【高考数学】《函数切线问题》微专题
函数的切线问题典例精讲
函数的切线问题典例精讲例1：求函数()()32xf x ex =-在1x =处的切线方程思路：本题切点已知，代入原函数求得函数值，代入导函数中求得切线斜率，进而利用点斜式求出切线方程解：()1f e=∴切点坐标为()1,e ()()()'33231x x x f x e x e x e =+-=+()'14f e∴=∴切线方程为：()4143y e e x y ex e-=-⇒=-例2：已知函数()ln 2f x x x =+，则：（1）在曲线()f x 上是否存在一点，在该点处的切线与直线420x y --=平行（2）在曲线()f x 上是否存在一点，在该点处的切线与直线30x y --=垂直解：（1）思路：切点未知，考虑设切点坐标为()00,x y ，再利用平行条件求出0x ，进而求出切线方程设切点坐标为()00,x y ()'0012f x x ∴=+由切线与420x y --=平行可得：()'00011242f x x x =+=⇒=011ln 122y f ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭∴切线方程为：11ln 244ln 212y x y x ⎛⎫-+=-⇒=-- ⎪⎝⎭（2）思路：与（1）类似，切点未知，考虑设切点坐标为()00,x y ，有垂直关系可得切线斜率与已知直线斜率互为负倒数，列出方程求出0x ，进而求出切线方程设切点坐标()00,x y ()'0012f x x ∴=+，直线30x y --=的斜率为1()'00011213f x x x ∴=+=-⇒=-而()00,x ∈+∞013x ∴=-不在定义域中，舍去∴不存在一点，使得该点处的切线与直线30x y --=垂直例3：函数()2ln f x a x bx =-上一点()()2,2P f 处的切线方程为32ln 22y x =-++，求,a b 的值思路：本题中求,a b 的值，考虑寻找两个等量条件进行求解，P 在直线32ln 22y x =-++上，322ln 222ln 24y ∴=-⋅++=-，即()2=2ln24f -，得到,a b 的一个等量关系，在从切线斜率中得到2x =的导数值，进而得到,a b 的另一个等量关系，从而求出,a b 解：P 在32ln 22y x =-++上，()2322ln 222ln 24f ∴=-⋅++=-()2ln 242ln 24f a b ∴=-=-又因为P 处的切线斜率为3-()'2af x bx x=-()'2432af b ∴=-=-ln 242ln 2421432a b a a b b -=-⎧=⎧⎪∴⇒⎨⎨=-=-⎩⎪⎩例4：曲线xy e =在点()22,e处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A.2eB.22eC.24eD.22e 思路：()'xf x e =由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出切线方程()'22fe ∴=所以切线方程为：()222y e e x -=-即220e x y e --=，与两坐标轴的交点坐标为()()21,00,e -221122e S e ∴=⨯⨯=答案：D例5：一点P 在曲线323y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是()．A.0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C.3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来。
函数的切线问题微专题
x0
抓住关键：
y0 k
f (x0 ) f (x0 )
；
3．过点 A(x1, y1) 的切线方程：设切点为 P(x0 , y0 ) ，则斜率 k f (x0 ) ，过切点的切线方程为： ∵过点 A(x1, y1) ，∴ y1 y0 f (x0 )(x1 x0 ) 然后解出 x0 的值．（ x0 有几个值，就有几条切线，三次函数多解）
函数的切线问题微专题
第一讲 函数切线及其应用
1．导数的几何意义:
函数 f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义就是曲线 y f (x) 在点 (x0 , f (x)) 处的切线的斜率．注：（ k f x tan ）
2．在点
A(x0 ,
y0 ) 处的切线方程：
y
f
(x0 )
f
(x0 ) x
A． (5 , 4)
B． (5 , 0)
C． (4 , 0)
D． (5 , 3]
【解析】法一： f x x3 3x2 ,则 f x 3x2 6x ，设切点为 x0 , x03 3x02 ,则 f x0 3x02 6x0 ．
∴过切点处的切线方程为 y x03 3x02 3x02 6x0 x x0 ，把点 2 ，n 代入得：
e2－2x，则 y′＝2＋2e2－2x>0.∵x＝1 时，y＝0，∴x0＝1.故选 A.
