平行四边形的性质及判定测试题
初二数学平行四边形性质单元测试
初二数学上第四章平行四边形性质4.1平行四边形的性质练习一下图是两组对边分别平行的四边形：即：AB∥CD，AD∥BC，那么（1）各对边之间有什么样的数量关系？为什么？（2）各对角之间有什么样的数量关系?为什么？（3）如果连结AC、BD,交点为O，如图，那么AC、BD之间又有什么关系？练习二一、填空题1.若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是________.2.已知：平行四边形一边AB =12 cm,它的长是周长的61，则BC =______ cm,CD =______ cm.3.如图1,在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，图中全等三角形共有________对. 图14.如图1，如果该平行四边形的一条边长是8，一条对角线长为6，那么它的另一条对角线长m 的取值范围是________.5. ABCD 中，若∠A ∶∠B =1∶3,那么∠A =________，∠B =________，∠C =________，∠D =________.二、选择题1.平行四边形的两邻边分别为3、4，那么其对角线必（ ） A.大于1 B.小于7 C.大于1且小于7 D.小于7或大于12.在ABCD 中，M 为CD 的中点，如DC =2AD ，则AM 、BM 夹角度数是（ ）A.90°B.95°C.85°D.100°3.如图2，四边形ABCD 是平行四边形，∠D =120°，∠CAD =32°.则∠ABC 、∠CAB 的度数分别为（ ）A.28°，120°B.120°，28° 图2C.32°，120°D.120°，32°三、求解与证明1.如图3，已知ABCD 的对角线交于O ，过O 作直线交AB 、CD 的反向延长线于E 、F ，求证：OE =OF .图3 图42.如图4，四边形ABCD 是平行四边形，BD ⊥AD ，求BC ，CD 及OB 的长.测验评价结果：_____________；对自己想说的一句话是：______________________.练习三班级：___________________________姓名：___________________________作业导航理解平行四边形的意义和性质，会利用平行四边形的性质进行推理和计算. 一、选择题1.在□ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可以是（ ） A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1 C.1∶1∶2∶2 D.2∶1∶2∶12.平行四边行的两条对角线把它分成全等三角形的对数是（ ） A.2 B.4 C.6 D.83.在□ABCD 中，∠A 、∠B 的度数之比为5∶4，则∠C 等于（ ） A.60° B.80° C.100° D.120°4.□ABCD 的周长为36 cm ，AB =75BC ，则较长边的长为（ ） A.15 cm B.7.5 cm C.21 cm D.10.5 cm5.如图，□ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，AB =4，AD =3，OF =1.3，则四边形BCEF 的周长为（ ）A.8.3B.9.6C.12.6D.13.6 二、填空题6.已知□ABCD 中，∠B =70°，则∠A =______，∠C =______，∠D =______.7.在□ABCD 中，AB =3，BC =4，则□ABCD 的周长等于_______.8.平行四边形的周长等于56 cm ，两邻边长的比为3∶1，那么这个平行四边形较长的边长为_______.9.在□ABCD 中，∠A +∠C =270°，则∠B =______，∠C =______. 10.和直线l 距离为8 cm 的直线有______条. 三、解答题11.平行四边形的周长为36 cm ，一组邻边之差为4 cm ，求平行四边形各边的长.12.如图，在□ABCD 中，AB =AC ，若□ABCD 的周长为38 cm ，△ABC 的周长比□ABCD 的周长少10 cm ，求□ABCD 的一组邻边的长.13.如图，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，MN 是过O 点的直线，交BC 于M ，交AD 于N ，BM =2，AN =2.8，求BC 和AD 的长.14.如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？说明理由.15.如图，在□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F.那么OE与OF是否相等？为什么？参考答案1（1）两组对边分别相等.理由如下：连结BD，∵AB∥CD，AD∥BC∴∠1=∠2，∠3=∠4又∵BD=DB，∴△ABD≌△CDB，∴AD=BC，AB=CD（2）两组对角分别相等由（1）△ABD≌△CDB，∴∠A=∠C∵AB∥BC，∴∠A+∠ABC=180°,∠C+∠CDA=180°∴∠ABC=∠CDA(3)对角线互相平分由（1）AB=CD，∠3=∠4，∠AOB=∠COD∴△AOB≌△COD，∴AO=OC，OB=OD参考答案2一、1.4 2.24 CD =12 3.4 4.10＜x ＜22 5.45° 135° 45° 135° 二、1.C 2.A 3.B三、1.证明：∵ABCD ,∴OA =OC ,DF ∥EB ∴∠E =∠F又∵∠EOA =∠FOC∴△OAE ≌△OCF ,∴OE =OF 2.解：∵ABCD ,∴BC =AD =12 CD =AB =13，OB =21BD ∵BD ⊥AD∴BD =22AD AB -=221213-=5 ∴OB =25 参考答案3一、1.D 2.B 3.C 4.D 5.B二、6.110° 110° 70° 7.14 8.21 cm 9.45° 135° 10.2三、11.11 cm,7 cm,11 cm,7 cm 12.9 cm,10 cm 13.BC =AD =4.8 14.AE =CF □AECF 15.OE =OF ,△BOE ≌△DOF4.2平行四边形的判别一、参考例题［例1］如图，在ABCD 的各边AB 、BC 、CD 、DA 上，分别取点K 、L 、M 、N ，使AK =CM 、BL =DN ，则四边形KLMN 为平行四边形吗？说明理由.分析：要说明四边形KLMN 为平行四边形，则可从：两组对边分别相等，或一组对边平行且相等中找条件.由已知是两组边相等，所以本题找两组对边分别相等这个条件，然后得证.解：四边形KLMN 是平行四边形. 理由是：∵四边形ABCD 是平行四边形.∴AD =BC ，AB =CD ，∠A =∠C ，∠B =∠D ∵AK =CM ，BL =DN ， ∴BK =DM ，CL =AN∴△AKN ≌△CML ，△BKL ≌△DMN∴KN=ML，KL=MN∴四边形KLMN是平行四边形.［例2］已知如图：在ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF，则线段AC与EF 是否互相平分？说明理由.分析：要说明线段AC与EF互相平分，可以把这两条线段作为一个四边形的对角线，然后说明这个四边形是平行四边形即可.解：线段AC与EF互相平分理由是：∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB∥CD,即AE∥CF，AB=CD∵BE=DF，∴AE=CF∴四边形AECF是平行四边形，∴AC与EF互相平分.二、参考练习1.用任意2个全等的三角形能拼成平行四边形吗？自己画两个全等的三角形试一试，把你拼的图形画出来，说明理由.答案：用任意2个全等的三角形能拼成平行四边形.用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”或“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”或“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来说明理由.2.已知四边形ABCD中，AC与BD交于O点，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形.给出以下四种说法其中，正确的说法是①如果再加上条件“BC=AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形②如果再加上条件“∠BAD=∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形③如果再加上条件“OA=OC”那么四边形ABCD是平行四边形④如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形.A.①和②B.①③和④C.②和③D.②③和④答案：C一、选择题1.A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC=AD；④BC∥AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）A.3种B.4种C.5种D.6种2.在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下六个说法中，正确的说法有（）（1）如果再加上条件“AD∥BC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（2）如果再加上条件“AB=CD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（3）如果再加上条件“∠DAB=∠DCB”那么四边形ABCD一定是平行四边形；（4）如果再加上“BC=AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（5）如果再加上条件“AO=CO”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（6）如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形.A.3个B.4个C.5个D.6个图1 图23.如图1，AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC为∠BAD的平分线，图中与∠AOE相等（不含∠AOE）的角有（）A.2个B.3个C.4个D.5个二、如图2，BD是ABCD的对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，求证：四边形AECF为平行四边形.三、如图3，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树.田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由（画图要保留痕迹，不写画法）.图3班级：___________________________姓名：___________________________作业导航理解并掌握平行四边形的判别方法，会利用平行四边形的判别方法进行简单的推理说明. 一、选择题1.能够判别一个四边形是平行四边形的条件是（ ） A.一组对角相等B.两条对角线互相垂直且相等C.两组对边分别相等D.一组对边平行2.下列条件中不能确定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ） A.AB =CD ，AD ∥BC B.AB =CD ，AB ∥CD C.AB ∥CD ，AD ∥BC D.AB =CD ，AD =BC3.一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（ ） A.88°，108°，88° B.88°，104°，108° C.88°，92°，92° D.88°，92°，88°4.四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要判别四边形ABCD 是平行四边形，还需满足条件（ ） A.∠A +∠C =180° B.∠B +∠D =180° C.∠A +∠B =180° D.∠A +∠D =180°5.以不在一条直线上的三点A 、B 、C 为顶点的平行四边形共有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题6.四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，要判别它是平行四边形，从四边形的角的关系看应满足______；从对角线看应满足_______.7.将两个全等的不等边三角形拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形的个数为______. 8.四边形ABCD 中，AD =BC ，BD 为对角线，∠ADB =∠CBD ，则AB 与CD 的关系是_______. 9.□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 分别是OB 、OD 的中点，四边形AECF 是_______. 10.如图，DE ∥BC ，AE =EC ，延长DE 到F ，使EF =DE ，连结AF 、FC 、CD ，则图中四边形ADCF 是______.三、解答题11.在□ABCD 中，点M 、N 在对角线AC 上，且AM =CN ，四边形BMDN 是平行四边形吗？为什么？12.如图，□ABCD 中，E 、F 分别在BA 、DC 的延长线上，且AE =21AB ，CF =21CD ，AF 和CE 的关系如何？说明理由.13.如图，D、E是△ABC的边AB和AC中点，延长DE到F，使EF=DE，连结CF.四边形BCFD 是平行四边形吗？为什么？14.如图，□ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，G是OA的中点，H是OC的中点，四边形EGFH是平行四边形，说明理由.15.如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗？为什么？参考答案1一、1.B 2.B 3.D二、证明：∵ABCD∴AB=CD,AB∥CD∴∠1=∠2AE⊥BD,CF⊥BD∴∠AEB=∠CFD=90°,AE∥CF∴△AEB≌△CFD,∴AE=CF∴AECF为平行四边形三、能参考答案2一、1.C 2.A 3.D 4.D 5.C二、6.∠A=∠C，∠B=∠D OA=OC，OB=OD 7.3 8.AB=CD且AB∥CD 9.平行四边形10.平行四边形三、11.是平行四边形，△ABM≌△CDN且△AMD≌△BN C.12.AE∥CF且AE=CF AFCE.13.是平行四边形，△AED≌△CEF.14.是平行四边形,△AOE≌△COF.15.是平行四边形，四边形AMCN、BMDN是平行四边形.4.3菱形练习一在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是个发现者、研究者和探究者，小华就是这样一位有思想的学生，在老师讲了平行四边形的性质和判定后，她想：一组邻边相等的平行四边形（菱形）又有什么特殊的性质呢？如何做一个菱形的折纸呢？（1）请你画一个菱形.（2）用你所学的知识，探求菱形除了具有平行四边形的性质外，还具有什么性质？（3）请你帮小华做一个菱形的折纸.练习二一、选择题1.下列命题中，真命题是（ ）A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形D.对角线相等的四边形是菱形2.菱形的周长为12 cm ，相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是（ ） A.6 cm B.1.5 cm C.3 cm D.0.75 cm3.