案例--探究抛物线与x轴交点情况
抛物线与直线交点问题
课题:抛物线与直线的交点问题教学目标：1、 经历探索抛物线与直线的交点问题的过程，体会图象与函数解析式之间的联系。
2、 理解图象交点与方程（或方程组）解之间的关系，并能灵活运用解决相关问题，进一步培养学生数形结合思想。
3、 通过学生共同观察和讨论，进一步提高合作交流意识。
教学重点：1、体会方程与函数之间的联系。
2、理解抛物线与直线有两个交点、一个交点、没有交点的条件。
教学难点：理解图象交点个数与方程（或方程组）解的个数之间的关系。
讲授方法： 讲授与讨论相结合教学过程：一、抛物线与x 轴的交点问题例1：已知：抛物线322--=x x y ，求抛物线与x 轴的交点坐标。
练习：1、已知：抛物线)1(3)2(2++-+-=m x m x y （1）求证：抛物线与x 轴有交点。
（2）如果抛物线与x 轴有两个交点，求m 的取值围。
2、（2013房山一模23前两问）已知，抛物线2y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负.（1）求抛物线的解析式.（2）若直线y kx b =+（k ≠0）与抛物线交于点A （32，m ）和B （4，n ），求直线的解析式.方法总结：1、 抛物线与x 轴相交：抛物线c bx ax y ++=2的图象与x 轴相交 ）（002≠=++a c bx ax 2.抛物线与x 轴的交点的个数（1）有两个交点 △>0 抛物线与x 轴相交（2）有一个交点 △=0 抛物线与x 轴相切（3 △<0 抛物线与x 轴相离二、抛物线与平行于x 轴的直线的交点例2：求抛物线322--=x x y 与y=1的交点坐标 练习：已知：抛物线c x x y ++=22（1） 如果抛物线与y=3有两个交点，求c 的取值围。
（2） 如果对于任意x ，总有y>3，求c 的取值围方法总结：1、抛物线与平行于x 轴的直线相交抛物线c bx ax ++2的图象与平行于x 轴的直线相交⎩⎨⎧=++=my bx ax y 2 新的一元二次方程m c bx ax =++2 2.抛物线与平行于x 轴的直线的交点的个数（1 △>0 抛物线与直线相交（2 △=0 抛物线与直线相切（3 △<0 抛物线与直线相离三：抛物线与直线的交点问题例3：若抛物线221x y =与直线y=x+m 只有一个交点，求m 的值练习： 已知:抛物线），（和点0,1-3-2A x x y =过点A 作直线l 与抛物线有且只有一个交点， 并求直线l 的解析式方法总结：抛物线与直线相离没有交点与方程组没有解时抛物线与直线相切有一个交点与方程组有一组解时抛物线与直线相交有两个交点与时方程组有两组不同的解的解的数目来确定由的交点个数的图象与抛物线的图象一次函数⇔⇔⇔⇔⇔⇔⎩⎨⎧++=+=≠++=≠+=G l G l G l cbx ax y b kx y G a c bx ax y l k b kx y 22)0()0(例4：已知：抛物线c x x y ++=22（1） 当c=-3时，求出抛物线与x 轴的交点坐标（2） 当-2<x<1时，抛物线与x 轴有且只有一个交点，求c 的取值围方法总结：线段与抛物线的交点，要结合直线与抛物线交点和函数的图象综合分析 练习：1、 抛物线222-m mx x y +=与直线y=2x 交点的横坐标均为整数，且m<2,求满足要求的m 的整数值2、 已知：抛物线14-2+=x x y ，将此抛物线沿x 轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线（1）求平移后的抛物线的解析式（2）请结合图象回答，当直线y=m 与这两条抛物线有且只有四个交点时，实数m 的取值围3、已知二次函数23(1)2(2)2y t x t x =++++，在0x =和2x =时的函数值相等。
几何画板二次函数案例
说明： 本案例是苏科版九年级（下）数学第6章二次函数如何运用“几何画板”教学的案例，其他版本的教材也可参考使用。
运用“几何画板”教学二次函数的案例江苏省泰兴市黄桥初级中学 马京城函数是研究现实世界数量关系及变化规律的重要数学模型，在研究二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与性质、平移、翻折变换等问题时，我用“几何画板”辅助教学活动，引导学生“操作、观察----比较、猜想、探索---抽象和概括”，和学生们共同探究二次函数的有关问题，感觉比采用传统的教学手段，效果要好得多。
现按照教学顺序，将我在教学中的案例片段一一展示，供老师们参考。
一、 探究)0(2≠=a ax y 图象、性质与系数a 的关系学生会用描点法画二次函数2x y =的图象后，在多媒体教室进行以下教学。
首先，教师将事先做好的“几何画板”文件（如图1）分发给学生，图中点A 为x 轴上的动点，)0(2≠=a ax y 中系数a 的值等于点A 的横坐标。
探究序列：（1）用鼠标拖动点A（在x轴上原点向右运动）时，改变了)0yax=a(2≠中a的值，体会图象开口方向和开口大小变化；（2）拖动点A（在x轴上原点向左运动）时，改变了)0axy中(2≠=aa的值，体会图象开口方向和开口大小变化；（3）归纳发现：系数a的作用是a>0时，抛物线开口向（填上或下）；a<0时，抛物线开口向（填上或下）；a越大，抛物线开口越（填大或小）；a越小，抛物线开口越（填大或小）。
教师将事先做好的“几何画板”文件（如图2）分发给学生，图中点P为抛物线上的动点，探究序列：(1) a>0时,拖动点P，当点P在抛物线上从左到右运动（即点P的横坐标逐渐增大），观察点P的纵坐标是逐渐增大还是逐渐减小（2）a<0时，拖动点P ，当点P 在抛物线上从左到右运动（即点P 的横坐标逐渐增大），观察点P 的纵坐标是逐渐增大还是逐渐减小 （3）归纳：当自变量变化时，函数值如何变化以及函数的最大（或小）值情况。
2022-2023学年九年级数学中考复习《抛物线与x轴交点问题》解答题专题训练(附答案)
2022-2023学年九年级数学中考复习《抛物线与x轴交点问题》解答题专题训练（附答案）1．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），顶点为D．（1）请直接写出A、B两点坐标，抛物线的对称轴；（2）若点M（t，y1），N（t+3，y2），P（1，y3）都在抛物线上，且始终满足y1＞y2＞y3，请结合图象，求出t的取值范围．2．如图，抛物线y＝ax2+2x+c．与x轴交于A，B两点，与y轴交于C（0，3），直线y＝﹣x﹣1经过点A且与抛物线交于另一点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若P是位于直线AD上方的抛物线上的一个动点，连接P A，PD，求△P AD的面积的最大值．3．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点为A（2，4），B（2，2），C（5，2），D （5，4），抛物线y＝ax2+bx交x轴正半轴于点E．（1）若抛物线经过A，C两点，求抛物线的解析式．（2）若a＝﹣1；①抛物线交直线CD于点M，当△OME面积为5时，求b的值；②当抛物线与矩形ABCD的边有交点时，直接写出b的取值范围．4．在平面直角坐标系xOy中，已知，抛物线y＝mx2+4mx﹣5m．（1）求抛物线与x轴两交点间的距离；（2）当m＞0时，过A（0，2）点作直线l平行于x轴，与抛物线交于C、D两点（点C 在点D左侧），C、D横坐标分别为x1、x2，且x2﹣x1＝8，求抛物线的解析式．5．对于抛物线y＝x2﹣2x﹣3．（1）它与x轴交点的坐标为，与y轴交点的坐标为，顶点坐标为；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x……y……（3）当﹣2＜x＜2时，直接写出y的取值范围．6．已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．（1）求m的值；（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．7．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3；（3）若抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3在直线AB下方的部分与抛物线y'＝﹣x2+2x+m只有一个交点，请直接写出m的取值范围．8．如图，已知抛物线C1：y＝a（x+4）2﹣6与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），且点B的坐标为（2，0）；（1）由图象可知，抛物线C1的开口向，当x＜﹣4时，y随x的增大而；（2）求a的值；（3）如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2在x轴上平移，平移后的抛物线记为C3，当抛物线C3与抛物线C1只有一个交点时，求抛物线C3的解析式，以及交点坐标．