导数及其应用ppt课件演示文稿
合集下载
3.2导数的计算(27张PPT)
;
(7) y 3 x; 2
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯
净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化
到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：
c(x)= 5284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;
(1)90%;
(2)98%.
x
x
f (x) (x2) ' lim y lim 2x x x2 lim (2x x) 2x.
x x0
x0
x
x0
公式三：（x2）' 2x
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
解: y f (x) 1 , x
y f (x x) f (x) 1 1 x x x x (x x)x
y
'
1 x2
探究：
表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
这又说明什么?
画出函数y=1/x的图像。根据图像， 描述它的变化情况。并求出曲线在 点（1,1）处的切线方程。
x+y-2=0
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
y f (x x) f (x) C C 0,
y 0, x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：C 0 (C为常数)
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数. 解: y f (x) x,
y f (x x) f (x) (x x) x x,
(1) c '(90) 5284 52.84 (100 90)2
导数及其应用PPT课件
解：(1)
4.已知a>0,n为正整数。 (1)设y=(x-a)n, 证明y’=n(x-a)n-1; (2)设fn(x)=xn-(x-a)n , 对任意n≥a,证明：
小
求函数单调区间的步骤：
求函数极值的步骤：
结
(1)求导函数f ’(xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ; (2)求方程f ’(x)=0的根；(3)检查f ’(x)在 方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处 取得最大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得最 小值。 求闭区间上函数的最值的方法：
y
极大值
极大值
x0
极小值
0
x
极小值
显然在极值处函数的导数为０．
【知识在线】:
１．函数ｙ＝２ｘ３＋４ｘ２＋１的导数是_____________. ２.函数y=f(x)的导数y/>0是函数f(x)单调递增的 （B ）
A.充要条件
C.必要不充分条件
B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
(0,2) 单调递增区 ３.函数y=x2 (x-3),则f(x)的单调递减区间是_____, (-∞,0) , (2,+∞) 。 间为______________
x
f(x)
极大值 极小值
由此可得，函数在ｘ＝－ ，处取得极大值２＋ ２
在ｘ＝ ，处取得极小值２- ２ ．草图如图
y
∵ａ＞０，显然极大值必为正，
故只要看极小值的正负即可。
－
０
x
y
方程x3-3ax+2=0有惟一的实根；
－
０ y
x
方程x3-3ax+2=0有二个不同的实根 （其中有一个为二重根）；
导数在经济学中的应用教学课件ppt
导数在生产函数研究中的应用
生产函数
描述生产过程中投入要素与产 出之间的关系。
弹性分析
研究产出对于各投入要素的弹 性变化。
总结词
生产函数、边际分析、弹性分 析、最优生产要素组合
边际分析
分析投入要素的边际产量与最 优要素组合。
最优生产要素组合
确定使生产成本最低或利润最 大的要素组合。
导数在时间序列分析中的应用
导数在经济学中的意义
导数可以描述函数的变化率和极限状态，可以帮助经济 学研究者更好地了解经济变量的变化规律和趋势，为政 策制定提供重要的参考依据。
导数在经济学中的未来研究方向
研究主题1
如何将导数与其他经济学理论相结合，进一步完善经济学理论框 架，更好地解释现实经济现象。
研究主题2
如何运用导数研究具有复杂特征的经济问题，例如金融市场波动 、能源供需变化等。
导数在弹性分析中的应用
01
02
03
弹性分析是经济学中用于研究函数因 变量对自变量敏感度的概念。
导数可以用于计算弹性和弹性系数， 研究经济变量的变化对经济整体的影 响。
例如，在国际贸易中，出口商品的弹 性系数可以帮助国家制定贸易政策。
导数在优化问题中的应用
优化问题是经济学中需要找到函数极值点的问 题。
导数在政策分析中的应用
01
政策分析是经济学中用于评估 政策效果和制定政策建议的工 具。
02
导数可以用于建立政策分析模 型，分析政策变动对经济的影 响。
03
例如，可以利用导数分析税收 政策变动对经济增长的影响。
03
导数的数学基础
导数的定义与运算规则
导数的定义
导数是由函数在某一点的斜率来定义的。对于给定的 函数f(x)，f'(x)表示函数在x点的斜率。
导数的概念及运算ppt课件演示文稿(1)
原函数
f(x)=
x
导函数
f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________
f(x)=xa(a为常数) f(x)=ax(a＞0且a¹1) f(x)=logax(a＞0且a¹1) f(x)=ex f(x)=ln x f(x)=sin x f(x)=cos x
为7和-7.所以切线方程为y-2=7(x-2)和y-2=-7(x+5)，
化简可得切线方程为7x-y-12=0和7x+y+33=0.
