《二次函数的图像与一元二次方程》PPT课件-青岛版九年级数学下册
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青岛版九年级数学下册二次函数的图象与一元二次方程课件
x＜5内有且只有一个解，直接写出k的范围．
解：（1）∵△＝（m+3）2﹣4（2m+2）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2，∴当m＝1时，
图象与x轴只有一个交点，当m≠1时，图象与x轴有两个交点； （2）m＝﹣5时，y＝
x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，当x＝1时，函数有最小值﹣9，当x＝5时，y＝7，
（3）若方程x2﹣2x﹣8＝k在0＜x＜5内有且只有一个解，即为y＝x2﹣2x﹣8
2
ax +bx+c=0
y=ax2+bx+c
思考回顾
1、若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1
5
a
且
a
1
＝0有实数根，则a的取值范围为
.
4
一元二次方程ax²+bx+c＝0(a≠0)根的判别式
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
所以一元二次方程x²-2x+3=0没有
实数根
y
x
y
x
抛物线y=ax2+bx+c
转化为
与x轴无公共点
转化为
二次方程ax2+bx+c=0
无实根
挑战自我
一元二次方程根的判别式
b 4ac
2
已知抛物线 = + + ，当a,b,c满足
什么条件时，
（1）抛物线与x轴有两个公共点？ b²-4ac>0
和函数y＝k只有一个交点，函数y＝x2﹣2x﹣8，与y轴的交点为：（0，﹣8），
函数的顶点坐标为：（1，﹣9），故在0＜x＜5时，y＝x2﹣2x﹣8和函数y＝
解：（1）∵△＝（m+3）2﹣4（2m+2）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2，∴当m＝1时，
图象与x轴只有一个交点，当m≠1时，图象与x轴有两个交点； （2）m＝﹣5时，y＝
x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，当x＝1时，函数有最小值﹣9，当x＝5时，y＝7，
（3）若方程x2﹣2x﹣8＝k在0＜x＜5内有且只有一个解，即为y＝x2﹣2x﹣8
2
ax +bx+c=0
y=ax2+bx+c
思考回顾
1、若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1
5
a
且
a
1
＝0有实数根，则a的取值范围为
.
4
一元二次方程ax²+bx+c＝0(a≠0)根的判别式
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
所以一元二次方程x²-2x+3=0没有
实数根
y
x
y
x
抛物线y=ax2+bx+c
转化为
与x轴无公共点
转化为
二次方程ax2+bx+c=0
无实根
挑战自我
一元二次方程根的判别式
b 4ac
2
已知抛物线 = + + ，当a,b,c满足
什么条件时，
（1）抛物线与x轴有两个公共点？ b²-4ac>0
和函数y＝k只有一个交点，函数y＝x2﹣2x﹣8，与y轴的交点为：（0，﹣8），
函数的顶点坐标为：（1，﹣9），故在0＜x＜5时，y＝x2﹣2x﹣8和函数y＝
九年级数学下册二次函数的图像与一元二次方程课件(新版)青岛版
与x轴的公共点的横坐标有什 么关系？ （5） 猜想一元二次方程的实 数根和抛物线与x轴公共点的 横坐标的关系?
探究二（6） 你能根据下列函数的图象，说出抛物 线与 x 轴的交点坐标吗？它与一元二次方程 的根有何关系？
(1)x2 6x 9 0
(2)x2 2x 3 0
y x2 6x 9
y x2 2x 3
A ﹥ B ﹤ C ＝ D 不确定
2、已知 b ²-4ac ﹤0，那么抛物线
y=ax ²+bx+c与x 轴有_____0___个公共点。
3、抛物线y=ax ²+bx+c 与x 轴的只有一个公 共点的坐标为（1,0），那么一元二次方程
ax²+bx+c=0的根为___x_1_____x_2__. 1
小试牛刀
一个公共点,求m的值.
若与x 轴有两个公共点呢 ？
若与x 轴有没有公共点呢 ？
巩固延伸
你能求出函数 y x2 的x 图6象与 x 轴的交点坐
标吗？
解：当y=0时，
x2 x6 0 解得：x1 3, x2 2
所以,函数 y x2 x 的6 图象与 x 轴的交
点坐标为（-3，0）和（2，0）.
