F”)：（1）a a =-；（ ）（2）a a -=-；（ ）。
初中数学绝对值专题
初中数学绝对值专题数学练习题【篇一】1.已知|x|=3 ，|y|=1,且x-y<0,则1/3x+y²ºº¹=( )2.已知|a|=3，|b|=5 ，且a<b,求a-b< p=""></b,求a-b<>3.已知∣a-4∣+∣B-2∣=0,求a,b的值4.已知|4+a|+|2-5b|=8,求a+b=( )5.|x-2|+1=196.|2x+3|-|x-1|=4x-37.a<b<0<c,化简|2a-b|+2|b-c|-2|c-a|+3|b|< p=""></b<0<c,化简|2a-b|+2|b-c|-2|c-a|+3|b|<>8.a9.c<b<0<a,化简|a+c|-|a-b-c|-|b-a|+|b+c|< p=""></b<0<a,化简|a+c|-|a-b-c|-|b-a|+|b+c|<>10.b<c<0<a,化简|a+c|+|b+c|-|a-b|+|2a-c|< p=""></c<0<a,化简|a+c|+|b+c|-|a-b|+|2a-c|<>一、选择题1.下列说法中正确的个数是( )(1)一个正数的绝对值是它本身;(2)一个非正数的绝对值是它的相反数;(3)•两个负数比较,绝对值大的反而小;(4)一个非正数的绝对值是它本身. A.1个 B.2个C.3个D.4个2.若-│a│=-3.2,则a是( ) A.3.2 B.-3.2 C.±3.2 D.以上都不对3.若│a│=8,│b│=5,且a+b>0,那么a-b的值是( )A.3或13B.13或-13C.3或-3D.-3或-13 4.一个数的绝对值等于它的相反数的数一定是( )A.负数B.正数C.负数或零D.正数或零 5.a<0时,化简|| 3aaa结果为( ) A. 2 3B.0C.-1D.-2a数学练习题【篇二】1、|-5|相反数是( )A、5B、- 15 C、-5 D、1 52、(2006•哈尔滨)若x的相反数是3，|y|=5，则x+y的值为( )A、-8B、2C、8或-2D、-8或23、(2003•黑龙江)若|a-3|-3+a=0，则a的取值范围是( )A、a≤3B、a<3C、a≥3D、a>34、若ab<0，且a>b，则a，|a-b|，b的大小关系为( )A、a>|a-b|>bB、a>b>|a-b|C、|a-b|>a>bD、|a-b|>b>a5、下列说法正确的是( )A、-|a|一定是负数B、只有两个数相等时，它们的绝对值才相等C、若|a|=|b|，则a与b互为相反数D、若一个数小于它的绝对值，则这个数6、有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是( )A、b-a>0B、-b<0C、-|a|>-bD、ab<07、已知a是有理数，且|a|=-a，则有理数a在数轴上的对应点在( )A、原点的左边B、原点的右边C、原点或原点的左边D、原点或原点的右边8、绝对值相等的两个数在数轴上对应的两个点的距离为6，则这两个数为( )A、+6和-6B、+3和-3C、+6和-3D、+3和+69、若aa= -1，则a为( )B、a<0C、0<a0</a10、若|m|= -m，则m一定是( )A、负数B、正数C、负数或0D、011、在数轴上距离原点4个单位长度的点所表示的数是( )A、4B、-4C、4或-4D、2或-212、有理数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|的结果是( )A、2b-2cB、2c-2bC、2bD、-2c13、(2010•吉林)检测足球时，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数.从轻重的角度看，下图中最接近标准的是( )B、A、C、D、14、(2007•安顺)数轴上点A表示-3，点B表示1，则表示A、B两点间的距离的算式是( )A、-3+1B、-3-1C、1-(-3)D、1-315、已知ab≠0，则ab+的值不可能的是( ) abA、0B、1C、2D、-2二、填空题16、绝对值比2大比6小的整数共有---------。
绝对值最值问题例题
绝对值最值问题例题一、选择题（每题3分，共15分）若∣x−3∣+∣x+5∣的最小值为a，则a等于：A. 2B. 6C. 8D. 10函数f(x)=∣2x−1∣+∣x+2∣的最大值为：A. 3B. 5C. 7D. 9对于任意实数x，不等式∣x+1∣−∣x−3∣≤a恒成立，则实数a的取值范围是：A. a≥4B. a≥−4C. −4≤a≤4D. a≤4已知∣x−4∣+∣3−x∣=7，则x的取值范围是：A. x≤−3或x≥7B. −3≤x≤7C. x=−3或 x=7D. 无法确定下列函数中，其值域为[0,+∞)的是：A. y=∣x+1∣B. y=x2−4x+4C. y=x2−1D. y=∣x∣−1二、填空题（每题5分，共20分）函数f(x)=∣2x−3∣−∣x+1∣的最大值为____。
已知∣x−2∣+∣y−3∣=5，则2x+y的最大值为____，最小值为____。
若∣x−a∣+∣x+2∣≥6对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是____。
