3.1.1《不等关系与不等式》(人教版必修5)
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高中数学 3.1不等关系和不等式课件(第二课时) 新人教A版必修5
思考3：如果ai＞bi(i＝1，2，3，„， n)，那么a1· a2„an＞b1· b2„bn吗？ ai＞bi＞0 (i＝1，2，3，„，n)
Þ
a1· a2„an＞b1· b2„bn
思考4：如果a＞b，那么an与bn的大小关 系确定吗？ a＞b，n为正奇数
Þ
a n＞b n
思考5：如果a＞b，c＜d，那么a＋c与b ＋d的大小关系确定吗？a－c与b－d的大 小关系确定吗？
探究（一）：不等式的基本性质
思考1：有一个不争的事实：若甲的身材 比乙高，则乙的身材比甲矮，反之亦然. 从数学的观点分析，这里反映了一个不 等式性质，你能用数学符号语言表述这 个不等式性质吗？
a＞b b＜a（对称性）
思考2：又有一个不争的事实：若甲的 身材比乙高，乙的身材比丙高，那么甲 的身材比丙高，这里反映出的不等式性 质如何用数学符号语言表述？
作业：
P75习题3.1A组：2，3. B组：2.
a ＞b ，c ＜d
Þ a －c ＞b －d
1 1 思考6： 若a＞b，ab＞0，那么 a 与 b
的大小关系如何？
1 1 a＞b，ab＞0 a b
理论迁移
例1
已知a＞b＞0，c＜0，
c c 求证: . a b
例2
1 1 已知 0 a b
，x ＞y ＞0 ，
x y 求证： . xa y b
思考1：在等式中有移项法则，即a＋b＝ c a＝c－b，那么移项法则在不等式 中成立吗？ a ＋b ＞c a ＞c －b
思考2：如果ai＞bi(i＝1，2，3，„， n)，a1＋a2＋„＋an与b1＋b2＋„＋bn的 大小关系如何？ ai＞bi (i＝1，2，3，„，n) Þ a1＋a2＋„＋an＞b1＋b2＋„＋bn
高中数学必修五课件：3.1-1《不等关系与不等式》(人教A版必修5)
8
§3.1 不等关系与不等式
9
第1课时 不等关系与比较大小
10
11
1．含有不等号“≠”“>”“<”“≥”或“≤”
的式子
叫不等式．若；aa，≤bb是即a>b两为或a实＝b数，. 那么aa<≥b或ba即＝b为
2．数轴上的任意两点中，右边点对应的实
数比大左边点对应的实数
．
12
3．若a，b∈R，则在a＝b，a>b，a<b有三且仅种
解：列不等式组，涉及到“至”、“至多”问题，要用到“≥”
或“≤”，那么在处理“＝”问题时要注意“＝”成立的条件，
据题意可得2y≤z≤3x (x，y，z∈N＋)． y＋z≥55
22
[例 2] 比较 3＋ 5与 4 的大小． [分析] 要比较 3＋ 5与 4 的大小，直接作差后很难判定 差的符号，如果把两数平方后作差，差式中仍含一无理式，可 第二次平方相减判断符号． [解] ∵( 3＋ 5)2－42＝3＋5＋2 15－16＝2( 15－4)， 又( 15)2－42＝－1<0， ∴2( 15－4)<0，则 3＋ 5<4.
27
(2)p－q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝logaaa32＋＋11， 当 a>1 时，a3＋1>a2＋1， ∴aa32＋ ＋11>1.∴logaaa32＋ ＋11>0； 当 0<a<1 时，a3＋1<a2＋1， ∴aa32＋ ＋11<1.∴logaaa32＋ ＋11>0. 综上可得 p－q>0，∴p>q.