5.6二次函数的图像 与一元二次方程
根据函数 y ax2 bx 的c图像填空
①开口方向确定a__<__0; b___<0 ②对称轴位置确定b__<__0; 2a ③与y轴交点坐标,确定c =___2_;
y
（0，2）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
④有最_大__值;在对称轴的右侧
y随x的增大而__减__小_;
⑤特殊的值所得到的特殊的式子:
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的
探究二（6） 你能根据下列函数的图象，说出抛物 线与 x 轴的交点坐标吗？它与一元二次方程 的根有何关系？
(1)x2 6x 9 0
(2)x2 2x 3 0
y x2 6x 9
y x2 2x 3
A ﹥ B ﹤ C ＝ D 不确定
2、已知 b ²-4ac ﹤0，那么抛物线
y=ax ²+bx+c与x 轴有_____0___个公共点。
3、抛物线y=ax ²+bx+c 与x 轴的只有一个公 共点的坐标为（1,0），那么一元二次方程
ax²+bx+c=0的根为___x_1_____x_2__. 1
小试牛刀
一个公共点,求m的值.
若与x 轴有两个公共点呢 ？
若与x 轴有没有公共点呢 ？
巩固延伸
你能求出函数 y x2 的x 图6象与 x 轴的交点坐
标吗？
解：当y=0时，
x2 x6 0 解得：x1 3, x2 2
所以,函数 y x2 x 的6 图象与 x 轴的交
点坐标为（-3，0）和（2，0）.
5.6二次函数的图像 与一元二次方程
根据函数 y ax2 bx 的c图像填空
①开口方向确定a__<__0; b___<0 ②对称轴位置确定b__<__0; 2a ③与y轴交点坐标,确定c =___2_;
y
（0，2）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
④有最_大__值;在对称轴的右侧
y随x的增大而__减__小_;
⑤特殊的值所得到的特殊的式子:
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的
青岛版初中数学九年级下册《二次函数的图象与一元二次方程》教学ppt课件
x
-1
-0.5
0
y
2
-0.25
-2
由于当x=-1时，y＞0，当x=-0.5时，y＜0，所以方程的根 在-1和-0.5之间。
可再将-1和-0.5之间分为5等份，每个分点作为 x值，利用计算器求出所对应的函数值，列表：
x -1.0 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5
y
2 1.51 1.04 0.59 0.16 -0.25
例2 用图象法讨论一元二次方程x2-2x+3=0的根。
解：
y
（1）画出抛物线y=x2-2x+3 （2）由于图象与x轴没有公共点， 所以一元二次方程x2-2x+3=0没有 实数根
x
y
x
抛物线y=ax2+bx+c 与x轴无公共点
转化为 转化为
二次方程ax2+bx+c=0 无实根
广角镜
一元二次方程根的判别式
对于一元二次方程 ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）， ①
由于一元二次方程的根的个数由代数式b2-4ac的符号决
定，因此把b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通
常用希腊字母 表示，即 =b2-4ac
具体来说，一元二次方程的根有三种情况：
（1）当 ＞0时，方程①有两个不相等的实数根； （2）当 ＝0时，方程①有两个相等的实数根； （3）当 ＜0时，方程①没有实数根。
y=x2-2x-3
1 y=x2-x+
4
抛物线y=ax2+bx+c与x轴公共点的横坐标， 恰为一元二次方程ax2+bx+c=0的实根。
若一元二次方程ax2+bx+c=0有实根，则 抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，且 公共点的横坐标是这个一元二次方程的实根。
青岛版九年级数学下册《二次函数的图像与性质》PPT课件(3篇)
1、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的 顶点移到原点，则下列平移方法正确 的是（ C ） A、向上平移2个单位 B、向下平移2个单位 C、向左平移2个单位 D、向右平移2个单位
2、抛物线y=4（x-3）2的开口方向 向上 ， 对称轴是 直线x=3，顶点坐标 是 （3，0） ，抛物线是最 低 点， 当x= 3 时，y有最 小 值，其值为 0 。 抛物线与x轴交点坐标 （3，0） ，与y轴交 点坐标 （0，36）。
2
2个单位
y 1 x2 2
向右-1 平移 y 1 (x 2)2
2个-2 单位
2
顶点(－2,0)
向左平移 2个单位
顶点(0,0)
向右-3 平移 2个-4 单位
顶点(2,0)
直线x=－2
向左平移对称轴:y轴 向右平移 2个单位即直线: x=0 2个单位
直线x=2
一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
得到，当c<0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图
象向 下 平移 |c| 个单位得到，顶点是(0,c)，对
