07高考文科数学真题解三角形
2007年高考“立体几何”题--(文科)高考数学试题全解
2007年高考“立体几何”题1．(全国Ⅰ) 如图，正棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为A ．15 B ．25 C ．35 D ．45解：如图，连接BC 1，A 1C 1，∠A 1BC 1是异面直线1A B 与1AD所成的角，设AB=a ，则AA 1=2a ，∴ A 1B=C 1B=5a ， A 1C 1=2a ，∠A 1BC 1的余弦值为45，选D 。
正四棱锥S ABCD -S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为_________。
解：正四棱锥S ABCD -S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的球心恰好是底面ABCD 的中心，球的半径是1，体积为4π3。
四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ， 已知45ABC ∠=︒，2AB =，BC =SA SB =(12分)（Ⅰ）证明：SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SBC 所成角的大小。
解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC ∥， 故SA AD ⊥，由AD BC ==，1A1A DCSDCASO ESA =SD ==又sin 45AO AB ==DE BC ⊥，垂足为E ，则DE ⊥平面SBC ，连结SE ．ESD ∠为直线SD 与平面SBC 所成的角．sin ED AO ESD SD SD ====∠ 所以，直线SD 与平面SBC所成的角为arcsin11． 解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x 轴正向，建立直角坐标系O xyz -，因为2AO BO AB ===，1SO =，又BC =0)A ，，(0B，(0C ． (001)S ，，，1)SA =- ，，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．（Ⅱ）1)SD SA AD SA CB =+=-=--，0)OA =，. OA 与SD的夹角记为α，SD 与平面ABC 所成的角记为β， 因为OA为平面SBC 的法向量，所以α与β互余．cos OA SD OA SDα==sin β= 所以，直线SD 与平面SBC所成的角为arcsin 11．2．(全国II) 已知三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于 ABC．2D解：已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，设底面边长为1，侧棱长为2，连接顶点与底面中心，则侧棱在底面上的射影长为33，所以侧棱与底面A 。
2007年高考题(解三角形)
2007年高考题（三角函数）5．（全国卷Ⅰ文理17）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ， c ，A b a sin 2=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）（理）求C A sin cos +的取值范围． （文）若33=a ， 5=c ，求b ．9．（全国卷Ⅱ理17文18）在ABC ∆中，已知内角3π=A ，边32=BC ．设内角x B =，周长为y ． （Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式和定义域； （Ⅱ）求y 的最大值．12．（北京卷理11文12）在ABC ∆中，31tan =A ， 150=C ，1=BC ，则=AB ____________15．（天津卷文17）在ABC ∆中，已知2=AC ，3=BC ，54cos -=A ． （1）求B sin 的值；（2）求)62sin(π+B 的值．18．（上海卷文理17）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，若2=a ，4π=C ，5522cos =B ，求ABC ∆的面积S ．28．（浙江卷文理18）已知ABC ∆的周长为12+，且C B A sin 2sin sin =+．（1）求边AB 的长；（2）若ABC ∆得面积为C sin 61，求角C 的度数． 32．（福建卷文理17）在ABC ∆中，41tan =A ，53tan =B ． （1）求角C 的大小； （2）（理）若ABC ∆最大边的边长为17，求最小边的边长．（文）若AB 边的长为17，求BC 边的长．36．（湖北卷理16）已知ABC ∆的面积为3，且满足0≤⋅≤6，设和的夹角为θ．（1）求θ的取值范围；（2）求函数θθπθ2cos 3)4(sin 2)(2-+=f 的最大值与最小值．37．（湖南卷文12）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若1=a ，3=c ，3π=C ，则=A ___________38．（湖南卷理12）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 若1=a ，7=b ，3=c ，则=B ______________41．（重庆卷理5）在ABC ∆中，3=AB ， 45=A ， 75=C ，则BC 等于（ ） A ．33- ； B ． 2 ； C ． 2 ； D ． 33+43．（重庆卷文13）在ABC ∆中，1=AB ，2=BC ， 60=B ，则AC 等于_____60．（广东卷文16）已知ABC ∆顶点的直角坐标分别为)4,3(A 、)0,0(B 、)0,(c C ．（1）若0=⋅，求c 的值；（2）若5=c ，求A ∠sin 的值．61．（广东卷理16）已知ABC ∆顶点的直角坐标分别为)4,3(A 、)0,0(B 、)0,(c C ．（1）若5=c ，求A ∠sin 的值；（2）若A ∠是钝角，求c 的取值范围．64．（山东卷文17）在A B C ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，73tan =C（1）求C cos ；（2）若25=⋅CA CB ，且9=+b a ，求c ．65．（山东卷理20）如图，甲船以每小时230海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西 105方向的1B 处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西 120方向的2B 处，此时两船相距210海里．问乙船每小时航行多少海里？68．（海南、宁夏卷17）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得α=∠BCD ，β=∠BDC ，s CD =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．。
2007年高考.北京卷.文科数学试题及详细解答
