初中数学 绝对值的化简和几何意义
初中数学七年级上册《绝对值》知识简要与举例
初中数学七年级上册《绝对值》知识简要与举例1.绝对值的概念是代数的重要概念之一，它是学习代数后续内容的基础.同时，利用绝对值的概念，能使我们进一步认识已学过的概念.例如，我们可以把任何一个有理数看成是由符号与绝对值两部分组成；又如，互为相反数的两个数，其实质是绝对值相等而符号相反的两个数.像－6和6，它们的符号相反，而其绝对值|－6|=|6|=6.2.理解绝对值的意义，应注意以下三点：(1)绝对值的非负性即任何一个数a的绝对值，总是非负的.即|a|≥0.当a≠0时，|a|＞0；当a=0时，|a|=0.(2)绝对值相等的两个数或相等，或互为相反数.如|2|=|+2|=2，|+2|=|－2|=2.一般地，若|x|=|y|，则有x=y或x=－y.(3)学习了绝对值的几何意义后，数轴的概念、画法、利用数轴比较数的大小、相反数以及绝对值，借助数轴，这些知识便都联系到一起了.3.用正负数可以表示具有相反意义的量.但在实际生产和生活中，有时不考虑方向性.如：计算汽车的耗油量时，知道行驶单位路程的耗油量，只需求出汽车行驶的总路程，便可求出耗油量，与行驶的方向无关而汽车所走的路程就只需用正数表示，因此，引出绝对值的概念.4.绝对值的三种表达方法.（1）文字语言表达法（绝对值的概念）：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.（2）用数学式子法：设a为任意有理数，则(3)绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离.［例1］判断题(2)|－0.01|＜0.( )(3)－（－4）＜|－4|.( )(4)|a|=a.( )(5)当a≤0时，|a|+a=0.( )答案：(1)√；(2)×；(3)×；(4)×；(5)√.说明：在有理数的大小比较中，如果含有绝对值或相反数时，可先化简，然后再进行比较.［例2］填空题（5）______________与它的绝对值互为相反数；（6）如果|a|=|－7|，那么a=________.说明：如果两个数相等或互为相反数，那么这两个数的绝对值相等；反之，如果这两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数.［例3］a为何值时，下列各式成立?(1)|a|=a；（2）|a|=－a；（3）|a|≥a；（4）|a|＜a；（5）|a|=5；（6）|a|=－5.解：（1）a≥0；（2）a≤0；（3）a为任意有理数时，都使|a|≥a成立；（4）a为任意有理数时，|a|＜a都不成立；（5）a=±5；（6）a为任意有理数时，|a|=－5都不成立.说明：本题解决的关键是牢固掌握绝对值的非负性，即|a|≥0.另外，（3）、（4）小题还要准确理解有理数大小的比较法则.［例4］比较大小：［例5］把下列各数按照从大到小的顺序用“＞”连接起来：说明：学了绝对值的概念之后，比较两有理数大小的基本方法，我们便有了两种：(1)数轴法；(2)绝对值法.在这小节的后一部分，介绍了利用绝对值比较两个负数的大小的办法.这既可巩固绝对值的概念，又把比较有理数大小的方法提高了一步.利用绝对值来比较两有理数大小的方法是我们常用的方法之一.前面提到绝对值的概念是代数中重要的概念之一，我们应该很好地掌握它.［例6］（1）若a＞3,则|a－3|=________;（2）若a=3,则|a－3|=________;（3）若a＜3,则|a－3|=________.分析：要想正确地化简|a－3|的结果.关键是确定a－3的符号.当a＞3时，a －3＞0,即a－3为正，由正数的绝对值是它本身，可得结果为a－3;当a=3时，a －3=0,所以|a－3|=|0|=0;当a＜3时，a－3＜0,即a－3为负数，由负数的绝对值等于它的相反数可得|a－3|=－(a－3).解：（1）a＞3时，|a－3|=a－3;（2）a=3时，|a－3|=0;（3）a＜3时，|a－3|=－(a－3)说明：由本题的解法说明，化简含有字母的式子的绝对值时，必须先讨论这个式子的计算结果的正负性.否则会出现错误，如|a－3|=a－3(×).。
第3讲 绝对值和有关绝对值的化简
第三讲 绝对值和有关绝对值的化简【知识要点】（1）几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。
（2）代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
也可以写成： ()()()||0a a a a a a ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（II ）|a| 概念中蕴含分类讨论思想。
（3）绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．【例题精选】例1、已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c －a | － | b －c | 的值等于（ A ）A ．－3aB ． 2c －aC ．2a －2bD ． b解：| a | + | a+b | + | c －a | － | b －c |=－a －(a+b)+(c －a)+b －c=－3a例2、已知y=｜x+2｜+｜x-1｜+｜x+1｜，求y 的最小值．3，几何方法及分类讨论两种方法讲解。
例3、x 是什么实数时，下列等式成立：(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；24≤≥x x 或(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．7635-≤≥x x 或1)1(+=--xx例4、化简：13++-xx分类例5、观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：____相等.（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离可以表示为．分析：点B表示的数为―1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。
绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
绝对值的性质与几何意义、数轴上动点问题(6种常考题型)
绝对值的性质与几何意义、数轴上动点问题（6种常考题型）题型一利用绝对值的性质化简题型二绝对值非负性的应用题型三利用绝对值的性质求最值题型四绝对值几何意义题型五数轴上两点之间的距离题型六数轴上动点问题一．利用绝对值的性质化简（共15小题）1．已知表示有理数a ，b 的点在数轴上的位置如图所示，则a ba b+的值是（）A ．2-B ．1-C ．0D ．22．若0ab ≠，那么a ab b+的取值不可能是（）A ．2-B ．0C ．1D ．23．已知有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简1a b a +--的结果为（）A ．21a b -+B ．1b -+C ．1b --D ．21a b ---4．0a <，则化简a a aa aa++-的结果为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．25．三个有理数a ，b ，c 在数轴上表示的位置如图所示，则化简a b c b a +--+的结果是（）A ．22a b +B ．22a b c+-C ．c-D ．2b c--6．有理数a ，b ，c ，d 使||1abcd abcd =-，则a b c d a b c d+++的最大值是．7．已知数a b c 、、位置如图所示，化简a b a c --+=．