2016年上海市浦东新区高考数学一模试卷及参考答案
2016年上海市浦东新区高考一模数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.注：填写其他等价形式则得分1．（3分）已知集合A＝{x|x≤3}，B＝{x|x＜2}，则A∩∁R B＝．2．（3分）已知向量平行，则m＝．3．（3分）关于x，y的一元二次方程组的系数矩阵．4．（3分）＝．5．（3分）若复数z满足（i为虚数单位），则|z|＝．6．（3分）（2x+1）10的二项展开式中的第八项为．7．（3分）某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30°方向，与A相距6.0海里．船由A向正北方向航行8.1海里达到C处，这时灯塔B与船相距海里（精确到0.1海里）8．（3分）已知，则＝．9．（3分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1＝2，E为棱CC1的中点，则AE与平面B1BCC1所成的角为．（，）（结果用反三角表示）10．（3分）已知函数f（x）的图象与g（x）＝2x的图象关于直线y＝x对称，令h（x）＝f（1﹣|x|），则关于函数h（x）有下列命题：①h（x）的图象关于原点对称；②h（x）的图象关于y轴对称；③h（x）的最大值为0；④h（x）在区间（﹣1，1）上单调递增．其中正确命题的序号为（写出所有正确命题的序号）．11．（3分）有一列向量：，如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列．已知等差向量列，满足，，那么这列向量中模最小的向量的序号n＝．12．（3分）已知，则f（x）与g（x）图象交点的横坐标之和为．二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分.13．（3分）如果a＞b＞0，那么下列不等式中不正确的是（）A．B．C．ab＞b2D．a2＞ab 14．（3分）设α：x＝1且y＝2，β：x+y＝3，α是β成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件15．（3分）方程kx2+4y2＝4k表示焦点在x轴的椭圆，则实数k的取值范围是（）A．k＞4B．k＝4C．k＜4D．0＜k＜4 16．（3分）甲、乙、丙、丁四人排成一排，其中甲、乙两人相邻的概率是（）A．B．C．D．17．（3分）直线ax+by＝0与圆x2+y2+ax+by＝0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定18．（3分）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1B．2C．3D．419．（3分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）＝f（x）+sin x．当0≤x＜π时，f（x）＝0，则f（）＝（）A．B．C．0D．﹣20．（3分）如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于（）A．B．C．D．21．（3分）已知函数f（x）存在反函数f﹣1（x），若函数y＝f（x+1）过点（3，3），则函数f﹣1（x）恒过点（）A．（4，3）B．（3，4）C．（3，2）D．（2，3）22．（3分）一个弹性小球从10米自由落下，着地后反弹到原来高度的处，再自由落下，又弹回到上一次高度的处，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为（）A．50B．80C．90D．10023．（3分）符合以下性质的函数称为“S函数”：①定义域为R，②f（x）是奇函数，③f（x）＜a（常数a＞0），④f（x）在（0，+∞）上单调递增，⑤对任意一个小于a的正数d，至少存在一个自变量x0，使f（x0）＞d．下列四个函数中，，，中“S函数”的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个24．（3分）将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星是以原点O为中心，其中，分别为原点O到两个顶点的向量﹒若将原点O到正六角星12个顶点的向量，都写成为a+b的形式，则a+b的最大值为（）A．2B．3C．4D．5三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤．注：其他解法相应给分25．（8分）已知OA，OB，OC交于点O，，E，F分别为BC，OC的中点．求证：DE∥平面AOC．26．（8分）已知函数f（x）＝2sin x，将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）的解析式，并写出它的单调递增区间．27．（8分）已知两个向量＝（1+log2x，log2x），＝（log2x，1）（1）若⊥，求实数x的值；（2）求函数f（x）＝•，x∈[，2]的值域．28．（10分）已知数列{a n}的前n项的和S n＝n2﹣n．（1）求{a n}的通项公式a n；（2）当n≥2时，a n+1+≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．29．（14分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x0，y0）、直线l：ax+by+c＝0，我们称为点P（x0，y0）到直线l：ax+by+c＝0的方向距离．（1）设椭圆上的任意一点P（x，y）到直线l1：x﹣2y＝0，l2：x+2y＝0的方向距离分别为δ1、δ2，求δ1δ2的取值范围．（2）设点E（﹣t，0）、F（t，0）到直线l：x cosα+2y sinα﹣2＝0的方向距离分别为η1、η2，试问是否存在实数t，对任意的α都有η1η2＝1成立？若存在，求出t的值；不存在，说明理由．（3）已知直线l：mx﹣y+n＝0和椭圆E：（a＞b＞0），设椭圆E的两个焦点F1，F2到直线l的方向距离分别为λ1、λ2满足，且直线l 与x轴的交点为A、与y轴的交点为B，试比较|AB|的长与a+b的大小．30．（6分）如图，点A（﹣1，0）、B（1，0），点C在x轴正半轴上，过线段BC的n等分点D i作与BC垂直的射线l i，在l i上的动点P使∠APB取得最大值的位置记作P i（i＝1，2，3，…，n﹣1）．是否存在一条圆锥曲线，对任意的正整数n≥2，点P i（i＝1，2，…，n﹣1）都在这条曲线上？说明理由．31．（12分）定义符号函数sgn（x）＝，已知a，b∈R，f（x）＝x|x﹣a|sgn（x﹣1）+b．（1）求f（2）﹣f（1）关于a的表达式，并求f（2）﹣f（1）的最小值．（2）当b＝时，函数f（x）在（0，1）上有唯一零点，求a的取值范围．（3）已知存在a，使得f（x）＜0对任意的x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．32．（12分）已知两个无穷数列{a n}，{b n}分别满足，，其中n∈N*，设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n、T n．（1）若数列{a n}，{b n}都为递增数列，求数列{a n}，{b n}的通项公式．（2）若数列{c n}满足：存在唯一的正整数k（k≥2），使得c k＜c k﹣1，称数列{c n}为“k坠点数列”．①若数列{a n}为“5坠点数列”，求S n．②若数列{a n}为“p坠点数列”，数列{b n}为“q坠点数列”，是否存在正整数m，使得S m+1＝T m，若存在，求m的最大值；若不存在，说明理由．2016年上海市浦东新区高考一模数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.注：填写其他等价形式则得分1．（3分）已知集合A＝{x|x≤3}，B＝{x|x＜2}，则A∩∁R B＝[2，3]．【解答】解：∵A＝{x|x≤3}，B＝{x|x＜2}，∴∁R B＝{x|x≥2}，则A∩（∁R B）＝{x|2≤x≤3}．故答案为：[2，3]．2．（3分）已知向量平行，则m＝﹣．【解答】解：向量平行，可得﹣2m＝1，解得m＝﹣．故答案为：﹣．3．（3分）关于x，y的一元二次方程组的系数矩阵．【解答】解：关于x，y的一元二次方程组的系数矩阵，故答案为：．4．（3分）＝3．【解答】解：＝＝3．故答案为：3．5．（3分）若复数z满足（i为虚数单位），则|z|＝．【解答】解：∵复数z满足（i为虚数单位），∴z﹣i（1﹣2i）＝0，化为z＝i+2．则|z|＝＝．故答案为：．6．（3分）（2x+1）10的二项展开式中的第八项为960x3．【解答】解：（2x+1）10的二项展开式中的第八项为：＝960x3．故答案为：960x3．7．（3分）某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30°方向，与A相距6.0海里．船由A向正北方向航行8.1海里达到C处，这时灯塔B与船相距 4.2海里（精确到0.1海里）【解答】解：由余弦定理可得BC＝≈4.2海里．故答案为：4.2．8．（3分）已知，则＝．【解答】解：，可得sinα＝，cosα＝﹣，＝sinαcos+cosαsin＝＝．故答案为：．9．（3分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1＝2，E为棱CC1的中点，则AE与平面B1BCC1所成的角为．（，）（结果用反三角表示）【解答】解：连结BE，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1＝2，E为棱CC1的中点，∴BE＝＝，∴AB⊥平面B1BCC1，∴∠AEB是AE与平面B1BCC1所成的角，∵tan∠AEB＝＝＝，∴∠AEB＝．故答案为：．10．（3分）已知函数f（x）的图象与g（x）＝2x的图象关于直线y＝x对称，令h（x）＝f（1﹣|x|），则关于函数h（x）有下列命题：①h（x）的图象关于原点对称；②h（x）的图象关于y轴对称；③h（x）的最大值为0；④h（x）在区间（﹣1，1）上单调递增．其中正确命题的序号为②③（写出所有正确命题的序号）．【解答】解：函数f（x）的图象与g（x）＝2x的图象关于直线y＝x对称，∴f（x）＝log2x，h（x）＝log2（1﹣|x|），为偶函数，∴①错误；②h（x）的图象关于y轴对称，故正确；根据偶函数性质可知④错误；∵1﹣|x|≤1，∴h（x）＝log21＝0，故③正确．故答案为②③．11．（3分）有一列向量：，如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列．已知等差向量列，满足，，那么这列向量中模最小的向量的序号n＝4或5．【解答】解：∵{}是等差向量列，∴{x n}，{y n}是等差数列，设{x n}，{y n}的公差分别是d1，d2，∴，解得d1＝1，d2＝1，∴x n＝﹣20+n﹣1＝n﹣21，y n＝13+n﹣1＝n+12，∴＝（n﹣21，n+12）．∴||2＝（n﹣21）2+（n+12）2＝2n2﹣18n+585＝2（n﹣）2﹣+585．∴当n＝4或n＝5时，||2取得最小值．故答案为4或5．12．（3分）已知，则f（x）与g（x）图象交点的横坐标之和为17．【解答】解：作出f（x）与g（x）的图象，如图，令＝2，解得x＝9，令＝﹣2，解得x＝﹣7，∴f（x）与g（x）图象共有17个交点．∵则f（x）与g（x）都关于（1，0）对称，设17个交点横坐标为x1，x2，x3，…x17，则x1+x2+x3+…+x17＝2×8+1＝17．故答案为17．二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分.13．（3分）如果a＞b＞0，那么下列不等式中不正确的是（）A．B．C．ab＞b2D．a2＞ab【解答】解：∵a＞b＞0，∴ab＞b2，a2＞ab，即为，因此A，C，D正确，而B不正确．故选：B．14．（3分）设α：x＝1且y＝2，β：x+y＝3，α是β成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵α：x＝1且y＝2，β：x+y＝3，∴α⇒β，反之不成立，例如：x＝2，y＝1．∴α是β的充分非必要条件，故选：A．15．（3分）方程kx2+4y2＝4k表示焦点在x轴的椭圆，则实数k的取值范围是（）A．k＞4B．k＝4C．k＜4D．0＜k＜4【解答】解：方程kx2+4y2＝4k表示焦点在x轴的椭圆，即方程表示焦点在x轴的椭圆，可得4＞k＞0．故选：D．16．（3分）甲、乙、丙、丁四人排成一排，其中甲、乙两人相邻的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，基本事件总数n＝A44＝24，甲、乙二人相邻包含的基本事件个数m＝A22A33＝12，∴甲、乙二人相邻的概率P＝＝＝．故选：C．17．（3分）直线ax+by＝0与圆x2+y2+ax+by＝0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x+）2+（y+）2＝，∴圆心坐标为（﹣，﹣），半径r＝，∵圆心到直线ax+by＝0的距离d＝＝＝r，则圆与直线的位置关系是相切．故选：B．18．（3分）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：x+y＝20，（x﹣10）2+（y﹣10）2＝8，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，设x＝10+t，y＝10﹣t，由（x﹣10）2+（y﹣10）2＝8得t2＝4；∴|x﹣y|＝2|t|＝4，故选：D．19．（3分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）＝f（x）+sin x．当0≤x＜π时，f（x）＝0，则f（）＝（）A．B．C．0D．﹣【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）＝f（x）+sin x．当0≤x＜π时，f（x）＝0，∴f（）＝f（）＝f（）+sin＝f（）+sin+sin＝f（）+sin+sin+sin＝sin+sin+sin＝＝．故选：A．20．（3分）如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于（）A．B．C．D．【解答】解：设圆柱高为h，则底面半径为．由题意知，S＝πh2，∴h＝，∴V＝π（）2•h＝．故选：D．21．（3分）已知函数f（x）存在反函数f﹣1（x），若函数y＝f（x+1）过点（3，3），则函数f﹣1（x）恒过点（）A．（4，3）B．（3，4）C．（3，2）D．（2，3）【解答】解：∵函数y＝f（x+1）过点（3，3），∴函数y＝f（x）过点（4，3），∴函数f﹣1（x）恒过点（3，4）；故选：B．22．（3分）一个弹性小球从10米自由落下，着地后反弹到原来高度的处，再自由落下，又弹回到上一次高度的处，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为（）A．50B．80C．90D．