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第II （非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知cos tan 0θθ<，那么角θ是（ ） Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角2．函数()3(02)xf x x =<≤的反函数的定义域为（ ） Ａ．(0)+∞， Ｂ．(19]， Ｃ．(01)， Ｄ．[9)+∞，3．函数()sin 2cos 2f x x x =-的最小正周期是（ ）Ａ．π2 Ｂ．π Ｃ．2π Ｄ．4π 4．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｂ．0⎛ ⎝⎦Ｃ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，Ｄ．1⎫⎪⎪⎣⎭5．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ）Ａ．()2142610CA 个 Ｂ．242610A A 个Ｃ．()2142610C 个Ｄ．242610A 个6．若不等式组502x y y a x -+0⎧⎪⎨⎪⎩≥，≥，≤≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ）Ａ．5a < Ｂ．7a ≥ Ｃ．57a <≤ Ｄ．5a <或7a ≥7．平面α∥平面β的一个充分条件是（ ） Ａ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥Ｂ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥Ｃ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ Ｄ．存在两条异面直线a b a a b αβα⊂，，，∥，∥8．对于函数①()2f x x =+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，判断如下两个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ） Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．② Ｄ．③2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷） 第II 卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 ．10．若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，，则此数列的通项公式为 ．11．已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是 ．12．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB =．13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于14．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为 ；当[()]2g f x =时，x = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共12分）记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ． （I ）若3a =，求P ；（II ）若Q P ⊆，求正数a 的取值范围．x 1 2 3 ()f x2 1 1x 1 2 3()f x3 2 116．（本小题共13分）数列{}n a 中，12a =1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值； （II ）求{}n a 的通项公式．17．（本小题共14分）如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB 的中点． （I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）求异面直线AO 与CD 所成角的大小．18．（本小题共12分）某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求： （I ）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率； （II ）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率；19．（本小题共14分）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=点(11)T -，在AD 边所在直线上．（I ）求AD 边所在直线的方程； （II ）求矩形ABCD 外接圆的方程； （III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．20．（本小题共14分）已知函数y kx =与22(0)y x x =+≥的图象相交于11()A x y ，，22()B x y ，，1l ，2l 分别是22(0)y x x =+≥的图象在A B ，两点的切线，M N ，分别是1l ，2l 与x 轴的交点．（I ）求k 的取值范围；（II ）设t 为点M 的横坐标，当12x x <时，写出t 以1x 为自变量的函数式，并求其定义域和值域；（III ）试比较OM 与ON 的大小，并说明理由（O 是坐标原点）．OC ADB2007年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文史类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案C B BD A C D C 1．∵ cos tan 0θθ<，∴ 当cos θ<0，tan θ>0时，θ∈第三象限；当cos θ>0，tan θ<0时，θ∈第四象限，选C 。
2007年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷ⅰ)答案与解析
2007年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．应选D.【解答】解：S={x|2x+1＞0}={x|x＞﹣}，T={x|3x﹣5＜0}={x|x＜}，则S∩T=，故选D．2．应选B.【分析】根据同角的三角函数之间的关系sin2+cos2α=1，得到余弦的值，又由角在第四象限，确定符号．【解答】解：∵α是第四象限角，∴sinα=，故选B．3．应选A.【解答】解：∵向量，，得，∴⊥，故选A．4．应选A.【解答】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选A．5．应选C.【解答】解；根据题意，甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，有C42种，乙、丙各选修3门，有C43•C43种，则不同的选修方案共有C42•C43•C43=96种，故选C．6．应选C.【解答】解：将四个点的坐标分别代入不等式组，解可得，满足条件的是（0，﹣2），故选C．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，∠A1BC1的余弦值为，故选D．8．应选D.【解答】解．∵a＞1，∴函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a，log a a，∴log a2a﹣log a a=，∴，a=4，故选D9．应选B.【解答】解．若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x），∴h（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）+g（x）=h（x），∴“h（x）为偶函数”，而反之取f（x）=x2+x，g（x）=2﹣x，h（x）=x2+2是偶函数，而f（x），g（x）均不是偶函数”，故选B10．应选D.