弹塑性力学(浙江大学课件)
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工程弹塑性力学-第五章
在e＝0处与s轴相切
s A 理想刚塑性模型
只有两个参数A和n，因而也不可能 准确地表示材料的所有特征。但由 于解析式比较简单，而且n可以在较 大范围内变化，所以也经常被采用。
5.2 应力应变简化模型
5. Ramberg-Osgood模型 (三参数模型)
s /s1
有三个参数，能较 好地代表真实材料， 数学表达式简单。
（1）小变形时，e E；变形程度越大， 误差越大。
ln ln
ln(1 ln
l0 ) ln(1 e ) e
e2
e3
e4
L
(5.22)
l0
l0
234
e
1.6 1.2 0.8 0.4
O -0.4 -0.8 -1.2 -1.6
E=lnl/l0
1.0 1.2 1.4 1.6 l/l0
当变形程度小于10% 时，两值比较接近。
(a) 理想刚塑性模型
s
(b) 线性强化刚塑性模型
s
ss
ss
e
O
s ss, 当e 0时
特别适宜于塑性极限载荷的分析。
e
O
s ss E1e , 当e 0时
5.2 应力应变简化模型
3. 一般加载规律
s (e ) Ee[1w(e )]
(5.12)
w(e ) 其中，w(e )
0,
Ee
(e ) , Ee
ss’’
’
B
B’
’
等向强化’：
OABB’’
随动强化： OABB’
5.2 应力应变简化模型
例题：已知一单向加载过程的应力路径为01.5ss 0 –ss 0，材料符
合线性随动强化规律，强化模量E’E/100，试求出对应的应变路径。
工程弹塑性力学第八章.pptx
8.1 平面应变问题的基本方程
物体的各点位移发生在xoy平面内：
u u(x, y) v v(x, y) w 0 (8.1)
应变分量为:
x
u x
,
y
v y
,
z
0
(8.2)
xy
v x
u , y
yz
zx
0
z 0
x
x (x, z
y), y z (x, y)
y (x,
y)
(8.3)
xy
xy (x,
y),
yz zx 0
8.1 平面应变问题的基本方程
理想刚塑性材料的总应变分量：
忽略弹性变形
p
ij
ij
(8.4)
流动速度场
du
dv
dw
vx (x, y) dt , vy (x, y) dt , vz (x, y) dt 0
应变率张量
vx
x
1 ( vx vy ) 2 y x
8.1 平面应变问题的基本方程
间断条件
对于应力场，作用与反作用定律要求：间断线上的应力矢量应连续， (•n)+= (•n) 连续，其余分量可以间断
n
n
nt
nt
t
t
对于速度场，连续性条件要求：法向分量应连续，切线分量可以间断， 塑性区可相对于刚性区作相对滑动，即：
vn vn vt vt
0代入
vx 0, vy 0 (8.26)
x
y
沿特征线的正应变率 等于零，没有伸缩。
8.2 特征线和滑移线
三、沿滑移线上的速度方程式
y 图 8.4 速度的坐标变换
vx v cos v sin
塑性力学简单的弹塑性问题优秀课件
一、按增量理论求解
对理想弹塑性材料，增量本构方程是 Prandtl-Reuses 关系，于是：
d z
1 E
d z
d
2 3
z
,
1 2
d z
1 2G
dz
d
z
(6-19)
无量纲化后得到：
消去 d 得：
d d d, d d d,
d d d d
(6-20)
(6 21)
由（6-18）式知 1 2 及 d d 0,
路径①沿OBC。在B点有0 0, 0 0。
A
在BC段上有 1 ln1 , 2 1
D ③
解出 e2y 1 tanh ,
e2y 1
O
在C点
e2 e2
1 1
0.76,
1 2 0.65
(6 30)
C ①
B
类似地，对路径②，即阶梯变形路径OAC可求得 0.76和 0.65
路径③是比例加载路径ODC，其上 d d 。在到达D点时，
Tp 2 A pdxdy
6 100
就是截面的塑性极限扭矩。
仍以半径为a的圆柱体为例，它处于全塑性扭转状态时， p 表面必然是一个
圆锥，既然斜率是 s , 高度就应为 sa，按（6-100）式求出
Tp
2 3
sa3.
