高考《指对幂比较大小》专题
幂、指、对数的大小比较-高考数学复习
B.a<c<b
C.b<a<c
D.c<b<a
lg5
lg7
lg5lg9-lg2 7
解析 因为 log75-log97=lg7 − lg9 = lg7lg9 ,lg 7lg 9>0,
lg5+lg9 2 lg45 2 lg49 2
又因为 lg 5lg 9<( 2 ) =( 2 ) <( 2 ) =lg27,所以 log75-log97<0,即
1
3
例 5(1)(2024·山西晋中模拟)设 a=2 ,b= ,c=3 ,则( A )
A.a<c<b
B.a<b<c
C.b<a<c
D.c<b<a
1
1
1
解析 依题意 ln a=2ln 2,ln b=eln e,ln c=3ln 3,
1
1
1
因此只需比较 ln 2, ln e, ln 3 的大小.
2
e
3ln==源自32 ∈(5,6),n=b所以 n>m>p,故选 C.
5 2 25
5
=( ) = =6.25,p=logab=log2
2
4
2
a
∈(1,2),
(2)(2024·云南昆明模拟)已知实数a,b,c满足ln(ln b)=a=ln c,则a,b,c的大小关
系为( C )
A.a>b>c
B.c>b>a
C.b>c>a
为( C )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<b<a
D.b<c<a
指、对、幂数比较大小问题【八大题型】(举一反三)(新高考专用)(解析版)2025年新高考数学一轮复习
指、对、幂数的大小比较问题【八大题型】【题型1 利用函数的性质比较大小】....................................................................................................................2【题型2 中间值法比较大小】................................................................................................................................3【题型3 特殊值法比较大小】................................................................................................................................4【题型4 作差法、作商法比较大小】....................................................................................................................6【题型5 构造函数法比较大小】............................................................................................................................7【题型6 数形结合比较大小】................................................................................................................................9【题型7 含变量问题比较大小】..........................................................................................................................12【题型8 放缩法比较大小】. (14)1、指、对、幂数的大小比较问题指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，从近几年的高考情况来看，指、对、幂数的大小比较是高考重点考查的内容之一，是高考的热点问题，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式考查.这类问题的主要解法是利用函数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.【知识点1 指、对、幂数比较大小的一般方法】1.单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：①底数相同，指数不同时，如1x a 和2x a ，利用指数函数x y a =的单调性；②指数相同，底数不同时，如1ax 和2ax ，利用幂函数a y x =单调性比较大小；③底数相同，真数不同时，如1log a x 和2log a x ，利用指数函数log a x 单调性比较大小.2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定．3.作差法、作商法：(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.4.估算法：(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.5.构造函数法：构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.6、放缩法：(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；(2)指数和幂函数结合来放缩；(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.【题型1 利用函数的性质比较大小】【例1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知a=30.3，b=0.33，c=log0.33，则a，b，c的大小关系是（）A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b【解题思路】利用指数函数、对数函数的单调性可得答案.【解答过程】a=30.3>30=1，0<b=0.33<1=0.30，c=log0.33<log0.31=0，∴a>b>c.故选：A.，b=1.20.2，c=0.52.1，则a，b，c的大小关系是【变式1-1】（2024·四川自贡·三模）已知a=log213（）A．a<c<b B．c<a<b C．c<b<a D．a<b<c【解题思路】根据对数函数和指数函数的单调性即可判断.【解答过程】因为y=log2x在x∈(0,+∞)上单调递增，<log21=0即a<0；所以a=log213因为y=1.2x为增函数，故b=1.20.2>1.20=1即b>1；因为y=0.5x为减函数，故0<0.52.1<0.50=1即0<c<1，综上a<c<b.故选：A.【变式1-2】（2024·贵州贵阳·三模）已知a=40.3,b=(log4a)4,c=log4(log4a)，则（）A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b【解题思路】利用指数函数单调性得到a>1，利用指对运算和指数函数单调性得到0<b<1，利用对数函数单调性得到c<0，则比较出大小.【解答过程】因为a=40.3>40=1,b=(log4a)4=0.34<1，且0.34>0，则0<b<1，c=log4(log4a)=log40.3<0，所以a>b>c，故选：A.【变式1-3】（2024·山东泰安·模拟预测）已知a=log0.20.3，b=ln a，c=2a，则a,b,c的大小关系为（）A．c>b>a B．a>b>c C．b>a>c D．c>a>b【解题思路】利用对数函数的单调性求得a,b的范围，根据指数函数的单调性得c的范围，即可比较大小.【解答过程】因为y=log0.2x在(0,+∞)上单调递减，所以log0.21<log0.20.3<log0.20.2，即0<a<1，因为y=ln x在(0,+∞)上单调递增，所以ln a<ln1，即b<0，因为y=2x在R上单调递增，所以2a>20，即c>1，综上，c>a>b.故选：D.【题型2 中间值法比较大小】【例2】（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知a=e0.1，b=1―2lg2，c=2―log310，则a，b，c的大小关系是（）A．b>c>a B．a>b>c C．a>c>b D．b>a>c【解题思路】根据指、对数函数单调性，结合中间值0，1，分析判断即可.【解答过程】由题意可得：a=e0.1>e0=1，b=1―2lg2=1―lg4，且0=lg1<lg4<lg10=1，则0<b<1，因为log310>log39=2，则c=2―log310<0，故选：B.【变式2-1】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知a=―12,b=log65,c=log56，则（）A．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．a<c<b【解题思路】取两个中间值1和32，由a =>32，b <log 66=1，1=log 55<c <32即可比较三者大小.【解答过程】a =―12=>=32，b =log 65<log 66=1，1=log 55<log 56=c <log =32，因此b <c <a ．故选：C ．【变式2-2】（2024·山东潍坊·二模）已知a =e ―1，b =lg a ，c =e 0，则（ ）A ．b <a <c B ．b <c <a C ．a <b <cD ．c <b <a【解题思路】根据对数函数和指数函数单调性并结合中间量0和1即可比较大小.【解答过程】a =e ―1∈(0,1)，b =lg a =lge ―1=―lge <0，c =e 0=1，所以b <a <c ，故选：A.【变式2-3】（2024·天津北辰·三模）已知a =0.53.1，b =log 0.90.3，c =log 1312，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．a <c <b【解题思路】根据指、对数函数单调性，结合中间值“12,1”分析大小即可.【解答过程】因为y =0.5x 在R 上单调递减，则0.53.1<0.51=12，即a <12；又因为y =log 0.9x 在(0,+∞)上单调递减，则log 0.90.3>log 0.90.9=1，即b >1；可得c =log 1312=log 32，且y =log 3x 在(0,+∞)上单调递增，则12=log <log 32<log 33=1，即12<c <1；综上所述：a <c <b .故选：D.【题型3 特殊值法比较大小】【例3】（2024·陕西商洛·模拟预测）设a =log 0.50.6，b =0.49―0.3，c =0.6―0.6，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c >b >aB ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >a >b【解题思路】利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性，结合特殊值判定即可.【解答过程】因为y =log 0.5x 在(0,+∞)上单调递减，所以log 0.51<log 0.50.6<log 0.50.5，即0<a <1.因为y =x 0.6在(0,+∞)上单调递增，又0.49―0.3=0.7―0.6=，0.6―0.6=，又53>107>1>>10.6，故c >b >1，所以c >b >a .故选：A.【变式3-1】（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知实数a,b,c 满足2a +a =2，2b +b =c =log 163，则（ ）A ．c <a <bB ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a【解题思路】由对数函数单调性得c <12，构造函数f(x)=2x +x,x ∈R ，由函数的单调性得12<a <b 及，即可得出判断．【解答过程】由对数函数单调性得，c =log 163<log 164=log 161612=12，构造函数f(x)=2x +x,x ∈R ，则f(a)=2a +a =2，f(b)=2b +b =因为y =2x 和y =x 单调递增，所以f(x)单调递增，因为2<f(a)<f(b)，所以a <b ，又f(12)=212+12=<2，所以f(a)>f(12)，即a >12，所以c <a <b ，故选：A ．【变式3-2】（2024·宁夏银川·二模）若a =log 1314，b =(13)14，c =log 314，d =14则（ ）A ．a >b >d >cB ．a >b >c >dC ．b >d >a >cD ．a >d >b >c【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性判断即可.【解答过程】因为a =log 1314=log 34>log 33=1<<⇒13<b <1，log 314<log 31=0⇒c <0，所以a >b >d >c .故选：A ．【变式3-3】（2024·天津和平·=2,b =log 123―log 129,c =―13，则有（ ）A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c【解题思路】根据指数函数与对数函数的性质，借助特殊值0，可得a 最小，再利用b 3>c 3得出b,c 大小.=2可得a =log 132<log 131=0，b =log 123―log 129=log 1213=log 23>1，c =―13=213=>0，下面比较b,c ，因为32>=8，所以3>232，所以b =log 23>log 2232=32，而c 3=3=2<=278，故c <32，所以c <b ，综上，b >c >a .故选：B.【题型4 作差法、作商法比较大小】【例4】（2023·四川成都·一模）若a =3―14，b =―13，c =log 1225，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >a >bD ．c >b >a【解题思路】先根据指对函数的单调性可得0<a <1，0<b <1，c >1，再作商比较a,b 的大小，从而可求解.【解答过程】因为0<a =3―14<30=1，0<b =―13<=1，令a b=3―14―13=3―14+13×2―13=3112×―1，而3112×2=3×2=3×2―4=316<1，即3112×2―13<1，所以a <b ，又因为c =log 1225=log 12410>log 12510>log 1212=1，所以c >b >a .故选：D.【变式4-1】（2023·贵州六盘水·模拟预测）若a =ln22，b =ln33，c =ln55，则（ ）A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c<a<bD ．a <c <b【解题思路】利用作差法，再结合对数函数y =ln x 的单调性分别判断a,b 和a,c 的大小关系，即可判断出a,b,c 的大小关系.【解答过程】因为b ―a =ln33―ln22=2ln3―3ln26=ln9―ln86>0，所以b >a ；又因为c ―a =ln55―ln22=2ln5―5ln210=ln25―ln3210<0，所以a >c ；综上所述：c <a <b .故选：C.【变式4-2】（2024·四川成都·二模）若a =ln 26,b =4ln2⋅ln 3,c =(1+ln3)2，则a,b,c 的大小关系是（ ）A ．c <a <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．b <a <c【解题思路】作差法比较a,b 的大小，利用对数的性质比较a,c 的大小.【解答过程】a =ln 26=(ln2+ln3)2，c =(lne +ln3)2因为ln2+ln3<lne +ln3，所以(ln2+ln3)2<(lne +ln3)2，即a <c ，a =ln 26=(ln2+ln3)2，b =4ln2⋅ln3，则a ―b =(ln2+ln3)2―4ln2⋅ln3=(ln2―ln3)2>0，即b <a ，所以b <a <c .故选：D.【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）若a =20.4,b =30.25,c =log 0.70.5，则a,b,c 的大小关系为（ ）A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b【解题思路】利用指数函数的单调性以及对数函数单调性可判断a,c 范围，比较它们的大小；利用作商法比较a,b 的大小，即可得答案.【解答过程】因为函数y =2x 在R 上单调递增，所以a =20.4<20.5=又a b=20.430.25===>1，所以b <a <因为0.52=0.25<0.343，故0.5<=0.732,y =log 0.7x 在(0,+∞)上单调递减，所以log 0.70.5>log 0.70.732=32>a <c ，所以实数a,b,c 的大小关系为b <a <c ，故选：B ．【题型5 构造函数法比较大小】【例5】（2024·全国·模拟预测）已知a =ln 72，b =ln7×ln2，c =ln7ln2，则（ ）A ．b <c <aB ．b <a <cC ．a <b <cD ．a <c <b【解题思路】根据0<ln2<1得到c 的值最大，然后构造函数f (x )=(1―ln2)ln x ―ln2，根据f (x )的单调性和f (8)<0得到a <b .【解答过程】因为0<ln2<1，所以a =ln7―ln2<ln7，b <ln7，c >ln7，故c 的值最大．下面比较a ，b 的大小．构造函数f (x )=ln x ―ln2―ln x ⋅ln2=(1―ln2)ln x ―ln2，显然f (x )在(0,+∞)上单调递增．因为f (8)=ln8―ln2―ln8⋅ln2=ln2(2―ln8)=ln2(lne 2―ln8)<0，所以a ―b =f (7)<f (8)<0，所以a <b ，所以a <b <c ．故选：C ．【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）设a =514，b =54，c =log 45，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a【解题思路】利用常见函数的单调性比较大小即可.