【解答】解：函数y=2cos2x=1+cos2x，由﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，解得﹣π+kπ≤x≤kπ，k为整数，∴k=1即有它的一个单调增区是，故选D．【点评】利用同角三角函数间的关系式、诱导公式、二倍角公式可以化简三角函数式，化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；在化简三角函数时，应注意“1”的代换，1=sin2α+cos2α，1=tanα•cotα等，对于函数种类较多的式子，化简时，常用“切化弦法”，遇到象本题高次数的要用二倍角公式降幂．【解答】解：若y=x3+x，则y′|x=1=2，即曲线在点处的切线方程是，它与坐标轴的交点是（，0），（0，﹣），围成的三角形面积为，故选A．12．应选C.【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），AK⊥l，垂足为K（﹣1，2），∴△AKF的面积是4故选C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．0.25【解答】解：从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为P==0.25．故答案为：0.2514．3x（x∈R）【解答】解．函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，f（x）=3x（x∈R）故答案为：3x（x∈R）15．【解答】解：正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的球心恰好是底面ABCD的中心，球的半径是1，体积为．故答案为：16．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为三、解答题（共6小题，满分80分）17．（10分）【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．所以，．18．（12分）【解答】解：（Ⅰ）记A表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”．P（）=（1﹣0.6）3=0.064，．（Ⅱ）记B表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”．B0表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”．B1表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”．则B=B0+B1．P（B0）=0.63=0.216，P（B1）=C31×0.62×0.4=0.432．P（B）=P（B0+B1）=P（B0）+P（B1）=0.216+0.432=0.648．19．（12分）【解答】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO，又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，由三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，故SA⊥AD，由，，．又，作DE⊥BC，垂足为E，则DE⊥平面SBC，连接SE．∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角．所以，直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO．又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，因为，，又，所以，，．S（0，0，1），，，，所以SA⊥BC．（Ⅱ），.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，所以α与β互余．，，所以，直线SD与平面SBC所成的角为．20．（12分）【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=6x2+6ax+3b，因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f'（1）=0，f'（2）=0．即解得a=﹣3，b=4．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=2x3﹣9x2+12x+8c，f'（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2）．当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；当x∈（1，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，3）时，f'（x）＞0．所以，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c．则当x∈[0，3]时，f（x）的最大值为f（3）=9+8c．因为对于任意的x∈[0，3]，有f（x）＜c2恒成立，所以9+8c＜c2，解得c＜﹣1或c＞9，因此c的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．21．（12分）【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．（Ⅱ），，①S n=，②①﹣②得S n=1+2（++…+）﹣，则===．22．（12分）【解答】证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，所以，．（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），则，|BD|=；因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为，所以，|AC|=．四边形ABCD的面积•|BD||AC|=．当k2=1时，上式取等号．（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．综上，四边形ABCD的面积的最小值为．。
2007年高考文科数学试题及参考答案(陕西卷)
25. （1）证明：在ADC △和EGC △中， Rt ADC EGC ∠=∠=∠ ，C C ∠=∠ ADC EGC ∴△∽△EG CG AD CD∴= 3分 （2）FD 与DG 垂直4分 证明如下：在四边形AFEG 中，90FAG AFE AGE ∠=∠=∠=∴四边形AFEG 为矩形AF EG ∴=由（1）知EG CGAD CD= AF CG AD CD∴= 6分ABC △为直角三角形，AD BC ⊥ FAD C ∴∠=∠ AFD CGD ∴△∽△ ADF CDG ∴∠=∠8分又90CDG ADG ∠+∠=90ADF ADG ∴+∠=即90FDG ∠=FD DG ∴⊥10分（3）当AB AC =时，FDG △为等腰直角三角形，理由如下：AB AC = ，90BAC ∠= AD DC ∴=由（2）知：AFD CGD △∽△ 1FD AD GD DC ∴== FD DG ∴=又90FDG ∠=FDG ∴△为等腰直角三角形12分3.（2010年教育联合体）如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连结CP 并延长，交AD 于E ，交BA 的延长线点F ．问：(1) 图中△APD 与哪个三角形全等？并说明理由．FA GCED B(2) 求证：△APE ∽△FPA．(3) 猜想：线段PC 、PE 、PF 之间存在什么关系？并说明理由．