2018考研数一真题解析
2018-2019年考研数学一真题及答案

2018考研数学一真题及答案一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.1.若函数1cos 0(),0xx f x b x ⎧->⎪=⎪≤⎩在0x =处连续,则 (A )12ab =(B )12ab =-(C )0ab =(D )2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xx f x ax ax a +++→→→-===,0lim ()(0)x f x b f -→==,要使函数在0x =处连续,必须满足1122b ab a =⇒=.所以应该选(A ) 2.设函数()f x 是可导函数,且满足()()0f x f x '>,则(A )(1)(1)f f >- (B )11()()f f <- (C )11()()f f >- (D )11()()f f <- 【详解】设2()(())g x f x =,则()2()()0g x f x f x ''=>,也就是()2()f x 是单调增加函数.也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-,所以应该选(C )3.函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为(A )12 (B )6 (C )4 (D )2 【详解】22,,2f f fxy x z x y z∂∂∂===∂∂∂,所以函数在点(1,2,0)处的梯度为()4,1,0gradf =,所以22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为()014,1,0(1,2,2)23f gradf n n∂=⋅=⋅=∂应该选(D )4.甲、乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:米)处,如图中,实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位:米/秒),虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位:米/秒),三块阴影部分的面积分别为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻为0t ,则( ) (A )010t = (B )01520t <<(C )025t = (D )025t >【详解】由定积分的物理意义:当曲线表示变速直线运动的速度函数时,21()()T T S t v t dt =⎰表示时刻[]12,T T 内所走的路程.本题中的阴影面积123,,S S S -分别表示在时间段[][][]0,10,10,25,25,30内甲、乙两人所走路程之差,显然应该在25t =时乙追上甲,应该选(C ).5.设α为n 单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则(A )TE αα-不可逆 (B )TE αα+不可逆 (C )2TE αα+不可逆 (D )2TE αα-不可逆 【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个0,从而,,2,2T T T T E E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1;2,1,1,,1;1,1,1,,1-;3,1,1,,1.显然只有T E αα-存在零特征值,所以不可逆,应该选(A ). 6.已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A ),A C 相似,,B C 相似 (B ),A C 相似,,B C 不相似 (C ),A C 不相似,,B C 相似 (D ),A C 不相似,,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===.是否可对解化,只需要关心2λ=的情况.对于矩阵A ,0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭,秩等于1 ,也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量,也就是可以对角化,也就是~A C .对于矩阵B ,010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭,秩等于2 ,也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量,也就是不可以对角化,当然,B C 不相似故选择(B ).7.设,A B 是两个随机事件,若0()1P A <<,0()1P B <<,则(/)(/)P A B P A B >的充分必要条件是(A )(/)(/)P B A P B A > (B )(/)(/)P B A P B A < (C )(/)(/)P B A P B A > (D )(/)(/)P B A P B A <【详解】由乘法公式:()()(/),()()((/)P AB P B P A B P AB P B P A B ==可得下面结论:()()()()(/)(/)()()()()1()()P AB P AB P A P AB P A B P A B P AB P A P B P B P B P B ->⇔>=⇔>- 类似,由()()(/),()()(/)P AB P A P B A P AB P A P B A ==可得()()()()(/)(/)()()()()1()()P AB P AB P B P AB P B A P B A P AB P A P B P A P A P A ->⇔>=⇔>- 所以可知选择(A ). 8.设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本,若11ni i X X n ==∑,则下列结论中不正确的是( )(A )21()ni i Xμ=-∑服从2χ分布 (B )()212n X X -服从2χ分布 (C )21()nii XX =-∑服从2χ分布 (D )2()n X μ-服从2χ分布解:(1)显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立,所以21()nii Xμ=-∑服从2()n χ分布,也就是(A )结论是正确的;(2)222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑,所以(C )结论也是正确的;(3)注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-,所以(D )结论也是正确的;(4)对于选项(B ):22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-,所以(B )结论是错误的,应该选择(B )二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) 9.已知函数21()1f x x=+,则(3)(0)f = .解:由函数的马克劳林级数公式:()0(0)()!n nn f f x x n ∞==∑,知()(0)!n n f n a =,其中n a 为展开式中nx 的系数. 由于[]24221()1(1),1,11n n f x x x x x x==-+-+-+∈-+,所以(3)(0)0f =.10.微分方程230y y y '''++=的通解为 .【详解】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程,特征方程2230r r ++=有一对共共轭的根1r =-,所以通解为12()x y e C C -=+ 11.若曲线积分221L xdx aydy x y -+-⎰在区域{}22(,)|1D x y x y =+<内与路径无关,则a = .