经典例题
题型一 导数的定义
【例1】 设函数f(x)存在导数，当t无限趋近于0时，化 简 f a 4t f a 5t =________.
t
f a 4t f a 5t 解： t f a 4t f a f a f a 5t t f a 4t f a f a 5t f a 4 5, 4t 5t
[ g x ]2
f x2 f x1 x2 x1
基础达标
1. 函数f(x)=2x+b在区间[m，n]上的平均变化率为________．
f x 2. 若f′(x0)=2，则当k无限趋近于0时，
0
k f x0 2k
=________.
3. 函数y=x3+cos x的导数为________．
6. 复合函数的导数 一般地，若y=f(u)，u=ax+b，则y′x=y′u〓u′x, 即
导数及其应用PPT教学课件
• 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一
个“增量”可用x1+Δx代
替x2
则平均变化率为
Vf 同样Δf=Δfy(=x=2f()x2)-ff(x(1x)1)
Vx
x2 x1
思考?
• 观察函数f(x)的图象
平均变化率 表示什么?
f(x2 ) f (x1)
x x y
r(V ) 3 3V
4
• 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r(1) r(0) 0.62(dm)
气球的平均膨胀率为 r(1) r(0) 0.62(dm / L)
1 0
• 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r(2) r(1) 0.16(dm
气球的平均膨胀率为
r(2) 2
r(1) 1
=6Δx+(Δx)2
再求 Vf 6 Vx Vx
再求 lim Vy 6 Vx0 Vx
小结：
时，原由的温度（单位：0C）为 f(x)=x2-
7x+15(0≤x≤8).计算第2（h) 和第6（h）时，原由键是求出：Vf Vx 3 Vx
lim 再求出 Vf Vx0 Vx
它说明在第2（h)附近，原油 温度大约以3 0C/H的速度下降； 在第6（h)附近，原油温度大
又如何求 瞬时速度呢?
如何求（比如， t=2时的）瞬时速度？
： 当Δt趋近于0时,平均
通过列表看出平均速度的变化速度趋有势什么变化趋势?
瞬时速度?
• 我们用 lim h(2 t) h(2) 13.1
t0
t
表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值 -13.1”.
• 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
导数在实际生活中的应用PPT教学课件
为定值V，怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高
与底面半径比为多少？
解:设桶底面半径为R,
则 桶 高 为h
V
R2
桶的用料为
S(R)
2
R2
2
R
V
R2
2 R2 2V ,
R
S'(R)
4
R
2V R2
,
令S'(R)
4
R
2V R2
0,
解得R
V
2
h R
此时，h
V
R2
V
3
V
2
2
4V 2 V
2
即h 2R
因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值。
答：当罐高与底的直径想等时，所用材料最省。
例3.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,
价格p与产量q的函数关系式为 p 25 1 q. 求产量q为何值 8
时,利润L最大。
分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出 利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.
