二重积分学习总结
高等数学二重积分总结
第九章二重积分【本章逻辑框架】【本章学习目标】⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。
⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。
熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。
⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。
9.1 二重积分的概念与性质【学习方法导引】1．二重积分定义为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。
从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。
在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ∆∆∆的分法要任意，二是在每个小区域i σ∆上的点(,)i i i ξησ∈∆的取法也要任意。
有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。
2．明确二重积分的几何意义。
(1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d Df x y σ⎰⎰表示以区域D 为底，以(,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。
特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d Df x y σ⎰⎰表示平面区域D 的面积。
(2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积(3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d Df x y σ⎰⎰表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积).3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。
二重积分计算技巧总结
二重积分计算技巧总结二重积分是微积分中的一个重要概念，是对二元函数在特定区域上的面积进行求解，也可以理解为一个函数在一个平面区域上的平均值。
在实际计算中，可以通过一些技巧来简化计算过程，提高计算效率。
本文将总结一些常用的二重积分计算技巧，帮助读者更加灵活地应用二重积分。
1.利用对称性在计算二重积分时，如果被积函数具有对称性，可以通过利用对称性简化计算过程。
常见的对称性有x轴对称、y轴对称、原点对称等。
对称性可以减少计算量，提高计算效率。
2.变量替换变量替换是处理二重积分的常用方法。
通过合适的变量替换，可以将原来的二重积分转化为更简单的形式。
常见的变量替换包括极坐标变换、矩形坐标变换等。
极坐标变换是将矩形坐标转化为极坐标的过程，从而转化为极坐标上的二重积分。
极坐标变换的公式如下：x = r*cosθy = r*sinθ其中，r是极径，θ是极角。
矩形坐标变换则是将原来的矩形区域映射为一个更简单的区域，从而简化计算过程。
常见的矩形坐标变换包括矩形到正方形的变换、矩形到单位圆的变换等。
3.积分次序交换对于一些特定的被积函数，可以通过交换积分次序来简化计算过程。
一般来说，交换积分次序需要满足一些条件，比如被积函数在给定的积分区域上连续可微。
需要注意的是，交换积分次序可能会改变积分的范围，因此在交换积分次序时需要注意积分区域的变化。
4.多次积分的简化二重积分常常需要进行多次积分，这时可以使用多次积分的简化方式来提高计算效率。
常见的多次积分简化方式包括积分区域分割、积分区域的对称性利用、积分范围的变量替换等。
通过适当地选择简化方式，可以大大减少计算量，提高计算效率。
5.划分区域的选择在计算二重积分时，划分区域的选择对于计算结果具有一定的影响。
对于一些特定的区域，可以选择合适的划分方式来简化计算过程。
常见的划分区域的选择方式包括将区域分为两个相互重叠的子区域、将区域分为若干个均匀分布的子区域等。
通过合适的划分方式，可以简化计算过程，提高计算效率。
重积分知识点总结速成
重积分知识点总结速成一、多元函数的概念在介绍重积分之前，我们首先需要了解多元函数的概念。
在微积分中，我们熟悉了一元函数，即只有一个自变量的函数。
而多元函数则包括有多个自变量的函数，比如说二元函数f(x, y)，三元函数f(x, y, z)等。