(1) △APD≌△CPD理由： ∵四边形ABCD 菱形 ∴AD=CD, ∠ADP=∠CDP 又∵PD=PD∴△APD≌△CPD(2) 证明：∵△APD≌△CPD ∴∠DAP=∠DCP∵CD∥BF ∴∠DCP=∠F ∴∠DAP= ∠F 又∵∠APE=∠FPA ∴△APE ∽△FPA(3) 猜想：PF PE PC ∙=2理由: ∵△APE ∽△FPA ∴PAPE FP AP = ∴ PF PE PA ∙=2∵△APD≌△CPD∴PA=PC ∴PF PE PC ∙=218.（本小题满分6分） 解：原式=24212)2)(2(+-÷+-+-x xx x x ………………………1分=xx x x -+⨯+-422162 ………………………2分 =)42(2)4)(4(-+-⨯+-+x x x x x ………………………4分=4--x ………………………5分当34+-=x 时，原式=4)34(-+--=434--=3-．12. （2010•沈阳）如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC 的边长为（ ）A 、9B 、12C 、15D 、18考点：等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质。
数学2007年高考文科试题及解析
2007年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷数 学（文史类）试题全解全析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设全集U ＝{1，3，5，6，8}，A ＝{1，6}，B ＝{5，6，8}，则(C U A)∩B ＝ (A)｛6｝ (B){5，8} (c){6，8} (D){3，5，6，8} (2)已知cos 22πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，且2πϕ<，则tan ϕ＝(A) (B)(C)(D) (3)“x ＞1”是“x 2＞x ”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(4)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是(A)x ＋2y －1＝0 (B)2 x ＋y －1＝0 （C ）2 x ＋y －3＝0 (D) x ＋2y －3＝0(5)要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是(A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3(6)91x ⎫⎪⎭展开式中的常数项是(A) －36 (B)36 (C) －84 (D) 84（7）.若P 是两条异面直线L ，Ｍ外的一点，则 (A)过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行 (B)过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直 (C)过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交 (D)过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面（8）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是 (A1 0．216 (B)0．36 (C)0．432 (D)0．648（9） 若非零向量，a b 满足-=a b b ，则（ ） Ａ．22>-b a b Ｂ．22<-b a b Ｃ．2>-2a a bＤ．2<-2a a b（10）已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab =，则双曲线的离心率是（）Ｃ．2Ｄ．3二．填空题：本大题共7小题．每小题4分．共28分．(11)函数()221x y x R x =∈+的值域是______________．(12)若1sin cos 5θθ+=，则sin 2θ的值是________． (13)某校有学生2000人，其中高三学生500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本．则样本中高三学生的人数为___________．(14)2z x y =+中的x 、y 满足约束条件250300x y x x y -+≥⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩则z 的最小值是_________．(15)曲线32242y x x x =--+在点(1，一3)处的切线方程是___________(16)某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法的种数是__________(用数字作答)．(17)已知点O 在二面角α－AB －β的棱上，点P 在α内，且∠POB ＝45°．若对于β内异于O 的任意一点Q ，都有∠POQ ≥45°，则二面角α－AB －β的取值范围是_________．三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(18)(本题14分)已知△ABC 的周长为＋1，且sinA ＋sin B ＝(I)求边AB 的长；(Ⅱ)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．(19)(本题14分)已知数列{n a }中的相邻两项21k a -、2k a 是关于x 的方程()232320k kx k x k -++⋅= 的两个根，且21k a -≤2k a (k ＝1，2，3，…)．(I)求1357,,,a a a a 及2n a (n ≥4)(不必证明)； (Ⅱ)求数列{n a }的前2n 项和S 2n ．(20)(本题14分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点．(I)求证：CM ⊥EM ： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值．（21）（本题14分）如图，直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．（I ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值；（II ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．(22)(本题15分)已知()221f x x x kx =-++．(I)若k ＝2，求方程()0f x =的解；(II)若关于x 的方程()0f x =在(0，2)上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围，并证明12114x x +<（第21题）2007年普通高等学校统一考试（浙江卷）数学(文)试题答案解析1.【答案】：B【分析】：由于U ＝{1，3，5，6，8}，A ＝{1，6} ∴C U A={3,5,8}∴(C U A)∩B={5， 【高考考点】集合的交集及补集运算【易错点】：混淆集中运算的含义或运算不仔细出错【备考提示】：集合间的交、并、补运算布高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分。
2007年(全国卷II)(含答案)高考文科数学