9．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和B（0，3），与x轴负半轴交于点C，点D是抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点D作DE⊥AB于点E，连接BF，当点D在第一象限且S△BEF＝2S△AEF时，求点D的坐标．10．已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B、C，且OB＝OC，点A坐标为（﹣1，0）．（1）求出该二次函数表达式，并求出顶点坐标．（2）将该函数图象沿x轴翻折，如图①，（Ⅰ）请直接写出翻折后的图象对应的函数表达式；（Ⅱ）翻折前后的函数图象在一起构成轴对称图形，请写出对称轴．（3）将两图象在x轴上方的部分去掉，如图②，当直线y＝﹣x+k与两抛物线所剩部分有4个交点时，请求出k的取值范围．11．当x＝﹣1时，抛物线y＝ax2+bx+c取得最大值4，并且抛物线与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）若点M（m，y1），N（m+2，y2）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小；（3）对于二次函数图象上的两点P（x l，y1），Q（x2，y2），当t﹣1≤x1≤t+2，x2≥2时均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，一次函数y＝﹣x+3的图象经过点B，C，与抛物线对称轴交于点D，且S△ABD＝4，点P是抛物线y＝ax2+bx+c 上的动点．（1）求抛物线的函数解析式．（2）当点P在直线BC上方时，求点P到直线BC的距离的最大值．13．如图，抛物线的顶点A是直线OD上一个动点，该抛物线与直线OD 的另一个交点为C，与y轴的交点为B，点D的坐标是（2，2）．（1）求点B的纵坐标的最小值，并写出此时点A的坐标．（2）在（1）的条件下，若该抛物线与x轴的两个交点分别为E和F，请直接写出线段EF的长度．14．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在第四象限内的抛物线上，过动点P作x轴的垂线交直线AC于点D，交x轴于点E，垂足为E，求线段PD的长，当线段PD最长时，求出点P的坐标．15．设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点B（﹣2，0）、C（4，0）两点，与y轴交于点A（0，2）．（1）求出此抛物线和直线AC的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点M，求点M的横坐标x为何值时四边形ABCM 的面积最大？最大值是多少？并写出此时点M的坐标．17．已知抛物线L1的顶点为（1，），且经过点（0，3），L1关于x轴对称的抛物线为L2．（1）求抛物线L1的表达式；（2）点E在x轴上方的抛物线L1上，过点E作EF∥x轴，与抛物线L1交于点F（点E 在点F的左侧），那么在抛物线L2上是否存在点M、点N，使得四边形EFMN是矩形，且其长与宽的长度之比为3：1？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣3，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，连接BC、AC．（1）用含a的代数式求S△ABC；（2）若S△ABC＝6，求抛物线的函数表达式；（3）在（2）的条件下，当m﹣1≤x≤1时，y的最小值是﹣2，求m的值．19．已知抛物线y＝ax2﹣mx+2m﹣3经过点A（2，﹣4）．（1）求a的值；（2）若抛物线与y轴的公共点为（0，﹣1），抛物线与x轴是否有公共点，若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由；（3）当2≤x≤4时，设二次函数y＝ax2﹣mx+2m﹣3的最大值为M，最小值为N，若＝，求m的值．20．设二次函数y＝（x﹣a）（x﹣a+2），其中a为实数．（1）若二次函数的图象经过点P（2，﹣1），求二次函数的表达式；（2）把二次函数的图象向上平移k个单位，使图象与x轴无交点，求k的取值范围；（3）若二次函数的图象经过点A（m，t），点B（n，t），设|m﹣n|＝d（d≥2），求t的最小值．参考答案1．解：（1）由y＝ax2﹣2ax﹣3a得到：y＝a（x﹣3）（x+1），故A（﹣1，0），B（3，0）．由y＝ax2﹣2ax﹣3a得到：y＝a（x﹣1）2﹣4a，故抛物线的对称轴是直线x＝1；（2）由（1）知，抛物线的对称轴是直线x＝1，所以点P（1，y3）是抛物线y＝ax2﹣2ax ﹣3a的顶点坐标，∵始终满足y1＞y2＞y3，∴该抛物线的开口方向向上．当点M（t，y1），N（t+3，y2）都在对称轴左侧时，t+3＜1，则t＜﹣2．当点M（t，y1），N（t+3，y2）分别位于对称轴两侧时，1﹣t＞t+3﹣1，则t＜﹣．当t＝﹣2时，t+3＝1，此时y2＝y3，与已知矛盾，故t≠﹣2．综上所述，t的取值范围是t＜﹣且t≠﹣2．2．解：（1）∵直线y＝﹣x﹣1经过点A，∴令y＝0，则0＝﹣x﹣1，∴x＝﹣1，∴A（﹣1，0），将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）﹣x2+2x+3＝﹣x﹣1，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴D（4，﹣5），过点P作PE∥y轴，交AD于E，设P（t，﹣t2+2t+3），则E（t，﹣t﹣1），∴PE＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t﹣1）＝﹣t2+3t+4，∴△P AD的面积＝•PE•（4+1）＝（﹣t2+3t+4）＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，△P AD的面积最大，且最大值是．3．解：（1）把A（2，4），C（5，2）代入抛物线y＝ax2+bx中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x；（2）若a＝﹣1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+bx，①当x＝5时，y＝﹣25+5b，∴M（5，﹣25+5b），当y＝0时，﹣x2+bx＝0，x1＝0（舍），x2＝b，∴E（b，0），∴S△OME＝•OE•y M＝b（﹣25+5b）＝5，解得：b1＝或b2＝（不符合题意，舍）；②∵y＝﹣x2+bx＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线的顶点坐标为（，），令＝x，则抛物线的顶点所在的图象的解析式为：y＝x2，当抛物线经过点B时满足题意，将点B的坐标（2，2）代入y＝﹣x2+bx得：2＝﹣4+2b，∴b＝3，当抛物线经过点D时满足题意，将点D的坐标（5，4）代入y＝﹣x2+bx得：4＝﹣25+5b，∴b＝，∴3≤b≤．4．解：（1）令y＝0得：mx2+4mx﹣5m＝0，∴m（x2+4x﹣5）＝0，∵m为二次函数二次项系数，∴m≠0，∴x2+4x﹣5＝0，∴x1＝﹣5，x2＝1，∴与x轴交点坐标为（﹣5，0）和（1，0），∴与x轴两交点间的距离为1﹣（﹣5）＝6；（2）∵直线l过点（0，2）且平行于x轴，∴直线l的解析式为y＝2，∴y＝mx2+4mx﹣5m中令y＝2得：∴2＝mx2+4mx﹣5m，∴mx2+4mx﹣5m﹣2＝0，∴x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣5﹣，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16+20+，∵x2﹣x1＝8，∴（x1﹣x2）2＝64，∴16+20+＝64，36+＝64，＝28，∴m＝，∴y＝x2+x﹣．5．解：（1）将y＝0代入y＝x2﹣2x﹣3得x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0），将x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝﹣3，∴抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣3），∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4），故答案为：（﹣1，0），（3，0）；（0，﹣3）；（1，﹣4）．