8．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图所示，则化简||2||a b a c --+的结果是．9．若12x <<，求代数式2121x x x x xx---+=--．10．若0a >，||a a=；若0a <，||a a =；①若0||||a b a b +=，则||ab ab=-；②若0abc <，则||||||a b ca b c ++=．11．有理数0a >，0b >，0c <，且a c b <<．(1)在数轴上将a ，b ，c 三个数在数轴上表示出来如图所示；(2)化简：2b c a b a c +--+-．12．已知有理数a b c d 、、、在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：a c b d c b++---13．a ，b 在数轴上的位置如图，化简b a a a b --++．14．已知有理数a 、b 、c 在数轴上位置如图所示，化简：|1|||||a c b a b c +---++．15．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示．(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：a b +______0，c a -______0，2b +______0．(2)化简：22a b c a b ++--+．二．绝对值非负性的应用（共11小题）1．如果21(2)0a b ++-=，则a b +的值为（）A ．1B ．3C ．1-D ．3-2．若()23a +与1b -互为相反数，则（）．A ．3,1a b =-=-B ．3,1a b =-=C ．3,1a b ==D ．3,1a b ==-3．若320x y -++=，则x y +的值是（）．A ．5B ．1C ．2D ．04．如果有理数x 、y 满足10x x y -++=，那么xy 的值是（）A ．1-B ．1±C ．1D ．25．若()22430||a b ++--=，则b =；a =．6．已知x 是非负数，且非负数中最小的数是0．(1)已知210a b -+-=，则a b +的值是_________；(2)当a =________时，12a -+有最小值，最小值是______．7．已知2(3)|24|0x y x +++-=，则y =．8．已知a ，b 是有理数，且满足|1||2|0a b -+-=，求a 与b 的值．9．已知230x y -++=．(1)求x y +的值．(2)求x y -的值．10．若|21||3|0x y -++=，求x 、y 的值．11．若201503b a --+=，求a ，b 的值．三．利用绝对值的性质求最值（共9小题）1．设n 个有理数12,,,n x x x ⋅⋅⋅满足1(1,2,,)i x i n <= ，且12x x +++ 1219n n x x x x =++++ ，则n 的最小值是（）A ．19B ．20C ．21D ．222．如果x 为有理数，式子20232x -+存在最大值，这个最大值是（）A ．2025B ．2024C ．2023D ．20223．若a 是有理数，则|1|2a -+的最小值是（）A ．0B ．1C ．2D ．34．（1）若6m -有最小值，则当m =时，取最小值，最小值为．（2）若260m n -+-=，则m =，n =．（3）5m -有最（填“大”或“小”）值，这个最（大）小值是．5．已知a 为有理数，则24a -+的最小值为．6．如果x 为有理数，式子20213x --存在最大值，那么这个式子有最值是，此x =7．已知，数轴上A ，B ，C 三点对应的有理数分别为a ，b ，c ．其中点A 在点B 左侧，A ，B 两点间的距离为4，且a ，b ，c 满足()220240a b c ++-=，则（1）c 的值为．（2）数轴上任意一点P ，点P 对应的数为x ，若存在x 使x a x b x c -+-+-的值最小，则x 的值为．8．阅读材料：x 的几何意义是数轴上数x 的对应点与原点之间的距离，即0x x =-，也可以说x 表示数轴上数x 与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为12x x -表示数轴上数1x 与数2x 对应点之间的距离，根据材料的说法，试求：(1)34x +=；(2)若x 为有理数，代数式32x -+有没有最大值？如果有，求出这个最大值及此时x 的值是多少？如果没有，请说明理由；(3)若x 为有理数，则13x x -+-有最______值（填“大”或“小”），其值为________．9．阅读下面的材料：点A B ，在数轴上分别表示有理数a b ，，A B ，两点之间的距离表示为AB ．当A B ，两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图①所示，AB OB b a b ===-；当A B ，两点都不在原点时，a ．如图②所示，点A B ，都在原点的右边，AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-；b ．如图③所示，点A B ，都在原点的左边，()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=-；c ．如图④所示，点A B ，在原点的两边，()AB OA OB a b a b a b =+=+=+-=-．综上，数轴上A B ，两点之间的距离AB a b =-．回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是；(2)数轴上表示x 和1-的两点A 和B 之间的距离是，如果2AB =，那么x 为；(3)当47x y ++-取最小值时，x =，y =．四．绝对值几何意义（共6小题）1．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：1x +的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数1-的点的距离，2x -的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数2的点的距离．当12x x ++-取得最小值时，x 的取值范围是（）A ．12x ≤≤B ．1x ≤-或2x ≥C ．12x -≤≤D ．12x ≤≤-2．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：1x +的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数1-的点的距离，2x -的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数2的点的距离．当12x x ++-取得最小值时，x 的取值范围是．3．阅读理解：对于有理数a 、b ，a 的几何意义为：数轴上表示数a 的点到原点的距离；|a -b |的几何意义为：数轴上表示数a 的点与表示数b 的点之间的距离．如：2x -的几何意义即数轴表示数x 的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题：(1)根据2x +的几何意义，若23x +=，那么x 的值是．(2)画数轴分析23x x +++的几何意义，并求出23x x +++的最小值是．(3)11232023x x x x x x +++-+-+-+⋯+-的最小值是多少？4．