河南省新乡市2020届高三第二次模拟考试(强化版)数学(理)试卷
数学(理科)
第I 卷
一､选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的｡
1.设集合A={-1,0,1,2,32
},{|20}B x x x =--<,则A ∩B= A.{x|-1<x<2}
B.{-1,0,1,2}
C.{0,1,2}
D.{0,1}
2.若复数z 满足z(2+i)=5i,则z= A.1-2i
B.1+2i
C.-1-2i
D.-1+2i
3.已知向量(2,23),(3,1)==a b ,则向量a ,b 的夹角为
.
6
A π
.
3
B π
2.
3
C π
5.
6
D π 4.已知0.2
1.23log 5,3,3a b c -===,则
A.b<c<a
B.b<a<c
C.a<c<b
D.a<b<c
5.已知角α的终边上有一点(2,2),P -则3sin(2)2
πα+
= 1.3
A -
7.9
B -
1.3C
7.9
D 6.右图是甲､乙两个工厂的轮胎宽度的雷达图｡根据右图中的信息,下面说法错误的是
A.甲厂轮胎宽度的平均数大于乙厂轮胎宽度的平均数
B.甲厂轮胎宽度的众数大于乙厂轮胎宽度的众数
C.甲厂轮胎宽度的中位数与乙厂轮胎宽度的中位数相同
D.甲厂轮胎宽度的极差小于乙厂轮胎宽度的极差 7.函数
2
()(1)cos 1x
f x e
=-
-x 的部分图象大致为
8.已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半,且其轴截面的周长是18,则该圆柱的体积是 A.54π
B.36π
C.27π
D.18π
9.在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为
a,b,c.已知
8,(sin 3)sin b c b B C c C +=-+=asinA,则△ABC 的面积的最大值是
A.4
.43B
C.8
.83D 10.已知函数f(x)=A cos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象的一个最高点为(,3),12
π
-与之相邻的
一个对称中心为(
,0),6
π
将f(x)的图象向右平移
6
π
个单位长度得到函数g(x)的图象,则 A.g(x)为偶函数
.()B g x 的一个单调递增区间为
5[,]1212
ππ-
C.g(x)为奇函数
D.函数g(x)在[0,
]2
π
上有两个零点
11.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的虚轴的一个顶点为N(0,1),左顶点为M,双曲
线C 的左､右焦点分别为12,,F F 点P 为线段MN 上的动点,当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时
12,PF F 的面积分别为12,,S S 若212,S S =则双曲线C 的离心率为
.2
.22B
.23C
.5D 12.在正方体1111ABCD A B C D -中,E,F 分别为线段11,A B AB 的中点,O 为四棱锥E-11C D DC 的外接球的球心,点M,N 分别是直线1,DD EF 上的动点,记直线OC 与MN 所成角为θ,则当θ最小时,tanθ=
221
A
42
B
11205
C
1121
D 第II 卷
二､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分｡将答案填在答题卡中的横线上｡ 13.已知点(1,2)在抛物线2
2y x =上,则该抛物线的焦点坐标为____.
14.若实数x,y 满足约束条件2022033x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，则z=x-3y 的最小值为____.
15.祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家､天文学家｡他一生钻研自然科学,其主要贡献在数学､天文历法和机械制造三方面,特别是在探索圆周率π的精确度上,首次将“π”精确到小数点后第七位,即π=3.1415926...在此基础上,我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a,b,则事件"|a-b|≤3"的概率为____
16.
已
知
函
数
4321
()(),()223
2
x f x x m g x x x x x =-+=--++，若
12,(0,1),x x ∀∈∃∈R 21()(),f x g x <则m 的取值范围为____
三､解答题:共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡第17~21题为必考题,每道试题考生都必须作答｡第22､23题为选考题,考生根据要求作答｡
(一)必考题:共60分｡ 17.(12分)
在数列{}n a 中,a 12111,3,320(n n n a a a a a n +-==-+=∈+N ,且n ≥2)｡ (1)证明:数列1{}n n a a +-是等比数列｡ (2)求数列{}n a 的通项公式｡ 18.(12分)
如图1,在梯形ABCD 中,AB//CD,且AB=2CD,△ABC 是等腰直角三角形,其中BC 为斜边,若把△ACD 沿AC 边折叠到△ACP 的位置,使平面PAC ⊥平面ABC,如图2.
(1)证明:AB ⊥PA.
(2)若E 为棱BC 的中点,求二面角B-PA-E 的余弦值｡ 19.(12分)
已知函数()().x
f x ax e a =-∈R (1)讨论f(x)的单调性;
(2)讨论f(x)在(0,+∞)上的零点个数｡ 20.(12分)
某公司准备上市一款新型轿车零配件,上市之前拟在其一个下属4S 店进行连续30天的试销,定价为1000元/件｡
(1)设日销售40个零件的概率为p,记5天中恰有2天销售40个零件的概率为z,写出z 关于p 的函数关系式,并求z 的极大值点p 0.
(2)试销结束后统计得到该4S 店这30内的日销售量(单位:件)的数据如下表:
其中,1000元,但生产公司对该款零件不零售,只提供零件的整箱批发,大箱每箱有55件,批发价为550元/件;小箱每箱有40件,批发价为600元/件,以这30天统计的各日销售量的频率作为试销后各日销售量发生的概率｡
该4S 店决定每天批发两箱,若同时批发大箱和小箱,则先销售小箱内的零件,同时根据公司规定,当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S 店,假设日销售量为80件的概率为
2
p ,其中P 0为(1)中z 的极大值点. (i)设该4S 店批发两大箱,当天这款零件的利润为随机变量X;批发两小箱,当天这款零件的利
润为随机变量Y,求EX 和EY;
(ii)以日利润的数学期望作为决策依据,该4S 店每天应该按什么方案批发零件? 21.(12分)
已知椭圆C:22221(0x y a b a b
+=>>)的离心率为,2且四个顶点构成的四边形的面积是
(1)求椭圆C 的方程;
(2)已知直线l 经过点P(-2,0),且不垂直于y 轴,直线l 与椭圆C 交于A,B 两点,M 为AB 的中点,直线OM 与椭圆C 交于E,F 两点(O 是坐标原点),求四边形AEBF 的面积的最小值.
(二)选考题:共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分) 在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos ,
23sin x y αα=⎧⎨
=+⎩
(α为参数).以坐标原点O 为极
点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为sin()4
π
ρθ
-=
(1)求C 与l 的直角坐标方程;
(2)若直线l 与曲线C 交于M,N 两点,点P(-2,2),求-11
||||
PM PN +的值.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分) 已知函数f(x)=|x+a|+|x-5|.
(1)当a=3时,求不等式f(x)≤10的解集; (2)若f(x)≥1.求a 的取值范围.。
2020年河南省新乡市高考数学模拟试卷(二)(3月份)(有答案解析)
2020年河南省新乡市高考数学模拟试卷（二）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0，1，2，3}，B={x∈N|ln x＜1}，则A∩B=（）A. {0，1}B. {1，2}C. {0，1，2}D. {0，1，2，3}2.设复数z满足，则|z|=（）A. 1B.C. 3D.3.已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）A. 2B.C. 3D.4.不喜欢喜欢男性青年观众3010女性青年观众3050现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n=（）A. 12B. 16C. 24D. 325.在△ABC中，若点D满足，点E为AC的中点，则=（）A. B. C. D.6.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（）A. 4B. 13C. 40D. 417.将函数f（x）=sin x的图象向右平移个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，则函数y=f（x）g（x）的最大值为（）A. B. C. 1 D.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.9.在△ABC中，角A，B，C的对边分別为a，b，c，若，点G是△ABC的重心，且AG=，则△ABC 的面积为（）A. B. C. 或 D. 或10.函数f（x）=x sin2x+cos x的大致图象有可能是（）A. B.C. D.11.已知四棱锥S-ABCD，SA⊥平面ABCD，AB⊥BC，∠BCD＋∠DAB＝π，SA＝2，，二面角S-BC-A的大小为．若四面体SACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=e x-e-x，若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＞mx恒成立，则m的取值范围为（）A. （-∞，1）B. （-∞，1]C. （-∞，2）D. （-∞，2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.二项式的展开式中x-2的系数是______．14.设x，y满足约束条件，则的最大值是______．15.已知sin10°+m cos10°=2cos140°，则m=______．16.已知A，B是抛物线y2=2px（p＞0）上任意不同的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0），则x0的取值范围是______．（用p表示）三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知正项数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a n+2-2，n∈N*．（1）若数列{a n}为等比数列，求数列{a n}的公比q的值．（2）若a2=a1=1，b1=2，b n=a n-1+a n，求数列{b n}的通项公式．18.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，E是线段D1O的上一点．（1）若E为D1O的中点，求直线OD1与平面CDE所成角的正弦值；（2）能否存在点E使得平面CDE⊥平面CD1O，若能，请指出点E的位置关系，并加以证明；若不能，请说明理由．19.随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活．在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式．某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数y i（单位：人）与时间t i（单位：年）的数据，列表如下：t i12345y i2427416479（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系，请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式，参考数据．（2）某网购专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．方案一：每满600元可减100元；方案二：金额超过600元可抽奖三次，每次中奖的概率都为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．①两位顾客都购买了1050元的产品，求至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠的概率；②如果你打算购买1000元的产品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．20.顺次连接椭圆（a＞b＞0）的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．（1）求椭圆C的方程；（2）A，B是椭圆C上的两个不同点，若直线OA，OB的斜率之积为（O为坐标原点），线段OA上有一点M满足，连接BM并延长椭圆C于点N，求的值．21.已知函数f（x）=x2-2x+2a ln x，若函数f（x）在定义域上有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（1）求实数a的取值范围；（2）证明：．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1：（a＞0，t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：θ=（ρ∈R）．（1）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（2）若直线C3的方程为y=-x，设C2与C1的交点为O，M，C3与C1的交点为O，N，若△OMN的面积为2，求a的值．23.已知函数f（x）=|4x-1|-|x+2|．（1）解不等式f（x）＜8；（2）若关于x的不等式f（x）+5|x+2|＜a2-8a的解集不是空集，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：B={1，2}，A={0，1，2，3}，∴A∩B={1，2}．故选：B．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查描述法、列举法的定义，对数函数的单调性，交集的运算．2.答案：D解析：【分析】本题考查了复数的运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用复数的运算性质、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数z满足，∴z-i=2i+1，可得z=3i+1．则|z|==．故选D．3.答案：A解析：【分析】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得双曲线的渐近线方程，结合a，b，c的关系，再由离心率公式，计算可得所求值．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由题意可得=，即，即有双曲线的e====2．故选：A．4.答案：C解析：解：由分层抽样的性质得：，解得n=24．故选：C．由分层抽样的性质列方程能求出n的值．本题考查样本单元数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：B由平面向量基本定理及共线向量的运算得：==+=+（）=，得解．本题考查了平面向量基本定理及共线向量的运算，属简单题．【解答】解：==+=+（）=，故选B．6.答案：C解析：【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量B的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．【解答】解：模拟程序的运行，可得，A=1，B=0；满足条件A≤4，执行循环体，B=1，A=2；满足条件A≤4，执行循环体，B=4，A=3；满足条件A≤4，执行循环体，B=13，A=4；满足条件A≤4，执行循环体，B=40，A=5；此时，不满足条件A≤4，退出循环，输出B的值为40．故选C．7.答案：A解析：解：将函数f（x）=sin x的图象向右平移个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，则g（x）=sin（x-），则y=f（x）g（x）=sin x•sin（x-）=-[cos（2x）-cos]=-cos（2x）+，又-1≤cos（2x）≤1，所以函数y=f（x）g（x）的最大值为，故选：A．