2014-2019历年高考文科数学函数真题全国卷
2014年全国高考新课标i高中数学文科试卷和答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标I 文科卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}{}12|,31|≤≤-=≤≤-=x x B x x M ，则MB =（ ）A. )1,2(-B. )1,1(-C. )3,1(D. )3,2(- （2）若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α （3）设i iz ++=11，则=||z A. 21 B. 22 C. 23 D. 2（4）已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B.26 C. 25D. 1 （5）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是A. )()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数 （6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+ A. AD B.AD 21 C. BC 21D. BC （7）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱9.执行右面的程序框图，若输入的,,a b k分别为1,2,3，则输出的M ( )A.203B.72C.165D.15810.已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A 00,是C 上一点，zxxk x F A 045=，则=x 0（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8（11）设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =（A ）-5 （B ）3 （C ）-5或3 （D ）5或-3（12）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值 范围是（A ）()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞-第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、zxxk C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为________.（15）设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.（16）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)最新修正版
2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3） D．（﹣2，3）2．（5分）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞03．（5分）设z=+i，则|z|=（）A．B．C．D．24．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（）A．2 B．C．D．15．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．7．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+），④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）A．1 B．2 C．4 D．811．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣312．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是．16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN=m．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．21．（12分）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
全国高中高考数学卷文科卷1试卷试题及答案解析.doc
2014 年全国高考数学卷文科卷 1 试题及答案解析2014 年全国高考数学卷文科卷 1学校 :___________姓名： ___________班级： ___________考号： ___________ 一、选择题（题型注释）1．已知集合，则（）A.B.C.D.2．若，则A.B.C.D.3．设，则A.B.C.D. 24．已知双曲线的离心率为2，则A. 2B.C.D. 15．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是A. 是偶函数B.是奇函数C.是奇函数D. 是奇函数6．设分别为的 xx 的中点，则A.B.C.D.7．在函数①，②，③ ,④中，最小正周期为的所有函数为A. ①②③B. ①③④C. ②④D. ①③8．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A. 三棱锥B. 三棱柱C.四棱锥D.四棱柱9．执行右面的程序框图，若输入的分别为1,2,3 ，则输出的 ()A. B.C.D.10．已知抛物线 C：的焦点为 , 是 Cxx一点，，则（）试卷第 2 页，总 6 页2014 年全国高考数学卷文科卷 1 试题及答案解析A. 1B. . 4 D. 811．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（A）（ B）（ C）（ D）二、填空题（题型注释）12．设，满足约束条件且的最小值为7，则（A）-5 （B）3（C）-5 或 3（ D）5 或-313．将2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为________.14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过、、三个xx 时，甲说：我去过的xx 比乙多，但没去过xx；乙说：我没去过xx；丙说：我们三人去过同一xx；由此可判断乙去过的xx 为________.15．设函数则使得成立的的取值范围是________.16．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点. 从点测得点的xx，点的 xx 以及；从点测得 . 已知山高，则山高 ________.三、解答题（题型注释）17．已知是递增的等差数列，，是方程的根。
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)解析版
2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）解析版参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合{2A =-，0，2}，2{|20}B x x x =--=，则(A B = )A ．∅B ．{2}C ．{0}D ．{2}-【考点】1E ：交集及其运算 【专题】5J ：集合【分析】先解出集合B ，再求两集合的交集即可得出正确选项． 【解答】解：{2A =-，0，2}，2{|20}{1B x x x =--==-，2}，{2}AB ∴=．故选：B ．【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键． 2．（5分）13(1ii+=- ) A ．12i + B ．12i -+ C ．12i - D ．12i --【考点】5A ：复数的运算 【专题】5N ：数系的扩充和复数【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数1i +化简即可． 【解答】解：化简可得213(13)(1)13424121(1)(1)12i i i i ii i i i i +++-+-+====-+--+- 故选：B ．【点评】本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题．3．