在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，且E 、F 分别为BC 、CD 的中点，（如图1）则∠EAF 等于（ ）A.75°B.60°C.45°D.30°图1 图24.已知菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，若S 菱形ABCD =24，且AE =6，则菱形的边长为（ ） A.12 B.8 C.4 D.25.菱形的边长是2 cm ，一条对角线的长是23 cm,则另一条对角线的长是（ ） A.4 cmB.3 cmC.2 cmD.23 cm二、判断正误：（对的打“√”错的打“1.两组邻边分别相等的四边形是菱形.…………………………………………………（ ）2.一角为60°的平行四边形是菱形.…………………………………………………（ ）3.对角线互相垂直的四边形是菱形.……………………………………………………（ ）4.菱形的对角线互相垂直平分.…………………………………………………………（ ） 三、填空题1.如图3，菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，若OD =21AD ，则四个内角为________.图3 图42.若一条对角线平分平行四边形的一组对角，且一边长为a 时，如图4，其他三边长为________；周长为________.3.菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O 点，若∠OBC =21∠BAC ，则菱形的四个内角的度数为____________.4.若菱形的两条对角线的比为3∶4，且周长为20 cm,则它的一组对边的距离等于__________ cm,它的面积等于________ cm 2.5.菱形ABCD 中，如图5，∠BAD =120°，AB =10 cm,则AC =________ cm,BD =________ cm.图5 图6四、已知：△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，DE ∥AC 交BC 于E ，DF ∥BC 交AC 于F .求证：四边形DECF 是菱形.五、已知ABCD 中，BE 平分∠ABC 交AD 于E ，若CE 平分∠DCB ，且AB =2，求：ABCD 的其余边长.图73.菱形班级：___________________________姓名：___________________________ 作业导航理解并掌握菱形的性质及判别方法，会利用菱形的性质和判别方法进行推理说明和有关计算.一、选择题1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等2.能够判别一个四边形是菱形的条件是（）A.对角线相等且互相平分B.对角线互相垂直且相等C.对角线互相平分D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角3.菱形的周长为100 cm，一条对角线长为14 cm，它的面积是（）A.168 cm2B.336 cm2C.672 cm2D.84 cm24.菱形的周长为16，两邻角度数的比为1∶2，此菱形的面积为（）A.43B.83C.103D.1235.下列语句中，错误的是（）A.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B.菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C.菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D.菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到二、填空题6.菱形的周长是8 cm，则菱形的一边长是______.7.菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长为11厘米，菱形的周长为______.8.菱形的对角线的一半的长分别为8 cm和11 cm，则菱形的面积是_______.9.菱形的面积为24 cm2，一对角线长为6 cm，则另一对角线长为______，边长为______.10.菱形的面积为83平方厘米，两条对角线的比为1∶3,那么菱形的边长为_______.三、解答题11.如图，AD是△ABC的角平分线.DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由.12.□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，四边形AFCE是否是菱形？为什么？13.菱形ABCD 的周长为20 cm ，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积.14.如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且AC =16 cm ，BD =12 cm ，求菱形ABCD 的高DH .参考答案1（1）一组邻边相等的平行四边形，如下图：ABCD 是菱形（2）如右图：ABCD 是一组邻边相等（AB =AD ）的平行四边形 ∵ABCD 是平行四边形 ∴AB =CD ，AD =BC 又∵AB =AD∴AB =BC =CD =AD ，即菱形的四条边都相等 连结AC 、BD∵AB ∥CD ,AD ∥BC ∴∠1=∠2,∠3=∠4 又∵AD =CD ,∴∠1=∠4∴∠1=∠3=∠2=∠4,即AC 是∠DAB ，∠DCB 的平分线.同理可证BD 是∠ADC 和∠ABC 的平分线∴菱形的对角线平分每一组对角. ∵平行四边形ABCD 中AB ∥CD ∴∠CDA +∠DAB =180°又由前面证得∠1=∠2，∠CDB =∠ADB ∴∠4+∠ADB =21(∠DAB +∠CDA )=21×180°=90° ∴在△AOD 中∠AOD =180°－(∠4+∠ADB )=90°∴AC ⊥BD ,即菱形的对角线互相垂直在△AOD 和△AOB 中，AB =AD ，∠2=∠4，AO =AO ∴△AOD ≌△AOB ，∴OD =OB 同理可证OA =OC所以菱形的对角线垂直且平分 （3）略参考答案2一、1.B 2.B 3.B 4.C 5.C 二、1.× 2.× 3.× 4.√三、1.60°，120°，60°，120° 2.分别为a 4a 3.90° 4.524cm 24 cm 2 5.10 103四、证明：∵DE ∥AC ,DF ∥BC ∴四边形DECF 为平行四边形 ∠2=∠3 又∵∠1=∠2 ∴∠1=∠3 ∴DE =EC∴DECF 为菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形) 五、解：过E 作EF ∥AB 交BC 于F∵ABCD ，∴AD ∥BC ∴ABFE 是平行四边形 ∴EF =AB ,∠1=∠3又∵∠2=∠1,∴∠2=∠3 ∴BF =FE ,同理：EF =FC ∴F 为BC 的中点.又BE 、CE 为∠ABC 、∠DCF 的平分线 AB ∥CD ，∴∠EBC +∠ECB =90° ∴∠BEC =90°,∴EF =21BC =AB ∴AB =CD =2,AD =BC =2AB =4参考答案3一、1.C 2.D 3.B 4.B 5.D二、6. 2 cm 7. 44厘米 8. 176 cm 2 9. 8 cm 5 cm 10. 4 cm 三、11.四边形AEDF 是菱形，AE =E D.12.□AFCE 是菱形，△AOE ≌△COF ，四边形AFCE 是平行四边形，EF ⊥AC 13.24 cm 2 14. 9.6 cm4.4矩形、正方形一、参考例题［例1］如图，E为正方形ABCD的BC边上的一点，CG平分∠DCF，连结AE，并在CG上取一点G，使EG=AE.求证：AE⊥EG.分析：由于CG是角平分线，CA是∠BCD的平分线，于是我们可以断定∠ACG=90°，因而只要证明∠AEG=∠ACG即可，从图中可以看出，只要证明∠1=∠G就可以得到所求证的结论.证明：连结AC，并延长AC到M，使CM=CG，连结EM.∵四边形ABCD是正方形∴AC平分∠BCD∴∠ECM=135°又∵CG平分∠DCF，∴∠GCF=45°∴∠ECG=135°，∴∠ECG=∠ECM.而EC=EC，CG=CM.∴△ECM≌△ECG.∴∠M=∠G，EM=EG而EA=EG，∴EA=EM，∴∠1=∠M∴∠1=∠G而∠2=∠3∴∠AEG=∠ACG又∵∠ACD=45°，∠DCG=45°∴∠ACG=90°，∴∠AEG=90°，即AE⊥EC.［例2］已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.(1)求证：△BEC≌△DFC；(2)若∠BEC =60°，求∠EFD 的度数.分析：要证△BEC ≌△DFC ，则需找全等的条件，由正方形的性质可得出. 要求∠EFD 的度数，可由三角形中角的关系求得. 证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形. ∴BC =DC ，∠BCD =90°在Rt △BCE 和Rt △DCF 中，BC =DC ，CE =CF ,∴Rt △BCE ≌Rt △DCF (2)∵CE =CF ，∴∠CEF =∠CFE ∴∠CFE =21(180°－90°)=45° ∵Rt △BCE ≌Rt △DCF ∴∠CFD =∠BEC =60°∴∠EFD =∠DFC －∠EFC =15° 二、参考练习1.如图，P 为正方形ABCD 内一点，P A =1，PB =2，PC =3，求∠APB 的度数.解：将△ABP 绕B 点顺时针旋转90°得△CBG ，则： △P AB ≌△GCB△PBG 是等腰直角三角形 得P A =CG =1∠APB =∠CGB ，PB =BG =2，∠PGB =45°. 在Rt △PBG 中， PG 2=PB 2+BG 2=8 在△PGC 中，PC 2=32=8+1=PG 2+GC 2. ∴∠PGC =90°∴∠CGB =∠PGC +∠PGB =135° ∴∠APB =135°2.已知四边形ABCD 是菱形，当满足条件_________时，它成为正方形(填上你认为正确的一个条件即可).答案：填写：∠A =90°或∠B =90°或∠C =90°或∠D =90°中的任一条件即可.练习一相框、信封、明信片、田字格，还有在中国流传了数百年的神奇玩具——华容道、七巧板，都有矩形和正方形的影子，同时正方形也是最完美的图形之一.（1）画一个矩形、正方形.（2）说说矩形和平行四边形在角和边的关系上有哪些异同？（3）说说正方形、菱形、矩形在边和角的关系上有哪些异同？菱形加个什么条件就可以得到正方形？矩形呢？练习二一、填空题1.矩形的面积公式是_________________.2.已知矩形ABCD中，S矩形ABCD=24 cm2，若BC=6 cm，则对角线AC的长是________ cm.13.已知矩形ABCD，若它的宽扩大2倍，则它的面积等于原面积的________；若宽不变长缩小4倍，那么新矩形的面积等于原矩形面积的________；若宽扩大2倍且长缩小41，那么新矩形的面积等于原矩形面积的________.4.已知：如图1，正方形ABCD 中，CM =CD ，MN ⊥AC ，连结CN ，则∠DCN =_____=____∠B ，∠MND =_______=_______∠B.图1 图25.已知矩形ABCD 中，如图2，对角线AC 、BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，若∠DAE ∶∠BAE =3∶1，则∠EAC =________.6.在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且k HDAHGC DG FC BF EB AE ==== (k ＞0)阅读下面材料，然后回答下面问题：如图3，连结BD ，∵HD AHEB AE =,∴EH ∥BD ∵GCDG FC BF =,∴FG ∥BD ∴FG ∥EH(1)连结AC ，则EF 与GH 是否一定平行， 图3 答：________________________________________________________. （2）当k =________时，四边形EFGH 为平行四边形.(3)在（2）的情形下，对角线AC 与BD 只须满足________条件时，EFGH 为矩形. （4）在（2）的情形下，对角线AC 与BD 只须满足________条件时，EFGH 为菱形. 二、选择题1.已知E 是矩形ABCD 的边BC 的中点，那么S △AED =________S 矩形ABCD （ ） A.21 B.41 C.51 D.612.如图4矩形ABCD 中，若AB =4，BC =9，E 、F 分别为BC ，DA 上的31点，则S 四边形AECF 等于（ ） A.12 B.24C.36 图4D.483.如图5，周长为68的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为（ ） A.98 B.196 C.280 D.284图54.正方形的面积是31，则其对角线长是________. 5.在四边形ABCD 中，给出下列论断：①AB ∥DC ；②AD =BC ；③∠A =∠C ，以其中两个作为题设，另外一个作为结论，用“如果…那么…”的形式，写出一个你认为正确的结论：___________________________________________________________________________ 三、如图6，△ABC 中，点O 是AC 边上一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于E ，交∠BCA 的外角平分线于点F .(1)求证：EO =FO(2)当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论. 图6练习三班级：___________________________姓名：___________________________作业导航理解并掌握矩形、正方形的性质及判别方法，会利用其性质和判别方法进行简单的推理和计算. 一、选择题1.两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所成的四边形是（ ） A.一般平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形2.四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ） A.OA =OB =OC =OD ，AC ⊥BD B.AB ∥CD ，AC =BD C.AD ∥BC ，∠A =∠CD.OA=OC，OB=OD，AB=BC3.在矩形ABCD的边AB上有一点E，且CE=DE，若AB=2AD，则∠ADE等于（）A.45°B.30°C.60°D.75°4.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（）A.16B.22C.26D.22或265.在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（）A.12+122B.12+62C.12+2D.24+62二、填空题6.延长等腰△ABC的腰BA到D，CA到E，分别使AD=AB，AE=AC，则四边形BCDE是________，其判别根据是_______.7.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.8.矩形ABCD的周长是56 cm，它的两条对角线相交于O，△AOB的周长比△BOC的周长少4 cm，则AB=_______，BC=_______.9.