由三角函数图象的平移得：g（x）=sin（x-），由积化和差公式得：y=f（x）g（x）=sin x•sin （x-）=-[cos（2x）-cos]=-cos（2x）+，由三角函数的有界性及最值得：因为-1≤cos（2x）≤1，所以函数y=f（x）g（x）的最大值为，得解．本题考查了三角函数图象的平移、积化和差公式、三角函数的有界性及最值，属中档题．8.答案：B本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．由几何体的三视图得该几何体三棱锥S-ABC，其中底面△ABC是边长为2的等边三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，由此能求出该几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是如图所示的三棱锥S-ABC，其中底面△ABC是边长为2的等边三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，∴BO==3，SO==1，∴该几何体的体积为：V===．故选：B．9.答案：D解析：解：由题可知2sin A sin B-sin A cos C=sin C cos A，∴2sin A sin B=sin（A+C）=sin B，∴sin A=，∴A=或，又AG=，延长AG交BC于点D，∴AD=，∵=（+），∴2=（+）2=（b2+c2+2bc cos A），当A=时，c=3，∴△ABC的面积为bc sin A=，当A=时，c=4，∴△ABC的面积为bc sin A=故选：D．先根据正弦定理可求出A=或，再根据向量的运算和余弦定理即可求出c，根据三角形的面积公式计算即可本题考查了正弦定理，余弦定理在三角形中的应用，考查了运算求解能力，属于中档题10.答案：A解析：解：f（-x）=-x sin（-2x）+cos（-x）=x sin2x+cos x=f（x），则函数f（x）是偶函数，排除D，由f（x）=x2sin x cosx+cos x=0，得cos x（2x sinx+1）=0，得cos x=0，此时x=或，由2x sinx+1=0得sin x=-，作出函数y=sin x和y=-，在（0，2π）内的图象，由图象知两个函数此时有两个不同的交点，综上f（x）在（0，2π）有四个零点，排除B，C，故选：A．判断函数的奇偶性，判断函数零点个数进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性以及函数零点个数进行排除是解决本题的关键．11.答案：C解析：解：如下图所示，由于AB⊥BC，∠BCD+∠BAD=π，所以，，则A、B、C、D四点共圆．∵SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥SA．又BC⊥AB，且SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB，∵SB⊂平面SAB，∴BC⊥SB，则二面角S-BC-A的平面角为∠ABS，即．在Rt△ABS中，．所以，直角△ABC的外接圆直径为，即四边形ABCD的外接圆直径为AC=2．∵SA⊥平面ABCD，所以，四棱锥S-ABCD的外接球直径为，因此，该球的表面积为4πR2=π×（2R）2=8π．故选：C．先利用四边形ABCD的对角互补可得知A、B、C、D四点共圆，先证明BC⊥平面SAB，得出二面角S-BC-A的平面角为，可计算出AB，再利用勾股定理可得出四边形ABCD外接圆的直径AC，然后利用公式计算出外接球的半径R，最后利用球体表面积公式可得出的答案．本题考查球体表面积的计算，考查二面角的定义，同时也考查了直线与平面垂直的判定，考查推理能力与计算能力，属于中等题．12.答案：D解析：解：令g（x）=e x-e-x-mx，x∈（0，+∞），则g′（x）=e x+e-x-m，x∈（0，+∞），易得函数y=e x+e-x＞2在x∈（0，+∞）恒成立，故当m≤2时，g′（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立，故g（x）在（0，+∞）递增，又g（0）=0，故f（x）＜mx恒成立，当m＞2时，∵g′（x）在x∈（0，+∞）递增，故存在x0∈（0，+∞）恒成立，使得g′（x0）=0，故g（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，又g（0）=0，则g（x0）＜0，这与g（x）＞0恒成立矛盾，故m≤2，即m的范围是（-∞，2]，故选：D．求出函数的导数，通过讨论m的范围，结合函数的单调性确定m的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．13.答案：-10解析：解：二项式的展开式中通项公式：T r+1==（-1）r．令-=-2，解得r=3．x-2的系数=-=-10．故答案为：-10．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：5解析：解：x，y满足约束条件，满足的可行域如图：则的几何意义是可行域内的点与（-3，-2）连线的斜率，经过A时，目标函数取得最大值．由，可得A（-2，3），则的最大值是：=5．故答案为：5．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．本题考查线性规划的简单应用，画出可行域，判断目标函数的最值是解题的关键．15.答案：-解析：【分析】本题主要考查两角和与差的三角函数公式，属于基础题．由题意可得m=，再利用两角和与差的三角函数公式求得它的值．【解答】解：由题意可得m=====-，故答案为：-．16.答案：（p，+∞）解析：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0），∴AB不平行于y轴．即x1≠x2，则|PA|=|PB|则=；整理得（x1-x2）（x1+x2-2x0）=y22-y12，∵A，B是抛物线上的两个点，∴y12=2px1，y22=2px2，代入上式得x0=p+，∵x1≥0，x2≥0，x1≠x2，∴x1+x2＞0，则得x0=p+＞p，即x0的取值范围是（p，+∞），故答案为：（p，+∞）．设出A，B坐标，结合线段AB垂直平分线的性质建立|PA|=|PB|，利用点在抛物线上利用消参法进行转化求解即可本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，利用垂直平分线的性质以及消参法是解决本题的关键．17.答案：解：（1）由题意，可知：∵数列{a n}为等比数列，且数列{a n}满足2S n=a n+2-2，n∈N*．∴当n=1时，有：2S1=a3-2…①当n=2时，有：2S2=a4-2…②②-①，可得：2a2=a4-a3，化简整理，得：q2-q-2=0，解得：q=2，或q=-1，∵数列{a n}各项均为正项．∴q=-1舍去．∴q=2．（2）由题意，可知：∵当n≥2时，2a n=2S n-2S n-1=a n+2-2-a n+1-2=a n+2-a n+1．∵a n+2-a n=a n+a n+1．b n=a n-1+a n=S n-S n-2====，∴b n+1=2b n．∵b1=2，∴数列{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列．∴，n∈N*．解析：（1）根据题意，由数列的递推公式可得2S1=a3-2，2S2=a4-2，两式相减，变形可得2a2=a4-a3，即q2-q-2=0，解可得q的值，即可得答案；（2）根据题意，可将b n=a n-1+a n，用递推公式反向代入，然后可找到b n与b n+1的关系，得出数列{b n}是一个等比数列，即可得答案；本题考查数列的递推公式的应用，注意对数列的递推公式的变形，属于基础题．18.答案：解：（1）不妨设正方体的棱长为2，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），D1（0，0，2），C（0，2，0），O（1，1，0）．因为点E是D1O的中点，所以点E的坐标为．所以，，．设是平面CDE的法向量，则即，取x=2，则z=-1，所以平面CDE的一个法向量为．所以．所以直线OD1与平面CDE所成角的正弦值为．（2）假设存在点E使得平面CDE⊥平面CD1O，设．显然，．设是平面CD1O的法向量，则，即．取x=1，则y=1，z=1，所以平面CD1O的一个法向量为．因为，所以点E的坐标为．所以，．设是平面CDE的法向量，则即．取x=1，则，所以平面CDE的一个法向量为．因为平面CDE⊥平面CD1O，所以，即，，解得λ=2．所以λ的值为2．即当时，平面CDE⊥平面CD1O．解析：（1）设正方体的棱长为2，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出直线OD1与平面CDE所成角的正弦值．（2）假设存在点E使得平面CDE⊥平面CD1O，设．求出平面CD1O的法向量，平面CD1O的一个法向量，利用向量法能求出结果．本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足面面垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：解：（1）由题知，，，，，则=．故y与t的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合．（2）①选择方案二比方案一更优惠则需要至少中奖一次，设顾客没有中奖为事件A，则，故所求概率为．②若选择方案一，则需付款1000-100=900（元），若选择方案二，设付款X元，则X可能取值为700，800，900，1000.；；；．所以（元），因为850＜900，所以选择方案二更划算．解析：（1）利用公式求得相关系数r≈0.97＞0.75，说明可用线性回归模型拟合；（2）①至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠等价于顾客需要至少中奖一次；②分别求出两种方案中顾客付款金额的数学期望，比较期望的大小可作出选择．本题考查了线性回归方程，属中档题．20.答案：解：（1）由题可知，a2+b2=3，解得，b=1．所以椭圆C的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），．N（x3，y3），∵，∴，∴，．又∵，∴，即，．∵点N（x3，y3）在椭圆C上，∴，即．（*）∵A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆C上，∴，①，②又直线OA，OB斜率之积为，∴，即，③将①②③代入（*）得，解得．解析：（1）由菱形的面积公式可得2ab=2，由勾股定理可得a2+b2=3，解方程即可得到所求椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），．N（x3，y3），由向量的坐标表示和点满足椭圆方程，结合直线的斜率公式，化简变形，即可得到所求值．本题考查椭圆方程的求法，注意运用菱形的面积求法，考查点满足椭圆方程，以及化简变形能力，推理能力，属于难题．21.答案：（1）解：因为函数f（x）在定义域（0，+∞）上有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，所以在（0，+∞）上有两个根x1，x2，且x1＜x2，又，即x2-x+a=0在（0，+∞）上有两个不相等的根x1，x2．所以,解得;（2）证明：由题可知x1，x2（0＜x1＜x2）是方程x2-x+a=0的两个不等的实根，所以,其中,故=（x1+x2）2-2x1x2-2（x1+x2）+2a ln（x1x2）=2a lna-2a-1，令g（a）=2a lna-2a-1，其中,故g'（a）=2ln a＜0，所以g（a）在上单调递减，则，即．解析：本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道较难题．（1）求出函数的导数，结合二次函数的性质，确定a的范围即可；（2）结合二次函数的性质，求出f（x1）+f（x2）的解析式，根据函数的单调性证明即可．22.答案：解：（1）曲线C1：（a＞0，t为参数）．转换为直角坐标方程为：（x-a）2+y2=a2，该曲线为以（a，0）为圆心a为半径的圆．圆的极坐标方程为ρ=2a cosθ．（2）直线C3的方程为y=-x，转换为极坐标方程为：．将代入ρ=2cosθ，解得：，则：=，解得：a=2．解析：（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程进行转换．（2）利用极径建立方程组，进一步利用三角形的面积建立等量关系，求出参数的值．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，三角函数关系式的恒等变变换，直线方程的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．属于基础题型．23.答案：解：（1）由题意可得f（x）=，当x≤-2时，-3x+3＜8，得，无解；当时，-5x-1＜8，得，即；当时，3x-3＜8，得，即．所以不等式的解集为．（2）f（x）+5|x+2|=|4x-1|+|4x+8|≥9，则由题可得a2-8a＞9，解得a＜-1或a＞9．解析：（1）求出f（x）的分段函数的形式，解各个区间上的不等式的解集，取并集即可；（2）求出f（x）+5|x+2|的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。
河南省高三理数第二次质量检测试卷解析版
高三理数第二次质量检测试卷一、单项选择题.集合M =+ +.F =o] , N = {(Kp)|F = ln(x + 2)},那么()A. {-1,0}B. {(-1,0)}C. MD. N.假设复数吗，那么同=()1 — 1A.3拒B.6C. VlOD. 103.假设等差数列{，”}和等比数列{2}满足6=4=7 , a ="=8,贝1]鲁=()A.-4B.-1C. 1-rk /A \.1 mi _ 5sinacosa /.aw(。
,兀，，.s//7a-co.su =—,贝i 」〃〃72a +；—=(4 cos'a-si 汇 a 36 A. 一B. 12C. -1275 .函数/(xb-7J ，假设/侑(/%10))=。
，那么/体(3))=()e +eA. c"-1B, 3〃一1C. c l-3u D ・ 1-4.“中国天眼”射电望远镜的反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆 面为底，垂直于圆面的直径被截得的局部为高，球冠面积5 = 2n/?力，其中R 为球的半径，力为球冠的高），设球冠底的半径为r,周长为C,球冠的面积为S,那么当。
=2&5兀，5 = 14兀时，（=D. 4)hOi ——R-hr _ 2M于是R 一 7 - 7 o 2故答案为：B.【分析】根据题意结合球冠的周长公式得出r 的值，再利用球冠的面积公式得出Rh 的值，由勾股定理可得出h,R 的值，进而得出 三的值。
R【解析】【解答】解：由题意得X 的可能取值为1, 2, 3,那么丝川专小?《 = 2）=霍S3）号22 19所以 E(X) = lx- + 2x- + 3x ： =一, 939 9I -19. 2 口 19、2 x — + (2) x — + (3) 9939y 的可能取值为o, 1, 2, 22I 8(y )= 0x —+lx —+ 2x —=一 ,939 95 y ）=（0 ］）2冬° .新亭（2 1）飞得 E (x )^£(r ), D(X) = D(Y).故答案为：D.【分析】由古典概型概率计算公式计算X, Y,取每一个值对应概率，得到其分布列，再由期望, 方差计算公式得出结果，即可判断。