称轴是y轴，抛物线的开口方向由a的符号决定
y 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
上加下减
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向上 平移5 个单位得到；y=4x2-11的图象 可由 y=4x2的图象向下 平移11个单位得到。
（4）抛物线y=7x2-3的开口 上 ，对称轴是y轴 ， 顶点坐标是 (0,-3) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 -3 。
九年级数学下册56二次函数的图像与一元二次方程课件2新版青岛版
学习目标
（1）会求二次函数图象与坐标轴的 交点坐标；
（2）会利用二次函数的图象求一元 二次方程的近似解 ,通过利用图象求一 元二次方程近似解的过程，感悟转化 和数形结合的思想，发展估算能力。
1.函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的图象如图，
与x轴的公共点有 __2__个。
y
当y=_0___时，可求出公共点的
?
.
3x2
?
x?
10 与x轴的交点
2 . 如果关于 x的一元二次方程 x2－2x+m=0有
两个相等的实数根，此时抛物线 y=x2－2x+m
与x轴有＿1 个交点.若其交点的横坐标为 1，那么
一元二次方程 x2－2x+m=0的根是
ｘ１＝ｘ２＝１
＿
３.根据下列表格的对应值 :
x
3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x 的范围是（ C ）
A. 3< x < 3.23
B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 < x< 3.25 D. 3.25 < x< 3.26
4.利用二次函数的图象讨论 一元二次方程 x2+2x－10=0的根
练一练：
1、抛物线 y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点的坐标分 别为（-1,0）、（-5,0），那么一元二次方程 ax2+bx+c=0的根为__x_1_?__?_1_,_x_2__? _?_5.
2、一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根分别为 -3和-5，则二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x轴交点坐 标为__(_?__3_,_0_)_, _(_?__5_,_0__) _.
（1）会求二次函数图象与坐标轴的 交点坐标；
（2）会利用二次函数的图象求一元 二次方程的近似解 ,通过利用图象求一 元二次方程近似解的过程，感悟转化 和数形结合的思想，发展估算能力。
1.函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的图象如图，
与x轴的公共点有 __2__个。
y
当y=_0___时，可求出公共点的
?
.
3x2
?
x?
10 与x轴的交点
2 . 如果关于 x的一元二次方程 x2－2x+m=0有
两个相等的实数根，此时抛物线 y=x2－2x+m
与x轴有＿1 个交点.若其交点的横坐标为 1，那么
一元二次方程 x2－2x+m=0的根是
ｘ１＝ｘ２＝１
＿
３.根据下列表格的对应值 :
x
3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x 的范围是（ C ）
A. 3< x < 3.23
B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 < x< 3.25 D. 3.25 < x< 3.26
4.利用二次函数的图象讨论 一元二次方程 x2+2x－10=0的根
练一练：
1、抛物线 y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点的坐标分 别为（-1,0）、（-5,0），那么一元二次方程 ax2+bx+c=0的根为__x_1_?__?_1_,_x_2__? _?_5.
2、一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根分别为 -3和-5，则二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x轴交点坐 标为__(_?__3_,_0_)_, _(_?__5_,_0__) _.
青岛版九年级数学下册第五章《二次函数的图像与一元二次方程》公开课课件1
y=x²-x+1/4
你知道吗？
(6)一般的，如果一元二次方程ax²+bx+c=0有实根，那么该 方程的实根与二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的公共点的 横坐标有什么关系？
我总结我快乐
如果一元二次方程ax²+bx+c=0有实根， 那么二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴有 公共点，且公共点的横坐标是这个一元 二次方程的实数根；反之，如果二次函 数y=ax²+bx+c的图像与x轴有公共点，那 么公共点的横坐标就是一元二次方程 ax²+bx+c=0的实数根。
同学们, 再见!