正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是_______.10.在一正方形的四角各截去全等的等腰直角三角形而得到一个小正方形，若小正方形的边长为1，那么所截的三角形的直角边长是________.三、解答题11.在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，且AB=CD，四边形ABCD是矩形吗？为什么？12.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD 的中点，顺次连结E、F、G、H所得的四边形EFGH是矩形吗？说明理由.13.E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD的度数.14.如图，正方形ABCD，AB=a，M为AB的中点，ED=3AE，（1）求ME的长；（2）△EMC是直角三角形吗？为什么？15.以锐角△ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF，连结BE、CF，（1）试探索BE和CF的关系？并说明理由.（2）你能找到哪两个图形可以通过旋转而相互得到，并指出旋转中心和旋转角.参考答案1（1）略（2）相同点：矩形和平行四边形对边平行且相等，对角相等 不同点：矩形四个角均为直角.（3）相同点：正方形、菱形、矩形均为特殊的平行四边形，它们都有平行四边形的一切性质. 不同点：矩形四个角为直角，菱形四条边相等，正方形具有菱形和矩形的所有特点；有一个角为直角的菱形是正方形，一组邻边相等的矩形是正方形.参考答案2一、1.长×宽 2.213 3.2倍 41 21 4.22.5 41 67.5° 435.45°6.(1)不一定 (2)1 (3)AC ⊥BD (4)AC =BD二、1.A 2.B 3.C 4.365.如果AB ∥DC ，∠A =∠C ，那么AD =BC 三、(1)证明：∵MN ∥BC ，∴∠BCE =∠CEO 又∵∠BCE =∠ECO ∴∠OEC =∠OCE∴OE =OC ,同理OC =OF ∴OE =OF(2)当O 为AC 中点时，AECF 为矩形 ∵EO =OF (已证)，OA =OC ∴AECF 为平行四边形又∵CE 、CF 为△ABC 内外角的平分线 ∴∠EOF =90°，∴AECF 为矩形参考答案3一、1.C 2.A 3.A 4.D 5.A二、6.矩形 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 7. 10 5 8. 12 cm 16 cm 9. 3210.22 三、11.是矩形，连接AO ，△ABC ≌△CD A. 12.是矩形，OE =OF =OG =OH . 13. 15° 14.(1)45a (2)△EMC 是直角三角形 理由略 15.（1）BE =CF ，BE ⊥CF（2）△ABE 和△AFC 可以通过旋转而相互得到，旋转中心是A ，旋转角为90°.4.5梯形一、参考例题如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 分别为CD 和AB 的中点，且MN ⊥AB . 求证：四边形ABCD 是等腰梯形.分析：判定四边形ABCD 是一个等腰梯形，要在已知梯形的前提下证明它的两腰相等或同一底上的两个角相等.本例中已知ABCD 是梯形，只要证明第二步骤即可.证明：过点C 作CE ⊥AB 于E ，过D 点作DF ⊥AB 于F . ∵AB ∥DC ，MN ⊥AB∴四边形DFNM 和CENM 是矩形. ∴DM =FN ,CM =EN 且DF =CE 又DM =CM ，∴FN =EN而N 是AB 的中点，∴AF =BE 又∠DF A =∠CEB ，DF =CE ∴△DF A ≌△CEB ，∴AD =BC 即：四边形ABCD 是等腰梯形 二、参考练习1.等腰梯形对角线的长为17，底边的长为10和20，则该梯形的面积是_________. 答案：1202.已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，则S ABCD 是S △ABE 的2倍吗？为什么？解：S 梯形ABCD =2S △ABE .理由是： 延长AE 交BC 的延长线于F ∵AD ∥BC ，∴∠ADE =∠ECF 又∵E 是CD 的中点，∴DE =CE 又∠DEA =∠CEF∵△ADE ≌△FCE ，∴AE =EF S △ABE =21S △ABF 而S △ABF =S 梯形ABCD 所以：S △ABE =21S 梯形ABCD ，即S 梯形ABCD =2S △ABE . 一、参考例题如图，四边形ABCD 是等腰梯形，其中AD =BC ，若AD =5，CD =2，AB =8，求梯形ABCD 的面积.分析：梯形的面积公式： S =21(a +b )h . 本题的上底、下底是已知的，要求面积，关键是求高.如何求高呢？由于梯形是一个轴对称图形.因此我们可知两线段AE 、BF 相等，应用勾股定理，即可求出.解：过点D 、C 作DE ⊥AB 于E ，CF ⊥AB 于F ，根据等腰梯形的轴对称性知：AE =BF .AE =21(AB －EF )=21(AB －CD )=3 在Rt △ADE 中，DE 2=AD 2－AE 2=52－32=42 ∴DE =4 ∴S 梯形ABCD =21×(8+2)×4=20二、参考练习1.已知如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，∠B =60°，AD =10，BC =18,求梯形ABCD 的周长.解：过A 、D 点分别作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，根据梯形的轴对称性知：BE =CFBE =21(BC －AD )=4 ⎭⎬⎫︒=∠︒=∠∆90 60,Rt AEB B ABE 中在 ⇒∠BAE =30°BE =21AB ,即AB =2BE =8 ∴AB =CD =8L 梯形ABCD =10+8+18+8=442.已知直角梯形的一腰长10 cm ，这条腰与一个底所成的角是30°，求另一条腰的长. 解：如图所示，过D 点作DE ⊥BC 于E ，∠C =30°，DC =10 cm.∴DE =21DC =5， ∴AB =DE =5(cm)所以，此直角梯形的另一条腰长为5 cm.练习一一、小学我们已经学过梯形的初步知识，请思考： （1）梯形和平行四边形的最根本区别是什么？（2）你能利用辅助线从梯形中分割出平行四边形、三角形、矩形来吗？请试一试，并想一想有几种分割方法.二、某村在两条平行道路之间有一块梯形土地，如图，现打算种植两种蔬菜，为了灌溉和管理的方便，需要在两条道路之间垂直地开挖一条水渠，并把土地分成等面积的两块，问这条水渠应该怎样开挖？练习二一、填空题1.梯形的定义是：____________________________________________________________________________________________________________________________.2.等腰梯形的定义是：________________________________________________________________________________________________________________________.3.等腰梯形的性质是：_________________________________________________________________________________________________________.4.在梯形中，不是同一底上的两组角的比值分别为1∶3和3∶7，则四个角的度数为.5.如图1,梯形ABCD中，AD∥BC，AC为对角线，AE⊥BC于E，AB⊥AC，若∠ACB=30°，BE=2.则BC=___________. 图16.直角梯形的定义是：____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.7.直角梯形一腰长16 cm,和一个底所成的角为30°,那么另一腰长________ cm.8.等腰梯形的两底差等于腰长，腰与下底边的夹角为________，与上底的夹角为________. 9.满足条件的梯形是等腰梯形. 10.等腰梯形有下列性质：①从角看：在同一底上的两个角________________________________________________； ②从边看：两腰_____________________________________________________________； ③从对角线看：两条对角线___________________________________________________； ④从图形的对称性看：是________对称图形.二、选择题1.如图2，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，设AC ，BD 交于O 点，则图中共有对面积相等的三角形.（ ）A.2B.3C.4D.5图2 图32.如图3，在直角梯形ABCD 中，AB =4 cm,AD =4.5 cm,∠C =30°,则DC = cm ，BC = cm （ ） A.8,43B.8 cm,(4.5+43) cmC.4(3+1)+21,8D.8 cm,(43+4) cm3.等腰直角三角形各边中点连线围成的多边形是（ ） A.平行四边形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形三、请你来完成1.用下面的方法来证明：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.(1)如图4，分别延长梯形ABCD 的腰BA ，CD ，设它们相交于点E .通过证明△EAD 和△EBC 都是________三角形来证明.图4 图5（2）如图5，作梯形ABCD的高AE，DF，通过证明Rt△ABE≌Rt△DCF来证明定理.证明过程：（1）_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________（2）_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2.已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15 cm,49 cm,求它的腰长.在研究等腰梯形时，常常通过辅助线，使等腰梯形与等腰三角形联系起来.想一想，用怎样的辅助线可以在等腰梯形中划出等腰三角形.参考答案1一、（1）一组对边平行，另一组对边不平行（2）二、见题图，先分别取上、下底的中点M、N，连MN，再取MN中点O，过O作上下底的垂线段EF，E、F为垂足，则EF就是要开挖的水渠线（如下图）参考答案2一、1.略 2.略 3.略 4.45°，135°，54°，126° 5.86.有一个角是直角的梯形叫直角梯形7.88.60°120°9.同一底上两底角相等(或对角线相等)10.①相等②相等③相等④轴对称图形二、1.B 2.B 3.C三、1.(1)等腰(1)证明：延长BA、CD交于E∵∠B=∠C,∴BE=CE又∵AD∥BC∴∠EAD=∠B,∠EDA=∠C∴∠EAD=∠EDA,∴AE=DE∴△EAD和△EBC为等腰三角形(2)证明：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F.∵AD∥BC,∴AE=DF在Rt△ABE和Rt△DCF中，∠B=∠C，AE=DF，∴△ABE≌△DCF，∴AB=DC2.解：如图，作DE∥AB交BC于E∵AD∥BC∴ABED为平行四边形∴DE=AB，AD=BE，EC=BC－AD=49－15=34又∵DE=AB,∴DE=DC,又∵∠C=60°∴△DCE为等边三角形，∴DC=EC=34 cm想一想：4.6探索多边形的内角和与外角和参考练习1.过四边形一个顶点的对角线把四边形分成两个三角形；过五边形或六边形一个顶点的对角线分别把它们分成_________个或_________个三角形；过n边形一个顶点的对角线把n边形分成_________个三角形(用含n的代数式表示).答案：三四n－22.一个多边形的每个内角都等于140°，那么这个多边形是_________边形.答案：九3.如果一个多边形的边数增加1，那么这个多边形的内角和增加_________度.答案：1804.在四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比为2∶3∶4∶3，则∠D等于A.60°B.75°C.90°D.120°答案：C5.下列角中能成为一个多边形的内角和的是A.270°B.560°C.1800°D.1900°答案：C6.一个多边形共有27条对角线，则这个多边形的边数为A.8B.10C.9D.11答案：C一、参考例题［例1］如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=_________.解：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D∠3=∠E+∠F，∠4=∠G+∠H又∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°.。
平行四边形的判定
20.1 平行四边形的判定1．四边形ABCD，从（1）AB∥CD；（2）AB=CD；（3）BC∥AD；（4）BC=AD这四个条件中任选两个，其中能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种2．四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为一组对边边长，c，d•为另一组对边边长且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，则这个四边形是（）A．任意四边形 B．平行四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形 3．下列说法准确的是（）A．若一个四边形的一条对角线平分另一条对角线，则这个四边形是平行四边形B．对角线互相平分的四边形一定是平行四边形C．一组对边相等的四边形是平行四边形D．有两个角相等的四边形是平行四边形4．在□ABCD中，点E，F分别是线段AD，BC上的两动点，点E从点A向D运动，点F从C•向B运动，点E的速度m与点F的速度n满足_______关系时，四边形BFDE为平行四边形．5．如图1所示，平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，连结EF，若再增加一个条件_______，就能够推出BE=DF．6．如图2所示，AO=OC，BD=16cm，则当OB=_____cm时，四边形ABCD是平行四边形．7．如图所示，四边形ABCD中，对角线BD=4，一边长AB=5，其余各边长用含有未知数x 的代数式表示，且AD⊥BD于点D，BD⊥BC于点B．问：四边形ABCD•是平行四边形吗？为什么？D AC FE B8．如图所示，在□ABCD中，点E，F都在对角线AC上，且AE=CF，连结DE，BE，DF，BF，则四边形DEBF是平行四边形吗？9.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD>BC，BC=6cm，P，Q分别是线段AD，BC上两动点，P，Q分别从A，C出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q•以2cm/s的速度由C 向B运动，P，Q两点同时开始运动，且开始运动的时刻是0．P，Q•运动到顶点处即停止运动，问：第几秒时，四边形ABQP是平行四边形？10．如图所示，某城市中心有一个小公园，在它的四个角A，B，C，D•处均有一棵古树，城建部门准备扩建公园，要求使公园的面积扩大一倍，•而且必须保持四棵古树不动，并要求建成以后的公园呈平行四边形形状．