6 101
与（6-96）式相比可知对圆柱体
Tp / Te 4 / 3.
6 102
塑性力学简单的弹 塑性问题
塑性力学
第六章 简单的弹塑性问题
§6.1 弹塑性边值问题的提法 §6.2 薄壁筒的拉扭联合变形 §6.5 柱体的弹塑性自由扭转 §6.6 受内压的厚壁圆筒 §6.7 旋转圆盘
工程弹塑性力学课件
工程弹塑性力学课件
目 录
• 弹塑性力学基础 • 弹性力学基本理论 • 塑性力学基本理论 • 工程应用实例 • 工程弹塑性力学展望
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
弹塑性力学
弹塑性力学是一门研究材料在弹 性极限和塑性极限内应力、应变 行为的科学。它广泛应用于工程 领域，为各种结构设计和分析提
供理论基础。
有限差分法
将物体的位移表示为离散的点的 差分形式，通过求解这些点的位 移来近似求解整个物体的位移。
边界元法
将物体的边界离散化为有限个小 的单元，通过求解这些单元的力 学行为来近似求解整个物体的边 界力学行为。
03
塑性力学基本理论
塑性力学基本概念
01
02
03
塑性力学
塑性力学是研究材料在达 到屈服点后，发生不可逆 变形时行为和特性的学科 。
边界元法
通过在边界上离散化求解微分方程的方法，可以减少未知数的数量 ，提高求解效率。
有限差分法
将微分方程转化为差分方程，通过迭代求解的方法得到近似解。
04
工程应用实例
桥梁工程弹塑性分析
总结词
桥梁结构稳定性
详细描述
桥梁工程弹塑性分析主要关注桥梁结构的稳定性，通过分 析桥梁在不同载荷下的弹塑性响应，评估其承载能力和安 全性。
总结词
材料非线性
详细描述
桥梁工程中的材料多为金属或复合材料，这些材料的弹塑 性行为呈现出非线性特征。在分析过程中，需要考虑材料 在不同应力水平下的弹塑性变形和破坏。
总结词
结构优化设计
详细描述
基于弹塑性分析的结果，可以对桥梁结构进行优化设计， 提高其承载能力和稳定性，同时降低制造成本和维护成本 。
目 录
• 弹塑性力学基础 • 弹性力学基本理论 • 塑性力学基本理论 • 工程应用实例 • 工程弹塑性力学展望
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
弹塑性力学
弹塑性力学是一门研究材料在弹 性极限和塑性极限内应力、应变 行为的科学。它广泛应用于工程 领域，为各种结构设计和分析提
供理论基础。
有限差分法
将物体的位移表示为离散的点的 差分形式，通过求解这些点的位 移来近似求解整个物体的位移。
边界元法
将物体的边界离散化为有限个小 的单元，通过求解这些单元的力 学行为来近似求解整个物体的边 界力学行为。
03
塑性力学基本理论
塑性力学基本概念
01
02
03
塑性力学
塑性力学是研究材料在达 到屈服点后，发生不可逆 变形时行为和特性的学科 。
边界元法
通过在边界上离散化求解微分方程的方法，可以减少未知数的数量 ，提高求解效率。
有限差分法
将微分方程转化为差分方程，通过迭代求解的方法得到近似解。
04
工程应用实例
桥梁工程弹塑性分析
总结词
桥梁结构稳定性
详细描述
桥梁工程弹塑性分析主要关注桥梁结构的稳定性，通过分 析桥梁在不同载荷下的弹塑性响应，评估其承载能力和安 全性。
总结词
材料非线性
详细描述
桥梁工程中的材料多为金属或复合材料，这些材料的弹塑 性行为呈现出非线性特征。在分析过程中，需要考虑材料 在不同应力水平下的弹塑性变形和破坏。
总结词
结构优化设计