3、辨别真伪
我是历史 小专家
（1）汉武帝时大力推行儒学教育，在长安兴
办太学。（
）
X （2）董仲舒建议汉高祖，允许诸侯王把自己 的封地分给子弟，建立较小的侯国。（ ）
（3）汉文帝时，西汉在政治、经济、军事和
X 思想上实现了大一统，进入鼎盛时期（ ）
通过本课的学习你知道 了哪些历史人物?你最欣赏或 最钦佩谁?说说你喜欢或钦佩 他的理由。
在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间内 只有一个x0 使f ´(x0)=0,而且从实际问题本身又可 以知道函数在 这点有极大(小)值，那么不与端点 比较， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
导数的应用教学课件ppt
乘法法则
对于两个函数f(x)和g(x)，其导数分别为f'(x)和g'(x)，则两函数积的导数为(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
幂法则
对于一个函数f(x)，其导数为f'(x)，则(x^n)'=nx^(n-1)。
导数计算的常见问题与解决方案
常见问题
在导数计算中，容易出现一些错误，如符号错误、运算错误 、化简错误等。
导数可以用来求函数的极值、单调区间、凹凸区间等
导数在其他领域中的应用
导数可以用来解决物理、经济、工程等领域中的一些问题，如物体运动时的加速 度、经济学中的边际效应、工程中的曲率等等
02
导数的计算
极限与导数
极限的定义
极限是函数在某一变化过程中， 某个变量的变化趋势，通常用符 号lim表示。
导数的定义
与其他学生或老师交流讨论，及时解决学习中遇 到的问题。
THANKS
导数的深入研究
1
深入理解导数的定义和计算方法，包括高阶导 数和复合函数的导数。
2
研究导数在函数性质、曲线形状、极值等方面 的应用，以及在实际问题中的应用。
3
探讨导数在数学中的地位和作用，以及与其他 数学分支的联系。
导数在未来的应用前景
分析导数在金融、经济、工程等领域 的应用前景，例如最优化问题、供应 链管理、计算机图形学等。
导数的应用教学课件ppt
xx年xx月xx日Biblioteka contents目录
• 导数的概念及背景 • 导数的计算 • 导数在函数性质研究中的应用 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的进一步探讨与展望
01
对于两个函数f(x)和g(x)，其导数分别为f'(x)和g'(x)，则两函数积的导数为(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
幂法则
对于一个函数f(x)，其导数为f'(x)，则(x^n)'=nx^(n-1)。
导数计算的常见问题与解决方案
常见问题
在导数计算中，容易出现一些错误，如符号错误、运算错误 、化简错误等。
导数可以用来求函数的极值、单调区间、凹凸区间等
导数在其他领域中的应用
导数可以用来解决物理、经济、工程等领域中的一些问题，如物体运动时的加速 度、经济学中的边际效应、工程中的曲率等等
02
导数的计算
极限与导数
极限的定义
极限是函数在某一变化过程中， 某个变量的变化趋势，通常用符 号lim表示。
导数的定义
与其他学生或老师交流讨论，及时解决学习中遇 到的问题。
THANKS
导数的深入研究
1
深入理解导数的定义和计算方法，包括高阶导 数和复合函数的导数。
2
研究导数在函数性质、曲线形状、极值等方面 的应用，以及在实际问题中的应用。
3
探讨导数在数学中的地位和作用，以及与其他 数学分支的联系。
导数在未来的应用前景
分析导数在金融、经济、工程等领域 的应用前景，例如最优化问题、供应 链管理、计算机图形学等。
导数的应用教学课件ppt
xx年xx月xx日Biblioteka contents目录
• 导数的概念及背景 • 导数的计算 • 导数在函数性质研究中的应用 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的进一步探讨与展望
01
《导数的概念及应用》课件
以判断函数的单调性。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
感谢观看
极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
感谢观看
极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
增函数，所以a 0符合题意． 2 ②当a 0时，f x 3ax( x )． a 2 令f x 0，得x1 0，x2 . a 当a 0时，对任意x 1,0 ，f x 0， 所以a 0符合题意； 当a 0时，当x (，时， 0) f x 0， 所以 1，所以 2 a 0符合题意． 综上所述，a 2.
3sin 3 cos 2 解析： 由f x x x 4x 1， 3 2 得f x 3sin x 2 cos x 4， 所以f 1 3sin cos 4 2sin( ) 4. 6 5 2 由 [0， ]，得 [ ， ]， 6 6 6 3 1 所以sin ( ) [ ，， 1] 6 2 所以f 1 3, 6，故选A.
【思维启迪】由于条件中的点和一条曲线是 已知的，因此上面采取了先利用已知点和曲 线求出切线方程，解答与另一条曲线的相切 问题也就转化为“已知切线方程求曲线方程 中的参数问题”．
3sin 3 cos 2 变式题：设函数f x x x 4x 1， 3 2 5 其中 [0， ]，则函数f x 在x 1处的切线的斜 6 率的取值范围是( ) A． 3,6 C． [4 3， 6] B． [3,4 3] D． [4 3， 4 3]
3 而点1,0 在切线上，则x0 0或x0 . 2 15 2 当x0 0时，由y 0与y ax x 9 4 25 相切可得a ； 64 3 27 27 15 2 当x0 时，由y x 与y ax x 9 2 4 4 4 相切可得a 1，故选A.
