导数及其应用复习课件(1)
人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第六章 导数及其应用 第1课时 导数与函数的极值
函数f(x)的零点即方程f(x)=0的解,也就是方程x3-3x2=a的解,f(x)的零点个数
为直线y=a与曲线y=x3-3x2的公共点个数,易知函数y=x3-3x2的极大值为0,极
小值为-4(如图所示).
故当a>0或a<-4时,函数f(x)恰有一个零点.
【变式训练2】 若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值 -4 .
答案:D
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)函数的极大值一定大于极小值.( × )
(2)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的.( × )
(3)可导函数f(x)在区间(a,b)内一定有极值.( × )
(4)若函数f(x)在区间(a,b)内有极值,则方程f'(x)=0在区间(a,b)内一定有
极值点与极值
1.如图,函数y=f(x)在点x=d,e,f,g,h,i处的函数值与这些点附近的函数值有什
么关系?y=f(x)在这些点处的导数值是多少?在这些点附近,y=f(x)的导数的
符号有什么规律?
提示:以d,e两点为例,函数y=f(x)在点x=d处的函数值f(d)比在点x=d附近其
他点的函数值都小,f'(d)=0,在x=d附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0.类似地,函
1
5
9
经检验,a=4,b=-2符合题意.故 a+b=-4.
9
答案:-4
随堂练习
1.已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f'(x)在区间(a,b)内的图象如图所示,
则函数f(x)在区间(a,b)内的极小值点有(
高考数学一轮总复习第三章导数及应用1导数的概念及运算课件理
(2)求过点 P 的曲线的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标 P′(x1，f(x1))； 第二步，写出过 P′(x1，f(x1))的切线方程为 y－f(x1)＝f′ (x1)(x－x1)； 第三步，将点 P 的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出 x1； 第四步，将 x1 的值代入方程 y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过 点 P(x0，y0)的切线方程．
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(5)y＝－lnx＋e－2x,∴y′＝－1x＋e－2x·(－2x)′＝－1x－2e－2x. 【答案】 (1)y′＝24x3＋9x2－16x－4 (2)y′＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2 (3)y′＝x2＋x（1－x2＋2x12·）l2nx (4)y′＝2sin(4x＋23π) (5)y′＝－1x－2e－2x
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2．计算： (1)(x4－3x3＋1)′＝________； (2)(ln1x)′＝________； (3)(xex)′＝______； (4)(sinx·cosx)′＝______． 答案 (1)4x3－9x2 (2)－xln12x (3)ex＋xex (4)cos2x
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为 k1，k2，则 k1，k2 的大小关系为( )
A．k1>k2
B．k1<k2
C．k1＝k2
D．不确定
答案 A
解析 ∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.
π k1＝cos0＝1，k2＝cos 2 ＝0，∴k1>k2.
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5．(2018·陕西检测)已知直线 y＝－x＋m 是曲线 y＝x2－3lnx
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题型二 导数的基本运算
求下列函数的导数： (1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)； (3)y＝x2ln＋x1； (5)y＝ln1x＋e－2x.
《导数及其应用》课件(复习课
存在性：在闭区间[a，b]上连续函 数f(x)在[a，b]上必有最大值与最 小值．
求最大（小）值的方法：函数f(x)在闭区间[a，b]上最值求 法：
1. 求出f(x)在(a，b)内的极值； 2. 将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中较大的一个是最大值，
较小的一个是最小值.