（2）∵抛物线顶点坐标为（1，﹣4），∴抛物线对称轴为直线x＝1，∵抛物线经过（0，﹣3），∴抛物线经过（2，3），列表如下：x…﹣10 1 2 3…y…0 ﹣3 ﹣4 ﹣3…图象如下：（3）将x＝﹣2代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝4+4﹣3＝5，∵抛物线开口向上，抛物线顶点坐标为（1，﹣4）且经过（2，﹣3），∴当﹣2＜x＜2时，﹣4≤y＜5．6．解：（1）将（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，解得m1＝1，m2＝﹣3，又∵m＞0，∴m＝1．（2）∵m＝1，∴y＝x2+x﹣2，∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，∴二次函数图象与x轴有2个交点．7．解：（1）将点A（3，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣3中，得9a﹣6a﹣3＝0，解得a＝1．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4）；（2）画出函数y＝x2﹣2x﹣3的图象如图1所示：（3）∵y'＝﹣x2+2x+m＝﹣（x﹣1）2+m+1，∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向下，与y轴的交点的坐标为（0，m），且可看成由抛物线y＝﹣（x﹣1）2沿对称轴（直线x＝1）上下平移得到，当抛物线y'＝﹣（x﹣1）2+m+1的顶点坐标为（1，﹣4）时，符合题意，即m+1＝﹣4，解得m＝﹣5；当抛物线y'＝﹣（x﹣1）2+m+1经过点B（0，﹣3）时，如图所示，此时有1个交点．将B（0，﹣3）代入y'＝﹣（x﹣1）2+m+1，即可解得m＝﹣3；当抛物线y'＝﹣（x﹣1）2+m+1经过点A（3，0）时，如图3所示，此时没有交点；将A（3，0）代入y'＝﹣（x﹣1）2+m+1，即可解得m＝3；如图4所示，当﹣3＜m＜3时，此时有一个交点．综上所述，m的取值范围为﹣3≤m＜3或m＝﹣5．8．解：（1）由图象和抛物线解析式可知，抛物线C1的开口向上，对称轴为x＝﹣4，∴当x＜﹣4时，y随x的增大而减小；故答案为：上，减小；（2）把点B的坐标（2，0）代入y＝a（x+4）2﹣6得，0＝a（2+4）2﹣6，解得：a＝；（3）由（2）知抛物线C1的解析式为y＝（x+4）2﹣6，∵抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，∴抛物线C2与的解析式为y＝﹣（x+4）2+6，∵将抛物线C2在x轴上平移，平移后的抛物线记为C3，∴抛物线C3：y＝﹣（x﹣h）2+6，联立得，（x+4）2﹣6＝﹣（x﹣h）2+6，整理得：2x2+（8﹣2h）x+h2﹣56＝0，∵抛物线C3与抛物线C1只有一个交点，∴Δ＝（8﹣2h）2﹣4×2（h2﹣56）＝0，整理得：h2+8h﹣128＝0，解得：h1＝﹣16，h2＝8，∴抛物线C3的解析式为y＝﹣（x﹣8）2+6或y＝﹣（x+16）2+6；把h＝8或h＝﹣16代入2x2+（8﹣2h）x+h2﹣56＝0中，解得：x1＝x2＝2或x3＝x4＝﹣10，当x＝2时，y＝（2+4）2﹣6＝0，当x＝﹣10时y＝（﹣10+4）2﹣6＝0，∴抛物线C3与抛物线C1交点坐标为（2，0）或（﹣10，0）．9．解：（1）将点A（3，0）和B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）∵A（3，0）和B（0，3），∴OA＝OB＝3，∴∠BAO＝45°，∵DF⊥AB，∴EF＝AE，∵AB＝3，S△BEF＝2S△AEF，∴AE＝，∴AF＝2，∴F（1，0），∴E（2，1），∴设直线DF的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝x﹣1，联立方程组，解得x＝或x＝，∵点D在第一象限，∴x＝，∴D（，）．10．解：（1）∵y＝ax2+bx+3，∴C（0，3），∵OB＝OC，∴B（3，0），又∵A（﹣1，0）．∴，解得：，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴二次函数表达式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为（1，4）；（2）Ⅰ如图：D（1，4），则D关于x轴的对称点D′坐标为（1，﹣4），∵翻折前后抛物线的形状、大小都相同，开口方向相反，∴翻折后的图象对应的函数表达式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；Ⅱ翻折后关于抛物线的对称轴对称，此时对称轴为直线x＝1，同时两个图象关于两个图象的交点所在的中线对称，此时对称轴为直线y＝0（或x轴）；（3）当直线y＝﹣x+k过点A时，则有三个交点，把A（﹣1，0）代入y＝﹣x+k，得k＝﹣1；当直线y＝﹣x+k与抛物线y＝x2﹣2x﹣3只有一个交点（相切）时，则有三个交点，联立，则x2﹣2x﹣3＝﹣x+k，即x2﹣x﹣3﹣k＝0，Δ＝1﹣4×1×（﹣3﹣k）＝13+4k＝0，解得：k＝﹣，由图像可知，若直线y＝﹣x+k与两抛物线所剩部分有4个交点，k的取值范围为﹣＜k＜﹣1．11．解：（1）由题意设抛物线y＝a（x+1）2+4，代入点C（0，3）得，a+4＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵点M（m，y1），N（m+2，y2）都在该抛物线上，∴y1﹣y2＝（﹣m2﹣2m+3）﹣[﹣（m+2）2﹣2（m+2）+3＝4m+8，当4m+8＞0，即m＞﹣2时，y1＞y2，当4m+8＝0，即m＝﹣2时，y1＝y2，当4m+8＜0，即m＜﹣2时，y1＜y2．（3）∵二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，∴当x＝2与x＝﹣4时的函数值相等，∵a＜0，∴抛物线的开口方向向下，∵当t﹣1≤x1≤t+2，x2≥2时均满足y1≥y2，∴，解得：﹣3≤t≤0．12．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+3的图象经过点B，C，∴C（0，3），B（3，0），设点A（m，0），∴抛物线对称轴为x＝（3+m），∴点D（+，﹣m+），∵S△ABD＝4，∴（3﹣m）（﹣m+）＝4，解得：m＝﹣1或m＝7（舍去），∴点A（﹣1，0），将A，B，C三点坐标代入解析式得：，解得：，∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）过点P作PE∥OC交BC于E，PF⊥BC于F，∵OC＝OB＝3，∠COB＝90°，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PE∥OC，∴∠PEF＝∠OBC＝45°，∴PF＝PE×sin45°＝PE，∴点P到直线BC的距离的最大只需PE最大，设P（x，﹣x2+2x+3），则点E（x，﹣x+3），∴PE＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，∵﹣1＜0，∴当x＝时，PE最大值为，∴PF最大＝PE最大＝×＝，∴点P到直线BC的距离的最大值为．13．解：（1）设直线OD解析式为y＝kx，将（2，2）代入y＝kx得2＝2k，解得k＝1，∴y＝x，设点A坐标为（m，m），则抛物线解析式为y＝（x﹣m）2+m，将x＝0代入y＝（x﹣m）2+m得y＝m2+m＝（m+1）2﹣，∴点B纵坐标最小值为﹣，此时m＝﹣1，∴点A坐标为（﹣1，﹣1）．（2）由（1）得y＝﹣（x+1）2﹣1，将y＝0代入y＝﹣（x+1）2﹣1得0＝﹣（x+1）2﹣1，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，∴EF＝﹣1+﹣（﹣1﹣）＝2．14．解：（1）由题意得，，解得．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）设过A、C两点直线的解析式为y＝kx+n，由题意得，，解得．∴直线AC的解析式为y＝x﹣3．∵点P在第四象限的抛物线上，∴设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3）且0＜x＜3．∵PE⊥x轴交直线AC于点D，∴可设点D的坐标为（x，x﹣3），∴PD＝|x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）|，∵点D在点P的上方，∴PD＝﹣x2+3x（0＜x＜3），即线段PD的长为﹣x2+3x（0＜x＜3）．∵线段PD的长为﹣x2+3x，∴﹣x2+3x是开口向下的抛物线，∴PD有最大值，∴当x＝﹣＝时，PD最大值＝．∴此时点P的纵坐标为y＝﹣2×﹣3＝﹣．∴此时点P的坐标为（，﹣）．15．解：（1）∵二次函数y1＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0），∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x2﹣6x+4．∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝．（2）把y1＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．∴b+c＝2h2﹣4h﹣2＝2（h﹣1）2﹣4．把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．（3）由题意得，y＝y1﹣y2＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）＝（x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]．∵函数y的图象经过点（x0，0），∴（x0﹣m）[2（x0﹣m）﹣5]＝0．∴x0﹣m＝0，或2（x0﹣m）﹣5＝0．即x0﹣m＝0或x0﹣m＝．16．解：（1）将（﹣2，0）、（4，0），（0，2）代入y＝ax2+bx+c中得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．设直线AC的解析式为y＝kx+n，将（0，2），（4，0）代入y＝kx+n得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2．（2）如图，作ME⊥x轴，交AC于点N，设M点坐标为（m，﹣m2+m+2），则N点坐标为（m，﹣m+2）．∴MN＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m，∴S四边形ABCM＝S△ABC+S△ACM＝×6×2+4（﹣m2+m）＝﹣（m﹣2）2+8．∴当m＝2时，S四边形ABCM有最大值为8，此时M点坐标为（2，2）．17．解：（1）∵抛物线L1的顶点为（1，），∴设抛物线L1的解析式为y＝a（x﹣1）2+，将（0，3）代入解析式可得：a（0﹣1）2+＝3，解得：a＝﹣，∴抛物线L1的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+；（2）存在．∵L1的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+，且L1、L2关于x轴对称，∴L2的解析式为y＝（x﹣1）2﹣，∵E在x轴上方的抛物线L1上，故可设E（m，﹣（m﹣1）2+），∵EF∥x轴，点E在点F的左侧，且对称轴为x＝1，∴F（2﹣m，﹣（m﹣1）2+），即EF＝2﹣2m，∵四边形EFMN是矩形，∴可设N（m，（m﹣1）2﹣），故EN＝﹣（m﹣1）2+﹣（m﹣1）2+＝﹣（m﹣1）2+，∵矩形长与宽的长度之比为3：1，当EF为长时：＝，整理得：3m2﹣10m﹣32＝0，解得：m1＝﹣2，m2＝，当m＝时，EF＝2﹣2m＝﹣，不符合实际意义，舍去，∴m＝﹣2，此时F（4，1）；当EF为宽时，＝，整理得：m2﹣14m＝0，解得：m1＝0，m2＝14，当m＝14时，EF＝2﹣2m＝﹣26，不符合实际意义，舍去，∴m＝0，此时F（2，3）．综上所述：F（2，3）或（4，1）．18．解：（1）∵A（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，点B的坐标为：（1，0）；∵点B（1，0）在抛物线y＝ax2+bx+c上，∴a+b+c＝0，∵函数的对称轴为：x＝﹣1＝﹣∴b＝2a，将b＝2a代入a﹣b+c＝0得：c＝﹣3a，故抛物线的表达式为：y＝ax2+2ax﹣3a，∴C（0，﹣3a），∵a＞0，∴OC＝3a，∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3a＝6a；（2）∵S△ABC＝6a＝6，∴a＝1，∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；（3）①当m﹣1≥﹣1时，即m≥0，函数在x＝m﹣1时，取得最小值，即：（m﹣1）2+2（m+1）﹣3＝﹣2，解得：m＝±（舍去负值），故m＝；②当m﹣1＜﹣1，即m＜0时，函数在顶点处取得最小值，而顶点纵坐标为﹣4≠﹣2，故不存在m值；综上，m＝．19．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣mx+2m﹣3经过点A（2，﹣4），∴4a﹣2m+2m﹣3＝﹣4，解得：a＝﹣；（2）由（1）知a＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣mx+2m﹣3，∵抛物线与y轴的公共点为（0，﹣1），∴2m﹣3＝﹣1，解得m＝1，∴y＝﹣x2﹣x﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×（﹣）×（﹣1）＝1﹣1＝0，∴抛物线与x轴是有一个公共点，令y＝0，则﹣x2﹣x﹣1＝0，解得：x1＝x2＝﹣2，∴公共点的坐标为（﹣2，0）；（3）由（1）知，抛物线解析式为y＝﹣x2﹣mx+2m﹣3，∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣2m，①当﹣2m＜2，即m＞﹣1时，∵a＜0，抛物线开口向下，∴当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，∴当x＝2时，M＝y max＝﹣×22﹣2m+2m﹣3＝﹣4，当x＝4时，N＝y min＝﹣×16﹣4m+2m﹣3＝﹣2m﹣7，∵＝，∴＝，解得：m＝﹣，不符合题意；②当2≤﹣2m≤4即﹣2≤m≤﹣1时，若直线x＝2与直线x＝﹣2m接近时，则当x＝﹣2m时y取得最大值，即M＝﹣×（﹣2m）2﹣m×（﹣2m）+2m﹣3＝m2+2m ﹣3，当x＝4时，y取得最小值，即N＝﹣×42﹣4m+2m﹣3＝﹣2m﹣7，∵＝，∴＝，解得：m1＝﹣，m2＝﹣（不合题意，舍去）；若直线x＝4与直线x＝﹣2m接近时，则当x＝﹣2m时y取得最大值，即M＝﹣×（﹣2m）2﹣m×（﹣2m）+2m﹣3＝m2+2m ﹣3，当x＝2时，y取得最小值，即N＝﹣×22﹣2m+2m﹣3＝﹣4，∵＝，∴＝，解得：m1＝，m2＝（不符合题意，舍去）；③当﹣2m＞4即m＜﹣2时，∵a＜0，抛物线开口向下，∴当2≤x≤4时，y随x的增大而增大，∴当x＝2时，N＝﹣×22﹣2m+2m﹣3＝﹣4，当x＝4时，M＝﹣×16﹣4m+2m﹣3＝﹣2m﹣7，∵＝，∴＝，解得：m＝﹣（不符合题意，舍去），综上所述，m的值为﹣或．20．解：（1）∵二次函数的图象经过点P（2，﹣1），∴（2﹣a）（2﹣a+2）＝﹣1，解得：a＝3，∴y＝（x﹣3）（x﹣3+2）＝x2﹣4x+3，∴二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）由二次函数的交点式得二次函数与x轴交点横坐标x1＝a，x2＝a﹣2，∴二次函数的对称轴为直线x＝＝a﹣1，把x＝a﹣1代入解析式得顶点纵坐标为﹣1，∴将二次函数图象向上平移k个单位可得顶点纵坐标为k﹣1，∵图象与轴无交点，∴k﹣1＞0，∴k＞1；（3）∵二次函数的对称轴为直线x＝＝a﹣1，不妨设m＜n，∵|m﹣n|＝d，∴m＝a﹣1﹣，n＝a﹣1+，把x＝a﹣1﹣，y＝t代入函数解析式，得t＝d2﹣1，∵d≥2，∴t的最小值为0．。
【2021中考数学专题复习】抛物线与x轴的交点问题含答案
2021年九年级数学中考复习《抛物线与x轴的交点问题》1．已知二次函数y＝（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1＝0的两根之积为（）A．﹣B．﹣C．﹣1D．02．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x+3）2+k经过坐标原点O，与x轴的另一个交点为A．过抛物线的顶点B分别作BC⊥x轴于点C、BD⊥y轴于点D，则图中阴影部分图形的面积和为（）A．18B．12C．9D．63．如图，二次函数y＝﹣x2+﹣1的图象交x轴于A，B两点，图象上的一点C使∠CBA ＝135°，则点C的坐标是（）A．（4，﹣1）B．（4，﹣）C．（4.5，﹣）D．（4.5，﹣）4．已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝x+m 与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是（）A．﹣7＜m＜﹣3B．3＜m＜6C．﹣7＜m＜3D．﹣3＜m＜65．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A、B（m+2，0），与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，c），则点A的坐标是（）A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（﹣4，0）D．