多元函数的概念在物理、工程、经济学等领域中有着广泛的应用，因此研究多元函数的性质与应用将对这些领域的研究和解决实际问题起着非常重要的作用。
二、二重积分的概念1、二重积分的定义二重积分是一种对平面区域上的函数进行积分的方法。
在一元函数中，我们知道积分是对一个区间上的函数进行求和的方法，而在二重积分中，我们需要对一个平面区域上的函数进行求和。
设f(x, y)是定义在闭区域D上的有界函数，将D分割成n个小区域ΔDi，其中ΔDi的面积为ΔS，选取代表点(xi, yi)属于ΔDi，当n趋向于无穷大时，如果极限存在，且与D的分割方式及代表点的选取无关，则称该极限为函数f(x, y)在区域D上的二重积分，记作∬Df(x, y)dxdy。
2、二重积分的性质（1）线性性质设函数f(x, y)和g(x, y)在区域D上可积，则有∬D(cf(x, y) + g(x, y))dxdy = c∬Df(x, y)dxdy + ∬Dg(x, y)dxdy其中c为常数。
（2）划分性质设函数f(x, y)在区域D上可积，如果将区域D分割成若干个区域D1,D2,…,Dk，则有∬Df(x, y)dxdy = ∬D1f(x, y)dxdy + ∬D2f(x, y)dxdy + ⋯ + ∬Dkf(x, y)dxdy（3）保号性质若在区域D上f(x, y)≥0，则∬Df(x, y)dxdy≥0。
（4）全微分过程设f(x, y)在D区域上连续，那么f(x, y)在D区域上可积的必要和充分条件是：f(x, y)在D 区域上有连续的一阶偏导数。
3、二重积分的计算对于一般的二重积分，我们可以通过极坐标、换元、分部积分等方法进行计算。
二重积分的计算小结
二重积分的计算小结在数学中，二重积分是一种用来计算平面上曲线下的面积的方法。
它是定积分的扩展，可以用于计算更加复杂的形状的面积，例如圆形、椭圆形和弧形等。
在本文中，我们将详细介绍二重积分的计算方法，并提供一些重要的应用案例和技巧。
同时，我们还将讨论二重积分的性质以及它与其他数学概念的关系。
设 $f(x,y)$ 是定义在闭区域 $D$ 上的实函数，将闭区域 $D$ 分成许多小的矩形区域，其中第 $i$ 个小矩形的面积为 $\Delta A_i$，选择任意一点 $(x_i^*, y_i^*)$ 作为该矩形的代表点，则二重积分的近似值可以表示为：$$\sum_{i=1}^n f(x_i^*, y_i^*) \Delta A_i$$其中，$n$ 是划分区域时小矩形的个数，$\Delta A_i$ 是第 $i$ 个小矩形的面积。
当划分的小矩形越来越小，并且代表点 $(x_i^*, y_i^*)$ 在每个小矩形内部时，这个近似值将趋近于一个常数，即二重积分的值。
我们用符号 $\iint_D f(x,y) dA$ 表示二重积分的值，其中 $dA$ 表示对面积的微元。
接下来，我们将介绍几种计算二重积分的方法。
一、二重积分的计算方法1. 矩形法（Riemann和）：将区域 $D$ 划分为若干个小的矩形区域，计算每个矩形的面积和函数值，并将它们相加得到近似值。
2. 二次积分法（Fubini定理）：根据 Fubini 定理，我们可以将二重积分转化为两个一重积分的乘积：$$\iint_D f(x,y) dA = \int_a^b \left( \int_c^d f(x,y) dy\right) dx$$3. 极坐标法：当区域 $D$ 的形状具有旋转对称性时，使用极坐标计算二重积分可以更加简便。
通过转化为极坐标系，并利用极坐标下的Jacobian 行列式，可以将原二重积分转化为对一重积分的积分。
4. 线性代换法：对于不规则区域，我们可以通过线性代换将其转换为规则区域，然后再进行计算。
二定积分知识点总结
二定积分知识点总结1. 二重积分的概念二重积分是对一个二元函数在给定区域上的积分，即对一个二元函数在一个二维区域上进行积分。
通常情况下，二重积分可以表示为对一个平面区域D上的函数f(x,y)进行积分：∬f(x,y)dA其中，f(x,y)为被积函数，dA为面积元素。
积分范围可以是矩形、圆形、三角形等各种形状的二维区域，也可以是由不同曲线围成的任意形状的区域。
2. 二重积分的计算方法计算二重积分的方法有多种，其中最常用的方法是通过将区域D分解成若干个小面积片，在每个小面积片上近似代替被积函数，然后对每个小面积片上的函数进行积分，再对所有小面积片的积分进行求和，最终得到整个区域上的二重积分值。
另一种常用的计算方法是通过变量代换，将二重积分转化为更简单的形式进行计算。
一般来说，变量代换的方法可以将曲线坐标系中的积分问题转化为直角坐标系中的积分问题，从而简化计算过程。
3. 二重积分的性质二重积分具有一些重要的性质，这些性质在实际应用中经常被使用。