例 6(05 北京 15)已知函数 f x x3 3x2 9x a . （Ⅰ）求 f x 的单调递减区间； （Ⅱ）若 f x 在区间2, 2 上的最大值为 20,求它在该
（II）由（I）知，
f
(x)
3mx2
6(m
1) x
3m
6
= 3m( x
1)
x
1
2 m
当 m 0 时,有1 1 2 ,当 x 变化时, f (x) 与 f (x) 的变化如下表： m
x
,1
2 m
1 2 m
1
2 m
,1
1
1,
f (x)
0
0
f (x)
极小值
极大值
故由上表知,当
m
0 时,
f
解： f/(x)=3x2－ 1，
∴k= f/(1)=2
∴所求的切 线方程为：
y－2=2(x －1),
即 y=2x
例1．已经曲线C：y=x3x+2和点(1,2)求在点A处 的切线方程？
变式1：求过点A的切线方程？
解：变1：设切点为P（x0，x03－x0+2）， k= f/(x0)= 3 x02－1，
∴切线方程为 y－ ( x03－x0+2)=(3 x02－1)(x－x0)
又∵切线过点A(1,2) ∴2－( x03－x0+2)=( 3 x02－1)(1－x0) 化简得(x0－1)2(2 x0+1)=0，
导数的应用-单调性nbsp新课件[1].1
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课后作业
P78习题3.3第1、2题
思考题: 函数f(x)=2x3－6x2+7 能不能画
出该函数的草图？
小结:
1.学习函数导数与单调性的关系．首先要确定函 数的定义域，再通过讨论导数的符号来判断函数 的单调区间，或证明函数的单调性． ２.利用导数的符号来判断函数的单调区间，是导 数几何意义在研究曲线变化规律的一个应用，它 充分体现了数形结合的思想． ３.掌握研究数学问题的一般方法： 从特殊到一般；从简单到复杂。
导数在研究函数中的应用
—单调性
分析：从图形看 若函数在区间(a,b)内单调递增，我们 发现在（a，b）上切线的斜率为正，即 在（a，b）内的每一点处的导数值为正
若函数在区间(a,b)内单调递减，发 现在（a，b）上切线的斜率为负，即 在(a,b)内的每一点处的导数值为负，
一般地， 设函数y＝f（x）在区间上可导，
例2、确定函数f(x)=sinx在x∈（０,２π） 上的单调减区间 解: f’(x)=cosx 令f’(x)＜０由cosx ＜０, 又x∈（０ , ２π） ∴x∈（ π／2, 3π／2） 所以函数f(x)单调减区间 是（ π／2 , 3π／2）
例３、若函数f(x)=ax3-x2+x-5(a≠0) 在Ｒ上单调递增,求a取值范围.
1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f（x） 为该区间上的增函数，
2)如果在某区间上f′(x)<0，那么f（x） 为该区间上的减函数。
y
y=f(x)
y
y=f(x)
o
a
b
x
o a
bபைடு நூலகம்
x
思考:上述结论的逆命题正确吗? 观察三次函数y=x3的图象； 一般地,设函数y=f(x)在某个区间内 可导,则函数在该区间 如果f(x)为增函数, 则 f′(x) ≥0. 如果f(x)为减函数, 则 f′(x) ≤0. 注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,
导数的应用复习PPT课件
解：
f ( x)＝6x 2 12ax
2 令f ( x) 0,即6x 12ax 0
即x( x 2a) 0
(1)当2a 0时,即a 0, 则0 x 2a
所以f ( x)的单调减区间为（0， 2a )
（2）当2a 0时,即a 0, 则2a x 0
所以f ( x)的单调减区间为（2a， 0)
练习3、（浙江卷）设/(x)是函数(x)的导函
y
数 ,y=/(x) 的图象如右图所示 , 则 y=(x) 的图 象最有可能的是 ( )
y y
y=f'(x)
O
1
2
x
O
1
2
x
O
1
2
x
y
(A)
2 1
y
(B)
O
x
1
2
x
(C)
(D)
例2:已知函数f（x）=ax3+3x2-x+1在R上是减函 数，求实数a的取值范围 .
导数主要有哪 些方面的应用?
1、求函数在某点的切线方程 2、判断单调性、求单调区间 3、求函数的极值 4、求函数的最值
…
应用一、判断单调性、求单调区间
函数的导数与函数的单调性之间的关系？
（1）定义法（2） 判断函数单调性的常用方法： 导数法
要点·疑点·考点
一般地，设函数y＝f（x），
1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f（x） 为该区间上的增函数， 2)如果在某区间上f′(x)<0，那么f（x） 为该区间上的减函数。
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其 附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所 有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是 函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0 附近所有各点的函数值都小，我们就 说f(x0)是函数的一个极小值。 极大值与极小值统称为极值.
高考数学专题复习《导数的综合应用》PPT课件
(1)∀x∈D,f(x)≤k⇔f(x)max≤k;∃x∈D,f(x)≤k⇔f(x)min≤k;
(2)∀x∈D,f(x)≤g(x) ⇔f(x)max≤g(x)min;∃x∈D,f(x)≤g(x) ⇔ f(x)min≤g(x)max.
4.含两个未知数的不等式(函数)问题的常见题型及具体转化策略
(+1)ln
H(x)=
,则
-1
1
=
--2ln
(-1)
2
,
2 -2+1
K'(x)= 2 >0,于是
K(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以 K(x)>K(1)=0,于是 H'(x)>0,从而 H(x)在(1,+∞)上单调递增.由洛必达法
(x+1)x
则,可得 lim+
x-1
→1
取值范围是(-∞,2].