2007年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分) 1．cos330= （ ）A ．12B ．12-C ．32D ．32-2．设集合{1234}{12}{24}U A B ===，，，，，，，，则()U A B = ð（ ） A ．{2}B ．{3}C ．{124}，，D ．{14}，3．函数sin y x =的一个单调增区间是（ ）A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，4．下列四个数中最大的是（ ） A ．2(ln 2) B ．ln(ln 2)C ．ln 2D ．ln 25．不等式203x x ->+的解集是（ ） A ．(32)-， B ．(2)+∞， C ．(3)(2)-∞-+∞ ，， D ．(2)(3)-∞-+∞ ，，6．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ）A ．23B ．13C ．13-D ．23-7．已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ） A ．36B ．34C ．22D ．328．已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．把函数e x y =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ） A ．e 2x +B ．e 2x -C ．2e x -D ．2e x +10．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ） A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A ．13B ．33C ．12D ．3212．设12F F ，分别是双曲线2219y x +=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF =，则12PF PF += （ ）A ．10B ．210C ．5D ．25二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．14．已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．16．821(12)1x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知34225a S S ==，，求{}n a 的通项公式．18．（本小题满分12分）在ABC△中，已知内角Aπ=3，边23BC=．设内角B x=，周长为y．（1）求函数()y f x=的解析式和定义域；（2）求y的最大值．19．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A=．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD-中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD E F，，分别为AB SC，的中点．（1）证明EF∥平面SAD；（2）设2SD DC=，求二面角A EF D--的大小．A EB CF SD21．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线：43=-y x 相切 （1）求圆O 的方程（2）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|P A |、|PO |、|PB |成等比数列，求PA PB ∙的取值范围。
2007年高考文科数学试题及参考答案(江西卷)
2007年高考文科数学试题及参考答案（江西卷）文科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共150分．第I 卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n kn n P k C P P -=-其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}01M =，，{}012345I =，，，，，，则I M ð为（ ） Ａ．{}01，Ｂ．{}2345，，，Ｃ．{}02345，，，， Ｄ．{}12345，，，， 2．函数5tan(21)y x =+的最小正周期为（ ） Ａ．π4Ｂ．π2Ｃ．π Ｄ．2π3．函数1()lg 4x f x x -=-的定义域为（ ）Ａ．(14)，Ｂ．[14)，Ｃ．(1)(4)-∞+∞ ，，Ｄ．(1](4)-∞+∞ ，，4．若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（ ）Ａ．3- Ｂ．13-Ｃ．3 Ｄ．135．设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++ ， 则01211a a a a ++++ 的值为（ ） Ａ．2-Ｂ．1-Ｃ．1Ｄ．26．一袋中装有大小相同，编号分别为12345678，，，，，，，的八个球，从中有放回．．．地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于．．．15的概率为（ ） Ａ．132Ｂ．164Ｃ．332Ｄ．3647．连接抛物线24x y =的焦点F 与点(10)M ，所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形O A M 的面积为（ ） Ａ．12-+Ｂ．322- Ｃ．12+ Ｄ．322+8．若π02x <<，则下列命题正确的是（ ）Ａ．2sin πx x <Ｂ．2sin πx x >Ｃ．3sin πx x <Ｄ．3sin πx x >9．四面体A B C D 的外接球球心在C D 上，且2C D =，3AD =，在外接球面上两点A B，间的球面距离是（ ） Ａ．π6Ｂ．π3Ｃ．2π3Ｄ．5π610．设32:()21p f x x x m x =+++在()-∞+∞，内单调递增，4:3q m ≥，则p 是q 的（ ）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件11．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，4h ，则它们的大小关系正确的是（ ）Ａ．214h h h >> Ｂ．123h h h >> Ｃ．324h h h >>Ｄ．241h h h >>12．设椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20a x b x c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）Ａ．必在圆222x y +=上 Ｂ．必在圆222x y +=外 Ｃ．必在圆222x y +=内Ｄ．以上三种情形都有可能2007年高考文科数学试题及参考答案（江西卷）文科数学 第II 卷注意事项：第II 卷2页，须要黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试卷题上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上． 13．在平面直角坐标系中，正方形O A B C 的对角线O B 的两端点分别为(00)O ，，(11)B ，，则AB AC =．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++=．15．已知函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，若函数(1)y f x =+的图象经过点(31)，，则函数1()y fx -=的图象必经过点 ．16．如图，正方体1AC 的棱长为1，过点作平面1A B D 的垂线，垂足为点H ．有下列四个命题Ａ．点H 是1A BD △的垂心 Ｂ．A H 垂直平面11C B DＣ．二面角111C B D C --的正切值为2 Ｄ．