详细描述
基于弹塑性分析的结果，可以对桥梁结构进行优化设计， 提高其承载能力和稳定性，同时降低制造成本和维护成本 。
弹塑性力学课件第三章
zx C61x C62 y C63z C64 xy C65 yz C66 zx
C ij
ijkl kl
Cijkl Cijlk
2021/1/10
4
第三章 本构关系
一、线性弹性体的本构方程——具有一个弹性对称面的线
性弹性体
x
y
C11
C12 C22
C13 C23
C14 C24
2021/1/10
10
第三章 本构关系
一、线性弹性体的本构方程——各向同性弹性体
x
1 E
x
( y
z ) ,
xy
1 G
xy
y
1 E
y
( x
z ) ,
yz
1 G
yz
z
1 E
z
( x
y ) ,
zx
1 G
zx
ij 1Eij Ekkij
2021/1/10
11
第三章 本构关系 一、线性弹性体的本构方程——各向同性弹性体
0 x
0
y
z xy
C33 0 0
对
C44 0
0 z
0
xy
yz
zx
称
C55
0 C66
yz zx
2021/1/10
6
第三章 本构关系 一、线性弹性体的本构方程——正交各向异性弹性体
x y z xy
1 Ex
xy
1 Ey
对
xz
yz
弹塑性力学课件第三章
第三章 本构关系
本章学习要点：
掌握各项同性材料的广义Hooke定律 掌握弹性应变能密度函数的概念及计算 理解初始屈服、后继屈服以及加卸载的概 念 掌握几个常用的屈服条件 理解弹塑性材料的增量和全量本构关系的 基本概念
《工程弹塑性力学》课件
汽车工程
在汽车制造中使用弹塑性力学来 研究车辆的碰撞行为和材料的变 形特性。
地震工程
应用弹塑性力学来分析和评估建 筑物在地震中的响应和破坏。
案例研究
1
桥梁设计
运用弹塑性力学原理设计一座跨越大河的桥梁，确保其在不同载荷下的稳定性和 安全性。
2
汽车碰撞测试
通过弹塑性力学分析汽车在不同碰撞情况下的变形和能量吸收能力，从而改进汽 车的安全性能。
3
结构破坏分析
应用弹塑性力学来研究建筑物在地震等灾害中的破坏机制，以提供改善设计和建 造的建议。
关键点和要点
1 弹塑性行为
材料在受力下呈现弹性和塑性共存的变形行为。
2 本构关系
描述材料的应力和应变之间的关系。
3 工程应用
弹塑性力学在工程领域中有广泛的应用，如结构设计和材料选取。
总结
通过本课件，我们了解了弹塑性力学的定义、区别、主要原理、应用领域、 案例研究，以及关键点和要点。希望这些知识能为你的学习和研究提供帮助。
《工程弹塑性力学》PPT 课件
欢迎来到《工程弹塑性力学》PPT课件！在本课件中，我们将探讨弹塑性力学 的定义、区别、主要原理、应用领域、案例研究、关键点和要点，以及总结。 让我们一起开始吧！
弹塑性力学的定义
弹塑性力学是研究材料在加力作用下的变形行为的学科。它涉及材料的弹性 变形、塑性变形、弹塑性变形以及其他复杂力学行为。
区别
1 弹性
材料在受力后会发生可逆变形，即去除载荷后能恢复原状。
2 塑性
材料在受力后会发生不可逆的形变，需要施加外力才能复原。
主要原理
哈密顿原理
通过最小化系统的作用量来 推导出力学方程。
本构关系
弹塑性力学PPT课件
可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。
◆ 应力的表示及符号规则
正应力： 剪应力： 第一个字母表明该应力作用截面 的外法线方向同哪一个坐标轴相 平行，第二个字母表明该应力的 指向同哪个坐标轴相平行。
.
