经典力学中功能关系
几何知识在科学研究中起到什么样的作用
几何知识在科学研究中起到什么样的作用在我们探索科学的广袤领域中，几何知识就像一把万能钥匙，能开启一扇又一扇通往未知世界的大门。
它不仅在传统的数学领域中占据着重要地位，更是在众多科学研究的分支中发挥着不可或缺的作用。
从物理学的角度来看，几何知识为我们理解和描述物质世界的基本规律提供了有力的工具。
比如，在研究物体的运动时，我们需要用到直线、曲线、平面等几何概念来精确地描绘物体的轨迹。
牛顿的经典力学中，通过几何图形和数学公式，我们可以清晰地看到力、加速度和位移之间的关系。
而在爱因斯坦的相对论中，时空的弯曲这一概念更是将几何与物理紧密地结合在一起。
时空不再是平坦的，而是像一个弯曲的几何结构，这种对几何的创新性运用彻底改变了我们对宇宙的认识。
在天文学中，几何知识同样有着至关重要的应用。
天文学家通过观测天体的位置和运动，利用几何原理来计算天体之间的距离、角度和轨道。
例如，通过测量恒星的视差，我们可以利用三角几何的知识来确定恒星与我们的距离。
在研究星系的结构和演化时，几何模型帮助我们理解星系的形状、分布和相互作用。
化学领域也离不开几何知识的助力。
分子的结构和化学键的形成可以用几何模型来描述。
比如，我们知道碳原子能够形成多种同素异形体，如金刚石和石墨。
它们的性质之所以截然不同，很大程度上是由于碳原子之间的连接方式和空间排列不同，这正是几何结构的差异所导致的。
在晶体学中，通过对晶体的几何形状和对称性的研究，我们可以推断出晶体内部原子的排列方式，从而深入了解物质的性质和特性。
生物学中同样能看到几何知识的身影。
在细胞生物学中，细胞的形态和细胞器的分布都具有一定的几何规律。
比如，细胞核通常位于细胞的中心位置，这种几何布局有助于细胞核对细胞的整体活动进行有效的调控。
在研究生物大分子如蛋白质和 DNA 时，它们的三维结构对于理解其功能至关重要。
通过运用几何方法，我们可以构建这些分子的模型，从而揭示其工作机制。
在计算机科学中，几何知识在图形处理、计算机视觉和机器人技术等方面发挥着关键作用。
功能关系与机械能守恒定律
功能关系与机械能守恒定律的应用实例
自由落体运动
01
在忽略空气阻力的情况下，物体只受到重力的作用，重力做功
与物体下落距离成正比，机械能守恒。
单摆运动
02
单摆在摆动过程中，重力做功与摆动角度有关，满足功能关系，
同时机械能守恒。
弹性碰撞
03
两个物体发生弹性碰撞时，碰撞过程中能量守恒，满足功能关
系和机械能守恒定律。
机械能守恒定律的证明
01
证明机械能守恒定律可以通过数学推导和实验验证两种方式 进行。
02
在数学推导方面，可以通过拉格朗日函数或哈密顿函数等工 具，利用变分法或微积分等数学方法证明机械能守恒定律。
03
在实验验证方面，可以通过设计实验测量系统在不同状态下 的机械能值，然后比较这些值是否相等来验证机械能守恒定 律。
课程目标
01
理解功能关系的概念及 其在力学中的应用。
02
掌握机械能守恒定律的 原理及其适用条件。
03
能够运用功能关系和机 械能守恒定律解决实际 问题。
04
培养学生对物理现象的观 察、分析和解决问题的能 力，提高科学素养。
02 功能关系
功能定义
功能是指物理系统在 力的作用下所完成的 能量转换或传递的量 度。
机械能守恒定律的表述
1
机械能守恒定律表述为：在一个封闭的系统内， 重力势能、弹性势能和动能之间相互转化，但总 和保持不变。
2
当没有外力做功时，系统的机械能保持不变。
3
机械能守恒定律是经典力学中的基本定律之一， 适用于不受外力或合外力为零的惯性参考系。
机械能守恒定律的适用条件
系统必须是封闭的，即系统内的能量不能向外泄漏。 系统必须不受外力或合外力为零。 系统必须没有其他形式的能量（如热能、电能等）转化为机械能或从机械能转化成其他形式的能量。
两体问题的功能关系及其应用
・
＝
・
一
ｄ １
２ （）． ＋ ｒ］
（） ８