[答案] A
【例 1.3】设点 P 是曲线 y x3 3x 3 上的任意一点，点 P 处切线的倾斜角为 ，则角 的范围是（ ） 5
A．
0
，2 3
B．
0
，
2
2 3
，
C．
2
，2 3
D．
3
，2 3
高考数学讲义微专题14函数的切线问题(含详细解析)
()()(x + ∆x ) - x微专题 14 函数的切线问题一、基础知识：（一）与切线相关的定义1、切线的定义：在曲线的某点 A 附近取点 B ，并使 B 沿曲线不断接近 A 。
这样直线 AB 的极限位置就是曲线在点 A 的切线。
（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点 A 附近的点向 A 不断接近，当与 A 距离非常小时，观察直线 AB 是否稳定在一个位置上（2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。
例如函数 y = x 3在(-1,-1) 处的切线，与曲线有两个公共点。
（3）在定义中，点 B 不断接近 A 包含两个方向，A 点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线 AB 的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点 A 处的切线。
对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。
例如y = x 在 (0,0) 处，通过观察图像可知，当 x = 0 左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为 y = - x ，而当 x = 0 右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为 y = x ，两个不同的方向极限位置不相同，故 y = x在 (0,0) 处不含切线（4）由于点 B 沿函数曲线不断向 A 接近，所以若 f (x )在 A 处有切线，那么必须在 A 点及其附近有定义（包括左边与右边）2、切线与导数：设函数 y = f (x ) 上点 A (x , f (x 0 0B (x + ∆x, f (x + ∆x ))，则割线 AB 斜率为：)), f (x )在 A 附近有定义且附近的点k0 00 0=f (x + ∆x ) - f (x )0 0∆x当 B 无限接近 A 时，即 ∆x 接近于零，∴ 直线 AB 到达极限位置时的斜率表示为：k = lim∆x →0f (x + ∆x ) - f (x )0 0∆x,即切线斜率，由导数定义可知：k=lim∆x→0f(x+∆x)-f(x)00∆x=f'(x)。
函数切线问题的解法探究
函数切线问题的解法探究一、导数的几何意义对于函数f(x)，在其中一点x=a处的导数f'(a)表示函数在该点的切线斜率。
也就是说，如果在点a处存在切线，那么切线的斜率就是函数在该点的导数。
我们知道，切线是曲线在该点附近的一条直线，具有与曲线相切的性质。
通过求函数在其中一点的导数，我们可以得到该点处的切线斜率，从而确定切线的位置。
根据导数的定义公式f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)]/h，我们可以求得函数在任意一点的导数。
二、切线问题的解决步骤解决函数切线问题的一般步骤如下：1.求函数的导数首先，我们需要求得给定函数f(x)的导数f'(x)。
导数的计算可以通过直接求解导数的定义公式，或者运用导数的性质（如常数因子法则、和法则、差法则、乘积法则、商法则等）来求解。
这一步是解决函数切线问题的关键，因为只有求得导数，才能确定函数在特定点的切线斜率。
2.确定切点找到切线的第一步是确定切点的坐标。
通常，切点的x坐标可以从题目中给出，然后我们可以利用这个值来求出切点的y坐标。
计算切线的切点坐标可以帮助我们更好地理解切线的位置。
3.求切线方程已知切点和切线的斜率，我们可以通过切线的斜截式方程来求出切线的方程。
切线的斜率已经通过导数得到，我们可以用导数的值代入斜截式方程的斜率，再代入切点的坐标，即可得到切线方程。
4.分析问题得到切线方程之后，我们可以通过与给定的函数对比分析切线的性质。
比如，两条曲线在切点处的斜率是否相等，两条曲线在切点处是否相切等问题。
这些问题可以通过切线方程和给定函数的关系来解决。
总之，函数切线问题是高中数学中重要的一部分，它通过导数的几何意义和性质来帮助我们解决函数与曲线的关系问题。
我们需要掌握导数的定义和导数的计算方法，熟练掌握运用导数的性质，才能解决函数切线问题。
高中数学高考中三次函数图象的切线问题