问：该城市能否实现这个设想？若能，请你设计方案并画出图；若不能，请说明理由．11．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红，黄，紫，白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4．若MN•∥AB•∥DC，EF∥DA∥CB，则有（）A．S1=S4B．S1+S4=S2+S3C．S1S4=S2S3D．都不对12．实际生活中，我们常碰到这样的例子：对一个物体M•同时施加两个成某个角度的力F1和F2，这个物体的实际受力效果并不是F1与F2的简单叠加，它们的合力F•的大小和方向由以F1和F2为边的平行四边形的对角线决定，如图1所示．•对于既有大小又有方向的量求和时，一般都采用上面的方法，我们把这种方法叫做平行四边形法则，•实际上求两个分为F1，F2的合力F的大小，就是求□F1MF2F的对角线MF的长．下面请利用平行四边形法则来解决一个实际问题：如图2，一条小河缓缓地流着，河水的流速是2km/h，一艘船从A点出发以4km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，实际上，它以怎样的速度向对岸行驶？图1 图220.2 矩形的判定一、选择题1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对角相等 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直2．下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（）①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形．A．1 B．2 C．3 D．43．下列命题中，准确的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．三个角是直角的多边形是矩形C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形D A CF O E B4．如图1所示，矩形ABCD 中的两条对角线相交于点O ，∠AOD=120°，AB=4cm ，则矩形的对角线的长为_____．图1 图25．若四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相等，且互相平分于点O ，则四边形ABCD•是_____形，若∠AOB=60°，那么AB ：AC=______．6．如图2所示，已知矩形ABCD 周长为24cm ，对角线交于点O ，OE⊥DC 于点E ， OF⊥AD 于点F ，OF-OE=2cm ，则AB=______，BC=______．7．如图所示，□ABCD 的四个内角的平分线分别相交于E ，F ，G ，H 两点，试说明四边形EFGH 是矩形．8．如图所示，△ABC 中，CE ，CF 分别平分∠ACB 和它的邻补角∠ACD．AE ⊥CE 于E ，AF⊥CF 于F ，直线EF 分别交AB ，AC 于M ，N 两点，则四边形AECF 是矩形吗？为什么？9．如图所示，△ABC 为等腰三角形，AB=AC ，CD⊥AB 于D ，P•为BC 上的一点，过P 点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E ，F ，则有PE+PF=CD ，你能说明为什么吗？D A C F P EB10.如图所示，△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，AE•是∠CAF 的平分线且∠CAF 是△ABC 的一个外角，且DE∥BA，四边形ADCE 是矩形吗？为什么？11.已知AC 为矩形ABCD 的对角线，则下图中∠1与∠2一定不相等的是（ ）20.3 菱形的判定一、选择题1．下列四边形中不一定为菱形的是（ ）A ．对角线相等的平行四边形B ．每条对角线平分一组对角的四边形C ．对角线互相垂直的平行四边形D ．用两个全等的等边三角形拼成的四边形2．四个点A ，B ，C ，D 在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD= BC； ⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD 是菱形的选法有（ ）．A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种3．菱形的周长为32cm ，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（ ）A ．8cm 和3cmB ．4cm 和3cmC ．8cm 和3．4cm 和34．如图1所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，•添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）图1 图25．如图2所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）6．菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD： ∠ABC= 1：•2，•则BD=•_____，•菱形的面积是______．7．在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_____，AC=_____．三、解答题8．如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=BC，四边形ABCD是菱形吗？•说明理由．9．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由．10. 如图所示，已知△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过点D•作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，再过E，F作EG⊥AC，FH⊥AB，垂足分别为G，H，且EG，•FH相交于点K，试说明EF和DK之间的关系．K D AC F H G EB11.已知：如图所示，菱形ABCD 中，E ，F 分别是CB ，CD 上的点，且BE=DF ．（1）试说明：AE=AF ；（2）若∠B=60°，点E ，F 分别为BC 和CD 的中点，试说明：△AEF 为等边三角形．20.4 正方形的判定1．下列命题准确的是（ ）A ．两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形B ．两条对角线互相平分且垂直的四边形是矩形C ．两条对角线互相垂直，平分且相等的四边形是正方形D ．一组邻边相等的平行四边形是正方形2．矩形四条内角平分线能围成一个（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形3．已知点D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，连结DE ，EF ，•要使四边形ADEF 是正方形，还需要添加条件_______．4．如图1所示，直线L 过正方形ABCD 的顶点B ，点A ，C 到直线L•的距离分别是1和2，则正方形ABCD 的边长是_______．D A C FE B图1 图2 图35．如图2所示，四边形ABCD 是正方形，点E 在BC 的延长线上，BE=BD 且AB=2cm ，则∠E 的度数是______，BE 的长度为____．6．如图3所示，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，BE=1，F•为AB•上一点，AF=2，P 为AC 上一动点，则当PF+PE 取最小值时，PF+PE=______．7．如图所示，在Rt△ABC 中，CF 为∠ACB 的平分线，FD⊥AC 于D ，FE⊥BC 于点E ，试说明四边形CDFE 是正方形．8．已知如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC边上的点，且AE=BF ，•请问：（1）AF 与DE 相等吗？为什么？（2）AF 与DE 是否垂直？说明你的理由．9.如图所示，P ，Q ，R ，S 分别是正方形ABCD 各边的中点，•要使中间阴影部分小正方形的面积为5，求大正方形ABCD 的边长．10.如图所示，在△ABC中，点O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN与∠BCA的平分线CE相交于点E，与∠BCA的外角平分线CF•相交于点F．（1）EO与FO的长度相等吗？说明理由；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？说明理由；（3）若要使四边形AECF成为正方形，则∠ACB的度数应为多大？11.如图所示，正方形ABCD的对角线相交于O点，点O•是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C ′O绕顶点O转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？说明理由．12.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：DE=DF；（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形（不另外添加辅助线，无需证明）．13．如图所示，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去……（1）记正方形ABCD的边长为a1=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4， …，a n，请求出a2，a3，a4的值．（2）根据以上规律写出a n的表达式．20.5 等腰梯形的判定1．下列结论中，准确的是（）A．等腰梯形的两个底角相等 B．两个底角相等的梯形是等腰梯形C．一组对边平行的四边形是梯形 D．两条腰相等的梯形是等腰梯形2．如图所示，等腰梯形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则图中全等三角形有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对3．课外活动课上，•老师让同学们制作了一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm，则两条对角线所用的竹条长度之和至少为（）A．2cm B．30cm C．60cm D．2cm4．等腰梯形上底，下底和腰分别为4，•10，•5，•则梯形的高为_____，•对角线为______． 5．一个等腰梯形的上底长为5cm，下底长为12cm，一个底角为60°，则它的腰长为____cm，周长为______cm．6．在四边形ABCD中，AD∥BC，但AD≠BC，若使它成为等腰梯形，则需要添加的条件是__________（填一个准确的条件即可）．7．如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，DE=AC，AD≠EC．求证：•四边形ADCE是等腰梯形．8．如图所示，四边形ABCD中，有AB=DC，∠B=∠C，且AD<BC，四边形ABCD是等腰梯形吗？为什么？9.如图所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=•12cm，•上底AD=15cm，∠BAD=120°，求下底BC的长．10.如图所示，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，E，•F•分别是OA，OD的中点，且EF≠AD，试判断四边形EBCF的形状，并说明你的理由．11．如图所示，小军将两根长度相等的木条AC，BD•交叉摆放，•并使木条AC，BD分别与水平线所成的夹角∠1，∠2相等，然后在交点O处钉一个钉子固定，OA<OC，•再用一根彩带沿AD，DC，CB，BA围起来，小军得到的四边形ABCD是等腰梯形吗？请说明你的理由．12.如图所示，在直角梯形纸片ABCD中，AB ∥DC， ∠A=90°，CD>AD，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点A落在边CD上的点E，折痕为DF，连结EF并展开纸片．（1）求证：四边形ADEF是正方形；（2）取线段AF的中点G，连结EG，结果BG=CD，试说明四边形GBCE是等腰梯形．13.如图20-5-8所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB，BC于点F，E，若AD=2，BC=8，求BE的长．14.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M，N分别为AD，BC的中点，E，F•分别是BM，CM的中点．（1）试说明△ABM≌△DCM；（2）四边形MENF是什么图形？请说明理由．（3）若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边BC的长有何数量关系？请说明理由．F B E D C A H F E D C B A第20章 平行四边形的判定测试一、认认真真选，沉着应战！1. 正方形具有菱形不一定具有的性质是 ( )（A ）对角线互相垂直 （B ）对角线互相平分 （C ）对角线相等 （D ）对角线平分一组对角2. 如图(1)，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的（ ）（A ）51 （B ）41 （C ）31 （D ）103(1) (2) (3)3．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，那么:::A B C D ∠∠∠∠能够等于（ ）（A ）4：5：6：3 （B ）6：5：4：3 （C ）6：4：5：3 （D ）3：4：5：64．如图(2)，平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，若ABCD 的周长为48，DE ＝5，DF ＝10，则ABCD 的面积等于( )（A ）87.5 （B ）80 （C ）75 （D ）72.55． A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①AB ∥CD; ②AB=CD; ③BC ∥AD; ④BC=AD 这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（ ）（A ）3种 （B ）4种 （C ）5种 （D ）6种6．如图(3)，D 、E 、F 分别是ABC 各边的中点，AH 是高，如果5ED cm =，那么HF 的长为（ ）（A ）5cm （B ）6cm （C ）4cm （D ）不能确定 7. 如图（4）：E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE ＝BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ ＋PR 的值是（ ）（A ）22 （B ）21 （C ）32 （D ）23 8．如图（5），在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB CD =，60C ∠=︒，BD 平分ABC ∠，如果这个梯形的周长为30，则AB 的长 （ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7E D CB A R PD B A （5）A B C D lC A9．右图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为20cm ，墙上悬挂晾衣架的两个铁钉A 、B 之间的距离为203cm ，则∠1等于( ) （A ）90° （Ｂ）60° （Ｃ）45° （Ｄ）30° 10．某校数学课外活动探究小组，在老师的引导下进一步研究了完全平方公式．结合实数的性质发现以下规律：对于任意正数a 、b ， 都有a+b ≥2ab 成立．某同学在做一个面积为3 600cm 2，对角线相互垂直的四边形风筝时，使用上述规律，求得用来做对角线用的竹条至少需要准备x cm ． 则x 的值是（ ）(A) 1202 (B) 602 (C) 120 (D) 60二、仔仔细细填，记录自信！11．一个四边形四条边顺次是a 、b 、c 、d ，且bd ac d c b a 222222+=+++，则这个四边形是_______________．12．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，从（1）AB CD =；（2）AB CD ∥；（3）OA OC =；（4）OB OD =；（5）AC BD ⊥；（6）AC 平分BAD ∠这六个条件中，选择三个推出四边形ABCD 是菱形．如（1）（2）（5）⇒ABCD 是菱形，再写出符合要求的两个： ⇒ABCD 是菱形；⇒ABCD 是菱形．13. 如图，已知直线l 把ABCD 分成两部分，要使这两部分的面积相等，直线l 所在位置需满足的条件是____________________.（只需填上一个你认为合适的条件）(第13题) (第16题14. 梯形的上底长为6cm ，过上底的一顶点引一腰的平行线，与下底相交，所构成的三角形周长为21cm ，那么梯形的周长为_________cm 。
