07高考文科数学真题解三角形

【考点28】解三角形

1．（2008北京，4）已知ABC ?中，2=a ，3=b ，

060=B ，那么角A 等于 （ ）

A ．0

135 B ．0

90

C ．045

D ．0

30

2．（2008福建，8）在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222b c a -+=ac 3，

则角B 的值为 （ ） A ．6

π

B ．

3

π

C ．6

π或65π

D ．3

π或32π

3．（200安徽，5）在三角形ABC 中，5=AB ，

3=AC ，7=BC ，则∠BAC 的大小为（ ）

A ．32π

B ．65π

C ．43π

D ．3

π

4．（2008江苏，13）满足条件2=AB ，BC AC 2=

的三角形ABC 的面积的最大值为 ．

5．（2008浙江，14）在ABC ?中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．若A c b cos )3(-

C a cos =，则=A cos ．

6．（2008陕西，13）ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2=c ，6=b

0120=B ，则a = ．

7．（2009上海春，8）ABC ?中，若3=AB ，∠0

75=ABC ，∠ACB =0

60，则BC 等于 ． 8．（2008宁夏，海南，17，12

分）如图，ACD ? 是等边三角形，ABC ?是

ACB =090，BD 交AC 于E ，2=AB ．

等腰直角三角形，∠ （1）求cos ∠CBE 的的值；

（2）求AE ．

9. （2009海南宁夏17）

为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内（如示意图）。飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤。

10．（2009浙江18）在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足,5

5

22cos

=A .3=?AC AB

（I ）求ABC ?的面积；

（II ）若b +c =6，求a 的值. 11.(2009安徽文16)

在.3

1

sin ,2,==

-?B A C ABC π

中 （I ）求A sin 的值； （Ⅱ）设6=

AC ，求ABC ?的面积.

12．(2009福建文7)已知锐角ABC ?的面积为33，4,3BC CA ==，则角C 的大小为 ( ) A ．75° B ．60°

C ．45°

D ．30° 13. （2009海南宁夏文17） 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量。已知

AB=50m,BC=120m ，于A 处测得水深AD=80m ，于B 处测得水深BE=200m ，于C 处测得CF=110m ，求DEF ∠的余弦值。

14．（2009辽宁文18）

如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平

面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔 的塔顶，测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测 得B 点和D 点的仰角均为60°，AC=0.1km ， 试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距 离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精

确到0.01km ，449.26,414.12≈≈）

15. （2009山东文17）已知函数

x x x x f sin sin cos 2

cos sin 2)(2

-+=??

ππ?=<

（I ）求?的值；

（Ⅱ）在ABC ?中，c b a ,,分别是角A ，B ，C 的对边，已知,2

3

)(,2,1=

==A f b a 求角C 。 16．（2009上海春文）在△ABC 中，若οο60,75,3=∠=∠=ACB ABC AB ，则BC 等于 .

17. （2009上海文20） 已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =u r

， (sin ,sin )n B A =r ，(2,2)p b a =--u r

.

若m u r //n r

，求证：ΔABC 为等腰三角形； 若m u r ⊥p u r ，边长c = 2，角C = 3

π

，求ΔABC 的面积 .

18.（2009天津文17） 在.sin 2sin ,3,5,A C AC BC ABC ===

?中

（I ）求AB 的值；

（Ⅱ）求)4

2sin(π

-

A 的值。

19.（2009浙江文18）在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足,5

522cos

=A .3=?

（I ）求ABC ?的面积；

（II ）若c =1，求a 的值.

高考真题答案与解析

数 学（文）

解三角形

1．【答案】C 【解析】根据正弦定理

B

b

A a sin sin =

得：A sin 2=22sin 60sin 30=?A ，又b a <，∴B A <， 045=A ，故选C ．

2．【答案】A

【解析】由余弦定理得ac

b c a B 2cos 222-+=，由2

a +ac

b

c 322=-，∴2323cos ==ac ac B ，又

π<

π

=

B ，故选A ．

3．【答案】A

【解析】由余弦定理得cos ∠352735222??-+=BAC =.21-∴∠3

2π

=BAC ．故选A ．

4．【答案】22

【解析】设x BC =，则x AC 2=

，根据面积公式得AB S ABC 21=

?·BC ·?=2

1sin B B x 2

cos 12-，根据余弦定理得BC AB AC BC AB B ?-+=

2cos 222x x x 4)2(422-+= x

x

442

-=

，代入上式可得2

2441???

? ??--=?x x x S ABC

=16)12(1282

2--x ． 由三角形三边关系有?????>+>+,

22,

22x x x x 解得22-2

大 值.22

5．【答案】

3

3

【解析】由已知得A c C a A b cos cos cos 3?+=ab c b a a 2222-+?=+bc

a c

b

c 22

22-+?=b ，

∴3

3

3cos =

=

b

b A ． 6．【答案】2

【解析】由余弦定理得0

222120cos 2ac c a b -+=， 即22122262

=???

?

??-

??-+=a a a 或22-=a （舍去）

． 7．【答案】6

【解析】∠0

457560180=--=BAC ，由正弦定理，得

BAC BC ∠sin =BCA

AB

∠sin ，

∴=BC 62

322

360

sin 45sin 30

=?

=?． 8．【解析】（1）因为∠0

1506090=+=BCD ，CD AC CB ==，所以∠0

15=CBE ．

所以cos ∠0

15=CBE ．所以cos ∠=CBE )3045cos(0

--4

2

6+．

（2）在ABE ?中，2=AB 上正弦定理

)1545sin(00-AE =)

1590sin(2

0+，

故=

AE 4

262

1215

cos 30

sin 20

+?