高中数学高考中三次函数图象的切线问题三次函数的切线蕴含着许多美妙的性质，三次函数的切线蕴含着许多美妙的性质，用导数方法探求切线的性质，用导数方法探求切线的性质，用导数方法探求切线的性质，为分为分析问题和解决问题提供了新的视角、析问题和解决问题提供了新的视角、新的方法，新的方法，新的方法，不仅方便实用，不仅方便实用，不仅方便实用，而且三次函数的而且三次函数的切线性质变得十分明朗切线性质变得十分明朗..纵览近几年高考数学试题，三次函数的切线问题频频出现，本文给出三次函数切线的三个基本问题现，本文给出三次函数切线的三个基本问题. .一、已知斜率为k 与三次函数图象相切的切线三次函数)0()(23¹+++=a d cx bx ax x f1、0>a ,斜率ab ac k 332-=时，有且只有一条切线；a b ac k 332->时，有两条不同的切线；ab ac k 332-<时，没有切线；2、0<a ,斜率ab ac k 332-=时，有且只有一条切线；a b ac k 332-<时，有两条不同的切线；ab ac k 332->时，没有切线；证明证明 c bx ax x f ++=23)(2/1、 0>a 当a b x 3-=时，.33)(2min /a b ac x f -=\ 当当ab ac k 332-= 时，方程ab ac c bx ax 332322-=++有两个相同解，所以斜率为k 的切线有且只有一条；其方程为：).3(33)3(2ab x a b ac a bf y +-=--当当a b ac k 332->时，方程k c bx ax =++232，有两个不同的解21,x x ，且21x x +=-a b 32-，即存在两个不同的切点))(,()),(,(2211x f x x f x ，且两个切点关于三次函数图象对称中心对称。
所以斜率为k 的切线有两条。
高中数学微重点02 函数的公切线问题(4大考点+强化训练)(习题版)
微重点02函数的公切线问题（4大考点+强化训练）函数的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养．【知识导图】【考点分析】考点一：求两函数的公切线规律方法求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．【例1】已知抛物线21:2C y x x =+和22:C y x a =-+，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．(1)a 取什么值时，1C 和2C 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(2)若1C 和2C 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．考点二：与公切线有关的求值问题规律方法利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程．【例2】（2024下·重庆·高三重庆一中校考开学考试）已知()e sin x f x x =+，()ln(1)1g x a x =+-．(1)若()f x 在(0,(0))f 处的切线也与()g x 的图象相切，求a 的值；(2)若()()0f x g x +≥在(1,)∈-+∞x 恒成立，求a 的取值集合．【变式】设0t ≠，点(),0P t 是函数()3f x x ax =+与2()g x bx c =+的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．(1)用t 表示a ，b ，c ；(2)若函数()()y f x g x =-在()1,3-上单调递减，求t 的取值范围．考点三：判断公切线条数规律方法运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况．【例3】曲线C 1：x y e =与曲线C 2：y ＝ln x 公切线的条数是。
2021届高考数学二轮复习高频考点14 函数的切线问题(解析版)
微专题十四 函数的切线问题一、基础知识： （一）与切线相关的定义1、切线的定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A 。
这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线。
（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A 附近的点向A 不断接近，当与A 距离非常小时，观察直线AB 是否稳定在一个位置上（2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。
例如函数3y x =在()1,1--处的切线，与曲线有两个公共点。
（3）在定义中，点B 不断接近A 包含两个方向，A 点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB 的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点A 处的切线。
对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。
例如y x =在()0,0处，通过观察图像可知，当0x =左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =-，而当0x =右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =，两个不同的方向极限位置不相同，故y x =在()0,0处不含切线（4）由于点B 沿函数曲线不断向A 接近，所以若()f x 在A 处有切线，那么必须在A 点及其附近有定义（包括左边与右边）2、切线与导数：设函数()y f x =上点()()00,,A x f x ()f x 在A 附近有定义且附近的点()()00,B x x f x x +∆+∆，则割线AB 斜率为：()()()()()000000AB f x x f x f x x f x k x x x x +∆-+∆-==+∆-∆ 当B 无限接近A 时，即x ∆接近于零，∴直线AB 到达极限位置时的斜率表示为：()()000limx f x x f x k x∆→+∆-=∆,即切线斜率，由导数定义可知：()()()'0000limx f x x f x k f x x∆→+∆-==∆。