（5分）函数()f x 在0x x =处导数存在，若00:()0::p f x q x x '==是()f x 的极值点，则()A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件 【专题】5L ：简易逻辑【分析】根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：函数3()f x x =的导数为2()3f x x '=，由0()0f x '=，得00x =，但此时函数()f x 单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若0x x =是()f x 的极值点，则0()0f x '=成立，即必要性成立， 故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件， 故选：C ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）设向量a ，b 满足||10a b +=，||6a b -=，则(a b = ) A ．1B ．2C ．3D ．5【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算 【专题】5A ：平面向量及应用【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论． 【解答】解：||10a b +=，||6a b -=，∴分别平方得22210a a b b ++=，2226a a b b -+=，两式相减得41064a b =-=， 即1a b =， 故选：A ．【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础． 5．（5分）等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和(n S =)A ．(1)n n +B ．(1)n n -C ．(1)2n n + D ．(1)2n n - 【考点】83：等差数列的性质【专题】54：等差数列与等比数列【分析】由题意可得2444(4)(8)a a a =-+，解得4a 可得1a ，代入求和公式可得． 【解答】解：由题意可得2428a a a =， 即2444(4)(8)a a a =-+， 解得48a =， 14322a a ∴=-⨯=，1(1)2n n n S na d -∴=+， (1)22(1)2n n n n n -=+⨯=+， 故选：A ．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1)cm ，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A ．1727B ．59C ．1027 D ．13【考点】!L ：由三视图求面积、体积 【专题】5F ：空间位置关系与距离【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可． 【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：22322434πππ+=．底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯的体积为：23654ππ⨯= 切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：5434105427πππ-=． 故选：C ．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为( )A ．3B ．32C ．1D 【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积 【专题】5F ：空间位置关系与距离【分析】由题意求出底面11B DC 的面积，求出A 到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．【解答】解：正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，∴底面11B DC 的面积：122⨯A三棱锥11A B DC -的体积为：113．故选：C ．【点评】本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键． 8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x ，t 均为2，则输出的(S = )A ．4B ．5C ．6D ．7【考点】EF ：程序框图 【专题】5K ：算法和程序框图【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论． 【解答】解：若2x t ==，则第一次循环，12…成立，则1221M =⨯=，235S =+=，2k =，第二次循环，22…成立，则2222M =⨯=，257S =+=，3k =，此时32…不成立，输出7S =， 故选：D ．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．9．（5分）设x ，y 满足约束条件1010330x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩………，则2z x y =+的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．1【考点】7C ：简单线性规划 【专题】59：不等式的解法及应用【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域， 由2z x y =+，得122zy x =-+，平移直线122z y x =-+，由图象可知当直线122z y x =-+经过点A 时，直线122zy x =-+的截距最大，此时z 最大． 由10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得32x y =⎧⎨=⎩，即(3,2)A ，此时z 的最大值为3227z =+⨯=， 故选：B ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 10．（5分）设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交于C 于A ，B 两点，则||(AB = )A B ．6 C ．12 D ．【考点】8K ：抛物线的性质【专题】5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得||AB ．【解答】解：由23y x =得其焦点3(4F ，0)，准线方程为34x =-．则过抛物线23y x =的焦点F 且倾斜角为30︒的直线方程为33tan30())44y x x =︒--．代入抛物线方程，消去y ，得21616890x x -+=． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 则1216821162x x +==， 所以12333321||1244442AB x x =+++=++= 故选：C ．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键．11．（5分）若函数()f x kx ln =- x 在区间(1,)+∞单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(-∞，2]-B ．(-∞，1]-C ．[2，)+∞D ．[1，)+∞【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性【专题】38：对应思想；4R ：转化法；51：函数的性质及应用【分析】求出导函数()f x '，由于函数()f x kx lnx =-在区间(1,)+∞单调递增，可得()0f x '…在区间(1,)+∞上恒成立．解出即可． 【解答】解：1()f x k x'=-， 函数()f x kx lnx =-在区间(1,)+∞单调递增， ()0f x ∴'…在区间(1,)+∞上恒成立． 1k x∴…，而1y x=在区间(1,)+∞上单调递减， 1k ∴…．k ∴的取值范围是：[1，)+∞．故选：D ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题． 12．（5分）设点0(M x ，1)，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是( )A ．[1-，1]B ．1[2-，1]2C ．[D ．[ 【考点】JE ：直线和圆的方程的应用 【专题】5B ：直线与圆【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点0(M x ，1)，要使圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则OMN ∠的最大值大于或等于45︒时一定存在点N ，使得45OMN ∠=︒， 而当MN 与圆相切时OMN ∠取得最大值， 此时1MN =，图中只有M '到M ''之间的区域满足1MN =， 0x ∴的取值范围是[1-，1]．