第三章
高考大题专项(一) 导数的综合应用
内
容
索
引
01
突破1
利用导数研究与不等式有关的问题
必备知识预案自诊
关键能力学案突破
02
突破2
利用导数研究与函数零点有关的问题
必备知识预案自诊
关键能力学案突破
【考情分析】
从近五年的高考试题来看,对导数在函数中的应用的考查常常是一大一小
两个题目,其中解答题的命题特点是:以三次函数、对数函数、指数函数及
(1)∀x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最小值>g(x)在[c,d]上的
最大值.
(2)∃x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最大值>g(x)在[c,d]上的
导数的概念-课件-导数的概念(第一课时)
总结导数的理论知识和实 际应用，鼓励学生深入学 习和探索导数。
小结
1 本次课程的重点
总结本次课程的重点内容，帮助学生加深对导数概念的理解。
2 理解和应用
P强调学生对导数的理解和应用，鼓励他们练习导数的求法和应用方法。
导数的概念-课件-导数的 概念(第一课时)
导数的概念-课件-导数的概念(第一课时) 大纲
引言
1 重要性
深入讲解导数的重要性，为学生明确学习目标。
2 概念的含义
引导学生思考导数概念的含义，激发他们对导数的兴趣。
导数的定义
1 定义及公式
详细讲解导数的定义及公式，帮助学生掌握导数的基本概念。
2 导数与函数的关系
讲解导数对函数的单调性的影响，帮助学生分析 函数图像。
求导法则
简要介绍常数函数、幂函数、指数函数、对数函 数及三角函数的求导法则。
应用
1 使用导数求函数极值 2 其它应用领域
3 理论与实际应用
教授使用导数求函数极值 的方法，帮助学生应用导 数解决实际问题。
介绍导数在其他领域的应 用，引发学生对导数的更 多思考。
解释导数与函数的关系，帮助学生理解导数在函数中的应用。
3 使用举例解释
通过举例解释导数的定义，让学生更好地理解导数的具体应用。
导数的性质
可加性和可乘性
介绍导数的可加性和可乘性，帮助学生理解导数 在数学运算中的灵活性。
图形意义
解释导数在图形上的意义，让学生从图像中探索 导数
导数及其应用(复习课)
导数及其应用复习课【本章知识回顾】一、导数的概念1．函数)(x f 在区间[]21,x x 上的平均变化率为_______（平均变化率反映了曲线的陡峭程度）2．设点Q 为曲线C 上不同于点P 的一点，则直线PQ 称为曲线的割线．当点Q 沿曲线C 向点P 无限逼近时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 就称为曲线在点P 处的切线．3．设物体的位移S 与时间t 满足)(t S S =，则物体在0t t =时刻的瞬时速度就是位移对于时间的瞬时变化率，即______________________；物体在0t t =时刻的瞬时加速度就是速度对于时间的瞬时变化率，即____________________________．４．（１）导数—函数在某一点处的瞬时变化率，函数)(x f 在0x x =处的导数，记为_____， （２）导数)(0x f '的几何意义是_________________________________________________． （３）辨析下列符号：)(x f '，)(0x f '，[]')(0x f ，)3(0+'x f二、导数的运算１．常见函数的导数： )(x f)(x f ' 幂函数αx y =指数函数x a y =（0a >且1a ≠）对数函数x y a log =（0a >且1a ≠）x e y =x y ln =正弦函数x y sin =余弦函数x y cos =２．函数的和、差、积、商的导数（1）[]_________________________)()(='±x g x f ；（2）[]___________________________)()(='⋅x g x f ； （3）_______________________)()(='⎥⎦⎤⎢⎣⎡x g x f ． ３．复合函数的导数：如何求复合函数()y f ax b =+的导数？①________________②___________________③__________________________．三、导数在研究函数中的应用１．单调性：①函数单调性与导数的关系：① 如何求函数)(x f y =的单调区间？______________________________________________________________________________；②若函数)(x f y =在区间D 上为增函数，则_______________________________________；若函数)(x f y =在区间D 上为减函数，则_________________________________________．２．极值：（１）利用导数求函数极值的步骤：______________________________________（２）“0)(0='x f ”是“函数)(x f y =在0x x =处有极值”的___________________条件．３．函数的最值：如何利用导数求函数)(x f y =的最值？______________________________________________________________________________；【知识形成训练】1．若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为 ．2．设P 为曲线2:1C y x x =-+上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[1,3]-，则点P 纵坐标的取值范围是______________． ３．函数1ln 1ln x y x-=+的导数为____________________． 4．设))(()(,),()(),()(,sin )('1'12'010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈====+ ，则=)(2012x f .5．函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则=a _______．6．函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值和最小值分别是_________________．7．函数x x x f ln )(-=的单调减区间为_________________．8．已知函数)0(1)1(3)(223>+-+-=k k x k kx x f ，若)(x f 的单调减区间是[]0,4，则实数k 的值为 .9．已知函数()x x mx x f 2ln 2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为_______．10.