高等数学(理2)考试
高数2试题及答案.(DOC)
模拟试卷一―――――――――――――――――――――――――――――――――― 注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。
（本卷考试时间100分）一、单项选择题（每题3分，共24分）1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线111231:-+=+=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上（C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1123lim0xy xy y x （ ）（A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ∂∂∂2及xy z∂∂∂2在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的（ ）条件.（A ）必要条件 （B ）充分条件（C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设⎰⎰≤+=ay x d 224πσ，这里0 a ，则a =（ ）（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知()()2y x ydydx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ）（A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）16、曲线积分=++⎰L z y x ds222（ ），其中.110:222⎩⎨⎧==++z z y x L（A ）5π（B ）52π （C ）53π （D ）54π7、数项级数∑∞=1n na发散，则级数∑∞=1n nka（k 为常数）（ ）（A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散（C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ）（A ）21C x C y += （B ）C x y +=2（C ）221C x C y += （D ）C x y +=221 二、填空题（每空4分，共20分）1、设xyez sin =，则=dz 。
2、交换积分次序：⎰⎰-222xy dy e dx = 。
大学《《高等数学Ⅱ》考试大纲汇总
大学《《高等数学Ⅱ》考试大纲汇总第一部分：总要求考生应按本大纲的要求，了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。
应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。
第二部分：考试内容一、函数、极限与连续(一)函数1．知识范围(1)函数的概念：函数的定义、函数的表示法、分段函数、隐函数。
(2)函数的简单性质：单调性、奇偶性、有界性、周期性。
(3)反函数：反函数的定义，反函数的图象。
(4)函数的四则运算与复合运算。
(5)基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
(6)初等函数2. 要求(1)理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值。
了解分段函数的概念。
(2)理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。
(3)了解函数)(x f y =与其反函数)(1x f y -=之间的关系(定义域、值域、图象)，会求单调函数的反函数。
(4)理解和掌握函数的四则运算与复合运算。
(5)掌握基本初等函数的简单性质及其图象。
(6)了解初等函数的概念。
(7)会建立简单实际问题的函数关系。
(二)极限1．知识范围(1)数列极限的概念：数列，数列的极限。
(2)数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列的极限存在定理。
(3)函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷(x→∞，x→+∞，x→-∞)时函数的极限。
(4)函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理。
(5)无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。
华南理工大学大二理学专业高等数学试卷及答案 (1)
华南理工大学期中考试2021-2021学年第二学期?高等数学?期中考试试卷考前须知：1. 考试形式：闭卷；．本试卷总分值100分，考试时间90分钟。
. 解答以下各题 (每题5分,共20分)设函数(),z z x y =由方程,0y z F x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，求z z x y x y ∂∂+∂∂(),z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有二阶导数，且1'≠-.求dz .(),arctanxf x y y=在点()0,1处的梯度. 设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=上的一动点，假设S 在点P 处的切平面与xoy 面垂直，P 的轨迹C 。