点H 到平面1111A B C D 的距离为34其中真命题的代号是．（写出所有真命题的代号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）AD1D1C1A 1BBHC已知函数21(0)()21(1)x ccx x c f x c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩ ≤满足29()8f c =．（1）求常数c 的值； （2）解不等式2()18f x >+．18．（本小题满分12分）如图，函数π2cos()(00)2y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y 轴相交于点(03)，，且该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值； （2）已知点π02A ⎛⎫⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是P A 的中点，当032y =，0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值．19．（本小题满分12分）栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗．．，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗．．的概率分别为0.6，0.5，移栽后成活．．的概率分别为0.7，0.9． （1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗．．的概率； （2）求恰好有一种果树能培育成苗．．且移栽成活．．的概率． 20．（本小题满分12分）右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13CC =．（1）设点O 是AB 的中点，证明：O C ∥平面111A B C ； （2）求AB 与平面11AA C C 所成的角的大小； （3）求此几何体的体积． 21．（本小题满分12分）设{}n a 为等比数列，11a =，23a =． （1）求最小的自然数n ，使2007n a ≥； （2）求和：212321232n nn T a a a a =-+--．yx3 OAPABCO1A1B1C22．（本小题满分14分）设动点P 到点1(10)F -，和2(10)F ，的距离分别为1d 和2d ，122F PF θ=∠，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=．（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；（2）如图，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于A B ，两点．问：是否存在λ，使1F AB △是以点B 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西文）参考答案一、选择题1．Ｂ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ａ 6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ｃ 10．Ｃ 11．Ａ 12．Ｃ 二、填空题13．1 14．7 15．(14)， 16．A ，B ，C 三、解答题17．解：（1）因为01c <<，所以2c c <； 由29()8f c =，即3918c +=，12c =．（2）由（1）得411122()211x x x f x x -⎧⎛⎫+0<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨1⎛⎫⎪+< ⎪⎪2⎝⎭⎩，，≤由2()18f x >+得，当102x <<时，解得2142x <<，当112x <≤时，解得1528x <≤，所以2()18f x >+的解集为2548x x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭． 1Fyx 2F OA PB18．解：（1）将0x =，3y =代入函数2cos()y x ωθ=+中得3cos 2θ=，因为π02θ≤≤，所以π6θ=．由已知πT =，且0ω>，得2π2π2T πω===．（2）因为点π02A ⎛⎫⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是P A 的中点，032y =． 所以点P 的坐标为0π232x ⎛⎫-⎪⎝⎭，． 又因为点P 在π2cos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上，且0ππ2x ≤≤，所以05π3cos 462x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 07π5π19π4666x -≤≤，从而得05π11π466x -=或05π13π466x -=，即02π3x =或03π4x =．19．解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件1A ，2A ；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件1B ，2B ，1()0.6P A =，2()0.5P A =，1()0.7P B =，2()0.9P B =． （1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为1212()1()10.40.50.8P A A P A A +=-=-⨯= ；（2）解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件A B ，， 则11()()0.42P A P A B ==，22()()0.45P B P A B ==． 恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为()0.420.550.580.450.492P A B AB +=⨯+⨯=．解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为11211221221212()0.492P A B A A B A B A A B A A B B +++=．20． 解法一：（1）证明：作1O D AA ∥交11A B 于D ，连1C D ． 则11O D BB C C ∥∥， 因为O 是AB 的中点，2CCHO2AA所以1111()32O D A A B B C C =+==．则1ODC C 是平行四边形，因此有1O C C D ∥，1C D ⊂平面111C B A ，且O C ⊄平面111C B A则O C ∥面111A B C ．（2）解：如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1A A ，1C C 于2A ，2C ， 作22BH A C ⊥于H ，因为平面22A BC ⊥平面11AA C C ，则BH ⊥面11AA C C ． 连结A H ，则BAH ∠就是AB 与面11AA C C 所成的角．因为22BH =，5AB =，所以10sin 10BH BAH AB==∠．AB 与面11AA C C 所成的角为10arcsin10BAH =∠．（3）因为22BH =，所以222213B A A CCA A C C V SB H -=．1121(12)23222=+= ． 1112211111212A B C A B C A B C V S B B -=== △．所求几何体的体积为221112232B A A CCA B C A B C V V V --=+=．