*
③.应力张量
数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式 的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定 义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式 来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力 张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是 一个对称的二阶张量，简称为应力张量。
以受力物体内某一点（单元体）为研究对象
单元体的受力—— 应力理论； 单元体的变形—— 变形几何理论； 单元体受力与变形 间的关系——本构理 论；
建立起普遍适用的理论与解法。
1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解法的严 密性和普遍适用性为特点； 2、弹塑性力学的工程解答一般认为是精确的； 3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠进行度 量。
.
*
①、应力的概念: 受力物体内某点某截面上内力的分布集度
3.应力、应力状态、应力理论
.
*
应力
正应力
剪应力
必须指明两点： 1.是哪一点的应力； 2.是该点哪个微截面的应力。
.
*
②、应力状态的概念：受力物体内某点处所取 无限多截面上的应力情况的总和，就显示和表 明了该点的应力状态
或
◆ 应力的表示及符号规则
正应力： 剪应力： 第一个字母表明该应力作用截面 的外法线方向同哪一个坐标轴相 平行，第二个字母表明该应力的 指向同哪个坐标轴相平行。
.
*
③.应力张量
数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式 的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定 义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式 来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力 张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是 一个对称的二阶张量，简称为应力张量。
以受力物体内某一点（单元体）为研究对象
单元体的受力—— 应力理论； 单元体的变形—— 变形几何理论； 单元体受力与变形 间的关系——本构理 论；
建立起普遍适用的理论与解法。
1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解法的严 密性和普遍适用性为特点； 2、弹塑性力学的工程解答一般认为是精确的； 3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠进行度 量。
.
*
①、应力的概念: 受力物体内某点某截面上内力的分布集度
3.应力、应力状态、应力理论
.
*
应力
正应力
剪应力
必须指明两点： 1.是哪一点的应力； 2.是该点哪个微截面的应力。
.
*
②、应力状态的概念：受力物体内某点处所取 无限多截面上的应力情况的总和，就显示和表 明了该点的应力状态
或
《工程弹塑性力学》PPT课件
工程弹塑性力学
(有限元、塑性力学部分)
演示稿
h
1
第0章 平面问题的有限单元法
0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示 0.2 有限单元法的概念 0.3 位移模式与解答的收敛性 0.4 单元刚度矩阵 0.5 等效结点荷载 0.6 整体刚度矩阵 0.7 单元划分应注意的问题
h
2
0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示
y
j
(2) i
(1)
m x
▲相邻单元之间：uij(1)=uij(2)？vij(1)=vij(2) ？
ij边的方程：y=ax+b，则
uij=a1+a2 x+a3(ax+b)= cx+d
uij(1)、uij(2)均为坐标的线性函数，故可由i、j两
点的结点位移唯一确定。
h
12
0.4 单元刚度矩阵
建立： {F}e=[k]{d}e