【详解】设 2222(,),(,)11x ay P x y Q x y x y x y -==+-+-,显然 (,),(,)P x y Q x y 在区域内具有连续的偏导数,由于与路径无关,所以有1Q Pa x y∂∂≡⇒=-∂∂ 12.幂级数111(1)n n n nx ∞--=-∑在区间(1,1)-内的和函数为【详解】111121111(1)(1)()(1)1(1)n n n nn n n n n x nxx x x x ∞∞∞----===''⎛⎫⎛⎫'-=-=-== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 所以21(),(1,1)(1)s x x x =∈-+13.设矩阵101112011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,123,,ααα为线性无关的三维列向量,则向量组123,,A A A ααα的秩为 .【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,知矩阵A 的秩为2,由于123,,ααα为线性无关,所以向量组123,,A A A ααα的秩为2.14.设随机变量X 的分布函数4()0.5()0.52x F x x -⎛⎫=Φ+Φ ⎪⎝⎭,其中()x Φ为标准正态分布函数,则EX = .【详解】随机变量X 的概率密度为4()()0.5()0.25()2x f x F x x ϕϕ-'==+,所以 4()()0.5()0.25()240.25()0.252(24)()22()2x E X xf x dx x x dx x dx x x dx t t dt t dt ϕϕϕϕϕ+∞+∞+∞-∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞+∞-∞-==+-==⨯+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰三、解答题15.(本题满分10分)设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数,(,cos )xy f e x =,求0|x dy dx=,202|x d y dx =.【详解】12(,cos )(,cos )(sin )x x x dy f e x e f e x x dx ''=+-,01|(1,1)x dyf dx='=; 2111122222122(,cos )((,cos )sin (,cos ))cos (,cos )sin (,cos )sin (,cos )x x x x x x x x x x d ye f e x e f e x e xf e x xf e x dx xe f e x xf e x ''''''=+--''''-+2011122|(1,1)(1,1)(1,1)x d yf f f dx=''''=+-.16.(本题满分10分) 求21limln 1nn k k k nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰17.(本题满分10分)已知函数()y x 是由方程333320x y x y +-+-=. 【详解】在方程两边同时对x 求导,得2233330x y y y ''+-+= (1)在(1)两边同时对x 求导,得2222()0x y y y y y '''''+++=也就是222(())1x y y y y'+''=-+令0y '=,得1x =±.当11x =时,11y =;当21x =-时,20y = 当11x =时,0y '=,10y ''=-<,函数()y y x =取极大值11y =; 当21x =-时,0y '=,10y ''=>函数()y y x =取极小值20y =. 18.(本题满分10分)设函数()f x 在区间[]0,1上具有二阶导数,且(1)0f >,0()lim 0x f x x-→<,证明: (1)方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根;(2)方程2()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根.证明:(1)根据的局部保号性的结论,由条件0()lim 0x f x x-→<可知,存在01δ<<,及1(0,)x δ∈,使得1()0f x <,由于()f x 在[]1,1x 上连续,且1()(1)0f x f ⋅<,由零点定理,存在1(,1)(0,1)x ξ∈⊂,使得()0f ξ=,也就是方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根;(2)由条件0()lim 0x f x x-→<可知(0)0f =,由(1)可知()0f ξ=,由洛尔定理,存在(0,)ηξ∈,使得()0f η'=;设()()()F x f x f x '=,由条件可知()F x 在区间[]0,1上可导,且(0)0,()0,()0F F F ξη===,分别在区间[][]0,,,ηηξ上对函数()F x 使用尔定理,则存在12(0,)(0,1),(,)(0,1),ξηξηξ∈⊂∈⊂使得1212,()()0F F ξξξξ''≠==,也就是方程2()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根.19.(本题满分10分)设薄片型S 是圆锥面z =被柱面22z x =所割下的有限部分,其上任一点的密度为μ=C .(1)求C 在xOy 布上的投影曲线的方程; (2)求S 的质量.M【详解】(1)交线C的方程为22z z x⎧=⎪⎨=⎪⎩z ,得到222x y x +=.所以C 在xOy 布上的投影曲线的方程为222.0x y xz ⎧+=⎨=⎩(2)利用第一类曲面积分,得222222(,,)1864SSx y xx y xM x y z dS μ+≤+≤=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰20.(本题满分11分)设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值,且3122.ααα=+ (1)证明:()2r A =;(2)若123,βααα=+,求方程组Ax β=的通解.【详解】(1)证明:因为矩阵有三个不同的特征值,所以A 是非零矩阵,也就是()1r A ≥. 假若()1r A =时,则0r =是矩阵的二重特征值,与条件不符合,所以有()2r A ≥,又因为31220ααα-+=,也就是123,,ααα线性相关,()3r A <,也就只有()2r A =.(2)因为()2r A =,所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量.由于31220ααα-+=,所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭;又由123,βααα=+,得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭;方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,其中k 为任意常数.21.(本题满分11分)设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+,求a 的值及一个正交矩阵Q .【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+.也就说明矩阵A 有零特征值,所以0A =,故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==.通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭,属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭,30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭, 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵. 22.