阅读下面的材料：根据绝对值的几何意义，我们知道53-表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；535(3)+=--，所以53+表示5、3-在数轴上对应的两点之间的距离；550=-，所以5表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，那么A 、B 两点之间的距离可以表示为AB a b =-．回答下列问题：(1)数轴上表示6与9-的两点之间的距离是_________；数轴上表示x 与2的两点之间的距离是_______．(2)若33x -=，则x =_______．(3)满足235x x ++-=的整数x 有_______个．(4)当a =_______时，代数式12x a x ++-的最小值是3．5．阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道53-可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，()52--可以表示5与2-之差的绝对值，也可以表示5与2-两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究：(1)5x -表示数轴上有理数x 所对应的点到________所对应的点之间的距离；2x +表示数轴上有理数x 所对应的点到________所对应的点之间的距离．若25x +=，则x =________．(2)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x ，使得257x x ++-=．这样的整数x 有________________．（写出所有的整数x ）(3)利用绝对值的几何意义，求出123x x x -+++-的最小值，并说明理由．6．如图，已知数轴上点A 表示的数为8，B 是数轴上位于点A 左侧一点，且19AB =．(1)直接写出数轴上点B 表示的数；(2)53-表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如3x -的几何意义是数轴上表示有理数x 3的点之间的距离，试探索：①若82x -=，则x =（直接写出）；②118x x ++-的最小值为（直接写出）；(3)请直接写出所有满足37329a a ++-=的整数a 的值．五．数轴上两点之间的距离（共15小题）1．已A B 、两点在数轴上表示的数分别是3-和6-，若在数轴上找一点C ，使得A 和C 之间的距离是4，使得B D 、之的距离是1，则C D 、之间的距离不可能是（）A ．0B ．6C ．2D ．42．如图，一条数轴上有点A 、B 、C ，其中点A 、B 表示的数分别是14-，10，现以点C 为折点，将数轴向右对折，若点A 落在射线C 上且到点B 的距离为6，则C 点表示的数是（）A ．1B ．3-C ．1或5-D ．1或4-3．如图，已知A ，(B B 在A 的左侧)是数轴上的两点，点A 对应的数为12，且18AB =，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P 的运动过程中，M ，N 始终为AP ，BP 的中点，设运动时间为(0)t t >秒，则下列结论中正确的有()①B 对应的数是6-；②点P 到达点B 时，9t =；③2BP =时，6t =；④在点P 的运动过程中，线段MN 的长度会发生变化．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．在数轴上，点A ，B 在原点O 的两侧，分别表示数a ，2，将点A 向右平移2个单位长度，得到点C ．若点C 到A 、B 两个点的距离相等，则a 的值为（）A ．0B ．1-C ．2-D ．15．如图，小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是（）．A ．1-B ．0C ．1D ．26．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2013厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点的个数是（）A ．2011或2012B ．2012或2013C ．2013或2014D ．2014或20157．在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是1个单位长度，有理数a ，b ，c ，d 表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图所示．已知343a b =-，则代数式5c d -的值是．8．如图，在数轴上，点A 表示的数是10，点B 表示的数为50，点P 是数轴上的动点．点P 沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离比是2:3时，点P 表示的数是．9．一把刻度尺的部分在数轴上的位置摆放如图所示，若刻度尺上的刻度“4cm ”和“1cm ”分别对应数轴上的0和2，现将该刻度尺沿数轴向右平移3个单位，则刻度尺上6.1cm 对应数轴上的数为．10．如图，边长为3的正方形ABCD 的边AB 在数轴上，数轴上的点A 表示的数为4-，将正方形ABCD 在数轴上水平移动，移动后的正方形记为A B C D ''''，点、、A B C 、D 的对应点分别为A B C D ''''、、、，点E 是线段AA '的中点，当BEC '△面积为9时，点A '表示的数为．11．如图，A ，B ，C 为数轴上的点，4AC =，点B 为AC 的中点，点P 为数轴上的任意一点，则2PA PB PC ++的最小值为．12．如图所示，观察数轴，请回答：(1)点C 与点D 的距离为，点B 与点D 的距离为；(2)点B 与点E 的距离为，点A 与点C 的距离为；发现：在数轴上，如果点M 与点N 分别表示数m ，n ，则他们之间的距离可表示为MN =（用m ，n 表示）13．同学们都知道，()73--表示7与3-之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与3-的两点之间的距离．试探索：(1)()73--=________；(2)找出所有符合条件的整数x ，使得415x x ++-=；(3)对于任何有理数x ，36x x -+-是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由；(4)若169x x ++-=时，求x 的值．14．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．(1)若1表示的点与1-表示的点重合，则2-表示的点与数表示的点重合；(2)若1-表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A 、B 两点之间的距离为2023（A 在B 的左侧），且A 、B 两点经折叠后重合，求A 、B 两点表示的数是多少？15．如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有三点、、A B C ，其中2AB =，1BC =，设点、、A B C 所对应的数的和是m ．(1)若B 为原点．则A 点对应的数是__________；点C 对应的数是__________，m =__________．(2)若原点O 在图中数轴上点C 的右边，且6CO =．求m ．六．数轴上动点问题（共12小题）1．正方形ABCD 在数轴上的位置如图所示，点D 、A 对应的数分别为1-和0，若正方形ABCD 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B 所对应的数为1；则翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是（）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D2．