已知函数)(x f x y '=的图象如图所示,下面四个图象中)(x f y =的图象大致是_____11．设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3．（1）求)(x f 的极值；（2）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围；（3）已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立，求实数k 的取值范围．12．已知32()2f x ax bx x c =+-+在2x =-时有极大值6，在1x =时有极小值．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小值．13．已知函数2()ln f x a x x =+，a R ∈．（1）若2a =-，求证：函数()f x 在(1,)+∞上是增函数；（2）求函数()f x 在[]1,e 上的最小值及相应的x 值；（3）若存在[]1,x e ∈，使得()(2)f x a x ≤+成立，求实数a 的取值范围．14．设函数d cx bx x a x f +++=43)(23的图象关于原点对称，)(x f 的图象在点p （1，m ）处的切线的斜率为—6，且当2=x 时)(x f 有极值。
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第1课时 函数及其表示精品课件
结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 奇偶性
知识点
指数与指 数函 数
对数与对 数函 数
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1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运
算．
3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性与指数函数图象通 过的特殊点．
4.知道指数函数是一类重要的函数模型．
• 4．函数的表示法： 解析法 、
图象法 、 列表法 ．
• 5．分段函数 • 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系不 同 而 分 别 用 几 个 不
同的式子来表示．这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组 成，但它表示的是 一个 函数．
1．函数y＝ x－1＋ln(2－x)的定义域是( )
• 1．求函数定义域的步骤
• 对于给出具体解析式的函数而言，函数的定义域就是使函数解析式有
意义的自变量x取值的集合，求解时一般是先寻找解析式中的限制条 件，建立不等式，再解不等式求得函数定义域，当函数y＝f(x)由实际 问题给出时，注意自变量x的实际意义．
• 2．求抽象函数的定义域时：
• (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出．
(3)在f(x)＝2f1x x－1中，用1x代替x， 得f1x＝2f(x) 1x－1， 将f1x＝2fxx－1代入f(x)＝2f1x x－1中， 可求得f(x)＝23 x＋13.
• 【变式训练】 2.(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)； • (2)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的
知识点
考纲下载
1.了解构成函数的要素；了解映射的概念．
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件
1．(2021·江苏沭阳高级中学模拟)2020 年 12 月 1 日 22 时 57 分，嫦娥 五号探测器从距离月球表面 1500 m 处开始实施动力下降，7500 牛变推力发 动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约 1500 m/s 降为零.12 分钟后， 探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为 v，相对 月球纵向速度的平均变化率为 a，则( )
复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系
为
□18 y′x＝y′u·u′x
，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对
x 的导数的乘积．
1．f′(x0)与 x0 的值有关，不同的 x0，其导数值一般也不同. 2．f′(x0)不一定为 0，但[f(x0)]′一定为 0. 3．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周 期函数的导数还是周期函数． 4．函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反 映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这 点处的切线越“陡”.
(c 为常数).
(3)gf（（xx））′＝ □16 f′（x）g（[xg）（－x）f（]2x）g′（x）
(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过变量 u，y 可以表示
成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的复合函数，记 作 □17 y＝f(g(x)) ．
A．v＝2152 m/s，a＝2152 m/s2 B．v＝－2152 m/s，a＝－2152 m/s2 C．v＝－2152 m/s，a＝2152 m/s2 D．v＝2152 m/s，a＝－2152 m/s2
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（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：y y0 f (x0 )( x x0 ) ，
如果曲线 y f (x) 在点 P(x0 , f (x0 )) 的切线平行于 y 轴（此时导数不存在）时，由切线定
说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出 P 点的坐标; 此②，求曲出线函y数在f 点(x)x在0 处点的P(变x0化, f率(xf0 )()x处0 )的切lixm线0方f (程x0可如下xx)求 得f (：x0) k 得 到 曲 线 在 点
(x（0 ,1f）(x求0 )出) 的函切数线y的斜f率(x;) 在点 x x0 处的导数，即曲线 y f (x) 在点 P(x0 , f (x0 )) 处
导数 个自变量的差.