学以致用
挑战自我
已知抛物线y=ax²+bx+c ，当a、b、c 满足什么条件时， (1)抛物线与x轴有两个公共点？
a ≠0且 b²-4ac＞0 (2)抛物线与x轴只有一个公共点？
a ≠0且 b²-4ac=0 (3)抛物线与x轴没有公共点？
a ≠0且 b²-4ac ＜0
我要成功
1、求二次函数y=2x²-4x-1的图像与x轴的公共点的 坐标 2、利用二次函数的图像求一元二次方程x²-8x+6=0 的近似解？（精确到0.1） 3、判断下列二次函数的图像与x轴是否有公共点， 如果有，有几个公共点？ (1) y=-1/4x²+4x-1 (2) y=x²+x+2 (3) y=x²-3x-4
小结
二次函数y=ax²+bx+c与一元二次方程
ax²+bx+c=0关系：
△=b²-4ac≥0
一元二次方程ax²+bx+c=0有
实数根
抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交
你知道吗？
(6)一般的，如果一元二次方程ax²+bx+c=0有实根，那么该 方程的实根与二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的公共点的 横坐标有什么关系？
我总结我快乐
如果一元二次方程ax²+bx+c=0有实根， 那么二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴有 公共点，且公共点的横坐标是这个一元 二次方程的实数根；反之，如果二次函 数y=ax²+bx+c的图像与x轴有公共点，那 么公共点的横坐标就是一元二次方程 ax²+bx+c=0的实数根。
同学们, 再见!
学以致用
挑战自我
已知抛物线y=ax²+bx+c ，当a、b、c 满足什么条件时， (1)抛物线与x轴有两个公共点？
a ≠0且 b²-4ac＞0 (2)抛物线与x轴只有一个公共点？
a ≠0且 b²-4ac=0 (3)抛物线与x轴没有公共点？
a ≠0且 b²-4ac ＜0
我要成功
1、求二次函数y=2x²-4x-1的图像与x轴的公共点的 坐标 2、利用二次函数的图像求一元二次方程x²-8x+6=0 的近似解？（精确到0.1） 3、判断下列二次函数的图像与x轴是否有公共点， 如果有，有几个公共点？ (1) y=-1/4x²+4x-1 (2) y=x²+x+2 (3) y=x²-3x-4
小结
二次函数y=ax²+bx+c与一元二次方程
ax²+bx+c=0关系：
△=b²-4ac≥0
一元二次方程ax²+bx+c=0有
实数根
抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交
最新青岛版九年级数学下册精品课件-5.6 二次函数的图象与一元二次方程(1)
y(米） 40
10
O 1 2 3 4 x(百米）
随堂练习
1. 方程 x2＋4 x－的5根＝是0
y＝x2＋4 x－的5图像与x轴的交点有
是（-5，0）、（1，0） ．
；－则5函，数1 个，其坐2标
2. 方程 x2＋10 x－的2根5＝是0
；则函数
的图像与x轴y的＝交－点x有2＋_ 10 x个－，2其5坐标是
抛物线，如果不考虑空气的阻力，某次球的飞行高
度 y（单位：米）与飞行距离 x（单位：百米）满
足二次函数 ：y＝ －5x2 ＋ 20x，这个球飞行的水
平距离最远是多少米？y(米）
10
A
o 1 2 3 4 x(百米）
探究活动
y＝x2 ＋ 2x
图象与x轴有2个交点：
(－2，0) (0，0)
x2＋2x＝0
③没有交点． 当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量 x 的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根．
归纳总结
抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况 说明：
1.b2－4ac＞0 2. b2－4ac＝0
． 1
（5，0）
3.下列函数的图像中，与x轴没有公共点的是（ ）
D
A. y＝x2－2
B. y＝x2－x
C. y＝ x2＋6 x－9
D. y＝x2－x＋2
5.6 二次函数的图象与一元二次方程 （1）
知识回顾
（1）解一元一次方程x＋1＝0；
（2）画一次函数y ＝x ＋1的图像，并指出函数y ＝
x ＋1的图像与x轴有几个交点；
10
O 1 2 3 4 x(百米）
随堂练习