若 ｍ 表示地球的质量 ， ８ 式便表示实验室参照系中 ｍ 的功能方程 ， ： 则（ ） 。 若进一步有 Ｆ非・ ＝ ，则 ０ ｍ 的机械能近似守恒． 但在相对 ｍ 作恒速 运动的５ 参照系中， ｍ 的机械能一般不守恒 ， 除非 ． ０ ： ．
第２ １卷
（ ３ １）
其 中 ｈ为普 朗克 常数 ． １） （３ 式可知 ， 虑 了原 子核 的运动 ， 由（２ 、１ ） 考 在氢 原子 系统 的量子 化 能级 中 ， 用 系 需
统 的约化 质 量 取代 电子 的质量 ｍ ．
４ 讨 论 与 结 论
对两体系统 ， ｍ 参照系中 ， ： 在 ： ｍ 的速度为零， 惯性力 Ｆ惯＝ ２ Ｆ 不做功 ， 因此当 ，非・ ＝ ． ０时， 两体系
Ｋｅ ｒ ｓ ｔ ｏ ｂ ｄ ｙ ｔｍ ； ｒ ｃ ｐ ｅ ｏ ｏ ｋ ａ ｄ ｅ ｅ ｇ ；ｌｗ ｏ ｏ ｓ ｒ ａｉｎ ｏ ｃ ａ ｉａ ｎ ｒ ｙ ｙｗｏ ｄ ： ｗ — ｏ ｙ ｓ ｓｅ ｐ ｉ ｉ ｌ ｆｗ ｒ ｎ ｎ ｒ ｎ ｙ ａ ｆｃ ｎ ｅｖ ｔ ｆ ｏ ｍｅ ｈ ｎｃ ｌｅ ｅ ｇ
ＹＵ Ｒ ｎ － ｕ ｏ ｇ ｈ ａ，ＸＩ ｕ ＡＯ Ｓ
（ ｅａ ｍ ｎ ｆ ｈ ｓ ｓ ｅ ｉ ｎｖｒｔ ｏ Ｔ ｃｎｌｇ ， ｅ ｉ ２ ００ ， ｈｎ ） Ｄ ｐｒ ｅ ｔ ｙｉ ，Ｈ ｆ ｉ ｓｙ ｆ ｅｈｏｏｙ Ｈ ｆ ３０ ９ Ｃ ｉａ ｔ ｏＰ ｃ ｅ Ｕ ｅ ｉ ｅ
３ 两体 问题功能关系在 氢原子 系统 中的应 用
在 心 ，原 体 的 量 表 为Ｅ Ｉ＋ Ｔ ， 质 系中氢 子 系 能 可 示 ： ／ ÷ 一１ Ｚ ２ 二 斗８ ｍ ｍ分 别表示 原 子核 和电子 的质量 ， 、 分别 表示 在 质心 系 中原 子核 和 电子 的速 度 ， 表示 原 子 ， 核 与电子 之 间的相对 距离 ．９ 式 可 以进一 步表示 为 ＝ １ （） 式 中 ＝
大学物理知识点整理
⼤学物理知识点整理⼀、质点：是物体的理想模型。
它只有质量⽽没有⼤⼩。
平动物体可作为质点运动来处理，或物体的形状⼤⼩对物体运动状态的影响可忽略不计是也可近似为质点。
⼆、⼒：是物体间的相互作⽤。
分为接触作⽤与场作⽤。
在经典⼒学中，场作⽤主要为万有引⼒（重⼒），接触作⽤主要为弹性⼒与摩擦⼒。
1、弹性⼒：（为形变量）2、摩擦⼒：摩擦⼒的⽅向永远与相对运动⽅向（或趋势）相反。
固体间的静摩擦⼒：（最⼤值）固体间的滑动摩擦⼒：3、流体阻⼒：或。
4、万有引⼒：特例：在地球引⼒场中，在地球表⾯附近：。
式中R为地球半径，M为地球质量。
在地球上⽅（较⼤），。
在地球内部（），。
三、惯性参考系中的⼒学规律⽜顿三定律⽜顿第⼀定律：时，。
⽜顿第⼀定律阐明了惯性与⼒的概念，定义了惯性系。
⽜顿第⼆定律：普遍形式：；经典形式：（为恒量）⽜顿第三定律：。
⽜顿运动定律是物体低速运动（）时所遵循的动⼒学基本规律，是经典⼒学的基础。
四、⾮惯性参考系中的⼒学规律1、惯性⼒：惯性⼒没有施⼒物体，因此它也不存在反作⽤⼒。
但惯性⼒同样能改变物体相对于参考系的运动状态，这体现了惯性⼒就是参考系的加速度效应。
2、引⼊惯性⼒后，⾮惯性系中⼒学规律：五、求解动⼒学问题的主要步骤恒⼒作⽤下的连接体约束运动：选取研究对象，分析运动趋势，画出隔离体⽰⼒图，列出分量式的运动⽅程。
变⼒作⽤下的单质点运动：分析⼒函数，选取坐标系，列运动⽅程，⽤积分法求解。
第3章机械能和功⼀、功1、功能的定义式：恒⼒的功：变⼒的功：2、保守⼒若某⼒所作的功仅取决于始末位置⽽与经历的路径⽆关，则该⼒称保守⼒。
或满⾜下述关系的⼒称保守⼒：3、⼏种常见的保守⼒的功：（1）重⼒的功：（2）万有引⼒的功：（3）弹性⼒的功：4、功率⼆、势能保守⼒的功只取决于相对位置的改变⽽与路径⽆关。
由相对位置决定系统所具有的能量称之为势能。
1、常见的势能有（1）重⼒势能（2）万有引⼒势能（3）弹性势能2、势能与保守⼒的关系（1）保守⼒的功等于势能的减少（2）保守⼒为势能函数的梯度负值。