100【解答】解：∵一个弹性小球从10米自由落下，着地后反弹到原来高度的处，再自由落下，又弹回到上一次高度的处，∴这个小球在这次运动中所经过的总路程为：S n＝2×10+2×10×+2×10×（）2+2×10×（）3+…+2×10×（）n﹣10＝2×﹣10，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程：S＝＝{2×﹣10}＝2×﹣10＝90．故选：C．23．（3分）符合以下性质的函数称为“S函数”：①定义域为R，②f（x）是奇函数，③f（x）＜a（常数a＞0），④f（x）在（0，+∞）上单调递增，⑤对任意一个小于a的正数d，至少存在一个自变量x0，使f（x0）＞d．下列四个函数中，，，中“S函数”的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：（1）∵f1（x）＝arctan x的定义域为R，∵﹣＜arctan x，∴f1（x）的值域为（﹣a，a），∵f1（x）是奇函数，在（0，+∞）上是增函数，∴f1（x）是S函数，（2）f2（x）＝的定义域为R，∵﹣1＜＜1，∴f2（x）的值域是（﹣a，a），∵f2（﹣x）＝＝﹣f2（x），∴f2（x）是奇函数，当x＞0时，f2（x）＝＝a﹣，∵a＞0，∴f2（x）在（0，+∞）上是增函数．∴f2（x）是S函数．（3）由解析式可知f3（x）的定义域为R，当x＞0时，a﹣＜a，当x＜0时，﹣a﹣＞﹣a，∴f3（x）的值域是R，不符合条件③，∴f3（x）不是S函数．（4）f4（x）的定义域为R，∵＝1﹣，2x＞0，∴﹣1＜＜1，∴f4（x）的值域是（﹣a，a）．f4（﹣x）＝a•＝a•＝﹣f4（x）．∴f4（x）是奇函数．∵f4（x）＝a（1﹣），∴f4（x）在（0，+∞）上是增函数．∴f4（x）是S 函数．故选：C．24．（3分）将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星是以原点O为中心，其中，分别为原点O到两个顶点的向量﹒若将原点O到正六角星12个顶点的向量，都写成为a+b的形式，则a+b的最大值为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：因为想求a+b的最大值，所以考虑图中的6个顶点的向量即可；讨论如下：（1）因为＝，所以（a，b）＝（1，0）；（2）因为＝+＝+3＝3+，所以（a，b）＝（3，1）；（3）因为＝+＝+2＝2+，所以（a，b）＝（2，1）；（4）因为＝++＝++＝++（+2）＝3+2，所以（a，b）＝（3，2）；（5）因为＝+＝+＝+，所以（a，b）＝（1，1）；（6）因为＝，所以（a，b）＝（0，1）；因此，a+b的最大值为3+2＝5﹒故选：D．三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤．注：其他解法相应给分25．（8分）已知OA，OB，OC交于点O，，E，F分别为BC，OC的中点．求证：DE∥平面AOC．【解答】证明：在△OBC中，∵E，F分别为BC，OC的中点，∴，（2分）又∵，∴由平行公理和等量代换知，，∴四边形ADEF是平行四边形，（4分）∴DE∥AF，（6分）又∵AF⊂平面AOC，DE⊄平面AOC，∴DE∥平面AOC．（8分）26．（8分）已知函数f（x）＝2sin x，将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）的解析式，并写出它的单调递增区间．【解答】解：函数f（x）＝2sin x的图象向右平移个单位可得：y＝2sin（x﹣）的图象；再再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得：y＝2sin（2x﹣）的图象；∴g（x）＝2sin（2x﹣），则2x﹣∈[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z得：x∈[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，即函数y＝g（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．27．（8分）已知两个向量＝（1+log2x，log2x），＝（log2x，1）（1）若⊥，求实数x的值；（2）求函数f（x）＝•，x∈[，2]的值域．【解答】解：（1）＝（1+log2x，log2x），＝（log2x，1），若⊥，则（1+log2x）•log2x+log2x＝0，可得log2x＝0或log2x＝﹣2，解得x＝1或x＝；（2）函数f（x）＝•＝（1+log2x）•log2x+log2x＝（log2x）2+2log2x，令t＝log2x，由x∈[，2]，可得t∈[﹣2，1]，即有函数y＝t2+2t＝（t+1）2﹣1，当t＝﹣1时，函数取得最小值﹣1；当t＝1时，函数取得最大值3．则函数f（x）的值域为[﹣1，3]．28．（10分）已知数列{a n}的前n项的和S n＝n2﹣n．（1）求{a n}的通项公式a n；（2）当n≥2时，a n+1+≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵S n＝n2﹣n，∴当n＝1时，a1＝＝1；＝n2﹣n﹣＝3n﹣2．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1当n＝1时，上式成立，∴a n＝3n﹣2．（2）a n+1+≥λ，即3n+1+≥λ，化为：λ≤，∵当n≥2时，a n+1+≥λ恒成立，∴λ≤，∵≥+15，取整数n＝2时，＝．∴λ≤．∴实数λ的取值范围是λ≤．29．（14分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x0，y0）、直线l：ax+by+c＝0，我们称为点P（x0，y0）到直线l：ax+by+c＝0的方向距离．（1）设椭圆上的任意一点P（x，y）到直线l1：x﹣2y＝0，l2：x+2y＝0的方向距离分别为δ1、δ2，求δ1δ2的取值范围．（2）设点E（﹣t，0）、F（t，0）到直线l：x cosα+2y sinα﹣2＝0的方向距离分别为η1、η2，试问是否存在实数t，对任意的α都有η1η2＝1成立？若存在，求出t的值；不存在，说明理由．（3）已知直线l：mx﹣y+n＝0和椭圆E：（a＞b＞0），设椭圆E的两个焦点F1，F2到直线l的方向距离分别为λ1、λ2满足，且直线l 与x轴的交点为A、与y轴的交点为B，试比较|AB|的长与a+b的大小．【解答】解：（1）由点P（x，y）在椭圆上，所以由题意、，于是2分又﹣2≤x≤2得0≤x2≤4，即4分（2）假设存在实数t，满足题设，由题意，，于是6分4﹣t2cos2α＝cos2α+4sin2α⇔（3﹣t2）cos2α＝0对任意的α都成立只要3﹣t2＝0即可，所以故存在实数t，，对任意的α都有η1η2＝1成立．9分（3）设F1，F2的坐标分别为（﹣c，0）、（c，0），于是c2＝a2﹣b2、于是⇒n2＞b2+m2a2又，B（0，n）即12分所以综上|AB|＞a+b．14分30．（6分）如图，点A（﹣1，0）、B（1，0），点C在x轴正半轴上，过线段BC的n等分点D i作与BC垂直的射线l i，在l i上的动点P使∠APB取得最大值的位置记作P i（i＝1，2，3，…，n﹣1）．是否存在一条圆锥曲线，对任意的正整数n≥2，点P i（i＝1，2，…，n﹣1）都在这条曲线上？说明理由．【解答】解：存在一条双曲线，对任意的正整数n≥2，点P i（i＝1，2，…，n ﹣1）都在这条双曲线上．如图所示，A（﹣1，0），B（1，0），设|BC|＝b，P（x，y），则x＞1，y＞0，，∠APB＝∠PBC﹣∠P AC，所以＝．当i＝1，2，3，…，n﹣1一定时，为常数所以≥2，此时tan∠APB取得最大值，当且仅当时等号成立，故x2﹣y2＝1，x＞1，y＞0，P i在一条双曲线上．31．（12分）定义符号函数sgn（x）＝，已知a，b∈R，f（x）＝x|x﹣a|sgn（x﹣1）+b．（1）求f（2）﹣f（1）关于a的表达式，并求f（2）﹣f（1）的最小值．（2）当b＝时，函数f（x）在（0，1）上有唯一零点，求a的取值范围．（3）已知存在a，使得f（x）＜0对任意的x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．【解答】解：（1）∵函数sgn（x）＝，f（x）＝x|x﹣a|sgn（x﹣1）+b．∴f（2）＝2|2﹣a|+b，f（1）＝|1﹣a|+b，∴f（2）﹣f（1）＝2|2﹣a|﹣|1﹣a|＝，由f（2）﹣f（1）在（﹣∞，2]上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，故当a＝2时，f（2）﹣f（1）的最小值为﹣1；（2）当b＝时，函数f（x）＝﹣x|x﹣a|+＝，当x∈（0，1）时，f（x）＝，由f（x）＝0得：，即，令g（x）＝|x﹣a|，h（x）＝，在同一坐标系中分别作出两个函数在（0，1）上的图象，如下图所示：由图可得：当a∈（﹣∞，）∪{}∪[，+∞）时，两个函数图象有且只有一个交点，即函数f（x）在（0，1）上有唯一零点；（3）x∈[1，2]时，f（x）＝x|x﹣a|+b，由f（x）＜0得：|x﹣a|＜，∴b＜0，且＜x﹣a＜对任意的x∈[1，2]恒成立，即+x＜a＜+x对任意的x∈[1，2]恒成立，∵y＝+x在[1，2]上单调递增，故当x＝2时，y＝+x取最大值2+，y＝+x，x∈[1，2]的最小值为：，①，解得：b∈（﹣1，﹣）；②，解得：b∈[﹣4，﹣1]；③解得：b∈（﹣∞，﹣4），综上可得：b∈（﹣∞，﹣）．32．（12分）已知两个无穷数列{a n}，{b n}分别满足，，其中n∈N*，设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n、T n．（1）若数列{a n}，{b n}都为递增数列，求数列{a n}，{b n}的通项公式．（2）若数列{c n}满足：存在唯一的正整数k（k≥2），使得c k＜c k﹣1，称数列{c n}为“k坠点数列”．①若数列{a n}为“5坠点数列”，求S n．②若数列{a n}为“p坠点数列”，数列{b n}为“q坠点数列”，是否存在正整数m，使得S m+1＝T m，若存在，求m的最大值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵数列{a n}，{b n}都为递增数列，∴由递推式可得a n+1﹣a n＝2，b2＝﹣2b1，b n+2＝2b n+1，n∈N*，则数列{a n}为等差数列，数列{b n}从第二项起构成等比数列．∴a n＝2n﹣1，；（2）①∵数列{a n}满足：存在唯一的正整数k＝5，使得a k＜a k﹣1，且|a n+1﹣a n|＝2，∴数列{a n}必为1，3，5，7，5，7，9，11，…，即前4项为首项为1，公差为2的等差数列，从第5项开始为首项5，公差为2的等差数列，故；②∵，即b n+1＝±2b n，∴|b n|＝2n﹣1，而数列{b n}为“坠点数列”且b1＝﹣1，∴数列{b n}中有且只有两个负项．假设存在正整数m，使得S m+1＝T m，显然m≠1，且T m为奇数，而{a n}中各项均为奇数，∴m必为偶数．首先证明：m≤6．若m＞7，数列{a n}中（S m+1）max＝1+3+…+（2m+1）＝（m+1）2，而数列{b n}中，b m必然为正，否则≤﹣1+21+…+2m﹣2+（﹣2m﹣1）＝﹣3＜0，显然矛盾；∴＝2m﹣1﹣3．设，设，而0（m＞7），∴{d m}（m＞7）为增数列，且d7＞0，则{c m}（m＞7）为增数列，而c8＞0，∴（T m）min＞（S m）max，即m≤6．当m＝6时，构造：{a n}为1，3，1，3，5，7，9，…，{b n}为﹣1，2，4，8，﹣16，32，64，…此时p＝2，q＝4．∴m max＝6，对应的p＝2，q＝4．百度文库——让每个人平等地提升自我本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除。
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(上海卷,参考版解析)
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保持平常心，顺其自然2016年上海高考数学（理科）真题一、解答题（本大题共有14题，满分56分）1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4)【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)2. 设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________【答案】3-【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________25【解析】22112521d +==+4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米） 【答案】1.765. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________ 【答案】2log (1)x -【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+∴2log (1)x y =-∴12()log (1)f x x -=-6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3， 则该正四棱柱的高等于____________________ 【答案】2【解析】32BD =12223DD BD =⋅=7. 方程3sin 1cos2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________【答案】π5π,66x =【解析】23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=∴(2sin 1)(sin 2)0x x -+=∴1sin 2x =∴π5π,66x =8. 在2nx ⎫⎪⎭的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________【答案】112【解析】2256n =， 8n =通项88433882()(2)r rr r r r C x C x x--⋅⋅-=-⋅取2r =常数项为228(2)112C -=9. 已知ABC V 的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________【解析】3,5,7a b c ===，2221cos 22a b c C ab +-==-∴sin C∴2sin c R C ==10. 设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是_____________【答案】(2,)+∞【解析】由已知，1ab =，且a b ≠，∴2a b +>11. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n ∈N ，{2,3}n S ∈，则k 的最大值为___________ 【答案】412. 