. 解答以下各题 (每题10分,共30分)()()22,2ln f x y x y y y =++的极值(),u f x y =具有二阶连续偏导数，且满足等式2222241250u u ux x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂。
确定的,b 值，使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下简化为20uξη∂=∂∂．曲线22220:35x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩，求C 上距离xOy 面最远的点和最近的点。
三. 解答以下各题 (每题8分，共32分)８．设函数(),f x y 连续，交换二次积分的积分次序：()122,y dyf x y dx -⎰⎰.９．设函数f 连续，假设()22,uvD f x y F u v +=，其中区域D 为第一象限2221x y u ≤+≤与0arctany v x ≤≤的局部，求Fu∂∂ １０．计算二重积分()3Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 由曲线x =与直线0x=及0x =围成。
11.计算二重积分2sin DI r θ=⎰⎰，其中(),0sec ,04D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭. 四. 解答以下各题 (每题9分,共18分)12.求位于两球面()22224x y z ++-=和()22211x y z ++-=之间的均匀物体的质心.13. 计算由2212,0,0x y x y z xy ≤+≤≥≤≤所确定的立体的体积.华南理工大学期中考试2021-2021学年第二学期?高等数学?期中考试试卷考前须知：1. 考试形式：闭卷；．本试卷总分值100分，考试时间90分钟。
江西理工大学高等数学(二)答案
《高等数学》试题解答一、填空题：（3×5=15分）1．设y x z =，则=∂∂yz x x y ln . 2. 积分=⎰⎰Dxydxdy 16 ，其中D 为40 ,20≤≤≤≤y x .3. L 为2x y =点(0, 0)到(1, 1)的一段弧，则=⎰ds y L []155121-. 大根号4x^2+1 4. 级数∑∞=-1)1(n p nn 当p 满足10≤<p 时条件收敛. 5. 方程0)1(=+-dy e dx ye x x 的通解为)1(x e C y +=.分离变量二、选择题：（3×5=15分）1．方程0)4(sin )cos 3(32=-++dy y x dx x y x 是 （ C ）. x Q y P ∂∂=∂∂(A) 可分离变量微分方程 (B) 一阶线性方程(C) 全微分方程 (D) （A ）、（B ）、（C ）均不对 2．),(y x f z =在),(00y x 可微，则yz x z ∂∂∂∂ ,在) ,(00y x （ D ）. （A ）连续 （B ）不连续 （C ）不一定存在 （D ）一定存在3．级数∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--21111n n n 是（ A ）. ∑∞=-212n n （A ）发散 （B ）收敛（C ）条件收敛 （D ）绝对收敛4．曲面22y x z +=与平面1=z 所围立体的体积为（ B ）.（A ）⎰⎰⎰+Ωdv y x )(22； （B ）⎰⎰⎰11 02 0 r πdz rdr θd ；“先一后二”（C ）⎰⎰⎰+----2222 0 1 1 1 1 y x x x dz dy dx ； （D ）⎰⎰⎰10 1 0 2 0 dz rdr θd π。
5．方程x e x y y y -=+'-''323的特解形式为（ B ）.（A ）x e b ax )(+ （B ）x cxe b ax ++（C ）x ce b ax ++ （D ）x xe b ax )(+三、)(22x y f z -=，其中)(u f 有连续的二阶偏导数，求22x z ∂∂.（8分） 解：)2()(22x x y f z x -⋅-'=)2()(2)2()(2222x x y f x x y f z xx -⋅-''--⋅-'= )(4)(222222x y f x x y f -''+-'-=四、计算⎰-+-Lx x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (，L 为由点)0 ,1(A 到)1 ,0(B ，再到)0 ,1(-C 的有向折线.（8分） 解：作11 ,0:≤≤-=x y CA ,……………….1分⎰=ABCA []d xdy y e y e D x x ⎰⎰--)2cos (cos =2⎰⎰D dxdy =2， 0 ⎰=CA2=∴I五、计算⎰⎰++∑dxdy zx dzdx yz dydz xy 222，其中∑为球体4222≤++z y x 及锥体22y x z +=的公共部分的外表面.（8分） 解：()d xdydz x z y I ⎰⎰⎰Ω++=222⎰⎰⎰ππϕϕθ=2044020sin dr r d d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=221564π六、求级数∑∞=22n n nx 的收敛域及和函数.