5．利用导数判断函数的单调性：若f x 在某区 间上可导，则由f x ＞0( f x ＜0)可推出f x 为 增(减)函数，但反之则不一定，如：函数 f x x 3在R上递增，则f x 0. f x 在区间 内单调递增(减)的充要条件是f x 0( 0)有 且只存在有限个x0 使f x0 0. 6．可导函数的极值：极值点的导数一定为0， 但导数为0的点不一定是极值点，同时不可导 的点可能是极值点．因此函数的极值点只能 在导数为0的点或不可导的点产生．
7．利用导数求函数的最值：函数在闭区间上 的最值是比较所有极值点与端点的函数值所得 结果，因此函数在闭区间[a，b]上的端点函数 值不一定是极值，但它可能是函数的最值； 同时，函数的极值不一定是函数的最值，最 值也不一定是极值．
考点1 导数的几何意义的应用
例1:若存在过点1,0 的直线与曲线y x 3和 15 y ax x 9都相切，则a等于( ) 4 25 21 A． 1或 B． 1或 64 4 7 25 7 C． 或 D． 或7 4 64 4
3．多项式函数的导数：主要掌握函数 y x n (n N* )的导数公式，公式特点：右端由两 部分构成，一部分常数，其值为原函数的指数n， 第二部分为x的幂，其指数为原函数中的指数少1. 4．导数的运算法则：主要掌握两个函数的和差 f x g x 的导数及常数与函数的积c f x 的导 数运算法则，应用时常常将复杂的函数表达式分 解为几个基本函数的导数的和、差的形式．
解析 : 1 x ax 3x ，
3 2
f x 3ax 6x 3x ax 2 ，
2
因为x 1是f x 的一个极值点， 所以f 1 0，所以a 2.
2 ①当a 0时，f x 3x 2在区间 1,0 上是
考点2 利用导数处理函数的单调性、极值、最值等
例2:已知定义在R上的函数f x x 2 ax 3， 其中a为常数．
1 若x 1是函数f x 的一个极值点，求a的值； 2 若函数f x 在区间 1,0 上是增函数，
求a的取值范围；
3 若函数g x f x f x ，x 0, 2，在
2
分析 : 首先求过已知点且与曲线y x3相切 的直线方程，然后根据此切线方程求曲线 15 y ax x 9中的参数a的值． 4
2
3 解析 : 设过 1,0 的直线与y x3相切于点( x0，x0 )， 3 2 所以切线方程为y x0 3x0 x x0 ， 2 3 即y 3x0 x 2 x0 .
x 0处取得最大先求出导函数f x ，然后利用极值点x 1 是方程f x 0可解决第1 小题；第 2 小题根据 导函数表达式的特点须对a的取值进行分类讨论， 再结合f x 的符号进行解答；第 3 小题可利用 导数研究函数的极值与单调性来解决．
专题五
函 数 与 导 数
1．导数概念：在导数定义中 f x0 x f x0 f x0 limx0 中， x x是分子f ( x0 x)与f x0 中的两个自变量的差， 即( x0 x) x0 .函数在某一点x0处的导数f x0 其 实质是一个平均变化率的极限值，是常数， 而导函数f x 是一个函数． 2．导数的几何意义：函数在x x0处的导数就是 以该点为切点的切线的斜率，反映了曲线变化的 急缓程度．过曲线上一点P作曲线的切线可能存在 两种情形：一是点P就是切点；二是点P不是切点．
3sin 3 cos 2 解析： 由f x x x 4x 1， 3 2 得f x 3sin x 2 cos x 4， 所以f 1 3sin cos 4 2sin( ) 4. 6 5 2 由 [0， ]，得 [ ， ]， 6 6 6 3 1 所以sin ( ) [ ，， 1] 6 2 所以f 1 3, 6，故选A.