Vx x 0
例1已知f
x0
2, 求 lim k 0
f
x0
1k 2
k
f
x0
_________
lim 解 : f x0
x 0
f
x0
(
1 2
k
)
-1k
f
x0
-2 ,
x
1 2
k
2
lim k0
f
x0
1k 2
k
f
x0
1 2
lim k0
f
x0
1 k 2 -1k
例2．已经曲线C：y=x3－x+2和点P(1,2) 求在点P处的切线方程？
解：f/(x)=3x2－1， ∴k= f/(1)=2 ∴所求的切线方程为： y－2=2(x－1), 即 y=2x
例2．已经曲线C：y=x3－x+2和点(1,2),求在点A 处的切线方程？
变式：求过点A的切线方程？
解：设切点为P（x0，x03－x0+2）， k= f/(x0)= 3 x02－1， ∴切线方程为 y－ ( x03－x0+2)=(3 x02－1)(x－x0) 又∵切线过点A(1,2)
平均变化率为:(
y
Vy f(x2 ) f (x1)
Vx
x2 x1
2.函数的瞬时变化率
f(x2)
B
f(x2)-f(x1)=△y
f(x1) O
A x2-x1=△xx
x1
x2
lim Vf (x) lim f(x2 ) f (x1)
Vx x 0
x2 x1
x2 x1
分母是分子中两
lim Vf (x) f ' (x)
1．导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量
x以增量△x，函数y相应有增量△y=f(x0+△ x)－f(x0)，
若极限 lim y lim f (x0 x) f (x0 ) 存在，则此极限称为
x x0
x0
x
f(x)在点x=x0处的导数，记为f /(x0)，或y| xx0
2．导数的几何意义：
f
x0
2
1 2
f
x0
1 2 1
2
可将分母的系数直 接乘过去
练习:1 若f
x0
2,则lim k0
f
x0
k
2k
f
x0
_-_1___
f
x0
lim k 0
f
x0
k
k
f
x0
2
2若f
x0
4,则lim h0
f
x0
f x0
2h
h
___2____
f
x0
lim h0
f
x0
f h
x0
h
4
3.导数的概念：
函数y=f(x)在点x0处的导数f /(x0)就是曲线在(x0，f(x0))处的切
线的斜率，所以曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为 yy0=f /(x0)·(x－x0)．
3．导数的物理意义：物体作直线运动时，路程s关于时间t 的函数为：s=s(t)，那么瞬时速度 v 就是路程 s 对于时间t的导数， 即v(t)=s /(t). 加速度a=v/ (t),加速度a=s// (t)
∴2－( x03－x0+2)=( 3 x02－1)(1－x0) 化简得(x0－1)2(2 x0+1)=0， 解得x0=1或x0=－
1 2
①当x0=1时1，所求的切线方程为：y－2=2(x－1),即y=2x ②当x0=－ 2 时，所求的切线方程为：
y－2=
－1 4
(x－1),即x+4y－9=0
点评:①在A点的切线,A为切点 ②过A 点的切线,A可能是切点也可能不是切点, 求过A点的切线时,先设出切点,再利用导数求切线
y0 x0
9 2
，
故
2x02 6 x0 2
4x0 ，2x02
8x0
6
0. x0
1,3。
即切线 QT 的斜率为 4 或 12，从而过点 Q 的切线为：
y 4x 1, y 12x 15
，
由于函数 y f (x) 在 x x0 处的导数，表示曲线在点 P(x0 , f (x0 )) 处切线的斜率，因
义可知，切线方程为 x x0 .
4公式①.基本初等函数的导数公式
（1）常函数：(C)/ 0, (c为常数)；
（2）幂函数 ： (xn)/ nxn1
导数及其应用复习
导数概念
本
章
知
识 结
导数 导数运算
构
导数应用
函数的瞬时变化率
运动的瞬时速度 曲线的切线斜率 基本初等函数求导 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数单调性研究 函数的极值、最值
曲线的切线 变速运动的速度
最优化问题
1.函数的平均变化率
函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2 Y=f(x)
3x03 2x03 x0 0或x0
3 2
3x02
6x0
2
x0
y
y=f(x)
所求曲线的切线方程为y=2x与 y 1 x
A
4 oa
A
bx
问题 3. 求 y 2x 2 3 在点 P(1,5) 和 Q(2,9) 处的切线方程。 点拨：点 P 在函数的曲线上，因此过点 P 的切线的斜率就是 y 在 x 1处的函数值；
点 Q 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．切忌直接将 P ，Q
看作曲线上的点用导数求解。
y 2x2 3, y 4x. y x1 4 即过点 P 的切线的斜率为 4，故切线为： y 4x 1．
设过点 Q 的切线的切点为T (x0 , y0 ) ，则切线的斜率为 4 x0 ，又 kPQ
变式: 求曲线 f x x3 3x2 2x 过原点的切线方程.
设切点为A x0, x03 3x02 2x0 , k f x0 3x02 6x0 2
切线为y x03 3x02 2x0 3x02 6x0 2 x x0
过0,0 x03 3x02 2x0