【解答过程】先比较a 和b ，构造函数y =x 4在上(0,+∞)单调递增，∵5=5>625256=，∴514>54，即a >b ；又∵4b =5，4c =4log 45=log 454，且45=4×256>54=625，∴ 4c =log 454<log 445=5=4b ，∴b >c ，∴a >b >c .故选：A.【变式5-2】（2024·天津和平·一模）已知a =log 0.20.3,b =log 0.30.2,c =log 23，则a,b,c 的大小关系为（ ）A ．b <c <aB ．c <b <aC ．a <b <cD ．a <c <b【解题思路】利用对数函数的单调性结合二次函数的性质即得．【解答过程】∵0<a =log 0.20.3<1，b =log 0.30.2>1，c =log 23>1，又b c=log 0.30.2⋅log 32=lg2―1lg3―1⋅lg2lg3=lg 22―lg2lg 23―lg3，因为函数f (x )=x 2―x =x―14，在0,f (0)=0，又因为12>lg3>lg2>0，所以f (lg3)<f (lg2)<0，所以f (lg2)f (lg3)<1，即lg 22―lg2lg 23―lg3<1，所以bc <1，∴b <c ，即a <b <c ．故选：C ．【变式5-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知实数a,b,c 满足a 2+log 2a =0,2023―b =log 2023b,c =log 7）A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <c <aD ．c <b <a【解题思路】利用构造函数法，结合函数的单调性确定正确答案.【解答过程】设f(x)=x 2+log 2x ， f(x)在(0,+∞)上单调递增，又=―34<0,f(1)=1>0，所以12<a <1；设g(x) =―log 2023x ， g(x)在(0,+∞)上单调递减，又g(1)=12023>0,g(2023)=―1<0，所以1< b <2023，因为c =log <log =12，所以c <12.综上可知，c <a <b .故选：B.【题型6 数形结合比较大小】【例6】（2024·河南·模拟预测）已知a =ln π,b =log 3π,c =，则a,b,c 的大小关系是（ ）A ．b <a <cB ．a <b <cC ．c <b <aD ．b<c<a【解题思路】利用对数函数和指数函数，幂函数的性质求解.【解答过程】∵e <3<π，∴a =log e π>log 3π=b >log 33=1，即a >b >1，∵a =ln π=2, c ==ln2下面比较2与 y =x 2与y =2x ，由指数函数y =2x 与幂函数y =x 2的图像与单调性可知，当x ∈(0,2)时，x 2<2x ；当x ∈(2,4)时，x 2>2x由x =(0,2)，故2 <ln π<a < c ，所以b <a <c ，故选：A.【变式6-1】（2023·江西赣州·二模）若log 3x =log 4y =log 5z <―1，则（ ）A ．3x <4y <5zB ．4y <3x <5zC ．4y <5z <3xD ．5z <4y <3x【解题思路】设log 3x =log 4y =log 5z =m <―1，得到x =3m ,y =4m ,z =5m ，画出图象，数形结合得到答案.【解答过程】令log 3x =log 4y =log 5z =m <―1，则x =3m ,y =4m ,z =5m ，3x =3m +1,4y =4m +1,5z =5m +1，其中m +1<0，在同一坐标系内画出y =3x ,y =4x ,y =5x ，故5z <4y <3x 故选：D.【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）已知a ==log a b,a c =log 12c ，则实数a,b,c 的大小关系为（ ）A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <b <aD ．c <a <b【解题思路】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到a,b,c ∈(0,1)，得到log a b <1=log a a ，求出b >a ，根据单调性得到c =c<=a ，从而得到答案.【解答过程】令f (x )=―x ，其在R 上单调递减，又f (0)=1>0,f (1)=12―1=―12<0，由零点存在性定理得a ∈(0,1)，则y =log a x 在(0,+∞)上单调递减，画出y 1=与y =log a x 的函数图象，可以得到b ∈(0,1)，又y 2=a x 在R 上单调递减，画出y 2=a x 与y 3=log 12x 的函数图象，可以看出c ∈(0,1)，<=1，故log a b <1=log a a ，故b >a ，因为a,c ∈(0,1)，故a c >a 1=a ，由a c=log 12c 得，c =c<=a ．综上，c <a <b ．故选：D ．【变式6-3】（2024·广东茂名·统考一模）已知x,y,z 均为大于0的实数，且2x =3y =log 5z ，则x,y,z 大小关系正确的是（ ）A ．x >y >zB ．x >z >yC ．z >x >yD ．z >y >x【解题思路】根据题意，将问题转化为函数y =2x ,y =3x ,y =log 5x 与直线y =t >1的交点的横坐标的关系，再作出图像，数形结合求解即可.【解答过程】解：因为x,y,z 均为大于0的实数， 所以2x =3y =log 5z =t >1，进而将问题转化为函数y =2x ,y =3x ,y =log 5x 与直线y =t >1的交点的横坐标的关系，故作出函数图像，如图，由图可知z >x >y 故选：C.【题型7 含变量问题比较大小】【例7】（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）设a ､b ､c 都是正数，且4a =6b =9c ，则下列结论错误的是（ ）A ．c <b <aB ．ab +bc =acC ．4b ⋅9b =4a ⋅9cD ．1c =2b ―1a【解题思路】首先根据指对运算，利用对数表示a,b,c ，再利用换底公式和对数运算，判断选项.【解答过程】设4a =6b =9c =k >1，所以a =log 4k =1log k 4，b =log 6k =1log k 6，c =log 9k =1log k 9，A.由对数函数的单调性可知，0<log k 4<log k 6<log k 9，可知c <b <a ，故A 正确；B.b (a +c )==1log k6⋅log k 36logk 4⋅log k 9=1log k6⋅2log k 6logk 4⋅log k 9=2logk 4⋅log k 9=2ac ，故B 错误；C.4a ⋅9c =(6b )2=36b =(4⋅9)b =4b ⋅9b ，故C 正确.D.1a +1c =log k 4+log k 9=log k 36=2log k 6=2b ，则1c =2b ―1a ，故D 正确.故选：B.【变式7-1】（2024·江西·模拟预测）若a e a =b ln b (a >0)，则（ ）A ．a <bB ．a =bC ．a >bD ．无法确定【解题思路】令a e a =b ln b =k ，k >0，构造函数，作出函数图象，即可比大小.【解答过程】因为a >0，所以a e a >a >0，因为a e a=b ln b，所以b ln b>0，可得b>1，令a e a=b ln b=k，k>0，所以e a=ka ,ln b=kb，设f(x)=e x，g(x)=ln x，ℎ(x)=kx，作出它们的图象如图：由图可知a<b.故选项A正确.故选：A.【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知a,b,c均为不等于1的正实数，且ln c=a ln b,ln a=b ln c，则a,b,c的大小关系是（）A．c>a>b B．b>c>aC．a>b>c D．a>c>b【解题思路】分析可知，ln a、ln b、ln c同号，分a、b、c∈(0,1)和a、b、c∈(1,+∞)两种情况讨论，结合对数函数的单调性可得出a、b、c的大小关系.【解答过程】∵ln c=a ln b,ln a=b ln c且a、b、c均为不等于1的正实数，则ln c与ln b同号，ln c与ln a同号，从而ln a、ln b、ln c同号.①若a、b、c∈(0,1)，则ln a、ln b、ln c均为负数，ln a=b ln c>ln c，可得a>c，ln c=a ln b>ln b，可得c>b，此时a>c>b；②若a、b、c∈(1,+∞)，则ln a、ln b、ln c均为正数，ln a=b ln c>ln c，可得a>c，ln c=a ln b>ln b，可得c>b，此时a>c>b.综上所述，a>c>b.故选：D.【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知正实数a，b，c满足e c+e―2a=e a+e―c，b=log23+log86，c+log2c=2，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a【解题思路】根据e c+e―2a=e a+e―c可得e c―e―c=e a―e―2a，由此可构造函数f(x)=e x―e―x，根据f(x)的单调性即可判断a和c的大小；根据对数的计算法则和对数的性质可得b与2的大小关系；c+log2c=2变形为log2c=2―c，利用函数y=log2x与函数y=2―x的图象可判断两个函数的交点的横坐标c的范围，从而判断b与c的大小.由此即可得到答案．【解答过程】e c+e―2a=e a+e―c⇒e c―e―c=e a―e―2a，故令f(x)=e x―e―x，则f(c)=e c―e―c，f(a)=e a―e―a．和y=e x均为(0,+∞)上的增函数，故f(x)在(0,+∞)为增函数．易知y=―e―x=―1e x∵e―2a<e―a，故由题可知，e c―e―c=e a―e―2a>e a―e―a，即f(c)>f(a)，则c>a>0．易知b=log23+log=log2>2，log2c=2―c，作出函数y=log2x与函数y=2―x的图象，如图所示，则两图象交点横坐标在(1,2)内，即1<c<2，∴c<b，∴a<c<b．故选：B．【题型8 放缩法比较大小】【例8】（2024·陕西西安·模拟预测）若a=0.311.5,b=log312,c=log26,d=）A．a>b>c B．b>a>dC．c>a>b D．b>c>a【解题思路】由题意首先得0<a<1,d=<0，进一步b=log312=1+log34>2,c=log26=1+log23>2，从而我们只需要比较log34,log23的大小关系即可求解，两式作商结合基本不等式、换底公式即可比较.【解答过程】a =0.311.5<0.310=1，所以0<a <1,d =<0，b =log 312=1+log 34>2,c =log 26=1+log 23>2，又因为log 34log 23=ln4⋅ln2ln3⋅ln3<=<1，所以b <c ，即d <a <b <c .故选：B.【变式8-1】（2023·河南郑州·模拟预测）已知a =log 35，b =c =3log 72+log 87，则（ ）A ．a >b >cB ．c >b >aC ．b >a >cD ．c >a >b【解题思路】根据指数函数、对数函数的性质及基本不等式判断即可.【解答过程】因为a =log 35=12log 325<12log 327=32，34=<=b =>32且b <2，c =3log 72+log 87=log 78+log 87>=2，所以c >b >a .故选：B.【变式8-2】（2023上·安徽·高二校联考阶段练习）已知a ==6―34,c =log 53―29log 35，则（ ）A ．a <b <cB ．b<c<aC ．b <a <cD ．c<a<b【解题思路】采用放缩法和中间值比较大小，得到a <b <c .【解答过程】因为a ==<=14，b =6―34=>=<=13，故b ∈c =log 53―29log 35=13log 527―19log 325>13log 525―19log 327=23―13=13，所以a <b <c .故选：A.【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）已知a =log 8.14，b =log 3.1e ，c =ln2.1,，则（ ）A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c<a<bD ．b<c<a【解题思路】先证明b >0,c >0，利用比商法结合基本不等式证明c <b ，再根据对数运算性质，结合对数函数性质证明a <c 即可得结论.【解答过程】因为b =log 3.1e >0，c =ln2.1>0，所以c b=ln2.1log 3.1e=ln2.1×ln3.1<==，又e 2≈7.389<e ，所以<lne =1，所以cb <1，故c <b ，因为a =log8.14=ln4ln8.1=2ln2ln8.1=又e 2≈7.389，所以8.1>e 2，所以>1，所以a <ln2，又ln2<ln2.1=c ，所以a <c ，所以a <c <b ，故选：A.一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）设a =log 62，b =log 123，c =log 405，则（ ）A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．a <c <b【解题思路】取到数计算得1b =1+2lg2lg3，1c=1+3lg2lg5，作差法比较1b ,1c的大小，即可得到b,c 大小，利用中间值25即可比较a,c 大小.【解答过程】∵1b =log 312=1+log 34=1+lg4lg3=1+2lg2lg3，1c=log 540=1+log 58=1+lg8lg5=1+3lg2lg5，∴1b ―1c =2lg2lg3―3lg2lg5=2lg2×lg5―3lg2×lg3lg3×lg5=lg2(2lg5―3lg3)lg3×lg5=lg2(lg25―lg27)lg3×lg5<0，∴1b <1c ，又b >0，c >0，∴b >c .∵1c =1+log 58<1+log =1+log 5532=52，∴c >25；∵1a =log 26=1+log 23>1+log =1+log 2232=52，∴a <25，∴a <c .∴a <c <b .故选：D.2．（2024·安徽宿州·一模）已知3m =4，a =2m ―3，b =4m ―5，则（ ）A ．a >0>bB ．b >0>aC ．a >b >0D ．b >a >0【解题思路】由作差法，结合对数换底公式、对数运算性质、基本不等式比较得log 23>log 34>log 45，即可判断大小.【解答过程】由3m =4⇒m =log 34，log 23―log 34=lg3lg2―lg4lg3=lg 23―lg2⋅lg4lg2⋅lg3>=4lg 23―lg 284lg2⋅lg3=lg 29―lg 284lg2⋅lg3>0，log 34―log 45=lg4lg3―lg5lg4=lg 24―lg3⋅lg5lg3⋅lg4>=4lg 24―lg 2154lg3⋅lg4=lg 216―lg 2154lg3⋅lg4>0，∴log 23>log 34>log 45，∴b =4m ―5>4log 45―5=0，a =2m ―3<2log 23―3=0，∴b >0>a .故选：B.3．（2024·贵州毕节·一模）已知a =3log 83，b =―12log 1316，c =log 43，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >c >aD ．b >a >ca,b,c ，并判断范围，采用作差法结合基本不等式可判断a >b ，即可得答案.【解答过程】由题意可得a =3log 83=3×log 23log 223=log 23>1，b =―12log 1316=―12×log 316log 313=log 34>1，0<c =log 43<1，又log 23―log 34=lg3lg2―lg4lg3=(lg3)2―lg2lg4lg2lg3，由于lg2>0,lg4>0，lg2≠lg4,∴lg2lg4<(lg2+lg42)2=2<(lg3)2，故log 23―log 34>0,∴a >b ，综合可得a >b >c ，故选：A.4．（2023·内蒙古赤峰·模拟预测）设a =，b =，c =log 34(log 34)，则（ ）A ．c <b <aB ．a <b <cC ．c <a <bD ．a <c <b【解题思路】利用指数函数，对数函数的单调性，找出中间值0,1，让其和a,b,c 进行比较，从而得出结果.【解答过程】由指数函数的单调性和值域，y =在R 上单调递增，故a =>=1；由y =的值域，且在R 上单调递增可知，0<b =<=1；根据对数函数的单调性，y =log 3x 在(0,+∞)上单调递增，故log 34>log 33=1，由y =log 34x 在(0,+∞)上单调递减，故c =log 34(log 34)<log 341=0.结合上述分析可知：c <0<b <1<a .故选：A.5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知a =e 13，b =ln2，c =log 32，则a,b,c 的大小关系为（ ）A ．a >c >bB ．a >b >cC ．b >c >aD ．c >b >a【解题思路】引入中间变量1，再利用作差法比较b,c 的大小，即可得答案；【解答过程】∵ a =e 13>e 0=1，b =ln2<lne =1，c =log 32<log 33=1∴ a 最大，∵ b ―c =ln2―log 32=lg2lge―lg2lg3=lg2⋅>0，∴ b >c ，∴ a >b >c ，故选：B.6．（2024·陕西宝鸡·一模）已知实数a,b,c 满足e 2a 2=e 3b 3=e 5c 5=2，则（ ）A ．a >b >cB ．a <b <cC ．b >a >cD ．c >a >b【解题思路】先应用指对数转换求出a,b,c ,再转化成整数幂比较即可.