2
事实上，要解决上述问题，需要用到本章 的知识．本章共分为四节：
第一节是不等关系与不等式，教材首先通 过具体问题情境，使我们感受到现实世界 和日常生活中存在着大量的不等关系，然 后提出如何用不等式研究及表示不等关系， 最后给出了不等式的九条基本的性质；
§3.1 不等关系与不等式
9
第1课时 不等关系与比较大小
10
11
1．含有不等号“≠”“>”“<”“≥”或“≤”
的式子
叫不等式．若；aa，≤bb是即a>b两为或a实＝b数，. 那么aa<≥b或ba即＝b为
2．数轴上的任意两点中，右边点对应的实
数比大左边点对应的实数
．
12
3．若a，b∈R，则在a＝b，a>b，a<b有三且仅种
解：列不等式组，涉及到“至”、“至多”问题，要用到“≥”
或“≤”，那么在处理“＝”问题时要注意“＝”成立的条件，
据题意可得2y≤z≤3x (x，y，z∈N＋)． y＋z≥55
22
[例 2] 比较 3＋ 5与 4 的大小． [分析] 要比较 3＋ 5与 4 的大小，直接作差后很难判定 差的符号，如果把两数平方后作差，差式中仍含一无理式，可 第二次平方相减判断符号． [解] ∵( 3＋ 5)2－42＝3＋5＋2 15－16＝2( 15－4)， 又( 15)2－42＝－1<0， ∴2( 15－4)<0，则 3＋ 5<4.
27
(2)p－q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝logaaa32＋＋11， 当 a>1 时，a3＋1>a2＋1， ∴aa32＋ ＋11>1.∴logaaa32＋ ＋11>0； 当 0<a<1 时，a3＋1<a2＋1， ∴aa32＋ ＋11<1.∴logaaa32＋ ＋11>0. 综上可得 p－q>0，∴p>q.
2
事实上，要解决上述问题，需要用到本章 的知识．本章共分为四节：
第一节是不等关系与不等式，教材首先通 过具体问题情境，使我们感受到现实世界 和日常生活中存在着大量的不等关系，然 后提出如何用不等式研究及表示不等关系， 最后给出了不等式的九条基本的性质；
高一数学必修5PPT课件：3.不等关系与不等式
高一数学必修5PPT课件：3.不等关系 与不等 式
高一数学必修5PPT课件：3.不等关系 与不等 式
例2 比较 x 3 与 x2 x 1的大小.
解：x3－(x2－x+1)=x3－x2+x－1
=x2(x－1)+(x－1)
∵ x2+1>0，
=(x－1)(x2+1),
∴ 当x>1时，x3>x2－x+1； 当x=1时，x3=x2－x+1，
1.不等关系和不等式
2.判断两个实数大小的依据是： a b ab 0
小
a b ab 0
结
a b ab 0
3.作差法的步骤：
（1）作差→（2）变形→（3）定号→（4）结论
其中，变形的方法有：配方法；因式分解法；通分，分子 /分母有理化等，必要时进行讨论。
4、作商法步骤：（1）作商；（2）变形； （3）判断商与1的大小；（4）结论。
少于2.3%，用不等式可以表示为：( C )
A.f ≥ 2.5%或p ≥ 2.3% B.f > 2.5%且p >2.3%
C.
f 2.5% p 2.3%
高一数学必修5PPT课件：3.不等关系 与不等 式
我们用数学符号“≠”，“>”，“<”， “≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表 示它们之间的不等关系。含有这些不等号 的式子叫做不等式。
思考：不等式a b或b a的含义
不等式a b表示a b或a b中有一个成立即可 不等式a b表示a b或a b中有一个成立即可
高一数学必修5PPT课件：3.不等关系 与不等 式
高一数学必修5PPT课件：3.不等关系 与不等 式
对于任意两个实数 a、b，在 a＞b，a = b，a＜b 三种关系中有且仅有一种成立．
高一数学必修5PPT课件：3.不等关系 与不等 式
例2 比较 x 3 与 x2 x 1的大小.