(本题满分11分)设随机变量,X Y 相互独立,且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====,Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他.(1)求概率P Y EY ≤();(2)求Z X Y =+的概率密度. 【详解】(1)1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰(2)Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23.(本题满分11分)某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做了n 次测量,该物体的质量μ是已知的,设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=,利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ.(1)求i Z 的概率密度;(2)利用一阶矩求σ的矩估计量; (3)求参数σ最大似然估计量. 【详解】(1)先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时,显然()0Z F z =;当0z ≥时,{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭; 所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩.(2)数学期望2220()z i EZ z f z dz ze dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑,解得σ的矩估计量122ni i Z nσ===∑.(3)设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z .当0,1,2,i z i n >=时似然函数为221121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏,取对数得:2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑,得参数σ最大似然估计量为σ=2019考研数学一真题及答案一、选择题,1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.当0→x 时,若x x tan -与k x 是同阶无穷小,则=k A.1. B.2. C.3.D.4.2.设函数⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的A.可导点,极值点.B.不可导点,极值点.C.可导点,非极值点.D.不可导点,非极值点.3.设{}n u 是单调增加的有界数列,则下列级数中收敛的是A..1∑∞=n n nu B.nn nu 1)1(1∑∞=-. C.∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111n n n u u . D.()∑∞=+-1221n n n u u.4.设函数2),(yxy x Q =,如果对上半平面(0>y )内的任意有向光滑封闭曲线C 都有⎰=+Cdy y x Q dx y x P 0),(),(,那么函数),(y x P 可取为A.32yx y -.B.321yx y -. C.y x 11-. D.yx 1-. 5.设A 是3阶实对称矩阵,E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+,且4=A ,则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++.B.232221y y y -+.C.232221y y y --.D.232221y y y ---.6.如图所示,有3张平面两两相交,交线相互平行,它们的方程)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A A ,,则A..3)(,2)(==A r A rB..2)(,2)(==A r A rC..2)(,1)(==A r A rD..1)(,1)(==A r A r7.设B A ,为随机事件,则)()(B P A P =的充分必要条件是 A.).()()(B P A P B A P += B.).()()(B P A P AB P = C.).()(A B P B A P = D.).()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从正态分布),(2σμN ,则{}1<-Y X PA.与μ无关,而与2σ有关.B.与μ有关,而与2σ无关.C.与2,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分. 9. 设函数)(u f 可导,,)sin (sin xy x y f z +-=则yz cosy x z cosx ∂∂⋅+∂∂⋅11= . 10. 微分方程02'22=--y y y 满足条件1)0(=y 的特解=y .11. 幂级数nn n x n ∑∞=-0)!2()1(在)0∞+,(内的和函数=)(x S . 12. 设∑为曲面)0(44222≥=++z z y x 的上侧,则dxdy z x z⎰⎰--2244= .13. 设),,(321αααA =为3阶矩阵.若 21αα,线性无关,且2132ααα+-=,则线性方程组0=x A 的通解为 .14. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=,其他,020,2)(x xx f )(x F 为X 的分布函数,X E 为X 的数学期望,则{}=->1X X F P E )( . 三、解答题:15~23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分10分)设函数)(x y 是微分方程2'2x e xy y -=+满足条件0)0(=y 的特解.(1)求)(x y ;(2)求曲线)(x y y =的凹凸区间及拐点.16.(本题满分10分)设b a ,为实数,函数222by ax z ++=在点(3,4)处的方向导数中,沿方向j i l 43--=的方向导数最大,最大值为10.(1)求b a ,;(2)求曲面222by ax z ++=(0≥z )的面积.17.求曲线)0(sin ≥=-x x e y x与x 轴之间图形的面积.18.设dx x x a n n ⎰-=121,n =(0,1,2…)(1)证明数列{}n a 单调减少,且221-+-=n n a n n a (n =2,3…) (2)求1lim-∞→n nn a a .19.设Ω是锥面())10()1(2222≤≤-=-+z z y x 与平面0=z 围成的锥体,求Ω的形心坐标.20.设向量组TT T a )3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321===ααα,为3R 的一个基,T)1,1,1(=β在这个基下的坐标为Tc b )1,,(.(1)求c b a ,,.(2)证明32,a a ,β为3R 的一个基,并求,,32a a β到321,,a a a 的过度矩阵.21.已知矩阵⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----=20022122x A 与⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=y B 00010012相似(1)求y x ,.(2)求可可逆矩阵P ,使得.1B AP P =-22.设随机变量X 与Y 相互独立,X 服从参数为1的指数分布,Y 的概率分布为{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P 令XY Z =(1)求z 的概率密度.(2)p 为何值时,X 与Z 不相关. (3)X 与Z 是否相互独立?23.