（8 分）解：收敛域为：)1 ,1(-=)(x S ∑∞=22n n nx ∑∞=-=212n n nx x '⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∞=22n n x x ='⎪⎭⎫ ⎝⎛---x x x 1112⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1)1(122x x 七、计算曲面积分⎰⎰+∑dS y x )(22，其中∑为锥面)(322y x z +=被平面3=z截下的带锥顶的部分.（8分） 解：dxdy y x y y x x y x I xy D ⎰⎰+++++=22222222331)( ⎰⎰+=xyD dxdy y x )(222⎰⎰πθ=303202dr r d π=9八、求函数22y x z +=在适合条件132=+y x 下的极小值.（7分） 解：作⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=132),,(22y x y x y x f λλ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+==λ+==λ+=λ0132032022y x f xy f x f y x 1372-=λ，1312,1318==∴y x 1336min =z 九、求方程x e y y y 323=+'-''的通解.（8分） 解：特征方程：0232=+-r r特征根:2,121==r r对应齐次方程的通解为：x x e C e C Y 221+= 1=λ是单根，可设非齐次方程的特解为x Axe y =* 代入原方程得:x xe y A 3,3*-=∴-= 原方程的通解为：x x x xe e C e C y 3221-+=十、把)0( ,)(π<<=x x x f 展开为余弦级数.（7分） 解：π=π=⎰π002xdx a ⎪⎩⎪⎨⎧-==⎰为偶数为奇数n n n nxdx x a n 0 4cos 220πππ ∑∞=π<<-π--π=120 ,)12cos()12(42n x x n n x 十一、已知曲线积分⎰+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++),()0,0()()(1)1(y x n x dy x f ydx x f x n x e 与路径无关， 其中)(x f 可微，0)0(=f ，试确定)(x f ，并计算曲线积分的值.（8分） 解：依题意有：)()(1)1(x f x f x n x e n x '=+++ 讨论 )()(1x f x f x n '=+ n x C x f )1()(+=令)(x C C =，利用常数变易法得：C e x C x +=)( n x n x e x C x f )1()1()(+++=∴由10)0(-=⇒=C f)1()1()(-+=∴x n e x x f)()(0x yf dy x f I y==⎰。
《高等数学二》考试题及答案
《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b （ A ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( C )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI xy dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ D ）(A)224ad a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 22402ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰L ds 6 （ A ）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D)235、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ B ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim),(σηξσλ中的λ代表的是（ D ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( B )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y (B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-x x y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰101d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( A )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ B ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件 10、设平面曲线L 为下半圆周 21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +=⎰( C )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π 11、若级数1nn a∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ B ）(A)12nn a∞=∑收敛 (B)1(2)nn a∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D)13nn a∞=∑收敛12、二重积分的值与 （ C ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。