解：x3－(x2－x+1)=x3－x2+x－1
=x2(x－1)+(x－1)
∵ x2+1>0，
=(x－1)(x2+1),
∴ 当x>1时，x3>x2－x+1； 当x=1时，x3=x2－x+1，
1.不等关系和不等式
2.判断两个实数大小的依据是： a b ab 0
小
a b ab 0
结
a b ab 0
3.作差法的步骤：
（1）作差→（2）变形→（3）定号→（4）结论
其中，变形的方法有：配方法；因式分解法；通分，分子 /分母有理化等，必要时进行讨论。
4、作商法步骤：（1）作商；（2）变形； （3）判断商与1的大小；（4）结论。
少于2.3%，用不等式可以表示为：( C )
A.f ≥ 2.5%或p ≥ 2.3% B.f > 2.5%且p >2.3%
C.
f 2.5% p 2.3%
高一数学必修5PPT课件：3.不等关系 与不等 式
我们用数学符号“≠”，“>”，“<”， “≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表 示它们之间的不等关系。含有这些不等号 的式子叫做不等式。
思考：不等式a b或b a的含义
不等式a b表示a b或a b中有一个成立即可 不等式a b表示a b或a b中有一个成立即可
高一数学必修5PPT课件：3.不等关系 与不等 式
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对于任意两个实数 a、b，在 a＞b，a = b，a＜b 三种关系中有且仅有一种成立．
高中数学3.1不等关系和不等式教案人教版必修5
〔一〕教学目标1．知识与技能:使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式〔组〕产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容。
2.过程与方法:以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；3．情态与价值：通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。
〔二〕教学重、难点重点：用不等式〔组〕表示实际问题中的不等关系，并用不等式〔组〕研究含有不等关系的问题，理解不等式〔组〕对于刻画不等关系的意义和价值。
难点：用不等式〔组〕正确表示出不等关系。
〔三〕教学设想[创设问题情境]问题1：设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，那么d ≤AB 。
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
根据市场调查，假设单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
假设把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？分析：假设杂志的定价为x 元，那么销售的总收入为 2.580.20.1x x -⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭万元。
那么不等关系“销售的总收入不低于20万元〞可以表示为不等式 2.580.20.1x x -⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭≥20 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种，按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍。
怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？分析：假设截得500mm 的钢管x 根，截得600mm 的钢管y 根..根据题意，应有如下的不等关系：〔1〕解得两种钢管的总长度不能超过4000mm ；〔2〕截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍；〔3〕解得两钟钢管的数量都不能为负。
由以上不等关系，可得不等式组：5006004000300x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ [练习]：第82页，第1、2题。
高中数学新人教A版必修5课件：第三章不等式3.1不等关系与不等式4
2．已知
a>b>0，求证：
a b>
b a.
证明：因为 a>b>0，所以 a> b >0.①又因为 a>b>0，两边同
乘正数a1b，得1b>1a>0.②
①②两式相乘，得
a b>
b a.
利用不等式性质求代数式的取值范围
已知－1<x<4，2<y<3. (1)求 x－y 的取值范围； (2)求 3x＋2y 的取值范围． 【解】 (1)因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以 －4<x－y<2. (2)由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以 1<3x ＋2y<18.
A．ad＞bc
B．ac＞bd
C．a－c＞b－d
D．a＋c＞b＋d
解析：选 D.令 a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除 A，B，
C.由不等式的性质 5 知，D 一定成立．
若 x<1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则 M 与 N 的大小关系为 ________．
解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)， 又因为 x<1，所以 x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所 以 M>N. 答案：M>N
1．雷电的温度大约是 28 000 ℃，比太阳表面温度的 4.5 倍 还要高．设太阳表面温度为 t ℃，那么 t 应满足的关系式是 ________． 解析：由题意得，太阳表面温度的 4.5 倍小于雷电的温度， 即 4.5t<28 000. 答案：4.5t<28 000
高中数学第三章不等式3.1不等式关系与不等式课件新人教A版必修5
为函数 y＝1x在(－∞，0)上单调递减，a<b<0，所以1a>1b，
故 D 正确．
答案：D
5．若 x＞1，y＞2，则： (1)2x＋y＞________； (2)xy＞________． 解析：(1)x＞1⇒2x＞2，2x＋y＞2＋2＝4；(2)xy＞2. 答案：(1)4 (2)2
类型 1 用不等式(组)表示不等关系 [典例 1] 分别写出满足下列条件的不等式： (1)一个两位数的个位数字 y 比十位数字 x 大，且这 个两位数小于 30； (2)某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价 分别为 60 元的单片软件 x 片和 70 元的盒装磁盘 y 盒．根 据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒． 解：(1)y＞x＞0，30＞10x＋y＞9，且 x，y∈N*； (2)x≥3，y≥2，60x＋70y≤500，且 x，y∈N*.