(本题满分11分) 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=,0,2)(),(222μμσσA σx x u x e x f 其中μ是已知参数,0>σ是未知参数,A 是常数,n X …X X ,,21来自总体X 的简单随机样本.(1)求A ;(2)求2σ的最大似然估计量参考答案1.C2.B3.D4.D5.C6.A7.C8.A9.yx x y cos cos + 10.23-xe 11.x cos 12.332 13. ,T)1,2,1(-k k 为任意常数. 14.3215. 解:(1))()()(2222c x ec dx e ee x y x xdxx xdx+=+⎰⎰=---⎰,又0)0(=y ,故0=c ,因此.)(221x xe x y -=(2)22221221221)1(x x x ex ex ey ----=-=',222221221321221)3()3()1(2x x x x ex x e x x xex xey -----=-=---='',令0=''y 得3,0±=x所以,曲线)(x y y =的凹区间为)0,3(-和),3(+∞,凸区间为)3,(--∞和)3,0(,拐点为)0,0(,)3,3(23---e,)3,3(23-e .16. 解:(1))2,2(by ax z =grad ,)8,6()4,3(b a z =grad ,由题设可得,4836-=-ba ,即b a =,又()()108622=+=b a z grad ,所以,.1-==b a(2)dxdy y z x z S y x ⎰⎰≤+∂∂+∂∂+=22222)()(1=dxdy y x y x ⎰⎰≤+-+-+22222)2()2(1 =dxdy y x y x ⎰⎰≤+++22222441 =ρρρθπd d ⎰⎰+202241=20232)41(1212ρπ+⋅=.313π 17.18.19.由对称性,2,0==y x ,⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--===ΩΩ102102101)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z zzD D ππ=.4131121)1()1(1212==--⎰⎰dz z dz z z20.(1)123=b c βααα++即11112311231b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 解得322a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩.(2)()23111111=331011231001ααβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,,,所以()233r ααβ=,,,则23ααβ,,可为3R 的一个基.()()12323=P αααααβ,,,,则()()1231231101=0121002P ααβααα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,,,,.21.(1)A 与B 相似,则()()tr A tr B =,A B =,即41482x y x y -=+⎧⎨-=-⎩,解得32x y =⎧⎨=-⎩(2)A 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ,11=20α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;2=1λ-,22=10α-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;3=2λ-,31=24α-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以存在()1123=P ααα,,,使得111212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.B 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ,11=00ξ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;2=1λ-,21=30ξ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;3=2λ-,30=01ξ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭.所以存在()2123=P ξξξ,,,使得122212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 所以112211=P AP P AP --=Λ,即1112112B P P APP P AP ---== 其中112111212004P PP --⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 22.解:(I )Z 的分布函数(){}{}{}{}(){},1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤从而当0z ≤时,()zF z pe =;当0z >时,()()()()1111z z F z p p e p e --=+--=--则Z 的概率密度为()(),01,0zzpez f z p e z -⎧<⎪=⎨->⎪⎩. (II )由条件可得()()()()()()()()()22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=,又()()1,12D X E Y p ==-,从而当12p =时,(),0Cov X Z =,即,X Z 不相关.(III )由上知当12p ≠时,,X Z 相关,从而不独立;当12p =时,121111111111,,,,2222222222112P X Z P X XY P X X P X X F e -⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而12112P X e -⎧⎫≤=-⎨⎬⎩⎭,121111112222222P Z P X P X e -⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤=≤+≥-=-⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭,显然1111,2222P X Z P X P Z ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤≠≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭,即,X Z 不独立. 从而,X Z 不独立. 23. 解:(I )由()2221x Aedx μσμσ--+∞=⎰t =2012t e dt +∞-==⎰,从而A =(II )构造似然函数()()22112212,,1,2,,,,,,0,ni i n x i n A e x i nL x x x μσμσσ=--⎧∑⎛⎫⎪≥= ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩其他,当,1,2,,i x i nμ≥=时,取对数得()22211ln ln ln 22nii n L n A x σμσ==---∑,求导并令其为零,可得()22241ln 1022ni i d L n x d μσσσ==-+-=∑,解得2σ的最大似然估计量为()211n i i x n μ=-∑.。
考研真题【2018考研数学(一)真题+答案解析】2018年考研数学一真题及答案解析