一个电子跳蚤在一条数轴上从原点开始，第一次向右跳1个单位长度，紧接着第二次向左跳2个单位长度，第三次向右跳3个单位长度，第四次向左跳4个单位长度…以此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处距离原点（）个单位长度．A．0B．100C．50D．－503．如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣2、4，若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过秒后，M、N两点间的距离为8个单位长度．4．如图，动点A，B，C分别从数轴－30，10，18的位置沿数轴正方向运动，速度分别为2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，8个单位长度/秒，线段OA的中点为P，线段OB的中点为M，线段OC的中点为N，若⋅-为常数，则k为．k PM MN5．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．例如：如图1，点A表示的数为1-，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．-，点N所表示的数为2如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为7(1)点E，F，G表示的数分别是3-，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是_；写出【N，M】美好点H所表示的数是_．(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？6．若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点．例如，如图1，点A表示的数为1-，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的好点，但点D是【B，A】的好点．知识运用：如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为2-，点N所表示的数为4．(1)数所表示的点是【M，N】的好点；-，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点(2)如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为20B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？、两点表示的数是互为相反数；7．如图，数轴上的单位长度为1，A B(1)点A表示的数是______，点B表示的数______．(2)数轴上一个动点P先向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位到达点M，若点M表示的数是1，则点P所表示的数是______．(3)在数轴上，点O 为坐标原点，若点A 、点B 分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度向右运动，当两点同时运动时，设运动时间为t 秒()0t >．①点A 表示的数为______；点B 表示的数为______．（用含t 的式子表示）②当t 为何值时，点A 、点B 、点O 三点之间恰好有一个点到其他两个点的距离相等？8．如图，已知点A 、B 、C 是数轴上三点，O 为原点．点C 对应的数为3，2BC =，6AB =．(1)则点A 对应的数是，点B 对应的数是；(2)动点P 、Q 分别同时从A 、C 出发，分别以每秒8个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动．M 在线段AP 上，且AM MP =，N 在线段CQ 上，且14CN CQ =，设运动时间为()0t t >．①求点M 、N 对应的数（用含t 的式子表示）②猜想MQ 的长度是否与t 的大小有关？如果有关请你写出用t 表示的代数式；如果无关请你求出MQ 的长度．9．阅读下面的材料：如图1，在数轴上A 点所示的数为a ，B 点表示的数为b ，则点A 到点B 的距离记为AB ，线段AB 的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB b a =-．请用上面的知识解答下面的问题：如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达A点，再向左移动3cm到达B点，然后向右移动9cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．(1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置：(2)点C到点A的距离CA=______cm；若数轴上有一点D，且5AD=，则点D表示的数为_________；x，则移动后的点表示的数为_____；（用代数式表示）(3)若将点A向右移动cm(4)若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间-的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．为t秒，试探索：AC AB-、10，动点P从A出发，以每秒1个单位10．已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数24-、10长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．若用PA，PB，PC分别表示点P与点A、点B、点C的距离，试回答以下问题．(1)当点P运动10秒时，PA=______，PB=______，PC=______；(2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示P到点A、点B、点C的距离：PA=______，PB=______，PC=______；(3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？(4)当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为4个单位长度？如果能，请直接写出点P表示的数；如果不能，请说明理由．11．定义：数轴上A 、B 两点的距离为a 个单位记作AB a =，根据定义完成下列各题．两个长方形ABCD 和EFGH 的宽都是3个单位长度，长方形ABCD 的长AD 是6个单位长度，长方形EFGH 的长EH 是10个单位长度，其中点A 、D 、E 、H 在数轴上（如图），点E 在数轴上表示的数是5，且E 、D 两点之间的距离为14，原点记为0．(1)求数轴上点H 、A 所表示的数？(2)若长方形ABCD 以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形EFGH 以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M 、N 两点，其中点M 在A 、D 两点之间，且12AM AD =，其中点N 在E 、H 两点之间，且15EN EH =，设运动时间为x 秒．①经过x 秒后，M 点表示的数是，N 点表示的数是（用含x 的式子表示，结果需化简）．②求MN （用含x 的式子表示，结果需化简）．(3)若长方形ABCD 以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形EFGH 固定不动，设长方形ABCD 运动的时间为()0t t >秒，两个长方形重叠部分的面积为S ，当12S =时，求此时t 的值．12．阅读下面材料：若点A B 、在数轴上分别表示实数a b 、，则A B 、两点之间的距离表示为AB ，且AB a b =-；回答下列问题：(1)①数轴上表示x 和2的两点A 和B 之间的距离是；②在①的情况下，如果3AB =，那么x 为；(2)代数式12x x ++-取最小值时，相应的x 的取值范围是．(3)若点、、A B C 在数轴上分别表示数a b c 、、，a 是最大的负整数，且2(5)0-++=c a b ，①直接写出a b c 、、的值．A B C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分②点、、别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．。