在平面直角坐标系中，已知(1,0)A , (0,1)B -, P 是曲线y =则BP BA ⋅u u u r u u u r的取值范围 是____________【答案】[0,1+【解析】设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，(1,1)BA =u u u r , (cos ,sin 1)BP αα=+u u u rπcos [0,1sin 1)14BP BA ααα⋅=+++∈+u u u r u u u r13. 设,,a b ∈R , [0,2π)c ∈，若对任意实数x 都有π2sin(3)sin()3x a bx c -=+，则满足条件的有序实数组(,,)a b c 的组数为______________ 【答案】4【解析】(i)若2a =若3b =，则5π3c =； 若3b =-，则4π3c =(ii)若2a =-，若3b =-，则π3c =；若3b =，则2π3c =共4组14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A L 的中心，1(1,0)A ，任取不同的两点,i j A A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=u u u r u u u r u u u u r r，则点P 落在第一象限的概率是_______________ 【答案】528 【解析】285528C =二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15. 设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 【答案】A16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( )A. 65cos ρθ=+B. 65sin ρθ=+C. 65cos ρθ=-D. 65sin ρθ=- 【答案】D【解析】π2θ=-时，ρ达到最大17. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，下列条件中，使得*2()n S S n <∈N 恒成立的是( )A. 10a >, 0.60.7q <<B. 10a <, 0.70.6q -<<-C. 10a >, 0.70.8q <<D. 10a <, 0.80.7q -<<- 【答案】B【解析】1(1)1n n a q S q -=-, 11a S q =-, 11q -<<2n S S <，即1(21)0n a q -> 若10a >，则12nq >，不可能成立若10a <，则12nq <，B 成立18. 设(),(),()f x g x h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题:①若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均为增函数，则(),(),()f x g x h x 中至少有一个为增函数；②若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则(),(),()f x g x h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( ) A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题 【答案】D【解析】①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩ ②()()()()f x g x f x T g x T +=+++ ()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式，可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确 故选D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19. （本题满分12分）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，»AC 长为23π，¼11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧 (1) 求三棱锥111C O A B -的体积(2) 求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小【解析】(1) 连11O B ，则¼111113AO A B B π∠==∴111O A B V 为正三角形∴1113O A B S =V ∴1111111133C O A B O A B V OO S -=⋅=V(2) 设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连1BB ，则11BB AA ∥∴1BB C ∠为直线1B C 与1AA 所成角（或补角） 111BB AA == 连,,BC BO OC»¼113AB A B π==, »23AC π= ∴»3BCπ=∴3BOC π∠=∴BOC V 为正三角形 ∴1BC BO ==∴11tan 1BCBB C BB ∠== ∴145BB C ∠=︒∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45︒20．（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。
上海市浦东区2016学年第二次高考模拟高三数学试卷与答案及评分标准--含答案
浦东新区2016学年度第二学期质量抽测高三数学试卷 2017．4注意：1． 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚．2． 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟． 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1、已知集合201x A xx ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}04B y y =≤<，则A B =____________．2、若直线l 的参数方程为44,23R x tt y t =-⎧∈⎨=-+⎩，则直线l 在y 轴上的截距是____________． 3、已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30︒，则该圆锥的侧面积为____________． 4、抛物线214y x =的焦点到准线的距离为____________． 5、已知关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫⎪-⎝⎭，则3x y -=____________．6、若三个数123,,a a a 的方差为1，则12332,32,32a a a +++的方差为____________．7、已知射手甲击中A 目标的概率为0．9，射手乙击中A 目标的概率为0．8，若甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是____________．8、函数π3sin ,0,π62y x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间是____________．9、已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则1limnn n n S a a →∞+=____________．10、已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0xx g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 的图像在区间[]3,3-上的交点的个数为____________．11、已知各项均为正数的数列{}n a 满足：()()()11210N n n n n a a a a n *++--=∈，且110a a =, 则首项1a 所有可能取值中的最大值为____________．12、已知平面上三个不同的单位向量,,a b c 满足12a b b c ⋅=⋅=，若e 为平面内的任意单位向量，则23a e b e c e ⋅+⋅+⋅的最大值为____________．二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分． 13、若复数z 满足2z i z i ++-=，则复数z 在复平面上所对应的图形是（ ）A 、椭圆；B 、双曲线；C 、直线；D 、线段． 14、已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示给出下列4个平面图：（1） （2）（3） （4）则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（ ）A 、(1)(3)(4)；B 、(2)(4)(3)；C 、(1)(3)(2)；D 、(2)(4)(1)． 15、已知2sin 1cos x x =+，则cot2x=（ ） A 、2； B 、2或12； C 、2或0； D 、12或0． 16、已知等比数列1234,,,a a a a 满足()10,1a ∈，()21,2a ∈，()32,4a ∈，则4a 的取值范围 是（ ）A 、()3,8；B 、()2,16；C 、()4,8；D 、()．三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，球O 的球心O 在空间直角坐标系O xyz -的原点， 半径为1，且球O 分别与,,x y z 轴的正半轴交于,,A B C 三点．已知球面上一点10,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． （1）求,D C 两点在球O 上的球面距离； （2）求直线CD 与平面ABC 所成角的大小．18、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某地计划在一处海滩建造一个养殖场． （1） 如图，射线,OA OB 为海岸线，2π3AOB ∠=，现用长度为1千米的围网PQ 依托海岸线围成一个△POQ 的养殖场，问如何选取点,P Q ，才能使养殖场△POQ 的面积最大，并求其最大面积．（2）如图，直线l 为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场．方案一：围成三角形OAB （点,A B 在直线l 上），使三角形OAB 面积最大，设其为1S ； 方案二：围成弓形CDE （点,D E 在直线l 上，C 是优弧DE 所在圆的圆心且2π3DCE ∠=），其面积为2S ； OABPQABOCED试求出1S 的最大值和2S （均精确到0．001平方千米），并指出哪一种设计方案更好．19、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知双曲线22:143x y C -=，其右顶点为P ． （1）求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程； （2）设直线l 过点P ，其法向量为(1,1)n =-，若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P到直线l 的距离均为d ，求d 的值．20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若数列{}n A 对任意的*N n ∈，都有()+10kn nA A k =≠，且0n A ≠，则称数列{}n A 为“k 级创新数列”． （1新数列”，并说明理由；（2） 已知正数数列{}n b 为“k 级创新数列”且1k ≠，若110b =，求数列{}n b 的前n 项积．nT ；（32）的条件下，记数列{}n c 的通项1log n n n b n c T β-=⋅， 求证：21n n n c c c ++=+，*N n ∈．21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于定义域为R 的函数()g x ，若函数()sin g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数，则称()g x 为正弦奇函数． 已知()f x 是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，()00f =．（1）已知()g x 是正弦奇函数，证明：“0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解”的充要条件是“0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解”； （2）若()()ππ,22f a f b ==-，求a b +的值；（3）证明：()f x 是奇函数．浦东新区2016学年度第二学期质量抽测高三数学试卷 2017.4注意：1. 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚.2. 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1、已知集合201x A xx ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}04B y y =≤<，则A B =____[2,4)________.2、若直线l 的参数方程为44,23R x tt y t =-⎧∈⎨=-+⎩，则直线l 在y 轴上的截距是_____1______. 3、已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30︒，则该圆锥的侧面积为____8π______. 4、抛物线214y x =的焦点到准线的距离为______2_______. 5、已知关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫⎪-⎝⎭，则3x y -=___5_______.6、若三个数123,,a a a 的方差为1，则12332,32,32a a a +++的方差为 9 .7、已知射手甲击中A 目标的概率为0.9，射手乙击中A 目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是___0.98________.8、函数π3sin ,0,π62y x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间是_____20,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦__________.9、已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则1limnn n n S a a →∞+=___14______.10、已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 的图象在区间[]3,3-上的交点的个数为 6 .11、已知各项均为正数的数列{}n a 满足：()()()11210N n n n n a a a a n *++--=∈，且110a a =, 则首项1a 所有可能取值中的最大值为 16 . 