大学物理 第1-3章 经典力学部分归纳总结
运用
分
和
dv dv dx dv a= = ⋅ =v dt dx dt dx
3
知识点回顾
第二章 质点动力学
2、牛顿三定律？ 、牛顿三定律？
r ∑Fi = ma
i →
—— 为什么动？ 为什么动？ 力？
功是能量交换或转换的一种度量
v v 2、变力作功 、 元功： 元功： dW = F ⋅ dr = Fds cosθ b b v v b W = ∫ F cosθ ds = ∫ F ⋅ dr = ∫ (Fxdx + Fy dy + Fz dz)
a( L) a( L) a( L)
3、功率 、
v v dW F ⋅ dr v v P= = = F ⋅ v = Fv cosθ dt dt
隔离木块a在水平方向绳子张力t和木块b施于的摩擦力?根据牛顿第二定律列出木块a的运动方程?同样隔离木块b分析它在水平方向受力情况列出它的运动方程为17一个质量为m的梯形物体块置于水平面上另一质量为m的小物块自斜面顶端由静止开始下滑接触面间的摩擦系数均忽略不计图中hh均为已知试求m与m分离时m相对水平面的速度及此时m相对于m的速度
15
•解：以地面为参考系。隔离木块A，在水平方向 解 以地面为参考系。隔离木块 ， 绳子张力T 和木块B施于的摩擦力 绳子张力 和木块 施于的摩擦力
v t2 v v v v v 动量定理： 动量定理： I = ∫ ∑ F dt = ∑ p2 − ∑ p1 = ∑ mv2 − ∑ mv1
t1
v v v v 角动量定理： 角动量定理： M ⋅ dt = dL = d ( r × mv )
39个通用参数
39个通用参数（1）运动物体的重量是指在重力场中运动物体多受到的重力。
如运动物体作用于其支撑或悬挂装置上的力。
（2）静止物体的重量是指在重力场中静止物体所受到的重力。
如静止物体作用于其支撑或悬挂装置上的力。
（3）运动物体的长度是指运动物体的任意线性尺寸，不一定是最长的，都认为是其长度。
（4）静止物体的长度是指静止物体的任意线性尺寸，不一定是最长的，都认为是其长度。
（5）运动物体的面积是指运动物体内部或外部所具有的表面或部分表面的面积。
（6）静止物体的面积是指静止物体内部或外部所具有的表面或部分表面的面积。
（7）运动物体的体积是指运动物体所占有的空间体积。
（8）静止物体的体积是指静止物体所占有的空间体积。
（9）速度是指物体的运动速度、过程或活动与时间之比。
（10）力是指两个系统之间的相互作用。
对于牛顿力学，力等于质量与加速度之积。
在TRIZ 中，力是试图改变物体状态的任何作用。
（11）应力或压力是指单位面积上的力。
（12）形状是指物体外部轮廓或系统的外貌。
（13）结构的稳定性是指系统的完整性及系统组成部分之间的关系。
磨损、化学分解及拆卸都降低稳定性。
（14）强度是指物体抵抗外力作用使之变化的能力。
（15）运动物体作用时间是指物体完成规定动作的时间、服务期。
两次误动作之间的时间也是作用时间的一种度量。
（16）静止物体作用时间是指物体完成规定动作的时间、服务期。
两次误动作之间的时间也是作用时间的一种度量。
（17）温度是指物体或系统所处的热状态，包括其他热参数，如影响改变温度变化速度的热容量。
（18）光照度是指单位面积上的光通量，系统的光照特性，如亮度、光线质量。
（19）运动物体的能量是指能量是物体做功的一种度量。
在经典力学中，能量等于力与距离的乘积。
能量也包括电能、热能及核能等。
（20）静止物体的能量是指能量是物体做功的一种度量。
在经典力学中，能量等于力与距离的乘积。
能量也包括电能、热能及核能等。
（21）功率是指单位时间内所做的功，即利用能量的速度。
动能定理和功能原理
动能定理和功能原理一.教法建议【抛砖引玉】在经典力学中，“动能定理”是“牛顿运动定律”的推论和发展，“功能原理”也是“牛顿运动定律”的进一步推导的结果。