【思维启迪】由于条件中的点和一条曲线是 已知的，因此上面采取了先利用已知点和曲 线求出切线方程，解答与另一条曲线的相切 问题也就转化为“已知切线方程求曲线方程 中的参数问题”．
3sin 3 cos 2 变式题：设函数f x x x 4x 1， 3 2 5 其中 [0， ]，则函数f x 在x 1处的切线的斜 6 率的取值范围是( ) A． 3,6 C． [4 3， 6] B． [3,4 3] D． [4 3， 4 3]
3 而点1,0 在切线上，则x0 0或x0 . 2 15 2 当x0 0时，由y 0与y ax x 9 4 25 相切可得a ； 64 3 27 27 15 2 当x0 时，由y x 与y ax x 9 2 4 4 4 相切可得a 1，故选A.
5．利用导数判断函数的单调性：若f x 在某区 间上可导，则由f x ＞0( f x ＜0)可推出f x 为 增(减)函数，但反之则不一定，如：函数 f x x 3在R上递增，则f x 0. f x 在区间 内单调递增(减)的充要条件是f x 0( 0)有 且只存在有限个x0 使f x0 0. 6．可导函数的极值：极值点的导数一定为0， 但导数为0的点不一定是极值点，同时不可导 的点可能是极值点．因此函数的极值点只能 在导数为0的点或不可导的点产生．
7．利用导数求函数的最值：函数在闭区间上 的最值是比较所有极值点与端点的函数值所得 结果，因此函数在闭区间[a，b]上的端点函数 值不一定是极值，但它可能是函数的最值； 同时，函数的极值不一定是函数的最值，最 值也不一定是极值．
考点1 导数的几何意义的应用
例1:若存在过点1,0 的直线与曲线y x 3和 15 y ax x 9都相切，则a等于( ) 4 25 21 A． 1或 B． 1或 64 4 7 25 7 C． 或 D． 或7 4 64 4
3．多项式函数的导数：主要掌握函数 y x n (n N* )的导数公式，公式特点：右端由两 部分构成，一部分常数，其值为原函数的指数n， 第二部分为x的幂，其指数为原函数中的指数少1. 4．导数的运算法则：主要掌握两个函数的和差 f x g x 的导数及常数与函数的积c f x 的导 数运算法则，应用时常常将复杂的函数表达式分 解为几个基本函数的导数的和、差的形式．
解析 : 1 x ax 3x ，
3 2
f x 3ax 6x 3x ax 2 ，
2
因为x 1是f x 的一个极值点， 所以f 1 0，所以a 2.
2 ①当a 0时，f x 3x 2在区间 1,0 上是
考点2 利用导数处理函数的单调性、极值、最值等
例2:已知定义在R上的函数f x x 2 ax 3， 其中a为常数．
1 若x 1是函数f x 的一个极值点，求a的值； 2 若函数f x 在区间 1,0 上是增函数，
求a的取值范围；
3 若函数g x f x f x ，x 0, 2，在
2
分析 : 首先求过已知点且与曲线y x3相切 的直线方程，然后根据此切线方程求曲线 15 y ax x 9中的参数a的值． 4
2
3 解析 : 设过 1,0 的直线与y x3相切于点( x0，x0 )， 3 2 所以切线方程为y x0 3x0 x x0 ， 2 3 即y 3x0 x 2 x0 .
x 0处取得最大先求出导函数f x ，然后利用极值点x 1 是方程f x 0可解决第1 小题；第 2 小题根据 导函数表达式的特点须对a的取值进行分类讨论， 再结合f x 的符号进行解答；第 3 小题可利用 导数研究函数的极值与单调性来解决．
专题五
函 数 与 导 数
1．导数概念：在导数定义中 f x0 x f x0 f x0 limx0 中， x x是分子f ( x0 x)与f x0 中的两个自变量的差， 即( x0 x) x0 .函数在某一点x0处的导数f x0 其 实质是一个平均变化率的极限值，是常数， 而导函数f x 是一个函数． 2．导数的几何意义：函数在x x0处的导数就是 以该点为切点的切线的斜率，反映了曲线变化的 急缓程度．过曲线上一点P作曲线的切线可能存在 两种情形：一是点P就是切点；二是点P不是切点．