12、已知平面上三个不同的单位向量,,a b c 满足12a b b c ⋅=⋅=，若e 为平面内的任意单位向量，则23a e b e c e ⋅+⋅+⋅的最大值为二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分. 13、若复数z 满足2z i z i ++-=，则复数z 在复平面上所对应的图形是 （ D ）A 、椭圆；B 、双曲线；C 、直线；D 、线段. 14、已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示给出下列4个平面图：（2）（2）（3） （4）则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是 （ C ） A 、(1)(3)(4)； B 、(2)(4)(3)； C 、(1)(3)(2)； D 、(2)(4)(1). 15、已知2sin 1cos x x =+，则cot2x= （ C ） A 、2； B 、2或12； C 、2或0； D 、12或0. 16、已知等比数列1234,,,a a a a 满足()10,1a ∈，()21,2a ∈，()32,4a ∈，则4a 的取值范围是 （ D ）A 、()3,8；B 、()2,16；C 、()4,8；D 、(). 三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，球O 的球心O 在空间直角坐标系O xyz -的原点，半径为1， 且球O 分别与,,x y z 轴的正半轴交于,,A B C 三点.已知球面上一点10,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求,D C 两点在球O 上的球面距离； （2）求直线CD 与平面ABC 所成角的大小．解：（1）由题意：()()()11,0,0,0,1,0,0,0,1,0,22A B C D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭则10,22CD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，……………………………………………………2分 所以1CD =，即OCD ∆为等边三角形，所以π3DOC ∠=， …………4分ABOCED则ππ133DC =⨯= …………………………6分 （2）设直线CD 与平面ABC 所成角为θ，易得平面ABC 的一个法向量()1,1,1n =， …………………………11分则3132sin 61CD nCD nθ+⋅===⨯⋅， …………………………13分 即直线CD 与平面ABC 所成角3arcsin6θ= …………………………14分18、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某地计划在一处海滩建造一个养殖场. （1） 如图，射线,OA OB 为海岸线，2π3AOB ∠=，现用长度为1千米的围网PQ 依托海岸线围成一个POQ ∆的养殖场，问如何选取点,P Q ，才能使养殖场POQ ∆的面积最大，并求其最大面积.（2）如图，直线l 为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场.方案一：围成三角形OAB （点,A B 在直线l 上），使三角形OAB 面积最大，设其为1S ； 方案二：围成弓形CDE （点,D E 在直线l 上，C 是优弧DE 所在圆的圆心且2π3DCE ∠=），其面积为2S ； 试求出1S 的最大值和2S （均精确到0.001平方千米），并指出哪一种设计方案更好.OABPQ解：（1）设,OP x OQ y ==由余弦定理得222211232x y xy x y xy xy ⎛⎫=+-⋅-=++≥ ⎪⎝⎭，13xy ∴≤…4分则1211sin π2323212S xy =≤⨯⨯=，max 12S =（平方千米）即选取OP OQ ==时养殖场POQ ∆的面积最大. …………6分（2）方案一：围成三角形OAB设AOB θ∠=，由21124OA OB OA OB OA OB +⎛⎫+=⇒⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12OA OB ==时取等号. 所以，11111sin 12248S OA OB θ=⋅≤⋅⋅=（平方千米）， 当且仅当1π,22OA OB θ===时取等号.……………9分方案二：围成弓形CDE设弓形中扇形所在圆C 的半径为r ，而扇形圆心角为4π3、弧长为1千米， 故14433ππr ==. …………10分 于是22112π1sin 223S r r =⋅⋅+ …………11分23190.1448π216π=+⋅≈（平方千米） …………13分 即12S S <，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好. ……………14分19、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知双曲线22:143x y C -=，其右顶点为P . （1）求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程； （2）设直线l 过点P ，其法向量为(1,1)n =-，若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P到直线l 的距离均为d ，求d 的值.解：（1）由题意，(2,0)P ，渐近线方程：y x =20y ±=……………2分则半径7r d ===， ……………4分 所以圆方程为：()221227x y -+=……………6分（2）若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P 到直线l 的距离均为d ，则其中一点必定是与直线:2l y x =-平行的直线与双曲线其中一支的切点 ……………8分 设直线'l 与双曲线C 相切，并且与直线l 平行，则':l y x b =+，即有223412y x b x y =+⎧⎨-=⎩，消去y ，得到2281240x bx b +++= ……………10分 则226416(3)0b b ∆=-+=，解得1b =±，所以':1l y x =±…………12分又d 是l 与'l 之间的距离，所以2d ==或者2d ==……………14分20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若数列{}n A 对任意的*N n ∈，都有()+10kn nA A k =≠，且0n A ≠，则称数列{}n A 为“k 级创新数列”.（1新数列”，并说明理由；（2） 已知正数数列{}n b 为“k 级创新数列”且1k ≠，若110b =，求数列{}n b 的前n 项积．n T ；（32）的条件下，记数列{}n c 的通项1log n n n b n c T β-=⋅， 求证：21n n n c c c ++=+，*N n ∈.解：（1）由2122n n n a a a +=+，∴212+144+1n n n a a a +=+，即()212121n n a a ++=+，……………………2分且12120a +=≠， ………………………3分 ∴{}21n a +是“2级创新数列” ………………………4分 （2）由正数数列{}n b 是“k 级创新数列”，得()+10,1kn nb b k =≠，且0n b >∴+1lg lg n n b k b =， ………………………6分 ∴{}lg n b 是等比数列，且首项1lg 1b =，公比q k =； ∴111lg lg n n n b b q k --=⋅=； ………………………7分由1212lg lg lg lg n n n nT b b b T b b b =⇒=+++………………………9分1n k -++=10分（311111lg 1log lg n nn n n n n b n n n k T k c T b k βββ------=== 111111n n nn n n n nk k k ββαβββαα----⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n nαβαβ-=-； ……………………12分由,αβ是方程210x x --=的两根，∴2211ααββ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩；……………………14分()()222111n n n nn c αβααββαβαβ+++-⎡⎤=+-+==⎣⎦--.…………………16分21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于定义域为R 的函数()g x ，若函数()sin g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数，则称()g x 为正弦奇函数. 已知()f x 是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，()00f =.（1）已知()g x 是正弦奇函数，证明：“0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解”的充要条件是“0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解”； （2）若()()ππ,22f a f b ==-，求a b +的值；（3）证明：()f x 是奇函数. 证明：（1） 必要性：0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解，即()0sin 1g u ⎡⎤=⎣⎦，故()()00sin sin 1g u g u ⎡⎤⎡⎤-=-=-⎣⎦⎣⎦，即0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解.…………………………………………………2分充分性：0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解，即()0sin 1g u ⎡⎤-=-⎣⎦，故()0sin 1g u ⎡⎤-=-⎣⎦，()0sin 1g u ⎡⎤=⎣⎦，即0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解. ………………………………4分（2）因为()()()0f b f f a <<，由()f x 单调递增，可知0b a <<. ……………………5分由（1）可知，若函数()f x 是正弦奇函数，则当a 为方程()sin 1f x =⎡⎤⎣⎦的解，必有a -为方程()sin 1f x =-⎡⎤⎣⎦的解，()sin 1f a ∴-=-⎡⎤⎣⎦，即()π2π2f a m -=-()Z m ∈，而0a -<，故()()00f a f -<=，从而()()π2f a f b a b -≤-=⇒-≤， 即0a b +≥； ……………………7分 同理()π2π2f b n -=+()()(),0Z n f b f ∈->，故()()π2f b f a b a -≥=⇒-≥， 即0a b +≤； …………………………9分综上，0a b +=. …………………………10分（3）()f x 的值域为R 且单调递增，故对任意R c ∈，存在唯一的0,x 使得()0f x c =.…………11分可设()()πππ,π22n n f a n f b n ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()*N n ∈，下证()*0N n n a b n +=∈.当1n =时，由（2）知110a b +=,命题成立； ………………………………12分 假设n k ≤时命题成立，即110,,0k k a b a b +=+=，而由()f x 的单调性知11110k k k k b b b a a a ++<<<<<<<<，知11,k k k k a b b a ++-<->，则当1n k =+时，1k a +为方程()sin 1f x =±的解，故1k a +-为方程()sin 1f x =的解， 且由单调性知()()1k k f a f b +-<，故()()11k k f a f b ++-≤，得11k k a b ++-≤；同理11k k b a ++-≥，故110k k a b +++=. ……………………………………………14分 要证()f x 是奇函数，只需证：对任意0x >，都有()()f x f x -=-.记000a b ==，若()*N n x a n =∈，则n x b -=，()()()2n f x n f a f x ππ⎛⎫-=--=-=- ⎪⎝⎭；……………………………………………………15分若()()221,N n n x a a n +∈∈，则()ππ2,2,22f x n n ππ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭()ππ2π,2π22f x n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∈-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()212ππ,,2π,2π22n n x b b f x n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∈-∈-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而正弦函数在ππ2,222n n ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上单调递增，故由()()()()sin sin sin f x f x f x -=-=-得()()f x f x -=-.若()()2122,N n n x a a n ++∈∈，同理可证得()()f x f x -=-. …………………17分 综上，对任意0x >，都有()()f x f x -=-.故()f x 是奇函数. ……………18分。
16年高考真题——理科数学(上海卷)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学一．填空题：本大题共14小题，每小题4分，共计56分。
1．设R x ∈，则不等式1|3|<-x 的解集为_____________。
2．设()i z 23+=，其中i 为虚数单位，则=z Im _____________。
3．直线1l ：012=-+y x ，2l ：012=++y x ，则21,l l 的距离为_____________。
4．某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为77.1,69.1,80.1,75.1,78.1,72.1，则这组数据的中位数是_____________（米）。