故选：A ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为13． 【考点】8C ：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式 【专题】5I ：概率与统计【分析】所有的选法共有339⨯=种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，由此求得他们选择相同颜色运动服的概率．【解答】解：所有的选法共有339⨯=种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种， 故他们选择相同颜色运动服的概率为3193=，故答案为：13．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题． 14．（5分）函数()sin()2sin cos f x x x ϕϕ=+-的最大值为 1 ． 【考点】GP ：两角和与差的三角函数；HW ：三角函数的最值 【专题】56：三角函数的求值；57：三角函数的图象与性质【分析】直接利用两角和与差三角函数化简，然后求解函数的最大值． 【解答】解：函数()sin()2sin cos f x x x ϕϕ=+- sin cos sin cos 2sin cos x x x ϕϕϕ=+- sin cos sin cos x x ϕϕ=- sin()1x ϕ=-…．所以函数的最大值为1． 故答案为：1．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数最值的求解，考查计算能力． 15．（5分）偶函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，f （3）3=，则(1)f -= 3 ． 【考点】3K ：函数奇偶性的性质与判断 【专题】51：函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质，得到(4)()f x f x +=，即可得到结论． 【解答】解：法1：因为偶函数()y f x =的图象关于直线2x =对称， 所以(2)(2)(2)f x f x f x +=-=-， 即(4)()f x f x +=，则(1)(14)f f f -=-+=（3）3=，法2：因为函数()y f x =的图象关于直线2x =对称， 所以f （1）f =（3）3=， 因为()f x 是偶函数， 所以(1)f f -=（1）3=， 故答案为：3．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性(4)()f x f x +=是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）数列{}n a 满足111n n a a +=-，82a =，则1a = 12．【考点】8H ：数列递推式 【专题】11：计算题【分析】根据82a =，令7n =代入递推公式111n na a +=-，求得7a ，再依次求出6a ，5a 的结果，发现规律，求出1a 的值． 【解答】解：由题意得，111n na a +=-，82a =， 令7n =代入上式得，8711a a =-，解得712a =； 令6n =代入得，7611a a =-，解得61a =-； 令5n =代入得，6511a a =-，解得52a =； ⋯根据以上结果发现，求得结果按2，12，1-循环， 8322÷=⋯，故112a =故答案为：12． 【点评】本题考查了数列递推公式的简单应用，即给n 具体的值代入后求数列的项，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，1AB =，3BC =，2CD DA ==． （1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积．【考点】HP ：正弦定理；HR ：余弦定理 【专题】56：三角函数的求值【分析】（1）在三角形BCD 中，利用余弦定理列出关系式，将BC ，CD ，以及cos C 的值代入表示出2BD ，在三角形ABD 中，利用余弦定理列出关系式，将AB ，DA 以及cos A 的值代入表示出2BD ，两者相等求出cos C 的值，确定出C 的度数，进而求出BD 的长； （2）由C 的度数求出A 的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABD 与三角形BCD 面积，之和即为四边形ABCD 面积．【解答】解：（1）在BCD ∆中，3BC =，2CD =，由余弦定理得：2222cos 1312cos BD BC CD BC CD C C =+-=-①，在ABD ∆中，1AB =，2DA =，A C π+=，由余弦定理得：2222cos 54cos 54cos BD AB AD AB AD A A C =+-=-=+②， 由①②得：1cos 2C =，则60C =︒，BD （2）1cos 2C =，1cos 2A =-，sin sin C A ∴==则1111sin sin 12322222S AB DA A BC CD C =+=⨯⨯+⨯⨯=【点评】此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：//PB 平面AEC ；（Ⅱ）设1AP =，AD =，三棱锥P ABD -的体积V =，求A 到平面PBC 的距离．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS ：直线与平面平行；MK ：点、线、面间的距离计算【专题】5F ：空间位置关系与距离【分析】（Ⅰ）设BD 与AC 的交点为O ，连结EO ，通过直线与平面平行的判定定理证明//PB 平面AEC ；（Ⅱ）通过1AP =，AD =三棱锥P ABD -的体积V =，求出AB ，作A H P B ⊥角PB于H ，说明AH 就是A 到平面PBC 的距离．通过解三角形求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）证明：设BD 与AC 的交点为O ，连结EO ， ABCD 是矩形， O ∴为BD 的中点E 为PD 的中点，//EO PB ∴．EO ⊂平面AEC ，PB ⊂/平面AEC//PB ∴平面AEC ；（Ⅱ）1AP =，AD ，三棱锥P ABD -的体积V =，136V PA AB AD AB ∴===，32AB ∴=，PB =． 作AH PB ⊥交PB 于H ， 由题意可知BC ⊥平面PAB ， BC AH ∴⊥，故AH ⊥平面PBC ．又在三角形PAB 中，由射影定理可得：313PA AB AH PB ==A 到平面PBC ．【点评】本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数； （Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； （Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．【考点】BA ：茎叶图；BB ：众数、中位数、平均数；CB ：古典概型及其概率计算公式 【专题】5I ：概率与统计【分析】（Ⅰ）根据茎叶图的知识，中位数是指中间的一个或两个的平均数，首先要排序，然后再找，（Ⅱ）利用样本来估计总体，只要求出样本的概率就可以了．（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结果和茎叶图，合理的评价，恰当的描述即可．【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是6668672+=，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67． （Ⅱ）由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为580.1,0.165050==，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，（Ⅲ）由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．【点评】本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．20．（12分）设1F ，2F 分别是2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，M 是C 上一点且2MF与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ． （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求a ，b ． 