成人高等教育《高等数学(理工类二)》复习资料
【公式总结】无穷级数（一）常数项级数1、定义：1）无穷级数：ΛΛ+++++=∑∞=n n nu u u u u3211部分和：n nk kn u u u u uS ++++==∑=Λ3211，正项级数：∑∞=1n n u ，0≥n u 交错级数：∑∞=-1)1(n n n u ，0≥n u 2）级数收敛：若S S n n =∞→lim 存在，则称级数∑∞=1n n u 收敛，否则称级数∑∞=1n n u 发散3）条件收敛：∑∞=1n n u 收敛，而∑∞=1n n u 发散；绝对收敛：∑∞=1n n u 收敛。
2、性质：1）改变有限项不影响级数的收敛性；2）级数∑∞=1n n a ，∑∞=1n n b 收敛，则∑∞=±1)(n n n b a 收敛；3）级数∑∞=1n n a 收敛，则任意加括号后仍然收敛；4）必要条件：级数∑∞=1n n u 收敛⇒0lim =∞→n n u .（注意：不是充分条件！）3、审敛法正项级数：∑∞=1n n u ，0≥n u 1）定义：S S n n =∞→lim 存在；2）∑∞=1n nu收敛⇔{}n S 有界；3）比较审敛法：∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 为正项级数，且),3,2,1(Λ=≤n v u n n 若∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛；若∑∞=1n n u 发散，则∑∞=1n n v 发散.4）比较法的推论：∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 为正项级数，若存在正整数m ，当m n >时，n n kv u ≤，而∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛；若存在正整数m ，当m n>时，n n kv u ≥，而∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散.5）比较法的极限形式：∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 为正项级数，若)0(lim+∞<≤=∞→l l v u nnn ，而∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛；若0lim >∞→nnn v u 或+∞=∞→n n n v u lim ，而∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散.6）比值法：∑∞=1n n u 为正项级数，设l u u nn n =+∞→1lim ，则当1<l 时，级数∑∞=1n n u 收敛；则当1>l时，级数∑∞=1n n u 发散；当1=l 时，级数∑∞=1n n u 可能收敛也可能发散.7）根值法：∑∞=1n n u 为正项级数，设l u n n n =∞→lim ，则当1<l 时，级数∑∞=1n n u 收敛；则当1>l 时，级数∑∞=1n n u 发散；当1=l 时，级数∑∞=1n n u 可能收敛也可能发散.8）极限审敛法：∑∞=1n n u 为正项级数，若0lim >⋅∞→nn u n 或+∞=⋅∞→n n u n lim ，则级数∑∞=1n n u 发散；若存在1>p ，使得)0(lim +∞<≤=⋅∞→l l u n n pn ，则级数∑∞=1n n u 收敛.交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：∑∞=-1)1(n n n u ，0≥n u 满足：),3,2,1(1Λ=≤+n u u n n ，且0lim =∞→n n u ，则级数∑∞=-1)1(n n n u 收敛。
成都理工大学第二学期《高等数学IⅡ》下期末考试试卷高数下试题及答案
成都理工大学2010—2011学年第二学期《高等数学》（Ⅰ，Ⅱ）考试试卷（A ）一．填空题（每小题3分，共21分）1．函数221)ln(yx x x y z --+-=的定义域为 。
2．设y x z =)1,0(≠>x x ，则=∂∂+∂∂yzx x z y x ln 1 。
3．函数z xy u 2=在点（1，-1，2）处沿 方向的方向导数最大。
4．区域D ：)0(222>≤+R R y x ,则积分⎰⎰+-Ddxdy y x R )(22的值为 。
5. 设L 为球面2222a z y x =++与平面y x =相交的圆周，则曲线积分⎰+=Ldl z y I 222= 。
6．函数)1ln(22y x z ++=在点（1，2）处的全微分dz = 。
7．级数∑∞=1!2n n n nn 的敛散性为 。
