太阳黑子周期分析

太阳黑子周期分析
1：计算太阳黑子周期
1）、选取历年的太阳黑子数据
本次作业选取的是1700—1999年的太阳黑子数据。

将数据导入matlab中，并绘制太阳黑子数随年份变化的关系曲线。

如图1所示。

程序如下:
clear
load sunspot.dat
year =sunspot(:,1);
sunspot =sunspot(:,2);
plot(year(1:300),sunspot(1:300),'b.-');
xlabel ('years'); ylabel('sunspot data');
title('1700—1999年太阳黑子数是随年份变化的关系曲线 ');
grid on
图1、太阳黑子数随年份的变化曲线
2）：利用功率谱密度函数分析周期
1、对已经得到的Wolfer数进行FFT变换分析它的变化规律，并作功率与频率的关系图。

y=fft (sunspot (1:300));
y(1)=[];
n=length(y);
power =abs(y(1:n/2)).^2;
q=1/2;
f= (1:n/2)/(n/2)*q;
plot(f, power);
xlabel('周期/年');title('周期图');
运行结果如图2所示。

图2、太阳黑子的功率谱
为了清楚起见，取功率和频率的前50个分量作它的周期图，程序如下: plot(f(1:50),power(1:50));
xlabel('频率');
运行结果如图3所示。

图3、功率和频率的前50个分量的周期图
2、确定太阳黑子的活动周期，画出功率与周期的关系图。

程序如下：
T=1./f;
plot (T, power);
axis ([0 50 0 7e+6]); %X轴围是0-50，Y轴围是0-7*10^6
xlabel ('周期');ylabel('功率');
grid on
%在功率与周期的关系图上标出功率的最高点，该位置对应的周期即为太阳黑子活动的周期。

程序如下：
hold on
index=find(power==max(power));
m=num2str(T(index));
plot(T(index),power(index),'r.','MarkerSize',25);
text(T(index)+2,power(index),['T=',m]);
hold off
运行结果如图4所示：
图4、太阳黑子周期图
运用功率谱方法计算出太阳黑子的活动周期为T=11.0741，这与Wolfer 得出的11年的周期规律基本一致，说明实验方法是正确的。

2、利用ARMA 模型，预测未来某年的太阳黑子数
1）、建立AR 模型
选用二阶自回归模型AR （2），方程为：
1122t t t t x x x a ϕϕ--=++ 2(0,)t
a a NID σ （1）
采用最小二乘法对参数1ϕ、2ϕ进行估计： 1()T T x x x y ϕ∧
-= （2）
模型残差方差：
2
211223
1()2N a t t t t x x x N σϕϕ--==---∑ （3） 计算参数程序如下： x=zeros(298,2);
for i=2:1:299
x(i-1,1)=sunspot(i);
end
for k=1:1:298
x(k,2)=sunspot(k);
end
y=zeros(298,1);
for t=3:1:300
y(t-2,1)=sunspot(t);
end
A=x';
B=x'*x;
C=inv(B);
D=C*A*y
运行得
D =
1.4867
-0.5981
即 5981
.0-4867.121==ψψ 带入公式（3）解得 364.1380 =ασ
求解程序如下：
syms s
m=0;
s=sunspot (1:300);
for i=3:300;
m=m+(s(i)-1.4867*s(i-1)+0.5981*s(i-2))^2;
end
n=m/298
n =
364.1380
解得 364.1380 =ασ
故得到AR （2）模型方程是：
t t t t a x x x +-=--215981.04867.1
其中 )1380.364,0(~NID a t
2）、用上述AR （2）模型进行检验并预测
Sunspot(1998)=64.3, Sunspot(1999)=93.3, Sunspot(2000)=119.6
利用上述AR （2）模型计算得：
Sunspot(2000)=1.4867*93.3-0.5981*64.3=100.2513
误差率=(119.6-100.2513）/119.6=16.18%;
Sunspot(2004)=40.4, Sunspot(2005)=29.8, Sunspot(2006)=15.2
利用上述AR （2）模型计算得：
Sunspot(2006)=1.4867*29.8-0.5981*40.4=20.1404;
误差率=（15.2-20.1404）/15.2=32.5%
经验证，AR （2）模型对之前所用数据的拟合程度是很好的，但是对后面年份的预测存在一定的误差，有的年份误差偏大，但其实极差并不大，勉强可以预测。