同向 5
可加性
ac>>db⇒a＋c⑫>b＋d
同向同正 6
可乘性
ac>>db>>00⇒ac⑬>bd
7
可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
8
可开方性
nn
a>b>0⇒ a> b(n∈N，n≥2)
[思考尝试·夯基] 1．思考义是指 x 不小于 2.( ) (2)若 a＜b 或 a＝b 之中有一个正确，则 a≤b 正 确．( ) (3)若 a＞b，则 ac＞bc 一定成立．( ) (4)若 a＋c＞b＋d，则 a＞b，c＞d.( )
解析：(1)正确．不等式 x≥2 表示 x＞2 或 x＝2，即 x 不小于 2，故此说法是正确的．(2)正确．不等式 a≤b 表示 a＜b 或 a＝b.故若 a＜b 或 a＝b 中有一个正确，则 a ≤b 一定正确．(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式 两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此由 a＞b， 则 ac＞bc，不一定成立，故此说法是错误的．(4)错误．取 a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足 a＋c＞b＋d，但不满足 a ＞b，故此说法错误．
高中数学第3章不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质新人教B版必修5
A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200 C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200
2．设 M＝x2，N＝－x－1，则 M 与 N 的大小关系是( )
A．M>N
B．M＝N
C．M<N
D．与 x 有关
A [M－N＝x2－(－x－1)＝x2＋x＋1＝x＋122＋34>0，故 M>N.]
a>b，b>c⇒_a_>_c_
性质 3(可加性)
a＞b⇒_a_＋__c_>_b_＋__c_
推论 1 性质 3
推论 2
a＋b＞c⇒_a_＞__c_－__b__ a＞b，c＞d⇒_a_＋__c_＞__b_＋__d_
性质 4(可乘性) a＞b，c＞0⇒_a_c_＞__b_c_；a＞b，c＜0⇒_a_c_＜__b_c_
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为 正确吗？
[提示] 不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能 相减或相除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变 形，而不可随意“创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪吗？ ∵2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2 矛盾了呢？
1．利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问 题一定要在理解的基础上， 记准、记熟不等式的性质并注意在解题 中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立 的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
2．设 M＝x2，N＝－x－1，则 M 与 N 的大小关系是( )
A．M>N
B．M＝N
C．M<N
D．与 x 有关
A [M－N＝x2－(－x－1)＝x2＋x＋1＝x＋122＋34>0，故 M>N.]
a>b，b>c⇒_a_>_c_
性质 3(可加性)
a＞b⇒_a_＋__c_>_b_＋__c_
推论 1 性质 3
推论 2
a＋b＞c⇒_a_＞__c_－__b__ a＞b，c＞d⇒_a_＋__c_＞__b_＋__d_
性质 4(可乘性) a＞b，c＞0⇒_a_c_＞__b_c_；a＞b，c＜0⇒_a_c_＜__b_c_
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为 正确吗？
[提示] 不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能 相减或相除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变 形，而不可随意“创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪吗？ ∵2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2 矛盾了呢？
1．利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问 题一定要在理解的基础上， 记准、记熟不等式的性质并注意在解题 中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立 的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
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②展示开始时非展示同学可
继续小声讨论，或翻阅 学案、课本，进一步思 考； ③展示快结束时，迅速浏览
展示内容，认真比对， 准备点评、补充、 质疑 、追问。
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例2.当p，q都是正数且p+q=1时，试比较代数式 (px+qy)2与px2+qy2的大小.