2020届河南省新乡市新乡一中高三二模数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届河南省新乡市新乡一中高三二模数学（理）试题 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合{}|214A x x =<-<，{}2|4120B x x x =--…，则()A B =R U ð（ ） A ．()2,1--B ．()3,6-C ．(]3,6-D ．()6,2-答案：B 算出集合B ，求出B R ð，直接进行交集运算即可.解：因为{}|31A x x =-<<-，{}|26B x x =-<<R ð，所以(){}|36A B x x =-<<R U ð.故选：B点评：本题考查集合的并集、补集运算，属于基础题.2．已知复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则1z z +=（ ） A ．32i + B ．12i + C ．132i - D ．132i + 答案：C 求出z ，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.解：121312z i i z i +--==+. 故选：C点评：本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题.3．已知向量()0,2=r a ，()b x =r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则x =（ ） A ．-2B ．2C ．1D ．-1答案：B a b π⋅r r解： 由题意21cos 32212a b a b x π⋅===+r r r r ， 所以0x >，且2212x x =+，解得2x =.故选：B.点评：本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题. 4．若x ，y 满足约束条件0,2,10,x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则4z x y =+的取值范围为（ ）A ．[]5,1--B ．[]5,5-C ．[]1,5-D ．[]7,3- 答案：B根据约束条件作出可行域，找到使直线4y x z =-+的截距取最值得点，相应坐标代入4z x y =+即可求得取值范围.解：画出可行域，如图所示：由图可知，当直线4z x y =+经过点()1,1A --时，z 取得最小值－5；经过点()1,1B 时，z 取得最大值5，故55z -剟.故选：B点评：本题考查根据线性规划求范围，属于基础题.5．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）A ．3?i ≤B ．4?i ≤C ．5?i ≤D ．6?i ≤答案：C 根据程序框图的运行，循环算出当31S =时，结束运行，总结分析即可得出答案. 解：由题可知，程序框图的运行结果为31，当1S =时，9i =；当1910S =+=时，8i =；当19818S =++=时，7i =；当198725S =+++=时，6i =；当1987631S =++++=时，5i =.此时输出31S =.故选：C.点评：本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.6．函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-U 的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．答案：B先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案.解：()f x 是奇函数，排除C ，D ；()2()ln 0f ππππ=-<，排除A . 故选：B.本题考查函数图象的判断，属于常考题.7．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布()280,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（ ）附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<+=„，()220.9544P X μσμσ-<+=„.A ．0.6826B ．0.8413C ．0.8185D ．0.9544答案：C根据服从的正态分布可得80μ=，5σ=，将所求概率转化为()2P X μσμσ-<≤+，结合正态分布曲线的性质可求得结果.解：由题意，80μ=，5σ=，则()75850.6826P X <=„，()70900.9544P X <=„， 所以()()185900.95440.68260.13592P X <=⨯-=„，()75900.68260.13590.8185P X <=+=„.故果实直径在(]75,90内的概率为0.8185.故选：C点评：本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.8．已知椭圆22y a +22x b=1(a >b >0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D 答案：A联立直线与椭圆方程求出交点A ，B 两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式，解方程求解即可.联立方程222211y x a b y x a b⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解方程可得0x y a =⎧⎨=⎩或0x b y =-⎧⎨=⎩， 不妨设A (0，a )，B (-b ，0)，由题意可知，BA u u u r ·BF u u u r=0， 因为(),BA b a =u u u r ，(),BF b c =-u u u r ，由平面向量垂直的坐标表示可得，0b b ac ⋅-=，因为222b a c =-，所以a 2-c 2=ac ，两边同时除以2a 可得，210e e +-=，解得ee =，故选：A点评：本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.9．将函数f (x )=sin 3xcos 3x +1的图象向左平移6π个单位长度，得到函数g (x )的图象，给出下列关于g (x )的结论：①它的图象关于直线x =59π对称； ②它的最小正周期为23π； ③它的图象关于点(1118π，1)对称； ④它在[51939ππ，]上单调递增. 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④ 答案：B根据函数()sin y A ωx φ=+图象的平移变换公式求出函数()g x 的解析式，再利用正弦解：因为f (x )=sin 3x -3cos 3x +1=2sin (3x -3π)+1，由()sin y A ωx φ=+图象的平移变换公式知， 函数g (x )=2sin [3(x +6π)-3π]+1=2sin (3x +6π)+1，其最小正周期为23T π=，故②正确； 令3x +6π=k π+2π，得x =3k π+9π(k ∈Z )，所以x =59π不是对称轴，故①错误； 令3x +6π=k π，得x =3k π-18π(k ∈Z )，取k =2，得x =1118π，故函数g (x )的图象关于点(1118π，1)对称，故③正确； 令2k π-2π≤3x +6π≤2k π+2π，k ∈Z ，得23k π-29π≤x ≤23k π+9π，取k =2，得109π≤x ≤139π，取k =3，得169π≤x ≤199π，故④错误； 故选：B点评：本题考查()sin y A ωx φ=+图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等性质；考查运算求解能力和整体代换思想；熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型10．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AB AA =，E F ，分别为AB BC ，的中点，异面直线1AB 与1C F 所成角的余弦值为m ，则( )A ．直线1A E 与直线1C F 异面，且2m =B ．直线1A E 与直线1C F 共面，且2m =C ．直线1A E 与直线1C F 异面，且3m =D ．直线1AE 与直线1CF 共面，且3m = 答案：B连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，由正四棱柱的特征可知11EF AC P ，再由平面的基本性。
2020年河南省新乡市高考数学二模试卷1（强化版）（含答案解析）
2020年河南省新乡市高考数学二模试卷1（强化版）己知集合0={》次2 v4},B=(0,1f2,4}, A.(0,1} B.{0,1,2} C.则=()(1.2) D. (0,1. 2.4}C. -2+iD.一2一i已知双曲线二一二=i的实轴长为10,m2+1647n-3则该双曲线的渐近线的斜率为（）一、选择题(本大题共12小题，共60.0分) 1.2.己知i是虚数单位，则复数£j=()A. 2-iB.2+i3.A. B.土：4.己知tana=l.则些t*=()si n a 、,A.1B.25.若】。
gw VO, G)、>1，则()A.a>1,b>0C. 0<a<1.b>06.C ±：D圮C. 3 D.4B.a>1,b VOD.0<a< 1.b<0在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测・甲：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高.丙：我的成绩比乙高.成绩公布后.三人成绩互不相同且只有一个人预测正确.那么三人按成绩由高到低的次序为A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙7./（%）=粉的部分图象大致为（）8.如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底而是正三角形.如果三棱柱的体积为12焰,圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为（）9. A. 127T B. 147T C. 16tt D.己知函Hiy = sin （o ）x + <p ）9 3 > 0,伊€（—汗,汗）的期象,如图，则函数解析式为（）A. y = sin(x + 学)B. y = sin(2x + m)C. y = sin(x + ：)D. y = sin(2x+m)10.甲，乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为小 再由乙猜甲刚才所想的数字.把乙猜的数字记为"其中b E （1,2. 3, 4, 5, 6},若|a — b|式1.就称甲乙“心相近” .现任 意找两人玩这个游戏，则他们“心相近”的概率为（）A. fB. jC. ?D. 土11.己知三棱锥匕4 _L 平面 ABC.在三角形 A8C 中,z_BAC = 120% AB = AC = VA = 2,三棱^V-ABC 的外接球的表而积为（）12. 己知函数/（对=@2-》+幻工€[1,3],则下列说法正确的是（）A.函数Z （x ）的最大值为3+|B,函数/■侦）的最小值为3 + ；C.函数/"（x ）的最大值为3D.函El/（x ）的最小值为3二、 填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设向量 a = B = （1j 2），若云 J.B ，则 m = .% - 2y + 1 > 014. 己知实数爪y 满足x+y-l>0 ,则z = 2% — y 的取值范国 ・x < 215. AABC 的内角A, B, C 的对边分别为a.b 9c.砧=60,面私％昵=15石.44BC 外接圆的半径为焰,WJc =.16. 抛物线C ： y 2 = 4x 的交点为F,准线为/, 〃为抛物线C 上一点，且P 在第一象限，PM 11交C于点线段MF 为抛物线C 交于点M 若PF 的斜率为：，则需=.三、 解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.己知等比数列｛%｝中，此+代是。
2020年河南省新乡市高考数学二模试卷1(强化版) (含答案解析)
2020年河南省新乡市高考数学二模试卷1（强化版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2<4}，B ={0,1，2，4}，则A ∩B =( )A. {0,1}B. {0,1，2}C. {1,2}D. {0,1，2，4}2. 已知i 是虚数单位，则复数7−i3+i =( )A. 2 – iB. 2+iC. −2+iD. −2−i3. 已知双曲线x 2m 2+16−y 24m−3=1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A. ±54B. ±45C. ±53D. ±354. 已知tanα=1，则sinα+2cosαsinα=( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 若log 2a <0，(12)b >1，则( )A. a >1，b >0B. a >1，b <0C. 0<a <1，b >0D. 0<a <1，b <06. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A. 甲、乙、丙B. 乙、甲、丙C. 丙、乙、甲D. 甲、丙、乙7. f(x)=|x|cosxe x +e −x 的部分图象大致为( )A. B.C. D.8. 如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形．如果三棱柱的体积为12√3，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为( )A. 12πB. 14πC. 16πD. 18π9. 已知函数y =sin(ωx +φ)，ω>0，φ∈(−π,π)的图象，如图，则函数解析式为( )A. y =sin(x +3π4) B. y =sin(2x +3π4) C. y =sin(x +π4)D. y =sin(2x +π4)10. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1,2，3，4，5，6}，若|a −b|≤1，就称甲乙“心相近”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心相近”的概率为( )A. 19B. 29C. 49D. 71811. 已知三棱锥V −ABC ，VA ⊥平面ABC ，在三角形ABC 中，∠BAC =120°，AB =AC =VA =2，三棱锥V −ABC 的外接球的表面积为( )A. 16πB. 32π3C. 20√5π3D. 20π12. 已知函数f (x )=e 2−x +x ，x ∈[1,3]，则下列说法正确的是( )A. 函数f (x )的最大值为3+1e B. 函数f (x )的最小值为3+1e C. 函数f (x )的最大值为3D. 函数f (x )的最小值为3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设向量a ⃗ =(m,−1)，b ⃗ =(1,2)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则m = ______ ．14. 已知实数x ，y 满足{x −2y +1≥0x +y −1≥0x <2，则z =2x −y 的取值范围是______．15. ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，ab =60，面积S ΔABC =15√3，ΔABC 外接圆的半径为√3，则c =________．16. 抛物线C ：y 2=4x 的交点为F ，准线为l ，p 为抛物线C 上一点，且P 在第一象限，PM ⊥l 交C于点M ，线段MF 为抛物线C 交于点N ，若PF 的斜率为34，则|MN||NF|=______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}中，a1+a3是a2与a4的等差中项，且以a3−2，a3，a3+2为边长的三角形是直角三角形．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n}满足b1=2，且b n+1=b n+a n+n，求数列{b n}的通项公式．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，AB=AD=1，BC=DC=√3，PA=2，PC=2√2，PA⊥平面ABCD．(Ⅰ)求证：BC⊥PB；(Ⅱ)求点B到平面PDC的距离．19.已知函数f(x)=e ax−x−1(a∈R)．(1)当a=1时，求证：f(x)≥0；(2)讨论函数f(x)的零点的个数．20.为激发果农对樱桃种植的热情，某商场每年六月会从果农中订购他们所种植的樱桃，假设商场每天进货量相同且每公斤20元，售价为每公斤24元，当天未售完的樱桃降价处理，以每公斤16元的价格当天全部处理完．根据往年情况，每天需求量n(单位：公斤)与当天平均气温ℎ(单位：℃)有关．如果ℎ≥25，n=300；如果ℎ∈[20,25),n=200；ℎ∈[15,20),n=100；ℎ<15，n=50.为了确定今年6月1日到30日的订购数量，统计了前三年6月平均气温数据，得到如下所示的频数分布表：(1)若设该商场某天进货220公斤，以这90天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天该商场不亏损的概率；(2)假设该商场打算在这90天内每天进货200公斤或220公斤，请你以销售樱桃每天为商场带来的利润的期望值作为决策依据，帮该商场作出正确的进货量选择．21.已知椭圆E:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，又点A(1,√2)在该椭圆上．