中考数学复习《四边形》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《四边形》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 平行四边形的判定与计算【命题规律】1.考查内容：①平行四边形的性质及其相关计算；②平行四边形的判定.2.考查形式：①根据平行四边形的性质考查结论判断；②利用平行四边形的性质求角度、线段或面积；③添加条件使四边形为平行四边形.3.考查题型：性质在选择和填空题中考查居多，判定题近年来多在解答题中考查，有时会在二次函数压轴题中探究平行四边形的存在问题．【命题预测】平行四边形是四边形中主要的图形之一，性质与判定常常考查，是近年命题的重点． 1. 已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BC 的中点，以下说法错误的是( )A . OE ＝12DC B . OA ＝OC C . ∠BOE ＝∠OBA D . ∠OBE ＝∠OCE1. D第1题图 第2题图2. 如图，在▱ABCD 中，BM 是∠ABC 的平分线交CD 于点M ，且MC ＝2，▱ABCD 的周长是14，则DM 等于( )A . 1B . 2C . 3D . 42. C 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ABM ＝∠CMB ，∵BM 平分∠ABC ，∴∠ABM ＝∠CBM ，∴∠CBM ＝∠CMB ，∴CB ＝MC ＝2，∴AD ＝BC ＝2，∵▱ABCD 的周长是14，∴AB ＝CD ＝5，∴DM ＝DC －MC ＝3.3. 如图所示，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，若AB ∥CD ，请添加一个条件________(写一个即可)，使四边形ABCD 是平行四边形． 3. AD ∥BC (答案不唯一)第3题图 第4题图 第5题图 4. 如图，▱ABCD 中，AC ＝8，BD ＝6，AD ＝a ，则a 的取值范围是________．4. 1＜a ＜7 【解析】如解图，对角线AC ，BD 相交于点O ，则OA ＝12AC ＝4，OD ＝12BD ＝3，在△OAD中，OA －OD ＜AD ＜OA ＋OD ，即1＜a ＜7.5. 如图所示，在▱ABCD 中，∠C ＝40°，过点D 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交CB 的延长线于点F ，则∠BEF 的度数为__________． 5. 50°6. 如图，将▱ABCD 的AD 边延长至点E ，使DE ＝12AD ，连接CE ，F 是BC 边的中点，连接FD.(1)求证：四边形CEDF 是平行四边形； (2)若AB ＝3，AD ＝4，∠A ＝60°，求CE 的长．6. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴DE ∥FC.∵F 是BC 的中点， ∴FC ＝12BC ＝12AD ，∵DE ＝12AD ，∴FC ＝DE ，∴四边形CEDF 是平行四边形． (2)解：如解图，过点D 作DH ⊥BC 于点H. 由(1)知四边形DECF 是平行四边形，∴DF ＝CE.∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A ＝60°，AB ＝3，AD ＝4， ∴BC ＝4，CD ＝3，∠BCD ＝60°， 在Rt △DHC 中，HC ＝DC·cos ∠HCD ＝32，DH ＝DC ·sin ∠HCD ＝332，∵F 是BC 的中点， ∴FC ＝2，∴FH ＝FC －HC ＝2－32＝12，在Rt △DFH 中，由勾股定理得DF ＝DH 2＋FH 2＝（332）2＋（12）2＝7，∴CE ＝7.命题点2 矩形的判定与计算【命题规律】考查形式：①利用矩形性质，结合勾股定理求线段长或面积；②矩形的判定，一般在解答题中考查，也常在二次函数综合题中考查矩形的存在性问题；③矩形折叠的相关计算与证明(见命题点6：图形折叠的相关计算)．【命题预测】矩形性质将勾股定理、全等、相似等重要知识综合考查，是全国命题趋势之一． 7. 如图，在矩形ABCD 中(AD ＞AB)，点E 是BC 上一点，且DE ＝DA ，AF ⊥DE ，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是( )A . △AFD ≌△DCEB . AF ＝12AD C . AB ＝AF D . BE ＝AD －DF7. B 【解析】逐项分析如下表：选项逐项分析正误A∵四边形ABCD 是矩形，AF ⊥DE ，∴∠C ＝90°＝∠AFD ，AD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠CED ，∵AD ＝DE ，∴△AFD ≌△DCE (AAS)√B只有当∠ADF ＝30°时，才有AF ＝12AD 成立×C由△AFD ≌△DCE 可知，AF ＝DC ，∵矩形ABCD 中，AB ＝DC ，∴AB ＝AF√D∵△AFD ≌△DCE ，∴DF ＝CE ，∴BE ＝BC －CE ＝AD －DF √8. 已知矩形的对角线AC 与BD 相交于点O ，若AO ＝1，那么BD ＝________． 8. 2第7题图 第8题图 第9题图 9. 如图，矩形ABCD 的面积是15，边AB 的长比AD 的长大2，则AD 的长是________．9. 3 【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题. 设AD ＝x ，由题知，AB ＝x ＋2，又∵矩形ABCD 的面积为15，则x(x ＋2)＝15，得到x 2＋2x －15＝0，解得，x 1＝－5(舍) , x 2＝3，∴AD ＝3. 10. 如图所示，△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线AF 交CE 的延长线于F ，且AF ＝BD ，连接BF. (1)求证：D 是BC 的中点；(2)若AB ＝AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．10. (1)证明：∵点E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE. ∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE ，∠FAE ＝∠CDE ， ∴△EAF ≌△EDC(AAS )， ∴AF ＝DC. ∵AF ＝BD ， ∴BD ＝DC ，即D 是BC 的中点．(2)解：四边形AFBD 是矩形．证明如下： ∵AF ∥BD ，AF ＝BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形．∵AB ＝AC ，又由(1)可知D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴四边形AFBD 是矩形．11. 如图，点P 在矩形ABCD 的对角线AC 上，且不与点A ，C 重合，过点P 分别作边AB ，AD 的平行线，交两组对边于点E ，F 和点G ，H. (1)求证：△PHC≌△CFP；(2)证明四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．11. (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ∥AB ，AD ∥BC ，∠DCB ＝90°.∵EF ∥AB ，GH ∥AD ，∴EF ∥CD ，GH ∥BC ， ∴四边形PFCH 是矩形， ∴∠PHC ＝∠PFC ＝90°，PH ＝CF ，HC ＝PF ， ∴△PHC ≌△CFP(SAS )．(2)证明：由(1)知AB ∥EF ∥CD ， AD ∥GH ∥BC ，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是平行四边形， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠D ＝∠B ＝90°，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是矩形， ∴S 矩形PEDH ＝S 矩形PGBF .命题点3 菱形的判定与计算【命题规律】1.考查内容和形式：①根据菱形性质判断结论正误；②菱形的判定；③根据菱形的性质求角度、周长和面积；④与二次函数压轴题结合考查菱形的存在性问题.2.三大题型均会出现．【命题预测】菱形是特殊平行四边形中的重要内容，是中考常考知识，对菱形的性质与判定应做到牢固掌握．12. 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确．．．的是( ) A . AB ＝AD B . AC ⊥BD C . AC ＝BD D . ∠BAC ＝∠DAC12. C 【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A 正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B 正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C 错误；由∠BAC ＝∠DAC 可得对角线是角平分线，所以D 正确．第12题图 第13题图13. 已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB ＝45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D(0，1)，当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为( )A . (0，0)B . (1，12) C . (65，35) D . (107，57)13. D 【解析】如解图，连接CA 、AD ，CA 与OB 相交于点E ，过点E 作EF ⊥OA ，交OA 于点F .由题知点C 关于OB 的对称点是点A ，AD 与BO 的交点即为点P .根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分两组对角，可知△COE ∽△EOF ，∴CO EO ＝EO OF ，∵OC ＝OA ＝5，OE ＝OB 2＝25，∴OF ＝OE 2CO ＝（25）25＝4，根据勾股定理可得EF ＝OE 2－OF 2＝（25）2－42＝2，点E 的坐标为(4，2)，易得直线OE 的函数解析式为y ＝12x ，直线AD 的函数解析式是y ＝－15x ＋1，联立得：⎩⎨⎧y ＝12x y ＝－15x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝107y ＝57，∴点P 的坐标为(107，57)．14. 如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BD 的中点，若EF ＝2，则菱形ABCD 的周长为________． 14. 16 【解析】∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，∴AB ＝2EF ＝4，∴菱形ABCD 周长是4AB ＝16.第14题图 第15题图15. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝8，则菱形的面积是________．15. 24 【解析】如解图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝5，AC ＝8，且菱形的对角线互相垂直平分，∴OA ＝4，在Rt △AOB 中，由勾股定理得OB ＝3，∴BD ＝6，∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD＝12×8×6＝24. 16. 在菱形ABCD 中，∠A ＝30°，在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE ，则∠EBC 的度数为________．16. 105°或45° 【解析】如解图，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝150°，∠ABD ＝∠DBC ＝75°，且顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.分为以下两种情况：(1)当点E 在△ABD 内时，∠E 1BC ＝∠E 1BD ＋∠DBC ＝30°＋75°＝105°；(2)当点E 在△DBC 内时，∠E 2BC ＝∠DBC －∠E 2BD ＝75°－30°＝45°.综上所述，∠EBC 的度数为105°或45°.17. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点E 是AC 的中点，AC ＝2AB ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，作AF∥BC，连接DE 并延长交AF 于点F ，连接FC. 求证：四边形ADCF 是菱形．17. 证明：∵∠B ＝90°，AC ＝2AB ， ∴sin ∠ACB ＝12，∴∠ACB ＝30°， ∴∠CAB ＝60°， ∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝12∠CAB ＝30°，∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD ， ∵AF ∥CD ，∴∠DCE ＝∠FAE ，∠AFE ＝∠CDE ， 又∵AE ＝CE ，∴△AFE ≌△CDE(AAS )， ∴AF ＝CD ， 又AF ∥CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形， 又AD ＝CD ，∴四边形ADCF 是菱形．