（﹣1，0）6．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1．若关于x的一元二次方程x2+（b+1）x+3﹣t＝0（t为实数）在﹣4≤x≤1的范围内只有一个解，则t的值是（）A．t＝7B．t＝3C．t＝7或t＝D．t＝3或t＝7．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为（）A．﹣1B．0C．1D．28．已知二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）﹣2，若m，n是关于x的方程（x﹣p）（x﹣q）﹣2＝0的两个根，则实数m，n，p，q的大小关系可能是（）A．m＜p＜q＜n B．m＜p＜n＜q C．p＜m＜n＜q D．p＜m＜q＜n 9．抛物线y＝x2+bx+4与x轴有且只有1个公共点，则b＝．10．如图，抛物线y＝x2﹣3与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，4）为圆心，3为半径的圆上的动点，M是线段P A的中点，连结OM．则线段OM的最大值是．11．将抛物线y＝（x+1）2﹣4向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴只有一个交点，则a的值为．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为（2，﹣4）；当CD最短时，则抛物线顶点纵坐标为．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x的顶点为A，在x轴下方作垂直于y 轴的直线BC抛物线于点B、C，连接AB、AC，若点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍，则△ABC的面积为．14．已知二次函数y1＝（x+1）2﹣3向右平移2个单位得到抛物线y2的图象，则阴影部分的面积为．15．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，与x轴平行的直线l交抛物线于A、B，交y轴于M．①若抛物线经过（0，4），则b＝．②若AB＝6，则OM的长为．16．若函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解为．17．已知点P为二次函数y＝x2﹣2x﹣3图象上一点，设这个二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于C点，若△APC为直角三角形且AC为直角边，则点P的横坐标的值为．18．已知关于x的二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x﹣3．（1）该函数图象经过点（2，﹣3）．①求这个二次函数的表达式及顶点坐标；②分别求出这个二次函数图象与x轴，y轴的交点坐标；（2）将这个二次函数的图象沿x轴平移，使其顶点恰好落在y轴上，请直接写出平移后的函数表达式．19．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E．（1）求此抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）若直线y＝x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积．20．如图，已知抛物线y＝x2﹣9与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y＝x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C'．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC'平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．21．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（2，0），与y轴交于点C，抛物线对称轴为直线x＝﹣，连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点．过点P作x轴的垂线PH，垂足为点H，交AC于点Q．过点P作PG⊥AC 于点G．（1）求抛物线的解析式．（2）求△PQG周长的最大值及此时点P的坐标．22．如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线与x轴相交于A，B两点，C为抛物线与y轴的交点，点A（﹣3，0），点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的关系式．（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PBC的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标．23．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为（4，﹣2），且经过点B（0，6）．（1）求该二次函数的解析式．（2）求出二次函数图象与x轴的交点A和C的坐标．（3）在抛物线上存在一点P，使△ACP的面积等于8．求出点P的坐标．24．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为P，连接AC．（1）求此抛物线的表达式；（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求D的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△MAP＝3S△ACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：∵二次函数y＝（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，∴该函数的对称轴为直线x＝﹣＝0，解得a＝﹣2，∴二次函数y＝4x2﹣1，∴当y＝0时，0＝4x2﹣1，解得x1＝﹣，x2＝，∴一元二次方程（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1＝0的两根是x1＝﹣，x2＝，∴一元二次方程（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1＝0的两根之积是（﹣）×＝﹣，故选：B．2．解：把（0，0）代入y＝﹣（x+3）2+k，得﹣（0+3）2+k＝0，解得k＝6，∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）2+6，∴B点坐标为（﹣3，6），∵BC⊥x轴于C，∴图中阴影部分图形的面积和＝S矩形OCBD＝3×6＝18．故选：A．3．解：二次函数y＝﹣x2+﹣1中，令y＝0，则y＝﹣x2+﹣1＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴A（1，0），B（3，0），过点C作CD⊥x轴于点D，∵∠CBA＝135°，∴∠CBD＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD，设BD＝CD＝m，∴C（3+m，﹣m），∵点C在二次函数y＝﹣x2+﹣1的图象上，∴﹣m＝﹣（3+m）2+（3+m）﹣1，解得m1＝1，m2＝0（舍去），∴C（4，﹣1），故选：A．4．解：如图所示，当直线y＝x+m与这个新图象有四个交点时，m一定小于0，故选：A．5．解：令x＝0，得到y＝c，∴C（0，c），∵D（m，c），得函数图象的对称轴是x＝，设A点坐标为（x，0），由A、B关于对称轴x＝，得＝，解得x＝﹣2，即A点坐标为（﹣2，0），故选：B．6．解：∵抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，解得b＝2，∴一元二次方程x2+（b+1）x+3﹣t＝0可以写成x2+3x+3﹣t＝0，当方程x2+3x+3﹣t＝0有两个相等的实数根时，32﹣4×（3﹣t）＝0，解得t＝，此时x ＝﹣＝﹣，∵关于x的一元二次方程x2+（b+1）x+3﹣t＝0（t为实数）在﹣4≤x≤1的范围内只有一个解，∴当t＝，x＝﹣符合题意；令y＝x2+3x+3﹣t，则或，解得t＝7，由上可得，t的值是或7，故选：C．7．解：∵ax2+bx+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴ax2+bx＝2﹣m有两个不相等的实数根，令y1＝ax2+bx，y2＝2﹣m（表示与x轴平行的直线），∴y1与y2有两个交点，∴2﹣m＜2，∴m＞0∵m是整数，∴m＝1，故选：C．