2022三轮复习微专题：7.2 函数切线与函数构造
7.2 函数切线与函数构造一、考情分析1．高考对函数切线的考察有两大分类，一种情况是以切线放缩、函数构造的形式考察，难度很大，多集中在压轴题的位置出现，如T11、T12；另一种情况是以切线几何意义的形式考察，难度中档偏下，多集中在主观题中出现，如T20(1)、T21(1)． 2．此部分内容以多与方程、不等式融合命题． 二、考点整合1．切线方程的三种类型、方法：（1）已知点00(,)P x y （在曲线上是切点），求()y f x =在点P 处的切线方程；（2）已知点00(,)P x y （在切线上不是切点），求()y f x =过点P 的切线方程，此时需要另外设出切点；（3）已知切线的斜率为k ，求()y f x =的切线方程，需要设出切点，并求出切点，在写出方程． 2．切线放缩：（1）一般是指由ln 1x x ≤−所引发的放缩，常见变形有：ln(1)x x +≤、ln x x e≤、1ln 1x x ≥−（ln 1x x x ≥−）、2ln x x x ≤−（ln 1x x x ≤−）、21ln (1)2x x ≤−、1xe x ≥+、24x e e x x ≥；（2）其中的切线方程注意其位置关系，弄清是哪个曲线的切线，y x =、1y x =−、1y x =+、xy e=、24e y x =．3．函数构造：（1）“加”、“减”关系式公式构造法；（2）作差构造法；（3）换元构造法；（4）分离（分参和函数重构）构造法；（5）朗博同构构造法；三、真题赏析例1 (2018·全国Ⅰ理5)设函数32()(1)f x x a x ax =+−+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为( )DA ．2y x =−B ．y x =−C ．2y x =D ．y x = 例2 (2018·全国Ⅱ理13)曲线2ln(1)y x +在点(0,0)处的切线方程为__________．2y x = 例3 (2019·全国Ⅰ理13)曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．3y x =例4 (2020·全国新课标Ⅰ理6)函数43()2f xx x =−的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为( )BA. 21y x =−− B. 21y x =−+ C. 23y x =− D. 21y x =+ 例5 (2020·全国新课标Ⅰ理12)若242log 42log a b a b +=+，则( )BA. 2a b >B. 2a b <C. 2a b >D. 2a b <【提示】222242222log 42log 2log 2log 22log 1a b b b b a b b b b +=+=+<+=++，构造2()2log x f x x =+． 例6 (2020·全国新课标Ⅱ理11)若2233x y x y −−−<−，则( )A A ．(1)0ln y x −+> B ．(1)0ln y x −+< C ．||0ln x y −> D ．||0ln x y −<【提示】构造()23x x f x −=−．例7 (2020·全国新课标Ⅲ理12)已知5458<，45138<．设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则( )AA ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【提示】从比较大小的基本方法，作差法或作商法入手，结合均值不等式放缩，以及题干条件即可．例8 (2021·全国甲卷理13)曲线212x y x −=+在点(1,3)−−处的切线方程为__________．520x y −+=例9 (2021·全国乙卷理12)设2 1.01a ln =， 1.02b ln =，1c −，则( )BA ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b << 【提示】构造()2(1)1)f x ln x =+−，()(12)1)h x ln x =+−−，01x <<． 解法一：2 1.01 1.0201a ln ln == ， 1.02b ln =，a b ∴>，令()2(1)1)f x ln x =+−−，01x <<，t =，则1t <<214t x −∴=， 223()2()12(3)1244t g t ln t ln t t ln +∴=−+=+−+−， 2222443(1)(3)()10333t t t t t g t t t t −−−−∴′=−==−>+++，()g t ∴在上单调递增， ()g t g ∴>（1）241240ln ln =−+=，()0f x ∴>，a c ∴>， 同理令()(12)1)h x ln x =+−−，t =，则1t <214t x −∴=， 221()()1(1)122t t ln t ln t t ln ϕ+∴=−+=+−+−， 2222(1)()1011tt t t t ϕ−−∴′=−=<++，()t ϕ∴在上单调递减，()t ϕϕ∴<（1）21120ln ln =−+−=，()0h x ∴<，c b ∴>，a c b ∴>>．