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷及答案解析一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的(1)下列函数中,在0x =处不可导的是()(A)()sin f x x x =(B)()f x x =(C)()cos f x x =(D)()f x =【答案】(D)【解析】根据导数的定义:(A)sin limlim0,x x x x x x x x→→== 可导;(B)0,x x →→==可导;(C)1cos 12limlim0,x x xx xx→→--==可导;(D)000122lim lim,x x x xx x→→→-==极限不存在,故选D。
(2)过点()()1,0,0,0,1,0,且与曲面22z x y =+相切的平面为()(A)01z x y z =+-=与(B)022z x y z =+-=与2(C)1x y x y z =+-=与(D)22x y x y z =+-=与2【答案】(B)【解析】()()221,0,0,0,1,0=0z z x y =+过的已知曲面的切平面只有两个,显然与曲面相切,排除C 、D22z x y =+曲面的法向量为(2x,2y,-1),111(1,1,1),,22x y z x y +-=-==对于A选项,的法向量为可得221.z x y x y z z A B =++-=代入和中不相等,排除,故选(3)()()23121!nn n n ∞=+-=+∑()(A)sin1cos1+(B)2sin1cos1+(C)2sin12cos1+(D)2sin13cos1+【答案】(B)【解析】00023212(1)(1)(1)(21)!(21)!(21)!nn nn n n n n n n n ∞∞∞===++-=-+-+++∑∑∑0012=(1)(1)cos 2sin1(2)!(21)!nn n n l n n ∞∞==-+-=++∑∑故选B.(4)设()(2222222211,,1,1x x xM dx N dx K dx x e ππππππ---++===++⎰⎰⎰则()(A)M N K >>(B)M K N >>(C)K M N >>(D)K N M>>【答案】(C)【解析】22222222222(1)122=(1).111x x x x M dx dx dx x x x πππππππ---+++==+=+++⎰⎰⎰22222111(0)11xx xxx e x N dx dx Meeπππππ--+++<≠⇒<⇒=<=<⎰⎰2222=11K dx dx M πππππ--+>==⎰⎰(,K M N >>故应选C 。
2018年考研数学一真题及答案解析

( )2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷及答案解析一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的 (1)下列函数中,在 x = 0 处不可导的是( )(A) f ( x ) = x sin x(B) f ( x ) = x sin(C) f ( x ) = cos x(D) f ( x ) = cos【答案】(D )【解析】根据导数的定义:lim(A )x →0x= limx →0x xx = 0, 可导lim(B ) x →0x= limx →0x- 1 x= 0, 可导lim = lim 2 = 0, 可导(C ) x →0 xlim(D )x →0 x x →0 x- 1 x 2 = lim 2 x →0 x- 1x = lim 2 x →0 x, 极限不存在故选 D 。
(2)过点(1, 0, 0), (0,1, 0) ,且与曲面 z = x 2 + y 2 相切的平面为( )(A) z = 0与x + y - z = 1(B) z = 0与2x + 2 y - z = 2(C) x = y 与x + y - z = 1(D) x = y 与2x + 2 y - z = 2【答案】(B )过(1, 0, 0), (0,1, 0 )的已知曲面的切平面只有两个,显然z =0 与曲面z = x 2 + y 2相切,排除C 、D【解析】曲面z = x 2 + y 2的法向量为(2x,2y,-1),对于A选项,x + y - z = 1的法向量为(1,1, -1), 可得x = 1 , y = 1,2 2 代入z = x 2 + y 2和x + y - z = 1中z 不相等,排除A ,故选B .∞-n 2n +3(3) ∑( n =0 1) = ( ) 2n +1 ! cos x -1cos x -1 x x x sin x x sin x xx⎝ ⎭n =0 n =0 ⎰ π2⎰ ⎰ π n =0 π⎰π ⎰ π ⎰ π ⎪ ⎝ ⎭ ⎪ ⎝ ⎭ ⎪ ⎝ ⎭ ⎪ ⎝ ⎭⎪ (A) sin1 + cos1(B) 2sin1+ cos1(C) 2 sin1+ 2 cos1(D) 2sin1+ 3cos1【答案】(B )∞n2n + 3∞n2n +1∞n2∑(-1)【解析】 n =0(2n +1)! =∑(-1) (2n +1)! +∑(-1)(2n +1)!∞n1∞n2故选 B.=∑(-1)n =0(2n )! + ∑(-1) =cos l + 2 sin1 (2n +1)!π(1+ x )2π 1+ x π(4) 设 M =2 dx , N =2dx , K = 2(1cos x )dx , 则( )⎰-π 1+ x2⎰-πex⎰-π222(A) M > N > K(B) M > K > N(C) K > M > N(D) K > N > M【答案】(C )π(1+ x )2π 1+ x 2+ 2xπ2xM = 【解析】2 -1+ x dx = 2-1+ x 2dx = 2(1 + -1+ x 2 )dx = π.2221+ x π1+ x π1+ x < e x (x ≠ 0) ⇒ < 1 ⇒ N = e 2 2 -π e x dx < 2 1dx = π< M - 2 2π πK = 2(1 -dx > 21dx = π= M - 22故K > M > N , 应选C 。
2018年考研数学一试题及答案解析

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上.(1)下列函数中,在0x =处不可导是( )()()()()sin ()()()cos ()A f x x x B f x x xC f x xD f x x====【答案】D(2)过点(1,0,0)与(0,1,0)且与22z x y =+相切的平面方程为(A )01z x y z =+-=与(B )022z x y z =+-=与2(C )1y x x y z =+-=与 (D )22y x x y z =+-=与2【答案】B (3)23(1)(21)!nn n n ∞=+-=+∑(A )sin1cos1+(B )2sin1cos1+(C )2sin12cos1+ (D )3sin12cos1+ 【答案】B(4)设2222(1)1x M dx x ππ-+=+⎰,221x xN dx e ππ-+=⎰,22(1cos )K x dx ππ-=+⎰,则,,M N K 的大小关系为 (A )M N K >> (B )M K N >> (C )K M N >> (D )K N M >>【答案】C 【解析】(5)下列矩阵中,与矩阵110011001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似的为 111()011001A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101()011001B -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111()010001C -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101()010001D -⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭【答案】A全国统一服务热线:400—668—2155 精勤求学 自强不息(6) 设,A B 为n 阶矩阵,记()r X 为矩阵X 的秩,()X Y 表示分块矩阵,则(A )()()r A AB r A = (B )()()r A BA r A = (C )()max{(),()}r A B r A r B = (D )()()T T r A B r A B =【答案】A(7)设随机变量X 的概率密度函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=- ,且2()0.6,f x dx =⎰则{0}P X <=( )(A )0.2 (B )0.3 (C )0.4 (D )0.5【答案】 A 【解析】(8)设总体X 服从正态分布2(,)N μσ,12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本,据样本检测:假设:0010:,:H H μμμμ=≠则( )(A)如果在检验水平0.05α=下拒绝0,H 那么在检验水平0.01α=下必拒绝0,H (B) 如果在检验水平0.05α=下拒绝0,H 那么在检验水平0.01α=下必接受0,H (C) 如果在检验水平0.05α=下接受0,H 那么在检验水平0.01α=下必拒绝0,H (D) 如果在检验水平0.05α=下接受0,H 那么在检验水平0.01α=下必接受0,H 【答案】A二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...