命题点4 正方形的判定与计算【命题规律】正方形的考查相对比较综合，难度较大，常在选择或填空的压轴题位置出现，考查知识点综合性强，涉及到正方形面积、边长和周长的计算．【命题预测】正方形综合了所有特殊四边形的性质，因此以正方形为背景出题更具有对知识的检验性，倍受命题人青睐，考生应加以关注．18. 如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边中点连线EF 为边的正方形EFGH 的周长为( )A . 2B . 2 2C . 2＋1D . 22＋118. B 【解析】∵正方形ABCD 的面积为1，∴BC ＝CD ＝1，∵E 、F 是边的中点，∴CE ＝CF ＝12，∴EF＝（12）2＋（12）2＝22，则正方形EFGH 的周长为4×22＝2 2. 19. ▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得▱ABCD 为正方形． 19. ∠BAD ＝90°(答案不唯一)20. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，N ，P ，G 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点M ，F ，Q 都在对角线BD 上，且四边形MNPQ 和AEFG 均为正方形，则S 正方形MNPQS 正方形AEFG的值等于________．20. 89【解析】设BD ＝3a ，∠CDB ＝∠CBD ＝45°，且四边形PQMN 为正方形，∴DQ ＝PQ ＝QM ＝NM＝MB ，∴正方形MNPQ 的边长为a ，正方形AEFG 的对角线AF ＝12BD ＝32a ，∵正方形对角线互相垂直，∴S 正方形AEFG ＝12×32a ×32a ＝98a 2，∴S 正方形MNPQ S 正方形AEFG ＝a 298a 2＝89.第20题图 第21题图21. 如图，正方形ABCD 的边长为22，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是OC 的中点，连接BE ，过点A 作AM⊥BE 于点M ，交BD 于点F ，则FM 的长为________． 21.55【解析】∵四边形ABCD 为正方形，∴AO ＝BO ，∠AOF ＝∠BOE ＝90°，∵AM ⊥BE ，∠AFO ＝∠BFM ，∴∠FAO ＝∠EBO ，在△AFO 和△BEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOF ＝∠BOE AO ＝BO ∠FAO ＝∠EBO ，∴△AFO ≌△BEO(ASA )，∴FO ＝EO ，∵正方形ABCD 的边长为22，E 是OC 的中点，∴FO ＝EO ＝1＝BF ，BO ＝2，∴在Rt △BOE 中，BE ＝12＋22＝5，由∠FBM ＝∠EBO ，∠FMB ＝∠EOB ，可得△BFM ∽△BEO ，∴FM EO ＝BF BE ，即FM1＝15，∴FM ＝55.22. 如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点A ，D ，G 在同一条直线上，且AD ＝3，DE ＝1，连接AC ，CG ，AE ，并延长AE 交CG 于点H. (1)求sin ∠EAC 的值； (2)求线段AH 的长．22.解：(1)由题意知EC ＝2，AE ＝10，如解图，过点E 作EM ⊥AC 于点M ， ∴∠EMC ＝90°，易知∠ACD ＝45°， ∴△EMC 是等腰直角三角形， ∴EM ＝2，∴sin ∠EAC ＝EM AE ＝55.(2)在△GDC 与△EDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧DG ＝DE ∠GDC ＝∠EDA DC ＝DA， ∴△GDC ≌△EDA(SAS )，∴∠GCD ＝∠EAD ， 又∵∠HEC ＝∠DEA ，∴∠EHC ＝∠EDA ＝90°， ∴AH ⊥GC ，∵S △AGC ＝12×AG ×DC ＝12×GC ×AH ，∴12×4×3＝12×10×AH ， ∴AH ＝6510.命题点5 多边形及其性质【命题规律】1.考查内容：①多边形的内外角和公式；②正多边形的有关计算.2.考查形式：①已知正多边形一个内角或外角的度数或内角之间的关系求边数；②已知正多边形的边数求内角度数；③求多边形的内外角和．【命题预测】多边形是三角形和四边形的延伸拓展，也是中考命题不容忽视的知识点． 23. 六边形的内角和是( )A . 540°B . 720°C . 900°D . 1080°23. B24. 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为( )A . 7B . 7或8C . 8或9D . 7或8或924. D 【解析】分类讨论：(1)切去一个角，减少一条边，设减少一条边后的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是9；(2)切去一个角，增加一条边，设增加一条边后的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是7；(3)切去一个角，边数无改变，设边数没有改变时的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是8，综上所述，原多边形的边数是9，7，8都符合题意，答案选择D.25. 若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是________．25. 6 【解析】设这个多边形的边数为n ，则内角和为(n －2)·180°，外角和为360°，则根据题意有：(n －2)·180°＝2×360°，解得n ＝6. 26. 一个正多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是________．26. 8 【解析】由正多边形的每一个外角都是45°，其外角和为360°，可得这个正多边形的边数是360°45°＝8.方法指导设正多边形的边数为n ，正多边形的外角和为360°，内角和为(n －2)×180°，每个内角的度数为180°×（n －2）n.命题点6 图形折叠的相关证明与计算【命题规律】考查内容和形式：图形折叠计算以矩形折叠考查居多，常考查：①图形的折叠计算角度；②图形的折叠计算线段长或边长；③图形折叠的证明和计算结合；④图形折叠的操作探究．【命题预测】图形折叠将原有图形变得可操作化，且又很好地引入了对称知识，使问题升华，有效地考查学生的知识迁移能力和掌握程度，是全国命题的主流趋势之一，值得每位考生关注．27. 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 的对应点为B′，AB ′与DC 相交于点E ，则下列结论一定正确的是( )A ．∠DAB ′＝∠CAB′ B ．∠ACD ＝∠B′CDC ．AD ＝AE D ．AE ＝CE27. D28. 如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE.若AB 的长为2，则FM 的长为( )A . 2B . 3C . 2D . 128. B第28题图 第29题图29. 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A′处，点B 落在点B′处．若∠2＝40°，则图中∠1的度数为( )A . 115°B . 120°C . 130°D . 140°29. A 【解析】由折叠的性质知∠EA ′B ′＝∠A ＝90°，∵∠2＝40°，∴∠B ′A ′C ＝50°，∴∠EA ′D ＝40°，∠DEA ′＝50°，∴∠AEA ′＝130°，∴∠AEF ＝∠FEA ′＝12∠AEA ′＝65°，∵AD ∥BC ，∴∠1＝180°－65°＝115°.30. 如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B 为( )A . 66°B . 104°C . 114°D . 124°30. C 【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋44°＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.第30题图 第31题图 第32题图31. 如图，将△ABC 沿直线DE 折叠，使点C 与点A 重合，已知AB ＝7，BC ＝6，则△BCD 的周长为________． 31. 13 【解析】由折叠的性质可得：CD ＝AD ，∴△BCD 的周长＝BC ＋CD ＋BD ＝BC ＋AD ＋BD ＝BC ＋BA ＝6＋7＝13.32. 如图，在▱ABCD 中，E 为边CD 上一点，将△ADE 沿AE 折叠至△AD′E 处，A D′与CE 交于点F ，若∠B ＝52°，∠DAE ＝20°，则∠FED′的大小为________．32. 36° 【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.33.如图，将矩形纸片ABCD(AD ＞AB)折叠，使点C 刚好落在线段AD 上，且折痕分别与边BC ，AD 相交．设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；(2)若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围．33. 解：(1)四边形CEGF是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠FEC，∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折痕，∴∠GEF＝∠FEC，∴∠GFE＝∠GEF，∴GF＝GE，∵图形翻折后EC与GE完全重合，FC与FG重合，∴GE＝EC＝GF＝FC，∴四边形CEGF为菱形．(2)如解图①，当点F与点D重合时，四边形CEGF是正方形，此时CE最小，且CE＝CD＝3；如解图②，当点G与点A重合时，CE最大．设EC＝x，则BE＝9－x，由折叠性质知，AE＝CE＝x，在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即9＋(9－x)2＝x2，解得x＝5，∴CE＝5，所以，线段CE的取值范围为3≤CE≤5.34.如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.(1)求证：四边形BCED′是菱形；(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．34. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝60°，由折叠性质可知，∠D＝∠AD′E＝60°，∴∠AD′E＝∠B＝60°，∴ED′∥BC，又∵EC∥D′B，∴四边形BCED′是平行四边形，∴ED′＝BC＝AD＝1，∴DE＝ED′＝1，又DC＝AB＝2，∴EC ＝1， ∴EC ＝ED′，∴四边形BCED′是菱形． (2)解：如解图所示，由折叠性质PD′＝PD ，BD 之长即为所求， 作DG ⊥BA 的延长线于点G ， ∵∠DAB ＝120°， ∴∠DAG ＝60°， ∵∠G ＝90°， ∴∠ADG ＝30°，在Rt △ADG 中，AD ＝1， ∴AG ＝12，DG ＝32，∵AB ＝2， ∴BG ＝52，在Rt △BDG 中，由勾股定理得：BD 2＝BG 2＋DG 2＝7， ∴BD ＝7，即PD′＋PB 的最小值为7.方法指导“将军饮马”模型：直线同侧两定点，在直线上确定一点使该点到两定点的距离和最小．作法：作其中一点关于直线的对称点，连接另一点和对称点的线段即是最短距离和；最短距离计算方法：构造以最短距离线段为斜边的直角三角形，利用勾股定理求解．中考冲刺集训一、选择题1.关于▱ABCD 的叙述，正确的是( )A . 若A B⊥BC，则▱ABCD 是菱形B . 若AC⊥BD，则▱ABCD 是正方形C . 若AC ＝BD ，则▱ABCD 是矩形 D . 若AB ＝AD ，则▱ABCD 是正方形2.设四边形的内角和等于a ，五边形的外角和等于b ，则a 与b 的关系是( )A . a ＞bB . a ＝bC . a ＜bD . b ＝a ＋180°3.如图，正五边形ABCDE 放入某平面直角坐标系后，若顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b ，m)，(c ，m)．则点E 的坐标是( )A . (2，－3)B . (2，3)C . (3，2)D . (3，－2)第3题图 第4题图4.如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＋BD ＝16，CD ＝6，则△ABO 的周长是( )A . 10B . 14C . 20D . 225.菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AD ，CD 边上的中点，连接EF.若EF ＝2，BD ＝2，则菱形ABCD 的面积为( )A . 2 2B . 4 2C . 6 2D . 8 2第5题图 第6题图 第7题图6.如图，平行四边形ABCD 的周长是26 cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，AC ⊥AB ，E 是BC 中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，则AE 的长度为( )A . 3 cmB . 4 cmC . 5 cmD . 8 cm7.如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ，若BE∶EC ＝2∶1，则线段CH 的长是( )A . 3B . 4C . 5D . 68.如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作EF∥AD，与AC 、DC 分别交于点G 、F2H 为CG 的中点，连接DE 、EH 、DH 、FH.下列结论：①EG ＝DF ；②∠AEH＋∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若AE AB ＝23，则3S △EDH ＝13S △DHC ，其中结论正确的有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题9.如图，在▱ABCD 中，BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，若∠1＝20°，则∠2的度数为________．10.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，则菱形ABCD 的高DH ＝________．第9题图 第10题图 第11题图11.如图，延长矩形ABCD 的边BC 至点E ，使CE ＝BD ，连接AE.如果∠ADB＝30°，则∠E＝________度. 12.如图，正方形ABCO 的顶点C ，A 分别在x 轴，y 轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线，若∠D＝60°，BC ＝2，则点D 的坐标是________．第12题图 第13题图 第14题图 13.如图，正十二边形A 1A 2…A 12，连接A 3A 7，A 7A 10，则∠A 3A 7A 10＝________°.14.如图，菱形ABCD 的面积为120 cm 2，正方形AECF 的面积为50 cm 2，则菱形的边长为________cm . 