解法二：由2 1.01 1.0201a ln ln ==> 1.02b ln =，则排除AD,结合选项BC ，只需判断a,c 的大小，设()2ln(1)1f x x =++，∴()1)f x x ′<<，又22(1)2(2)0x x x x x −+=−=−>1x >+，∴()0f x ′>，∴()f x 在(0,1)上单增，∴(0.01)(0)0f f >=，∴2ln1.011>−，∴a c >，故选B ．例10 (2021·新高考Ⅰ卷理7)若过点(,)a b 可以作曲线x y e =的两条切线，则( )DA ．b e a <B ．a e b <C ．0b a e <<D ．0a b e <<【解析】：函数x y e =是增函数，0x y e ′=>恒成立，函数的图象如图，0y >，即取得坐标在x 轴上方， 如果(,)a b 在x 轴下方，连线的斜率小于0，不成立． 点(,)a b 在x 轴或下方时，只有一条切线． 如果(,)a b 在曲线上，只有一条切线； (,)a b 在曲线上侧，没有切线；由图象可知(,)a b 在图象的下方，并且在x 轴上方时， 有两条切线，可知0a b e <<．故选：D ．例11 (2021·新高考Ⅱ卷理16)已知12()|1|,0,0x f x e x x <=>−，函数()f x 的图象在点11(,())A x f x 和点22(,())B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______．(0,1)【提示】由导数几何意义得120x x +=，结合直线得A M =解法一：由题意，()1011,0,xx x e x f x e e x <= −−−≥ =，则()0,,0x x x f x e e x − =<> ′ ，所以点()11,1x A x e −和点()22,1xB x e −，12,x x AM BN k e k e =−=, 所以12121,0x xe e x x −⋅=−+=，所以()()111111,0:,11xx x x e e x x e AM e y M x −+=−−−+， 所以AM = 同理B N =所以()10,1x e NAMB =∈=. 故答案为：0,1解法二：由题()e 1,0e 1,0x x xf x x −> = −+< ，得()e ,0e ,0x x x f x x > ′= −<，故1e xAM k =−，2e x AN k =，又121e x x AM AN AM AN k k +⊥⇒⋅==−−，得120x x +=， 如图易得AEM BFN △△ ，且有BF OE =， 所以tan AMAE AEAOE BNBFOE===∠， 而00tan =1e AOE <∠<，所以(0,1)AM BN∈．故填：(0,1)．例12 (2018·全国Ⅰ理21)已知函数1()ln f x x a x x=−+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x −<−−．例12 (2018·全国Ⅰ理21)【提示】构造函数1()2ln g x x x x=−+. 【解析】：（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.因为22211()1a x ax f x x x x −+′=−−+=−，由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax −+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >. 由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x −−−−=−−+=−+=−+−−−−，所以1212()()2f x f x a x x −<−−等价于22212ln 0x x x −+<.设1()2ln g x x x x=−+，由（1）知()g x 在(0,)+∞单调递减， 又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <. 所以22212ln 0x x x −+<，即1212()()2f x f x a x x −<−−.例13 (2019·全国Ⅱ理20)已知函数()11ln x f x x x −=−+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e x y =的切线. 例13 (2019·全国Ⅱ理20)【提示】考察导数几何意义，要会利用导数求曲线的切线.【解析】：（2）因为0ln 01e x x −=，故点B （–ln x 0，01x ）在曲线y =e x 上． 由题设知0()0f x =，即0001ln 1x x x +=−， 故直线AB 的斜率00000000000111ln 111ln 1x x x x x kx x x x x x +−−−==+−−−−−． 曲线y =e x 在点001(ln ,)B x x −处切线的斜率是01x ， 曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处切线的斜率也是1x ， 所以曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线y =e x 的切线．