二、选择题（每小题3分，共15分） 1．直线110112-+=+=-z y x 与平面2=++z y x 的位置关系是（ ） A ．直线与平面平行 B. 直线在平面上 C ．直线与平面垂直 D. 直线与平面斜交得 分 得 分2．22limy xy x yx y x +-+→∞→∞=（ ）A ．1 B. 0 C. 1- D.不存在3．已知⎰⎰⎰Ω+=dv z y x f I ),(22，其中Ω由1=z 和22y x z +=围成，则=I （ ）A ．⎰⎰⎰πθ201012),(dz z r f dr d B.⎰⎰⎰πθ2010122),(rdz z r f rdr dC.⎰⎰⎰πθ201012),(dz z r f rdr d D.⎰⎰⎰πθ20122),(r dz z r f rdr d4．微分方程x xe y y 22='-''的特解形式是（ ） A ．x e B Ax 2)(+ B. x Axe 2 C ．x e B Ax x 2)(+ D. x e Ax 225．函数⎩⎨⎧≤<-≤≤-=846402)(x x x xx f 展开为周期是8的傅立叶级数为∑∞+∞<<-∞++022)(4)12(cos )12(16x xk k ππ，则=)100(s （ ）A ．98- B. 94 C. 2 D. 2- 三、计算（每小题7分，共21分） 1．已知直线1L ：130211--=-=-z y x ，2L ：11122zy x =-=+，求通过1L 且与2L 平行的平面方程。
2000-数学二真题、标准答案及解析
( n +1)π
cos x dx
0
0
又因为 cos x 是以 π 为周期的函数，在每一个周期上积分值相等
所以
nπ
π
∫0 cos x dx = n∫0 cos x dx = 2n
∫ ∫ (n+1)π cos x dx = (n +1) nπ cos x dx = 2(n +1)
0
0
因此当 nπ ≤ x < (n +1)π 时，有
二、选择题
（1）设函数
f
(x)
=
a
x + ebx
在 (−∞, +∞)
内连续，且
lim
x→−∞
f
(x)
=
0 ，则常数 a,b
满足
（A） a < 0,b < 0
（B） a > 0,b > 0
（C） a ≤ 0,b > 0
（D） a ≥ 0,b < 0
【答】 应选（D）
【】
【详解】 由题设，f ( x) 在 (−∞, +∞) 内连续，因此对任意的 x ∈ (−∞, +∞) ，有，，这只需 a ≥ 0
0
（1） 当 n 为正整数，且 nπ ≤ x < (n +1)π 时，证明 2n ≤ S ( x) < 2(n +1);
S ( x)
（2） 求 lim x x→+∞
【详解】
（1）当 nπ ≤ x < (n +1)π 时，主义到被积函数是非负得，于是有
∫ ∫ nπ cos x dx ≤ S ( x) <
⎢ ⎣
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高等数学II试题解答Word版
高等数学II试题解答一、填空题（每小题3分，共计15分）1．设由方程确定，则。
2．函数在点沿方向(4,0,-12) 的方向导数最大。
3．为圆周，计算对弧长的曲线积分=。
4．已知曲线上点处的切线平行于平面，则点的坐标为或。
5．设是周期为2的周期函数，它在区间的定义为，则的傅里叶级数在收敛于。
二、解答下列各题（每小题7分，共35分）1．设连续，交换二次积分的积分顺序。
解：2．计算二重积分，其中是由轴及圆周所围成的在第一象限内的区域。
解：3．设是由球面与锥面围成的区域，试将三重积分化为球坐标系下的三次积分。
解：4．设曲线积分与路径无关，其中具有一阶连续导数，且，求。
解：，。
由与路径无关，得，即。
解微分方程，得其通解。
又，得。
故5．求微分方程的通解。
解：的通解为。
设原方程的一个特解，代入原方程，得。
其通解为三、(10分)计算曲面积分，其中∑是球面的上侧。
解：补上下侧。
四、(10分)计算三重积分，其中由与围成的区域。
解：五、(10分)求在下的极值。
解：令，得。
，为极小值点。
故在下的极小值点为，极小值为。
六、(10分)求有抛物面与平面所围立体的表面积。
解：的面积为平面部分的面积为。
故立体的表面积为。
七、(10分)求幂级数的收敛区间与和函数。
解：收敛区间为。
设，。
故高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】考试日期：2009年院（系）别班级学号姓名成绩大题一二三四五六七小题 1 2 3 4 5得分一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量、满足，，，则．2、设，则．3、曲面在点处的切平面方程为．4、设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，则的傅里叶级数在处收敛于，在处收敛于．5、设为连接与两点的直线段，则．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线在点处的切线及法平面方程．2、求由曲面及所围成的立体体积．3、判定级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？4、设，其中具有二阶连续偏导数，求．5、计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面被平面截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、（本题满分10分）计算曲线积分，其中为常数，为由点至原点的上半圆周．五、（本题满分10分）求幂级数的收敛域及和函数．六、（本题满分10分）计算曲面积分，其中为曲面的上侧．七、（本题满分6分）设为连续函数，，，其中是由曲面与所围成的闭区域，求．-------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交；不得带走试卷。
高等数学II期末考试复习要点
高等数学II期末考试复习要点
一、考试题型，题量：
选择题，填空以及计算，约15-20道题
二、复习要点：
（一）微分方程：
1．可分离变量方程
2．二阶常系数线性非齐次微分方程的通解
（二）多元函数微分学
1．多元复合函数的偏导数
2．由一个方程所确定的隐函数的偏导数