15.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10.点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处．有下列结论： ①∠EBG ＝45°；②△DEF∽△ABG；③S △ABG ＝32S △FGH ；④AG ＋DF ＝FG.其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)第15题图 第16题图16.如图，正方形ABCD 的面积为3 cm 2，E 为BC 边上一点，∠BAE ＝30°，F 为AE 的中点，过点F 作直线分别与AB ，DC 相交于点M ，N.若MN ＝AE ，则AM 的长等于________cm . 三、解答题17.如图，在▱ABCD 中，连接BD ，在BD 的延长线上取一点E ，在DB 的延长线上取一点F ，使BF ＝DE ，连接AF 、CE. 求证：AF∥CE.18.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．19.如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N.(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；(2)已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．20.如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.求证：(1)∠CEB＝∠CBE；(2)四边形BCED是菱形．21.已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P.(1)求证：AP＝BQ;(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ长．22.已知正方形ABCD中，BC＝3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF＝BE，连接AE、AF，过点A作AH⊥ED于H点．(1)求证：△ADF≌△ABE；(2)若BE＝1，求tan∠AED的值．23.如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD 、CE 交于点F. (1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB ＝2，∠BAC ＝45°，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长．24.如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG∥CD 交AF 于点G ，连接DG. (1)求证：四边形EFDG 是菱形；(2)探究线段EG 、GF 、AF 之间的数量关系，并说明理由； (3)若AG ＝6，EG ＝25，求BE 的长．答案与解析：1. C2. B3. C4. B5. A 【解析】∵E ，F 分别是 AD ，CD 边上的中点，即EF 是△ACD 的中位线，∴AC ＝2EF ＝22，则菱形ABCD 的面积＝12AC ·BD ＝12×22×2＝2 2.6. B 【解析】在▱ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，BO ＝DO ，∵平行四边形ABCD 的周长为26 cm ，∴AB ＋BC ＝13 cm ，又∵△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，∴AD －AB ＝BC －AB ＝3 cm ，解得AB ＝5 cm ，BC ＝8 cm ，又AB ⊥AC ，E 是BC 的中点，∴AE ＝BE ＝CE ＝12BC ＝4 cm.7. B 【解析】设CH ＝x ，∵BE ∶EC ＝2∶1，BC ＝9，∴EC ＝3，由折叠可知，EH ＝DH ＝9－x ，在Rt △ECH 中，由勾股定理得：(9－x )2＝32＋x 2，解得：x ＝4.8. D 【解析】逐项分析如下表：序号逐项分析正误难点突破对于多选项判断正误性的题目，几乎每个选项之间都是紧密联系的，单独判断其中每个的正误或跳跃式判断往往使题目变得复杂而无法求解，本题目难点在于④中，需将S △FDH 与已知条件AE AB ＝23联系起来，并用含相同未知数的代数式分别表示出S △EDH 和S △DHC ，继而求解．9. 110° 【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，∴∠CAB ＝∠1＝20°，∵BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，∴∠ABE ＝90°，∴∠2＝∠CAB ＋∠ABE ＝20°＋90°＝110°.10. 4.8 【解析】∵S ＝1AC·BD ＝2AB·DH ，∴AC ·BD ＝2AB·DH.∵四边形ABCD 是菱形，∴∠AOB ＝90°，AO ＝12AC ＝4，BO ＝12BD ＝3，∴在Rt △AOB 中，AB ＝42＋32＝5，∴DH ＝8×62×5＝4.8.第11题解图11. 15 【解析】如解图，连接AC.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AC ＝BD ，又∵AB ＝BA ，∴△DAB ≌△CBA(SSS )，∴∠ACB ＝∠ADB ＝30°，∵CE ＝BD ，∴AC ＝CE ，∴∠E ＝∠CAE ＝12∠ACB＝15°.第12题解图12. (3＋2，1) 【解析】如解图，过点D 作DG ⊥BC 于G ，DF ⊥x 轴于F ，∵在菱形BDCE 中，BD ＝CD ，∠BDC ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴DF ＝CG ＝12BC ＝1，CF ＝DG ＝3，∴OF ＝3＋2，∴D(3＋2，1)．13. 75 【解析】∵多边形A 1A 2…A 12是正十二边形，作它的外接圆⊙O ，∴劣弧A 10A 3的度数＝5×360°12＝150°，∴∠A 3A 7A 10＝12×150°＝75°.第14题解图14. 13 【解析】如解图，连接AC 、BD 交于O ，则有12AC·BD ＝120，∴AC ·BD ＝240，又∵菱形对角线互相垂直平分，∴2OA ·2OB ＝240，∴ OA ·OB ＝60，∵AE 2＝50, OA 2＋OE 2＝ AE 2，OA ＝OE ，∴OA ＝5，∴OB ＝12，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝122＋52＝13.15. ①③④ 【解析】由折叠的性质得，∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，∴∠EBG ＝∠FBE ＋∠FBG ＝12×90°＝45°，故①正确；由折叠的性质得，BF ＝BC ＝10，BA ＝BH ＝6，∴HF ＝BF －BH ＝4，AF ＝BF 2－BA 2＝102－62＝8，设GH ＝x ，则GF ＝8－x ，在Rt △GHF 中，x 2＋42＝(8－x)2，∴x ＝3，∴GF ＝5，∴AG ＝3，同理在Rt △FDE 中，由FD 2＝EF 2－ED 2，得ED ＝83，EF ＝103，∴ED FD ＝43≠ABAG ＝2，∴△DEF 与△ABG 不相似，故②不正确；S △ABG ＝12×3×6＝9，S △FGH ＝12×3×4＝6，∴S △ABG S ＝96＝32，故③正确；∵AG ＝3，DF ＝AD －AF ＝2，∴FG ＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，故④正确．综上，答案是①③④.第16题解图16.233或33【解析】如解图，过N 作NG ⊥AB ，交AB 于点G ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝NG ＝ 3 cm ，在Rt △ABE 中，∠BAE ＝30°，AB ＝ 3 cm ，∴BE ＝1 cm ，AE ＝2 cm ，∵F 为AE 的中点，∴AF ＝12AE ＝1 cm ，在Rt △ABE 和Rt △NGM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝NG AE ＝NM ，∴Rt △ABE ≌Rt △NGM(HL )，∴BE ＝GM ，∠BAE ＝∠MNG ＝30°，∠AEB ＝∠NMG ＝60°，∴∠AFM ＝90°，即MN ⊥AE ，在Rt △AMF 中，∠FAM ＝30°，AF ＝1 cm ，∴AM ＝AF cos 30°＝132＝233 cm ，由对称性得到AM′＝BM ＝AB －AM ＝3－233＝33 cm ，综上，AM 的长等于233或33 cm . 17. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，第17题解图∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴∠1＝∠2， 又∵BF ＝DE ，∴BF ＋BD ＝DE ＋BD ， 即DF ＝BE.∴△ADF ≌△CBE(SAS )． ∴∠AFD ＝∠CEB ，∴AF ∥CE.18. (1)【思路分析】根据四边形ABCD 是菱形，∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，可求出∠DBC 的度数，其正切值可求出．解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠DBC ＝12∠ABC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°， 又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan 30°＝33. (2)【思路分析】由BE ∥AC ，CE ∥BD 可知四边形BOCE 是平行四边形，再结合菱形对角线垂直的性质即可证明四边形BOCE 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，即∠BOC ＝90°， ∵BE ∥AC ，CE ∥BD ， ∴BE ∥OC ，CE ∥OB ，∴四边形OBEC 是平行四边形，且∠BOC ＝90°，∴四边形OBEC 是矩形．19. (1)证明：∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴AM ∥CN ，又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴MC ∥AN ，∴四边形CMAN 是平行四边形．(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ADE ＝∠CBF ，AD ＝CB ， 又∵∠AED ＝∠CFB ＝90°， ∴△AED ≌△CFB(AAS )， ∴DE ＝BF ＝4，∴在Rt △BFN 中，BN ＝32＋42＝5.20. (1)【思路分析】要证∠CEB ＝∠CBE ，结合CE ∥DB ，可得到∠CEB ＝∠DBE ，从而只需证明∠CBE ＝∠DBE ，结合△ABC ≌△ABD 即可得证．证明：∵△ABC ≌△ABD ， ∴∠ABC ＝∠ABD ， ∵CE ∥BD ，∴∠CEB ＝∠DBE ，∴∠CEB ＝∠CBE.(2)证明：∵△ABC ≌△ABD ，∴BC ＝BD ， 由(1)得∠CEB ＝∠CBE ， ∴CE ＝CB ， ∴CE ＝BD ， ∵CE ∥BD ，∴四边形BCED 是平行四边形， ∵BC ＝BD ，∴四边形BCED 是菱形．21. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD, ∠BAQ ＋∠DAP ＝90°＝∠DAB ， ∵DP ⊥AQ ，∴∠DAP ＋∠ADP ＝90°， ∴∠BAQ ＝∠ADP.在△DAP 和△ABQ 中， ⎨⎪⎧∠APD ＝∠AQB ＝90°∠ADP ＝∠BAQ ，∴△DAP ≌△ABQ(AAS )，∴AP ＝BQ.(2)解：①AQ 和AP ；②DP 和AP ；③AQ 和BQ ；④DP 和BQ.【解法提示】①由题图直接得：AQ －AP ＝PQ ；②∵△ABQ ≌△DAP ，∴AQ ＝DP ，∴DP －AP ＝ AQ －AP ＝PQ ；③∵△ABQ ≌△DAP ，∴BQ ＝AP ，∴AQ －BQ ＝AQ －AP ＝PQ ；④∵△ABQ ≌△DAP ，∴DP ＝AQ ，BQ ＝AP ，∴DP －BQ ＝AQ －AP ＝PQ.22. (1)证明：在△ADF 和△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠ABE ＝∠ADF ＝90°EB ＝FD， ∴△ADF ≌△ABE(SAS )．(2)解：∵AB ＝3，BE ＝1，∴AE ＝10，EC ＝4，∴ED ＝CD 2＋EC 2＝5，设AH ＝x ，EH ＝y ，在Rt △AHE 和Rt △AHD 中，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝10x 2＋（5－y ）2＝9， 解得，x ＝1.8，y ＝2.6，∴tan ∠AED ＝AH EH ＝x y ＝1.82.6＝913. 23. (1)证明：∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，AE ＝AC ，∠BAC ＝∠DAE ，∵AB ＝AC ，∴AD ＝AB ＝AE ＝AC ，∠EAC ＝∠DAB ，在△AEC 和△ADB 中∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝ AE ∠EAC ＝∠DAB AB ＝AC， ∴△AEC ≌△ADB(SAS )．(2)解：当四边形ADFC 是菱形时，AC ＝DF ，AC ∥DF ，∴∠BAC ＝∠ABD ，又∵∠BAC ＝45°，∴∠ABD ＝45°，又∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，∴∠DAB ＝90°，又∵AB ＝2，由勾股定理可得：BD ＝AD 2＋AB 2＝2AB ＝22，在菱形ADFC 中，DF ＝AD ＝AB ＝2，∴BF ＝BD －DF ＝22－2.24. (1)【思路分析】根据折叠的性质，易得DF ＝EF ，DG ＝EG ，∠AFD ＝∠AFE ，再由EG ∥DC ，可得∠EGF ＝∠AFD ，从而得出EG ＝EF.根据四条边都相等的四边形是菱形得证；证明：由折叠的性质可得，EF ＝FD ，∠AEF ＝∠ADF ＝90°，第24题解图∠EFA ＝∠DFA ，EG ＝GD.∵EG ∥DC ，∴∠DFA ＝∠EGF ，∴∠EFA ＝∠EGF ，∴EF ＝EG ＝FD ＝GD ，∴四边形EFDG 是菱形．(2)【思路分析】由(1)可知EG ＝EF ，连接DE ，则DE 与GF 相互垂直平分，证得Rt △FHE ∽Rt △FEA ，列比例式，结合FH ＝12GF 得到EG 、GF 、AF 的关系； 解：如解图，连接ED ，交AF 于点H ，∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝DH ＝12DE. ∵∠FEH ＝∠FAE ＝90°－∠EFA ，∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ，∴EF FH ＝AF EF，即EF 2＝FH·AF ， ∴EG 2＝12GF·AF. (3)【思路分析】把AG ，EG 代入(2)中的关系式，求得GF ，AF 的值，根据勾股定理求得AD ，DE ，再证Rt △ADF ∽Rt △DCE ，可求出EC ，从而可求出BE 的值．解：∵AG ＝6，EG ＝25，EG 2＝12GF·AF ， ∴(25)2＝12(6＋GF)·GF ，∴GF ＝4， ∴AF ＝10.∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45，DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8. ∵∠CDE ＋∠DFA ＝90°，∠DAF ＋∠DFA ＝90°，∴∠CDE ＝∠DAF ，∴Rt △ADF ∽Rt △DCE ，∴EC DF ＝DE AF ，即EC 25＝810， ∴EC ＝855， ∴BE ＝BC －EC ＝AD －EC ＝45－855＝1255.。