例14 (2020·全国新课标Ⅰ理21)已知函数2()x f x e ax x =+−． （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，31()12f x x ≥+，求a 的取值范围．例14 (2020·全国新课标Ⅰ理21)【提示】本题分参构造函数和作差构造函数均可，但方便分离参数时，一般考虑“分参构造函数”.【解析】：（2）解法一：（分离参数法）当0x ≥时，31()12f x x ≥+恒成立，①当0x =时，不等式恒成立，可得a R ∈；②当0x >时，可得32112xx x e a x++−≥恒成立， 设32112()xx x e h x x ++−=，则231(2)(1)2()x x e x x h x x −−−−′=， 可设21()12x m x e x x =−−−，可得()1x m x e x ′=−−，()1x m x e ′′=−，由0x ≥，可得''()0m x ≥恒成立，可得()m x ′在(0,)+∞递增， 所以()(0)0min m x m ′=′=，即'()0m x ≥恒成立，即()m x 在(0,)+∞递增，所以()(0)0min m x m ==， 再令()0h x ′=，可得2x =，当02x <<时，()0h x ′>，()h x 在(0,2)递增； 2x >时，()0h x ′<，()h x 在(2,)+∞递减，所以()maxh x h =（2）274e −=，所以274e a −≥，综上可得a 的取值范围是27[4e −，)+∞．解法二：（作差直接构造函数）2311,2x e ax x x +−≥+即231--102x e ax x x +−≥令()231--12x g x e ax x x =+−()()()2321-2-3-3=2x x x g x e ax x g x e a x g x e ′′′′′′=+−=+=，，0，=ln 3x ，()g x ′′在()-ln 3∞，单调递减，在()ln 3,+∞单调递增，()g x ′′在x ln 3=取得最小值 ()ln 33ln 32g a ′′=−+3故当3ln 3-32a ≥时，()0g x ′′≥恒成立，所以()()0=0g x g ′′≥， 于是()()g 00g x ≥=成立。
专题01 利用导函数研究函数的切线问题(原卷版)-2024年高考数学复习解答题解题思路训练
专题01利用导函数研究函数的切线问题(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍.......................................................1二、典型题型.......................................................3题型一：在型求切线方程..........................................3题型二：过型求切线方程..........................................3题型三：已知切线斜率求参数......................................3题型四：确定过一点可以做切线条数................................4题型五：已知切线条数求参数......................................4题型六：距离问题转化为相切问题..................................5题型七：公切线问题..............................................5三、专项训练. (6)一、必备秘籍1、切线的斜率：函数()y f x =在点0x x =处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率k ，即0()k f x '=.2、曲线的切线问题（基础题）（1）在型求切线方程已知：函数)(x f 的解析式.计算：函数)(x f 在0x x =或者))(,(00x f x 处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标)(0x f （方法：把0x x =代入原函数)(x f 中），切点))(,(00x f x .第二步：计算切线斜率'()k f x =.第三步：计算切线方程.切线过切点))(,(00x f x ，切线斜率)('0x f k =。
函数的切线问题专题
函数切线与导数1．已知函数()()2ln 222+--=x x x x x f ，则函数()x f y =在点()()1,1f 处的切线方程为 ．2．已知函数()2ln bx x a x f -=上一点()()2,2f P 处的切线方程为22ln 23++-=x y 则=a =b ．3．若曲线x ey -=上点P 处的切线平行于直线012=++y x ，则点P 的坐标为 ． 4．已知函数()323+-=x x x f 上一动点P ，则函数()x f y =在点P 处的切线的倾斜角的取值范围为 ．5．已知函数()()01923<---=a x ax x x f ，若函数()x f y =的斜率最小的切线与直线0612=-+y x 平行，则=a ．6．直线1+=kx y 与曲线()b ax x x f ++=3切于点()3,1，则=b ．7．已知直线1-+=a ex y 为曲线()x xe xf x ln 1++=的切线，则=a ． 