如 k25： • [k]的性质：
(1) 对称性： kpq= kqp (2) 奇异性；
y vj
j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
单元刚度矩阵：
[k][B]T[D ]B []dxdyt
y vj j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
uj
vm
m um
x
结点位移 位移 应变
应力 结点力
{d}e ——{f} ——{} ——{} —— {F}e
位移模式 几何方程 物理方程 虚功方程
{f }=[N]{d}e
{}=[B]{d}e {}=[S]{d}e ，[S]= [D][B] {F}e=[k]{d }e，[k]= [B]T [D] [B]tA
(有限元、塑性力学部分)
演示稿
h
1
第0章 平面问题的有限单元法
0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示 0.2 有限单元法的概念 0.3 位移模式与解答的收敛性 0.4 单元刚度矩阵 0.5 等效结点荷载 0.6 整体刚度矩阵 0.7 单元划分应注意的问题
h
2
0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示
y
j
(2) i
(1)
m x
▲相邻单元之间：uij(1)=uij(2)？vij(1)=vij(2) ？
ij边的方程：y=ax+b，则
uij=a1+a2 x+a3(ax+b)= cx+d
uij(1)、uij(2)均为坐标的线性函数，故可由i、j两
点的结点位移唯一确定。
h
12
0.4 单元刚度矩阵
建立： {F}e=[k]{d}e
如 k25： • [k]的性质：
(1) 对称性： kpq= kqp (2) 奇异性；
y vj
j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
单元刚度矩阵：
[k][B]T[D ]B []dxdyt
y vj j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
uj
vm
m um
x
结点位移 位移 应变
应力 结点力
{d}e ——{f} ——{} ——{} —— {F}e
位移模式 几何方程 物理方程 虚功方程
{f }=[N]{d}e
{}=[B]{d}e {}=[S]{d}e ，[S]= [D][B] {F}e=[k]{d }e，[k]= [B]T [D] [B]tA
最新弹塑性力学第六章PPT课件
25.07.2024
21
§6-3 平面问题的基本解法
其中
2
2 x2
2 y2
平面应变问题：
G 2uG 1 12u, f0
25.07.2024
22
§6-3 平面问题的基本解法
边界条件：位移边界
u u , v v 在Su上
力的边界
X lx myx
Y lxymy （在S 上）
（应力需要用位移微分表示）
19
§6-2平面问题的基本方程和边界条件
力的边界条件： X n
Xlx myx
Ylxymy （在S上）
25.07.2024
20
§6-3 平面问题的基本解法
3.1 位移法 基本未知函数：u(x,y) , v(x,y)
基本方程两个：用 u , v 表示的平衡微分方程。 平面应力问题：
G 2uG 1 1 u, f0
2. 无体力作用时，应力函数及其一阶偏导数 的边界值可分别由边界的面力的主矩和主矢 量来确定。
25.07.2024
37
§6-3 平面问题的基本解法
( x)B ( x )A A B F y d S A B Y d S R y
B
B
( y)B( y)AAF xd SAX d SR x
y
x
c3
1
25.07.2024
48
§6-4 多项式应力函数运用举例
3. 取为三次项： (x,y)d1x3d2 x2yd3x2y d4y3
62 2 6
代入 4 =0， 满足。
将 代入应力分量与应力函数的关系式，得
25.07.2024
49
§6-4 多项式应力函数运用举例
x 2y2 d3xd4y
弹塑性力学(浙大课件)_图文
物体的速度、加速度
在讨论力学问题时，仅引进标量和矢量的概念是不够的
如应力状态、应变状态、惯性矩、弹性模量等
张量
关于三维空间，描述一切物理恒量的 分量数目可统一地表示成：
M=rn=3n
标量:n=0,零阶张量 矢量:n=1,一阶张量 应力,应变等:n=2,二阶张量