【考点】4K ：椭圆的性质【专题】5E ：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（1）根据条件求出M 的坐标，利用直线MN 的斜率为34，建立关于a ，c 的方程即可求C 的离心率；（2）根据直线MN 在y 轴上的截距为2，以及1||5||MN F N =，建立方程组关系，求出N 的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，M ∴的横坐标为c ，当x c =时，2b y a=，即2(,)b M c a ，若直线MN 的斜率为34，即22123tan 224b b a MF Fc ac ∠===， 即22232b ac a c ==-，即22302c ac a +-=，则23102e e +-=，即22320e e +-= 解得12e =或2e =-（舍去）， 即12e =． （Ⅱ）由题意，原点O 是12F F 的中点，则直线1MF 与y 轴的交点(0,2)D 是线段1MF 的中点， 设(,)M c y ，(0)y >，则22221c y a b +=，即422b y a =，解得2b y a=， OD 是△12MF F 的中位线，∴24b a=，即24b a =， 由1||5||MN F N =， 则11||4||MF F N =， 解得11||2||DF F N =， 即112DF F N =设1(N x ，1)y ，由题意知10y <， 则(c -，12)2(x c -=+，1)y ． 即112()22x c c y +=-⎧⎨=-⎩，即11321x c y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩代入椭圆方程得2229114c a b+=，将24b a =代入得229(4)1144a a a a-+=，解得7a =，b =【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-． （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】53：导数的综合应用【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可求a ；（Ⅱ）构造函数()()2g x f x kx =-+，利用函数导数和极值之间的关系即可得到结论． 【解答】解：（Ⅰ）函数的导数2()36f x x x a '=-+；(0)f a '=； 则()y f x =在点(0,2)处的切线方程为2y ax =+， 切线与x 轴交点的横坐标为2-， (2)220f a ∴-=-+=，解得1a =．（Ⅱ）当1a =时，32()32f x x x x =-++， 设32()()23(1)4g x f x kx x x k x =-+=-+-+， 由题设知10k ->，当0x …时，2()3610g x x x k '=-+->，()g x 单调递增，(1)1g k -=-，(0)4g =， 当0x >时，令32()34h x x x =-+，则()()(1)()g x h x k x h x =+->． 则2()363(2)h x x x x x '=-=-在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞单调递增，∴在2x =时，()h x 取得极小值h （2）0=，(1)1g k -=-，(0)4g =，则()0g x =在(-∞，0]有唯一实根． ()()g x h x h >…（2）0=， ()0g x ∴=在(0,)+∞上没有实根．综上当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点．【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及函数交点个数的判断，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力． 三、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E ，证明：（Ⅰ）BE EC =； （Ⅱ）22AD DE PB =．【考点】4N ：相似三角形的判定；NC ：与圆有关的比例线段 【专题】17：选作题；5Q ：立体几何【分析】（Ⅰ）连接OE ，OA ，证明OE BC ⊥，可得E 是BC 的中点，从而BE EC =； （Ⅱ）利用切割线定理证明2PD PB =，PB BD =，结合相交弦定理可得22AD DE PB =． 【解答】证明：（Ⅰ）连接OE ，OA ，则OAE OEA ∠=∠，90OAP ∠=︒， 2PC PA =，D 为PC 的中点，PA PD ∴=， PAD PDA ∴∠=∠，PDA CDE ∠=∠，90OEA CDE OAE PAD ∴∠+∠=∠+∠=︒， OE BC ∴⊥，E ∴是BC 的中点，BE EC ∴=；（Ⅱ）PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ， 2PA PB PC ∴=， 2PC PA =，2PA PB ∴=， 2PD PB ∴=， PB BD ∴=，2BD DC PB PB ∴=， AD DE BD DC =，22AD DE PB ∴=．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 四、选修4-4，坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，[0θ∈，]2π（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在半圆C 上，半圆C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD 的倾斜角及D 的坐标． 【考点】QH ：参数方程化成普通方程 【专题】5S ：坐标系和参数方程【分析】（1）利用222cos x y x ρρθ⎧=+⎨=⎩即可得出直角坐标方程，利用22cos sin 1t t +=进而得出参数方程．（2）利用半圆C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，则直线CD 的斜率与直线l 的斜率相等，即可得出直线CD 的倾斜角及D 的坐标．【解答】解：（1）由半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，[0θ∈，]2π，即22cos ρρθ=，可得C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=剟． 可得C 的参数方程为1cos (sin x tt y t =+⎧⎨=⎩为参数，0)t π剟．（2）设(1cos D + t ，sin )t ，由（1）知C 是以(1,0)C 为圆心，1为半径的上半圆，直线CD 的斜率与直线l 的斜率相等，tan t ∴=3t π=．故D 的直角坐标为(1cos ,sin )33ππ+，即3(2．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 五、选修4-5：不等式选讲 24．设函数1()||||(0)f x x x a a a=++->． （Ⅰ）证明：()2f x …；（Ⅱ）若f （3）5<，求a 的取值范围． 【考点】5R ：绝对值不等式的解法 【专题】59：不等式的解法及应用 【分析】（Ⅰ）由0a >，1()||||f x x x a a=++-，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得()2f x …成立．（Ⅱ）由f （3）1|3||3|5a a=++-<，分当3a >时和当03a <…时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求． 【解答】解：（Ⅰ）证明：a >，1111()|||||()()|||2f x x x a x x a a a a a a a a a=++-+--=+=+=厖， 故不等式()2f x …成立． （Ⅱ）f （3）1|3||3|5a a=++-<，∴当3a >时，不等式即15a a+<，即2510a a -+<，解得3a <<当03a <…时，不等式即165a a-+<，即210a a -->3a <…．综上可得，a 的取值范围．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)教师版