(完整版)绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
绝对值的化简与几何意义
专题3绝对值的化简与几何意义★知识模块●模块一绝对值的基本概念（1）非负性：||0a ≥（补充：20a ≥）．对应题型：绝对值的化简．方法：判断“||”里面整体的正负性．易错点：求一个多项式的相反数．对应策略：求一个多项式的相反数即求多项式中每个单项式的相反数．①a b -的相反数是a b -+；②a b c ++的相反数是a b c ---；③132a b -+的相反数132a b -+-．（2）双解性：||(0)a b b =≥，则a b =±．（3）绝对值的代数意义：(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（常用）(0)||(0)a a a a a ⎧=⎨-<⎩≥或(0)||(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩变式结论：①若||a a =，则0a ≥；②若||a a =-，则0a ≤．●模块二零点分段法零点：使绝对值为0的未知数值即为零点．方法：①寻找所有零点，并在数轴上表示；②依据零点将数轴进行分段；③分别根据每段未知数的范围去绝对值．易错点：分类不明确，不会去绝对值．化简：|1||2|x x -+-．①零点为1，2，故将数轴分为3个部分，即1x <，12x ≤<，2x ≥．②当1x <时，原式23x =-+；当12x ≤<时，原式(1)(2)1x x =---=；当2x ≥时，原式23x =-．●模块三几何意义||x 的几何意义：数轴上表示数x 的点与原点的距离；||x a -的几何意义：数轴上表示数x 的点与数a 的点之间的距离；举例：①|1|=|(1)|x x +--表示x 到1-的距离．②|1||2|x x +++表示x 到1-和x 到2-的点与数a 、b 两点的距离之和．③|1||2|x x +-+表示x 到1-和x 到2-的距离之差．基本结论：令123n a a a a ≤≤≤≤…，123||||||+||n x a x a x a x a -+-+-+-… ．方法：直接套用几何意义画数轴．①当n 为奇数时，当12n x a +=时取最小值；②当n 为偶数时，当122n n a x a +≤≤时取最小值．常见变形：①|1|2|3|3|4|x x x -+-+-在34x ≤≤时取得最小值．②()111113|2|2|3|236x x x x -+-=-+-在2x =时取得最小值．③|1||2|x x ---既有最小值也有最大值．★习题特训●模块一绝对值的基本概念特训1（1）已知2(3)|2|=0x y -++，则y x =___________．（2）若|3|x y -+与|1999|x y +-互为相反数，求x y x y +-的值是．（3）已知2()|5|5a b b b +++=+，且|21|0a b --=，那么ab =___________．【答案】（1）∵2(3)|2|0x y -++=，∴3x =，2y =-．∴原式19=．（2）原式19993=-．（3）∵2()|5|5a b b b +++=+，∴50b +≥，0a b +=又∵|21|0a b --=，∴210a b --=，解得13a =，13b =-，∴19ab =-．（1）若||3x =，||2y =，且x y >，求x y +的值是．（2）已知||5a =，||3b =，且||a b b a -=-，求a b -的值是___________．（3）若a ，b ，c 为整数，且20162016||||1a b c a -+-=，则||||||c a a b b c -+-+-的值是___________．【答案】（1）5或1；（2）8-或2-；（3）∵a 、b 、c 均为整数，∴||a b -，||a c -均为非负整数，∴只能有||0a b -=，||1a c -=或者||1a b -=，||0a c -=．当||0a b -=，||1a c -=时，a b =，||||1b c a c -=-=，此时，||||||0112a b b c c a -+-+-=++=．当||1a b -=，||0a c -=时，a c =，||||1b c b a -=-=，此时，||||||1102a b b c c a -+-+-=++=．故总有||||||2a b b c c a -+-+-=．特训3（1）化简：111111200420032003200210031002-+-++-= ___________．（2）若201522016x =，则|||1||2||3||4||5|x x x x x x +-+-+-+-+-=．（3）a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简：||||||||||||a b c b a c a b c -+--+---．（4）已知数a ，b ，c 的大小关系如图所示，则下列各式：③||1||||a b c a b c++=；④0bc a ->；⑤||||||2a b c b a c b --++-=-．其中正确的有．【答案】（1）原式=111111200320042002200310021003-+-++- 111100220042004=-=．（2）由于23x <<，故原式123459x x x x x x =+-+-+-+-+-=．（3）原式33a b c =-++．（4）②③⑤．●模块二零点分段法特训4化简：（1）|1||2|x x -+-（2）|5||23|x x +--（3）|1||2||3|x x x -+-+-（4）||1|2||1|x x --++【答案】（1）零点为1，2，故将数轴分为3个部分，即1x <，12x ≤<，2x ≥．当1x <时，原式(1)(2)23x x x =----=-+；当12x ≤<时，原式(1)(2)1x x =---=；当2x ≥时，原式(1)(2)23x x x =-+-=-．即原式231=112232x x x x x -+<⎧⎪≤<⎨⎪-≥⎩，，，．（2）零点为5-，32，故将数轴分为3个部分，即5x <-，352x -≤<，32x ≥．当5x <-时，原式(5)(23)8x x x =-++-=-；当352x -≤<时，原式(5)(23)32x x x =++-=+；当32x ≥时，原式(5)(23)8x x x =+--=-+．当1x <时，原式(1)(2)(3)36x x x x =------=-+；当12x ≤<时，原式(1)(2)(3)4x x x x =-----=-+；当23x ≤<时，原式(1)(2)(3)x x x x =-+---=；当3x ≥时，原式(1)(2)(3)36x x x x =-+-+-=-．