5．已知点()9,3在函数()x a x f +=1的图像上，则()x f 的反函数()=-x f1_____________。
6．如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan3，则该正四棱柱的高等于_____________。
7．方程x x 2cos 1sin 3+=在区间[]π2,0上的解为_____________。
8．在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______。
9．已知ABC ∆的三边长为7,5,3，则该三角形的外接圆半径等于_____________。
10．设0,0>>b a ，若关于y x ,的方程组⎩⎨⎧=+=+11by x y ax 无解，则b a +的取值范围是_____________。
11．无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意+∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为_____________。
12．在平面直角坐标系中，已知()0,1A ，()1,0-B ，P 是曲线21x y -=上一个动点，则BP BA ⋅的取值范围是_____________。
高考数学一模试题浦东2016届高三一模数学卷(附答案)
浦东新区2015学年度第一学期期末质量测试高三数学试卷 （含答案） 2016.1注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有32道试题，满分150分，考试时间130分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 注：填写其他等价形式则得分1．已知集合{}{}=3,2A x x B x x ≤=<，则R A C B =I []2,32．已知向量()2,1,(1,)a b m =-=r r 平行，则m = 12-3．关于,x y 的一元二次方程组23122x y x y +=⎧⎨-=⎩的系数矩阵 2312⎛⎫⎪-⎝⎭4．计算：1132lim 32n nnn n ++→∞-+ 3 5．若复数z 满足1012ii z=-（i 为虚数单位），则z6．()1021x +的二项展开式中的第八项为 3960x7．某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30︒方向，与A 相距6.0海里.船由A 向正北方向航行8.1海里达到C 处，这时灯塔B 与船相距_____4.2______海里（精确到0.1海里） 8．已知3cos(),,252ππααπ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭9．如图，已知正方体1111D C B A ABCD -，21=AA ，E 为棱1CC 的中点，则AE与平面11BCC B 所成的角为552arctan ．（2arcsin 3，）（结果用反三角表示）10．已知函数()f x 的图像与()2xg x =的图像关于直线y x =对称，令()(1)h x f x =-，则关于函数()h x 有下列命题：①()h x 的图像关于原点对称； ②()h x 的图像关于y 轴对称； ③()h x 的最大值为0； ④()h x 在区间(1,1)-上单调递增。
其中正确命题的序号为____②③_____（写出所有正确命题的序号）。
上海市黄浦区2016届高考数学一模试卷 理(含解析)
2016年上海市黄浦区高考数学一模试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．不等式|x﹣1|＜1的解集用区间表示为．2．函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T= ．3．直线=3的一个方向向量可以是．4．两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个大球，这个大球的半径为．5．若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．6．若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a= ．7．若函数f（x）=+为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围为．8．若对任意不等于1的正数a，函数f（x）=a x+2的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标是．9．在（a+b）n的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值为（结果用数字作答）．10．在△ABC中，若cos（A+2C﹣B）+sin（B+C﹣A）=2，且AB=2，则BC= ．11．为强化安全意识，某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，那么选择的2天恰好为连续2天的概率是（结果用最简分数表示）．12．已知k∈Z，若曲线x2+y2=k2与曲线xy=k无交点，则k= ．13．已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m= ．14．若非零向量，，满足+2+3=，且•=•=•，则与的夹角为．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．已知复数z，“z+=0”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也不必要条件16．已知x∈R，下列不等式中正确的是（）A．＞B．＞C．＞D．＞17．已知P为直线y=kx+b上一动点，若点P与原点均在直线x﹣y+2=0的同侧，则k，b满足的条件分别为（）A．k=1，b＜2 B．k=1，b＞2 C．k≠1，b＜2 D．k≠1，b＞218．已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（）A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形B．对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形三、解答题（共5小题，满分74分）19．已知三棱柱ABC﹣A′B′C′的底面为直角三角形，两条直角边AC和BC的长分别为4和3，侧棱AA′的长为10．（1）若侧棱AA′垂直于底面，求该三棱柱的表面积；（2）若侧棱AA′与底面所成的角为60°，求该三棱柱的体积．20．如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．（1）用α表示A，B两点的坐标；（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．21．如图，某地要在矩形区域OABC内建造三角形池塘OEF，E，F分别在AB，BC边上，OA=5米，OC=4米，∠EOF=，设CF=x，AE=y．（1）试用解析式将y表示成x的函数；（2）求三角形池塘OEF面积S的最小值及此时x的值．22．已知椭圆Γ： +=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．23．已知a1，a2，…，a n是由n（n∈N*）个整数1，2，…，n按任意次序排列而成的数列．数列{b n}满足b k=n+1﹣a k（k=1，2，…，n），c1，c2，…，c n是1，2，…，n按从大到小的顺序排列而成的数列，记S n=c1+2c2+…+nc n．（1）证明：当n为正偶数时，不存在满足a k=b k（k=1，2，…，n）的数列{a n}；（2）写出c k（k=1，2，…，n），并用含n的式子表示S n；（3）利用（1﹣b1）2+（2﹣b2）2+…+（n﹣b n）2≥0，证明：b1+2b2+…+nb n≤n（n+1）（2n+1）及a1+2a2+…+na n≥S n．（参考：12+22+…+n2=n（n+1）（2n+1））2016年上海市黄浦区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．不等式|x﹣1|＜1的解集用区间表示为（0，2）．【考点】绝对值三角不等式．【专题】计算题；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】直接将不等式|x﹣1|＜1等价为：﹣1＜x﹣1＜1，解出后再用区间表示即可．【解答】解：不等式|x﹣1|＜1等价为：﹣1＜x﹣1＜1，解得，0＜x＜2，即原不等式的解集为{x|0＜x＜2}，用区间表示为：（0，2），故答案为：（0，2）．【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及解集的表示方法，属于基础题．2．函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T= π．【考点】二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】先利用二倍角的余弦化简，再求出函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期．【解答】解：y=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T==π．故答案为：π．【点评】本题考查二倍角的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．3．直线=3的一个方向向量可以是（﹣2，﹣1）．．【考点】二阶矩阵．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；矩阵和变换．【分析】平面中，直线方程Ax+By+C=0它的一个方向向量是（B，﹣A），由此利用二阶行列式展开式能求出直线的一个方向向量．【解答】解：∵直线=3，∴x﹣2y﹣3=0．∴直线=3的一个方向向量可以是（﹣2，﹣1）．故答案为：（﹣2，﹣1）．【点评】本题考查直线的方向向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．4．两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个大球，这个大球的半径为．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】利用熔化前后球的体积的不变性，建立等式关系进行求解即可．【解答】解：设大球的半径为r，则根据体积相同，可知，即．故答案为：．【点评】本题主要考查球的体积公式的计算和应用，利用体积相等是解决本题的关键，比较基础．5．若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；极限思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】设数列中的任意一项为a，利用无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和列方程，即可求得公比．【解答】解：设数列中的任意一项为a，由无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，得a=，即1﹣q=q∴q=．故答案为：．【点评】本题考查数列的极限，解题的关键是利用无穷等比数列的求和公式，是基础的计算题．6．若函数y=a+sinx 在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a= 1 ． 【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；作图题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用． 【分析】作函数y=sinx 在区间[π，2π]上的图象，从而结合图象解得． 【解答】解：作函数y=sinx 在区间[π，2π]上的图象如下，，结合图象可知，若函数y=a+sinx 在区间[π，2π]上有且只有一个零点， 则a ﹣1=0， 故a=1； 故答案为：1．【点评】本题考查了学生对三角函数的掌握情况及数形结合的思想应用．7．若函数f （x ）=+为偶函数且非奇函数，则实数a 的取值范围为 a ＞1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用函数f（x）=+为偶函数且非奇函数，结合函数的定义域，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=+为偶函数且非奇函数，∴f（﹣x）=f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），又，∴a≥1．a=1，函数f（x）=+为偶函数且奇函数，故答案为：a＞1．【点评】本题考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8．若对任意不等于1的正数a，函数f（x）=a x+2的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标是（1，﹣2）．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由指数函数可知图象经过点（﹣2，1），再由反函数可得．【解答】解：∵当x+2=0，即x=﹣2时，总有a0=1，∴函数f（x）=a x+2的图象都经过点（﹣2，1），∴其反函数的图象必经过点P（1，﹣2）故答案为：（1，﹣2）【点评】本题考查指数函数的单调性和特殊点，涉及反函数，属基础题．9．在（a+b）n的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值为70 （结果用数字作答）．【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理．【分析】利用二项展开式的二项式系数的性质：二项式系数和为2n，展开式中中间项的二项式系数最大．【解答】解：在（a+b）n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，∴2n=256，解得n=8，展开式共n+1=8+1=9项，据中间项的二项式系数最大，故展开式中系数最大的项是第5项，最大值为=70．故答案为：70．【点评】本题考查二项展开式的二项式系数的性质：二项式系数和是2n；展开式中中间项的二项式系数最大．在（a+b）n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．10．在△ABC中，若cos（A+2C﹣B）+sin（B+C﹣A）=2，且AB=2，则BC= 2．【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】由cos（A+2C﹣B）+sin（B+C﹣A）=2，可得cos（A+2C﹣B）=1，sin（B+C﹣A）=1，由范围A，B，C∈（0，π），结合三角形内角和定理，三角函数的图象和性质可得：①，或②，可解得A，B，C，利用正弦定理可得BC的值．