已知∣x−1∣+∣x−4∣=5，则x2+x21的值为____。
三、解答题（每题15分，共60分）求函数f(x)=∣x−1∣+∣2x+1∣的最小值，并指出此时x的取值范围。
已知∣x−3∣−∣x+1∣≤a的解集为全体实数，求实数a的取值范围。
已知∣x−4∣+∣3−2x∣≤a有解，求实数a的最小值。
已知∣x−1∣+∣x−2∣+∣x−3∣+⋯+∣x−10∣=55，求x的值。
参考答案及解析C。
由绝对值的三角不等式∣a∣+∣b∣≥∣a−b∣，得∣x−3∣+∣x+5∣≥∣(x−3)−(x+5)∣=8，当且仅当(x−3)(x+5)≤0时取等号，即−5≤x≤3。
C。
分情况讨论：当x≤−21时，f(x)=−(2x−1)−(x+2)=−3x−1；当−21<x<21时，f(x)=−(2x−1)+(x+2)=−x+3；当x≥21时，f(x)=(2x−1)+(x+2)=3x+1。
易知f(x)在(−∞,−21]上单调递减，在[−21,21]上单调递减，在[21,+∞)上单调递增，故f(x)的最大值为f(21)=25和f(+∞)=+∞中的较大者，即f(x)max=7。
绝对值的八大题型
绝对值的八大题型
绝对值是数学中的一个重要概念，涉及到多种题型。
以下是“绝对值的八大题型”及其相应的解题技巧和示例：
一、绝对值的基本概念题
这类题型主要考查对绝对值基本概念的理解。
解题关键是掌握绝对值的定义，即一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
例1：判断下列说法是否正确：
（1）|5| = 5 （2）|-5| = 5 （3）|0| = 0 （4）|-0.1| = 0.1
解：（1）|5| = 5 （2）|-5| = 5 （3）|0| = 0 （4）|-0.1| = 0.1
二、求一个数的绝对值
这类题型要求根据绝对值的定义求出一个数的绝对值。
解题关键是掌握绝对值的定义，根据数的符号确定其绝对值。
例2：求下列各数的绝对值：
（1）12 （2）- 15 （3）0.2 （4）- 6.7
解：（1）|12| = 12 （2）|-15| = 15 （3）|0.2| = 0.2 （4）|-6.7| = 6.7
三、比较两个数的绝对值
这类题型要求比较两个数的绝对值的大小。
解题关键是掌握绝对值的定义，根据数的符号确定其绝对值。
例3：比较下列各组数的绝对值的大小：
（1）|2| 和|3| （2）|-4| 和|-3| （3）|0| 和|-5|
解：（1）因为|2| < |3|，所以|2| < |3|。
（2）因为|-4| = |-3|，所以|-4| = |-3|。
（3）因为|0| < |-5|，所以|0| < |-5|。
绝对值经典20题
绝对值基础练习题
【经典20题】
1．有理数a、b、在数轴上的位置如图所示．
（1）用“＞”或“＜”填空：a+b0，c﹣b0；
（2）化简：|a+b|+|c|﹣|c﹣b|．
2．如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c，化简|a﹣b|﹣|a+c|+|b ﹣c|．
3．已知：a=3，|b|=2，求（a+b）3的值．
4．比较下列各组数的大小．
（1）﹣与﹣；
（2）﹣|﹣3.5|与﹣[﹣（﹣3.5）]．
5．若|x﹣1|+|y+2|+|z﹣3|=0，求（x+1）（y﹣2）（z﹣3）的值．6．已知|2﹣m|+|n+3|=0，试求m+2n的值．
7．已知|x﹣2|与|y+5|互为相反数，求x﹣y的值．
8．已知|2﹣b|与|a﹣b+4|互为相反数，求ab﹣2012的值．9．|﹣a|=21，|+b|=21，且|a+b|=﹣（a+b），求a﹣b的值．10．若m、n互为相反数，则|﹣2+m+（﹣2）﹣5+n|的值．11．已知|a|=2，|b|=2，b＞a，求a，b的值．
13．求最大的负整数与最小的正整数以及绝对值最小的数的和．
14．已知|a|=4，|b|=5，求2a+b的值．
15．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简下式：|a﹣c|﹣|a﹣b|+|2a|．
16．列式计算：
求绝对值大于1而不大于5的所有负整数的和．
17．已知|a|=8，|b|=2，|a﹣b|=b﹣a，求b+a的值．
19．如果x＜0，且|x﹣1|=4，求x的值．
20．写出绝对值大于3且不大于8的所有整数，并指出其中的最大数和最小数．。
绝对值贯穿有理数经典题型(八大题型)(原卷版)