自主小结：
（1）用不等式（组）表示不等关系： （2）比较大小的方法：
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当堂检测： 1.一辆汽车原来每天行驶 xkm，如果它每天多 行驶 19km，那么在 8 天内它的行程 s 就超过 2200km；如果它每天比原来少行驶 12km，那么 行驶同样的路程 s 所学时间就超过 9 天。列出 未知数 x 所满足的不等式（或不等式组）。
高中数学人教版必修5第三章第一节
3.1.1不等关系与不等式
3.1.1 不等关系与不等式
B
A
远横 近看 高成 低岭 各侧 不成 同峰
，
在现实世界和日常生活中，既有相等关系， 又存在着大量的不等关系
长短
高矮
轻重
大小
你能举出我们数学中的一些不等关系吗？
那么在数学中我们是用什么来表示不等 关系的呢？
2.比较 x3 与 x2 x 1的大小。（提示：根据 x 取
值范围的不同，分类讨论）
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作业：1.学案课后拓展1----6题
2.自主学习3.1.2不等式的性质学案
继续小声讨论，或翻阅 学案、课本，进一步思 考； ③展示快结束时，迅速浏览
展示内容，认真比对， 准备点评、补充、 质疑 、追问。
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例2.当p，q都是正数且p+q=1时，试比较代数式 (px+qy)2与px2+qy2的大小.
自主小结：
（1）用不等式（组）表示不等关系： （2）比较大小的方法：
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当堂检测： 1.一辆汽车原来每天行驶 xkm，如果它每天多 行驶 19km，那么在 8 天内它的行程 s 就超过 2200km；如果它每天比原来少行驶 12km，那么 行驶同样的路程 s 所学时间就超过 9 天。列出 未知数 x 所满足的不等式（或不等式组）。
高中数学人教版必修5第三章第一节
3.1.1不等关系与不等式
3.1.1 不等关系与不等式
B
A
远横 近看 高成 低岭 各侧 不成 同峰
，
在现实世界和日常生活中，既有相等关系， 又存在着大量的不等关系
长短
高矮
轻重
大小
你能举出我们数学中的一些不等关系吗？
那么在数学中我们是用什么来表示不等 关系的呢？
2.比较 x3 与 x2 x 1的大小。（提示：根据 x 取
值范围的不同，分类讨论）
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作业：1.学案课后拓展1----6题
2.自主学习3.1.2不等式的性质学案
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2. 比较 x 3 与 x2 x 1的大小.
解：x3－(x2－x+1)=x3－x2+x－1
=x2(x－1)+(x－1)
∵ x2+1>0，
=(x－1)(x2+1),
∴ 当x>1时，x3>x2－x+1； 当x=1时，x3=x2－x+1， 当x<1时，x3<x2－x+1.
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家庭 类型
n
贫穷 n>60%
温饱
小康
富裕
50%<n≤6 40%<n≤5 30%<n≤4
0%
0%
0%
最富裕 n≤30%
例．根据某乡镇家庭抽样调查的统计，2003年 每户家庭年平均消费支出总额为1万元，其中食 品消费额为0.6万元。预测2003年后，每户家庭 年平均消费支出总额每年增加3000元，如果 2005年该乡镇居民生活状况能达到小康水平 （即恩格尔系数n满足条件40%<n≤50%），试 问这个乡镇每户食品消费额平均每年的增长率 至多是多少？（精确到0.1）
等式是：___v_≤_4_0___
40
5、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的 含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于 2.3%，用不等式可以表示为：( )
A. f ≥ 2.5%或p ≥ 2.3% B. f ≥ 2.5%且p ≥ 2.3%
C.
f ≥ 2.5%
p
≥
2.3%
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=p(p－1)x2+q(q－1)y2+2pqxy.
因为p+q=1，所以p－1=－q，q－1=－p， 因此(px+qy)2－(px2+qy2)
=－pq(x2+y2－2xy)=－pq(x－y)2，
因为p，q为正数，因此(px+qy)2<px2+qy2. 当且仅当x=y时，不等式中等号成立。
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如果a－b是正数，则a>b；如果a>b， 则a－b为正数；
如果a－b是负数，则a<b；如果a<b， 则a－b为负数；
如果a－b等于零，则a=b；如果a=b， 则a－b等于零。
通常，“如果p，则q”为正确命题，则 简记为p q ，读作“p推出q”.
