固体物理答案
3.1 已知一维单原子链,其中第j 个格波,在第n 个格点引起的位移nj μ为:
sin()
nj j j j j a t naq μωδ=++
j δ为任意相位因子。并已知在较高温度下每个格波的平均能量为B k T 。具体计算每
个原子的平方平均位移。 解:(1)根据2011
sin ()2
T j j j t naq dt T ωδ?++= 其中2j
T π
ω=
为振动周期,
所以222
21
sin ()2
nj j j j j j a t naq a μωδ=++=
(2) 第j 个格波的平均动能 (3) 经典的简谐运动有:
每个格波的平均动能=平均势能=1
2格波平均能量=12
B k T 振幅222B j j k T a Nm ω=
, 所以 2
22
12B nj j j
k T a Nm μω==。 而每个原子的平方平均位移为:222221
()2
B n nj nj j j
j
j
j
j
k T
a Nm μμμω====∑∑∑∑
。 3.2讨论N 个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为a ),其2N 个格波的解。当m M =时与一维单原子链一一对应。 解:(1)一维双原子链: 22q a a
π
π
-
≤<
声学波:1
222
2
411sin ()m M mM aq mM m M ωβ-????+??=--????+????
??
当m M =时,有
2
224(1cos )sin 2
aq
aq m m ββω-=
-= 。
光学波:1
222
2
411sin ()m M mM aq mM m M ωβ+????+??=+-????+????
??
当m M =时,有
2
2
24(1cos )cos 2
aq
aq m m ββω+=
+= 。 (2)一维双原子链在m M =时的解 22224sin 2422cos 2aq m q aq a
a
m βωπ
π
βω-+?=??-
≤<
?
?=??
与一维单原子链的解 224sin 2
aq
q m a
a
βπ
π
ω=-
≤<
是一一对应的。
3.5已知NaCl 晶体平均每对离子的相互作用能为: 其中马德隆常数 1.75,9a n ==,平衡离子间距0 2.82r =。 (1) 试求离子在平衡位置附近的振动频率。
(2) 计算与该频率相当的电磁波的波长,并与NaCl 红外吸收频率的测量只值
61μ进行比较。
解:(1)处理小振动问题,一般可采用简谐近似,在平衡位置附近,可将互作用能展开至偏差0r r δ=-的二次方项。
224
00002
00
()()1()()()2U r U r U r U r O δδδδδδδδδδ==?+?++=+?+?+?? (1) 其中
00
()
0U r δδδ=?+=? 为平衡条件。 由0r 已知可确定β:
2
10n q r n
αβ-=
。 (2)
根据(1)式,离子偏离平衡位置δ所受的恢复力为:
2'
002
()()U r U r F δδδδβδδδ=?+?+=-=-?=-?? (3)
故恢复力常数为0
2'
2
23
()1r U r n q r r βα?-==?。 (4) 对于离子晶体的长光学波,
(0)ω+=
= (5) 将Na 的原子质量2423 1.6610m g -=??, Cl 的原子质量2435.5 1.6610M g -=??, 基本电荷电量104.80310q esu -=? 代入上式,得 (2) 相对应的电磁波波长为
8614
22 3.14 2.998101710171.1110
c m m π
λμω-???===?=? (6) 对应与远红外波,与NaCl 红外吸收频率测量值在同一数量级。 [注:如采用国际单位制进行计算,因在(2)式前乘一因子
90
18.99104k πε=
=?牛顿米2
/库仑 ]
3.6 求出一维单原子链的频率分布函数()ρω。 解:一维单原子链的色散关系为: 222
2
4sin sin 22
m aq aq m βωω=
=,
其中m ω= sin
2
m aq
ωω=,
振动模式的数目:2222cos
22
m Na Na d dn dq a aq ωωππω=?
=??=
所以()0m m
g ωωωωω≤=>?
3.7设三维晶格的光学振动在0q =附近的长波极限有:
求证:频率分布函数为 12
023/201()()40V g A ωωωωωπωω?-=??≥?
证明:由20()q Aq ωω=-, 得()2q q Aq ω?=。
故频率分布函数为 12
023/201()()40V g A ωωωωωπωω?-=??≥?
3.8有N 个相同原子组成面积为S 的二维晶格,在德拜近似下,计算比热,并讨论在低温极限比热正比于2T 。 解:(1)q 空间的状态密度为
2
(2)
S
π。 每个q 对应一个纵波,c q ω=, 每个q 对应一个横波,c q ω⊥=。
所以d ω范围的状态数应包括纵波和横波的状态数: 其中
2
221111()2c c c
⊥
=
+ 由于晶格振动模数有限,则晶格振动最高频率由
决定。由此得12
4()D N c S
πω=。
比热2
2
2
2
2
(
)(
)()2(1)(1)B B D
D
B B k T
k T
B B V B B k T k T e
e
k T
k T
S c k g d k d c
e e ω
ω
ωωω
ω
ω
ω
ωωωωπ==--??
令B x k T
ω
=
, D B D k ω=Θ, D Θ—德拜温度。
322
04()(1)D x
T v B x D T x e c Nk dx e Θ=Θ-?。
(2)在低温极限 0T →,
D
T
Θ→∞,
322
22
04()24()(1)x v B B x D D
T x e T c Nk dx Nk T e ∞==∝Θ-Θ?, 与三维情况下的德拜3T 律相对应。 3.10设晶体中每个振子的零点震动能
1
2
ω,试用德拜模型求晶体的零点振动能。
解: 根据德拜理论,cq ω=,可得晶格频率分布函数为
223
3()2V
g c
ωωπ=
。 存在m ω,在m ωω≤范围的振动都可用弹性波近似,m ω则根据自由度确定如下:
2
230
3()32m
m V g d d N c ωωωωωωπ==?
?。
或1
3
26()m N c V ωπ??=???
?。
因此固体总的零点振动能为
00
19
()28
m m E g d N ωωωωω==?
。 3.11一维复式格子245 1.6710m g -=??,4M
m
=, 1.510/N m
β=?(即41.510/)dyn cm ?,求:
(1) 光学波max O ω,min O ω, 声学波max A ω。
(2) 相应声子能量是多少电子伏特。 (3) 在300K 时的平均声子数。
(4) 与max O ω相对应的电磁波在什么波段。
解:(1) (2)ε=ω
(3)在300T K =相应的能量:
因此在室温只能激发声学声子,平均声子数为
(4)8513
max
22 3.14 2.98810 2.810286.7010
O c
m m πλμω-???=
==?=?。此波长处在红外波段。