8．解：∵二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）﹣2，∴该函数开口向上，当x＝p或x＝q时，y＝﹣2，∵m，n是关于x方程（x﹣p）（x﹣q）﹣2＝0的两个根，∴y＝（x﹣p）（x﹣q）﹣2，当x＝m或x＝n时，y＝0，∴p，q一定处在m，n中间故选：A．9．解：令y＝0，则当抛物线y＝x2+bx+4的图象与x轴只有一个公共点时，关于x的一元二次方程x2+bx+4＝0的根的判别式△＝0，即b2﹣4×4＝0，解得b＝±4．故答案是：±4．10．解：令y＝x2﹣3，则x＝±3，故点B（﹣3，0），设圆的半径为r，则r＝3，连接PB，而点M、O分别为AP、AB的中点，故OM是△ABP的中位线，当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OM最大，则OM＝BP＝（BC+r）＝（+3）＝4，故答案为：4．11．解：抛物线y＝（x+1）2﹣4向上平移a个单位后得到的抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣4+a，此时抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4+a），因为新抛物线恰好与x轴有一个交点，所以﹣4+a＝0，解得a＝4．故答案为：4．12．解：根题意知，当CD⊥y轴时，线段CD最短．∵点C的坐标为（2，﹣4），∴点D的坐标为（0，﹣4）．将其代入y＝ax2﹣4ax+3a，得3a＝﹣4，解得a＝﹣．∴该抛物线解析式是：y＝﹣x2+x﹣4．∵y＝﹣x2+x﹣4＝﹣（x﹣2）2+．∴该抛物线的顶点坐标是（2，）．∴抛物线顶点纵坐标为．故答案是：．13．解：由抛物线y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1知，A（1，1）．∵点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍，∴y B＝﹣3．则﹣x2+2x＝﹣3，即x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1．∵BC⊥y轴，∴B（﹣1，﹣3），C（3，﹣3）．∴BC＝4．∴S△ABC＝×4×4＝8．故答案是：8．14．解：设点M为抛物线y1的顶点，点N为抛物线y2的顶点，连接MA、NB，则四边形AMNB的面积和阴影部分的面积相等，∵二次函数y1＝（x+1）2﹣3，∴该函数的顶点M的坐标为（﹣1，﹣3），∴点M到x轴的距离为3，∵MN＝2，∴四边形AMNB的面积是2×3＝6，∴阴影部分的面积是6，故答案为：6．15．解：①抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，则b2﹣4c＝0，抛物线过点（0，4），则c＝4，故b2﹣16＝0，解得b＝±4（舍去正值），故b＝﹣4，故答案为﹣4；②抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，则b2﹣4c＝0，设OM＝h，A、B点的横坐标分别为m、n，则：A（m，h）、B（n，h），由题意得：x2+bx+（c﹣h）＝0，则：m+n＝﹣b，mn＝c﹣h，AB＝6＝n﹣m＝＝，解得：h＝9，即OM＝9，故答案为9．16．解：x＝﹣＝﹣＝2，解得：b＝﹣4，故x2﹣bx﹣5＝2x﹣13，即为：x2﹣6x+8＝0，解得：x＝2或4，故答案为：x1＝2，x2＝4．17．解：对于y＝x2﹣2x﹣3①，令y＝0，则x＝3或﹣1，令x＝0，则y＝﹣3，故点A、B、C的坐标分别为：（3，0）、（﹣1，0）、（0，﹣3）．①当∠ACP为直角时，如下图，由点A、C的坐标知，OA＝OC＝3，即直线AC的与x轴负半轴的夹角为45°，而∠ACP为直角，故直线PC的倾斜角为45°，故设直线PC的表达式为：y＝﹣x+b，将点C的坐标代入上式并解得：b＝﹣3，故直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣3②，联立①②并解得：x＝0或1（舍去0），故点P的坐标为：（1，﹣4）；②当∠P AC为直角时，同理可得：点P（﹣2，5）；故答案为﹣2或1．18．解：（1）①∵该二次函数图象经过点（2，﹣3），∴﹣3＝22﹣（m﹣2）×2﹣3，解得m＝4．∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3．∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴二次函数顶点坐标为（1，﹣4）；②令x＝0，则y＝﹣3．∴该二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3）．令y＝0，则x1＝﹣1，x2＝3．∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．（2）y＝x2﹣（m﹣2）x﹣3＝（x﹣）2﹣﹣3，∴该函数的顶点坐标是（，﹣﹣3）．∴顶点恰好落在y轴上，∴该函数图象向右平移个单位．∴．19．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，∴，解得：，故抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）由（1）知，抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴此抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x＝1；（3）联立方程组得：，解得：（舍去），，∴D（4，5）．在直线y＝x+1中，当x＝0时，y＝1，∴F（0，1）在抛物线y＝x2﹣2x﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3，∴E（0，﹣3）．∴EF＝1﹣（﹣3）＝4．过点D作DM⊥y轴于点M，∴S△DEF＝EF•DM＝8．20．解：（1）由x2﹣9＝0得，x1＝﹣3，x2＝3，∵点A位于点B的左侧，∴A（﹣3，0），∵直线y＝x+m经过点A，∴﹣3+m＝0，解得，m＝3，∴点D的坐标为（0，3），∴AD＝＝3；（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y＝x2+bx+3，y＝x2+bx+2＝（x+）2+3﹣，则点C′的坐标为（﹣，3﹣），∵CC′平行于直线AD，且经过C（0，﹣9），∴直线CC′的解析式为：y＝x﹣9，∴3﹣＝﹣﹣4，解得，b1＝1+，b2＝1﹣，∴新抛物线对应的函数表达式为：y＝x2+（1+）x+3或y＝x2+（1﹣）x+3．21．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（2，0），对称轴为直线x＝﹣，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣x+3．（2）令y＝0，即﹣x2﹣x+3＝0，∴x1＝﹣3，x2＝2，∴A（﹣3，0），令x＝0，得C（0，3），∵直线AC经过A（﹣3，0），C（0，3），设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则，∴，∴直线AC的解析式为y＝x+3，∴∠BAO＝45°，∵PH⊥AO，PG⊥AB，∴∠AQH＝∠PQG＝∠QPG＝45°，∴△PQG是等腰直角三角形，设P（m，﹣m2﹣m+3），∴Q（m，m+3），∴PQ＝﹣m2﹣m+3﹣m﹣3＝﹣m2﹣m，∴当m＝﹣时，PQ max＝，此时P（﹣，），∵△PQG是等腰直角三角，∴△PQG周长＝﹣m2﹣m+（﹣m2﹣m），＝（+1）（﹣m2﹣m），＝（+1）PQ，∴△PFG周长的最大值为：（+1）．22．解：（1）抛物线的对称轴为x＝﹣1，点A（﹣3，0），则点B（1，0），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），将点C的坐标代入上式并解得a＝1，故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；（2）存在，理由：点B关于函数对称轴的对称点为点A，AC交x＝﹣1于点P，此时△PBC的周长最小，理由：△PBC的周长＝BC+PB+PC＝BC+P A+PC＝BC+AC为最小，设直线AC的表达式为y＝kx+b，则，解得，故直线AC的表达式为y＝﹣x﹣3，当x＝﹣1时，y＝﹣x﹣3＝1﹣3＝﹣2，故点P的坐标为（﹣1，﹣2）；（3）由点C的坐标知，OC＝3，设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），∵S△POC＝4S△BOC，∴×3×|x|＝4××3×1，解得x＝4或﹣4．