(1)求椭圆E的方程；(2)若斜率为√2的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，求△ABC的最大面积．22. 在平面直角坐标系中，曲线C 1:{x =2cosαy =2sinα(α为参数)经过伸缩变换{x ′=x y′=y 2得到曲线C 2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求C 2的普通方程；(Ⅱ)设曲线C 3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，且曲线C 3与曲线C 2相交于M ，N 两点，点P(1,0)，求1|PM|+1|PN|的值．23. 已知函数f(x)=|3x +1|−|3x −4|.(Ⅰ)求不等式f(x)≤3的解集；(Ⅱ)关于x 的不等式f(x)≤|3x +1|+|3x +a|−4恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】考查描交集的运算．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A={x|−2<x<2}；∴A∩B={0,1}．故选：A．2.答案：A解析：【分析】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数7−i3+i =(7−i)(3−i)(3+i)(3−i)=2−i，故选A.3.答案：D解析：解：由题意m2+16=25，4m−3>0，∴m=3，√4m−3=3，∴该双曲线的渐近线的斜率为±35，故选D．利用双曲线x2m2+16−y24m−3=1的实轴长为10，求出m，即可求出该双曲线的渐近线的斜率．本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．解析： 【分析】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．由已知直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解． 【解答】 解：sinα+2cosαsinα=tanα+2tanα．由tanα=1，得 原式==1+21=3．故选C ．5.答案：D解析： 【分析】本题主要考查了借助指数函数与对数函数的单调性比较大小求解参数的范围，属于基础试题.由对数函数y =log 2x 在(0,+∞)单调递增及log 2a <0=log 21可求a 的范围，由指数函数y =(12)x 单调递减，及(12)b >1=(12)0可求b 的范围． 【解答】解：∵log 2a <0=log 21，由对数函数y =log 2x 在(0,+∞)单调递增∴0<a <1∵(12)b >1=(12)0，由指数函数y =(12)x 单调递减∴b <0故选D .6.答案：A解析： 【分析】本题主要了考查合情推理，是基础题．因为只有一个人预测正确，而乙对则丙必对，丙对乙很有可能对，假设丙对乙错则会引起矛盾故只有一种情况就是甲预测正确乙、丙错误，从而得出结果．解：由题意，可把三人的预测简写如下：甲：甲>乙．乙：丙>乙且丙>甲．丙：丙>乙．∵只有一个人预测正确，∴分析三人的预测，可知：乙、丙的预测不正确．如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意．如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确，则有丙>乙，乙>甲，∵乙预测不正确，而丙>乙正确，∴只有丙>甲不正确，∴甲>丙，这与丙>乙，乙>甲矛盾．不符合题意．∴只有甲预测正确，乙、丙预测不正确，甲>乙，乙>丙．故选A．7.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数图象的判断和识别，结合函数奇偶性和特殊值的符号是否一致是解决本题的关键．先判断函数的奇偶性，然后利用特殊点的函数值的符号进行排除即可．【解答】解：f(−x)=|−x|cos(−x)e−x+e x =|x|cosxe x+e−x=f(x)，定义域为R，则f(x)是偶函数，排除C，f(π)=|π|cosπeπ+e−π=−πeπ+e−π<0，排除B，D．故选A．8.答案：C解析：【分析】本题考查几何体的体积的求法，几何体的内接体问题的应用，圆柱的侧面积的求法，考查计算能力．设圆柱的底面半径为R，求出三棱柱的底面边长为√3R，利用棱柱的体积，求出底面半径，然后求【解答】解：设圆柱的底面半径为R，底面正三角形的边长为a，，则a=√3R．故三棱柱的底面边长为√3R，因为三棱柱的体积为12√3，圆柱的底面直径与母线长相等，所以√34(√3R)2⋅2R=12√3，解得R=2，S圆柱侧=2πR⋅2R=16π．故选：C．9.答案：A解析：解：函数的周期T=2×[3π4−(−π4)]=2π，即2πω=2π，得ω=1，由五点对应法得−π4+φ=π2，即φ=3π4，即f(x)=sin(x+3π4)，故选：A．根据函数图象先确定函数的解析式，然后利用五点对应法求出φ即可．本题主要考查三角函数解析式的求解，根据条件ω和φ的值是解决本题的关键．10.答案：C解析：【分析】本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式．试验发生的所有事件共有6×6=36种不同的结果，而满足条件的|a−b|≤1的情况通过列举得到共16种情况，代入公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是从1，2，3，4，5，6任取两个，共有6×6=36种不同的结果，则|a−b|≤1的情况有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)共16种情况，他们”心相近”的概率为P=1636=49，11.答案：D解析：【分析】本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键，属于中档题．求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．【解答】解：∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴BC=√22+22−2×2×2×(−1)=2√3，2∴三角形ABC的外接圆直径，∴r=2，∵VA⊥面ABC，VA=2，设外接球的圆心为O，则三角形OVA为等腰三角形，×2)2=√5，则有该三棱锥的外接球的半径R=√r2+(12∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×(√5)2=20π．故选：D．12.答案：D解析：【分析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．求出函数f(x)的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数f(x)的最小值即可．【解答】解：f(x)=e2−x+x，∴f′(x)=−e2−x+1，令f′(x)>0，解得：x>2，令f′(x)<0，解得：x<2，故f(x)在[1,2)递减，在(2,3]递增，故f(x)的最小值是f(2)=3，故选D．13.答案：2解析：解：∵a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =(m,−1)⋅(1,2)=m−2=0，得m=2，故答案为：2根据向量垂直转化为a⃗⋅b⃗ =0，解方程即可．本题主要考查向量数量积的应用，根据向量垂直转化为a⃗⋅b⃗ =0，是解决本题的关键．14.答案：[0,5)解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于基础题．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．【解答】解：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，做直线l：2x−y=0，平移l可知过C时z最小，过B时z最大，联立{x −2y +1=0x +y −1=0得C(13,23)，同理B(2,−1)， 即z 的取值范围是[0,5)． 故答案为：[0,5)． 15.答案：3解析：【分析】本题考查正弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属中档题．由题意和三角形的面积公式可得sin C ，再由正弦定理可得c 值．【解答】解：∵△ABC 中ab =60，面积S △ABC =15√3，∴S =12absinC =12×60×sinC =15√3，解得sinC =√32， 设△ABC 外接圆半径为：R ，∵△ABC 外接圆半径R =√3，∴由正弦定理可得c =2RsinC =2√3×√32=3． 故答案为3． 16.答案：√10解析：解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F(1,0)，过N 作l 的垂线，垂足为Q ，则|NF|=|NQ|，∵PF 的斜率为34，∴可得P(9,6)．∴M(−1,6)，∴cos∠MFO =√1010， ∴cos∠MNQ =√1010， ∴|MN||NF|=√10 故答案为：√10． 过N 作l 的垂线，垂足为Q ，则|NF|=|NQ|，|PF|=|PM|，求出P 的坐标，可得cos∠MNQ =√55，即可得到|MN||NF|．本题考查了抛物线的性质，三角函数的恒等变换，属于中档题． 17.答案：解：(Ⅰ)∵以a 3−2，a 3，a 3+2为边长的三角形是直角三角形，∴(a3−2)2+a32=(a3+2)2，∵a3≠0，∴a3=8，∵a1+a3是a2与a4的等差中项，∴2(a1+a3)=a2+a4，∴2(8q2+8)=8q+8q，∴q=2，a1=822=2，∴a n=2n；(Ⅱ)∵b n+1=b n+a n+n，∴b n+1−b n=a n+n，∴b n−b1=(b n−b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯…+(b2−b1)(n≥2)=(2+22+⋯+2n−1)+(1+2+⋯+n−1)=2(1−2n−1)1−2+n(n−1)2，∴b n=2n+n(n−1)2(n≥2)，当n=1时，b1=2也成立．∴b n=2n+n(n−1)2．解析：本题考查等比数列的通项，考查数列的求和，确定数列的通项是关键．(Ⅰ)利用以a3−2，a3，a3+2为边长的三角形是直角三角形，求出a3，利用a1+a3是a2与a4的等差中项，求出公比，即可求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)利用叠加法，可求数列{b n}的通项公式．18.答案：解：(Ⅰ)因为PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥AC，PA⊥BC，因为PA=2，PC=2√2，所以AC=2．因为AB=AD=1，BC=DC=√3，所以AB2+BC2=AD2+DC2=AC2，所以AB⊥BC，AD⊥DC，由PA⊥BC，AB⊥BC，PA∩AB=A可得，BC⊥平面PAB，又因为PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB．(Ⅱ)以B为坐标原点，BA所在的直线为x轴，BC所在的直线为y轴，过点B且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则B(0,0，0)，C(0,√3,0)，P(1,0，2)，D(32,√32,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,−2)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,−2)． 设平面PDC 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z )，则{n ⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x +√3y −2z =012x +√32y −2z =0， 取x =1，得y =√3，z =1，n ⃗ =(1,√3,1)，所以点B 到平面PDC 的距离d =|n ⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=5=3√55．解析：本题考查线面垂直的判定及性质，考查利用空间向量解决点到平面的距离问题，属中档题． (Ⅰ)只需证明BC ⊥平面PAB ，然后利用线面垂直的性质即可得证；(Ⅱ)以B 为坐标原点，BA 所在的直线为x 轴，BC 所在的直线为y 轴，过点B 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设平面PDC 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z )，根据题设数据，求出n ⃗ ，点B 到平面PDC 的距离d =|n ⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |解出即可．19.答案：解：(1)证明：当a =1时，f (x )=e x −x −1，f′(x )=e x −1．由f′(x )=0，得x =0．当x <0时，f′(x )<0；当x >0时，f′(x )>0，所以函数f(x)在区间(−∞,0)内是减函数，在区间(0,+∞)内是增函数，所以f(0)是f(x)的极小值点，也是最小值点，且f (x )min =f (0)=0，故当a =1时，f(x)≥0恒成立；(2)∵函数f (x )=e ax −x −1，∴f′(x )=ae ax −1①当a ≤0时，f′(x)<0恒成立，则函数f(x)在R 上是减函数．又∵f(0)=0，所以函数f(x)有且只有一个零点．②当a >0时，由f′(x)=0，得x =1a ln 1a ，当x <1a ln 1a 时，f′(x)<0；当x >1a ln 1a 时，f′(x)>0，所以f(x)在区间(−∞,1a ln 1a )内是减函数，在区间(1a ln 1a ,+∞)内是增函数．所以f (1a ln 1a )是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，即f (x )min =f (1a ln 1a )=1a −1a ln 1a −1．令ℎ(t)=t−tlnt−1(t>0)，则ℎ′(t)=1−(1+lnt)=−lnt，当t=1时，ℎ′(t)=0；当0<t<1时，ℎ′(t)>0；当t>1时，ℎ′(t)<0，所以函数ℎ(t)在区间(0,1)内是增函数，在区间(1,+∞)内是减函数，从而ℎ(1)是函数ℎ(t)的极大值点，也是最大值点，所以ℎ(t)≤ℎ(1)=0，即f(x)min=1a −1aln1a−1≤0(当且仅当a=1时取等号)．当f(x)min=1a −1aln1a−1=0，即a=1时，函数f(x)只有一个零点．当f(x)min=1a −1aln1a−1<0，即a>0，且a≠1时，分a>1和0<a<1两种情况讨论：(i)当a>1时，−1<1a ln1a<0，因为f(−1)=e−a−(−1)−1=e−a>0，所以f(x)在区间(−∞,1a ln1a)内有一个零点；又f(0)=0，因此f(x)有两个零点．(ii)当0<a<1时，1a ln1a>0，由(1)得，ex≥x+1，即x≥ln(x+1)，亦即lnx≤x−1．令x=2a ，则得ln2a≤2a−1，即−ln2a≤−(2a−1)，所以f(2a ln2a)=e2ln2a−2aln2a−1≥(2a)2−2a(2a−1)−1=2a−1>0，所以f(x)在区间(1a ln1a,+∞)内有一个零点．由f(0)=0，因此函数f(x)有两个零点．由(i)和(ii)得，当a>1或0<a<1时，函数f(x)有两个零点．综上，当a≤0或a=1时，函数f(x)只有一个零点；当a>0，且a≠1时，函数f(x)有两个零点．解析：本题考查了导数性质、函数的极值点、单调性等知识，在解题过程中，渗透了分类讨论的思想．(1)当a=1时，f′(x)=e x−1，由f′(x)=0，得x=0.利用导数性质能证明f(x)≥0；(2)求出f′(x)=ae ax−1，此时可分为a≤0和a>0时进行讨论．当a≤0时，利用导数性质能得出f(x)在R上是减函数；当a>0时，利用导数性质可知f(1a ln1a)是函数f(x)的最小值点，即f(x)min=f(1a ln1a)=1a−1aln1a−1，为了方便求出f(x)的最小值的取值范围，我们令ℎ(t)=t−tlnt−1(t>0)，利用导数的性质能得出ℎ(1)是函数ℎ(t)的最大值点，则f(x)min≤0，当f(x)min=0时，函数f(x)只有一个零点；当f(x)min<0时，需分a>1和0<a<1两种情况讨论，综上可以得出函数f(x)的零点的个数．20.答案：解：(1)当需求量n=300时，利润为4×220=880元；当需求量n=200时，利润为4×200−20×4=720元；当需求量n=100时，利润为4×100−120×4=−80元；即n=50时，利润为4×50−4×170=−480元．所以当天该商场不亏损的概率P=90−1890=45.