指定位置上. (9) 1sin 01tan lim 1tan kxx x e x →-⎛⎫=⎪+⎝⎭则k=___-2____(10) 设函数()f x 具有2阶连续导数,若曲线()f x 过点(0,0)且与曲线2xy =在点(1,2)处相切,则1()xf x dx ''=⎰_____【答案】2ln22-(11) 设(,,)F x y z xyi yzj zxk =-+则(1,1,0)rotF =_____【答案】(1,0,1)-(12)曲线S 由2221x y z ++=与0x y z ++=相交而成,求Sxyds ⎰【答案】0(13)设2阶矩阵A 有两个不同特征值,12,αα是A 的线性无关的特征向量,且满足21212()A αααα+=+则A =【答案】-1.(14)设随机事件A 与B 相互独立,A 与C 相互独立,BC =∅,若11()(),()24P A P B P AC AB C ==⋃=,则()P C = .【答案】1/4三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)求不定积分21x xe e dx -⎰(16)(本题满分10分)将长为2m 的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形与正三角形,三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在,求出最小值。
2018考研数学一真题+答案

2018全国研究生入学考试考研数学一试题本试卷满分150,考试时间180分钟一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的.1. 下列函数不可导的是: A.x x y sin =B.x x y sin =C.xy cos =D.x y cos=2.过点(1,0,0)与(0,1,0)且与22y x z +=相切的平面方程为 A.10=-+=z y x z 与 B.2220=-+=z y x z 与 C.1=-+=z y x x y 与 D.222=-+=z y c x y 与 3.)!12(32)1(0n ++-∑∞=n n n=A.1cos 1sin +B.1cos 1sin 2+C.1cos 1sin +D.1cos 21sin 3+4.dx xx M ⎰-++=22221)1(ππ, dx e x N x ⎰+=22-1ππ, dx x K ⎰+=22-cos 1ππ)(,则M,N,K 的大小关系为:A.K N M >>B.N K M >>C.N M K >>D.K M N >>5. 下列矩阵中,与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100110011相似的为________.A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001101-11B.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100110101C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010111D.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000101016.设A,B 为n 阶矩阵,记)(r X 为矩阵X 的秩,)(Y X 表示分块矩阵,则A.)A ()AB A (r r =B.)A ()BA A (r r =C.)}B (),A ({max )B A (r r r =D.)B A (r )B A (r TT= 7.设随机变量X 的概率密度)(x f 满足6.0)(),1()1(2=-=+⎰dx x f x f x f ,则}0{p <x = 。
2018年考研数学一试题与答案解析(完整版)

1 1 1
6.设 A, B 为 n 阶矩阵,记 r ( X ) 为矩阵 X 的秩, ( X Y ) 表示分块矩阵,则 A. r ( A AB ) r ( A). C. r ( A B ) max{r ( A),r ( B )}. 【答案】A. 【解析】根据矩阵的运算性质, r ( E , B ) n r ( A, AB ) r[ A( E , B )] r ( A) ,故 A 正确. 若A B. r ( A BA) r ( A). D. r ( A B ) r ( A B ).
T T
0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 ,B , 则 BA , 所 以 r ( A BA) r 2, 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0
r ( A) 1. 排除 B. 1 2 0 0 若A ,B , 那么r A B 0 0 3 4 所以C排除. 1 2 0 0 r 2, r A 1, r B 1, 0 0 3 4
1 0 1 B. 0 1 1 0 0 1 1 0 1 D. 0 1 0 0 0 1
1 1 0 令 Q 0 1 1 ,特征值为 1,1,1, r E Q 2 0 0 1 1 1 1 0 1 1 选项 A:令 A 0 1 1 , A 的特征值为 1,1,1, r E A r 0 0 1 2 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 选项 B:令 B 0 1 1 , B 的特征值为 1,1,1, r E B r 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 选项 C:令 C 0 1 0 , C 的特征值为 1,1,1, r E C r 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
2018数一真题解析与答案

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的。
1、下列函数中,在0x =处不可导的是()(A )()||sin ||f x x x =(B)()||sin f x x =(C )()cos ||f x x =(D)()f x =【答案】:(D )【分析】因为对选项(A ),2200000()(0)||sin ||||lim lim lim lim lim 0(0)x x x x x f x f x x x x x f x x x x →→→→→-'======对选项(B ),000()(0)lim lim lim lim 0(0)x x x x f x f f x →→→→-'===(无穷小乘以有界量)对选项(C ),200001||()(0)cos ||112lim lim lim lim 0(0)2x x x x x f x f x x f x x x →→→→--'=====对选项(D ),0000()(0)1||2lim lim lim lim2x x x x f x f x x x x→→→→-===不存在因此选择(D )2、过点(1,0,0)与(0,1,0),且与22z x y =+相切的平面方程为()(A )0z =与1x y z +-=(B )0z =与222x y z +-=(C )y x =与1x y z +-=(D )y x =与222x y z +-=【答案】:(B )【分析】设切点坐标为(,,)x y z ,则法向量为{2,2,1}x y -,故切平面的方程为2()2()()0x X x y Y y Z z -+---=,因为平面过点(1,0,0)与(0,1,0),故法向量与向量{1,1,0}-垂直,因此有220x y -=,即y x =…………………………………………①将y x =带入22z x y =+中,有22z x =…………………………………………………②将点(1,0,0)带入平面方程有222220x x y z --+=……………………………………③由①②③可得0,0,0x y z ===或者1,1,2x y z ===带回2()2()()0x X x y Y y Z z -+---=中,可确定平面方程为0Z =或者222X Y Z +-=。