1. 方程 x2＋4 x－的5根＝是0
y＝x2＋4 x－的5图像与x轴的交点有
是（-5，0）、（1，0） ．
；－则5函，数1 个，其坐2标
2. 方程 x2＋10 x－的2根5＝是0
；则函数
的图像与x轴y的＝交－点x有2＋_ 10 x个－，2其5坐标是
抛物线，如果不考虑空气的阻力，某次球的飞行高
度 y（单位：米）与飞行距离 x（单位：百米）满
足二次函数 ：y＝ －5x2 ＋ 20x，这个球飞行的水
平距离最远是多少米？y(米）
10
A
o 1 2 3 4 x(百米）
探究活动
y＝x2 ＋ 2x
图象与x轴有2个交点：
(－2，0) (0，0)
x2＋2x＝0
③没有交点． 当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量 x 的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根．
归纳总结
抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况 说明：
1.b2－4ac＞0 2. b2－4ac＝0
． 1
（5，0）
3.下列函数的图像中，与x轴没有公共点的是（ ）
D
A. y＝x2－2
B. y＝x2－x
C. y＝ x2＋6 x－9
D. y＝x2－x＋2
5.6 二次函数的图象与一元二次方程 （1）
知识回顾
（1）解一元一次方程x＋1＝0；
（2）画一次函数y ＝x ＋1的图像，并指出函数y ＝
x ＋1的图像与x轴有几个交点；
青岛版九年级数学下册二次函数的图象与一元二次方程课件
一元二次方程ax2 ＋ bx＋c＝0有两个不等的实数根． 抛物线y=ax2 ＋ bx ＋ c 与x轴有两个交点．
一元二次方程ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 有两个相等的实数根． 抛物线y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c与x轴有唯一公共点．
3. b2－4ac＜0
一元二次方程ax2 ＋ bx ＋ c＝0 没有实数根． 抛物线y＝ax2 ＋ bx ＋ c与x轴没有公共点．
y(米） 40
10
O 1 2 3 4 x(百米）
随堂练习
1. 方程 x2＋4x－ 的5根＝ 是0
；－则5函，数1
y＝x2＋4x－ 的5图像与x轴的交点有
是（-5，0）、（1，0） ．
个，其坐2标
2. 方程 x2＋ 10x－ 的2 根5＝ 是0 的图像与x轴y的＝ 交－ 点x有2＋ _ 10x个－ ，2其5坐标是
二次函数与一元二次方程
y＝x2＋2x (－2,0) (0,0)
x2＋2x＝0 x1＝－2 ，x2＝ 0
y＝x2－2x＋1 (1,0)
x2－2x＋1＝0 x1＝x2 ＝1
y＝x2－2x＋2 图象与x轴没有交点．
x2－2x＋2＝0
没有实数根．
归纳总结
二次函数与一元二次方程
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况： ①有两个交点， ②有一个交点，
5.6 二次函数的图象与一元二次方程 （1）
知识回顾
（1）解一元一次方程x＋1＝0；
（2）画一次函数y ＝x ＋1的图像，并指出函数y ＝
x ＋1的图像与x轴有几个交点；
（3）一元一次方程x ＋1＝ 0与一次函数y ＝x ＋1有
什么联系？
3y
2
1
青岛版九年级数学下册《二次函数的图像与一元二次方程》ppt课件
（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
20 h
(2)解方程
20=20t-5t2，
O
2
t
t2-4t+4=0，
t1=t2=2 .
当球飞行2秒时，它的高度为20 m.
吗
第六页，共十九页。
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？
20.5 h
（3）解方程
20.5=20t+5t2，
O
t
t2-4t+4 .1 = 0 .
你能结合图形指
因为(-4)2-4×4.1<0,所以方程无 实数根. 出为什么球不能
球的飞行高度达不到20.5米
达到20.5m的高度?
第七页，共十九页。
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
h
（ 4） 解 方 程
0=20t- 5t2 ，
O
t
t2- 4t= 0 ，
t1=0, t2 =4 .