【解答过程】因为e 2a2=e 3b 3=e 5c 5=2,所以e 2a =4,e 3b =6,e 5c =10,即得2a =ln 4,3b =ln 6,5c =ln10得a =ln 2,b ==因为y =ln x 是(0,+∞)上的增函数,比较a,b,c ,的大小关系 ,15次幂,因为幂函数y =x 15在(0,+∞)上是单调递增的，比较215,65,103即可,因为215=524288,65=7776,103=1000 所以215>103>65即2>>a >b >c .故选：A.7．（2023·湖南永州·一模）已知a =log 3π,b =1log 3π―1,c =12―log 3π，则（ ）A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．a <c <b【解题思路】先利用对数函数单调性求出a ∈(1,1.5)，从而确定b >2，c ∈(1,2)，作差法判断出a <c ，从而求出答案.【解答过程】a =log 3π>log 33=1，因为332=>π，所以a =log 3π<log 3332=1.5，所以a ∈(1,1.5)，log 3π―1∈(0,0.5)，故b =1log3π―1>2，2―log 3π∈(0.5,1)，故c =12―log 3π∈(1,2)，令a ―c =log 3π―12―log 3π=2log 3π―(log 3π)2―12―log 3π=―(log 3π―1)22―log 3π<0所以a <c <b .故选：D.8．（2023·陕西西安·一模）已知函数f(x)=―2x ，若2a =log 2b =c ，则（ ）A ．f(b)<f(c)<f(a)B ．f(a)<f(b)<f(c)C ．f(a)<f(c)<f(b)D ．f(c)<f(b)<f(a)【解题思路】在同一坐标系中作y =c,y =2x ,y =log 2x,y =x 的图像,得到a <c <b ，借助f(x)=―2x 的单调性进行判断即可.【解答过程】f(x)=―2x 在R 上单调递减，在同一坐标系中作y =c,y =2x ,y =log 2x,y =x 的图像，如图：所以a <c <b ，故f(b)<f(c)<f(a)，故选：A.二、多选题9．（2024·河南洛阳·模拟预测）下列正确的是（ ）A．2―0.01>2―0.001B．log>log2π―1C．log1.85<log1.75D．log33.01>e―0.01【解题思路】利用指数函数的性质判断A；由对数函数的性质判断B，C；由对数函数的性质可得log3 3.01>1，由指数函数的性质可得e―0.01<1，即可判断．【解答过程】解：对于A，因为―0.01<―0.001，所以2―0.01<2―0.001，所以A错误；对于B，因为log>log2π2=log2π―1，所以B正确；对于C，因为log1.85>0,log1.75>0，所以log1.85=ln5ln1.8<ln5ln1.7=log1.75，所以C正确；对于D，因为log33.01>log33=1,e―0.01<e0=1，所以log33.01>e―0.01，所以D正确.故选：BCD．10．（2024·重庆·模拟预测）若b>c>1，0<a<1，则下列结论正确的是（）A．b a<c a B．log b a>log c aC．cb a<bc a D．b log c a>c log b a【解题思路】由已知可得，由幂函数性质可判断A; 由对数函数性质可判断B; 由幂函数性质可判断C;由不等式的性质可判断D.【解答过程】对于A：∵0<a<1，幂函数y=x a在(0,+∞)上单调递增，且b>c>1，∴b a>c a，故选项A错误；对于B：∵0<a<1，∴函数y=log x在(0,+∞)上单调递减，又∵b>c>1，∴log a b<log a c<log a1=0，∴0>1log b c >1log c a，即0>log b a>log c a，故B正确；对于选项C：∵0<a<1，则a―1<0，∵幂函数y=x a―1在(0,+∞)上单调递减，且b>c>1，∴b a―1<c a―1，∴cb a<bc a，故选项C正确；对于选项D：由选项B可知：0>log b a>log c a，∴0<―log b a<―log c a，∵b>c>1，∴c(―log b a)<b(―log c a)，∴b log c a<c log b a，故D错误.故选：BC.11．（2024·重庆·一模）已知3a=5b=15，则下列结论正确的是（）A．lg a>lg b B．a+b=abC>D．a+b>4【解题思路】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC，利用基本不等式即可判断D.【解答过程】由题意得a=log315>log31>0，b=log515>log51=0，0<1a =log153，0<1b=log155，则0<1a<1b，则a>b>0，对A，根据对数函数y=lg x在(0,+∞)上单调递增，则lg a>lg b，故A正确；对B，因为1a +1b=log153+log155=1，即a+bab=1，则a+b=ab，故B正确；对C，因为a>b>0，根据指数函数y=在R<，故C错误；对D，因为a>b>0，1a +1b=1，a+b=(a+b=2+ba +ab≥2+=4，当且仅当a=b时等号成立，而显然a≠b，则a+b>4，故D正确；故选：ABD.三、填空题12．（2023·北京昌平·二模）3―2,213,log25三个数中最大的数是log25.【解题思路】利用特殊值1和2作为“桥梁”比较大小即可.【解答过程】∵1<213=<23―2==19<1，log25>log24=2，∴log25>213>3―2，即三个数中最大的数是log25.故答案为：log25.13．（2024·北京通州·三模）已知a=2―1.1，b=log1413，c=log23，则三者大小关系为a<b<c（按从小到大顺序）【解题思路】根据指数函数和对数函数的性质确定出a,b,c的范围，即可求解.【解答过程】因为a=2―1.1<2―1=12，b=log1413=log43>log42=12，且b=log1413=log43<1，c=log23>log22=1，故a<b<c，故答案为：a <b <c .14．（2023·吉林长春·模拟预测）已知a =b =，c =a ，b ，c 的大小关系为c <a <b ．【解题思路】由对数函数及指数函数单调性得到a ∈(0,1)，b >1，c =―12，从而得到大小关系.【解答过程】因为y =在(0,+∞)上单调递减，1>>故a =<=1且a =>=0，所以a ∈(0,1)，因为y =在R 上单调递减，<0，所以b =>=1，c ==lne―12=―12，故c <a <b .故答案为：c <a <b .四、解答题15．（23-24高一·全国·随堂练习）已知x =lnπ，y =log 52，z =e ―12．(1)比较x ，y 的大小；(2)比较y ，z 的大小．【解题思路】（1）利用对数函数的单调性，x,y 和中间值1比较大小，即可判断；（2）利用对数函数的单调性，以及对数式的运算，y,z 和中间值12比较大小，即可判断.【解答过程】（1）因为π>e ，所以lnπ>lne =1，即x =lnπ∈(1,+∞)因为1<2<5，所以0=log 51<log 52<log 55=1，即log 52∈(0,1)，所以x >y ；（2）y =log 52<log =12，且log 52>0，所以log 52∈0,z =e ―12=>=12，所以e ―12∈+∞，所以y <z .16．（23-24高三·全国·对口高考）（1）比较a a b b 与b a a b (a >0,b >0)的大小；（2）已知a >2，比较log (a―1)a 与log a (a +1)大小【解题思路】（1）利用作商法，分类讨论即可；（2）利用做差法、换底公式以及不等式的性质分析即可.【解答过程】（1）因为a>0,b>0，所以a a b bb a a b=，所以①当a=b>0时，a a b bb a a b==1，所以a a b b=b a a b，②当a>b>0时，ab>1,a―b>0，>1，所以a a b b>b a a b，③当b>a>0时，0<ab<1,a―b<0，>1，所以a a b b>b a a b，综上所述：当a>0,b>0，a a b b≥b a a b.（2）log(a―1)a―log a(a+1)=lg alg(a―1)―lg(a+1)lg a=lg2a―lg(a+1)lg(a―1)lg a lg(a―1)，因为a>2，所以lg(a+1)>0,lg(a―1)>0,lg a>0，所以lg a lg(a―1)>0，由lg(a+1)lg(a―1)<=<=lg2a，所以lg2a―lg(a+1)lg(a―1)>0，所以lg2a―lg(a+1)lg(a―1)lg a lg(a―1)>0，即log(a―1)a―log a(a+1)>0，故log(a―1)a>log a(a+1).17．（23-24高一·湖南·课后作业）比较a，b，c的大小：(1)已知1<x<2，a=(log2x)2，b=log2x2，c=log2(log2x)；(2)已知a=log36，b=log510，c=log714．【解题思路】(1)根据1<x<2，求出log2x的范围，由此判断c＜0，0＜a＜b；(2)a=1+log32，b=1+log52，c=1+log72，由换底公式比较log32,log52,log72大小即可.【解答过程】（1）∵1<x<2，∴0=log21<log2x<log22=1，即log2x∈(0,1)，∴c=log2(log2x)<log21=0，a=(log2x)2<(log2x)1=log2x，∴0＜a<log2x，∴b=log2x2=2log2x>log2x>a，∴c＜0＜a＜b，∴c<a<b；（2）∵a=log36=log3(3×2)=1+log32，b=log510=log5(5×2)=1+log52，c=log714=log7(7×2)=1+log72，又∵0<lg3<lg5<lg7，∴lg2lg3>lg2lg5>lg2lg7，∴log32>log52>log72，∴1+log32>1+log52>1+log72，即a＞b＞c﹒18．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知正实数x，y，z满足3x=4y=6z．（1）求证：1z ―1x=12y；（2）比较3x,4y,6z的大小．【解题思路】（1）令3x=4y=6z=m，利用指数式和对数式的互化求出x,y,z，再利用对数的运算即可的证得结果；（2）因为正实数x，y，z，利用作商法可证明大小关系.【解答过程】（1）证明：令3x=4y=6z=m，利用指数式和对数式的互化知x=log3m，y=log4m，z=log6m则1x =log m3，1y=log m4，1z=log m6∴1z ―1x =log m 6―log m 3=log m 2=12y .（2）3x <4y <6z证明：因为正实数x ，y ，z ，∴3x >0, 4y >0, 6z >0，∴3x 4y =3log 3m 4log 4m =3lg m lg34lg m lg4=34×lg4lg3=34log 34=log<3，∴log <1，∴3x <4y∴4y 6z =4log 4m 6log 6m =4lg m lg46lg m lg6=23×lg6lg4=23log 46=log<2，∴log <1，∴4y <6z ∴3x <4y <6z ．19．（23-24高一上·广东广州·阶段练习）已知函数f(x)=x 2x 2+1(1)判断并证明函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性；(2)已知a =f (20.5),b =f (log 25),c =f (0.25)，试比较三个数a ，b ，c 的大小，并说明理由．【解题思路】（1）根据函数单调性的定义判断和证明即可；（2）先比较20.5,log 25,0.25三个数的大小，再利用函数f (x )的单调性即可比较a ，b ，c 的大小.【解答过程】（1）函数f(x)=x 2x 2+1=1―1x 2+1，任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2则f(x1)―f(x 2)=1―1x 21+1―1―=1x 22+1―1x 21+1 =22=因为x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，所以x 22+1>0,x 21+1>0，x 1―x 2<0，x 1+x 2>0所以f(x 1)―f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，所以函数f (x )在区间(0,+∞)上是增函数.（2）因为20.5>20=1，2=log 24<log 25<log 28=3，0<0.25<0.20=1，所以0<0.25<20.5<log 25，由（1）可知函数f (x )在区间(0,+∞)上是增函数，所以f (0.25)<f (20.5)<f (log 25)，即c <a <b .。
专题14 高考中的指对幂大小比较 (学生版)
专题14指、对、幂的大小比较1.常用的指对数变换公式：（1）nm mn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）log log log a a a M N MN +=；log log log a a a M M N N-=；（3）()log log 0,1,0na a N n N a a N =>≠>；（4）换底公式：log log log c a c bb a=；进而有两个推论：1log log a b b a=（令c b =）；log log m n a an N N m =；2.比较大小的基本思路：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况。
例如：1113423,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同()()()11111143634212121233,44,55===，从而只需比较底数的大小即可；（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（“分割包围，各个击破”），也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知2221log 2log 3log 42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较；（3）利用函数单调性比较大小；例：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）；总之：比较数式的大小，若同底，考虑指数函数（或对数函数）；若同指，则考虑幂函数，再利用函数的单调性比较大小；若不同底，也不同指，则其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决，或者利用中间量法。
专题01 指对幂比较大小(解析版)
专题01 指对幂比较大小【考点1】指数函数1.定义：函数()1,0≠>=a a a y x叫做指数函数，定义域为R . 2.性质： 【考点2】对数函数1.定义：函数()1,0log ≠>=a a x y a 叫做对数函数，定义域是()0,+∞.（1）定义域：R2.性质： 【考点3】幂函数1、幂函数定义一般地，形如()f x x α=的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．2、五种常见幂函数R RR {|0}x x ≥ {|0}x x ≠3幂函数()f x x α=，在(0,)x ∈+∞①当0α>时，()f x x α=在(0,)+∞单调递增； ②当0α<时，()f x x α=在(0,)+∞单调递减；方法一：放缩法1、对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数 2、指数和幂函数结合来放缩。
3、利用均值不等式等不等关系放缩4、“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以以该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系，2021年全国卷乙卷第12题即是此思维. 方法二：作差法、作商法1. 一般情况下，作差或者做商，可处理底数不一样的的对数比大小2. 作差或者做商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法解 方法三：构造函数，运用函数的单调性比较学习和积累“构造函数比大小”，要先从此处入手，通过这个函数，学习观察，归纳，总结“同构”规律，还要进一步总结“异构”规律，为后续积累更复杂的“构造函数”能力做训练.构造函数，.观察总结“同构”规律，许多时候，三个数比较大小，可能某一个数会被刻意的隐藏了“同构”规律，所以可以优先从结构最接近的两个数规律.1.对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f （）外衣”比较大小；2.有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数单调性对称性，以用于比较大小.题型一:简单放缩比较大小例1．（1）、（2022·天津·高考真题）已知0.72a =，0.713b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 3c =，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】C【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系.（2）、（2022•天津模拟）设，b ＝0.50.8，c ＝0.8﹣0.5，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．a ＜b ＜cD ．c ＜a ＜b【分析】利用对数函数的单调性可判断＜0.5，再利用指数函数的单调性判断b 、c 即可．【解答】解：∵＜ln＝0.5，0.5＝0.51＜0.50.8＜0.50＝1， 即0.5＜b ＜1， c ＝0.8﹣0.5＞0.80＝1，∴a ＜b ＜c ， 故选：C ．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用【变式训练1-1】、（2021·天津·高考真题）设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c<a<b C ．b<c<a D ．a c b <<【详解】2log 0.3<122log 0.4log 0.4=-0.3000.40.4<<=a c b ∴<<. 故选：D.【变式训练1-2】、（2022•东湖区校级三模）已知a ＝log 29，b ＝e 0.6，c ＝20.55，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＞a ＞cB ．