当x＝4时，x2+2x﹣3＝16+8﹣3＝21；当x＝﹣4时，x2+2x﹣3＝16﹣8﹣3＝5．∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）．23．解：（1）抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k＝a（x﹣4）2﹣2，将点B的坐标代入上式得，6＝a（0﹣4）2﹣2，解得a＝，故抛物线的表达式为y＝（x﹣4）2﹣2；（2）令y＝（x﹣4）2﹣2＝0，解得x＝2或6，故点A、C的坐标分别为（2，0）、（6，0）；（3）△ACP的面积＝×AC×|y P|＝×（6﹣2）×|y P|＝8，则y P＝±4，即±4＝（x﹣4）2﹣2，解得x＝4±2，故点P的坐标为（4﹣2，4）或（4+2，4）．24．解：（1）设此抛物线的解析式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴y＝a（x+1）（x﹣3），又∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），∴a（0+1）（0﹣3）＝﹣3，∴a＝1，∴y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵点A（﹣1，0），点C（0，﹣3），∴OA＝1，OC＝3，∵DC⊥AC，∴∠DCO+∠OCA＝90°，∵OC⊥x轴，∴∠COA＝∠COQ＝90°，∠OAC+∠OCA＝90°，∴∠DCO＝∠OAC，∴△QOC∽△COA，∴，即＝，∴OQ＝9，又∵点Q在x轴的正半轴上，∴Q（9，0），设直线QC的解析式为：y＝mx+n，则，解得，∴直线QC的解析式为：y＝x﹣3，∵点D是抛物线与直线QC的交点，∴，解得，∴点D（，﹣）；（3）存在，理由：如图，点M为直线x＝1上一点，连接AM，PC，P A，设点M（1，y），直线x＝1与x轴交于点E，∴E（1，0），∵A（﹣1，0），∴AE＝2，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P，对称轴为x＝1，∴P（1，﹣4），∴PE＝4，则PM＝|y+4|，∵S四边形AEPC＝S四边形OEPC+S△AOC＝×1×（3+4）+×1×3＝5，又∵S四边形AEPC＝S△AEP+S△ACP，S△AEP＝AE×PE＝×2×4＝4，∴S△ACP＝5﹣4＝1，∵S△MAP＝3S△ACP，∴×2×|y+4|＝3×1，∴|y+4|＝3，∴y1＝﹣1，y2＝﹣7，故抛物线的对称轴上存在点M使S△MAP＝3S△ACP，点M的坐标为（1，﹣1）或（1，﹣7）。
《抛物线形问题》教案 (公开课)2022年冀教版数学
30.4 二次函数的应用第1课时 抛物线形问题1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2．利用二次函数解决拱桥、涵洞关问题．3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．一、情境导入某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如下列图)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？二、合作探究探究点：拱桥、涵洞问题如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y ＝ax 2，把点(2，－2)代入，得－2＝a ×22，a ＝－12，∴y ＝－12x 2，当y ＝－3时，－12x 2＝－3，x ＝± 6.故答案为2 6.方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立适宜的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题．如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一局部和矩形的一局部构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)假设要搭建一个矩形“支撑架〞AD－DC－CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，那么这个“支撑架〞总长的最大值是多少？解析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M(12，0)和抛物线顶点P(6，6)；顶点坐标，可设二次函数关系式为y＝a(x－6)2＋6，可利用待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架〞总长AD＋DC＋CB二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．解：(1)根据题意，分别求出M(12，0)，最大高度为6米，点P的纵坐标为6，底部宽度为12米，所以点P的横坐标为6，即P(6，6)．(2)设此函数关系式为y＝a(x－6)2y＝a(x－6)2＋6经过点(0，3)，所以3＝a(0－6)2＋6，即a＝－112.所以此函数关系式为y ＝－112(x－6)2＋6＝－112x 2＋x＋3.(3)设A(m，0)，那么B(12－m，0)，C(12－m，－112m2＋m＋3)，D(m，－112m2＋m＋3)．即“支撑架〞总长AD＋DC＋CB＝(－112m2＋m＋3)＋(12－2m)＋(－112m2＋m＋3)＝－16m2二次函数的图象开口向下．所以当m＝0时，AD＋DC＋CB有最大值为18.三、板书设计建立二次函数模型：〔1〕拱桥问题；〔2〕涵洞问题.教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.第2课伟大的历史转折1教学分析知识与能力知道中共十一届三中全会召开时间；了解它的背景，理解其重大意义；了解拨乱反正加强了民主与法制建设，推动了社会主义现代化建设；学会在历史开展的进程中认识历史人物、历史事件的地位和作用过程与方法学会运用原因与结果、联系与综合等概念，理解中共十一届三中全会的召开背景与历史意义情感态度与价值观认同中国共产党完全有能力领导中国人民取得社会主义建设事业的成功；认识改革开放是我国的强国之路【重点难点】教学重点：中共十一届三中全会教学难点：中共十一届三中全会在政治上、思想上、组织上的转变以及历史意义2教学过程一、导入新课“文化大革命〞时期，我国教育遭到了很大破坏，高考中断了十年。
用通法解决抛物线与直线、射线、线段的交点问题
用通法解决抛物线与直线、射线、线段的交点问题 抛物线c bx ax y ++=2与直线（射线或线段）n mx y +=的交点问题在中考、高考都很受命题人员的青睐，但学生面对这类问题常常犯考虑不周的错误。
下面笔者通过实例来说明解决这类问题的通法。
【例1】已知抛物线12-+-=mx x y 和点A （3，0），B （0，3），则当抛物线与线段AB 有两个不同交点时，求m 的取值范围。
分析思路：易得线段AB 的解析式为3+-=x y ，“抛物线与线段AB 有两个不同交点”实际可转化为“⎩⎨⎧+-=-+-=312x y mx x y 所对一元二次方程0412=++-x )m (x 在30≤≤x 内有两个不等根”来解决，进而转化为抛物线412++-=x )m (x y 在30≤≤x 与x 轴有两个交点，于是有：[注])(f 3表示当3=x 时412++-=x )m (x y 的值。
小结：抛物线与线段的交点问题，就是一元二次方程在给定范围内的根的个数问题，主要从端值、判别式和对称轴等方面来把握控制点，这就是解决“抛物线与线段的交点问题”的通法。
【例2】已知抛物线22++=mx x y 与经过A （0，1），B （2，3）两点的线段AB 有公共点，求m 的取值范围。
分析思路：易得线段AB 的解析式为1+=x y ，“抛物线与线段AB 有两个不同交点”实际可转化为“⎩⎨⎧+=++=122x y mx x y 所对一元二次方程011-2=++x )m (x 在20≤≤x 内有两实根”来解决，进而转化为“抛物线-在20≤≤x 与x 轴有交点”，于是有：x O y B A ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--<≥≥2210002m )(f ∆或02≤)(f ，进而得1-≤m 。
【参考题目】（2018•湖州）在平面直角坐标系xOy 中，已知点M ，N 的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线22+-=x ax y （a ≠0）与线段MN 有两个不同的交点，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≤﹣1或41≤a ＜31 B ．41≤a ＜31 C ．a ≤41或a ＞31 D ．a ≤﹣1或a ≥41 选A 。