反过来，解方程x2-4x+3=0， 又可以看作已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值. 一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1，x2 ，则抛物线 y=ax2+bx+c与x 轴的交点坐标是(x1，0)，(x2，0).
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知识归纳
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程
D.-0.5
-0．5 -0.75
第十六页，共十九页。
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二 次方程ax2+bx+c=0的解是 x1=0，x2=.5
《二次函数》PPT课件2-青岛版九年级数学下册
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
（1）y=3(x-1)²+1
(2)y=x+
_1_ x
(3)s=3-2t² (5)y=_x1_²-x
(4)y=(x+3)²-x² (6)v=10πr²
说明:
判断一个函数是否是二次函数, 看它是否化简 成y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）的形式。
1、二次函数定义:一般地, 形如y=ax²+bx+c（a， b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。
2、判断一个函数为二次函数的方法与步骤: （1）先将函数进行整理, 使其右边是含自 变量的代数式, 左边是应变量; （2）判别含自变量的代数式是否为整式; （3）判别含自变量的项的最高次数是否为2; （4）判别二次项的系数是否为0。
y 1200x 2 2400x 1200
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式．
(a，b，c是常数，a≠0
)
定义:一般地, 形如y=ax²+bx+c(a，b，c是 常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数。其
中:a为二次项系数, b为一次项系数, c为常数 项注．意:
解：（1）a 0
(2)a 0,b 0
(3)a 0,b 0, c 0
1、下列函数中，（x,t是自变量），哪些是二 次函数？( C )
A y=ax2+bx+c
B y2=x2-4x+1
C y=x2
D y=2+ √x2+1
2、函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件 是( C ) A、m，n是常数，且m≠0 B、m，n是常数， 且n≠0 C、m，n是常数，且m≠n D、m，n为任何实
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2
（3）一元二次方程
定 义1
x2-x+ =0
4
有没有根？
如果有根，它的根是什么4 ？
。 一元二次方程x2
-
x
1 4
1
0的根是x1
x2
1. 2
1
（4）一元二次方程 x2-x+ 4 =0 的根和抛物线 y=x2-x+ 4
与x轴的公共点的横坐标有什么关系？ 相等
y=x2-2x-3
1 y=x2-x+
4
（4）一元二次方程x2-2x-3=0的 根和抛物线y=x2-2x-3 与x轴的 公共点的横坐标有什么关系?
分别计算x=0，x=-1，x=-0．5的函数
值，列表如下由：于在画图和观察过程中
x y
存在是误二差-次1,方程所根以的得-0近到．似的5值往往 0
2
-0．25
-2
由于当x=-1时，y＞0，当x=-0．5时，y＜0，所以方 程的根在-1和-0．5之间。
可再将-1和-0．5之间分为5等份，每个分点 作为x值，利用计算器求出所对应的函数值， 列表：
对于一元二次方程 ax2+bx+c=0（a, b, c为常数, a≠0）, ①
由于一元二次方程的根的个数由代数式b2-4ac的符号决
定, 因此把b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式,
通常用希腊字母 表示, 即 =b2-4ac
具体来说, 一元二次方程的根有三种情况:
（1）当 ＞0时, 方程①有两个不相等的实数根; （2）当 ＝0时, 方程①有两个相等的实数根; （3）当 ＜0时, 方程①没有实数根。
＜0
课堂小结:
3、利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
当堂检测:
1、二次方程x2+x-6=0的两根为x1=-3, x2=2, 则二次函数y=x2+x-6的图象与x轴公共点的坐标 为（-3，0），（2， 。 2、0）如果关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有 两个相等的实数根, 则m= 1 , 此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有 1 个公共点。
抛物线y=ax2+bx+c 与x轴有公共点
转化为 转化为
二次方程ax2+bx+c=0 有实根
画抛物线y=x2-3x-2, 判断一元二次方程 x2-3x-2=0根的情况。
例1
用图象法讨论一元二次方程x2-3x-2=0的根（精确到0．1）
解:
（1）画抛物线y=x2-3x-2．
（2）由图象可知，在-1与0 之间以 及 3与4之间各有一个根．
二次函数的图象与 一元二次方程
学习目标
1．探索抛物线与x轴的交点横坐标和一元 二次方程的根的关系, 体会方程与函数的 密切关系； 2．学会用图像法求一元二次方程近似根 ；
观察抛物线y=x2-2x-3, 思考 下面的问题:
．．
（1）抛物线与x轴有几个公共点? 公共点的坐标分别是什么?