3．方向导数的计算
4．曲面的切平面
5．条件极值
（三）多元函数积分学
1．交换二重积分顺序
2．二重积分的基本计算
3．三重积分的基本计算
4．第一类，第二类曲线积分的基本计算
5．第一类，第二类曲面积分的基本计算
6．化三重积分为球面坐标、柱面坐标下的三次积分7．格林公式、曲线积分与路径无关的条件
8．高斯公式
9．函数的奇偶性与积分区域的对称性对积分的影响（四）无穷级数
1．幂级数的收敛域
2．简单函数的幂级数展开
3．简单函数的傅里叶级数以及其和函数。
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高等数学(理2)考试————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：高等数学（理下）试题（1997A ）一、试解下列各题（每题7分，共21分）（1） 求曲面x 3-y 3+z 3-3xyz-3x-9=0上点（0，-1，2）处切平面的法线方程。
（2） 计算I=⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x f )(，区域Ω是由c z b y a x ≤≤≤≤≤≤0,0,0所确定。
（3） 设Ω是由平面1,0,0,1,1====+=++z y x y x z y x 所围成的闭区域，将三重积分⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ),,(化为先对z ，再对y ，最后对x 的三次积分，其中f(x,y,z)连续。
二、试解下列各题（每题7分，共28分）（1） 求微分方程x 4y (4)=6的通解。
（2） 求微分方程y ”-5y ’+6y=xe 2x 的通解。
（3） 设u=222z y x ++，证明：u zu y u x u 2222222=∂∂+∂∂+∂∂。
（4） 判别级数∑∞=--1122)12(1n n n 的收敛性。
三、设a0,a1,a2,……an,….为等差数列，公差为d(d ≠0),试求幂级数∑∞=0n nn xa 的收敛半径R 。
（13分）四、试证曲面xyz=a 3的切平面与三个坐标面所围四面体的体积为常数。
（12分） 五、设原点到平面1=++c z b y a x 的距离为d ，证明22221111cb a d ++=（13分） 六、计算dxdy e Dy x ⎰⎰--22，其中区域D ：222a y x ≤=。
（13分）高等数学（理下）试题（1999A ）一、选择题（每题4分，共16分）（1） 由方程0)(=+xzx y F 所确定的隐函数),(y x z z =，则=∂∂+∂∂y z y x z x （ ）。
（A ）、-z ；（B ）、z ；（C ）、-x ；（D ）、x 。
（2） 交换二重积分⎰⎰xady y x f dx 0),(的积分次序后可化为（ ）。
（A ）、⎰⎰a ya dx y x f dy ),(0；（B ）、⎰⎰ya dx y x f dy 00),(；（C ）、⎰⎰xadx y x f dy ),(；（D ）、⎰⎰yadx y x f dy ),(。
（3） 用待定系数法解微分方程x e y y y x2cos 5'2"=+-时，应假设其特解y *为何种形式？（ ）。
（A ）、x Ae x2cos ；（B ）、x x A e2sin ；（C ）、)2sin 2cos (x B x A e x+；（D ）、)2sin 2cos (x B x A xe x+。
（4） 幂级数nx nn n )1()1(11+-∑∞=-的收敛区间是（ ）。
（A ）、（-2，0）； （B ）、（-2，0]； （C ）、[-2,0）； （D ）、[-2,0]。
二、选择题（每题4分，共16分）（1） 求极限yx x ay x x +→∞→-2)11(lim 。
（2） 设函数),(y x z z =由方程组⎪⎩⎪⎨⎧===-+uvz e y e x v u v u 所确定，求y zx z ∂∂∂∂,。
三、（10分）有一形状为抛物面22y x z +=的容器，原来盛有π8厘米3的水，后来又倒入π64厘米3的水，试求水面比原来升高了多少厘米。
四、（15分）试证：⎰⎰⎰-≤+=+111||||)()(du u f dxdy y x f y x 。
五、（15分）求级数ΛΛΛΛ++-+-•+•-•++)1()1(43322111432n n x x x x n n 的收敛半径，并求其和函数。
六、（10分）求点P （2，1，3）到直线112131:--=-=+z y x L 的距离。
七、（10分）求微分方程23"2y y =满足初始条件1|',1|22-==-=-=x x y y 的解。
高等数学（理下）试题（2003A ）一、填空题（每题3分，共18分）（1） 极限=+-+∞→→11lim 3y xy y x （ ）。
（2） ⎰⎰=xxdy y x f dx I 22),(，交换积分次序，则=I （ ）。
（3） 设41:22≤+≤y x D ，则积分=++⎰⎰dxdy yx y x D2222sin(π（ ）。
（4） 幂级数∑∞=•-13)3(n n nnx 的收敛区间为（ ）。
（5） 方程x y y 4cos 2'4"2=-的特解形式是（ ）。
（6） 设有一任意项级数∑∞=1n na，若||||1=>n n a a ，且0lim =∞→nn a，则该级数（ ）。
二、计算题（每题8分，共32分）（1） 设⎰-=xyt dt e y x f 02),(，求222222y x fy y x f x y f x ∂∂+∂∂∂-∂∂。
（2） 求级数∑+∞=•-222)1(1n nn 的和。