(2)设每天的进货量为220公斤，则每天销售樱桃为该商场带来的利润的期望值为：880×3690+720×3690−80×1690−480×290=61519(元)．设每天的进货量为200公斤，当需求量n≥200时，利润为4×200=800元；当需求量n=100时，利润为4×100−4×100=0元；当需求量n=50时，利润为4×50−4×150=−400元；此时利润的期望值为800×7290+0×1690−400×290=63119(元)，因为63119>61519，故从每天销售樱桃给商场带来的利润的期望值考虑，应选择进货量为200公斤．解析：本题考查古典概率及数学期望，考查了学生的运算求解能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(1)根据题意可得当需求量n=300时，利润为4×220=880元；当需求量n=200时，利润为4×200−20×4=720元；当需求量n=100时，利润为4×100−120×4=−80元；即n=50时，利润为4×50−4×170=−480元；进而利用古典概率公式即可得到结果；(2)设每天的进货量为220公斤，可求得每天销售樱桃为该商场带来的利润的期望值，设每天的进货量为200公斤，求得此时利润的期望值，进而即可得到结果．21.答案：解：(1)依题意，得{ca =√22a2=b2+c21 b +2a=1，解得{a=2b=√2c=√2，∴椭圆的方程为x22+y24=1．(2)设B(x1,y1)，C(x2,y2)，设直线BC的方程为y=√2x+m，则有{y=√2x+mx22+y24=1，消去由并整理得4x2+2√2mx+(m2−4)=0，由Δ=(2√2m)2−16(m2−4)=−8m2+64>0，解得−2√2<m<2√2，由根与系数的关系，得：x1+x2=−√22m，x1x2=m2−44，|BC|=√1+2|x1−x2|=√1+2·√(x 12)212=√62√8−m 2，设d 为点A 到直线BC 的距离，则d =√2−√2+m|√(√2)2+(−1)2=√33|m|， ∴S △ABC =12|BC|⋅d =√24√m 2(8−m 2)， ∵√m 2(8−m 2)≤m 2+8−m 22=4，当且仅当m =±2时取等号，满足−2√2<m <2√2，∴当m =±2时，△ABC 的面积取得最大值√2．解析：本题考查直线与椭圆方程的综合应用，椭圆中的最值问题，是较难题．(1)利用离心率以及点的坐标满足椭圆方程，求解椭圆的几何量，即可得到椭圆的方程．(2)BC 的方程为y =√2x +m ，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式，求出三角形的面积，利用基本不等式求最大值．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 1：{x =2cosαy =2sinα(α为参数)转换为直角坐标方程为x 2+y 2=4，经过伸缩变换{x′=x y′=y 2得到曲线C 2．得到：x 24+y 2=1． (Ⅱ)曲线C 3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，转换为直角坐标方程为√3x −y −√3=0，由于点P(1,0)在直线l 上， 故{x =1+12t y =√32t (t 为参数)．所以把直线的参数方程代入x 24+y 2=1，得到13t 2+4t −12=0，(t 1和t 2为M 、N 对应的参数) 所以t 1+t 2=−1413，t 1⋅t 2=−1213，所以1|PM|+1|PN|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=2√103．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． (Ⅰ)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)f (x )=|3x +1|−|3x −4|= {−5,x≤−136x−3,−13<x<435,x≥4 3当x⩽−13时，f(x)≤3恒成立，当−13<x<43时，解6x−3≤3，得−13<x≤1，∴f(x)≤3的解集为{x|x≤1}；(Ⅱ)f(x)≤|3x+1|+|3x+a|−4恒成立，等价于|3x−4|+|3x+a|≥4恒成立，由|3x−4|+|3x+a|≥|(3x−4)−(3x+a)|=|−4−a|，得：|−4−a|≥4，解得：a≥0或a≤−8，故实数a的取值范围为(−∞,−8]∪[0,+∞)．解析：本题考查了绝对值的意义及绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属中档题．(Ⅰ)不等式即为f(x)≤3，通过讨论x的范围，从而求得不等式的解集；(Ⅱ)f(x)≤|3x+1|+|3x+a|−4恒成立，等价于|3x−4|+|3x+a|≥4恒成立，由|3x−4|+|3x+a|≥|−4−a|，得|−4−a|≥4，求a的范围即可．。
2020年河南省新乡市高考数学二模试卷(理科)(强化版) (含答案解析)
2020年河南省新乡市高考数学二模试卷(理科)(强化版)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={1,2，3}，B={x|x2−2x≥0}，则A∩B=()A. {2}B. {3}C. {1,2}D. {2,3}2.复数z=21−i+2+i的虚部是()A. 3B. 2C. 2iD. 3i3.已知向量a⃗=(−2,2，0)，b⃗ =(1,0，−1)，则它们的夹角是()A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°4.设a=log32,b=log23,c=log125，则()A. c<b<aB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a5.已知角α的终边上有一点(−3,1)，则tan2α=()A. −2B. −3C. −13D. −346.下列说法错误的是()A. 平均数反映数据的集中趋势，方差反映数据分散程度的大小B. 一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C. 平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D. 众数是一组数据中出现次数最多的数7.f(x)=|x|cosxe x+e−x的部分图象大致为()A. B.C. D.8.已知圆柱的高为3，且其侧面积是18π，则该圆柱的体积为()A. 9πB. 18πC. 27πD. 54π9. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a b=b+√3c a，sinC =2√3sinB ，则tanA =( ) A. √3B. 1C. √33D. −√310. 将函数f(x)=2sin (ωx +π4)(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位，得到函数y =g(x)的图象，若y =g(x)在[−π6,π3]上为增函数，则ω的最大值为( )．A. 54B. 32C. 2D. 311. 已知A 是双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是△PF 1F 2的重心，若GA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为( )A. 3B. 2C. 4D. 与λ的取值有关12. 如图，四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，BC =BD =2，点E 是CD的中点，异面直线AD 与BE 所成角的余弦值为√1010，则直线BE 与平面ACD 所成角的正弦值为( )A. √23B. 23C. 2√23D. 13二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 方程为y =−14x 2，则该抛物线的焦点坐标是______ ．14. 设x ，y 满足约束条件{x −2≥0y +2≥0x +2y −6≤0，则z =x +y 的最小值是________．15. 从数字1，2，3，4，5中任取两个数字相加，和是3的倍数的概率为________． 16. 已知函数f(x)=lnx x ，g(x)=13x 3−12x 2+m ，∀x 1∈(0,3]，∃x 2∈[−1,2]，使得f(x 1)<g(x 2)，则实数m 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}中，a1+a3是a2与a4的等差中项，且以a3−2，a3，a3+2为边长的三角形是直角三角形．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n}满足b1=2，且b n+1=b n+a n+n，求数列{b n}的通项公式．18.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的侧面A1ADD1是正方形．(1)证明：A1D⊥平面ABD1；(2)若AD=2，AB=4，求二面角B1−AD1−C的余弦值．19.已知函数f(x)=e x−ax−ln2(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a=2时，求函数g(x)=f(x)+ln2−cosx在(−π2,+∞)上的零点个数．20.某糕点房推出一类新品蛋糕，该蛋糕的成本价为4元，售价为8元．受保质期的影响，当天没有销售完的部分只能销毁．经过长期的调研，统计了一下该新品的日需求量．现将近期一个月(30天)的需求量展示如下：(1)从这30天中任取两天，求两天的日需求量均为40个的概率；(2)以表中的频率作为概率，根据分布列求出该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E(X)=3203；现有员工建议扩大生产一天45个，试列出生产45个时，利润Y的分布列并求出期望E(Y)，并以此判断此建议该不该被采纳．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，其中左焦点为F(−2,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为{x=3+5cosθy=−4+5sinθ(θ为参数)，以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)过点P(2,0)，倾斜角为π4的直线l与曲线C相交于M，N两点，求1|PM|+1|PN|的值．23.已知函数f(x)=|x|+|x−2|．(1)求关于x的不等式f(x)<3的解集；(2)如果关于x的不等式f(x)<a的解集不是空集，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：B={x|x≤0，或x≥2}；∴A∩B={2,3}．故选：D．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算．2.答案：B解析：解：∵z=21−i +2+i=2(1+i)(1−i)(1+i)+2+i=1+i+2+i=3+2i，∴复数z=21−i+2+i的虚部是2．故选：B．直接利用复数代数形式的四则运算化简得答案．本题考查复数代数形式的四则运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：解：∵向量a⃗=(−2,2，0)，b⃗ =(1,0，−1)，∴|a⃗|=√(−2)2+22+02=2√2，|b⃗ |=√12+02+(−1)2=√2，a⃗⋅b⃗ =−2×1+2×0+0×(−1)=−2，∴cos<a⃗，b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=2√2×√2=−12∴两向量的夹角<a⃗，b⃗ >=120°故选：D由题意可得向量的模长和数量积，代入夹角公式可得夹角余弦值，进而可得夹角．本题考查数量积与向量的夹角，属基础题．4.答案：C解析：本题考查比较大小，利用对数函数的图象和性质直接比较即可，属基础题．解：由对数函数的图象和性质可知：a=log32∈(0,1)，b=log23∈(1,+∞)，c=log125∈(−∞,0)，所以c<a<b．故选C．5.答案：D解析：本题考查三角函数的定义以及二倍角公式，属于基础题．由三角函数的定义求出tanα，再由二倍角公式求出tan2α．解：由三角函数的定义可得：tanα=1−3=−13，所以tan2α=2tanα1−tan2α=2×(−13)1−(−13)2=−34，故选D．6.答案：B解析：本题考查中位数、众数、平均数、等基本概念，解题时要认真审题，考查学生对概念的理解能力，是基础题．利用平均数不大于最大值，不小于最小值进行解题．解：平均数不大于最大值，不小于最小值．故选B．7.答案：A解析：本题主要考查函数图象的判断和识别，结合函数奇偶性和特殊值的符号是否一致是解决本题的关键．先判断函数的奇偶性，然后利用特殊点的函数值的符号进行排除即可．解：f(−x)=|−x|cos(−x)e−x+e x =|x|cosxe x+e−x=f(x)，定义域为R，则f(x)是偶函数，排除C，f(π)=|π|cosπeπ+e−π=−πeπ+e−π<0，排除B，D．故选A．8.答案：C解析：解：设该圆柱的底面圆的半径为r，则2πrℎ=6πr=18π，解得r=3，故该圆柱的体积为πr2ℎ=27π．故选：C．设出圆柱的底面半径，利用侧面积求出底面半径，然后求解圆柱的体积．本题考查的知识点：圆柱的侧面积以及体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．9.答案：C解析：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．利用正弦定理求出a2=7b2，c=2√3b，进而利用余弦定理求出A，即可求出结果．解：由题意得，ab =sinAsinB=sinB+√3sinCsinA=7sinBsinA=7ba,∴a2=7b2，又sinC=2√3sinB，故c=2√3b，cosA=b2+c2−a22bc =2224√3b2=√32，∵0<A<π，∴A=π6，∴tanA=√33，故选C．10.答案：B解析：本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，主要考查函数的图像变换和函数的单调性，根据题意列出式子即可求出结果．解：将f(x)的图象向右平移π4ω得g(x)=2sin[ω(x−π4ω)+π4]，即g(x)=2sinωx的图象．所以当y=g(x)满足ωx∈[−π2+2kπ,π2+2kπ](k∈Z)，即x∈[−π2ω+2kπω,π2ω+2kπω](k∈Z)时，y=g(x)单调递增．因为y=g(x)在[−π6,π3]上为增函数，所以{−π2ω≤−π6π2ω≥π3即ω≤32，故选B．11.答案：A解析：解：由题意，PG =2GO ，GA//PF 1， ∴2OA =AF 1，∴2a =c −a ，∴c =3a ， ∴e =c a=3．故选：A ．由题意，PG =2GO ，GA//PF 1，可得2OA =AF 1，即可求出双曲线的离心率． 本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，比较基础．12.答案：C解析：本题考查利用空间坐标系的方法研究异面直线所成角和直线与平面的夹角，属于一般题． 以BC 、BD 、BA 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量数量积的公式结合AD 、BE 所成角的余弦值为√1010解出BA 的长度是4，可求直线BE 与平面ACD 所成角的正弦值．解：以BC 、BD 、BA 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得D(0,2，0)，C(2,0，0)，E(1,1，0)， 设A 点的坐标为(0,0，z)(z >0)， 则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−z)， ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2⋅√4+z 2⋅cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=2， ∵AD 与BE 所成的角的余弦值为√1010，可得24+z 2=110，解得z =4，即BA 的长度是4，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−4)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)， 设平面ACD 的法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b,c )， 则{2b −4c =0−2a +2b =0，令c =1，则m⃗⃗⃗ =(2,2,1)， 设直线BE 与平面ACD 所成的角为θ， 则sinθ=|BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m ⃗⃗⃗ ||BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=3√2=2√23， 故选C ．