b ＞c ＞aC ．a ＞b ＞cD ．a ＞c ＞b【分析】通过临界值即与函数的单调性即可比较大小．【解答】解：因为a ＝log 29＞log 28＝3，b ＝e 0.6＜e 1≈2.7，所以a ＞b ． 又因为e ＞e 0.55＞20.55，所以b ＞c ，所以选项C 正确．故选：C ．【点评】本题主要考查指数对数运算，属于简单题．题型二:作差法或作商法比较大小例2．（1）、（2022·全国·高三专题练习）已知0.2653log 7log 6a b c ===，，，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．b a c >>（2）、（2022·四川省南充高级中学模拟预测（文））已知0.2653,log 7,log 6a b c ===，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>0f x ，所以()50f =，即65【变式训练2-1】、（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）已知12log 13a =，1312b =，13log 14c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>【变式训练2-2】、（2018•新课标Ⅲ）设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则（ ） A ．a +b ＜ab ＜0B ．ab ＜a +b ＜0C ．a +b ＜0＜abD ．ab ＜0＜a +b【分析】法二、利用作商法，结合对数的运算性质分析得答案． 法一、直接利用对数的运算性质化简即可得答案． 【解答】解：法一、∵＝log 0.32+log 0.30.2＝log 0.3（2×0.2）＝log 0.30.4∈（0，1）， 且a ＝log 0.20.3∈（0，1），b ＝log 20.3＜0， ∴ab ＜0，可得a +b ＜0，结合，可得ab ＜a +b ＜0． 故选：B ．法二、∵a ＝log 0.20.3＝，b ＝log 20.3＝，∴＝，，∵，，∴ab ＜a +b ＜0． 故选：B ．【点评】本题考查了对数值大小的比较，考查了对数的运算性质，是中档题．题型三:利用函数的单调性比较大小例3．（1）、（2022·四川巴中·模拟预测（理））已知2220a =，2121b =，2022c =，则（ ） A ．c b a >> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】C（2）、（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知2πln 5,5πln 2,10ln πa b c ===，则下列结论正确的是（ ） A ．b ＞c ＞a B ．a ＞b ＞c C ．b ＞a ＞c D ．c ＞b ＞a【答案】D0f x ，【变式训练3-1】、（2022·江西师大附中三模（理））设23,e 2a b c ===a ，b ，c 大小关系是（ ） A ．c b a << B ．b<c<a C ．b a c << D ．a b c <<【变式训练3-2】、（2022·河南·三模（理））已知2πln3a =，3πln 2b =，6ln πc =，则下列结论正确的是（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>0f x ，题型四:高考压轴题目例4．（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <a D ．c <a <b【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.【变式训练4-1】、（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则（ ） A ．a b c << B ．b a c <<C ．b<c<aD ．c<a<b【详解】解：58log a b log =5458<，5548log <，45138<，13458log <综上，c >故选：AA 组 基础巩固1．（2022·辽宁·高三期中）已知0.21.2a =，0.2log 1.2b =， 1.20.8c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】D【分析】分别判断出,,a b c 的范围即可.【详解】因为0.21.21a =>，0.2log 1.20b =<， 1.200.81c <=<，所以a c b >>．故选：D2．（2022·吉林·扶余市第一中学高一期中）若0.23a =，3log 0.3b =，13log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．c a b <<C ．a b c <<D ．<<b c a3．（2022·江苏淮安·高三期中）已知25a =，8log 3b =，则32a b -=（ ）A ．25B ．5C ．259D ．534．（2022·山东青岛·高一期中）设332224(),(),()355-===a b c ，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>综上可得，c a b >>， 故选：C.5．（2022·山东·青岛二中分校高一期中）已知0.22a =，30.3b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．b<c<a D ．c<a<b【答案】C【分析】根据指数函数的单调性比较大小． 【详解】∵0.3x y =是减函数，30.20>>， 所以30.200.30.30.31<<=， 又0.20221>=， ∴b<c<a ． 故选：C ．6．（2022·江苏·星海实验中学高一期中）已知6log 8a =，4log 3b =，7log 9c =，则（ ） A ．a c b >> B ．c a b >> C ．b c a >> D ．a b c >>7．（2022·安徽·高二开学考试）已知0.3152log 3,log 2,4a b c -===，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．a c b <<【答案】C8．（2022·贵州·模拟预测（文））已知 1.52a =，0.74b =，3log 8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．b<c<aC ．c<a<bD ．c b a <<【答案】D【分析】利用指数函数2x y =与对数函数3log y x =的性质即可比较a ，b ，c 的大小． 【详解】∵0.7 1.4 1.52422<=<，∴2b a <<， ∵33log 8log 92<=，∴2c <， ∴c b a <<， 故选：D.9．（2022·黑龙江·密山市第四中学高三阶段练习）已知11235515,log 22log 3,5a b c -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，则下列关系正确的是（ ） A ．b<c<a B ．b a c << C ．c b a << D ．a b c <<10．（2022·浙江·高一期中）设24()5a =，21log 3b =，139()10c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【详解】634()5a =0<，1c <，又2log b =.cB 组 能力提升11．（2022·河南河南·一模（文））已知e ππe e ,π,a b c ===，则这三个数的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<0fx，解得所以()(ln ,xf x x=因为πe >，12．（2022·四川雅安·模拟预测（理））设a =，31sin 460b =，61ln 60c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．c<a<b B ．c b a << C ．b<c<a D ．b a c <<住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.13．（2022·湖南·模拟预测）若51e ln 5100a b c ===，，（e 2.71828=）试比较,,a b c 的大小关系（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．b c a >> 2.71828得2e 7.5<1.609，下面说明)()()246446x x +-+0fx，(f x 6x ，则ln 52ln =1320111ln 1ln 1ln 11219101119⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯=++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111ln 20.6932101119g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≈+++≈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111ln 189⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 0.2232，则5ln 52ln 2ln 20.69320.2232 1.60964=+≈⨯+≈，综上，ln 1⎛+++ ⎝14．（2022·河南·三模（理））已知2πln3a =，3πln 2b =，6ln πc =，则下列结论正确的是（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>0f x ，15．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））若12ln3,lg5,log 6a b c ===，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．a c b >>【详解】ln3a =>，a c >，22log 5log lg5log 101+log ==∴构造函数()f x =显然函数()f x (0,又20log 5<2(log 5)f <a c b >>故选：D ．16．（2021·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））已知12log 13a =，14131312b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 14c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >>C 组 真题实战练17．（2021·广西师范大学附属外国语学校模拟预测（理））已知5log 6a =，3log 5b =，2log 3c =，32d =，则a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ） A ．b a d c <<< B ．a b c d <<< C ．b a c d <<< D ．a b d c <<<【详解】5log 6a =456129653125=<=4556253243=>=因此，a b d c <<<故选：D.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；18．（2022·全国·高考真题（文））已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >> B ．0a b >> C ．0b a >> D ．0b a >>19．（2020·全国·高考真题（文））设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b<c<a D ．c<a<b20．（2018·天津·高考真题（文））已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a ,b ,c 的大小关系.21．（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <a D ．c <a <b22．（2021·全国·高考真题（理））设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =．则（ ） A ．a b c << B ．b<c<aC ．b a c <<D ．c<a<bf x，。
高考数学复习---《指、对、幂形数的大小比较问题》专项练习题(含答案解析)
高考数学复习---《指、对、幂形数的大小比较问题》专项练习题（含答案解析）一、单选题1．（2022春·天津和平·高三耀华中学阶段练习）已知0.5x x =，0.5log y y x =，log 0.5zx z =，则（ ） A ．y x z << B ．z x y << C ．x z y << D ．z y x <<【答案】A【解析】要比较0.5x x =，0.5log y y x =，log 0.5zx z =中的,,x y z 大小，等价于比较0.5log x x =，0.5log y y x =，log 0.5zx z =中的,,x y z 大小，∵0.5log x x =，由定义域可知0x >， 故0.50.51log 0log x >=，∵0.5log y x =在定义域上单调递减， 0.501,0log 1x x ∴<<<<， 0.51x ∴<<，∵0.50z >， ∴1log 0log x x z >=， ∵0.51x <<， ∴01z <<，故()0.50,1z∈，则()log 0,1x z ∈，1x z ∴<<，0.5log y y x =，由定义域可知：0y >，又∵0.51x <<，∴()0,1yx ∈，则()0.5log 0,1y ∈，()0.5,1y ∴∈，故y x x <，∵0.5log x x =，0.5log yy x =，∴0.50.5log log x y <，x y ∴>，y x z ∴<<.故选：A.2．（2022·浙江·模拟预测）已知正数a ，b ，c 满足3e 1.1a =，251030b b +−=，e 1.3c =，则（ ） A ．a c b << B ．b a c << C ．c<a<b D ．c b a <<【答案】D【解析】由251030b b +−=解得1b =−，构造函数21()ln(1)2f x x x x =−−+，(1)x >−，显然2()01x f x x −'=<+， 故()f x 是减函数，结合(0)0f =，故0x >时，()0f x <，故21ln(1)2x x x +>−，(0)x >，再令2311()ln(1)23g x x x x x =−+−+，(1)x >−，3()1x g x x'=+，当0x >时，()0g x '>，故()g x 在(0,)+∞单调递增，结合(0)0g =，故2311ln(1)23x x x x +<−+，(0)x >，则11ln1.3ln(10.3)0.30.090.0270.26423c ==+<−⨯+⨯=，13ln1.13(0.10.01)0.2852a =>⨯−⨯=，所以22(1)(10.285) 1.651225a +>+=，28(1) 1.65b +==，22(1)(10.264) 1.597696c +=+=，故222(1)(1)(1)a b c +>+>+，由a ，b ，c 都是正数，故a b c >>． 故选：D ．3．（2022·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）已知正实数x ，y ，z 满足236x y z ==，则不正确的是（ ）A ．111x y z +=B ．236x y z >>C ．236x y z >> D ．24xy z >【答案】B【解析】设236x y z t ===，1t >，则2log x t =，3log y t =，6log z t =.选项A ，1log 2t x =，1log 3t y =，1log 6t z =，则111log 2log 3log 6t t t x y z +=+==，故A 正确；选项B ，222log x t ==，333log y t ==，666log z t ==，因为68=69=66=，所以666<<，，又1t >，所以=<=<326y x z <<，故B 不正确； 选项C ，241log log 22x t t ==，3271log log 33y t t ==，6661log log 66z t t ==， 因为64276<<，又1t >，所以642766lg lg lg log log log lg 4lg 27lg 6t t t t t t =>=>=，即236x y z>>，故C 正确；选项D ，()223lg lg lg log log lg 2lg3lg 2lg3t t tt t xy ⨯===⨯⨯， 因为()22lg 6lg 2lg3lg 2lg324+⎛⎫⨯<= ⎪⎝⎭，所以()()224lg lg 6t xy >， 又()()()2622244lg log lg 64t z t ==，所以24xy z >，故D 正确；故选：B.4．（2023春·山东济南·高三统考期中）设方程e e 0x x ++=和ln e 0x x ++=的根分别为p 和q ，函数()()e xf x p q x =++，则（ ）A ．