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析

2018年硕士研究生入学考试数学一 试题一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上.(1) 下列函数不可导的是:()()()()sin sin cos cosA y x xB y xC y xD y====(2)22过点(1,0,0)与(0,1,0)且与z=x 相切的平面方程为y + ()()()()0与10与222与x+y-z=1与222A zx y z B z x y z C y x D yx c y z =+-==+-===+-=(3)023(1)(2n 1)!nn n ∞=+-=+∑()()()()sin 1cos 12sin 1cos 1sin 1cos 13sin 12cos 1A B C D ++++(4)22222222(1x)1xN= K=(11xM dx dx x e ππππππ---++=++⎰⎰⎰),则M,N,K的大小关系为()()()()A M N K B M K N C K M N D NM K>>>>>>>>(5)下列矩阵中,与矩阵110011001⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭相似的为______. A.111011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B.101011001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭ C.111010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D.101010001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭(6).设A ,B 为n 阶矩阵,记()r X 为矩阵X 的秩,(X Y ) 表示分块矩阵,则A.()()r A AB r A =B.()()r A BA r A =C.()max{(),()}r A B r A r B =D.()()TT r A B r A B =(7)设()f x 为某分部的概率密度函数,(1)(1)f x f x +=-,20()d 0.6f x x =⎰,则{0}p X = .A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.6 (8)给定总体2(,)XN μσ,2σ已知,给定样本12,,,n X X X ,对总体均值μ进行检验,令0010:,:H H μμμμ=≠,则A . 若显著性水平0.05α=时拒绝0H ,则0.01α=时也拒绝0H . B. 若显著性水平0.05α=时接受0H ,则0.01α=时拒绝0H . C. 若显著性水平0.05α=时拒绝0H ,则0.01α=时接受0H . D. 若显著性水平0.05α=时接受0H ,则0.01α=时也接受0H .二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...指定位置上.(9)1sin 01tan lim ,1tan kxx x e x →-⎛⎫= ⎪+⎝⎭则k =(10)()y f x =的图像过(0,0),且与x y a =相切与(1,2),求1'()xf x dx =⎰(11)(,,),(1,1,0)F x y z xy yz xzk rot F εη=-+=求(12)曲线S 由22210x y z x y z ++=++=与相交而成,求xydS =⎰ (13)二阶矩阵A 有两个不同特征值,12,αα是A 的线性无关的特征向量,21212()(),=A A αααα+=+则(14)A,B 独立,A,C 独立,11,()()(),()24BC P A P B P AC ABC P C φ≠===,则=三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15).求不定积分2x e ⎰(16).一根绳长2m ,截成三段,分别折成圆、三角形、正方形,这三段分别为多长是所得的面积总和最小,并求该最小值。
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梦想不会辜负每一个努力的人
又 xn1 xn
ln exn 1 ln exn xn
exn 1 ln xnexn ;
设 g(x) ex 1 xex ,
x 0时,g'(x) ex ex xex xex 0,
所以 g(x)单调递减,g(x) g(0) 0,即有ex 1 xex,
因此
2
4
ex 1
1 e2x arctan 2
ex
1
1 4
2 3
(e x
3
1) 2
2
ex 1 C
1 e2x arctan
ex
1
1
(e x
3
1) 2
1
ex 1 C
2
6
2
16. 解:设圆的周长为 x ,正三角周长为 y,正方形的周长为 z,由题设 x y z 2 ,则
目标函数: S ( x )2 1 3 ( y )2 ( z )2 x2 3 y2 z2 ,故拉格朗日函数为 2 2 2 3 4 4 36 16
x2
x3
0,
系数矩阵
x1 ax3 0,
1 1 1 1 0 2
A 1 0 1 0 1 1 ,
1 0 a 0 0 a 2
a 2时,r(A) 3,方程组有唯一解:x1 x2 x3 0;
a
2时,r ( A)
2, 方程组有无穷解:x
2 k 1 , k
R.
1
y1 x1 x2 x3,
'
(Px'
Q
' y
Rz')dxdy
0
(1 3y2 3z2 )dxdydz
dydz 13y2 3z2 (1 3y2 3z 2 )dx
0
2 y 2 3z 2n1
1 3y2 3z2 (1 3y2 3z2 )dydz
2 y 2 3z 2n1
2
d
1 3
1 3r 2 (1 3r 2 ) rdr
梦想不会辜负每一个努力的人
23. 解:(1)由条件可知,似然函数为
L( )
i 1
1
x1
en
2
, x1 R,i 1,2...n,
取对数:ln
L( )
n i 1
ln 2
xi
n i 1
ln 2 ln
xi
,
求导:d
ln L( ) d
n i 1
1
xi 2
n
0
0
2 ( 1)
1 3
1 3r 2 (1 3r 2 )d (1 3r 2 )
60
1
3 1 3r 2 (1 3r 2 2)d (1 3r 2 )
30
3
0
1 3
1
3r
2
3 2
2(1
1
3r 2 ) 2
d (1
3r 2 )
1
3
2
5
5
(1 3r 2 ) 2
4 3
(1
1
3r 2 ) 2
1 a2 1 a 2 又 所以 B 0 1 1 r3 r1 0 1 1 2 a 0,
1 1 1 0 a 1 3
a2
(2)AP=B,即解矩阵方程 AX=B:
1 2 2 1 2 2 1 0 6 3 4 4 ( A, B) 1 3 0 0 1 1r0 1 2 1 1 1
2 7 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0
x2
3x3 2
)2
3( x2
2
x3 )2
,
此时规范形为y12 y22.