13.答案：(0,−1)解析：解：∵抛物线方程为y =−14x 2，化为x 2=−4y 中，2p =4，解得p =2， ∴抛物线x 2=−4y 的焦点坐标为(0,−1)． 故答案为：(0,−1)．抛物线x 2=−2py(p >0)的焦点坐标为(0,−p2)本题考查抛物线的焦点坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线的简单性质的灵活运用．14.答案：0解析：先画出可行域的边界，即三个直线方程对应的直线，再利用一元二次不等式表示平面区域的规律，确定可行域，将目标函数的函数值看做目标函数对应直线的纵截距，平移目标函数，数形结合找到最优解，即可求出结果．本题考查了线性规划的方法和思想，一元二次不等式表示平面区域的规律和区域的画法，利用可行域数形结合求目标函数最值的方法．解：依题意x ，y 满足约束条件{x −2≥0y +2≥0x +2y −6≤0，画图如下：当z=0时，有直线l1：x+y=0和直线l2：x−y=0，并分别在上图表示出来，当直线向x−y=0向下平移并过A点的时候，目标函数z=x+y有最小值，此时最优解就是A点，联立x−2=0和y+2=0，可解得点A的坐标是：A(2,−2)，所以目标函数z=x+y的最小值是0．故答案为0．15.答案：25解析：本题主要考查古典概型概率的求解，考查的核心素养是计算．先利用枚举法将基本事件逐一列出，然后找出“和是3的倍数”包含的基本事件，最后利用古典概型的概率计算公式进行求解．解：从数字1，2，3，4，5中任取两个数字的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，其中“和是3的倍数”包含的情况有(1,2)，(1,5)，(2,4)，(4,5)，共4种，故所求概率P=410=25．16.答案：(1e −23,+∞)解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查恒成立问题与存在性问题的综合，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．∀x1∈(0,3]，∃x2∈[−1,2]，使得f(x1)<g(x2)，可得f(x1)max<g(x2)max，x∈[−1,2].利用以及函数f(x)，g(x)的单调性极值与最值即可得出．解：∀x1∈(0,3]，∃x2∈[−1,2]，使得f(x1)<g(x2)，∴f(x1)max<g(x2)max，函数f(x)=lnxx，x∈(0,3]，f′(x)=1−lnxx，可得x=e时函数f(x)取得极大值即最大值，∴f(x1)max=f(e)=1e．函数g(x)=13x3−12x2+m，x∈[−1,2]，g′(x)=x2−x=x(x−1)，易知g(x)在(−1,0)和(1,2)上递增，在[0,1]上递减，所以x=0时，函数g(x)取得极大值，g(0)=m．又g(2)=83−2+m=23+m．可得：g(x)max=23+m．∵f(x1)max<g(x)max，∴1e <23+m，解得m>1e−23．∴m的取值范围为：(1e −23,+∞)．故答案为：(1e −23,+∞)．17.答案：解：(Ⅰ)∵以a3−2，a3，a3+2为边长的三角形是直角三角形，∴(a3−2)2+a32=(a3+2)2，∵a3≠0，∴a3=8，∵a1+a3是a2与a4的等差中项，∴2(a1+a3)=a2+a4，∴2(8q2+8)=8q+8q，∴q=2，a1=822=2，∴a n=2n；(Ⅱ)∵b n+1=b n+a n+n，∴b n+1−b n=a n+n，∴b n−b1=(b n−b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯…+(b2−b1)(n≥2)=(2+22+⋯+2n−1)+(1+2+⋯+n−1)=2(1−2n−1)1−2+n(n−1)2，∴b n=2n+n(n−1)2(n≥2)，当n=1时，b1=2也成立．∴b n=2n+n(n−1)2．解析：本题考查等比数列的通项，考查数列的求和，确定数列的通项是关键．(Ⅰ)利用以a3−2，a3，a3+2为边长的三角形是直角三角形，求出a3，利用a1+a3是a2与a4的等差中项，求出公比，即可求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)利用叠加法，可求数列{b n}的通项公式．18.答案：解：(1)证明：如图1，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，∵AB⊥平面ADD1A1，又A1D在平面ADD1A1内，∴AB⊥A1D，∵四边形A1ADD1是正方形，∴AD1⊥A1D，又AB∩AD1=A，∴A 1D ⊥平面ABD 1；(2)如图2，以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D −xyz ，则A(2,0，0)，C(0,4，0)，D 1(0,0，2)，B 1(2,4，2)，故AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,4,0),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,2)， 设平面ACD 1的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +4y =0m ⃗⃗⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2z =0，可取m⃗⃗⃗ =(2,1,2)， 同理可求平面AD 1B 1的一个法向量为n ⃗ =(2,−1,2)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√9×√9=79，观察可得二面角二面角B 1−AD 1−C 为锐角，其余弦值为79．解析：(1)由AB ⊥平面ADD 1A 1，可得AB ⊥A 1D ，由四边形A 1ADD 1是正方形，可得AD 1⊥A 1D ，进而得证；(2)建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求得余弦值．本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．19.答案：解：(1)，其定义域为，，①当时，因为，所以在上单调递增，②当时，令得，令得，所以在上单调递减，上单调递增，综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在单调递减，单调递增．(2)方法一：由已知得，，则．①当时，因为，所以在单调递减，所以，所以在上无零点;②当时，因为单调递增，且，，所以存在，使，当时，，当时，，所以在递减，递增，且，所以，又因为，所以，所以在上存在一个零点，所以在上有两个零点;③当时，，所以在单调递增，因为，所以在上无零点;综上所述，在上的零点个数为2个．方法二：由已知得，，则．①当时，因为，所以在单调递增，所以，所以在上无零点;②当时，所以在单调递增，又因为，，所以使，当时，，当时，所以在单调递减，单调递增，且，所以，又因为，所以，所以在上存在唯一零点，在上存在两个零点，综上所述，在上的零点个数为2个．解析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的零点，是中档题．(1)先求出导函数f′(x)，再对a分情况讨论，利用导函数的正负即可得到函数f(x)的单调性；(2)由已知得g(x)=e x−2x−cosx，x∈(− π 2,+∞)，对x的范围分情况讨论，分别讨论函数g(x)的零点个数，从而得到g(x)在(− π 2,+∞)上的零点个数为2个．20.答案：解：(1)从这30天中任取2天，基本事件总数n=C302，2天的日需求量均为40个包含的基本事件个数m=C102，∴两天的日需求量均为40个的概率P=C102C302=329．(2)设该糕点房制作45个蛋糕对应的利润为y，P(y=−20)=16，P(y=60)=13，P(y=140)=13，P(y=180)=16，∴y的分布列为：y−2060 140180P16131316E(y)=−20×16+60×13+140×13+180×16=2803，∵该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E(X)=3203，280 3<3203，∴此建议不该被采纳．解析：(1)从这30天中任取2天，基本事件总数n=C302，2天的日需求量均为40个包含的基本事件个数m=C102，由此能求出两天的日需求量均为40个的概率．(2)设该糕点房制作45个蛋糕对应的利润为y ，分虽求出相应的概率，能求出y 的分布列和E(y)=2803，由2803<3203，得到此建议不该被采纳．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：(1)解(1)由题意，得{ca=√22,c =2,a 2=b 2+c 2,解得{a =2√2,b =2.∴椭圆C 的方程为x 28+y 24=1．(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)， 线段AB 的中点为M(x 0,y 0)，由{x 28+y 24=1,y =x +m,，消去y 得，3x 2+4mx +2m 2−8=0， △=16m 2−12(2m 2−8)=96−8m 2>0， ∴−2√3<m <2√3， ∵x 0=12(x 1+x 2)=−23m ，∴y 0=x 0+m =13m ，∵点M(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上， ∴49m 2+19m 2=1，∴m =±3√55．解析：本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．(1)直接由已知列关于a ，b ，c 的方程组，求解方程组得到a ，b 的值，则椭圆方程可求； (2)联立直线方程和椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得线段AB 的中点M 的坐标，代入圆的方程求得m 的值．22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =3+5cosθy =−4+5sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为(x −3)2+(y +4)2=25，转换为极坐标方程为ρ2+8ρsinθ−6ρcosθ=0，化简为ρ=6cosθ−8sinθ．(2)过点P(2,0)，倾斜角为π4的直线l ，整理得参数方程为{x =2+√22t y =√22t(t 为参数)，把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得：t 2+3√2t −8=0， 所以t 1+t 2=−3√2，t 1t 2=−8， 所以1|PM|+1|PN|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=√18+328=5√28．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)不等式f(x)<3，即|x|+|x −2|<3．当x ≤0时，−2x +2<3，∴x >−12，∴−12<x ≤0； 当0<x <2时，2<3，恒成立；当x ≥2时，2x −2<3，x <52，∴2≤x <52， 综上所述，不等式的解集为{x|−12<x <52}. (2)f(x)=|x|+|x −2|≥|x −(x −2)|=2， ∵关于x 的不等式f(x)<a 的解集不是空集， ∴a >2．故实数a 的取值范围是(2,+∞)．解析：(1)不等式f(x)<3，即|x|+|x −2|<3，分类讨论，即可求关于x 的不等式f(x)<3的解集； (2)如果关于x 的不等式f(x)<a 的解集不是空集，则a 大于函数的最小值，即可求实数a 的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的运用，属于中档题．。
河南省新乡市2019-2020学年高考第二次质量检测数学试题含解析
河南省新乡市2019-2020学年高考第二次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L ( ) A ．12 B ．10 C ．8D ．32log 5+【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质求得110a a ，再由对数运算法则可得结论． 【详解】∵数列{}n a 是等比数列，∴3847110218a a a a a a +==，1109a a =，∴53132310312103110log log log log ()log ()a a a a a a a a +++==L L 35log 910==．故选：B. 【点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键． 2．已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<„的图象有一个横坐标为3π的交点，若函数()g x 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是( ) A ．2935,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2935,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2935,2424⎛⎫⎪⎝⎭ D ．2935,2424⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，2cossin 33ππϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出6π=ϕ，所以()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据三角函数图像平移伸缩，即可求出ω的取值范围. 【详解】已知()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<„的图象有一个横坐标为3π的交点，则2cossin 33ππϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 225,333πππϕ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Q， 2536ππϕ∴+=，6πϕ∴=， ()sin 26g x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，若函数()g x 图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍， 则sin 26y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以当[0,2]x πÎ时，2,4666x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ()f x Q 在[0,2]π有且仅有5个零点，5466πππωπ∴+<„，29352424ω∴<„. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题，考查转化思想和计算能力. 3．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ）2.236≈≈≈） A ．22个 B ．24个C ．26个D ．28个【答案】C 【解析】 【分析】计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为，得到最上层球面上的点距离桶底最远为)()101n +-cm ，得到不等式)101100n +-≤，计算得到答案.【详解】由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切， 这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm 的正面体，易求正四面体相对棱的距离为，每装两个球称为“一层”，这样装n 层球，则最上层球面上的点距离桶底最远为)()101n +-cm ，若想要盖上盖子，则需要满足)101100n +-≤，解得113.726n ≤+≈， 所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球． 故选：C 【点睛】本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.4．已知集合{}|1A x x =>-，集合(){}|20B x x x =+<，那么A B U 等于（ ） A ．