(完整版)平行四边形的性质习题(有答案)
平行四边形的性质测试题一、选择题（每题 3 分共 30 分）1．下边的性质中，平行四边形不必定具备的是（）A．对角互补B．邻角互补C．对角相等D．内角和为 360°2．在中，∠ A：∠ B：∠ C：∠ D 的值能够是（）A ．1：2：3：4B ．1：2：1：2C ．1：1：2：2 D．1： 2：2：13．平行四边形的对角线和它的边能够构成全等三角形（）A．3对B．4 对 C ．5对D． 6 对A D 4．以下图，在中，对角线 AC、BD交于点 O，?以下式子中一O 定建立的是（）B CA．AC⊥ BD B ． OA=OC C． AC=BD D ．AO=OD5．以下图，在中， AD=5，AB=3，AE均分∠ BAD交BC A D边于点 E，则线段 BE、 EC的长度分别为（）BE C A ．2和3 B．3和2 C ．4和1 D ．1和46．的两条对角线订交于点 O，已知 AB=8cm，BC=6cm，△AOB的周长是 18cm，那么△ AOD的周长是（）A ．14cmB ．15cmC ．16cmD ．17cm7．平行四边形的一边等于14，它的对角线可能的取值是（）A ．8cm和 16cmB ．10cm和 16cmC ． 12cm和 16cmD ． 20cm和 22cm 8．如图，在中，以下各式不必定正确的选项是（）A．∠ 1+∠ 2=180° B ．∠ 2+∠ 3=180C．∠ 3+∠ 4=180°D．∠ 2+∠4=180°9．如图，在中，∠ ACD=70°，AE⊥ BD于点E，则∠ ABE等于（）A、20°B、25° C 、 30° D 、35°10．如图，在△ MBN中， BM=6，点 A、C、D 分别在 MB、NB、MN上，四边形 ABCD为平行四边形，∠NDC=∠ MDA，那么的周长是（）二、填空题（每题 3 分共 18 分）11．在中，∠ A：∠ B=4：5，则∠ C=______．12．在中， AB：BC=1：2，周长为 18cm，则 AB=______cm，AD=_______cm．13．在中，∠A=30°，则∠ B=______，∠C=______，∠D=________．14．如图，已知：点 O是的对角线的交点， ?AC=?48mm，?BD=18mm，AD=16mm，那么△ OBC的周长等于 _______mm．15．如图，在中，E、F是对角线BD上两点，要使△ ADF≌△ CBE，还需增添一个条件是 ________．16．如图，在中，EF∥ AD，MN∥ AB，那么图中共有_______?个平行四边形．三、解答题17．已知：如图，在中，E、F是对角线AC?上的两点，AE=CF．BE与DF的大小有什么关系，并说明原因。
第20章《平行四边形的判定》测试题3
第20章《平行四边形的判定》测试题3一、填空题1、顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个四边形。
2．命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是 ．3．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20cm ，则其对角线长为_______，矩形的面积为________．4．一个菱形的两条对角线长分别为6cm ，8cm ，这个菱形的边长为_______，•面积S=______．5．如图，□ABCD 中，AE 、CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF 为菱形，则添加的一个条件可以是 （只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）.6、如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上的两点，要使△ADF ≌△CBE ，还需添加一个什么条件？ 。
（只需添加一个条件）三、证明题1、在平行四边形ABCD 中，E 、F 为对角线BD 上的三等分点。
求证：四边形AFCE 是平行四边形。
2、在如图菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点。
求证：OE=OF 。
A B C DE F （第15题）B D A CF E3、已知：如图，已知：D 是△ABC 的边AB 上一点，CN ∥AB ，DN 交AC 于， 若MA=MC ，求证：四边形ADCN 是平行四边形4．已知：如图，D 是△ABC 的BC 边上的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ，且BF=CE.求证：（1）△ABC 是等腰三角形；（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE 是怎样的四边形，证明你的结论.4、已知：如图7，在梯形ABCD 中A D ∥BC ，AB=DC 。
点E 、F 、G 分别在边AB 、BC 、CD 上，AE=GF=GC 。
（1） 求证：四边形AEFG 是平行四边形；（2） 当∠FGC=2∠EFB 时，求证：四边形AEFG 是矩形。
《平行四边形的判别》测试题
．
是平行 四边 形 的是
C
．
1： ： ： 2 3 4
．
2 ： ： ： 2 3 3
，
2 ： ： ： 3 2 3 A B CD
[
[
D
．
2 ： ： ： 3 3 2
撬，
C C
+
+
D
的度数之 比 其
，
引 引 到
( )
1 1 A C
．
下列条件 中 能判定 四边形
A B
以B
=
是平行 四边 形 的是
G= 180
B
．
现 有
块 等腰 直 角 三 角形 的铁板
一 ．
通 过 切 割 焊接成
，
．
一
个含有 点
．
角 的平 行 四边 形 请你设 计
15
．
种 最 简单 的方 案 并说 明理 由
如图
，
6
=
，
在 四边形
．
A B CD
中
，
A B
=
D C A D
，
=
日C
：
点
D
．
E
在
B D
=
B C 上
，
F
在
曰
A D 上 16
．
D F
B E E F 7
，
的
图 2
爿 C
两点
，
当
满足
3
的条件时
四 边 形 A E CF 是
B D
平行 四边形
6
．
如图
，
在 网格 图 中
一 — —
，
以 格 点 A
平行四边形试题集含答案
图1 AB 初二数学平行四边形专题练习1．如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm ．2．（08贵阳市）如图1，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．3.若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件 (写一个即可)，使四边形ABCD 是菱形．4．在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△ABO 的周长为17，AB ＝6，那么对角线AC ＋BD ＝⒎以正方形ABCD 的边BC 为边做等边△BCE ，则∠AED 的度数为 .5．已知菱形ABCD 的边长为6，∠A ＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB ＝PD ＝2那么AP 的长为 ．6．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5)， B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D ，使四边形ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是 ． 二、选择题（每题3分，共30分）7．如图2在平行四边形ABCD 中，∠B=110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连结EF ，则∠E ＋∠F ＝( ) A ．110° B ．30° C ．50° D ．70°图2 图3 图4 8．菱形具有而矩形不具有的性质是 ( ) A ．对角相等 B ．四边相等 C ．对角线互相平分 D ．四角相等9．如图3所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE=3 cm ，则AB 的长为 ( ) A ．3 cm B ．6 cm C ．9 cm D ．12 cm10．已知：如图4，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边 AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝2，AD ＝4，E AF D C B HG则图中阴影部分的面积为( )A．8 B．6 C．4 D．311．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形( )A．①③⑤B．②③⑤C．①②③D．①③④⑤12．如图5所示，是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周长是( )A．88 mm B．96 mm C．80 mm D．84 mm图5 图613、（08甘肃省白银市）如图6所示，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠=，则AEF150∠=（）A．110° B．115°C．120° D．130°14、四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，使得ABCD是平行四边形，一共有多少种不同的组合？（）AB∥CD BC∥AD AB=CD BC=ADA.2组B.3组C.4组D.6组15、下列说法错误的是（）A.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.B.每组邻边都相等的四边形是菱形.C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形.D.四个角都相等的四边形是矩形.三、解答题16、如图7，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8 cm ,BD＝6 cm, DH⊥AB于H，求：DH的长。
平行四边形测试题及答案
平行四边形测试题及答案一、选择题1. 平行四边形的定义是什么？A. 两组对边分别平行的四边形B. 两组对边分别相等的四边形C. 对角线互相平分的四边形D. 四边形的对角线互相垂直答案：A2. 平行四边形的对角线具有什么性质？A. 互相垂直B. 互相平分C. 相等D. 互相平行答案：B3. 下列哪个图形不是平行四边形？A. 矩形B. 菱形C. 梯形D. 正方形答案：C4. 平行四边形的对边具有什么性质？A. 相等B. 平行C. 垂直D. 互相垂直答案：B5. 平行四边形的对角线将平行四边形分成几个全等的三角形？A. 1B. 2C. 4D. 8答案：B二、填空题6. 平行四边形的对角线互相________。
答案：平分7. 平行四边形的对边互相________。
答案：平行8. 如果一个四边形的对角线互相平分且相等，那么这个四边形一定是________。
答案：矩形9. 平行四边形的面积可以通过底和高的乘积来计算，公式为________。
答案：面积 = 底× 高10. 菱形是特殊的平行四边形，它的四条边都________。
答案：相等三、简答题11. 请描述平行四边形的判定定理。
答案：一个四边形是平行四边形，如果满足以下任一条件：（1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；（3）对角线互相平分；（4）一组对边平行且相等。
12. 在平行四边形中，如果一组对边是垂直的，那么这个平行四边形是什么形状？答案：如果一组对边垂直，那么这个平行四边形是矩形。
四、计算题13. 已知平行四边形的底为10cm，高为5cm，求其面积。
答案：面积= 10cm × 5cm = 50平方厘米14. 已知平行四边形的对角线长度分别为8cm和6cm，且对角线互相平分，求平行四边形的面积。
答案：设平行四边形的面积为S，对角线交点为O，那么OA=4cm，OB=3cm，根据三角形面积公式，S = 2 × (1/2) × OA × OB = 2 × (1/2) × 4cm × 3cm = 12平方厘米。
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平行四边形的性质及判定测试题
班级_______学号_______姓名_______成绩_______ 一、填空：（每空4分，共52分）
1、平行四边形的周长为36cm ，相邻两边的比为1:2，则它的两邻边长分别是____________
2、在平行四边形ABCD 中，已知AB 、BC 、CD 三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是 。
3、如图，在平行四边形ABCD 中，GH EF AB GH AD EF 、,//,//相交于点O ，则图中共有________个平行四边形．
4、平行四边形ABCD 中，∠A ＝45°，BC ＝2 ，则AB 与CD 之间的距离是 ；若AB ＝3，四边形ABCD 的面积是 ， ΔABD 的面积是 ．
5、在平行四边形ABCD 中，ABC BC AB ∠==,3,1与BCD ∠的平分线分别交AD 于E 、F ，则EF 的长为_____．
6、平行四边形的两个邻角的平分线相交所成的角是_________°
7、若□ABCD 与□ABEF 有公共边AB ，那么四边形DCEF 是________
8、在四边形ABCD 中，AC 是对角线，若BAC DCA BCA DAC ∠=∠∠=∠,，且︒=∠62D ，则____=∠B ．
9、在△ABC 中，AB=6cm ，AC=8cm ，BC=10cm ，D 、E 、F 分别是各边中点，则△DEF 的周长= ，△DEF 的面积是 ．
10、A,B,C,D 在同一个平面内，从①CD AB //② AB=CD ③AD BC //④BC=AD 这四个条件中任意选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有_____种 二、解答题：（共48分）
1、已知如图，O 为平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点，EF 经过点O ，且与AB 交于E ，与CD 交于F 。
求证：四边形AECF 是平行四边形。
2、已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是OA 、OC 的中点，求证：BM ∥DN ，且BM=DN 。
3、如图,四边形ABCD 是平行四边形,AB=10，AD=8，AC ^ BC,求AC 、OA 以及平行四边形ABCD 的面积
4、如图所示：四边形ABCD 是平行四边形，DE 平分BF ADC ,∠平分ABC ∠．试证明四边形BFDE 是平行四边形．
5、叙述并证明三角形中位线定理。