2014 年全国一致高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的1．（5 分）（2014?新课标Ⅰ）已知会合M={ x| ﹣1＜x＜3} ，N={ x| ﹣2＜x＜1} ，则 M∩N=（）A．（﹣ 2，1）B．（﹣ 1，1）C．（1，3）D．（﹣ 2，3）【剖析】依据会合的基本运算即可获得结论．【解答】解： M={ x| ﹣1＜x＜3} ， N={ x| ﹣2＜x＜1} ，则 M ∩N={ x| ﹣1＜x＜1} ，应选： B．2．（5 分）（2014?新课标Ⅰ）若 tan α＞0，则（）A．sin α＞ 0B．cos α＞ 0C．sin2 α＞ 0D．cos2 α＞0【剖析】化切为弦，而后利用二倍角的正弦得答案．【解答】解：∵ tan α＞0，∴＞，则 sin2 α=2sin αcos＞0α．应选： C．3．（5 分）（2014?新课标Ⅰ）设 z=+i，则 | z| =（）A．B．C．D．2【剖析】先求 z，再利用求模的公式求出 | z| ．【解答】解： z=+i=+i=．故 | z| ==．应选： B．4．（5 分）（2014?新课标Ⅰ）已知双曲线﹣ =1（a＞0）的离心率为 2，则实数 a=（）A．2B．C．D．1【剖析】由双曲线方程找出a，b，c，代入离心率，从而求出a．【解答】解：由题意，e= ==2，解得， a=1．应选： D．5．（5 分）（2014?新课标Ⅰ）设函数f（x），g（x）的定义域都为 R，且 f（x）是奇函数， g（x）是偶函数，则以下结论正确的选项是）（A．f（ x） ?g（x）是偶函数B．| f（ x） | ?g（x）是奇函数C．f（ x） ?| g（x） | 是奇函数D．| f（ x） ?g（x）|是奇函数【剖析】依据函数奇偶性的性质即可获得结论．【解答】解：∵ f（x）是奇函数， g（ x）是偶函数，∴ f（﹣ x） =﹣f（x）， g（﹣ x） =g（x），f（﹣ x）?g（﹣ x）=﹣f（ x）?g（x），故函数是奇函数，故A 错误，| f（﹣ x）| ?g（﹣ x）=| f（x）| ?g（x）为偶函数，故 B 错误，f（﹣ x）?| g（﹣ x） | =﹣f （x） ?| g（x）| 是奇函数，故 C 正确． | f（﹣ x）?g（﹣ x） | =| f（x）?g（ x） | 为偶函数，故 D 错误，应选： C．6．（5 分）（2014?新课标Ⅰ）设 D，E，F 分别为△ ABC的三边 BC，CA，AB 的中点，则 +（）=A．B．C．D．【剖析】利用向量加法的三角形法例，将，分解为+ 和 +的形式，从而依据 D，E，F 分别为△ ABC的三边 BC，CA，AB的中点，联合数乘向量及向量加法的平行四边形法例获得答案．【解答】解：∵ D， E，F 分别为△ ABC的三边 BC，CA，AB 的中点，∴+ =（+）+（+）=+ =（+）=，应选： A．7．（ 5 分）（ 2014?新课标Ⅰ）在函数① y=cos| 2x| ，② y=| cosx| ，③y=cos（2x+ ），④y=tan（ 2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③【剖析】依据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．【解答】解：∵函数① y=cos丨 2x 丨=cos2x，它的最小正周期为=π，② y=丨 cosx 丨的最小正周期为=π，③ y=cos（2x+ ）的最小正周期为=π，④y=tan（2x﹣）的最小正周期为，应选： A．8．（5 分）（2014?新课标Ⅰ）如图，格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【剖析】由题意画出几何体的图形即可获得选项．【解答】解：依据格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，可知几何体如图：几何体是三棱柱．应选： B．9．（ 5 分）（ 2014?新课标Ⅰ）履行如图的程序框图，若输入的 a，b，k 分别为 1，2，3，则输出的 M=（）A．B．C．D．【剖析】依据框图的流程模拟运转程序，直到不知足条件，计算输出M的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+ = ， a=2，b= ，n=2；第二次循环 M=2+ = ， a=，b=，n=3；第三次循环 M=+ =，a=， b=，n=4．不知足条件 n≤3，跳出循环体，输出M=．应选： D．10．（ 5 分）（2014?新课标Ⅰ）已知抛物线C：y2 =x 的焦点为 F，A（ x0，y0）是 C 上一点， AF=|x0| ，则 x0=（）A．1B．2C．4D．8【剖析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．【解答】解：抛物线 C：y2=x 的焦点为 F，，∵A（ x0，y0）是 C 上一点， AF=| x0| ， x0＞0．∴=x0+ ，解得 x0=1．应选： A．11．（5 分）（ 2014?新课标Ⅰ）设 x，y 知足拘束条件值为 7，则 a=（）A．﹣5B．3C．﹣ 5 或 3【剖析】以下图，当 a≥1 时，由，解得经过 A 点时获得最小值为7，同理对 a＜1 得出．【解答】解：以下图，当 a≥1 时，由，解得，y=．∴，．当直线 z=x+ay 经过 A 点时获得最小值为7，∴，化为 a2+2a﹣ 15=0，解得 a=3， a=﹣5 舍去．当 a＜1 时，不切合条件．应选： B．且 z=x+ay 的最小D．5 或﹣ 3，．当直线 z=x+ay12．（ 5 分）（2014?新课标Ⅰ）已知函数f（x）=ax3﹣ 3x2+1，若 f（ x）存在独一的零点 x0，且 x0＞ 0，则实数 a 的取值范围是（）A．（ 1， +∞）B．（ 2， +∞）C．（﹣∞，﹣ 1）D．（﹣∞，﹣ 2）【剖析】由题意可得 f ′（ x）=3ax2﹣ 6x=3x（ax﹣ 2），f （0）=1；分类议论确立函数的零点的个数及地点即可．【解答】解：∵ f（x）=ax3﹣ 3x2+1，∴f ′（ x）=3ax2﹣ 6x=3x（ax﹣ 2），f （0）=1；①当 a=0 时， f （x） =﹣ 3x2+1 有两个零点，不建立；②当 a＞0 时， f（ x）=ax3﹣3x2+1 在（﹣∞， 0）上有零点，故不建立；③当 a＜0 时， f（ x）=ax3﹣3x2+1 在（ 0，+∞）上有且只有一个零点；故 f（ x）=ax3﹣3x2+1 在（﹣∞， 0）上没有零点；而当 x= 时， f（ x）=ax3﹣3x2+1 在（﹣∞， 0）上获得最小值；故 f（） = ﹣3? +1＞ 0；故 a＜﹣ 2；综上所述，实数 a 的取值范围是（﹣∞，﹣2）；应选： D．二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分13．（ 5 分）（2014?新课标Ⅰ）将 2 本不一样的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为．【剖析】第一求出所有的基本领件的个数，再从中找到 2 本数学书相邻的个数，最后依据概率公式计算即可．【解答】解： 2 本不一样的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本领件有共有=6 种结果，此中 2 本数学书相邻的有（数学1，数学 2，语文），（数学 2，数学 1，语文），（语文，数学 1，数学 2），（语文，数学 2，数学 1）共 4 个，故本数学书相邻的概率 P=．故答案为：．14．（ 5 分）（2014?新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学被问到能否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A．【剖析】可先由乙推出，可能去过 A 城市或 B 城市，再由甲推出只好是 A，B 中的一个，再由丙即可推出结论．【解答】解：由乙说：我没去过 C 城市，则乙可能去过 A 城市或 B 城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市，则乙只好是去过A，B 中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为： A．．（分）（新课标Ⅰ）设函数（），＜f=，则使得 f（x）≤2 成15 52014?x，立的 x 的取值范围是x≤8．【剖析】利用分段函数，联合f（ x）≤ 2，解不等式，即可求出使得f（ x）≤ 2建立的 x 的取值范围．x﹣1≤2，【解答】解： x＜1 时， e∴x≤ln2+1，∴x＜1；x≥1 时，≤2，∴x≤8，∴1≤ x≤8，综上，使得 f （x）≤ 2 建立的 x 的取值范围是 x≤8．故答案为： x≤ 8．16．（ 5 分）（ 2014?新课标Ⅰ）如图，为丈量山高MN，选择 A 和另一座的山顶 C 为丈量观察点，从 A 点测得 M 点的仰角∠ MAN=60°，C 点的仰角∠ CAB=45°以及∠MAC=75°；从 C 点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN= 150 m．