解法二：（1）证明：如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是AB 的中点，所以1032O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，1102O C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，，易知，(001)n = ，，是平面111A B C 的一个法向量． 由0OC n =且O C ⊄平面111A B C 知O C ∥平面111A B C ．1A1B1CxBz COAy（2）设AB 与面11AA C C 所成的角为θ． 求得1(004)A A = ，，，11(110)A C =- ，，．设()m x y z = ，，是平面11AA C C 的一个法向量，则由11100A A m A C m ⎧=⎪⎨=⎪⎩得00z x y =⎧⎨-=⎩，取1x y ==得：(110)m =，，． 又因为(012)A B =--，，所以，cos m < ，1010m AB AB m AB>==-则10sin 10θ=． 所以AB 与面11AA C C 所成的角为10arcsin 10．（3）同解法一21．解：（1）由已知条件得112113n n n a a a --⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为67320073<<，所以，使2007n a ≥成立的最小自然数8n =． （2）因为223211234213333n n n T -=-+-+- ，…………① 2234212112342123333333n n nn n T --=-+-++-，…………②+①②得：2232124111121333333n n nn T -=-+-+--2211231313n n n -=-+22333843nnn--=所以22223924163n n nnT +--=．22．解：（1）在12PF F △中，122F F =22221212121242cos 2()4sin d d d d d d d d θθ=+-=-+ 212()44d d λ-=-1221d d λ-=-（小于2的常数）故动点P 的轨迹C 是以1F ，2F 为焦点，实轴长221a λ=-的双曲线． 方程为2211xyλλ-=-．（2）方法一：在1AF B △中，设11AF d =，22AF d =，13BF d =，24BF d =． 假设1AF B △为等腰直角三角形，则123434213234222πsin4d d a d d a d d d d d d d λ⎧⎪-=⎪-=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩ ①②③④⑤ 由②与③得22d a =， 则134342222(21)d a d a d d a a=⎧⎪=⎨⎪=-=-⎩ 由⑤得342d d λ=，242(21)2a λ-= (842)(1)2λλ--=，1222(01)17λ-=∈，故存在122217λ-=满足题设条件．方法二：（1）设1AF B △为等腰直角三角形，依题设可得2121221212222πsin π8211cos 4πsin 24A F A F A F A F B F B F B F B F λλλλλ⎧⎧===⎪⎪⎪⎪--⇒⎨⎨⎪⎪=⎪=⎪⎩⎩ ， 所以12121πsin(21)24A F F S A F A F λ==+ △，121212B F F S B F B F λ== △．则1(22)AF B S λ=+△．①由12122221AF F BF F S AF S BF ==+△△，可设2BF d =，则2(21)AF d =+，1(22)BF AB d ==+．则122211(22)22A FB S A Bd ==+△．②由①②得2(22)2d λ+=．③根据双曲线定义12221BF BF a λ-==-可得，(21)21d λ+=-． 平方得：22(21)4(1)d λ+=-．④由③④消去d 可解得，1222(01)17λ-=∈，故存在122217λ-=满足题设条件．。
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【考点28】解三角形1．（2008北京，4）已知ABC ∆中，2=a ，3=b ，060=B ，那么角A 等于 （ ）A ．0135 B ．090C ．045D ．0302．（2008福建，8）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222b c a -+=ac 3，则角B 的值为 （ ） A ．6πB ．3πC ．6π或65πD ．3π或32π3．（200安徽，5）在三角形ABC 中，5=AB ，3=AC ，7=BC ，则∠BAC 的大小为（ ）A ．32πB ．65πC ．43πD ．3π4．（2008江苏，13）满足条件2=AB ，BC AC 2=的三角形ABC 的面积的最大值为 ．5．（2008浙江，14）在ABC ∆中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．若A c b cos )3(-C a cos =，则=A cos ．6．（2008陕西，13）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2=c ，6=b0120=B ，则a = ．7．（2009上海春，8）ABC ∆中，若3=AB ，∠075=ABC ，∠ACB =060，则BC 等于 ． 8．（2008宁夏，海南，17，12分）如图，ACD ∆ 是等边三角形，ABC ∆是ACB =090，BD 交AC 于E ，2=AB ．等腰直角三角形，∠ （1）求cos ∠CBE 的的值；（2）求AE ．9. （2009海南宁夏17）为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内（如示意图）。
飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤。
10．（2009浙江18）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足,5522cos=A .3=⋅AC AB（I ）求ABC ∆的面积；（II ）若b +c =6，求a 的值. 11.(2009安徽文16)在.31sin ,2,==-∆B A C ABC π中 （I ）求A sin 的值； （Ⅱ）设6=AC ，求ABC ∆的面积.12．(2009福建文7)已知锐角ABC ∆的面积为33，4,3BC CA ==，则角C 的大小为 ( ) A ．75° B ．60°C ．45°D ．30° 13. （2009海南宁夏文17） 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量。
已知AB=50m,BC=120m ，于A 处测得水深AD=80m ，于B 处测得水深BE=200m ，于C 处测得CF=110m ，求DEF ∠的余弦值。
14．（2009辽宁文18）如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔 的塔顶，测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测 得B 点和D 点的仰角均为60°，AC=0.1km ， 试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距 离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01km ，449.26,414.12≈≈）15. （2009山东文17）已知函数x x x x f sin sin cos 2cos sin 2)(2-+=ϕϕππϕ=<<x 在)0(处取最小值。