()42033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】方法一：由e e 0x x ++=得e e x x =−−，由ln e 0x x ++=得ln e x x =−−，因为方程e e 0x x ++=的根为p ，所以函数e x y =与e y x =−−的图象交点P 的横坐标为p ， 同理：函数ln y x =与e y x =−−的图象交点Q 的横坐标为q ， 因为e x y =与ln y x =互为反函数，所以两函数图象关于y x =对称，易知直线y x =与直线e y x =−−互相垂直，所以,P Q 两点关于直线y x =对称， 即,P Q 的中点M 一定落在y x =，亦即点M 为y x =与e y x =−−的交点，联立e y x y x =⎧⎨=−−⎩，解得e 2e2x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩，即e e ,22M ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，所以e p q +=−，故()()e e e x x f x p q x x =++=−，则()e e xf x '=−，令()0f x ¢>，得1x >；令()0f x '<，得1x <；所以()f x 在(),1−∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()203f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，而()01f =，2322e e 33f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，4344e e 33f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，则()43440e e 133f f ⎛⎫−=−− ⎪⎝⎭，4242333342422e e e e e e e 33333f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−−−=−− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()()4341e 3g x x x x =−−≥，则()11133344444e e 1033333g x x ⎛⎫'=−≥−=−> ⎪⎝⎭，所以()g x 在[)e,+∞上单调递增，所以()()()4433e 33503811255g g <=−<=<=，即434e e 1<03−−，故()403f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 令()()4233213h x x x x x =−−≥，则()1133422333h x x x −'=−−，令()0h x '>，得1x >，所以()h x 在[)1,+∞上单调递增， 所以()4233423327272722781918e 101010310101010h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=−−⨯=−−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21113333811090101809109101020100100⎡⎤⎛⎫⨯−⨯−==⨯−−⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()3992.159 2.1510200.1025010 2.15100100⎡⎤>⨯−−=⨯>>⎣⎦， 则42332e e e 03−−>，故4233f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上：()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.方法二：前面部分同方法一得，()()e e e x x f x p q x x =++=−，则()e e xf x '=−，令()0f x ¢>，得1x >；令()0f x '<，得1x <；所以()f x 在(),1−∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()203f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，而()01f =，2322e e 33f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，4344e e 33f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，因为e 1x x ≥+，当且仅当0x =时取等号，所以e 1x x −≥−+，当()0,1x ∈时，1e 1xx <−，所以413344414e 1e e=e e e 133336213f ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫=−−<−=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪−⎝⎭，即()403f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，下面比较42,33f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小关系， 设()()()2g x f x f x =−−，()0,1x ∈，所以()()()222e e e e e e 2e 0x x x x g x f x f x −−'''=+−=−+−=+−=，故()g x 在()0,1x ∈上递增，()()10g x g <=，即有222033f f ⎛⎫⎛⎫−−< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，亦即4233f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上：()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.5．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知e 1.02, 1.01a cb ===，则（ ） A ．a bc << B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【解析】由题可得：ln1.02,2ln1.01a c ==，令()()[]2ln 11,0,1f x x x =+∈，则()f x '2121x x −==+， 当[]0,1x ∈0,10x +>，又()()22120x x x −+=−−≥，10x −≥，即()f x '0≥，故()f x 在[]0,1单调递增，()()00f x f ≥=，则当0.01x =时，()2ln 1.0110>，即()2ln 1.011>，c b >；令()()[]ln 11,0,1h x x x =+∈，则()h x '11x ==+ 当[]0,1x ∈0,10x +>，又()22210x x −+=−≤，1x +，即()h x'0≤，故()h x 在[]0,1单调递减，()()00h x h ≤=， 故当0.02x =时，ln1.0210<，即ln1.021<，a b <；综上所述，a b c <<. 故选：A.6．（2023·江苏·高三专题练习）已知正实数a ，b ，c 满足2e e e e c a a c −−+=+，28log 3log 6b =+，2log 2c c +=，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B【解析】22e e e e e e e e c a a c c c a a −−−−⇒+=+−=−，故令()e e x x f x −=−，则()e e c c f c −=−，()e e a af a −=−．易知1eexx y −=−=−和e x y =均为()0,+∞上的增函数，故()f x 在()0,+∞为增函数． ∵2e e a a −−<，故由题可知，2e e e e e e c c a a a a −−−−=−>−，即()()f c f a >，则0c a >>．易知222log 3log log 2b =+>，2log 2c c =−， 作出函数2log y x =与函数2y x =−的图象，如图所示，则两图象交点横坐标在()1,2内，即12c <<，c b ∴<，a cb ∴<<．故选：B ．7．（2023·全国·高三专题练习）已知02,1,1b a b a b <<<≠≠，且满足log b a a b =，则下列正确的是（ ） A ．1ab >B ．1(1)b a ab +<+ C ．11a b a b a a b b ++−>− D ．52+>a b 【答案】B【解析】由log b a a b =，可得1log log log b a b a b a==， 所以log 1b a =，或log 1b a =−， ∴b a =(舍去)，或1b a=，即1ab =，故A 错误；又02b a b <<<，故120a a a<<<，∴1a <<(11y x x x=+<<，则2221110x y x x−'=−=>，函数(11y x x x =+<<单调递增，∴1a b a a ⎛+=+∈ ⎝⎭，故D 错误；∵02b a b <<<，11a b<=< ∴1212a b b <<<+<，令()()ln 12x g x x x=<<，则()21ln 0xg x x −'=>，∴函数()()ln 12xg x x x=<<单调递增， ∴()ln 1ln 1b a a b +<+，即()()1ln ln 1b a a b +<+， ∴()1ln ln 1ab a b +<+，即1(1)b a a b +<+，故B 正确；∵011b a b <<<<+，∴函数,x x y a y b ==−单调递增，故函数x xy a b =−单调递增，∴11a a b b a b a b ++−<−，即11a b a b a a b b ++−<−，故C 错误. 故选：B.8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()e 2xf x x =+−的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+−的零点为b ，则下列不等式中成立的是（ ） A ．1a b ⋅> B ．e ln 2a b +<C ．223a b +<D ．2214a b >【答案】C【解析】由()0f x =，()0g x =得e 2x x =−，ln 2x x =−， 因为e x y =与ln y x =关于直线y x =对称，在同一坐标系下，画出e x y =，ln y x =，y x =，2y x =−的图象，则()1,12y xC y x=⎧⇒⎨=−⎩，(),e a A a ，(),ln B b b ，,A B 关于()1,1对称. 所以2a b +=，e ln 2a b +=，故B 错误. 因为0a >，0b >，a b ¹，所以()214a b ab +<=，故A 错误.因为()e 2x f x x =+−，()e 10xf x '=+>，()f x 在R 上为增函数，()00e 20f =−<，13022f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以102a <<.又因为点(),e aa 在直线2y x =−上，且2ab +=，所以e 2a a b =−=.22221e e 34a a b a +=+<+<，故C 正确. 因为e a b =，所以e aa ab =， 设()10e 2x x h x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，()10e x x h x −'=>，()h x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭为增函数.所以()12h x h ⎛⎫< ⎪⎝⎭即a b <22114e 4a b <<，故D 错误. 故选：C9．（2023·全国·高三专题练习）在给出的①3log 3ππ<；②56log 6log 7>ln 21<．三个不等式中，正确的个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】①令3log ()x f x x=，则3log ()f πππ=，3log 31(3)33f ==， 所以21ln ()ln 3xf x x −'=，在(e,)+∞上()0f x '<，即()f x 递减，而3e π>>， 所以()(3)f f π<，即3log 13ππ<，故3log 3ππ<，正确；②令ln(1)()log (1)ln xx f x x x+=+=，则2ln (1)ln(1)()(1)(ln )x x x x f x x x x −++'=+， 又ln y x x =，在(1,)+∞上ln 10y x '=+>，则y 递增，所以，在(1,)x ∈+∞上ln (1)ln(1)0x x x x −++<，即()0f x '<，则()f x 递减， 所以56(5)log 6(6)log 7f f =>=，正确；③2ln 2(e e ==>=>，而e xy =ln 21>，错误.故选：C10．（2023·全国·高三专题练习）设2022ln 2020a =，2021ln 2021b =，2020ln 2022c =，则下列选项正确的是（ ） A ．a c b >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a b c >>【答案】D 【解析】令()ln x f x x =，则'()f x 21ln x x−=，令'()f x 0=，解得e x =， 故当e x >时，()f x 单调递减，故()()20202022f f >，即ln 2020ln 202220202022>， 则2022ln 2020a =>2020ln 2022c =.令()()ln 1h x x x =−+，则'()h x 1111x x x =−=++， 故当0x >时，()h x 单调递增，10x −<<时，()h x 单调递减， 则()()00h x h ≥=，即()ln 1x x +≤.b a −=2021ln 20212022ln 20202021ln 20212021ln 2020ln 2020−=−−112021ln 1ln 20202021ln 2020020202020⎛⎫=+−≤⨯−< ⎪⎝⎭，故b a <； 2020ln 20222021ln 20212021ln 2022ln 20222021ln 2021c b −=−=−−112021ln 1ln 20222021ln 2022020212021⎛⎫=+−≤⨯−< ⎪⎝⎭，故c b <； 综上所述：c b a <<. 故选：D.11．（2023·全国·高三专题练习）已知1ln 2a =，()ln lg 2b =，()lg ln 2c =则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a b c >> D ．b c a >>【答案】A【解析】先比较,a b ，易知1lg 22<,故1ln(lg 2)ln 2<，即b a < 又10e <，故1x >时ln lg x x >，01x <<时ln lg x x < 故11lgln 22>， 而1ln 22>，故11lg(ln 2)lg ln 22>>，有c a > 故选：A12．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a ，b 满足28log 3log 6a =+，51213a a b +=，则下列判断正确的是（ ） A ．2a b >> B ．2b a >> C ．2b a >> D ．2a b >>【答案】D【解析】()28221log 3log 6log 3log 233a =+=+⨯2241414317log 3log 233333233=+>=⨯+=>，所以2a >； 由51213a a b +=且2a >，所以51225144169a a +>+=，所以2b >，令()51213x x xf x =+−，2x >，令20t x =−>，则2x t =+，则()51213x x x f x =+−，2x >等价于()2551441216913t t tg t =⨯+⨯−⨯，0t >； 又()255144121691316912169130t t t t tg t =⨯+⨯−⨯<⨯−⨯<，所以当2x >时，()512130x x xf x =+−<，故5121313a a b a +=<，所以2a b >>.故选：D.13．（2023·全国·高三专题练习）已知24ln 25a =+， 1.222b =+， 2.12c =，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a c b <<【答案】D 【解析】因为()()221.22.10.220.10.10.10.122222222212222120b c ⎡⎤−=+−=+⋅−⋅=−⋅+=−>⎢⎥⎣⎦， 所以b c >；令()()1ln 1f x x x x =−−>，1()10'=−>f x x， 所以()f x 在()1,+∞上单调递增，因为0.221>，所以0.2(2)(1)f f >，即0.20.221ln 20−−>，所以()1.20.20.20.20.22224ln 22222ln 2221ln 205b a −=+−−=⋅−−=−−>，所以b a >；同理0.121>，所以0.1(2)(1)f f >，即0.10.121ln 20−−>，也即0.10.112ln 20−+<，所以()2.10.120.10.10.124ln 2244ln 22241ln 2205a c −=+−=+−⋅=+−<，所以a c <. 综上，a c b <<， 故选：D.14．（2023·全国·高三专题练习）已知a =eb =，c =，则（ ）A ．a b c <<B ．b<c<aC ．b a c <<D ．c<a<b【答案】B【解析】解析：因为01a e =>=，1eb =<=所以a b >；又()222c ==+−构造()2222xf x e x x =−++，则a c f−=因为()()()22222222211x xx x e f x e x x x ⎡⎤−+−⎣⎦=−=−+−+，()21110x −+≥> ， 由于函数()f x 的分母为正数，此时只需要判断分子()2222xx x e ⎡⎤−+−⎣⎦的符号，设22()(22)2,()0,x xg x x x e g x x e '=−+−=≥则()g x 在R上递增，(0)0g g >=，即当0x > 时，()f x 的分子总是正数，()()()00,f x x ∴>∈+∞ ，0a c f−=>，即a c >，应用排除法， 故选：B.15．（2023·全国·高三专题练习）已知ln72a =，ln63b =，ln54c =，则（ ） A ．b<c<a B ．a b c <<C ．b a c <<D ．