（3） 计算积分dxdy y x y b x a D⎰⎰++)()()()(ϕϕϕϕ，其中0)(,:222>≤+x R y x D ϕ且连续。
（4） 求微分方程0)(22=-++xdy dx y y x 的通解。
三、（10分）讨论级数)1111(2nn n n ---∑+∞=的收敛性。
四、（10分）试分解已知正数a 为三个正数之和，并使它们的倒数之和为最小。
五、（10分）设⎰--=xxdu u f u x e x f 0)()()(，其中)(x f 为连续函数，试求)(x f 。
六、（10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，其中)sin (y e f z x=满足方程z e yzx z x 22222=∂∂+∂∂，求)(u f 。
七、（10分）求直线112124:-=+=-z y x L 在平面123:=+-∏z y x 上的投影直线方程。
高等数学（理下）试题（2003B ）一、填空题（每题3分，共12分）（1） 函数yx e u =，则=du （ ）。
（2） 函数项级数∑+∞=-1n nxne 收敛域是（ ）。
（3） 若)2,2,3(),5,1,2(),3,2,1(-=-==c b a ，则=•⨯c b a )(（ ）。
（4） 微分方程y y x y ln sin '=满足初始条件e y x ==2|π特解是（ ）。
二、选择题（每题3分，共12分）（1） 由方程0,=⎪⎭⎫⎝⎛x z x y F 所确定的隐函数),(y x z z =，则=∂∂+∂∂y z y x z x （ ）。
（A ）、z -；（B ）、z ； （C ）、x -； （D ）、x 。
（2） 直线⎩⎨⎧=+-+=++-03012:z y x z y x L 的对称方程是（ ）。
（A ）、31212-==+z y x ； （B ）、31212+==+z y x ； （C ）、31212-=-=+z y x ； （D ）、31212--==+z y x 。
（3） 设区域220:x r y D -≤≤，则二重积分⎰⎰=Dd xy σ2（ ）。
（A ）、2R π；（B ）、24R π； （C ）、332R π； （D ）、0。
（4） 下列关于级数∑+∞=-1ln cos n n n n π的敛散性结论，正确的结论是（ ）。
（A ）、绝对收敛； （B ）、条件收敛； （C ）、发散； （D ）、无法判断。
三、计算题（每题8分，共32分）（1） 求极限yx x a y x x +→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-211lim 。
（2） 讨论级数[]∑∞+=-+133)1(2n nnn n的敛散性。
（3） 计算三重积分⎰⎰⎰++=Vdxdydzzx yz xy I )(，其中积分域V 是由1,10,0,022≤+≤≤≥≥y x z y x 所确定的空间区域。
（4） 求微分方程0)(22=-++xdy dx y y x 的通解。
四、（15分）设有两条抛物线1,11)1(,122≥+++=+=n n x n y n nx y 为正整数，它们的交点横坐标的绝对值记为n a ，两抛物线所围成的平面图形的面积记为n s ，试求正项级数∑+∞=1n nna s 的和。
五、（15分）已知椭球面1222222=++cz b y a x 。
试在第一卦限内求作该曲面的一个切平面π，使得切平面π与三坐标面所围成的四面体体积最小，并求出该四面体的体积。
六、（14分）设函数)(t f 在),0[+∞上连续且满足方程dxdy y x f e t f t y x t ⎰⎰≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2222422421)(π，试求函数)(t f 。
高等数学（理下）试题（2006A ）1. （10分）求xy z =的所有二阶偏导数。
2. （10分）求球面1422=++z y x x在点)3,2,1(处的切平面和法线方程。
3. （10分）设D 为闭球10022≤++z y x x，求函数22232z y x u ++=在D 上的最大值与最小值。
4. （10分）计算⎰⎰Dxydxdy ，其中D 是由2,2-==x y x y所围成的闭区域。
5. （10分）计算三重积分⎰⎰⎰Ω+dxdydz y x 22，其中Ω的边界是由锥面222z y x =+和平面1=z 围成。
6. （10分）证明曲线⎩⎨⎧=-=+--zy x z y x 2401612222是两条相交直线，并求其对称式方程。
7. （10分）证明级数∑∞=+++137432cos )1(n n n nn 绝对收敛。
8. （15分）求级数nn n x n n 211)12()1(∑∞=---在)1,1(-内的和函数。
9. （15分）已知函数)(x f 具有连续二阶导数，且满足⎰⎰=+++-xxx e dt t f dt t f x f 00)(2)('3)('及1)0(=f ，求)(x f 。
高等数学（理下）试题（2006B ）1. （10分）求)ln(xy x z =的所有二阶偏导数。
2. （10分）求旋转抛物面12-+=xy x z 在点)4,1,2(处的切平面和法线方程。
3. （10分）求函数xy y x f =),(在条件0532=-+y x 在下的极值。
4. （10分）改变二重积分⎰⎰-ax x ax ady y x f dx22202),(的积分次序。
5. （10分）计算三重积分⎰⎰⎰Ωdxdydz z 2，其中Ω是由椭圆面所围成的空间闭区域。
6. （10分）若⎰-+=xxdt t x t e x 0)()()(ϕϕ，求连续函数)(x ϕ。