8．过点()8,2A 作函数()3x x f =的切线，则切线方程为 ．9．已知直线1-=ax y为曲线x y ln =的切线，则=a ． 10．已知曲线x x y ln +=在点()1,1处的切线与曲线()122+++=x a ax y 相切，则=a ．11．设函数()()()2,0ln x x g a bx x a x f =>+=，且满足()()()()11,11g f g f '='=，若存在实数m k ,使得()()m kx x g m kx x f +≥+≤,成立，则=k =m ． 12．过点()0,1的直线与曲线9415,23-+==x ax y x y 均相切，则=a ． 13．已知函数()x x x f 323-=，若果过点()t P ,1存在三条直线与曲线()x f 相切，则实数t 的取值范围为 ．14．若曲线x ae y x y ==与曲线2存在公切线，则a 的取值范围为 ．设函数()()3,ln 23--=+=x x x g x x xa x f （1）讨论函数()()xx f x h =的单调性 （2）如果对任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21,t s 都有()()t g s f ≥成立。
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很 明 显 切 点 横 坐 标 位 于 区 间 0,1 内 ， 此 时 ，
g x lgx, g ' x 1 ，
xln10
由 g ' x 1 可 得 ： x 1 lge ， 则 切 点 坐 标 为 ：
ln10
lge, lg lge ，
切线方程为： y lglge x lge ，令 x 0 可得纵截距为： lge lglge ，
3
或 [0 , ) （ 为第一象限角）．
2
【练习 1】(2018·全国卷Ⅰ)设函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若 f(x)为奇函数，则曲线 y
＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )
A．y＝－2x
B．y＝－x
C．y＝2x
D．y＝x
解析：选 D 法一：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，
综上可得：则直线 AP 斜率的取值范围为1, ．
【练习 3】已知函数 f(x)＝xln x 在点 P(x0，f(x0))处的切线与直线 x＋y＝0 垂直，则切 点 P(x0，f(x0))的坐标为________．
[解析] ∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1，由题意得 f′(x0)·(－1)＝－1，即 f′(x0)＝1，
．又当直线 y ax 经过点 B
e2 , 2
时，有 2 a e2 ，解得 a
2 e2
．结合图象可
得当直线
y
ax
与函数
f
x
lnx
的图象有
3
个交点时，实数
a
的取值范围是
2 e2
,
1 e
．即
函数
g x
f
x
ax 在区间 0,e2
上有三个零点时，实数
a
的取值范围是
2 e2
,1 e
．故选
D
．
图 1 所示）．当 x 1时， f x lnx ．由 y lnx 得 y 1 ．设过原点的直线 y ax 与函数 y lnx
x
的图象切于点
A
x0
,
lnx0
，则有
lnx0 a
1 x0
ax0
，解得
x0
e
a
1 e
．所以当直线 y ax 与函数 y ln x 的
图象切时 a 1 e
根（左图）
令 g x 2x3 9x2 12x ，
则 g x 6x2 18x 12 6 x 1x 2 ，
∴当 x ，1 2 ，+ 时, g x 0 ；当 x 1，2 时, g x 0 ，
∴ g x 的单调增区间为 ，1 和 2，+ ；单调减区间为 1，2 ．
∴当 x 1时, g x 有极大值为 g 1 5 ；
g e3 e3 10 0 ，所以 e2 m e3 ，所以切线斜率 2 lnm 的取值范围为 4,5 ，
所以整数 k 的最大值为 4 ，故选 B ．
【练习】已知 a,b 为正实数，直线 y x a 与曲线 y ln x b 相切，则 a2 的取值范围
2b
为
．
f ' x lnx 2ax 1有两个零点，等价于函数 y lnx 与 y 2ax 1 的图象有两个交点，在同
一坐标系中作出它们的图象（如图），当 a 1 时，直线 y 2ax 1 与 y lnx 的图象相
2
切，由图可知，当 0 a 1 时， y lnx 与 y 2ax 1的图象有两个交点，则实数 a 的取
3 2
x 1 2x
3
0,
3
,
2
．
考点 2 切线条数问题
3
【例 2】过点 Am,m 与曲线 f x x ln x 相切的直线有且只有两条，则 m 的取值范围是
（）
A． ，e
B． e，+
C．
0
，1 e
D． 1，+
【解析】设切点为 x0 ，y0 , f x ln x 1 ,所以切线方程为: y x0 ln x0 ln x0 1x x0 ,代入
A． 3
B． 4
C． 5
D． 6
6
【解析】设直线 y k x 2 与曲线 y f x 相切时的切点为 m, f m ，此时
f
m 0
m2
f
'm
，
即 m mlnm 2 lnm ，化简得 m 4 2lnm 0 ，设 g m m 4 2lnm 0 ，因为 g e2 e2 8 0 ， m2
选 A.