a c b <<【答案】B【解析】对a ，b ，c 取对数得：ln ln 2ln 7a =⋅，ln ln3ln 6b =⋅，ln ln 4ln5c =⋅， 令()()ln ln 9f x x x =⋅−(24x ≤≤)，()()ln 9x f x x−'=−()()()9ln 9ln ln 99x x x xx x x x −−−=−−， 令()ln ,1g x x x x =>，()ln 10g x x '=+>，即()ln g x x x =在(1,)+∞上单调递增， 由24x ≤≤得，951x x −≥>>，于是得()()9ln 9ln x x x x −−>，又()90x x −>，因此，()0f x ¢>，即()f x 在[]2,4上单调递增，从而得()()()234f f f <<， 即ln 2ln 7ln3ln 6ln 4ln5<<，ln ln ln a b c <<，所以a b c <<. 故选：B16．（2023·全国·高三专题练习）设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =．则（ ）A ．a b c <<B ．b<c<aC ．b a c <<D ．c<a<b【答案】B【解析】[方法一]：2ln1.01a =2ln1.01=()2ln 10.01=+()2ln 120.010.01=+⨯+ln1.02b >=，所以b a <；下面比较c 与,a b 的大小关系.记()()2ln 11f x x =+，则()00f =，()2121x f x x −='=+， 由于()()2214122x x x x x x +−+=−=−所以当0<x <2时，()21410x x +−+>()1x >+，()0f x ¢>，所以()f x 在[]0,2上单调递增，所以()()0.0100f f >=，即2ln1.011，即a c >；令()()ln 121g x x =+，则()00g =，()212212x g x x −=+'， 由于()2214124x x x +−+=−，在x >0时，()214120x x +−+<，所以()0g x '<，即函数()g x 在[0，+∞)上单调递减，所以()()0.0100g g <=，即ln1.021，即b <c ；综上，b<c<a ， 故选：B.[方法二]：令()21ln 1(1)2x f x x x ⎛⎫+=−−> ⎪⎝⎭()()221-01x f x x =+'−<，即函数()f x 在（1，+∞)上单调递减()10,ff b c <=∴<令()232ln 1(13)4x g x x x ⎛⎫+=−+<< ⎪⎝⎭()()()21303x x g x x −−+'=>，即函数()g x 在（1，3)上单调递增()10,gg a c =∴综上，b<c<a ， 故选：B.17．（2023·全国·高三专题练习）设4log 3a =，5log 4b =，0.012c −=，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b<c<a【答案】B【解析】1041048576=，85390625=，951953125=，8465536=，10359049=，10945∴<，即91045<，91055log 4log 50.9∴<=；10845>，即84105455>=，4555log 4log 50.8∴>=；81043>，即84105344<=，4544log 3log 40.8∴<=；54log 4log 3∴>，即a b <.设()()210x f x x x =−−<，则()2ln 21xf x '=−，当0x <时，()20,1x ∈，又()ln 20,1∈，()2ln 20,1x∴∈，()0f x '∴<，()f x \在(),0∞−上单调递减，()()00f x f ∴>=，即当0x <时，21x x >+，0.0120.0110.990.9−∴>−+=>，0.015log 42−∴<，即b c <.综上所述：a b c <<. 故选：B . 二、多选题18．（2023·全国·高三专题练习）当121x x <<时，不等式1221e e 0x xx x −<成立．若e e a b >>，则（ ） A ．e 1e e b b −> B ．e e e aa b b +<C ．e ln b a b a <D ．e ln a ab b >【答案】AD【解析】当121x x <<时，不等式12122112e e e e 0x x x x x x x x −<⇔<，令e (),1xf x x x=>，则()f x 在(1,)+∞上单调递增，因e>1b >，则ee 1e e ()(e)e e eb b f b f b b −>⇔>⇔>，A 正确；因e a b >>1，则e e e e ()(e )e e eaa b aa b a f b f b b +>⇔>⇔>，B 不正确；由e e a>知，1a >，有()()e 1e 1e a a f a f a a>⇔>>⇔>，则ln ln 1a a a a >⇔<， 由选项A 知，e 1b b>，即e ln e ln b b aa b a b a >⇔>，C 不正确； 由e e ab >>得，ln 1b a >>，则ln e e (ln )()e ln ln b aa fb f a ab b b a>⇔>⇔>，D 正确. 故选：AD19．（2023·全国·高三专题练习）已知01b a <<<，则下列不等式成立的是（ ） A ．log log a b b a < B ．log 1a b >C ．ln ln a b b a <D ．ln ln a a b b >【答案】BC【解析】选项A ：()()22lg lg lg lg lg lg lg lg log log lg lg lg lg lg lg a b b a b a b a b a b a a b a b a b−+−−=−==由01b a <<<，可得lg lg 0b a <<，则lg lg 0b a >，lg lg 0b a −<，lg lg 0b a +< 则()()lg lg lg lg 0lg lg b a b a a b−+>，则log log a b b a >.判断错误；选项B ：由01a <<，可得log a y x =为(0,)+∞上减函数， 又0b a <<，则log log 1a a b a >=.判断正确；选项C ：由01a <<，可知xy a =为R 上减函数，又b a <，则a b a a >由0a >，可知a y x =为(0,)+∞上增函数，又b a <，则a a b a <，则b a a b > 又ln y x =为(0,)+∞上增函数，则ln ln b a a b >，则ln ln a b b a <.判断正确； 选项D ：令211e e a b ==，，则01b a <<<，e ln l 111e n e a a =−=，222ln ln 112e e eb b =−=则22122e0e ln eln e a a b b −−+==<−，即ln ln a a b b <.判断错误.故选：BC20．（2022·全国·模拟预测）下列不等式关系成立的是（ ） A ．57log 6log 8< B ．118cos 173>C ．0.40.60.40.6<D ．π3sin3>+【答案】BCD【解析】A 选项：当n ∈N 且3n ≥时，有()log 1n n −+()()22log 1log 1log 2n n n n n n +=−<=，进一步可得()()log 1log 11n n n n −⋅+<，（()()2log 1log 1n n n n >−++>） 从而得当n ∈N 且3n ≥时，有()()1log 1log n n n n −+<， 所以567log 6log 7log 8>>，故A 选项不成立.B 选项：令π()sin ,(0)2f x x x x =−<<，则()cos 10f x x '=−<，所以在π(0,)2上函数()f x 单调递减，所以()(0)0f x f <=，也即在π(0,)2上，()sin 0f x x x =−<，即sin x x <，所以当π02α<<时，0sin 22αα<<，22cos 12sin1222ααα⎛⎫=−>− ⎪⎝⎭， 即21cos 12αα>−，在上式中取13α=，得211117cos 132318⎛⎫>−⨯= ⎪⎝⎭，即118cos 173>，故B 选项成立.C 选项：因为()()520.40.40.40.16==，()50.630.60.60.216==，所以0.40.60.40.6<，故C 选项成立.D 选项：当π02α<<时，sin αα<，取π3α=−，得()sin π3π3−<−，即π3sin3>+，故D 选项成立.21．（2022春·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）下列大小关系正确的是（ ）． A ．2 1.91.92< B ． 2.922 2.9<C ．712log 4log 7<D ．712log 4log 7+<【答案】ABC 【解析】设ln ()x f x x =，则21ln ()xf x x −'=， 0e x <<时，()0f x '>，()f x 递增，而0 1.92e <<<，所以(1.9)(2)f f <，即ln1.9ln 21.92<，2 1.9ln1.9ln 2<， 即2 1.91.92<，A 正确；2.9322288.41 2.9<=<=，B 正确；770log 4log 12<<，所以222777777(log 4log 12)(log 48)(log 49)log 4log 121444+⋅<=<=，所以71271log 4log 7log 12<=，C 正确； 10102264(2)102410==>，76107823543104=<<， 7107710log 4log 417=>，所以77log 40.710>=， 472401=，341217287=<，所以3412124log 7log 713=>，123log 70.754>=，所以712log 4log 70.70.75 1.45+>+=>D 错． 故选：ABC ．22．（2022·湖南·模拟预测）已知1x >，1y >，且()()1e 11e yx x y ++=+，则下列结论一定正确的是（ ） A ．()ln 0x y −> B ．122x y +< C ．226x y +> D ．()ln ln 3x y +<【答案】AC【解析】令()e x f x x =，则()()2e 1e e xx x x x f x x x−−'==， 所以当1x >时，()0f x ¢>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增； 由()()1e 11e yxx y ++=+得1e e 111x y x y y +=+++，即1e e 111x y x y y +−=++，∵1y >，∴11012y <<+， ∴1e e 1012x y x y +<−<+，即()()1012f x f y <−+<， ∴1x y >+，即1−>x y ，∴()ln 0x y −>，A 正确；由1x y >+知12x y +>+，所以12222x y y ++>>，所以选项B 错误； 由1x y >+知12222326x y y y y ++>+=⋅>，所以选项C 正确．由1x y >+，1y >知213x y y +>+>，所以()()ln ln 21ln 3x y y +>+>，所以D 错误， 故选：AC ．23．（2022·福建泉州·统考模拟预测）若2ln ln b b a a a +=+，则下列式子可能成立的是（ ） A ．1a b >> B ．1b a >> C ．1b a >> D ．1a b >>【答案】BCD【解析】令()ln f x x x =+，0x > 则()110f x x=+>'恒成立， 所以()ln f x x x =+单调递增，其中1110e ef ⎛⎫=−< ⎪⎝⎭，()110f =>，则存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x =①当a b >时，2ln ln ln a a a b b a a +=+<+ 即()()1ln 0a a a −+<，若1a ≥，则ln 0a a +>，且10a −≥，则()()1ln 0a a a −+≥， 不满足()()1ln 0a a a −+<，故1a <，且()0f a >， 所以01x a <<又因为a b >，所以1a b >>，D 正确； ②当a b <时，2ln ln ln a a a b b a a +=+>+，即()()1ln 0a a a −+>（1）当1a >时，10a −>，ln 0a a +>，则()()1ln 0a a a −+>成立，故1b a >>，B 正确； （2）当1a <时，10a −<，若()()1ln 0a a a −+>，则ln 0a a +<， 因为()00f x =，且()ln f x x x =+在()0,∞+上单调递增，所以当00a x <<时，ln 0a a +<，则2ln 0a a a +<，所以ln 0b b +<，所以1b <，又因为a b <，所以1b a >>，选项C 正确. 故选：BCD24．（2022春·江苏泰州·高三泰州中学校考开学考试）已知0e sin e sin y xx y x y π<<<，＝，则（ ） A ．sin sin x y < B ．cos cos x y >− C ．sin cos x y > D ．cos sin x y >【答案】ABC【解析】由题意，0e sin e sin y xx y x y π<<<，＝，得0y x −> ，e sin e sin y xy x=，e 1y x−>，∴sin 1sin y x >，∴sin sin y x >，A 对； e e sin sin y x y x =，令e (),(0,)sin xf x x xπ=∈，即有()()f x f y =， 令2e (sin cos )()0,sin 4x x x f x x x π=='−=，()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增， 因为()()f x f y = ，∴04x y ππ<<<<，作出函数e (),(0,)sin xf x x xπ=∈以及sin ,[0,]y x x π=∈ 大致图象如图：则30sin sin 4y y x ππ<−<>，，∴sin()sin y x π−>，结合图象则y x π−>， ∴cos()cos y x π−<，∴cos cos x y >−，B 对； 结合以上分析以及图象可得2x y π+>，∴2x y π>−，且,4224y y πππππ<<−<−<，∴sin sin cos 2x y y π⎛⎫>−= ⎪⎝⎭，C 对；由C 的分析可知，224y x πππ−<−<<，在区间[,]24ππ−上，函数cos y x = 不是单调函数，即cos()cos 2y x π−<不成立，即sin cos y x <不成立，故D 错误；故选：ABC ．25．（2022·湖南长沙·雅礼中学校联考二模）下列不等式正确的有（ ）A ．90911013100125> B ．5645⎛⎛> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．23e2>D ．3tan12> 【答案】AD 【解析】由90901223390909090909090101(10.01)1C 0.01C 0.01C 0.01C 0.01100=+=+⨯+⨯+⨯++⨯122339090901C 0.01C 0.01C 0.01>+⨯+⨯+⨯10.90.40050.11748 2.4=+++>，则有909110130.024100125>=，A 正确；假定56(()45<5625656(452545()4⇔<⇔<<，令2(1)()ln ,11x f x x x x −=−>+，求导得，()f x 在(1,)+∞上单调递增，则()(1)0f x f >=，即当1x >时，2(1)ln 1x x x −>+，62ln 511>，62511>，令()ln 1g x x x=>，求导得，()g x 在(1,)+∞上单调递减，则()(1)0g x g <=，即当1x >时，ln x<25ln 24<2524< 260114911⇔−>⇔>因49>256245<成立，所以56((45<成立，B 不正确；假定23e2<，有23333133e 2ln ln ln 2222222<⇔<⇔−<⇔−< 令()ln ,1h x x x x =−>，，则()h x 在(1,)+∞上单调递增，32>，则3()2h h >，所以23e 2<成立，C 不正确； 令tan ,02y x x π=<<，求导得，，曲线tan y x =在3x π=处切线方程为4()3y x π=−令()tan 4()33x x x x ππϕ=−−<<，求导得，即()ϕx 在(0,)3π上单调递减，而13π<，则(1)()03πϕϕ>=，即3543 3.153tan14(1)()(2.5 1.74)3223232ππ>−+>++−⨯=，D 正确.故选：AD26．（2022·全国·高三专题练习）已知1201x x <<<，下列不等式恒成立的是（ ）A ．1221e e x xx x >B ．2112ln ln x x x x <C ．1122ln ln x x x x <D ．1221ln e l e n x xx x +<+【答案】AB 【解析】令()()()()1,0,1,,e e 0x xx xf x x f x f x '−=∈=>在()0,1x ∈内单调递增. 1201x x ∴<<<时，1212e ex x x x<，即2112e e ,x x x x <A 选项正确；令()()()()2ln 1ln ,0,1,0,x x g x x g x g x x x−=∈>'=在()0,1x ∈内单调递增， 121212ln ln 01,x xx x x x ∴<<<<，即2112ln ln x x x x <，B 选项正确；令()()()()ln ,0,1,ln 1,0,1h x x x x h x x x '=∈=+∈，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()()0,h x h x '<单调递减，当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,h x h x '>单调递增，()1h x 与()2h x 大小不确定，C 错误；当1201x x <<<时，2112ln ln 00e e x xx x +<+>，D 错误故选：AB。
一网打尽指对幂等函数值比较大小问题 (9大核心考点)课件-2024年高考数学二轮复习(新教材新高考)
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常见函数的麦克劳林展开式：
①
=++
!