因此我们建议：教师不要把本单元的内容当作新知识灌输给学生，而是引导．．学生运用“牛顿运动定律”对下述的这个匀加速运动问题进行分析和推导，使学生自己获得新知识──“动能定理”和“功能原理”。
具体的教学过程请参考下列四个步骤：第一步：说明物体的运动状态，并导出加速度计算式。
如图5—5所示：物体沿着不光滑的斜面匀加速向上运动，通过A 处时的即时速度为v 0，通过B 处时的即时速度为v t ，由A 处到B 处的位移为S 。
通过提问引导学生根据v t 2－v 02=2as 写出：a v v st =-2022 ① 第二步：画出物体的受力分析图，进行正交分解，说明物体的受力情况。
图5─6是物体的受力分析图（这个图既可以单独画出，也可补画在上图的A 、B 之间），物体受到了重力mg 、斜面支持力N 、动力F 、阻力f 。
由于重力mg 既不平行于斜面，也不垂直于斜面，所以要对它进行正交分解，分解为平行于斜面的下滑分力F 1和垂直于斜面正压力F 2。
然后说明：物体在垂直斜面方向的力N =F 2；物体平行斜面方向的力F ＞f +F 1(否则物体不可能加速上行)，其合力为：F F f F =--∑1 ②第三步：运用牛顿第二定律和①、②两式导出“动能定理”。
若已知物体的质量为m 、所受之合外力为F ∑、产生之加速度为a 。
则根据牛顿第二定律可以写出：F ma ∑= ③将①、②两式代入③式：F f F m v v st --=-12022 导出：Fs fs F s mv mv t --=-12021212④ 若以W 表示外力对物体所做的总功W Fs fs F s =--1 ⑤若以E ko 表示物体通过A 处时的动能，以E kt 表示物体通过B 处时的动能则：E mv kt =1202 ⑥E mv kt t=122 ⑦ 将⑤、⑥、⑦三式代入④式，就导出了课本中的“动能定理”的数学表达形式：W =E kt －E ko若以△E k 表示动能的变化E kt －E ko则可写出“动能定理”的一种简单表达形式：W=△E k它的文字表述是：外力对物体所做的总功等于物体动能的变化。
牛顿运动定律在高中物理中地位与作用
牛顿运动定律在高中物理中地位与作用牛顿运动定律是高中物理动力学的核心知识，是经典力学的基础，是天文学的研究基础，是动能定理和动量定理的推导支柱和研究能量问题的重要手段，是电磁学的研究方法的基石，是热学研究的基础，可以说只要是研究宏观低速，在惯性参考系中运动的一切物体，牛顿运动定律都有着不可撼动的重要地位。
对牛顿运动定律的学习是培养学生建立物理观念的重要的途径，同时引导学生建立科学思维，形成科学探究的方法，培养学生的科学态度与责任。
高中物理动力学是理论力学的一个分支学科，它主要研究作用于物体的力与物体运动的关系。
动力学研究的对象的运动速度远小于光速的宏观物体，高中物理学的动力学分支是大学物理学和天文学的研究基础，也是许多工程学科的研究基础。
作为选拔人才功能的高考，在物理学科的考查中更是对牛顿运动定律加大考查力度，是每一年高考物理的必考的重点知识，指导学生学好牛顿运动定律不仅可以为学生高考服务，更是对学生将来的终生发展奠定坚实的知识基础。
在运动学中我们学习了怎样描述物体的运动，但是没有讨论物体为什么会做这种或那种运动，要揭示物体运动原因，就要研究运动和力的关系。
在物理学中，只研究物体怎样运动而不涉及运动与力的关系的理论，称为运动学；研究运动与力的理论，称做动力学。
运动学是研究动力学的基础，但只有懂得了动力学的知识，才能根据物体所受的力确定物体的位置、速度变化是规律，才能够创造条件来控制物体的运动。
例如运动学只是使我们能够描述天体是怎样运动的，动力学则使我们能够把人造卫星和宇宙飞船送上太空，使人类登上月球，甚至奔向火星。
动力学的奠基者是英国科学家牛顿，他在1687年出版的《自然哲学的数学原理》中提出了三条运动定律，后人把它们总称为牛顿运动定律。
牛顿运动定律确定了力与运动是关系，它们是整个动力学的核心。
关于力与运动的关系，是一个延绵了两千年的问题。