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如果 p q且q p 都是正确的命题，记为
3.1.1 不等关系与不等式
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在考察事物之间的数量关系时，经常
要对数量的大小进行比较，我们来看下
面的例子。 国际上常用恩格尔系数（记为n）来衡
量一个国家和地区人民的生活水平的高低。
它的计算公式是
n
食品消费额 消费支出总额 100%
。
有关机构还制定了各种类型的家庭应达 到的恩格尔系数的取值范围：
例 3 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小． 解: ∵ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
(a2 2a 15) (a2 2a 8) 7 ∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) <0
∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
p q 读作“p等价于q或q等价于p”。
上述结论可以写成：
ab0a b
a b 0 a b
ab0a b
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判断两个实数大小的依据是：
abab0 a b ab 0
作差比较法
abab0
这既是比较大小(或证明大小)的基本方 法,又是推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
4x y 10
分析:设分别生产 甲．乙两种肥料为 x吨,y吨
18x 15y 66 x 0 y 0
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在数轴上，如果表示实数a和b的两个点分别 为A和B，则点A和点B在数轴上的位置关系有 以下三种：
（1）点A和点B重合； （2）点A在点B的右侧； （3）点A在点B的左侧。 在这三种位置关系中，有且仅有一种成立，由 此可得到结论： 对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a<b 三种关系中有且仅有一种关系成立。
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现实世界和日常生活中，既有相等 关系，又存在着大量的不等关系，如： 1、今天的天气预报说：明天早晨最低温 度为7℃，明天白天的最高温度为13℃；
7℃≤t≤13℃ 2、三角形ABC的两边之和大于第三边；
AB+AC>BC或……
3、a是一个非负实数。 a≥0
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4、右图是限速40km/h的路标，指 示司机在前方路段行驶时，应使汽 车的速度v不超过40km/h ，写成不
y
0
x, y N
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练习2 、一个化肥厂生产甲、乙两种混
4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要
的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。现有
库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上
进行生产。请用不等式组把此实例中的不等
关系表示出来。
数轴上的任意两点中，右边点对应的 实数比左边点对应的实数大。
AO
x B
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练习1：若需在长为4000mm圆钢上，截出长 为698mm和518mm的两种毛坯，问怎样写出 满足上述所有不等关系的不等式组？
分析:
设698mm与 518mm分别x 与y个
698x 518y 4000
x 0
某人为自己制定的月支出计划中，规定
手机费不超过150元，他所选用的中国电
信卡的收费标准为：
月租费 每分钟通话费
中国电信卡
30元
0.40元
求这个人月通话时间的取值范围。 即：30+0.4x≤150. 解得x≤300.
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我们用数学符号“≠”，“>”，“<”， “≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表 示它们之间的不等关系。含有这些不等号 的式子叫做不等式。
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例 4 已知 a 、b 、m 都是正数,且 a b ,求证: b m b am a
证明: ∵ b m b (b m)a (a m)b
am a
(a m)a
ab ma ab bm (a m)a
m(a b) (a m)a
∵ a 、b 、m 都是正数,且 a b ∴ m 0, m a 0, a 0, a b 0
∴bm b 0∴bm b
am a
am a
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课堂练习: 在下列各题的横线中填入适当的不等号.
⑴ ( 3 2)2 _<____ 6 2 6;
< ⑵ ( 3 2)2 ____( 6 1)2;
⑶ 1 __<____ 1 ;
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> ⑷若0 a b ， log1a ____ log1 b.
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例1．比较x2－x与x－2的大小。
解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2 =(x－1)2+1，
因为(x－1)2≥0， 所以(x2－x)－(x－2)>0， 因此x2－x>x－2.
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例2．当p，q都是正数且p+q=1时，试比 较代数式(px+qy)2与px2+qy2的大小。 解：(px+qy)2－(px2+qy2)