专题1.1 绝对值贯穿有理数经典题型（八大题型）【题型1 利用绝对值的性质化简或求值】 【题型2 根据绝对值的非负性求值】 【题型3 根据参数的取值范围化简绝对值】 【题型4 根据绝对值的定义判断正误】 【题型5 根据绝对值的意义求取值范围】 【题型6 绝对值中分类讨论aa问题】 【题型7 绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】 【题型8 绝对值中最值问题】【题型1 利用绝对值的性质化简或求值】【典例1】有理数a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示．（1）在数轴上表示﹣c ，|b |．（2）试把﹣c ，b ，0，a ，|b |这五个数从小到大用“＜”连接起来； （3）化简|a +b |﹣|a ﹣c |﹣2|b +c |．【变式1-1】有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，化简|b +a |+|a +c |+|c ﹣b |的结果是（ ）A ．2b ﹣2cB ．2c ﹣2bC ．2bD ．﹣2c【变式1-2】a 、b 、c 三个数在数轴上位置如图所示，且|a |＝|b |（1）求出a、b、c各数的绝对值；（2）比较a，﹣a、﹣c的大小；（3）化简|a+b|+|a﹣b|+|a+c|+|b﹣c|．【题型2 根据绝对值的非负性求值】【典例2】已知|a−|+|b+|+|c+|＝0，求a﹣|b|+（﹣c）的值．【变式2-1】已知实数a，b满足|a|＝b，|ab|+ab＝0，化简|a|+|﹣2b|+3a．【变式2-3】若|x﹣2|+2|y+3|+3|z﹣5|＝0．计算：（1）x，y，z的值．（2）求|x|+|y|﹣|z|的值．【变式2-4】已知m，n满足|m﹣2|+|n﹣3|＝0，求2m+n的值．【变式2-5】已知|a﹣3|与|2b﹣4|互为相反数．（1）求a与b的值；（2）若|x|＝2a+4b，求x的相反数．【变式2-6】若|a+2|+|b﹣5|＝0，求的值．【变式2-7】若a、b都是有理数，且|ab﹣2|+|a﹣1|＝0，求++ +……+的值．【题型3 根据参数的取值范围化简绝对值】【典例3】已知1＜a＜4，则|4﹣a|+|1﹣a|的化简结果为（）A．5﹣2a B．﹣3C．2a﹣5D．3【变式3-1】已知1＜x＜2，则|x﹣3|+|1﹣x|等于（）A．﹣2x B．2C．2x D．﹣2【变式3-2】若1＜x＜2，则化简|x+1|﹣|x﹣2|的结果为（）A．3B．﹣3C．2x﹣1D．1﹣2x【变式3-3】已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简|b+1|﹣|b﹣a|的结果为（）A．a﹣2b﹣1B．a+1C．﹣a﹣1D．﹣a+2b+1【变式3-4】若a＜0，则化简|3﹣a|+|2a﹣1|的结果为．【题型4 根据绝对值的定义判断正误】、【典例4】在实数a，b，c中，若a+b＝0，b﹣c＞c﹣a＞0，则下列结论：①|a|＞|b |，②a ＞0，③b ＜0，④c ＜0，正确的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式4-1】将符号语言“|a |＝a （a ≥0）”转化为文字表达，正确的是（ ） A ．一个数的绝对值等于它本身 B ．负数的绝对值等于它的相反数C ．非负数的绝对值等于它本身D ．0的绝对值等于0【变式4-2】已知a 、b 、c 的大致位置如图所示：化简|a +c |﹣|a +b |的结果是（ ）A ．2a +b +cB ．b ﹣cC ．c ﹣bD ．2a ﹣b ﹣c【变式4-3】下列说法中正确的是（ ） A ．两个负数中，绝对值大的数就大 B ．两个数中，绝对值较小的数就小 C ．0没有绝对值D ．绝对值相等的两个数不一定相等【题型5 根据绝对值的意义求取值范围】【典例5】若|5﹣x |＝x ﹣5，则x 的取值范围为（ ） A ．x ＞5B ．x ≥5C ．x ＜5D ．x ≤5【变式5-1】已知|a |＝﹣a ，则化简|a ﹣1|﹣|a ﹣2|所得的结果是（ ） A ．﹣1B ．1C ．2a ﹣3D ．3﹣2a【变式5-2】若|1﹣a |＝a ﹣1，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞1B ．a ≥1C ．a ＜1D ．a ≤1【变式5-3】若不等式|x ﹣2|+|x +3|+|x ﹣1|+|x +1|≥a 对一切数x 都成立，则a 的取值范围是 ．【题型6 绝对值中分类讨论aa问题】 【典例6】计算：（abc ≠0）＝ ．【变式6-1】若n＝，abc＞0，则n的值为．【变式6-2】已知abc＞0，则式子：＝（）A．3B．﹣3或1C．﹣1或3D．1【变式6-3】已知a，b为有理数，ab≠0，且．当a，b取不同的值时，M的值等于（）A．±5B．0或±1C．0或±5D．±1或±5【变式6-4】已知：，且abc＞0，a+b+c＝0．则m 共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y＝（）A．4B．3C．2D．1【变式6-5】已知a、b、c均为不等于0的有理数，则的值为．【变式6-7】已知a，b，c都不等于零，且++﹣的最大值是m，最小值为n，求的值．【变式6-8】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”【提出问题】三个有理数a、b、c满足abc＞0，求++的值．【解决问题】解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则：++＝++＝1+1+1＝3；②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0，则：++＝++＝1﹣1﹣1＝﹣1所以：++的值为3或﹣1．