抛物线与x轴的交点坐标公式
抛物线与x轴的交点坐标公式抛物线是一种经典的二次曲线，它的形状独特而美丽。
我们可以通过求解抛物线与x轴的交点来了解抛物线的性质和特点。
在本文中，我们将介绍如何推导出抛物线与x轴的交点坐标公式，并且探讨一些相关的应用。
让我们来回顾一下抛物线的定义。
抛物线是一个平面曲线，由所有与一个定点（焦点）到一个定直线（准线）的距离相等的点组成。
它的数学表示形式是一个二次方程，通常写作y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
要求解抛物线与x轴的交点，我们需要找到满足方程y = ax^2 + bx + c的x值。
当抛物线与x轴相交时，y的值为0，所以我们可以将方程改写为0 = ax^2 + bx + c。
为了解这个二次方程，我们可以使用求根公式。
根据一元二次方程的求根公式，对于一般形式的二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的根可以通过以下公式计算得出：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)现在，我们可以将这个公式应用于我们的抛物线方程0 = ax^2 + bx + c。
根据求根公式，我们可以得到两个根，分别记作x1和x2：x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a)x2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / (2a)这两个根分别对应于抛物线与x轴的交点的横坐标。
而纵坐标则是0，因为交点在x轴上。
所以，我们可以得到抛物线与x轴的交点坐标公式：交点1坐标：(x1, 0)交点2坐标：(x2, 0)值得注意的是，当判别式b^2 - 4ac为负数时，方程没有实数解，这意味着抛物线与x轴没有交点。
当判别式等于零时，方程有一个重根，抛物线与x轴相切于一个点。
抛物线与x轴的交点坐标公式在很多实际问题中都有很大的应用价值。
例如，在物理学中，抛物线的运动轨迹可以用来描述抛体在重力作用下的运动。
当抛体落地时，它与地面的交点坐标即为抛物线与x轴的交点坐标。
巧破解，妙拓展——一道抛物线中两条切线交点问题的探究
课程篇巧破解，妙拓展———一道抛物线中两条切线交点问题的探究张新村（江苏省张家港市乐余高级中学，江苏张家港）一、问题呈现问题：已知抛物线C ：x 2=4y 。
过抛物线C 上两点A ，B 分别作抛物线的两条切线PA ，PB ，P 为两条切线交点，O 为坐标原点。
PA ·PB 则直线OA ，OB 斜率之积为（）A.-14B.-3C.-18D.-4分析：本题主要考查抛物线标准方程及性质，直线与抛物线相切，考查学生的运算能力和抽象概括能力，也考查学生的核心素养数学，其中涉及的运算工具是导数和向量。
二、问题破解解法一：（特殊位置定结论）本题是选择题，并且是圆锥曲线动态中求定值问题，可以利用特殊位置或特殊值来得出结论。
满足PA ·PB =0的点P 有无数个，其中特殊位置是点P 在y 轴上，则一切点A ，B 关于y 轴对称，又与PB 垂直，则切线PA ，PB 斜率分别为-1，1，由y ′=12x ，可得12x 1=-1，12x 2=1，即x 1=-2，x 2=2，得出A （-2，1），B （2，1），显然直线OA ，OB 斜率之积为-14。
解法二：（几何关系代数化）分析：巧设点A ，B 坐标，利用导数求切线斜率，将PA ·PB =0转化两直线垂直，再将垂直的几何关系转化为斜率之积为-1，整体代入直线OA ，OB 斜率乘积表达式中得出结论。
设A （x 1，x 124），B （x 2，x 224），则直线OA ，OB 斜率之K OA ·K OB =x 1x 216①由抛物线C ：x 2=4y ，得y =x 24则y ′=12x ，∴K AP =12x 1，K BP =12x 2由PA ·PB =0，可得K AP ·K BP =-1，即x 1·x 2=-4②将②代入①得：K OA ·K OB =-14.点评：解法一由特殊得到一般结论，对于动态下求定值或定点问题，往往可以由特殊位置或特殊值锁定结论，然后再对一般情况进行论证；解法二则是通过解析法论证解法一的结论。
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探究 1、求二次函数图象 y=x2-3x+2 与 x 轴的交点 A、B 的坐标。 解：∵A、B 在轴上， ∴它们的纵坐标为 0， ∴令 y=0，则 x2-3x+2=0 解得：x1=1，x2=2； ∴A（1，0） ， B（2，0）
你发现方程 x2-3x+2=0 的解 x1、x2 与 A、B 的坐标有什么联系？ 结论：方程 x2-3x+2=0 的解就是抛物线 y=x2-3x+2 与 x 轴的两个交点的横坐标。 即：若一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1、x2， 两个交点坐标分别是 A（x1, 0 ） ， B（x2 ,0 ） 则抛物线 y=ax2+bx+c 与轴的
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探究 2．分别求出二次函数 y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2 的图象与 x 轴的交点的坐标,并快 速作出草图.
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白云湖中学生态课堂案例分析
y=x +2x
y=x-2x +1
y=x-2x +2
（1）观察二次函数 y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2 的图象，每个图象与 x 轴有几个交点？ （2）一元二次方程 x2+2x=0, x2-2x+1=0 有几个根?验证一下方程 x2-2x+2=0 有根吗? （3）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴交点的坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根有 什么关系? 归纳整理: 1.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴交点有三种情况: （1） 、 有两个交点, （2） 、 有一个交点, （3） 、 没有交点. 2.当二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴有交点时,交点的横坐标就是当 y=0 时自变量 x 的值, 即一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根. 3.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴交点情况由一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的情况决 定，而一元二次方程根的情况由Δ 即 b2-4ac 的符号来决定。 二次函数 y=ax2+bx+c 的 图象和 x 轴交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根 一元二次方程 ax2+bx+c=0 根的判别式 Δ =b2-4ac 两个 一个 没有交点 有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac ＜0
初中农村“生态课堂”教学模式研究 案 例 分 析
教研组： 学 姓 时 科： 名： 间：
数学组 数学 钱玲 2014-11-3
白云湖中学生态课堂案例分析
探究：抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点情况
二次函数是初中数学的重要内容 ,是初中、 高中数学知识的衔接点,是中考中数学的重 点考察内容之一 ,要全面掌握二次函数的基础知识和基本性质,并能分析和解决有关二次函 数的综合问题,合理利用二次函数与一元二次方程的联系是十分必要的[1 学生在上学期已经学习过一元二次方程的知识，之前学习了二次函数的图象和代数表 达式的三种表示方法，其中主要对一般式和顶点式做了大量的训练，因而从“数”的方面 对二次函数有了比较全面的认识，对交点式仍然停留在感性认识层面，特别是对于从数 形结合的这一数学思想来认识二次函数，他们对整章各节知识的关系还没有真正完整的形 成，通过从本节课学习二次函数与一元二次方程之间的关系开始，学生将会对二次函数的 “数”和“形”真正开始进行全面、深刻的接触。在中学数学里，我们不可能把“数”和“形” 完全孤立地割裂开， 也就是说，代数问题可以几何化， 几何问题也可以代数化， “数”和“形” 在一定条件下可以相互转化、相互渗透。