（4）先找零点．由10x -=得1x =；由|1|20x --=得1x =-或3x =；由10x +=得1x =-．所以零点共有1-，1，3三个，故将数轴分为4个部分．当1x <-时，原式|(1)2|(1)1122x x x x x =----+=----=--；当11x -≤<时，原式|(1)2|(1)1122x x x x x =---++=+++=+；当13x ≤<时，原式|(1)2|(1)314x x x x =--++=-++=；当3x ≥时，原式|(1)2|(1)3122x x x x x =--++=-++=-．特训5求|1||5|y x x =--+的最大值和最小值．【答案】零点为5-，1．当5x ≤-时，(1)(5)6y x x =--++=；当51x -<<时，(1)(5)24y x x x =---+=--，有66y -<<；当1x ≥时，(1)(5)6y x x =--+=-．故最大值为6，最小值为6-．●模块三绝对值的几何意义特训6规律探究和应用：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示3-和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于；如果表示数a 和2-的之间的距离是3，那么a =．（2）若数轴上表示数a 的点位于4-与2之间，求|4||2|a a ++-的值．（3）当a 取何值时，|5||1||4|a a a ++-+-的值最小，最小值是多少？（4）求|1||2|100|a a a -+-+-……+|的最小值，并求出此时a 的取值范围．【答案】（1）3；5；||m n -；5-或1．（2）|4||2|6a a ++-=．（3）|5||1||4|a a a ++-+-最小值为9，在1a =时取得最小值．（4）当5051a ≤≤时，原式有最小值，代数式的值为2500．特训7已知759x -≤≤，求x 取何值时|1||3|x x --+取最大值与最小值．【答案】|1||3|x x --+表示x 到点1和3-的距离差，画出数轴，可得当79x =时两者的距离差最小为329-，即min 32(|1||3|)9x x --+=-；当53x --≤≤时，两者的距离差最大为4，即max (|1||3|)4x x --+=．特训8（2）求3|1|2|4||2|x x x ++-+-的最小值及此时x 的取值．（3）求|1||23||34|x x x -+-+-的最小值及此时x 的取值．（4）求111|1||2||3|234x x x -+-+-的最小值及此时x 的取值．【答案】（1）中位项为|1|x -，故1x =，最小值为1．（2）中位项为|1|x +和|2|x -，故12x -≤≤，最小值为13．（3）原式34|1|2||3||23x x x =-+-+-，中位项为43x -，故43x =，最小值为23．（4）原式111|2||6||12|234x x x =-+-+-1(6|2|4|6|3|12|)12x x x =-+-+-，括号里的中位项为|6|x -，故6x =，最小值为72．★复习巩固演练1（1）已知|(2)||3|||0x y z +-+++=，则x y z ++=.（2）|1||2|0a b -++=，求201620152()()()a b a b a b a b +++++++= ．（3）已知222123420152016|1|(2)|3|(4)...|2015|(2016)=0x x x x x x -+-+-+-+-+-，求122334201520161111...x x x x x x x x ++++的值．【答案】（2）∵|1||2|0a b -++=，∴1a =，2b =-，1a b +=-，则原式0=．（3）由||0a ≥，20a ≥可知，11x =，2201622016x x == ，则122311x x x x ++ 201520161111122320152016x x +=+++⨯⨯⨯ 12015120162016=-=.演练2（1）已知||4x =，||6y =，则||x y +的值为．（2）已知||1a =，||2b =，||3c =，a b c >>，则2()a b c +-=．【答案】（1）2或10．（2）由a b c >>知只能有1a =±，2b =-，3c =-，故原式0=或4．演练3（1）a ，b ，c 在数轴上的位置如图3-1所示，化简：|||||||1||2|||a b c b a c a b c -+---+-+--．（2）已知a 、b 、c 在数轴上的对应点如图3-2所示，化简：||||||||a a b c a b c -++-++．图3-1图3-2【答案】（1）331a b c -+++；（2）32a c -．演练4化简：（1）|5||23|x x ++-（2）||1|3|x +-（1）先找零点.50x +=，5x =-；230x -=，32x =，零点可以将数轴分成三段．当32x ≥，50x +>，230x -≥，|5||23|32x x x ++-=+；当352x -<≤，50x +≥，230x -<，|5||23|8x x x ++-=-；当5x <-，50x +<，230x -<，|5||23|32x x x ++-=--．（2）先找零点．由10x +=得1x =-；由|1|30x +-=得4x =-或2x =．所以零点共有4-，1-，2三个，故将数轴分为4个部分．当4x <-时，原式|(1)3||4|4x x x =-+-=--=--；当41x -≤<-时，原式|(1)3||4|4x x x =-+-=--=+；当12x -≤<时，原式|(1)3||2|2x x x =+-=-=-；当2x ≥时，原式|(1)3||2|2x x x =+-=-=-．演练5试求|1||2||1996|x x x -+-++- 的最小值．【答案】|1||2||1996|x x x -+-++- 表示x 到1，2，…，1996的距离和.中间的两点代表的数是998、999，所以当998999x ≤≤时，原式有最小值；我们可以取998x =，原式9979961012998996004=++++++++= ．演练6求|1|2|2|3|3|x x x -+-+-的最小值及此时x 的取值．【答案】中位项为|2|x -和|3|x -，故当23x ≤≤时，最小值为4．演练7已知2x ≤，求|3||2|x x --+的最大值与最小值．【答案】解法一：根据几何意义可以得到，当2x -≤时，取最大值为5；当2x =时，取最小值为3-．解法二：找到零点3，2-，结合2x ≤可以分为以下两段进行分析：当22x -≤≤时，|3||2|3212x x x x x --+=---=-，有最值3-和5；当2x <-时，|3||2|325x x x x --+=-++=；综上可得最小值为3-，最大值为5．。
初一数学绝对值的化简
变式训练1、已知x ＜﹣1，（1）化简22x －－；（2）化简222x －－－2、已知﹣2≤x ＜3，化简1312x x －－＋题型二、利用数形结合的方法化简绝对值根据数轴，我们可以确定未知数的取值范围和大小关系，进而可以判断相关代数式的正负性，从而根据绝对值的意义去掉绝对值的符号。
例题：（1）已知：实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：b a ﹣﹣（2）已知有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：b a b a b a ﹣﹣＋＋﹣＋要点提示：1．零点的左边都是负数，右边都是正数；2．右边点表示的数总大于左边点表示的数；3．离原点远的点表示的数的绝对值较大；4．在一个数的前面添加一个负号就可以得到这个数的相反数。