{}|2x x >- B ．{}1|0x x -<<C ．{}|1x x >-D ．{}|12x x -<<【答案】A 【解析】 【分析】求出集合B ，然后进行并集的运算即可. 【详解】∵{}|1A x x =>-，{}|20B x x =-<<， ∴{}|2A B x x =>-U . 故选：A. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和运算，属于基础题. 5．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）A ．18B ．24C ．36D ．72【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622a a a aS ++=⨯=⨯可得结果. 【详解】∵等差数列{}n a 中，1510a a +=，∴3210a =，即35a =，∴163465766636222a a a a S +++=⨯=⨯=⨯=， 故选C. 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题.6．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3% 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案. 【详解】对A ，从图中数据变化看，PMI 值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为41123=，故A 正确； 对B ，由图可以看出，PMI 值的平均值低于50%，故B 正确； 对C ，12个月的PMI 值的众数为49.4%，故C 正确，； 对D ，12个月的PMI 值的中位数为49.6%，故D 错误 故选：D. 【点睛】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题. 7．曲线312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3 B ．2C ．32D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率3k ≥，即可得出答案. 【详解】 解：由于312ln 3y x x =+，根据导数的几何意义得： ()()222321111330k f x x x x x x x x x x'==+=++≥⋅⋅=>， 即切线斜率3k ≥， 当且仅当1x =等号成立， 所以312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为3. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力. 8．已知函数有三个不同的零点（其中），则的值为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 令，构造，要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根，则，解得或，结合的图象，并分，两个情况分类讨论，可求出的值.【详解】 令，构造，求导得，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，，可画出函数的图象（见下图），要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根（其中），则，解得或，且，若，即，则，则，且，故，若，即，由于，故，故不符合题意，舍去.故选A.【点睛】解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.9．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（）A．6.25%B．7.5%C．10.25%D．31.25%【答案】A【解析】【分析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.【详解】水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25% 250450100⨯=++.故选：A【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.10．已知集合A＝{y|y21x=-}，B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}，则∁R（A∩B）＝（）A．[0，12）B．（﹣∞，0）∪[12，+∞）C．（0，12）D．（﹣∞，0]∪[12，+∞）【答案】D【解析】【分析】求函数的值域得集合A，求定义域得集合B，根据交集和补集的定义写出运算结果. 【详解】集合A＝{y|y21x=-}＝{y|y≥0}＝[0，+∞）；B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}＝{x|x﹣2x2＞0}＝{x|0＜x12＜}＝（0，12），∴A∩B＝（0，12），∴∁R（A∩B）＝（﹣∞，0]∪[12，+∞）.故选：D.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有函数的定义域，函数的值域，集合的运算，属于基础题目.11．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【详解】详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形， 且俯视图应为对称图形故俯视图为故选A.点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。
河南省新乡市新乡一中2020届高三上学期第二次模拟考试数学(理)试题及答案
理科数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{x ｜0≤x ≤4}，N ＝{x ｜y ＝3－x ，y ∈M}，则M ∩N ＝A ．[0，3]B ．[0，4]C ．[－1，4]D ．[－1，3]2．若复数z 满足，则z ＝()211i i z ＋＝－ A ．1－i B ．1＋i C ．－1－i D ．－1＋i3．人体的体质指数（BMI ）的计算公式：BMI ＝体重÷身高2（体重单位为kg ，身高单位为m ）．其判定标准如下表：某小学生的身高为1．5 m ，在一次体检时，医生告诉他属于超标类，则此学生的体重可能是 A ．47 kg B ．51 kg C ．66 kg D ．70 kg4．若x ，y 满足约束条件则z ＝4x ＋3y 的最小值为1133x y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋≥，－≥－，＋≤，A ．9 B ．6．5 C ．4 D ．35．已知数列{}是等差数列，且＝3，则＋＋＝n a 9a 4a 8a 122a A ．12 B ．9 C ．6 D ．36．某种微生物的繁殖速度y 与生长环境中的营养物质浓度x 相关，在一定条件下可用回归模型y ＝2lg x 进行拟合．在这个条件下，要使y 增加2个单位，则应该A ．使x 增加1个单位B ．使x 增加2个单位C ．使x 增加到原来的2倍D ．使x 增加到原来的10倍7．已知O 是△ABC 的重心，且，则实数λ＝ 20OAOB BC λ ＋＋＝A ．3 B ．2 C ．1 D ． 128．某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为1，K 是线段DI 上的点，则在原三棱柱中，AK ＋CK 的最小值为A B C ．D 9．已知函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ＋1）是偶函数，f （x －1）是奇函数，则下列说法正确的个数为①f （7）＝0；②f （x ）的一个周期为8；③f （x ）图像的一个对称中心为（3，0）；④f （x ）图像的一条对称轴为x ＝2019．A ．1B ．2C ．3D ．410．将函数图像上所有的点按照向量m ＝（a ，0）（a ≠0）平移得到函()sin 3f x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋数g （x ）的图像，若，则｜a ｜的最小值为 3355f g ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ A ． B ． C ． D ． 415π1330π1315π1715π11．如图所示，直线l 与双曲线E ：（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线分别交于A ，22221x y a b－＝B 两点，若·＝－4，且△AOB 的面积为，则E 的离心率为OA OBA B C ．2 D12．已知函数若f （a ）＝f （b ）（a ＜b ），则ab 的最小值为 ()1212log 18212x x x f x x ⎧⎪⎨⎪⎩＋，≤＜，＝，≤≤，A ．B ． CD ．1 1412二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．的展开式中x 2y 4项的系数为__________． 6122x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋14．曲线y ＝（x 2＋2）e x 在点（0，2）处的切线方程为__________．15．已知圆C ：（x －a ）2＋（y －2）2＝4，直线l ：x ＋ay －1＝0与圆C 交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a ＝__________．16．已知数列{}是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且＝1，＝7．若n a n n S 1a 3S 关于的不等式＜的解集中有6个正整数，则实数k 的取值范围是n n S 22log n k a ＋________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知． tan tan a A b B （Ⅰ）证明：△ABC 是等腰三角形；（Ⅱ）若a ：b ：c ＝1 ：x ：y ，且△ABC ，求y 的值．18．（12分）某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼包子的利 润为40元，当天未卖出的包子作废料处理，每笼亏损20元．该包子店记录了60天包子的日需求量n （单位：笼，n ∈N ），整理得到如图所示的条形图，以这60天各需求量的 频率代替相应的概率．（Ⅰ）设X 为一天的包子需求量，求X 的数学期望．（Ⅱ）若该包子店想保证80％以上的天数能够足量供应，则每天至少要做多少笼包子? （Ⅲ）为了减少浪费，该包子店一天只做18笼包子，设Y 为当天的利润（单位：元），求Y 的分布列和数学期望．19．（12分）如图，已知四棱锥S －ABCD ，平面SAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，SA ＝SD ．（Ⅰ）若∠BAD ＝120°，证明：SC ⊥BC ；（Ⅱ）若3BD ＝6AC ＝8SA ，求平面SAB 与平面SCD 所成锐二面角的余弦值．20．（12分）设椭圆C ：（a ＞1）的左顶点为A ，右焦点为F ，已知｜AF ｜＝ 2221x y a＋＝2（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）抛物线y 2＝2px （p ＞0）与直线x ＝2交于P ，Q 两点，直线AP 与椭圆C 交于点B （异于点A ），若直线BQ 与AP 垂直，求p 的值．21．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2lnx （a ≠0）．（Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）若存在a ∈（0，＋∞），对任意的x ∈（0，＋∞），不等式恒成 ()422x f x bx ≤＋立，求实数b 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），曲线C的参82x ty ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝－，＝数方程为（s 为参数）．23x s y ⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝（Ⅰ）求直线l 和曲线C 的普通方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最小值及此时P 点的坐标．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）已知a ，b ，c 为正数，且abc ＝1，证明：（Ⅰ）（2a ＋1）（2b ＋1）（2c ＋1）≥27； （Ⅱ）．()()()22211134a b c b a c c a b ＋≤＋＋＋理科数学·答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1.［答案］A［命题意图］本题考查集合的表示以及集合运算，考查运算求解能力以及化归与转化思想．［解析］依题意得O罢王3-x罢王4，解得一l,;.;;x罢王3，即N=!xi -1,;.;;x，；二剖，所以M门N=i x l O，；三Z罢王3f.2. ［答案］D【命题意图］本题考查复数的基本运算．【解析】z＝电子＝呜±il＝一1+ i.3.［答案］C［命题意图］本题考查推理与证明，考查推理论证能力以及估算思想．［解析］由题意得，体重＝BMI×身高2，因为此人属于超标，所以BMI e [24 ,29. 9］，所以此学生的体重范围为[24 X 1. 52 ,29. 9×1. 52 J，即［54,67.275］，故正确答案为C.4.［答案］D［命题意图］本题考查线性规划，考查化归与转化能力以及数形结合思想．［解析］不等式组所表示的可行域为下图中的LABC，当目标函数对应的直线经过点B(O,l）时，z取得最小值3.y5.［答案］A［命题意图］本题考查等差数列的性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想．［解析］因为I a. i是等差数列，所以a4+ a8 + 2a12 = 2a6 + 2a12 = 4a9 = 12.6.［答案］D［命题意图］本题考查回归模型的概念．［解析］y =2lg z，则y+ 2 = 21g X + 2 = 2 (lg X + 1 ) = 21g lOx，所以应该使z增加到原来的10倍．7. ［答案］C［命题意图］本题考查向量的线性运算，考查运算求解能力以及函数与方程思想．［解析］芮＋20主＋λ亘古二日＋2而＋λ（而－OB）二日＋(2 －λ）而＋λ苟＝0，因为0是LABC的重心，『2λ＝1.所以J’解得λ＝1.lλ＝ 1,8.［答案］B［命题意图］本题考查空间图形和平面图形的转化与计算，考查运算求解能力及空间想象能力．［解析］将展开图折成立体图形，如图①，然后再把空间最短距离问题转化为平面两点间的距离最短问题，如。
河南省新乡市2019-2020学年高考数学二模试卷含解析