抛物线与x轴有两个公共点（-。1，0)，（。3，
2、根据二次函数的系数, 判断它的图象与x轴的位置关系。
二次函数 y=ax2+bx+c的图象
二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴的公共点 的个数
二次方程 ax2+bx+c=0的根
二次方程 ax2+bx+c=0的 根的判别式
两个公共点 有两个不等实 根
＞0
一个公共点 有两个相等实根 ＝0
没有公共点 没有实根
x2-3x-2=0较大根 的近似值吗?试试看！
同样的, 可以求出一元二次方程x2-3x-2=0的较大 根的近似值, 列表如下:
x 3． 3． 3． 3．7 3．8 3．9 4．0 y 0-2 -50．25 06．16 0．59 1．04 1．51 2
由上表可见，方程的较大根在3．5和3．6之间， 所以可以将3．5或3．6看作二次方程x2-3x-2=0 较大根的近似值，即二次方程x2-3x-2=0的较大 根为x≈3．5或x≈3．6
x -1．0 -0．9 -0．8 -0．7 -0．6 -0．5
y
2 1．51 1．04 0．59 0．16-0．25
可以看出，这个根在-0．6和-0．5之间，由于本题 要求精确到0．1，所以可以将-0．6或-0．5看作二 次方程
x2-3x-2=0较小根的近似值, 即二次方程x2-3x-2=0 的较小根为x≈-0．6或x你≈-能0求．出5二次方程
观察抛物线
1 y=x2-x+
，思考
4
下面的问题：
．
（1）抛物线与x轴有几个公共点?
交点的坐标分别是什么?
意 义 。 抛物线y x2 - x 1 与x轴的交点坐标是（1 数
y=x2-x+
1 4
2
的值是0？
当x 1 时，函数y的值是0. 即x2 - x 1 0.
（2）0）当。x取何值时, 意函数义y=x2-2x-3的值是0?
当x=-1，x=3时，函数y的值是0．即x2-2x-3=0。 （3）一元二次方程x定2-2x义-3=0有没有根?
。 。 如果有根, 它的根是什么?
一元二次方程x2-2x-3=0的根是x1=-1，x2=3,
（4）一元二次方程x2-2x-3=0的根和抛物线y=x2-2x-3 与x轴的公共点的横坐标有相什等么关系?
抛物线y=ax2+bx+c 与x轴有公共点
转化为 转化为
二次方程ax2+bx+c=0 有实根
二次方程ax2+bx+c=0
的根的判别式 ≥ 0
抛物线y=ax2+bx+c 与x轴无公共点
转化为 转化为
二次方程ax2+bx+c=0 无实根
二次方程ax2+bx+c=0
的根的判别式 ＜0
课堂小结:
1、二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程 ax2+bx+c=0的关系。
（ 的 公4根 共）和 点一抛 的元物 横二线 坐次标y方=有x程2-什x+x么214-x关与+ 14系x=轴0?的
通过刚才解答的问题, 你能得到什么样的结论?
y=x2-2x-3
1 y=x2-x+
4
抛物线y=ax2+bx+c与x轴公共点的横坐标, 恰为一元二次方程ax2+bx+c=0的实根。
若一元二次方程ax2+bx+c=0有实根, 则 抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点, 且 公共点的横坐标是这个一元二次方程的实根。
例2
用图象法讨论一元二次方程x2-2x+3=0的根。
解:
y
（1）画出抛物线y=x2-2x+3 （2）由于图象与x轴没有公共点, 所以一元二次方程x2-2x+3=0没有 实数根
x
y
x
抛物线y=ax2+bx+c 与x轴无公共点
转化为 转化为
二次方程ax2+bx+c=0 无实根
广角镜
一元二次方程根的判别式