二阶以上的张量 已不可能在三维 空间有明显直观 的几何意义。
(a)
显然，方向余弦l1,l2,l3将由式(a)中
的任意两式和l12+l22+l32=1所确定。
若设偏应力状态 ：
由于:
主方向的方向余弦为l1’,l2’,l3’，则由式(1.9)同样得
(b)
显然，方向余弦l1’,l2’,l3’将由式(b)中
的任意两式和l1’2+l2’2+l3’ 2=1所确定
。
可见式(a)与式(b)具有相同的系数， 且已知l12+l22+l32= l1’2+l2’2+l3’ 2=1
I2’应用较广,又可表达为:
(1.52)
1.3 应变张量
等效应变(应变强度):
(1.54)
等效剪应变(剪应变强度):
(1.55)
1.4 应变速率张量
一般来说物体变形时，体内任一点的变形不但与坐标有关，
而且与时间也有关。如以u、v、w表示质点的位移分量，则:
设应变速率分量为:
质点的运动速度分量
1.4 应变速率张量
斜截面外法线n的方向余弦:
令斜截面ABC 的面积为1
(1.3)
(1.4)
i ：自由下标；j为求和下标 （同一项中重复出现）。
1.1 应力张量
斜截面OABC上的正应力:
在讨论力学问题时，仅引进标量和矢量的概念是不够的
如应力状态、应变状态、惯性矩、弹性模量等
张量
关于三维空间，描述一切物理恒量的 分量数目可统一地表示成：
M=rn=3n
标量:n=0,零阶张量 矢量:n=1,一阶张量 应力,应变等:n=2,二阶张量
二阶以上的张量 已不可能在三维 空间有明显直观 的几何意义。
(a)
显然，方向余弦l1,l2,l3将由式(a)中
的任意两式和l12+l22+l32=1所确定。
若设偏应力状态 ：
由于:
主方向的方向余弦为l1’,l2’,l3’，则由式(1.9)同样得
(b)
显然，方向余弦l1’,l2’,l3’将由式(b)中
的任意两式和l1’2+l2’2+l3’ 2=1所确定
。
可见式(a)与式(b)具有相同的系数， 且已知l12+l22+l32= l1’2+l2’2+l3’ 2=1
I2’应用较广,又可表达为:
(1.52)
1.3 应变张量
等效应变(应变强度):
(1.54)
等效剪应变(剪应变强度):
(1.55)
1.4 应变速率张量
一般来说物体变形时，体内任一点的变形不但与坐标有关，
而且与时间也有关。如以u、v、w表示质点的位移分量，则:
设应变速率分量为:
质点的运动速度分量
1.4 应变速率张量
斜截面外法线n的方向余弦:
令斜截面ABC 的面积为1
(1.3)
(1.4)
i ：自由下标；j为求和下标 （同一项中重复出现）。
1.1 应力张量
斜截面OABC上的正应力:
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斜截面外法线n的方向余弦:
cos(n, cos(n,
x1 x2
) )
l1 l2
令斜截面ABC 的面积为1
SOBC SOAC
1 cos(n, x1) 1 cos(n, x2 )
l1 l2
cos(n, x3) l3
SOAB 1 cos(n, x3 ) l3
3
SN1 11l1 12l2 13l3 1 jl j
P
对实体结构、板壳结构、杆件的进 一步分析。
P
P
研究方法: 研究任务: 学习目的:
材料力学、结构力学:简化的数学模型
弹塑性力学:较精确的数学模型
建立并给出用材料力学、结构力学方 法无法求解的问题的理论和方法。
给出初等理论可靠性与精确度的度量。
确定一般工程结构的弹塑性变形与内 力的分布规律。 确定一般工程结构的承载能力。 为研究一般工程结构的强度、振动、 稳定性打下理论基础。
物体的速度、加速度
在讨论力学问题时，仅引进标量和矢量的概念是不够的
如应力状态、应变状态、惯性矩、弹性模量等
张量
关于三维空间，描述一切物理恒量的 分量数目可统一地表示成：
M=rn=3n
标量:n=0,零阶张量 矢量:n=1,一阶张量 应力,应变等:n=2,二阶张量
二阶以上的张量 已不可能在三维 空间有明显直观 的几何意义。
zx
y yx
B
A
z
y
用张量下标记号法
O
一点的应力状态
11 12 13
x
ij 21
22
23
(1.2)
数学上，在坐标变换时，服从一
31 32 33
下标即1、x、2、y、3表z方示向坐标x1、x2、x3
定坐标变换式的九个数所定义的
量叫做二阶张量。
1.1 应力张量
2).一点斜面上的应力(不计体力)
z
O
x
不同的面上的应 力是不同的
n
C
A n
y
到底如何描绘一 点处的应力状态?