【解答】解：∵cos（A+2C﹣B）+sin（B+C﹣A）=2，cos（A+2C﹣B）≤1，sin（B+C﹣A）≤1，∴cos（A+2C﹣B）=1，sin（B+C﹣A）=1，∵A，B，C∈（0，π），∴A+2C﹣B∈（﹣π，3π），B+C﹣A∈（﹣π，2π），∴由正弦函数，余弦函数的图象和性质可得：A+2C﹣B=0或2π，B+C﹣A=，∴结合三角形内角和定理可得：①，或②，由①可得：A=，B=，C=，由②可得：A=，B=﹣，C=，（舍去），∴由AB=2，利用正弦定理可得：，解得：BC=2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了正弦定理，正弦函数，余弦函数的图象和性质，三角形内角和定理的综合应用，考查了转化思想和计算能力，利用三角函数的图象和性质求三角形的三个内角是解题的关键，属于中档题．11．为强化安全意识，某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，那么选择的2天恰好为连续2天的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，先求出基本事件总数，再求出选择的2天恰好为连续2天包含的基本事件个数，由此能求出选择的2天恰好为连续2天的概率．【解答】解：某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，基本事件总数为n==10，选择的2天恰好为连续2天包含的基本事件个数m=4，∴选择的2天恰好为连续2天的概率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．12．已知k∈Z，若曲线x2+y2=k2与曲线xy=k无交点，则k= ±1．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；函数思想；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用三角代换化简表达式，转化方程无解，通过k是整数求解即可．【解答】解：曲线x2+y2=k2，令x=kcosθ，y=sinθ，代入曲线xy=k，曲线x2+y2=k2与曲线xy=k无交点，可得k2sinθcosθ=k，不成立．即sin2θ=不成立， 1，k∈Z，可得k=±1．故答案为：±1．【点评】本题考查曲线与方程的关系，考查分析问题解决问题的能力．13．已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m= ．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，利用已知条件求出A，B的坐标，通过向量关系求出m值即可．【解答】解：由题意可知：F（1，0），由抛物线定义可知A（x1，y1），可知B（x2，y2），∵=2，可得：2（x2﹣1，y2）=（1﹣x1，﹣y1），可得y2=﹣，x2=，，解得x1=2，y1=±2．||=||，可得|m﹣1|=，解得m=．故答案为：．【点评】本题考查直线与抛物线方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．14．若非零向量，，满足+2+3=，且•=•=•，则与的夹角为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由+2+3=，把用含有的式子表示，结合•=•=•，可得，．然后代入数量积求夹角公式求解．【解答】解：由+2+3=，得，代入•=•，得，即．再代入•=•，得，即．∴cos===﹣．∴与的夹角为．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，是中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．已知复数z，“z+=0”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也不必要条件【考点】复数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】阅读型；对应思想；分析法；数系的扩充和复数．【分析】由充分必要条件的判断方法，结合两复数和为纯虚数的条件判断．【解答】解：对于复数z，若z+=0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z+=0．∴“z+=0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件．故选：B．【点评】本题考查复数的基本概念，考查了充分必要条件的判断方法，是基础题．16．已知x∈R，下列不等式中正确的是（）A．＞B．＞C．＞D．＞【考点】不等式比较大小．【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】举反例可排除A、B、D，再证明C正确即可．【解答】解：取x=0可得=1=，故A错误；取x=0可得=1=，故B错误；取x=1可得==，故D错误；选项C，∵x2+2＞x2+1＞0，∴＞，故正确．故选：C【点评】本题考查不等式比较大小，举反例是解决问题的关键，属基础题．17．已知P为直线y=kx+b上一动点，若点P与原点均在直线x﹣y+2=0的同侧，则k，b满足的条件分别为（）A．k=1，b＜2 B．k=1，b＞2 C．k≠1，b＜2 D．k≠1，b＞2【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】设出P的坐标，根据点与直线的位置关系转化为二元一次不等式的关系，结合不等式恒成立进行求解即可．【解答】解：∵P为直线y=kx+b上一动点，∴设P（x，kx+b），∵点P与原点均在直线x﹣y+2=0的同侧，∴（x﹣kx﹣b+2）（0﹣0+2）＞0，即2[（1﹣k）x+2﹣b]＞0恒成立，即（1﹣k）x+2﹣b＞0恒成立，则1﹣k=0，此时2﹣b＞0，得k=1且b＜2，故选：A．【点评】本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，利用条件转化为不等式关系是解决本题的关键．18．已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（）A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形B．对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形【考点】等差数列的通项公式；三角形中的几何计算．【专题】转化思想；等差数列与等比数列；解三角形；不等式的解法及应用．【分析】利用等差数列的通项公式及其性质、三角形两边之和大于第三边，即可判断出结论．【解答】解：A：对任意的d，假设均存在以l1，l2，l3为三边的三角形，∵a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，∴a2+a3＞a1，a3+a1=2a2＞a2，而a1+a2﹣a3=a1﹣d不一定大于0，因此不一定存在以为l1，l2，l3三边的三角形，故不正确；B：由A可知：当a1﹣d＞0时，存在以为l1，l2，l3三边的三角形，因此不正确；C：对任意的d，由于a3+a4，＞a2，a2+a4=2a1+4d=a1+2d+a3＞0，a2+a3﹣a4=a1＞0，因此均存在以l2，l3，l4为三边的三角形，正确；D．由C可知不正确．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、三角形两边之和大于第三边，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分74分）19．已知三棱柱ABC﹣A′B′C′的底面为直角三角形，两条直角边AC和BC的长分别为4和3，侧棱AA′的长为10．（1）若侧棱AA′垂直于底面，求该三棱柱的表面积；（2）若侧棱AA′与底面所成的角为60°，求该三棱柱的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】整体思想；定义法；空间位置关系与距离．【分析】（1）根据直三棱柱的表面积公式进行求解即可．（2）作出棱柱的高，结合三棱柱的体积公式进行求解即可．【解答】解：（1）因为侧棱AA′⊥底面ABC，所以三棱柱的高h等于侧棱AA′的长，而底面三角形ABC的面积S=AC•BC=6，周长c=4+3+5=12，于是三棱柱的表面积S全=ch+2S△ABC=132．（2）如图，过A作平面ABC的垂线，垂足为H，A′H为三棱柱的高．因为侧棱AA′与底面ABC所长的角为60°，所以∠A′AH=60°，又底面三角形ABC的面积S=6，故三棱柱的体积V=S•A′H=6×=30．【点评】本题主要考查三棱柱的表面积和体积的计算，根据直三棱柱和斜三棱柱的特点和性质，结合棱柱的表面积和体积公式进行计算是解决本题的关键．20．如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．（1）用α表示A，B两点的坐标；（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算；任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；三角函数的求值．【分析】（1）利用三角函数的定义直接表示A，B坐标；（2）设出M，利用向量的数量积为0，得到关系式，然后求解点M横坐标的取值范围．【解答】解：（1）点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，可得A（cosα，sinα），将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．可得B（cos（），sin（）），即B（﹣sinα，cosα）．（2）设M（x，0），x≠0，=（cosα﹣x，sinα），=（﹣sinα﹣x，cosα）．MA⊥MB，可得（cosα﹣x）（﹣sinα﹣x）+sinαcosα=0．xsinα﹣xcosα+x2=0，可得﹣x=sinα﹣cosα=sin（）∈[﹣，]．综上x∈[﹣，0）∪（0，]．点M横坐标的取值范围：[﹣，0）∪（0，]．【点评】本题考查平面向量的数量积，三角函数定义的应用，考查转化思想以及计算能力．21．如图，某地要在矩形区域OABC内建造三角形池塘OEF，E，F分别在AB，BC边上，OA=5米，OC=4米，∠EOF=，设CF=x，AE=y．（1）试用解析式将y表示成x的函数；（2）求三角形池塘OEF面积S的最小值及此时x的值．【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由∠EOF=，可得∠COF+∠AOE=，则tan（∠COF+∠AOE）==1，化简可得函数的解析式，由0≤y≤4求得x的范围；（2）三角形池塘OEF面积S=S矩形OABC﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF，运用三角形的面积公式，设t=x+4，求得S的表达式，运用基本不等式可得最小值和x的值．【解答】解：（1）由∠EOF=，可得∠COF+∠AOE=，即有tan∠COF=，tan∠AOE=，则tan（∠COF+∠AOE）==1，即有y=，由y≤4，解得x≥，则函数的解析式为y=，（≤x≤4）；（2）三角形池塘OEF面积S=S矩形OABC﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF=4×5﹣×5y﹣×4x﹣×（4﹣y）（5﹣x）=20﹣•﹣2x﹣（5﹣x）•=20+（≤x≤4），令t=x+4（≤t≤8），即有S=20+（5t+﹣80）≥20+（2﹣80）=20﹣20．当且仅当5t=即t=4，此时x=4﹣4，△OEF的面积取得最小值，且为20﹣20．【点评】本题考查函数的解析式的求法，注意运用两角和的正切公式，考查三角形的面积的最小值，注意运用间接法求面积，再由换元法和基本不等式，属于中档题．22．已知椭圆Γ： +=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）通过ACBD为正方形可知直线l1和l2的方程为y=x和y=﹣x，进而联立直线与椭圆方程，利用对称性即得结论；（2）通过妨设直线l1的方程为y=kx，则直线l2的方程为y=﹣kx，设P（x0，y0），利用点到直线的距离公式及+=1，整理可知+的表达式，进而利用d12+d22为定值计算即得结论；（3）通过设AC与圆x2+y2=1相切的切点坐标为（x0，y0），联立切线AC的方程与椭圆方程，分x0=0或y0=0、x0≠0或y0≠0两种情况讨论即可．【解答】解：（1）∵ACBD为正方形，∴直线l1和l2的方程为y=x和y=﹣x，设点A、B的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），解方程组，得==，由对称性可知，S=4=；（2）由题意，不妨设直线l1的方程为y=kx，则直线l2的方程为y=﹣kx，设P（x0，y0），则+=1，又∵d1=，d2=，∴+=+=，将=b2（1﹣）代入上式，得+=，∵d12+d22为定值，∴k2﹣=0，即k=±，于是直线l1和l2的斜率分别为和﹣，此时+=；（3）设AC与圆x2+y2=1相切的切点坐标为（x0，y0），则切线AC的方程为：x0x+y0y=1，点A、C的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）为方程组的实数解．①当x0=0或y0=0时，ACBD均为正方形，椭圆均过点（1，1），于是有+=1；②当x0≠0或y0≠0时，将y=（1﹣x0x）代入+=1，整理得：（a2+b2）x2﹣2a2x0x﹣a2（1+b2）=0，由韦达定理可知x1x2=，同理可知y1y2=，∵ACBD为菱形，∴AO⊥CO，即x1x2+y1y2=0，∴+=0，整理得：a2+b2=a2b2（+），又∵+=1，∴a2+b2=a2b2，即+=1；综上所述，a，b满足的关系式为+=1．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．23．已知a1，a2，…，a n是由n（n∈N*）个整数1，2，…，n按任意次序排列而成的数列．数列{b n}满足b k=n+1﹣a k（k=1，2，…，n），c1，c2，…，c n是1，2，…，n按从大到小的顺序排列而成的数列，记S n=c1+2c2+…+nc n．（1）证明：当n为正偶数时，不存在满足a k=b k（k=1，2，…，n）的数列{a n}；（2）写出c k（k=1，2，…，n），并用含n的式子表示S n；（3）利用（1﹣b1）2+（2﹣b2）2+…+（n﹣b n）2≥0，证明：b1+2b2+…+nb n≤n（n+1）（2n+1）及a1+2a2+…+na n≥S n．（参考：12+22+…+n2=n（n+1）（2n+1））【考点】数列的求和．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）可用反证法证明，假设存在满足a k=b k（k=1，2，…，n）的数列{a n}，由条件结合奇数、偶数的概念即可得证；（2）由题意可得{c k}：n，n﹣1，n﹣2，…，1，再由累加法即可得到S n；（3）由（1﹣b1）2+（2﹣b2）2+…+（n﹣b n）2≥0，展开即可证得b1+2b2+…+nb n≤n（n+1）（2n+1）；再由排序定理：乱序之和不小于倒序之和．【解答】解：（1）证明：当n为正偶数时，存在满足a k=b k（k=1，2，…，n）的数列{a n}，由b k=n+1﹣a k（k=1，2，…，n），可得a k=，由n为正偶数，可得n+1为奇数，不为整数，a k为整数，故不成立，则当n为正偶数时，不存在满足a k=b k（k=1，2，…，n）的数列{a n}；（2）{c k}：n，n﹣1，n﹣2， (1)由S1=1，S2﹣S1=3，S3﹣S2=6，S4﹣S3=10，…，S n﹣S n﹣1=3+，n＞1．累加可得，S n=1+3+6+10+…+[3+]=（12+22+…+n2）+（1+2+…+n）]=×n（n+1）（2n+1）+n（n+1）=n（n+1）（n+2）；（3）证明：由（1﹣b1）2+（2﹣b2）2+…+（n﹣b n）2≥0，可得12+22+…+n2﹣2（b1+2b2+…+nb n）+（b12+b22+…+b n2）≥0，即有b1+2b2+…+nb n≤ [（12+22+…+n2）+（b12+b22+…+b n2）]=12+22+…+n2=n（n+1）（2n+1）；由排序定理可得，乱序之和不小于倒序之和，由a1+2a2+…+na n为乱序之和，S n=c1+2c2+…+nc n为倒序之和．即可得到a1+2a2+…+na n≥S n．【点评】本题考查数列的求和方法，以及数列不等式的证明，考查反证法的运用和综合法的运用，考查推理能力，属于中档题．21。