【剖析】△ABC 中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得AC；△ AMC 中，由条件利用正弦定理求得AM；Rt△AMN 中，依据 MN=AM?sin∠MAN，计算求得结果．【解答】解：△ ABC中，∵∠ BAC=45°，∠ ABC=90°，BC=100，∴ AC==100．△AMC中，∵∠ MAC=75°，∠ MCA=60°，∴∠ AMC=45°，由正弦定理可得，解得AM=100．Rt△ AMN 中， MN=AM?sin∠MAN=100× sin60 =150°（ m），故答案为：150．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（ 12 分）（ 2014?新课标Ⅰ）已知 { a n} 是递加的等差数列， a2， a4是方程 x2﹣5x+6=0 的根．（1）求 { a n } 的通项公式；（2）求数列 { } 的前 n 项和．【剖析】（ 1）解出方程的根，依据数列是递加的求出a2，a4的值，从而解出通项；（ 2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法乞降．【解答】解：（1）方程 x2﹣5x+6=0 的根为 2，3．又 { a n } 是递加的等差数列，故a2=2，a4=3，可得2d=1，d= ，故 a n=2+（n﹣2）× = n+1，（ 2）设数列{} 的前n 项和为S n，S n=，①S n=，②①﹣②得 S n==，解得 S n==2﹣．18．（ 12 分）（2014?新课标Ⅰ）从某公司生产的产品中抽取100 件，丈量这些产品的一项质量指标值，由丈量结果得以下频数散布表：质量指标值[ 75，85）[ 85，95）[ 95，105） [ 105，115） [ 115，125）分组频数62638228（ 1）在表格中作出这些数据的频次散布直方图；（2）预计这类产质量量指标的均匀数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）依据以上抽样检查数据，可否定为该公司生产的这类产品切合“质量指标值不低于 95 的产品起码要占所有产品80%”的规定？【剖析】（1）依据频次散布直方图做法画出即可；（ 2）用样本均匀数和方差来预计整体的均匀数和方差，代入公式计算即可．（ 3）求出质量指标值不低于95 的产品所占比率的预计值，再和0.8 比较即可．【解答】解：（1）频次散布直方图以下图：（2）质量指标的样本均匀数为 =80×0.06+90× 0.26+100× 0.38+110× 0.22+120×0.08=100，质量指标的样本的方差为S2=（﹣ 20）2×0.06+（﹣ 10）2× 0.26+0× 0.38+102×0.22+202×0.08=104，这类产质量量指标的均匀数的预计值为100，方差的预计值为104．（3）质量指标值不低于 95 的产品所占比率的预计值为 0.38+0.22+0.08=0.68，因为该预计值小于 0.8，故不可以以为该公司生产的这类产品切合“质量指标值不低于 95 的产品起码要占所有产品 80%”的规定．19．（ 12 分）（2014?新课标Ⅰ）如图，三棱柱ABC﹣ A1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形， B1C 的中点为 O，且 AO⊥平面 BB1C1C．（1）证明： B1 C⊥ AB；（2）若 AC⊥AB1，∠ CBB1=60°，BC=1，求三棱柱 ABC﹣A1B1C1的高．【剖析】（1）连结 BC1，则 O 为 B1C 与 BC1的交点，证明 B1C⊥平面 ABO，可得B1C⊥AB；（ 2）作 OD⊥BC，垂足为 D，连结 AD，作 OH⊥AD，垂足为 H，证明△ CBB 为1等边三角形，求出 B1到平面 ABC的距离，即可求三棱柱 ABC﹣A1B1C1的高．【解答】（1）证明：连结 BC1，则 O 为 B1C 与 BC1的交点，∵侧面 BB1C1C 为菱形，∴BC⊥B C，11∵ AO⊥平面 BB1C1C，∴ AO⊥ B1 C，∵ AO∩ BC=O，1∴B1C⊥平面ABO，∵ AB? 平面 ABO，∴B1C⊥ AB；（ 2）解：作 OD⊥BC，垂足为 D，连结 AD，作 OH⊥AD，垂足为 H，∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD=O，∴ BC⊥平面 AOD，∴ OH⊥ BC，∵OH⊥ AD，BC∩AD=D，∴OH⊥平面 ABC，∵∠ CBB1=60°，∴△ CBB1为等边三角形，∵ BC=1，∴ OD=，∵ AC⊥AB1，∴ OA= B1C= ，由 OH?AD=OD?OA，可得 AD==，∴ OH=，∵O 为 B1C的中点，∴ B1到平面 ABC的距离为，∴三棱柱 ABC﹣A1B1C1的高．20．（ 12 分）（2014?新课标Ⅰ）已知点 P（2，2），圆 C：x2+y2﹣ 8y=0，过点P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M， O 为坐标原点．（1）求 M 的轨迹方程；（2）当 | OP| =| OM| 时，求 l 的方程及△ POM 的面积．【剖析】（1）由圆 C 的方程求出圆心坐标和半径，设出M 坐标，由与数量积等于 0 列式得 M 的轨迹方程；（ 2）设 M 的轨迹的圆心为 N，由 | OP| =| OM| 获得 ON⊥PM．求出 ON 所在直线的斜率，由直线方程的点斜式获得 PM 所在直线方程，由点到直线的距离公式求出 O 到 l 的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出 PM 的长度，代入三角形面积公式得答案．2222【解答】解：（1）由圆 C： x +y ﹣ 8y=0，得 x +（y﹣4） =16，设 M （x，y），则，，，．由题意可得：．即 x（2﹣ x） +（ y﹣ 4）（2﹣y）=0．整理得：（x﹣1）2 +（y﹣3）2．=2∴ M 的轨迹方程是（ x﹣1）2 +（ y﹣3）2．=2（ 2）由（ 1）知 M 的轨迹是以点 N（ 1， 3）为圆心，为半径的圆，因为 | OP| =| OM| ，故 O 在线段 PM 的垂直均分线上，又P在圆N上，从而 ON⊥PM．∵ k ON，=3∴直线 l 的斜率为﹣．∴直线 PM 的方程为，即 x+3y﹣ 8=0．则 O 到直线 l 的距离为．又 N 到 l 的距离为，∴|PM|==．∴．21．（ 12 分）（2014?新课标Ⅰ）设函数 f（x）=alnx+x2﹣bx（ a≠1），曲线 y=f （x）在点（ 1，f（ 1））处的切线斜率为 0，（1）求 b；（ 2）若存在 x0≥1，使得 f（ x0）＜，求a的取值范围．【剖析】（1）利用导数的几何意义即可得出；（2）对 a 分类议论：当 a 时，当＜ a＜1 时，当 a＞ 1 时，再利用导数研究函数的单一性极值与最值即可得出．【解答】解：（1）f ′（ x） =（＞），x 0∵曲线 y=f（ x）在点（ 1，f（1））处的切线斜率为0，∴f ′（ 1） =a+（1﹣a）× 1﹣b=0，解得 b=1．（ 2）函数 f（x）的定义域为（ 0，+∞），由（1）可知：f（ x）=alnx+，∴=．①当 a时，则，则当 x＞1 时， f ′（ x）＞ 0，∴函数 f（x）在（ 1， +∞）单一递加，∴存在 x0≥1，使得 f（x0）＜的充要条件是＜，即＜，解得＜＜；②当＜a＜1 时，则＞，则当 x∈，时，（′）＜，函数f （）在，上单一递减；f x0x当 x∈，时， f ′（x）＞ 0，函数 f（x）在，上单一递加．∴存在 x0≥1，使得 f（ x0）＜的充要条件是＜，而=+＞，不切合题意，应舍去．③若a＞1 时， f（ 1）=＜，建立．综上可得：a 的取值范围是，，．请考生在第 22，23，24 题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分。
2014年全国高考新课标I数学(文)试卷及答案【精校版】
……6 分
（II）由（1）可知 M 的轨迹是以点 N(1,3) 为圆心， 2 为半径的圆.
由于| OP || OM | ，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上，又 P 在圆 N 上，从而 ON PM .
因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为 1 ，故 l 的方程为 y 1 x 8 .
3
33
又| OP || OM | 2 2 ，O 到 l 的距离为 4 10 ，| PM | 4 10 ，所以 POM 的面积为 16 .
5
5
5
……12 分
（21）解：
（I） f '(x) a (1 a)x b ， x
由
题
设
知
b 1.
f ' (1) 0
，
解
得
……4 分
（II） f (x) 的定义域为 (0, ) ，由（1）知， f (x) a ln x 1 a x2 x ， 2Biblioteka ，即 1 a 21
a， a 1
解得 2 1 a 2 1.