==26-．

9．【解析】：

方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角11,βa ；B 点到M ，N 的俯角22,βα；A 、B 的距离d （如图所示）.

②第一步：计算AM ，由正弦定理)

sin(sin 212

ααα+=

d AM ；

第二步：计算AN ，由正弦定理)

sin(sin 122

βββ-=

d AN ；

第三步：计算MN ，由正弦定理)cos(21122βα-?-+=AN AM AN AM MN .

方案二：①需要测量的数据有：

A 点到M ，N 点的俯角11,βa ；

B 点到M ，N 的俯角22,βα；A 、B 的距离d （如图所示）. ②第一步：计算BM ，由正弦定理)

sin(sin 212

ααα+=

d BM ；

第二步：计算BN ，由正弦定理)

sin(sin 122

βββ-=

d BN ；

第三步：计算MN ，由正弦定理)cos(22222αβ+?-+=

BN BM BN BM MN .

10【解析】 （I ）解：因为,5

522cos

=A 所以,5

3

12cos 2cos 2

=-=A A .5

4

sin =

A

又由3=?AC AB ，得,3cos =A bc

所以.5=bc 因此.2sin 2

1

==

?A bc S ABC （Ⅱ）解：由（I ）知 ,5=bc 又6=+c b 所以.5,11,5====c b c b 或

由余弦定理，得

.20cos 2222=-+=A bc c b a

解得52=a

11【解析】．

解：（1）由ππ

=++=

-C B A A C 和2

，得.4

0,2

2π

π

<

<--

=A B A

故,3

1

sin 21,sin 2cos =

-=2A B A 即.33sin =A （II ）由（I ）得.36cos =

A 又由正弦定理得，,23sin sin ,sin sin ===AC B

A

BC B AC A BC 所以.sin 21=??=

?C BC AC S ABC 23cos 2

1

=??=A BC AC 12．【答案】B 【解析】由2

3sin sin 21=???=

?C C CA BC S ABC

，ο

60=C ，故选B 。 13．【解析】：

作DM//AC 交BE 于N ，交CF 于M 。 29810170302222=+=+=DM MF DF 130120502222=+=+=EN DN DE

.15012090)(2222=+=+-=BC FC BE EF

在DEF ?中，由余弦定理，

EF DE DF EF DE DEF ?-+=∠2cos 2

22

.

6516150130229810150130222=???-+=

14．【解析】：

在△ACD 中，∠DAC=30°，∠ADC=60°—∠DAC=30°，所以CD=AC=0.1. 又∠BCD=180°—60°—60°=60°，

故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD=BA. ………………5分

km

BD AC AB ABC AC

BCA AB ABC 33.0206

23,,206

2315

sin 60sin ,

sin sin ,

0=+=+==∠=∠?因此即中在 故B ，D 的距离约为0.33km.

15.【解析】

（Ⅰ）f(x)＝2sinx

1cos cos sin sin 2

x x ?

?++- x x x x sin sin cos cos sin sin -++=?

＝sin(x+?).

因为 f(x)在x ＝π时取最小值，所以 sin(π+?)=-1,故 sin ?=1.

又 0＜?＜π，所以?＝2π， （Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=sin(x+2

π

)=cosx.

因为f(A)=cosA=

3,且A 为△ABC 的角，所以A ＝6

π. 由正弦定理得 sinB ＝

sin b A

a

=22, 又b ＞a ，所以 B ＝

4π时，7,6412C A B πππ

ππ--=--=＝

当4π=B 时，,12746πππππ=--=--=B A C

当43π=B 时，.12

436πππππ=--=--=B A C

综上所述，12

127π

π==C C 或

16.【答案】

6。

【解析】,45ο=∠BAC

由正弦定理知：

6sin sin =?∠=∠BC BAC

BC

ACB AB 。

17．证明：（1）,//ΘB b A a sin sin =∴，

即

R b

b R a a 22?=?

，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，

b a =∴.ABC ?∴为等腰三角形.

[解]（2）由题意可知

.0)2()2(,0=-+-=?a b b a p m 即.ab b a =+∴

由余弦定得理可知，ab b a ab b a 3)(42

2

2

-+=-+=

即.043)(2

=--ab ab ),1(4-==∴ab ab 舍去.33sin 421sin 21=??==

∴π

C ab S

18【解析】

（I ）解：在ABC ?中，根据正弦定理，

.sin sin A BC C AB =于是.522sin sin ===BC BC A

C

AB （Ⅱ）解：在ABC ?，根据余弦定得，得 5

5

22cos 222=?-+=AC AB BC AC AB A

于是5

5

cos 1sin 2

=

-=A A

从而.5

3

sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-==

=A A A A A A

所以.10

2

4

sin

2cos 4

cos

2sin )4

2sin(=

-=-

π

π

π

A A A 19.【解析】

（I ）解：因为,5522cos =A 所以,5

312cos 2cos 2=-=A A .5

4

sin =

A

又由3=?AC AB ，得,3cos =A bc 所以.5=bc 因此.2sin 2

1

==

?A bc S ABC （Ⅱ）解：由（I ）知 ,5=bc 又6=+c b 所以1,5==c b

由余弦定理，得

.20cos 2222=-+=A bc c b a 解得52=a 。