2016年高考上海理科数学试题与答案(word解析版)
与底面所成角的大小为
2
arctan，则该正四棱柱的高等于．
3
【答案】22
DD2DD2
【解析】由题意得11
tanDBDDD22
11
BD3323
．
【点评】本题考查了正四棱柱的性质，正四棱柱的高的计算，考查了线面角的定义，关键是找到直线与平面所成
32
x
x
n
（8）【2016年上海，理8，4分】在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于．
【答案】112
n，由题意得2256
n
【解析】由二项式定理得：二项式所有项的二项系数之和为2
，所以n8，二项式的通项
为
84
2
r
r38rrrr33
TC(x)()(2)Cx
r188
x
，求常数项则令
84
【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中档题．
（12）【2016年上海，理12，4分】在平面直角坐标系中，已知A1,0，B0,1，P是曲线
2
y1x上一个
动点，则BPBA的取值范围是．
【答案】0,12
2
【解析】由题意得知
y1x表示以原点为圆心，半径为1的上半圆．设Pcos,sin，0,，BA1,1，
fxhx、gxhx均为增函数，则fx、gx、hx中至少有一个增函数；②若fxgx、
fxhx、gxhx均是以T为周期的函数，则fx、gx、hx均是以T为周期的函数，下列判
断正确的是（）
（A）①和②均为真命题（B）①和②均为假命题
2016年高考文科数学上海卷有答案
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学(文史类)考生注意：1. 本试卷共6页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟.2. 本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_______.2. 设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于_______.3. 已知平行直线1210l x y +-=：，2210l x y ++=：，则1l 与2l 的距离是_______. 4. 某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76，则这组数据的中位数是_______（米）.5. 若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =_______.6. 已知点3,9（）在函数()1x f x a =+的图象上，则()f x 的反函数1()f x -=_______.7. 若x ，y 满足0,0,1,x y y x ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≥则2x y -的最大值为_______.8. 方程3sin 1cos2x x =+在区间[]0,2π上的解为_______.9.在2)n x的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______.10. 已知ABC △的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于_______. 11. 某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为_______.12. 如图，已知点()0,0O ，()1.0A ，1(0,)B -，P是曲线y OP BA uu u r uu rg 的取值范围是 .13. 设0a >，0b >.若关于x ,y 的方程组1,1,ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是 . 14. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意的*n ∈N ，{23}n S ∈，则k 的最大值为 .二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 设a ∈R ,则“1a >”是“21a >”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件16. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为BC ，1BB的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是( )A. 直线1AAB. 直线11A BC. 直线11A DD. 直线11B C17. 设a ∈R ，[0,2π)b ∈.若对任意实数x 都有πsin(3)=3x -sin()ax b +，则满足条件的有序实数对(),a b 的对数为( )A. 1B. 2C. 3D. 418. 设()f x ，()g x ，()h x 是定义域为R 的三个函数.对于命题：①若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是增函数，则()f x ，()g x ，()h x 均是增函数；②若()()f x g x +，()f x +()h x ，()g x +()h x 均是以T 为周期的函数，则()f x ，()g x ，()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( )A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题三、解答题（本大题共有5小题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为56π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧. （Ⅰ）求圆柱的体积与侧面积；（Ⅱ）求异面直线11O B 与OC 所成的角的大小.-----------在-------------------此-------------------卷-------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效------------姓名________________ 准考证号_____________20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.有一块正方形菜地EFGH ，EH 所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到F 点或河边运走.于是，菜地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等.现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为10（,），如图.（Ⅰ）求菜地内的分界线C 的方程；（Ⅱ）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为83.设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另有一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判别哪一个更接近于1S 面积的“经验值”.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b-=＞的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过2F 且与双曲线交于A ，B 两点.（Ⅰ）若l 的倾斜角为2π，1F AB △是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（Ⅱ）设b 若l 的斜率存在，且||4AB =，求l 的斜率.22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.对于无穷数列{}n a 与{}n b ，记*{|=}n A xx a n =∈N ，，*{|=}n B x x b n =∈N ，，若同时满足条件：①{}n a ，{}n b 均单调递增；②A B =∅且*AB =N ，则称{}n a 与{}n b 是无穷互补数列.（Ⅰ）若=21n a n -，=42n b n -，判断{}n a 与{}n b 是否为无穷互补数列，并说明理由； （Ⅱ）若2nn a =且{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，求数列{}n b 的前16项的和； （III ）若{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，{}n a 为等差数列且16=36a ，求{}n a 与{}n b 的通项公式.23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知a ∈R ，函数21()log ()f x a x=+. （Ⅰ）当1a =时，解不等式()1f x >；（Ⅱ）若关于x 的方程22()log )0(f x x +=的解集中恰有一个元素，求a 的值；（III ）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.，则(cos OP =，又(1,1)BA =所以cos 2]OP BA α=.【提示】先利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，再利用三角函数的图象和性质，得到OP BA 的取值范围,0,0，从而可看出)][x T hA B，从而。
2016年上海市高考数学试卷(理科)-含答案详解
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号 一 二 三 总分 得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 设a ∈R ，则“a >1”是“a 2>1”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是( )A. ρ=6+5cosθB. ρ=6+5sinθC. ρ=6−5cosθD. ρ=6−5sinθ3. 已知无穷等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，且lim n→∞S n =S ，下列条件中，使得2S n <S(n ∈N ∗)恒成立的是( )A. a 1>0，0.6<q <0.7B. a 1<0，−0.7<q <−0.6C. a 1>0，0.7<q <0.8D. a 1<0，−0.8<q <−0.74. 设f(x)、g(x)、ℎ(x)是定义域为R 的三个函数，对于命题：①f(x)+g(x)、f(x)+ℎ(x)、g(x)+ℎ(x)均为增函数，则f(x)、g(x)、ℎ(x)中至少有一个增函数；②若f(x)+g(x)、f(x)+ℎ(x)、g(x)+ℎ(x)均是以T 为周期的函数，则f(x)、g(x)、ℎ(x)均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( )A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共14小题，共56.0分）5. 设x ∈R ，则不等式|x −3|<1的解集为 ．6. 设z =3+2ii，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是______ ． 7. 已知平行直线l 1：2x +y −1=0，l 2：2x +y +1=0，则l 1，l 2的距离 ．8. 某次体检，6位同学的身高(单位：米)分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是 (米)．9. 已知点(3,9)在函数f(x)=1+a x 的图象上，则f(x)的反函数f −1(x)= ______ ．10. 在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 的边长为3，BD 1与底面所成角的大小为arctan 23，则该正四棱柱的高等于______．11. 方程3sinx =1+cos2x 在区间[0,2π]上的解为 ．12. 在(√x 3−2x )n 的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于 ． 13. 已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 ． 14. 设a >0，b >0，若关于x ，y 的方程组{ax +y =1x +by =1无解，则a +b 的取值范围为______ ．15. 无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和，若对任意n ∈N ∗，S n ∈{2,3}，则k 的最大值为 ．16. 在平面直角坐标系中，已知A(1,0)，B(0,−1)，P 是曲线y =√1−x 2上一个动点，则BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ．17. 设a ，b ∈R ，c ∈[0,2π)，若对任意实数x 都有2sin (3x −π3)=asin(bx +c)，则满足条件的有序实数组(a ，b ，c)的组数为________．18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形A 1A 2…A 8的中心，A 1(1,0)，任取不同的两点A i ，A j ，点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则点P 落在第一象限的概率是______ ．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………三、解答题（本大题共5小题，共74.0分。