【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求++的值；（2）已知|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，求a+b的值．【变式6-9】阅读下列材料完成相关问题：已知a，b、c是有理数（1）当ab＞0，a+b＜0时，求的值；（2）当abc≠0时，求的值；（3）当a+b+c＝0，abc＜0，的值．【题型7 绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】【典例7】（2022•河北模拟）（1）数轴上两点表示的有理数是a、b，求这两点之间的距离；（2）是否存在有理数x，使|x+1|+|x﹣3|＝x？（3）是否存在整数x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|＝14？如果存在，求出所有的整数x；如果不存在，说明理由．【变式7-1】（2022春•宝山区校级月考）已知|a﹣1|+|a﹣4|＝3，则a的取值范围为．【变式7-2】（2022秋•玉门市期末）在数轴上有四个互不相等的有理数a、b、c、d，若|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a，设d在a、c之间，则|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝（）A．d﹣b B．c﹣b C．d﹣c D．d﹣a【题型8绝对值中最值问题】【典例8】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是；表示﹣2和1两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝2，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝．（5）当a＝1时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是．【变式8-1】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝．（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为；（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是．（4）当a＝时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是．【变式8-2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝3，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝．【变式8-3】阅读下面材料并解决有关问题：我们知道：|x|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x ＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．综上讨论，原式＝．通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）化简代数式|x+2|+|x﹣4|．（2）求|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．。
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有理数、绝对值
例1 计算
例2 求下列各数的绝对值：
（1）－38；（2）0.15；（3）
；（4） ；（5）；
（6）
．
例3 判断下列各式是否正确(正确填入“T ”，错误填入“F ”)：
（1）
； ( ) （2） ； ( )
（3） ；（ ）
（4）若| |＝|b|，则 ＝b ； ( )
（5）若 ＝b ，则| |＝|b|； ( )
例4 若 ，则 等于（ ）．
a
分析与解：“任意有理数的绝对值一定为非负数．”利用这一特点可得
；．而两个非负数之和为0，只有一种可能：两非负数均为
0．则，；，．故．
说明：任意有理数的绝对值一定为非负数，因为它表示的是一个数在数轴上的对应点到原点的距离．绝对值的这个特性今后会经常用到．几个非负数的和为0，则每一个非负数都是0（非负数的性质）．
例5 计算．
分析：要计算上式的结果，关键要弄清和的符号，再根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．可求上式的结果，又∵，故，而．
解：又∵，
∴，，
∴．
说明：利用绝对值的代数定义灵活化简含绝对值的式子时，首先应确定代数式的符号．另外，要求出负数的相反数．
画图、观察、思考
（1）已知且，则（）
A． B． C． D．
（2）若，求的值．（株洲市初中数学竞赛题）
（3）设且，试求所有值的和．（株洲市初中数学竞赛题)
(4)有理数a、b、c均不为零，且a+b+c=0,计算(a/b+c)+(b/c+a)+(c/a+b)。