其中最重要的性质包括线性性质、积分区域的可加性、对称性等。
通过这些性质，我们可以得到许多二重积分的简化计算方法，从而提高计算的效率。
4. 二重积分的应用二重积分可以应用于各种实际问题中，例如求解物体的质量、质心、质量中心、转动惯量等物理量，也可以用来描述曲面的面积和体积等几何特性。
在工程、物理、地理等领域，二重积分都有着广泛的应用。
总之，二重积分是微积分中的一个重要概念，它是对多变量函数在某个区域上的积分，也是描述曲面的面积或体积的求解工具。
通过对二重积分的概念、计算方法、性质和应用的深入了解，可以更好地掌握微积分的基本知识和方法，从而更好地应用微积分解决实际问题。
高等数学(下册) 二重积分要点总结
2
V f ( x, y )dxdy ；
S xy
求平面薄片质量:在薄片区域上对薄片密度进行积分。 求薄片质心：
x
x 乘以密度的积分 y 乘以密度的积分 ;y 对密度的积分 对密度的积分
求薄片转动惯量：
I x y 2 乘以密度在薄片上积分 I y x 2 乘以密度在薄片上积分
比较：求质量对密度积分；求质心密度乘 x 积分（除质量） ，惯量密度乘 x 2 积分。
f ( 标系 系左右边型：
f ( x, y)dxdy
D
x b
x a
dx
y 2 ( x ) y1 ( x )
f ( x, y )dy
典型题：
极坐标系里 里外边型：
f ( x, y) dx dy
D
d
2 ( ) 1 ( )
区域 D 关于 X 轴对称 被积函数关于 Y 变量是 奇函数
f ( x, y)dxdy
D
0
f ( x , y ) f ( x, y )
四、计算二重积分步骤： 画出积分区域（注意必要时划分区域） 根据区域形式和被积函数形式选择合适的区 域描述 确定累次积分并计算（注意：充分利用区域对称性，函数奇偶性） 五、二重积分的类型题目： 交换积分顺序； 直角坐标和极坐标下积分的互相表示； 重积分的具体计算； 求曲面围成的曲顶柱形的体积：曲顶 z f ( x, y ) ，几何体在 xy 平面投影 S xy ，体积
二重积 积分要点 点总结
1、二重积 积分：二重积 积分性质就 就是一般积分 分性质，6 个性质，重 个 重点前三个 。 2、二重积 积分计算：必 必须掌握，必须算准 区域形式及 及描述 直角坐标系 系上下边型 计算公式
双重定积分知识点总结
双重定积分知识点总结一、双重定积分的定义1. 二元函数在平面直角坐标系中，如果一个函数f(x,y)同时以x，y为自变量，在实数域上取实数值，则称之为二元函数。
2. 阶段性函数如果函数f(x,y)在平面上有定义，且对每一个y确定，f(x,y)作为x的函数是在一定区间上有定义的，则称函数f(x,y)为阶段性函数。
3. 双重积分的概念设在闭平面区域R上有定义非负的阶段性函数f(x,y)，则在这个区域上的积分：∬R f(x,y) dxdy称为f(x,y)在R上的双重定积分。
4. 双重积分的几何意义双重积分的几何意义是在平面区域R上，用阶段性函数f(x,y)所确定的柱面的体积。
二、双重积分的性质1. 线性性质设在区域R上有定义非负的阶段性函数f(x,y)和g(x,y)，以及实数a和b，则有∬R (af(x,y) + bg(x,y)) dxdy = a∬R f(x,y) dxdy + b∬R g(x,y) dxdy2. 区域分解原理设区域R可以划分成若干个分别不相交的闭区域R1，R2，…，Rn，则有∬R f(x,y) dxdy = ∬R1 f(x,y) dxdy + ∬R2 f(x,y) dxdy + … + ∬Rn f(x,y) dxdy3. 积分的可加性设f(x,y)是R上的阶段性函数，则在R上的二重积分可以分解成两个积分的和：∬R f(x,y) dxdy = ∫[a, b] ( ∫[c, d] f(x,y) dy ) dx4. 积分区域的变化如果将区域R沿着y轴平行地平移h个单位长度，得到的新区域记作R'，则有∬R f(x,y) dxdy = ∬R' f(x,y-h) dxdy5. 积分次序的可交换性如果区域R可以表示成闭区间[a, b]和[c, d]的直积区间，则有∬R f(x,y) dxdy = ∫[a, b] ( ∫[c, d] f(x,y) dy ) dx = ∫[c, d] ( ∫[a, b] f(x,y) dx ) dy6. 积分的估值设在区域R上有非负的阶段性函数0 ≤ f(x,y) ≤ M，则有M|A(R)| ≥ ∬R f(x,y) dxdy ≥ m|A(R)|其中，M为f(x,y)在区域R上的最大值，m为f(x,y)在区域R上的最小值，A(R)为平面区域R的面积。
二重积分与多重积分及其应用总结
二重积分与多重积分及其应用总结知识要点。
（1） 二重积分（2） 三重积分（3） 多重积分的应用。