[答案] A
【例 1.3】设点 P 是曲线 y x3 3x 3 上的任意一点，点 P 处切线的倾斜角为 ，则角
5
的范围是（ ）
A．
0
，2 3
B．
0
， 2
2 3
，
C．
2
，2 3
D．
3
，2 3
【解析】 f x 3x2 3 tan， 3x2 3 3，tan 3，2 （ 为第二象限角）
【高中数学】
《函数的切线问题》微专题
第一讲 函数切线及其应用
1．导数的几何意义:
函数 f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义就是曲线 y f (x) 在点 (x0 , f (x)) 处的切线的斜
率．注：（ k f x tan ）
2．在点
A(x0 ,
y0) 处的切线方程：
y
f
(x0 )
f
(x0 ) x
x0
抓住关键：
y0 k
f
f (x0 (x0
) )
；
3．过点 A(x1, y1) 的切线方程：设切点为 P(x0, y0 ) ，则斜率 k f (x0 ) ，过切点的切线方程
为：
∵过点 A(x1, y1) ，∴ y1 y0 f (x0 )(x1 x0 ) 然后解出 x0 的值．（ x0 有几个值，就有几条切线， 三次函数多解）
∴过切点处的切线方程为 y x03 3x02 3x02 6x0 x x0 ，把点 2 ，n 代入得：
n x03 3x02 3x02 6x0 2 x0 ．整理得： 2x03 9x02 12x0 n 0 ．
若过点 2 ，n 可作三条直线与曲线 y f x 相切,则方程 2x03 9x02 12x0 n 0 有三个不同
又 f x 是偶函数， 曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程与曲线 y f x 在点
1, f 1 处的切线方程关于 y 轴对称，为 y 1 x 1 ，故答案为 y 1 x 1 ．
e
e
【例 1.2】(2019·柳州一模)已知函数 f(x)＝e2x－1，直线 l 过点(0，－e)且与曲线 y＝f(x)
Am,m , 得 m x0 ln x0 ln x0 1m x0 , 即 这 个 关 于 x0 的 方 程 有 两 个 解 ． 化 简 方 程 为
x0
m ln
x0
,即
1 m
ln x0 x0
,
令
g
x
ln x x
x
0
,
g
x
1
ln x2
x
,
g
x
在
0
，e
上单调递增,在
e
，
上单调递减,
g e 1 , x , g x 0 ， g 1 0 ,所以 0 1 1 ,所以 m e ．故选 B．
∴ln x0＋1＝1，ln x0＝0，∴x0＝1，∴f(x0)＝0，即 P(1,0)．
[答案] (1,0)
【练习 4】设 P 是函数 y x x 1 图象上异于原点的动点，且该图象在点 P 处的切线
的倾斜角为 ，则 的取值范围是
．
【解析】由题意知 y 3
2
x 1 tan 3
2x
2
x 1 2 2x
相切，则切点的横坐标为( )
A．1
B．－1
C．2
D．e－1
1
[解析] 设切点为(x0，e2x0－1)，∵f′(x)＝2e2x－1，∴2e2x0－1＝e2x0－1＋e，化简得 2x0 x0
－1＝e2－2x0.令 y＝2x－1－e2－2x，则 y′＝2＋2e2－2x>0.∵x＝1 时，y＝0，∴x0＝1.故
【练习】对任意的 x 0 ，总有 f x a x lgx 0 ，则 a 的取值范围是（ ）
A． ，lge lg lge
B． ，1
C． 1，lge lg lge
D． lge lg lge，
【解析】原问题即 lgx x a 在区间 0, 上恒成立，考查临界情况，
即函数 g x lgx 与 h x x a 相切时的情形，如图，
当 x 2 时, g x 有极小值为g 2 4 ．由4 n 5 ，得5 n 4 ．
∴实数 n 的取值范围是5， 4 ．故选 A ．
4
法二： f x x3 3x2 关于点 1, 2 中心对称， f x 3x2 6x f 1 3 ，在对称中心的切 线方程为 y 3x 1, x 2时，y 5 ， f 2 4 ，故当点 2, n 位于区域Ⅰ，有三条切线时， 5 n 4
B． 0,1
C． e1,e
D． ,e1
【解析】由题意可得： f ' x ln x 1 1 ，结合函数的定义域可知，
函数在区间
1,
1
1 e
上单调递减，在区间
1
1 e
,
上单调递增，
且
f
1
1 e
1 e
1
，绘制函数图象如图所示，当直线与函数图象相
切时直线的斜率取得最小值，设切点坐标为 x0, x0 1ln x0 1 ，该点的斜率为
k ln x0 1 1 ，切线方程为： y x0 1ln x0 1 ln x0 1 1 x x0 ，切线过点 1,1 ，