变式训练：1．已知有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：b a ＋＋a b ﹣2．已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：b c b a ﹣﹣＋题型三、零点分段讨论法例题：化简224x x －－＋分析：本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于x －2、x ＋4的正负不能确定，由于x 是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况—一讨论。
解：令x －2＝0得零点：x ＝2 ；令x ＋4＝0得零点：x ＝﹣4 ，把数轴上的数分为三个部分（如图）①当x ≥2时，②当﹣4≤x ＜2时，③当x ＜﹣4时，综上所述，归纳总结：虽然x －2、x ＋4的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，运用此方法的一般步骤是：1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）；2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定；3．在各区段内分别考察问题；4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案。
(完整版)绝对值的性质及化简
绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a 的绝对值：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a a b b=(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；（5）a b a b a b -≤+≤+，对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立；对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立．绝对值几何意义当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值．零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．例题精讲绝对值的性质及化简a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．一、绝对值的概念【例1】 ⑴m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；x 0-（>，=，<）； ⑵21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ； ⑶3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若31x -=，则x = ． ⑷2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=，则 x = ．二、绝对值的性质【例2】 填空：若a b a b +=+，则a ，b 满足的关系 ．【巩固】 填空：若a b a b -=-，则a ，b 满足的关系 ．【例3】 填空：已知a 、b 是有理数，1a ≤，2b ≤，且3a b -=，则a b += ．【巩固】 若ab ab <，则下列结论正确的是 ( )A. 00a b <<，B. 00a b ><，C. 00a b <>，D. 0ab <【例4】 下列各组判断中，正确的是 ( ) A ．若a b =，则一定有a b = B ．若a b >，则一定有a b >C. 若a b >，则一定有a b > D ．若a b =，则一定有()22a b =-【例5】如果2a＞2b，则( )A．a b< D a＜b>B．a＞b C．a b【例6】（4级）若a b<，则下列说法正确的是（）>且a bA．a一定是正数B．a一定是负数C．b一定是正数D．b一定是负数【巩固】下列式子中正确的是( )A．a a≥-≤-D．a a>-B．a a<-C．a a【例7】对于1m-，下列结论正确的是( )A．1||≥D．1||1m m≤-----≥B．1||m mm mm m-≤C．1||1【例8】已知2332-=-，求x的取值范围x x【例9】下列说法中正确的个数是( )①当一个数由小变大时，它的绝对值也由小变大；②没有最大的非负数，也没有最小的非负数；③不相等的两个数，它们的绝对值一定也不相等；④只有负数的绝对值等于它的相反数．A．0 B．1 C．2 D．3【例10】绝对值等于5的整数有个，绝对值小于5的整数有个【例11】绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？【巩固】 非零整数m n ，满足50m n +-=，所有这样的整数组()m n ，共有【例13】 已知123a b c ===，，，且a b c >>，那么a b c +-=【例14】 如右图所示，若a 的绝对值是b 的绝对值的3倍，则数轴的原点在 点．（填“A ”“B ”“C ”或“D ”）【例15】 如果1a b -=，1b c +=，2a c +=，求2a b c ++的值．【例16】 已知a 、b 、c 、d 都是整数，且2a b b c c d d a +++++++=，则a d += ．【例17】 已知a 、b 、c 、d 是有理数，9a b -≤，16c d -≤， 且25a b c d --+=，则b a d c ---= ．【巩固】 有理数a 、b 、c 、d 各自对应着数轴上X 、Y 、Z 、R 四个点，且 （1）b d -比a b -，a c -、a d -、b c -、c d -都大；（2）d a a c d c -+-=-；（3）c 是a 、b 、c 、d 中第二大的数.则点X 、Y 、Z 、R 从左到右依次是【例18】 I f 3x ≤,1y ≤,4z ≤,and 29x y z -+=,then 246x y z = ．【例19】 如果1,11,a a a x a =+-=-那么____x a x a +--=。
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当 ， ， ， ；
当 ， ， ， ；
当 ， ， ， ．
（2）先找零点．由 得 ；由 得 或 ．
所以零点共有 ， ， 三个，故将数轴分为4个部分．
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．试求 的最值．表示x到1，2，…，1996的距离和.中间的两点代表的数是998、999，所以当 时，原式有最小值；
（2）若数轴上表示数a的点位于 与2之间，求 的值．
（3）当a取何值时， 的值最小，最小值是多少？
（4）求 的最小值，并求出此时a的取值范围．
（1）3；5； ； 或1．
（2） ．
（3） 最小值为9，在 时取得最小值．
（4）当 时，原式有最小值，代数式的值为2500．
已知 ，求x取何值时 取最大值与最小值．
（常用） 或
变式结论：①若 ，则 ；
②若 ，则 ．
模块二零点分段法（目的：去无范围限定的绝对值题型）
零点：使绝对值为0的未知数值即为零点．
方法：
寻找所有零点，并在数轴上表示；
②依据零点将数轴进行分段；
③分别根据每段未知数的范围去绝对值．
易错点：分类不明确，不会去绝对值．
化简： ．
①零点为1，2，故将数轴分为3个部分，即 ， ， ．
（3）原式 ，中位项为 ，故 ，最小值为 ．
（4）原式
，
括号里的中位项为 ，故 ，最小值为 ．
【教师备课提示】例6—例8主要考查绝对值的几何意义，数形结合的思想．
（1）已知 ，则 .