（4） 三重积分的总结。
一、二重积分(1) 直角坐标系下的二重积分。
（重点）直角坐标系下的二重积分，积分区域为二维平面。
⎰⎰=Ddxdy y x f I ),(。
这种形式的积分要让x 、y 取遍所有D 上的点（Ω为积分区域）。
所以要先让x 为常量，取遍y ，然后在上面的基础上再取遍x 。
或者先让y 为常量，取遍x ，然后在上面的基础上再取遍y 。
（点动成线，线动成面。
与这类似。
）针对不同的题目选择不同的方式。
而这其中的关键就是要找对积分区域D 和正确的目标函数表达式),(y x f 。
（2） 极坐标系下的二重积分。
（理解，计算是重点）极坐标系下的二重积分，积分区域同样为二维平面。
⎰⎰=Dd d f I θθ ),(。
这种形式的积分要先取长度 的线，然后变角度，就像是扫地一样。
或者是角度确定，变长度 一样就像是水波的扩散一样。
两种不同的方式一样可以取遍积分区域D 上的所有点。
但是单独拿出来的很少理解即可。
（3）直角坐标系下的二重积分与极坐标系下的二重积分之间的转换（重点）。
积分区域D 为圆或圆的一部分是，直角坐标下的积分有时候很难计算，但是化为极坐标会很简单。
这就需要极坐标与直角坐标的相互转换。
转换公式如下：ϑcos =x ϑsin =y ⎰⎰⎰⎰=DD d d f dxdy y x f ϑϑϑ )sin ,cos (),(额略长。
不过这是省掉积分上下限的。
如果在圆域内（尤其是那种圆的一部分），在直角坐标下积分的上下限异常麻烦，而且计算量相当之大。
但在极坐标系下将很容易。
3/16.二、三重积分(1) 直角坐标系下的三重积分。
（重点）。
直角坐标系下的三重积分，积分区域为三维立体。
⎰⎰⎰=Ddxdydz z y x f I ),,( 。
计算方式与二重积分无异。
就是先固定两个动一个。
再固定原先固定的一个，动另一个。
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高等数学论文《二重积分学习总结》姓名：***班级：安全工程02班学号：**********完成时间：2013年6月2日二重积分 【本章学习目标】⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。
⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。
熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。
⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。
1 二重积分的概念与性质1．二重积分定义为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。
从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。
在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ∆∆∆的分法要任意，二是在每个小区域i σ∆上的点(,)i i i ξησ∈∆的取法也要任意。
有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。
2．明确二重积分的几何意义。
(1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d Df x y σ⎰⎰表示以区域D 为底，以(,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。
特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d Df x y σ⎰⎰表示平面区域D 的面积。
(2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积(3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d Df x y σ⎰⎰表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积).3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。
有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数(,)f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值，再应用估值不等式得到取值范围。