公元前三世纪古希腊著名的哲学家、科学家、教育家亚里士多德认为“物体的运动需要力来维持”，例如马拉车，车才会持续地运动，马停止拉车，车就停止运动，他的观点与人们的生活经验相符合，以至于在此后两千多年的时间里，人们把他的观点奉为经典，没有人怀疑。
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经典力学中功能关系
王燕波1 鲁祥珍2
（1、2云南大学物理科学技术学院物理系）
摘要： 本文在力学参照系中应用经典力学的牛顿运动定律推导出动能定理、势能与功的关系、机械能与功的关系，进而导出力学中机械能守恒定律及机械能守恒的条件。
关键词：惯性参考系；非惯性参考系；功能关系 1、在惯性参考系中的功能关系 1.1、在惯性参考系中的动能定理 牛顿运动定律的微分表达式为
=dv
F m
dt
合 又 21
()2
k dv m
dr d mv dE dt == 所以 dr=dv
F m dr dt
合
即 k =dE dw 合
即：合外力所做的功等于动能的变化量，也就是动能定理的表达式。
1.2、在惯性参考系中的势能
保守力的普遍定义为：沿任意闭合路径做功为零的力均为保守力，如:重力、弹力、电场力、有心力（万有引力）等，其做功与路径无关，只和始末位置有关。
因为保守力做功与路径无关，只与始末位置有关，为此引入势能的概念。
势能p E 是空间位置的函数，始末两点间势能之差定义为
00
p p
p p E -E =F dr p p
dr F '=∙⎰⎰
保保
其中F '保是从初位置到末位置的过程中保守力F 保的抵抗力，其大小关系为
F =-F '保保
所以p dw = - dE 保
即：保守力所做的功等于势能变化量的负值，为了和动能定理相对应，我们不妨称其为势能定理。
1.3、在惯性参考系中的机械能与机械能守恒
系统所受到的力包括保守力和非保守力，即=F +F F 合保非
所以 00w =)()p k p k E E E E +-+非（ 即 dw =dE 非 即：非保守力所作的功等于机械能的变化量。
当=0w 非时
00 E +E =E +E k p k p
即：当物体所受的非保守力之和为零或者非保守力所做功之和为零，即当物只受保守力（重力、弹力、引力、电场力等）时机械能守恒。
2、在非惯性参考系中的功能关系
以上结论均是在惯性参考系下，由牛顿运动定律推导出来的，它们在非惯性参考系中不成立。
但若考虑惯性力后以上结论仍然成立，在非惯性参考系中惯性力分为科氏惯性力c F 和牵连惯性力e F ，e F 可以分为牵连保守惯性力e F 保和牵连非保守惯性力e F 非保，
c F 与速度垂直，不做功，e F 保做功为惯性势能增量的负值。
2.1、非惯性系中的动能定理
e k F +F dr=dE 合（），
即：动能变化量等于合外力、内力、牵连惯性力做功的和。
2.2、非惯性系中的势能
e e dw =d w +w =(F +F dr= - d )p ep E + 保保外保保保（））（E
即:系统的势能和惯性势能增量的负值等于保守外力、牵连保守惯性力做功的和。
2.3、非惯性系中的机械能、机械能守恒
在非惯性参考系中系统的机械能为动能、势能、惯性势能之和，则
e dr+F dr=()k p ep F d E E E ++ 非保非保
即：系统的机械能的变化量等于非保守外力所作的功和牵连非保守惯性力做功之和。
若dr=0F 非保，e F dr=0
非保，则()=0k p ep d E E E ++ 即：若非保守力不做功、牵连非保守惯性力也不做功时系统机械能守恒。
主要参考文献
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[4] 赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程—力学（第二版）[M].高等教育出版社，2004. [5] 郑永令、贾启民．力学．第二版．北京：高等教育出版社，1999.。