（ii）若 1 a 1，则 a 1 ，故当 x (1, a ) 时， f ' (x) 0 ；
2
1 a
1 a
当 x ( a , ) 时， f ' (x) 0 ， f (x) 在 (1, a ) 单调递减，在 ( a , ) 单调递增.
2 （13） 3 （14）A （15） (,8] （16）150
三、解答题 （17）解：
（I）方程 x2 5x 6 0 的两根为 2,3，由题意得 a2 2, a4 3.
设数列an 的公差为
d，则
a4
a2
2d ,
故
d
1 2
2014年全国高考文科数学试题及答案-新课标1
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）（课标I ）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}{}12|,31|≤≤-=≤≤-=x x B x x M ，则M B =I （ ）A. )1,2(-B. )1,1(-C. )3,1(D. )3,2(- （2）若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α （3）设i iz ++=11，则=||z A.21B. 22C. 23D. 2（4）已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B.26 C. 25D. 1 （5）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是A. )()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数（6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+A. B.21 C. 21D. （7）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③（8）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱（9）执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A.203B.72C.165D.158（10） 已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A,是C 上一点，x F A 045=，则=x 0（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8 （11）设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =A ．-5 B. 3 C ．-5或3 D. 5或-3（12）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是A.()2,+∞B.()1,+∞C.(),2-∞-D.(),1-∞-第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_____. （14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________.（15）设函数()113,1,,1,xe xf xx x-⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x≤成立的x的取值范围是________.（16）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角60MAN∠=︒，C点的仰角45CAB∠=︒以及75MAC∠=︒；从C点测得60MCA∠=︒.已知山高100BC m=，则山高MN=________m.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知{}n a是递增的等差数列，2a，4a是方程2560x x-+=的根。
高考文科数学真题答案全国卷
2014年高考文科数学真题及答案全国卷 1一、选择题（题型注释）1．已知集合{}{}|13,|21M x x N x x =-<<=-<<，则M N =I （）)1,2(-)1,1(-)3,1()3,2(-【答案】B【解析】试题分析：根据集合的运算法则可得：{}|11M N x x =-<<I ，即选B ．考点：集合的运算 2．若0tan >α，则0sin >α0cos >α02sin >α02cos >α【答案】C 【解析】试题分析：由sin tan 0cos ααα=>，可得：sin ,cos αα同正或同负，即可排除A 和B ，又由sin 22sin cos ααα=⋅，故sin 20α>. 考点：同角三角函数的关系3．设i iz ++=11，则=||z212223【答案】B【解析】试题分析：根据复数运算法则可得：111111(1)(1)222i i z i i i i i i i --=+=+=+=-++-，由模的运算可得：||2z ==.考点：复数的运算4．已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a 2625【答案】D 【解析】试题分析：由离心率c e a=可得:222232a e a +==，解得：1a =． 考点：复数的运算5．设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是A.)()(x g x f 是偶函数B.)(|)(|x g x f 是奇函数C.|)(|)(x g x f 是奇函数D.|)()(|x g x f 是奇函数 【答案】C 【解析】试题分析：由函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，可得：|()|f x 和|()|g x 均为偶函数，根据一奇一偶函数相乘为奇函数和两偶函数相乘为偶函数的规律可知选C ． 考点：函数的奇偶性6．设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+AD 21BC 21【答案】A 【解析】试题分析：根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在BEF ∆中，12EB EF FB EF AB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，同理12FC FE EC FE AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则11111()()()()22222EB FC EF AB FE AC AB AC AB AC AD+=+++=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r ． 考点：向量的运算7．在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y =，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B.①③④C.②④D.①③ 【答案】A 【解析】试题分析：①中函数是一个偶函数，其周期与cos 2y x =相同，22T ππ==;②中函数|cos |x y =的周期是函数cos y x =周期的一半，即T π=;③22T ππ==;④2T π=，则选A ．考点：三角函数的图象和性质8．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱 【答案】B【解析】试题分析：根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等．可得几何体如下图所示． 考点：三视图的考查9．执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =()20372165158【答案】D【解析】试题分析：根据题意由13≤成立，则循环，即1331,2,,2222M a b n =+====;又由23≤成立，则循环，即28382,,,33323M a b n =+====;又由33≤成立，则循环，即3315815,,,428838M a b n =+====;又由43≤不成立，则出循环，输出158M =．考点：算法的循环结构10．已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A 00,是C 上一点，x F A 045=，则=x 0（）.2 C. 【答案】A 【解析】试题分析：根据抛物线的定义：到焦点的距离等于到准线的距离，又抛物线的准线方程为：14x =-，则有：01||4AF x =+，即有001544x x +=，可解得01x =．考点：抛物线的方程和定义11．已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（A ）()2,+∞（B ）()1,+∞（C ）(),2-∞-（D ）(),1-∞- 【答案】C 【解析】试题分析：根据题中函数特征，当0a =时，函数2()31f x x =-+显然有两个零点且一正一负;当0a >时，求导可得：2'()363(2)f x ax x x ax =-=-，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：(,0)x ∈-∞和2(,)x a ∈+∞时函数单调递增;2(0)x a∈，时函数单调递减，显然存在负零点;当0a <时，求导可得：2'()363(2)f x ax x x ax =-=-，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：2(,)x a∈-∞和(0,)x ∈+∞时函数单调递减;2(0)x a ∈，时函数单调递增，欲要使得函数有唯一的零点且为正，则满足：2()0(0)0f a f ⎧>⎪⎨⎪>⎩，即得：3222()3()10a a a⨯-+>，可解得：24a >，则2(,2a a ><-舍去）． 考点：1.函数的零点;2.导数在函数性质中的运用;3.分类讨论的运用12．设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =（A ）-5（B ）3（C ）-5或3（D ）5或-3【答案】B 【解析】试题分析：根据题中约束条件可画出可行域如下图所示，两直线交点坐标为：11(,)22a a A -+，又由题中z x ay =+可知，当0a >时，z 有最小值：21121222a a a a z a -++-=+⨯=，则22172a a +-=，解得：3a =;当0a <时，z 无最小值．故选B考点：线性规划的应用13．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.【答案】23【解析】试题分析：根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有：数1，数2，语;数1，语，数2;数2，数1，语;数2，语，数1;语，数2，数1;语，数1，数2共有6种，其中2本数学书相邻的有4种，则其概率为：42P 63==．考点：古典概率的计算14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________. 【答案】A 【解析】考点：命题的逻辑分析15．设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.【答案】(,8]-∞ 【解析】试题分析：由于题中所给是一个分段函数，则当1x <时，由12x e -≤，可解得：1ln 2x ≤+，则此时：1x <;当1x ≥时，由132x ≤，可解得：328x ≤=，则此时：18x ≤≤，综合上述两种情况可得：(,8]x ∈-∞考点：1.分段函数;2.解不等式16．如图，为测量山高MN ，选择A和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m . 【答案】150 【解析】试题分析：根据题意，在ABC ∆中，已知0045,90,100CABABC BC ∠=∠==，易得：AC =;在AMC ∆中，已知0075,60,MAC MCA AC ∠=∠==045AMC ∠=，由正弦定理可解得：sin sin AC AMAMC ACM=∠∠，即：2AM ==在AMN ∆中，已知0060,90,MAN MNA AM ∠=∠==150MN m =.考点：1.空间几何体;2.仰角的理解;3.解三角形的运用 八、解答题17．已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。
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(2019-1-3)3. 已知3.02.022.022.0log ===c b a ，，，则