河南省新乡市2019-2020学年高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A ．2550100,,777B ．252550,,1477C ．100200400,,777 D ．50100200,,777【答案】D 【解析】 【分析】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,易知123,,a a a 成等比数列,1232,50q a a a =++=,结合等比数列的性质可求出答案. 【详解】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,则123,,a a a 成等比数列,且公比1232,50q a a a =++=,则1(1a q +)250q +=,故1250501227a ==++,2110027a a ==,23120027a a ==. 故选:D. 【点睛】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题. 2．如图所示的程序框图，若输入4a =，3b =，则输出的结果是（ ）A ．6B ．7C ．5D ．8【答案】B 【解析】 【分析】列举出循环的每一步，可得出输出结果. 【详解】4i =，3S =，22S a b >不成立，239S ==，415i =+=；22S a b >不成立，2981S ==，516i =+=；22S a b >不成立，2816561S ==，617i =+=； 22S a b >成立，输出i 的值为7.故选：B. 【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，一般要将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题. 3．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.4．设双曲线221x y a b+=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ） A ．225514x y -= B ．225514y x -= C ．225514y x -= D ．225514x y -= 【答案】C 【解析】 【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得双曲线方程221y x b a-=-的渐近线方程为b y x a =-，由题意可得4b a =-，又21c =，即1b a -=，解得a ，b ，即可得到所求双曲线的方程. 【详解】解：抛物线24x y =的焦点为()0,1可得双曲线()2210,0x y b a a b+=><即为221y x b a-=-的渐近线方程为y =2=，即4b a =- 又21c =，即1b a -= 解得15a =-，45b =. 即双曲线的方程为225514y x -=.故选：C 【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程，属于中档题.5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若495,81a S ==，则10a =（ ） A ．23 B ．25C ．28D ．29【答案】D 【解析】 【分析】由981S =可求59a =，再求公差，再求解即可. 【详解】解：{}n a Q 是等差数列95981S a ∴==59a ∴=，又45a =Q ， ∴公差为4d =，410629a a d ∴=+=，故选：D 【点睛】考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题. 6．已知{}n a 为等比数列，583a a +=-，4918a a =-，则211a a +=（ ） A ．9 B ．－9C ．212D ．214-【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的下标和性质可求出58,a a ,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出211a a +.【详解】∵4958+=+,∴495818a a a a ==-,又583a a +=-,可解得5863a a =-⎧⎨=⎩或5836a a =⎧⎨=-⎩ 设等比数列{}n a 的公比为q ,则当5863a a =-⎧⎨=⎩时,38512a q a ==-, ∴3521183612131222a a a a q q -⎛⎫+=+=+⨯-= ⎪⎝⎭-； 当5836a a =⎧⎨=-⎩时, 3852a q a ==-,∴()()35211833216222a a a a q q +=+=+-⨯-=-. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题. 7．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则A B =I （ ） A ．{2} B ．{1,0}-C ．{}1-D ．{1,0,1}-【答案】B 【解析】 【分析】求出集合B ，利用集合的基本运算即可得到结论. 【详解】由10x ->，得1x <，则集合{}|1B x x =<， 所以，{}1,0A B ⋂=-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合B 是解决本题的关键，属于基础题. 8．已知直线2:0l x m y +=与直线:0n x y m ++=则“//l n ”是“1m =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】利用充分必要条件的定义可判断两个条件之间的关系. 【详解】若//l n ，则2111m ⨯=⨯，故1m =或1m =-，当1m =时，直线:0l x y +=，直线:10n x y ++= ，此时两条直线平行； 当1m =-时，直线:+0l x y =，直线:10n x y +-= ，此时两条直线平行. 所以当//l n 时，推不出1m =，故“//l n ”是“1m =”的不充分条件， 当1m =时，可以推出//l n ，故“//l n ”是“1m =”的必要条件， 故选：B. 【点睛】本题考查两条直线的位置关系以及必要不充分条件的判断，前者应根据系数关系来考虑，后者依据两个条件之间的推出关系，本题属于中档题.9．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．13C D 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以1d =≤，解得44k -≤≤所以相交的概率224P ==,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.10．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=L ）A ．1624B ．1024C ．1198D ．1560【答案】B 【解析】 【分析】根据高阶等差数列的定义，求得等差数列{}n c 的通项公式和前n 项和，利用累加法求得数列{}n a 的通项公式，进而求得19a . 【详解】 依题意n a ：1，4，8，14，23，36，54，……两两作差得n b ：3，4，6，9，13，18，……两两作差得n c ：1，2，3，4，5，……设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，设{}n c 的前n 项和为n C .易n c n =，22n n n C +=，进而得21332n n n n b C ++=+=+，所以2(1)133222n n n n b n -=+=-+，则(1)(1)36n n n n B n +-=+，所以11n n a B +=+，所以191024a =.故选：B 【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查累加法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( ) A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度【答案】B 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【详解】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，)2πϕ<的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭， 可得1A =，1274123πππω⋅=-， 解得：2ω=．再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=，可得：3πϕ=，可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭故把()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度， 可得sin 2cos236y x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象， 故选B ． 【点睛】本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．12．若实数,x y 满足不等式组121210x y x y x y +≥-⎧⎪-≤-⎨⎪--≤⎩，则234x y -+的最大值为（ ）A ．1-B ．2-C ．3D ．2【答案】C 【解析】 【分析】作出可行域，直线目标函数对应的直线l ，平移该直线可得最优解． 【详解】作出可行域，如图由射线AB ，线段AC ，射线CD 围成的阴影部分（含边界），作直线:2340l x y -+=，平移直线l ，当l 过点(1,1)C 时，234z x y =-+取得最大值1． 故选：C ．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省新乡市高三第二次模拟测试 数学(理)Word版含答案
新乡市高三第二次模拟测试数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合(){}{}2|20,|490A x x x B x Z x =-==∈-≤，则AB 等于A. {}2,1,0,1--B. {}1,0,1,2-C. []2,2-D.{}0,22.设a R ∈，复数3a iz i-=+（i 是虚数单位）的实部为2，则复数z 的虚部为 A. 7 B. 7- C. 1 D.1-3.若向量()()1,2,,4a b m ==-，若0a b a b ⋅+⋅=，则实数m 等于 A. -4 B. 4 C. -2 D. 24.设0.40.40.86,log 0.5,log 0.4a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b c a << 5.执行如图所示的程序框图输出S 的值为A. 3115-B. 75-C. 3117-D. 2117- 6.已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2,所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A. 100,8B. 80,20C. 100,20D.80,87.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F,点B 是虚轴上的一个顶点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A,若2BA AF =，且4BF =，则双曲线C 的方程为A. 22165x y -=B. 221812x y -=C. 22184x y -=D. 22146x y -=8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.323 B. 163 C. 83 D. 439.设函数()9sin 20,48f x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，若方程()f x a =恰好有三个根，分别为123,,x x x ，则123x x x ++的取值范围是 A.95,84ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 511,48ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 313,28ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 715,48ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 10.若实数,x y 满足22026003x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤≤⎩，且()2z mx y m =-<的最小值为52-，则m 等于A.54 B. 56- C. 1 D.1311.已知正三角形ABC 的三个顶点都在球心为O ，半径为3的球面上，且三棱锥O-ABC 的高为2，点D 到线段BC 的中点，过点D 作球O 的截面，则截面面积的最小值为 A.154π B. 4π C. 72πD.3π 12.函数()y f x =的图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别为,A B k k ，规定(),A B k k A B ABϕ-=叫做曲线在点A 与点B 之间的“弯曲线”，设曲线xy e =上不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，且121x x -=，若(),3t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是A. (],3-∞B.(],2-∞C. (],1-∞D.[]1,3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若()5234501234512x a a x a x a x a x a x -=+++++，则32a a = . 14.已知()()121,9,A y B y 是抛物线()220y px p =>上的两点，210y y >>，点F 是它的焦点，若5BF AF =，则212y y +的值为 .15.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并无关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出关，第一关收税金12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，五关所收税金之和，恰好重1斤.问原本持金多少？”改为“假设这个人原本持金x ，按此规律通过第8关”，则第8关需收税金为 x .16.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，1cos 9C =,且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分） 在数列{}{},n n a b 中，{}11,2n a a =的前n 项和n S 满足()1111.22n nn n S S n N +*+⎛⎫⎛⎫+=+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(){}21,n n n b n a b =+的前n 项和为.n T （1）求数列{}n b 的通项公式n b 以及n T ；（2）若()13223,,3T T mT T T ++成等差数列，求实数m 的值.18.（本题满分12分）如图，在三棱柱111ABC ABC -中，侧面11ACC A 与侧面11CBB C 都是菱形，11160,2A C C C CB A C ∠=∠== （1）求证：11AB CC ⊥；（2）若111AB AC = 的中点为1D ，求二面角11C AB D --的余弦值.19.（本题满分12分）在高中学习过程中，同学们经常这样说：“如果物理成绩好，那么学习数学就没有什么问题.”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论.现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如下表：（1）求数学成绩y 关于物理成绩x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+（精确到0.1），若某位学生的物理成绩为80分，预测他的数学成绩；（2）要从抽取的这5位同学中随机抽取三位参加一项知识竞赛，以X 表示选中的学生的数学成绩高于100分的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.20.（本题满分12分）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A,过A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且1F 恰好为线段2QF 的中点.（1）若过2,,A Q F 三点的圆恰好与直线3470x y --=相切，求椭圆C 的方程； （2）在（1）的条件下，B 是椭圆的左顶点，过点3,02R ⎛⎫⎪⎝⎭作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于E,F 两点，直线,BE BF 分别交直线83x =于,M N 两点，若直线,MR NR 的斜率分别为12,k k ，试问12k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不存在，请说明理由.21.（本题满分12分）已知函数()22ln 311.f x x x x =--（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若关于x 的不等式()()()232132f x a x a x ≤-+--恒成立，求整数a 的最小值；（3）若正实数12,x x 满足()()()()221212124124f x f x x x x x +++++=，证明：122x x +≥.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。