（I ）求ϕ的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角A ，B ，C 的对边，已知,23)(,2,1===A f b a 求角C 。
16．（2009上海春文）在△ABC 中，若οο60,75,3=∠=∠=ACB ABC AB ，则BC 等于 .17. （2009上海文20） 已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =u r， (sin ,sin )n B A =r ，(2,2)p b a =--u r.若m u r //n r，求证：ΔABC 为等腰三角形； 若m u r ⊥p u r ，边长c = 2，角C = 3π，求ΔABC 的面积 .18.（2009天津文17） 在.sin 2sin ,3,5,A C AC BC ABC ===∆中（I ）求AB 的值；（Ⅱ）求)42sin(π-A 的值。
19.（2009浙江文18）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足,5522cos=A .3=⋅（I ）求ABC ∆的面积；（II ）若c =1，求a 的值.高考真题答案与解析数 学（文）解三角形1．【答案】C 【解析】根据正弦定理BbA a sin sin =得：A sin 2=22sin 60sin 30=⇒A ，又b a <，∴B A <， 045=A ，故选C ．2．【答案】A【解析】由余弦定理得acb c a B 2cos 222-+=，由2a +acbc 322=-，∴2323cos ==ac ac B ，又π<<B 0，∴6π=B ，故选A ．3．【答案】A【解析】由余弦定理得cos ∠352735222⨯⨯-+=BAC =.21-∴∠32π=BAC ．故选A ．4．【答案】22【解析】设x BC =，则x AC 2=，根据面积公式得AB S ABC 21=∆·BC ·⨯=21sin B B x 2cos 12-，根据余弦定理得BC AB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222x x x 4)2(422-+= xx442-=，代入上式可得22441⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∆x x x S ABC=16)12(12822--x ． 由三角形三边关系有⎪⎩⎪⎨⎧>+>+,22,22x x x x 解得22-2<x 222+<，故当32=x 时，ABC S ∆取得最大 值.225．【答案】33【解析】由已知得A c C a A b cos cos cos 3⋅+=ab c b a a 2222-+⋅=+bca cbc 2222-+⋅=b ，∴333cos ==bb A ． 6．【答案】2【解析】由余弦定理得0222120cos 2ac c a b -+=， 即22122262=⇒⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅-+=a a a 或22-=a （舍去）． 7．【答案】6【解析】∠0457560180=--=BAC ，由正弦定理，得BAC BC ∠sin =BCAAB∠sin ，∴=BC 62322360sin 45sin 30=⨯=⨯． 8．【解析】（1）因为∠01506090=+=BCD ，CD AC CB ==，所以∠015=CBE ．所以cos ∠015=CBE ．所以cos ∠=CBE )3045cos(0--426+．（2）在ABE ∆中，2=AB 上正弦定理)1545sin(00-AE =)1590sin(20+，故=AE 42621215cos 30sin 20+⨯==26-．9．【解析】：方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角11,βa ；B 点到M ，N 的俯角22,βα；A 、B 的距离d （如图所示）.②第一步：计算AM ，由正弦定理)sin(sin 212ααα+=d AM ；第二步：计算AN ，由正弦定理)sin(sin 122βββ-=d AN ；第三步：计算MN ，由正弦定理)cos(21122βα-⨯-+=AN AM AN AM MN .方案二：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角11,βa ；B 点到M ，N 的俯角22,βα；A 、B 的距离d （如图所示）. ②第一步：计算BM ，由正弦定理)sin(sin 212ααα+=d BM ；第二步：计算BN ，由正弦定理)sin(sin 122βββ-=d BN ；第三步：计算MN ，由正弦定理)cos(22222αβ+⨯-+=BN BM BN BM MN .10【解析】 （I ）解：因为,5522cos=A 所以,5312cos 2cos 2=-=A A .54sin =A又由3=⋅AC AB ，得,3cos =A bc所以.5=bc 因此.2sin 21==∆A bc S ABC （Ⅱ）解：由（I ）知 ,5=bc 又6=+c b 所以.5,11,5====c b c b 或由余弦定理，得.20cos 2222=-+=A bc c b a解得52=a11【解析】．解：（1）由ππ=++=-C B A A C 和2，得.40,22ππ<<--=A B A故,31sin 21,sin 2cos =-=2A B A 即.33sin =A （II ）由（I ）得.36cos =A 又由正弦定理得，,23sin sin ,sin sin ===AC BABC B AC A BC 所以.sin 21=⋅⋅=∆C BC AC S ABC 23cos 21=⋅⋅=A BC AC 12．【答案】B 【解析】由23sin sin 21=⇒⨯⨯=∆C C CA BC S ABC，ο60=C ，故选B 。
13．【解析】：作DM//AC 交BE 于N ，交CF 于M 。
29810170302222=+=+=DM MF DF 130120502222=+=+=EN DN DE.15012090)(2222=+=+-=BC FC BE EF在DEF ∆中，由余弦定理，EF DE DF EF DE DEF ⨯-+=∠2cos 222.6516150130229810150130222=⨯⨯⨯-+=14．【解析】：在△ACD 中，∠DAC=30°，∠ADC=60°—∠DAC=30°，所以CD=AC=0.1. 又∠BCD=180°—60°—60°=60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD=BA. ………………5分kmBD AC AB ABC ACBCA AB ABC 33.020623,,2062315sin 60sin ,sin sin ,0=+=+==∠=∠∆因此即中在 故B ，D 的距离约为0.33km.15.【解析】（Ⅰ）f(x)＝2sinx1cos cos sin sin 2x x ϕϕ++- x x x x sin sin cos cos sin sin -++=ϕ＝sin(x+ϕ).因为 f(x)在x ＝π时取最小值，所以 sin(π+ϕ)=-1,故 sin ϕ=1.又 0＜ϕ＜π，所以ϕ＝2π， （Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=sin(x+2π)=cosx.因为f(A)=cosA=3,且A 为△ABC 的角，所以A ＝6π. 由正弦定理得 sinB ＝sin b Aa=22, 又b ＞a ，所以 B ＝4π时，7,6412C A B πππππ--=--=＝当4π=B 时，,12746πππππ=--=--=B A C当43π=B 时，.12436πππππ=--=--=B A C综上所述，12127ππ==C C 或16.【答案】6。