【主要概念梳理】1.二重积分的定义 设二元函数f(x,y)在闭区域D 上有定义且有界.分割 用任意两组曲线分割D 成n 个小区域12,,,n σσσ∆∆∆，同时用i σ∆表示它们的面积，1,2,,.i n =其中任意两小块i σ∆和()j i j σ∆≠除边界外无公共点。
i σ∆既表示第i 小块,又表示第i 小块的面积. 近似、求和 对任意点(,)i i i ξησ∈∆ ,作和式1(,).ni i i i f ξησ=∆∑取极限 若i λ为i σ∆的直径，记12max{,,,}n λλλλ=,若极限1lim (,)ni i i i f λξησ→=∆∑存在，且它不依赖于区域D 的分法，也不依赖于点(,)i i ξη的取法，称此极限为f (x,y )在D 上的二重积分. 记为1(,)d lim (,).niii Df x y f λσξη→==∑⎰⎰ 称f (x,y )为被积函数，D 为积分区域，x 、y 为积分变元，d σ为面积微元(或面积元素).2.二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰的几何意义(1) 若在D 上f (x,y )≥0，则(,)d Df x y σ⎰⎰表示以区域D 为底，以f (x,y )为曲顶的曲顶柱体的体积.(2) 若在D 上f (x,y )≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰ 的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积(3)若f (x,y )在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d Df x y σ⎰⎰表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积).3．二重积分的存在定理3.1若f (x,y )在有界闭区域D 上连续，则f (x,y)在D 上的二重积分必存在(即f (x,y )在D 上必可积).3.2若有界函数f (x,y )在有界闭区域D 上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续，则f (x,y )在D 可积.4．二重积分的性质二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f (x ,y )，g(x,y)在区域 D 上都是可积的.性质1 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即[(,)(,)]d (,)d (,)d .DDDf x yg x y f x y g x y σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即(,)d (,)d ().DDkf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰为常数性质3 若D 可以分为两个区域D 1,D 2，它们除边界外无公共点，则12(,)d (,)d (,)d .DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰性质4 若在积分区域D 上有f (x ,y )=1，且用S (D )表示区域D 的面积，则d ().DS D σ=⎰⎰性质5 若在D 上处处有f (x ,y )≤g (x ,y )，则有(,)d (,)d .DDf x yg x y σσ≤⎰⎰⎰⎰推论(,)d (,)d .DDf x y f x y σσ≤⎰⎰⎰⎰性质6(估值定理) 若在D 上处处有m ≤f (x ,y )≤M ，且S (D )为区域D 的面积，则()(,)d ().DmS D f x y MS D σ≤≤⎰⎰性质7(二重积分中值定理) 设f (x ,y )在有界闭区域D 上连续，则在D 上存在一点(,)ξη,使(,)d (,)().Df x y f S D σξη=⎰⎰【数学思想方法】二重积分是一元函数定积分的推广与发展，它们都是某种形式的和的极限，即分割求和、取极限，故可用微元法的思想来理解二重积分的概念与性质。
2 在直角坐标系中二重积分的计算本章的重点是二重积分的计算问题，而直角坐标系中二重积分的 计算问题关键是如何确定积分区域及确定X 型区域还是Y 型区域，这也是本章的难点。