+ ⋯+
② = −
!
+ !
③ = −
!
!
+
!
+
− ⋯+
−
!
+
(+)!
+
(−) (+)! +
B． < <
C． < <
D．b < c < a
【答案】D
【解析】因为 =
9
8
3
4
1
2
=
9
16
1
4
> 0， =
2
3
3
4
=
8
27
1
1
4
又因为 = 在 0, +∞ 上单调递增，所以
1
1
>
1 4
16
=
1，即
2
1
4
2
>
1
1
> > 2，
9
16
1
4
>
1
上单调递增，所以ln 3 < lne2，即 = ln1.5 < 2，
1
1
1
1
B．e > 1+ ( < 0)
A．ln 1 + >
( > 0)
指数、对数、幂比较大小(原卷版)高考数学 专题03 十大方法
专题03“十大方法”，玩转指对幂比较大小方法一：单调性法【典例分析】典例1-1．设0.93a =，0.59b =，1213c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）．A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c>>D ．b c a>>典例1-2．0.302a =.，0.40.2b =，0.2log 0.1c =，则（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b>>D ．c a b>>【变式训练】1．设0.4log 2a =，21log 0.3b =，0.40.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）．A ．a b c<<B ．b a c <<C ．a c b<<D ．c b a<<2．设a = 1.12b =，2log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．b c a>>D ．a b c>>方法二：“媒介数”法【典例分析】典例2-1．已知0.33a =，2log 6b =，0.3log 2c =，则三数大小关系为（）A ．a b c<<B ．b<c<aC ．c b a<<D ．c<a<b典例2-2．若5log 0.2a =，50.2b =，0.25c =，则a ，b ，c 三者的大小关系为（）A ．b c a >>B ．b a c>>C ．c a b>>D ．c b a>>【变式训练】1．已知0.412log 1.41,2,ln 2a b c ===，则（）A ．a c b<<B ．c a b<<C ．b a c<<D ．a b c<<2．已知23log 2a =，5log 6b =，sin 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a>>D ．c b a>>方法三：作差法【典例分析】典例3-1．设6log 2a =，12log 3b =，40log 5c =，则（）A ．a b c<<B ．b a c<<C ．c<a<bD ．a c b<<典例3-2．已知3log 2a =，4log 3b =，4log c =）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．b c a>>【变式训练】1．已知3log 2a =，4log 3b =，πsin 6c =，比较a ，b ，c 的大小为（）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞c ＞aD ．b ＞a ＞c2．设1,22a b c ===，则,,a b c 的大小顺序是（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b>>D ．b c a>>方法四：作商法【典例分析】典例4-1．）已知0.40.8a -=，5log 3b =，8log 5c =，则（）A ．a b c<<B ．b<c<aC ．c b a<<D ．a c b<<典例4-2．已知0.30.4a =，0.30.3b =，0.40.3c =，则（）A ．a c b >>B ．a b c>>C ．c a b>>D ．b c a>>【变式训练】1．已知41291log ,log ,0.90.8204p m n ===，则正数,,m n p 的大小关系为（）A ．p m n >>B ．m n p >>C ．m p n>>D ．p n m>>2．已知54m =，89n =，0.90.8p =，则正数m ，n ，p 的大小关系为（）A ．p m n>>B ．m n p>>C ．m p n>>D ．p n m>>方法五：构造函数【典例分析】典例5-1．已知()2log 22a a a =≠，()3log 33b b b =≠，()4log 44c c c =≠，则（）A ．a b c <<B ．c<a<bC ．c b a <<D ．a c b<<典例5-2．设150a =，112ln sin cos 100100b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，651ln 550c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b<c<aD ．b a c <<【变式训练】1．设2022ln 2020a =，2021ln 2021b =，2020ln 2022c =，则下列选项正确的是（）A ．a c b >>B ．c b a >>C ．b a c>>D ．a b c>>2．已知0.1sin 0.1,ln1.1,e 1.005a b c ===-，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c>>B ．a c b>>C ．c b a>>D ．c a b>>方法六：乘方法【典例分析】典例6．已知3log 5a =，5log 7b =，43c =，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a>>D ．a c b>>【变式训练】1．已知5log 3a =，13log 8b =，1-2e c =，则下列判断正确的是（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．<<c a bD ．<<b c a方法七：对数法【典例分析】典例7．已知1011910911a b c ===，，，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c<a<bB ．b a c <<C ．a b c <<D ．c b a<<【变式训练】1．已知20232022a =，20222023b =，2022log 2023c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c<<B ．b a c<<C ．c a b<<D ．c b a<<方法八：零点法【典例分析】典例8．已知函数1222111()log ,(),()222xxxf x xg x xh x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在区间(0,)+∞内的零点分别是a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b>>D ．b a c>>【变式训练】1．已知函数()()()3e ,ln ,xf x xg x x xh x x x =+=+=+的零点分别为,,a b c ，则,,a b c 的大小顺序为（）A ．a b c>>B ．c a b>>C ．b c a>>D ．b a c>>方法九：特殊值法【典例分析】典例9．已知31,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，记sin cos log ,log sin ,log tan x y z αααααα===，则x ，y ，z 的大小关系正确的是（）A ．x y z <<B ．y x z <<C ．z x y <<D ．x z y<<【变式训练】1．若1αβγ>>>且2αγβ<，设log a αγ=，log b βα=，log c γβ=，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．c<a<b方法十：放缩法【典例分析】典例10-1．若4log 3a =，5log 4b =，0.032c -=，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c b a<<B ．a c b<<C ．b a c<<D ．a b c<<典例10-2．已知1sin 3a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，271log 92c =，则（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b<<【变式训练】1．设0.302a =.，3log 4b =，4log 5c =，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b<<D ．a c b<<2．已知ln1.1a =，12ln 11b =，111c =，则下列判断正确的是（）A ．a b c<<B ．b a c <<C ．c b a<<D ．b c a<<针对性巩固练习1．已知0.20.54,2,ln 0.5a b c -===则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b >a >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．a b c>>2．已知155a =，1925b =，154.5=c ，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c<a<bB ．c b a<<C ．a c b<<D ．a b c <<3．设151627log 3,e ,log 9log 8a b c -===⋅，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．b a c <<C ．c b a<<D ．b c a<<4．已知 1.5241,log 3,sin 12a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b<<D ．a c b<<5．已知83log 3a =，131log 162b =-，4log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a>>D ．b a c>>6．已知实数2log 3a =，3log 4b =，54c =，那么实数a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a>>D ．c b a>>7．设x 、y 、z 为正实数，且111234xyz⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．234x y z <<B ．423z x y<<C ．324y x z<=D ．423z x y =<8．若实数m ，n ，p 满足354m e =，235n e =，218p e =，则（）A ．p m n <<B ．p n m<<C ．m p n<<D ．n p m<<9．设2ln 2a =，3ln 3b =，e c =（e 2.718≈ ），则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b<c<aD ．c<a<b10．设 1.02a =，0025.e b =，0.92sin 0.06c =+，则a ，b ，c 大小关系是（）A ．c b a<<B ．a b c<<C ．b<c<aD ．c<a<b11．已知5log 6a =，3log 5b =，2log 3c =，32d =，则a 、b 、c 、d 的大小关系是（）A ．b a d c <<<B ．a b c d <<<C ．b a c d<<<D ．a b d c<<<12．已知108a =，99b =，810c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a>>B ．b a c>>C ．a c b>>D ．a b c>>13．已知三个函数112()21,()e 1,()log (1)1x x f x x g x h x x x --=+-=-=-+-的零点依次为,,a b c ，则,,a b c 的大小关系（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b>>D ．c b a>>14．已知1e a b <<<（e 为自然对数的底数），则（）A ．b aa b >B ．ee aba b >C ．ee ba a a >D ．ee bb a a <15．已知2log a =3log 2b =，52log 2c =，则（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．c a b<<D ．b<c<a16．设a ＝1101，b ＝ln1.01，c ＝0.01e 1-，则（）A ．a <b <cB ．b <c <aC ．b <a <cD ．c <a <b。
数学专题 指对幂比较大小必刷100题
专业专心专注µ专题 指对幂比较大小必刷100题1任务一:善良模式(基础)1-40题一、单选题1已知a =53-12，b =log 25，c =log 37，则a ，b ，c 的大小顺序是()A.a >b >cB.c >a >bC.c >b >aD.b >c >a【答案】D【解析】因为a =53 -12=3512<1，b =log 25>log 24=2，1=log 33<c =log 37<log 39=2，所以b >c >a 故选：D2已知a =ln 1π，b =e 13，c =log π3，则a ,b ,c 大小顺序为()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.b >c >a【答案】D 【解析】∵a =ln 1π<ln1=0，b =e 13>e 0=1，0=log π1<c =log π3<log ππ=1，∴b >c >a .故选：D .3已知a =ln 1π，b =e 13，c =log π3，则a ,b ,c 大小顺序为()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.b >c >a【答案】D 【解析】因为a =ln 1π<ln1=0，b =e 13>e 0=1，c =log π3∈0,1 所以b >c >a 故选：D【点睛】本题考查的是对数、指数幂的比较，较简单.4设a =34-34，b =432，c =log 232，则a ，b ，c 的大小顺序是A.b <a <c B.c <a <b C.b <c <aD.a <c <b【答案】B 【解析】a =34-34=4334>1,且4334<432=b ,又c =log 232<log 22=1.故c <a <b .故选：B【点睛】本题主要考查了利于指数对数函数的单调性对函数值大小进行比较,属于基础题型.5a ,b ,c 均为正实数，且2a =log 12a ，12b=log 12b ，12c=log 2c ，则a ,b ,c 的大小顺序为第1页共31页A.a<c<bB.b<c<aC.c<b<aD.a<b<c 【答案】D【解析】试题分析：∵a,b,c均为正实数，∴2a>2-b=log12b，而2a=log12a，∴log12a>log12b，∴a<b．又12c=log2c且12 b=log12b，由图象可知c>1，0<b<1，故a<b<c，故选D．考点：利用函数图象比较大小.6若a=0.20.8，b=0.80.2，c=1.10.3，d=lg0.2，则a，b，c，d的大小关系是()A.c>b>a>dB.c>a>b>dC.b>c>a>dD.a>c>b>d【答案】A【解析】由指数函数的单调性知：0.20.2>0.20.8，1.10.3>1.10=1由幂函数的单调性知：0.80.2>0.20.2，所以c>1>b=0.80.2>0.20.2>0.20.8=a>0，又由对数函数的单调性可知：d=lg0.2<lg1=0综上有：c>b>a>d.故选：A7设a=log3π，b=2log32，c=4ln1e，则a，b，c大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b【答案】B【解析】解：因为ln1e<ln1=0，所以0<4ln1e<40=1，即0<c<1，又2log32=log322=log34>log3π> log33=1，即b>a>1，所以b>a>c；故选：B8已知5a=2,b=ln2,c=20.3，则a,b,c的大小关系为()A.a>b>cB.c>b>aC.b>c>aD.c>a>b【答案】B【解析】由5a=2⇒a=log52=log54<log55⇒a<12，由ln e2>ln4>ln e⇒1>b>12，c=20.3>1，所以c>b>a，故选：B9已知a=454.1,b=45 -0.9,c=54 0.1，则这三个数的大小关系为()A.a>c>bB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a【答案】B第2页共31页专业专注专心专业专心专注【解析】b =45-0.9=540.9，因为y =54x在R 上单调递增﹐则b >c >1，又a =454.1<45=1.故b >c >a .