A. c b a <<
B. b c a <<
C. b a c <<
D. a c b <<
(2019-1-5)5. 函数],[cos sin )(2
ππ-++=在x
x x
x x f 的图像大致为
A. B.
C. D.
(2019-2-6)6．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．
B ．e 1x -+
C ．
D ．e 1x --+
(2019-2-11)11．已知a ∈（0，
π
2
），2sin2α=cos2α+1，则sinα= A ．15
B ．5
C ．
D ．
25
(2019-3-12)12．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则
A ．f （log 314）＞f （3
2
2-）＞f （2
32-）
B ．f （log 31
4
）＞f （2
32-）＞f （3
22-）
C ．f （32
2
-
）＞f （232
-
）＞f （log 3
14
） e
1x
--e 1x
---3
D ．f （23
2
-
）＞f （32
2
-
）＞f （log 3
14
） (2018-1-12)12．设函数()20
1 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是
A ．(]1-∞-，
B ．()0+∞，
C ．()10-，
D ．()0-∞，
(2018-1-13)13．已知函数()()
2
2log f x x a =+，若()31f =，则a =________．
(2018-2-3)3．函数()2
e e x x
f x x --=的图像大致为
(2018-2-12)12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，
则(1)(2)(3)f f f ++(50)f ++=L A ．50-
B ．0
C ．2
D ．50
(2018-3-7)7.下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是 A ．()ln 1y x =- B ．()ln 2y x =- C ．()ln 1y x =+ D ．()ln 2y x =+
(2018-3-9)9．422y x x =-++的图像大致为( )
x
x
x
x
D.
C.
B.
A.
(2018-3-16)16. 已知函数())
ln
1f x x =+，()4f a =，则()_______.f a -=
(2017-1-8)8．.函数sin21cos x
y x
=
-的部分图像大致为
(2017-1-9)9．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0,2）单调递增
B ．()f x 在（0,2）单调递减
C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称
D ．y =()f x 的图像关于点（1,0）对称
(2017-2-8)8. 函数2
()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是
A.(-∞,-2)
B. (-∞,-1)
C.(1, +∞)
D. (4, +∞)
(2017-2-14)14. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，3
2
()2f x x x =+，
则(2)f = (2017-3)7．函数y =1+x +
2
sin x
x 的部分图像大致为 A ． B ．
C ．
D ．
(2017-3)12．已知函数21
1()2()x x f x x x a e
e --+=-++有唯一零点，则a =
A ．12
-
B ．13
C ．
12
D ．1
(2017-3)16．设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，
则满足1
()()12f x f x +->的x 的取值范围是
__________。
(2016-1)8．若a >b >0，0<c <1，则( )
A ．log a c <log b c
B ．log c a <log c b
C ．a c <b c
D ．c a >c b
(2016-1)9．函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为( )
(2016-1)12．若函数1
()sin 2sin 3
f x x -x a x =+在(-∞,+∞)单调递增，
则a 的取值范围是( )
A ．[-1,1]
B ．[-1,13]
C ．[-13,13]
D ．[-1,-1
3
]
(2016-2)10.下列函数中，其定义域和值域分别与函数x
y lg 10
=的定义域和值域相同的是
（A ）x y = （B ）x y lg = （C ）x
y 2= （D ）x y 1=
(2016-2)12.已知函数)( )(R x x f ∈满足)2()(x f x f -=，若函数322
--=x x y 与
)(x f y =图像的交点为),(,),,(),,(2211m m y x y x y x ⋯，则
∑=m
i i
x
1
（A ）0 （B ）m （C ）m 2 （D ）m 4
(2016-3)（7）已知
421333
2,3,25a b c ===，则
(A)b<a<c
(B) a<b<c
(C) b<c<a
(D) c<a<b
(2015-1)（10）已知函数，且f （a ）=-3，则f
（6-a ）=
（A ）-74 （B ）-54 （C ）-34 （D ）-1
4
(2015-1)（12）设函数y=f （x ）的图像关于直线y=-x 对称，且f （-2）+f （-4）=1， 则a=
（A ）-1 （B ）1 （C ）2 （D ）4
(2015-2)设函数的范围是成立的则使得x x f x f x x x f )12()(,11
)1ln()(2
->+-+= ( )
A. )1,31(
B. ),1()31
,(+∞-∞Y
C. )31,31(-
D. ),3
1
()31,(+∞--∞Y
(2014-1)5．设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是
A.)()(x g x f 是偶函数
B. )(|)(|x g x f 是奇函数
C. |)(|)(x g x f 是奇函数
D. |)()(|x g x f 是奇函数
(2014-1)15．设函数()113,1,,1,
x e x f x x x -⎧<⎪
=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.
(2014-2)15. 偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________.。