（2） ，求 ．
（3）已知 ，求 的值．
（1） ．
（2）∵ ，∴ ， ， ，则原式 ．
（3）由 ， 可知， ， ，
则 .
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．
【教师备课提示】这道题主要考查零点分段法去绝对值．
求 的最大值和最小值．
零点为 ，1．
当 时， ；
当 时， ，有 ；
当 时， ．
故最大值为6，最小值为 ．
【教师备课提示】这道题主要考查零点分段法去绝对值的作用，求最值．
规律探究和应用：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示 和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于；如果表示数a和 的之间的距离是3，那么 ．
（1）∵ ，∴ ， ．∴原式 ．
（2）原式 ．
（3）∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，解得 ， ，∴ ．
【教师备课提示】这道题主要讲解回顾绝对值的非负性和平方的非负性．
（1）若 ， ，且 ，求 的值是．
（2）已知 ， ，且 ，求 的值是___________．
（3）若a，b，c为整数，且 ，则 的值是___________．
基本结论：令 ，
．
方法：直接套用几何意义画数轴．
①当n为奇数时，当 时取最小值；
②当n为偶数时，当 时取最小值．
常见变形：
① 在 时取得最小值．
② 在 时取得最小值．
③ 既有最小值也有最大值．
（1）已知 ，则 ___________．
（2）若 与 互为相反数，求 的值是．
（3）已知 ，且 ，那么 ___________．
②当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．
模块三几何意义
的几何意义：数轴上表示数 的点与原点的距离；
的几何意义：数轴上表示数x的点与数a的点之间的距离；
的几何意义：数轴上表示数x的点与数a、b两点的距离之和．
举例：
① 表示x到 的距离．
② 表示x到 和x到 的距离之和．
③ 表示x到 和x到 的距离之差．
（1）已知 ， ，则 的值为．
（2）已知 ， ， ， ，则 ．
（1）2或10．
（2）由 知只能有 ， ， ，故原式 或 ．
（1）（树德半期）a，b，c在数轴上的位置如图3-1所示，
化简： ．
（2）已知a、b、c在数轴上的对应点如图3-2所示，化简： ．
图3-1图3-2
（1） ；（2） ．
化简：（1） （2）
模块一绝对值的基本概念
（1）非负性： （补充： ）．
对应题型：绝对值的化简．
方法：判断“ ”里面整体的正负性．
易错点：求一个多项式的相反数．
对应策略：求一个多项式的相反数即求多项式中每个单项式的相反数．
① 的相反数是 ；
② 的相反数是 ；
③ 的相反数 ．
（2）双解性： ，则 ．
（3）绝对值的代数意义：
我们可以取 ，原式 ．
求 的最小值及此时x的取值．
中位项为 和 ，故当 时，最小值为4．
已知 ，求 的最大值与最小值．
解法一：
根据几何意义可以得到，当 时，取最大值为5；当 时，取最小值为 ．
解法二：
找到零点3， ，结合 可以分为以下两段进行分析：
当 时， ，有最值 和5；
当 时， ；综上可得最小值为 ，最大值为5．
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．
即原式 ．
（2）零点为 ， ，故将数轴分为3个部分，即 ， ， ．
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．
（3）零点为1，2，3．
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．
（4）先找零点．由 得 ；
由 得 或 ；
由 得 ．
所以零点共有 ， ， 三个，故将数轴分为4个部分．
（1）5或1；
（2） 或 ；
（3）∵ 、 、 均为整数，∴ ， 均为非负整数，
∴只能有 ， 或者 ， ．
当 ， 时， ， ，
此时， ．
当 ， 时， ， ，
此时， ．故总有 ．
【教师备课提示】这道题主要考查绝对值的双解性．
（1）化简： ___________．
（2）若 ，则 ．
（3）a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简： ．
表示x到点1和 的距离差，
画出数轴，可得当 时两者的距离差最小为 ，即 ；
当 时，两者的距离差最大为4，即 ．
（1）求 的最小值及此时 的取值．
（2）求 的最小值及此时 的取值．
（3）求 的最小值及此时 的取值．
（4）求 的最小值及此时 的取值．
（1）中位项为 ，故 ，最小值为1．
（2）中位项为 和 ，故 ，最小值为13．
（4）已知数a，b，c的大小关系如图所示，则下列各式：
； ；
； ；
．其中正确的有．
（1）原式= ．
（2）由于 ，故原式 ．
（3）原式 ．（4） ．
【教师备课提示】这道题主要考查绝对值的化简，去绝对值．
化简：（1） （2）
（3） （4）
（1）零点为1，2，故将数轴分为3个部分，即 ， ， ．
当 时，原式 ；