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梦想不会辜负每一个努力的人
因此其规范形为 y12 y22 y32;
21 解: (1)A 与 B 等价,则 r(A)=r(B),
12 a
12a
A 1 3 0 r3 r1 1 3 0 0 2 7 a 3 9 0
xi
i 1
2
0,
xi
解得得极大似然估计 i1 . n
xi
i1
(2)由第一问可知
n ,所以
E( ) E( X )
x
1
e
x a
dx
2
n
D( )
D(
i 1
x1
)
1
D(
X
)
1 {E( X 2 ) E 2 (
X
)}
nn
n
1 { x2
1
x
e
a
dx
2}
1{
x2
1
e
x a
dx}
2
.
L(x, y, z, ) x2 3 y2 z2 (x y z 2) 则: 4 36 16
Lx
x 2
0
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梦想不会辜负每一个努力的人
Ly
2 3y 36
0
Lz
2z 16
0
L x y z 2 0
解得 x 2 ,y 6 3 , z
8
, 1 .
3 34
3 34 3 34 3 34
ex
0
e(x y) x f (u)eu e ydu (CeT ) e x 0
e x 2 f (u)eudu (Ce y ) e x 0
即y(x T )依旧是方程的通解,结论得证
19. 证明:设 f (x) ex 1 x, x 0,则有
f '(x) ex 1 0,因此f (x) 0, ex 1 1, x
k3
k3
22.解:(1)由已知 P{X 1} 1 ,P{X 1} 1 ,Y服从的泊松分布,
2
2
所以cov(X , Z) cov(X , XY ) E(X 2Y ) E(X )E(XY )
E(X 2)E(Y ) E2(X )E(Y ) D(X )E(Y ) . (2)由条件可知 Z 的取值为 0,1, 2......
3
14 45
18. (1)解:通解
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梦想不会辜负每一个努力的人
y(x) e dx( xe dxdx C)
ex ( xexdx C)
ex (x 1)ez C
(x 1) Cex
(2)证明:设 (x T) f (x),即T是f (x)的周期
通解
y(x) e dx[ f (x)e dxdx C]
得P
- 6k1 3 2k1 1
k1
- 6k2 4 2k2 1
k2
- 6k3 4 2k3 1 ;
k3
又P可逆,所以 P 0,即k2 k3,
最终P
- 6k1 3 2k1 1
k1
- 6k2 4 2k2 1
k2
-
6k3 2k3
4 1
,其中k1,k
2,k3为任意常数,且k2
梦想不会辜负每一个努力的人
2018 考研数学一参考答案
一、选择题
1.D 2.B 3. B 4. C 5.A 6.A 7.A 8. D
二、填空题
9. -2
10. 2 ln 2 2
11. i k
12.0
13. -1 14. 1
4
三、 解答题
15. 解: e2x arctan ex 1dx 1 arctan ex 1de2x
此时面积和有最小值 S
1
.
3 34
17. 解:构造平面
':
3 y 2
3z2
1,取后侧,设
'和
所围区域为 ;
x 0
记 P x,Q y3 z, R z3; 借助高斯公式,有:
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy - Pdydz Qdzdx Rdxdy
P{Z 0} P{X 1, Y 0} P{X 1, Y 0} e ,
P{Z 1} P{X 1,Y 1} 1 e , P{Z 1} P{X 1,Y 1} 1 e ,
2
2
同理,P{Z
k}
1 2
k e k!
,
k
1,2......,
P{Z 0} e .
第 5 页,共 6 页
n 2
n0
n
第 6 页,共 6 页
(2) a 2时,令y2 x2 x3, 这是一个可逆变换,
y3
x1
ax3 ,
因此其规范形为 y12 y22 y32;
a 2时,f (x1, x2 , x3 ) (x1 x2 x3 )2 (x1 2x3 )2
2x12 2x22 6x32 2x2 x3 6x1x3
2( x2
从而 ex2
ex1 -1 x1 1, x2
0;
猜想 x1 0,现用数学归纳法证明;
n 1时,x1 0,成立;假设
n k (k 1,2,......) 时,有xk 0, 则n k 1时有
e xk 1
exk 1 xe
1, 所以xk 1
0;
因此 xn 0,有下界.
第 3 页,共 6 页
2
ex
1 e2x arctan ex 1 1 e2x 2 ex 1 dx
2
2
1 (ex 1)
1 e2x arctan ex 1 1
2
4
e2x dx ex 1
1 e2x arctan ex 1 1 ex 11dex
2
4 ex 1
1 e2x arctan ex 1 1 ex 1 1 d (ex 1)
ex[ f (x)exdx C]
ex f (x)exdx Cex
不妨设y(x)
ex
x
f
( x)e x dx