直角坐标系中二重积分计算的基本技巧：(1)在定积分计算中，如果D 的形状不能简单地用类似12()()x y x a x b ϕϕ≤≤⎧⎨≤≤⎩或12()()y x y c y dφφ≤≤⎧⎨≤≤⎩的形式来表示，则我们可以将D 分成若干块，并由积分性质12(,)d (,)d (,)d .DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰对右端各式进行计算。
(2)交换积分次序不仅要考虑到区域D 的形状，还要考虑被积函数 的特点。
如果按照某一积分次序的积分比较困难，若交换积分次序后，由于累次积分的积分函数(一元积分)形式发生变化，可能会使新的积分次序下的积分容易计算，从而完成积分的求解。
但是无论是先对x 积分，再对y 积分，还是先对y 积分，再对x 积分最终计算的结果应该是相同的。
一般的处理方法是由积分限确定积分区域D ，并按照新的积分次序将二重积分化成二次积分。
具体步骤如下：①确定D 的边界曲线，画出D 的草图；②求出D 边界曲线的交点坐标；③将D 的边界曲线表示为x 或y 的单值函数； ④考虑是否要将D 分成几块； ⑤用x ,y 的不等式表示D .注：在积分次序选择时，应考虑以下几个方面的内容：(ⅰ)保证各层积分的原函数能够求出；(ⅱ)若D 为X 型(Y 型),先对x (y )积分；(ⅲ)若D 既为X 型又为Y 型，且满足(ⅰ)时，要使对D 的分块最少。
(3) 利用对称性等公式简化计算 设f (x ,y )在区域D 上连续，则 ①当区域D 关于x 轴对称若(,)(,)f x y f x y -=-，则(,)d Df x y σ⎰⎰＝0；若(,)(,)f x y f x y -=，则(,)d Df x y σ⎰⎰＝21(,)d D f x y σ⎰⎰，其中D 1为D 在x 轴上方部分。
②当区域D 关于y 轴对称若(,)(,)f x y f x y -=-，则(,)d Df x y σ⎰⎰＝0；若(,)(,)f x y f x y -=，则(,)d Df x y σ⎰⎰＝22(,)d D f x y σ⎰⎰，其中D 2为D 在y 轴右侧部分。
③当区域D 关于x 轴和y 轴都对称若(,)(,)f x y f x y -=-或(,)(,)f x y f x y -=-，则(,)d Df x y σ⎰⎰＝0；若(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=，则(,)d Df x y σ⎰⎰＝41(,)d D f x y σ⎰⎰，其中D 1为D 在第一象限部分。
④轮换对称式设D 关于直线y x =对称，则(,)d Df x y σ⎰⎰＝(,)d Df y x σ⎰⎰.【主要概念梳理】直角坐标系中二重积分计算当被积函数f (x ,y )≥0且在D 上连续时, 若D 为 X - 型区域 12()():x y x D a x b ϕϕ≤≤⎧⎨≤≤⎩则21()()(,)d d d (,)d bx Dax f x y x y x f x y y ϕϕ=⎰⎰⎰⎰若D 为Y –型区域12()():y x y D c y d ψψ≤≤⎧⎨≤≤⎩,则21()()(,)d d d (,)d dy D c y f x y x y y f x y x ψψ=⎰⎰⎰⎰说明:若积分区域既是X –型区域又是Y –型区域 , 则有2211()()()()(,)d d d (,)d d (,)d bx dy Dax cy f x y x y x f x y y y f x y xϕψϕψ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰3 在极坐标系中二重积分的计算极坐标系中二重积分计算的基本技巧：(1)一般地，如果积分区域是圆域、扇形域或圆环形域，且被积函数为22(),f x y +(),yf x()x f y 等形式时，计算二重积分时，往往采用极坐标系来计算。
【主要概念梳理】利用极坐标系计算二重积分在极坐标系下, 用同心圆r =常数及射线θ =常数, 分划区域D 为(1,2,,)k k n σ∆=。
则(,)d (cos ,sin )d d DDf x y f r r r r σθθθ=⎰⎰⎰⎰特别地 若12()():,r D ϕθϕθαθβ≤≤⎧⎨≤≤⎩则有21()()(cos ,sin )d d d (cos ,sin )d D f r r r r f r r r r βϕθαϕθθθθθθθ=⎰⎰⎰⎰若0():r D ϕθαθβ≤≤⎧⎨≤≤⎩则有()(cos ,sin )d d d (cos ,sin )D f r r r r f r r r βϕθαθθθθθθ=⎰⎰⎰⎰若0():02r D ϕθθπ≤≤⎧⎨≤≤⎩则有2()00(cos ,sin )d d d (cos ,sin )D f r r r r f r r πϕθθθθθθθ=⎰⎰⎰⎰9.4 二重积分的应用二重积分的应用主要在几何方面和物理方面。