1.1 应力张量
C
z
一点的应力状态可由过该点的微小
正平行六面体上的应力分量来确定。
应力张量
ij yxx
xy y
xz yz
(1.1)
zx zy z
z
zx
zy yz
y
yx xz x
yz P zy
xy x xy xz
1 0 0
张量表示：dij 0 1 0
0 0 1
0.3 几个基本概念
张量的计算:
1 、张量的加减 凡是同阶的两个或两个以上的张量可以相加 (减），并得到同阶的一个新张量，法则为：
Aijk L Bijk Cijk
2 、张量的乘法
第一个张量中的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，从而得到 一个新的分量的集合—新张量，新张量的阶数等于因子张量的阶数之和。
0.3 几个基本概念
下标记号法:
为了书写上的方便，在张量的记法中，都采用下标字母符号来表示和区
别该张量的所有分量。这种表示张量的方法，就称为下标记号法。
(x, y, z) (x1, x2, x3) xi (i 1, 2,3)
xx , xy , xz , yx , yy , yz , zx , zy , zz , ij (i, j x, y, z)
3 、张量函数的求导
aijbkl Cijkl
张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。
ui,i
ui xi
u1 x1
u2 x2
u3 x3
ui, jk
2ui x j xk
2ux x jxk
, 2uy x jxk
, 2uz x jxk
0.4 主要参考书目
1 、Y.C.Fung(冯元桢)
《Foundations of Solid Mechanics》 《固体力学导论》 《A first course in continuum mechanics 》《连续介质力学导论》
j 1
S
N
2
21l1
22l2
23l3
3
2 jlj
(1.3)j 13SN3
31l1 32l2 33l3
3 jlj
j 1
SNi ijl j (1.4)
i ：自由下标；j为求和下标 （同一项中重复出现）。
1.1 应力张量
斜截面OABC上的正应力:
N SN1l1 SN 2l2 SN 3l3
l2
11 1
l2
22 2
l2
33 3
212l1l2
2 23l2l3
2 31l3l1
(1.5)
斜截面OABC上的剪应力:
N
SN2 1
SN2 2
S
2 N
3
2 N
(1.6)
1.1 应力张量
3).主应力及其不变量
主平面:剪应力等于零的截面 主应力--λ:主平面上的正应力
自由标号: 不重复出现的下标符号,在其变程N(关于三维空间N＝3)
内分别取数1，2，3，…，N
哑标号:
重复出现的下标符号称为哑标号,取其变程N内所有分量， 然后再求和，也即先罗列所有各分量，然后再求和。
0.3 几个基本概念
求和约定:
当一个下标符号在一项中出现两次时，这个下标符号应理解为取其变程
N中所有的值然后求和，这就叫做求和约定。
工程弹塑性力学
浙江大学 建筑工程学院
绪论
0.1 课程研究对象、研究任务 0.2 基本假定 0.3 几个基本概念 0.4 参考书目
0.1 弹塑性力学的研究对象和任务
弹塑性力学:
固体力学的一个分支学科
研究可变形固体受到外荷载、温度 变化及边界约束变动等作用时、弹 塑性变形和应力状态的科学。
研究对象:
0.2 基本假定
1).假定固体材料是连续介质——连续性假定 2).物体为均匀的各向同性的 3).物体的变形属于小变形 4).物体原来是处于一种无应力的自然状态
0.3 几个基本概念
张量的概念 只需指明其大小即足以被说明的物理量，称为标量
温度、质量、力所做的功
除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为矢量
ai xi a1x1 a2 x2 a3x3
ii 11 22 33 (i : 哑标，i 1, 2,3） SNi ijl j i1l1 i2l2 i3l3
(i :自由下标，j :哑标，i, j 1, 2,3）
dij记号：Kroneker-delta记号
dij
1, 0,
i i
j j
2 、杨桂通
《弹塑性力学》
3 、徐秉业
《应用弹塑性力学》
第一章 弹塑性力学基础
1.1 应力张量 1.2 偏量应力张量 1.3 应变张量 1.4 应变速率张量 1.5 应力、应变 Lode参数
1.1 应力张量 ～力学的语言
1).一点的应力状态
n
lim
A0
pn A
正应力
n
lim
A0
ps A
剪应力
过C点可以做无 穷多个平面K