故选：B .10若a =225,b =325,c =12 25,d =1325，则a ，b ，c ，d 的大小关系是()A.a >b >c >dB.b >a >d >cC.b >a >c >dD.a >b >d >c【答案】C【解析】解：a =225>20=1,b =325>30=1,c =1225<12=1,d =1325<13=1，另外a b =225325=2325<23=1，则b >acd =12 251325=3225>32=1，则c >d故b >a >c >d 故选：C .11已知a =12-0.8，b =log 1223，c =40.5则a ，b ，c 的大小关系是()A.a <c <bB.a <b <cC.c <b <aD.b <a <c【答案】D 【解析】a =12-0.8=20.8∈1,2 ，b =log 1223=log 232∈0,1 ，c =40.5=2，显然b <a <c ，故选：D12已知3a =2，b =ln2，c =20.3，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >b >cB.c >b >aC.b >c >aD.c >a >b【答案】B【解析】由3a =2可得，a =log 32=ln2ln3，因为ln3>1>ln2>0，所以ln2ln3<ln2<1，又因为c =20.3>20=1，所以c >b >a .故选：B .13已知a =43，b =log 34，c =3-0.1，则a 、b 、c 的大小关系为()A.a >b >cB.c >b >aC.b >a >cD.a >c >b【答案】A 【解析】因为a =43=log 3343，343 3=34=81>43=64，所以log 3343>log 34，即a >b .第3页共31页又因为b=log34>log33=1，c=3-0.1<30=1，即b>c，所以a>b>c.故选：A14设0<x<π2，记a=lnsin x，b=sin x，c=esin x，则比较a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a 【答案】A【解析】因为0<x<π2，所以b=sin x∈0,1，a=lnsin x<0，c=e sin x>1，所以a<b<c，故选：A15若a=2 23，b=323，c=1223，d=13 23，则a，b，c，a的大小关系是()A.a>b>c>dB.b>a>d>cC.b>a>c>dD.a>b>d>c 【答案】C【解析】∵23>0∴幂函数y=x23在0,+∞上单调递增，又∵3>2>12>13>0，∴323>223>1223>13 23，∴b>a>c>d故选：C.16已知a=0.31.7，b=1.70.3，c=log0.31.7，则a，b，c的大小关系为() A.a<c<b B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a【答案】C【解析】解：根据指数函数的性质知，0<0.31.7<0.30=1，1.70.3>1.70=1所以0<a<1<b；根据对数函数的性质知，log0.31.7<log0.31=0，所以c<0；所以a，b，c的大小关系是c<a<b.故选：C.17已知a=log262，b=log3142，c=232，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a【答案】A【解析】解：c=232>20=1，0<a=log262<log22=12，12=log33<log3142=b<1，∴a<b<c.故选：A．18已知a=1.20.5，b=0.51.5，c=22，则这三个数的大小关系为()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a第4页共31页专业专注专心专业专心专注【答案】D【解析】因为a =1.20.5>1.20=1，所以a >1.因为b =0.51.5<0.51=12，所以0<b <12.而c =22，所以12<c <1，故b <c <a .故选D .19已知a =ln22，b =ln33，c =ln55，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <b <cB.a <c <bC.b <a <cD.c <a <b【答案】D【解析】因为a -b =ln22-ln33=3ln2-2ln36=ln8-ln96<0，所以a <b ；又a -c =ln22-ln55=5ln2-2ln510=ln32-ln2510>0，所以a >c ，所以c <a <b .故选：D .20设a =log 20.3,b =log 120.4,c =0.40.3，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <b <cB.c <a <bC.b <c <aD.a <c <b【答案】D【解析】∵log 20.3<log 21=0，∴a <0，∵log 120.4=-log 20.4=log 252>log 22=1，∴b >1，∵0<0.40.3<0.40=1，∴0<c <1，∴a <c <b .故选：D .21若x ∈(e -1,1)，a =ln x ，b =12ln x，c =2ln x ，则a ，b ，c 的大小关系为()A.c >b >aB.b >a >cC.a >b >cD.b >c >a【答案】D【解析】因x ∈(e -1,1)，且函数y =ln x 是增函数，于是-1<a <0；函数y =2x 是增函数，-1<ln x <0<-ln x <1，而12ln x=2-ln x ，则1<12ln x<2，12<2ln x <1，即12<c <1<b <2，综上得：b >c >a 故选：D22已知a =log 32,b =15 35,c =13-23，则a ,b ,c 的大小关系是()A.a <b <cB.b <a <cC.a <c <bD.b <c <a【答案】B【解析】由函数y =log 3x 在0,+∞ 上单调递增，可得12=log 33<log 32=a <1,，由函数y =15x 在R 上单调递减，可得b =15 35<15 12=15<12,由函数y =13 x 在R 上单调递减，可得c =13 -23>13 0=1, 因此b <a <c故选：B 第5页共31页23设a=4323,b=43 34,c=32 34，则a,b,c的大小关系是()A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.b>c>a 【答案】C【解析】因为函数y=43x在R上是增函数，所以43 23<43 34，即a<b，又因为函数y=x34在(0,+∞)上是增函数，所以4334<32 34，所以b<c，故a<b<c.故选：C24已知a=ln12020+20192020，b=ln12021+20202021，c=ln12022+20212022，则a，b，c的大小关系是()A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b 【答案】A【解析】构造函数f x =ln x+1-x，f x =1x-1=1-xx，当0<x<1时，fx >0，f x 单调递增，所以f12020>f12021>f12022，a>b>c.故选：A25已知a=log35,b=1213,c=log1316，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b 【答案】D【解析】c=log1316=log36，因为函数y=log3x在0,∞上单调递增，所以log33=1<a=log35<log36<log1316=c，因为函数y=12x在R上单调递减，所以b=12 13<12 0=1，所以c>a>b故选：D【点睛】思路点睛：指数式、对数式、幂值比较大小问题，思路如下：思路一、对于同底数的幂值或对数式，直接根据指数函数或对数函数的单调性比较大小；思路二、对于不同底数的幂值或对数式，化为同底数的幂值或对数式，再根据思路一进行比较大小；或者找中间量(通常找0和1)进行比较.26已知1<1a<1b,M=a a,N=a b,P=b a，则M,N,P的大小关系正确的为()A.N<M<PB.P<M<NC.M<P<ND.P<N<M 【答案】B【解析】解：∵1<1a<1b，∴0<b<a<1，∴指数函数y=a x在R上单调递减，∴a b>a a，即N>M，又幂函数y=x a在0,+∞上单调递增，∴a a>b a，即M>P，∴N>M>P，第6页共31页专业专注专心专业专心专注故选：B .27已知a =sin3，b =log 3sin3，c =3sin3，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a【答案】C 【解析】因为π2<3<π，所以a =sin3∈0,1 ，b =log 3sin3<log 31=0，c =3sin3>30=1，所以c >a >b .故选：C28设a =315，b =153，c =log 315，则a ，b ，c 的大小关系为().A.b <a <cB.a <c <bC.c <a <bD.c <b <a【答案】D【解析】指数函数y =3x ,y =15x分别是R 上的增函数和减函数，15>0,3>0，则315>30>153>0，对数函数y =log 3x 在(0,+∞)上单调递增，0<15<1，则log 315<log 31=0，所以有315>15 3>log 315，即c <b <a .故选：D 29已知e a =π，2b =3，c =sin2021∘，则a ，b ，c 大小关系为()A.c <a <bB.c <b <aC.a <c <bD.a <b <c【答案】A【解析】由e a =π，得a =lnπ，因为π≈3.14,e ≈2.7128,e e ≈4.48，所以ln e <lnπ<ln e e ，即ln e <a <ln e e ，所以1<a <32，由2b =3，得b =log 23>log 222=32，又c =sin2021∘=sin 5×360∘+221∘ =sin221∘<0，所以c <a <b ，故选：A30已知a =log 53,b =log 169,c =0.3a -2，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a【答案】D【解析】b =log 4232=log 43<log 44=1，所以0<a <b <1，c =0.3a -2=0.3log 53-2=310log 5325=103 log 5253>103 log 55=103>1，所以c >b >a .故选：D31已知a =log 31.5，b =log 0.50.1，c =0.50.2，则a 、b 、c 的大小关系为()A.a <b <cB.a <c <bC.b <c <aD.c <a <b第7页共31页。
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高考《指对幂比较大小》专题
2019年（ ）月（ ）日 班级 姓名
2014—文数—辽宁卷
4.已知01a <<，log 2log 3a a x =+，1
log 52
a y =，log 21log 3a a z =-，则
（ ） A ．x y z >> B ．z y x >>
C ．y x z >>
D ．z x y >>
4．C
2006—文数—天津卷
4. 设)2(log log ,2log ,3log 3232===R Q P
（A ）P Q R <<
（B ）Q R P << （C ）P R Q << （D ）Q P R <<
（4）A
2014—文数—天津卷
4. 设a =log 2π，b =log π，c =π﹣2，则（ ） A ． a ＞b ＞c
B ． b ＞a ＞c
C ． a ＞c ＞b
D ． c ＞b ＞a
【答案】C
【解析】log 2π＞1，log
π＜0，0＜π﹣2＜1，即a ＞1，b ＜0，0＜c ＜1，∴a ＞c ＞b
2009—文数—天津卷
5. 设0.3
113211log 2,log ,3
2a b c ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭，则
A. a b c <<
B.a c b <<
C. b c a <<
D.b a c << 【答案】B
【解析】由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到10,0<<<c a ，而
13log 2>=b ，因此选B 。
2009—理数—全国2卷
7.设32log ,log 3,log 2a b c π===
A. a b c >>
B. a c b >>
C. b a c >>
D. b c a >>
解：
322log 2log 2log 3b c <<>
2233log 3log 2log 3log a b a b c π<=<∴>∴>> .故选A.
2014—理数—全国3卷
6. 已知43
2a =，25
4b =，13
25c =，则（ ）
A ．b a c <<
B ．a b c <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
【答案】A
试题分析：因为4
223
3
5
244a b ==>=，1223
3
3
2554c a ==>=，所以b a c <<，故
选A ．
考点：幂函数的图象与性质．
【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．
2009—文数—全国2卷
7.设2
lg ,(lg ),lg a e b e c ===
（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >> （7）B
2007—理数—全国2卷
8. 以下四个数中的最大者是
(A) (ln2)2 (B) ln(ln2)
(D) ln2
8．D
2003—理数—北京卷
2. 设5.1344.029.01)2
1(,8,4-===y y y ，则 （ ）
A ．y 3> y 1> y 2
B ．y 2> y 1> y 3
C ．y 1> y 2> y 3
D ．y 1> y 3> y 2
2．D
2011—理数—天津卷
7. 已知324log 0.3
log 3.4
log 3.6
15
,5
,,5a b c ⎛⎫=== ⎪
⎝⎭
则
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．a c b >>
D ．c a b >>
【解答】解：∵log 23.4＞1，log 43.6＜1， 又y=5x 是增函数， ∴a ＞b ，
＞
==b
而log 23.4＞log 2＞log 3
，
∴a ＞c
故a ＞c ＞b ． 故选C ．
2010—文数—天津卷
6. （2010•天津）设a =log 54，b =（log 53）2，c =log 45则（ ） A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c
【解答】解：∵a=log 54＜log 55=1，b=（log 53）2＜（log 55）2，c=log 45＞log 44=1， ∴c 最大，排除A 、B ；又因为a 、b ∈（0，1），所以a ＞b ， 故选D ．
2013—理数—全国2卷
8.设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．
A ．c ＞b ＞a
B ．b ＞c ＞a
C ．a ＞c ＞b
D ．a ＞b ＞c
答案：D
解析：根据公式变形，lg 6lg 21lg 3lg 3a =
=+，lg10lg 21lg 5lg 5b ==+，lg14lg 2
1lg 7lg 7
c ==+，因为lg 7＞lg 5＞lg 3，所以lg 2lg 2lg 2
lg 7lg 5lg 3
<<，即c ＜b ＜a .故选D.
2008—理数—全国2卷
4. 若1
3
(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，
，，，则（ ） A ．a <b <c
B ．c <a <b
C ． b <a <c
D ． b <c <a
【答案】C
【解析】取
121
1
2
3
31
ln ln 212ln 1
11
ln 28a x e e x e
b x
c x --
-⎧⎪===-
⎪
⎪
<=<⇒==-⎨⎪⎛⎫⎪==-=- ⎪⎪⎝⎭⎩
，b <a <c
也可以如下解：
1213
31
ln ln 2111ln 0ln 2ln 1
211
ln 28a x e e x x x b x c x --⎧⎪===-
⎪⎪
<<⇒-<<=-⇒==-⎨⎪⎛⎫⎪==-=- ⎪⎪⎝⎭⎩
，取 当然从
1311ln 02ln ln ln e x x x x x
-<<⇒-<<<<，可以严格推导出：比较费
时间。
【高考考点】对数的基本基本运算、比较实数的大小。
【评注】这类问题用特值法是非常容易搞定的，但也有人缺乏数字感觉，不能取到1
(1)e -，
内合适的数，也有人取成12
,x e x e ==导致错误，这就是基础不牢固的表现。
取值时候，应该多试，注意验证，确定取对后再运算。
否则“后”功尽弃。
2011—文数—重庆卷
2. 设a =
，b =
，c =log 3，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．a ＜b ＜c
B ．c ＜b ＜a
C ．b ＜a ＜c
D ．b ＜c ＜a 【解答】解：由对数的运算法则，a=log 32＞c ；排除A 和C ． 因为b=log 23﹣1，c=log 34﹣1=
，
因为32＞23，即3＞
，即有log 23＞log 2=＞，
则（log 23）2＞2，所以log 23＞，所以b ＞c ，排除D
故选B ．
2010—文数—全国1卷
10. 设1
23log 2,ln 2,5a b c -===则
（A ）a b c <<（B ）b c a << (C) c a b << (D) c b a <<
10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析1】 a=3log 2=
21log 3, b=In2=21
log e
,而22log 3log 1e >>,所以a<b, c=12
5-
5
2252log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b. 【解析2】a =3log 2=
321log ,b =ln2=21log e , 3
221log log 2e <<< ，322
11112log log e
<<<； c =1
2
15
2
54-
=
<=，∴c<a<b。