2016年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试题 (理科)解析版
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为__________. 【答案】(2,4) 【解析】 试题分析：由题意得：131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4). 考点：绝对值不等式的基本解法.【名师点睛】解绝对值不等式，关键是去掉绝对值符号，进一步求解，本题也可利用两边平方的方法.本题较为容易. 2、设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =_____________. 【答案】3- 【解析】 试题分析：i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-考点：1.复数的运算；2.复数的概念.【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一. 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离___________.【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得d ===考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即,x y 的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）. 【答案】1.76考点：中位数的概念.【名师点睛】本题主要考查中位数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，涉及统计的题目，往往不难，主要考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力. 5、已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x f x f 的反函数.【答案】2log (x 1)- 【解析】 试题分析：将点39（，）带入函数()xf x 1a =+的解析式得a 2=，所以()xf x 12=+，用y 表示x 得2x log (y 1)=-，所以()12log (f x x 1)-=-.考点：1.反函数的概念；2.指数函数的图象和性质.【名师点睛】指数函数与对数函数互为反函数，求反函数的基本步骤是：一解、二换、三注.本题较为容易.6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________.【答案】【解析】 试题分析：由题意得11122tan 33DD DBD DD BD ∠==⇒=⇒=. 考点：1.正四棱柱的几何特征；2.直线与平面所成的角.【名师点睛】涉及立体几何中的角的问题，往往要将空间问题转化成平面问题，做出角，构建三角形，在三角形中解决问题；也可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求解，应根据具体情况选择不同方法，本题难度不大，能较好地考查考生的空间想象能力、基本计算能力等. 7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 【答案】566ππ或 【解析】 试题分析：3sinx 1cos 2x =+，即23sinx 22sin x =-，所以22sin x 3sinx 20+-=，解得1sinx 2=或sinx 2=-（舍去），所以在区间[]π2,0上的解为566ππ或. 考点：1.二倍角公式；2.已知三角函数值求角.【名师点睛】已知三角函数值求角，基本思路是通过化简 ，得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解.. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.8、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________.【答案】112 【解析】 试题分析：因为二项式所有项的二项系数之和为n 2，所以n 2256=，所以n 8=，二项式展开式的通项为84r r 8rr r r 33r 1882T C ()(2)C x x --+=-=-，令84r 033-=，得r 2=，所以3T 112=.考点：1.二项式定理；2.二项展开式的系数.【名师点睛】根据二项式展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.9、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________.【答案】3【解析】 试题分析：由已知3,5,7a b c ===，∴2221cos 22a b c C ab +-==-，∴sin C =，∴2sin c R C = 考点：1.正弦定理；2.余弦定理.【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目.解答本题，往往要利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到解题目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题较易，主要考查考生的基本运算求解能力等. 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是_________.【答案】2+∞（，）考点：方程组的思想以及基本不等式的应用.【名师点睛】从解方程组入手，探讨得到方程组无解的条件，进一步应用基本不等式达到解题目的.易错点在于忽视得到a b ≠.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力等. 11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 【解析】 试题分析：要满足{}3,2∈n S ，说明n S 的最大值为3，最小值为2.所以涉及最多的项的数列可以为2,1,1,0,0,0,-⋅⋅⋅，所以最多由4个不同的数组成.考点：数列求和.【名师点睛】从分析条件入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列{}n a 由k 个不同的数组成”的不同和“k 的最大值”.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等. 12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则⋅的取值范围是 .【答案】[0,1 【解析】 试题分析：由题意得知21x y -=表示以原点为圆心，半径为1的上半圆. 设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，(1,1)BA =, (cos ,sin 1)BP αα=+所以πcos [0,1sin 1)14BP BA ααα⋅=++=+∈+⋅BP BA 的范围为[0,1.考点：1.平面向量的数量积；2.三角函数的图象和性质；3.数形结合的思想.【名师点睛】本题解答利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，利用三角函数的图象和性质，得到⋅的取值范围.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等.13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为 . 【答案】4 【解析】考点：1.三角函数的诱导公式；2.三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到,a b 的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到c 的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足=++j i OA ，则点P 落在第一象限的概率是 .【答案】528【解析】 试题分析：共有2828C =种基本事件，其中使点P 落在第一象限共有2325C +=种基本事件，故概率为528. 考点：1.排列组合；2.古典概型；3.平面向量的线性运算.【名师点睛】本题主要考查古典概型概率的计算.解答本题，关键在于能准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用概率的计算公式求解.本题能较好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力、数形结合思想等. 二、选择题（5×4=20）15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件【答案】A【解析】试题分析：2211,111a a a a a >⇒>>⇒><-或，所以是充分非必要条件，选A.考点：充要条件【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及不等关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、逻辑推理能力等.16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ） （A ）θρcos 56+= （B ）θρin s 56+= （C ）θρcos 56-= （D ）θρin s 56-=考点：极坐标系【名师点睛】本题是极坐标系问题中的基本问题，从解法上看，一是可通过记忆比对，作出判断，二是利用特殊值代入检验的方法.本题突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生基本运算能力、数形结合思想等.17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（ ）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a （C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a 【答案】B【解析】试题分析：由题意得：11112,(0|q |1)11n q a a q q -<<<--对一切正整数恒成立，当10a >时12n q >不恒成立，舍去；当10a <时21122n q q <⇒<，因此选B.考点：1.数列的极限；2.等比数列的求和.【名师点睛】本题解答中确定不等关系是基础，准确分类讨论是关键，易错点是在建立不等关系之后，不知所措或不能恰当地分类讨论.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力分类讨论思想等.18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题【答案】D 【解析】试题分析：①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩ ②()()()()f x g x f x T g x T +=+++前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式，可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+故选D.考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.【名师点睛】本题主要考查抽象函数下函数的单调性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于灵活选择方法，如结合选项应用“排除法”，通过举反例应用“排除法”等.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等. 三、解答题（74分）19. 将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。
2016年高考数学上海卷含答案
2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________2、设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）5、已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x fx f 的反函数6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________8、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________9、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是____________11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为 .12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是 .13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为 .14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P落在第一象限的概率是 .二、选择题（5×4=20）15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ） （A ）θρcos 56+= （B ）θρin s 56+= （C ）θρcos 56-= （D ）θρin s 56-=17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（ ）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a （C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题三、解答题（74分）19.将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。