抛物线与x轴两交点间的距离公式及其应用
2018年度二次函数压轴题题型归纳
2018二次函数压轴题题型归纳一、二次函数常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-=2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：⎪⎭⎫ ⎝⎛++22BA B A y y x x ，直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系：（1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠（3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：① 用∆和参数的其他要求确定参数的取值范围；② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。
例：关于x 的一元二次方程()01222＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。
4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。
（方法同上）例：若抛物线()3132+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式。
5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。
举例如下：已知关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。
解：当0=m 时，1=x ；当0≠m 时，()032≥-=∆m ，()m m x 213∆±-=，mx 321-=、12=x ；综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。
6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线22-+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。
解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122；∴ ⎩⎨⎧=-=+-01 02 2x x y ，解得：⎩⎨⎧=-=1 1 x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。
《二次函数》知识点总结(修改版)
《二次函数》主要知识点归纳（修改版）(何老师归纳)一、概念：形如2y ax bx c=++（a b c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。
1：条件：① a不为零②最高项次数为2（整理后）③整式2：特殊：若a＝0 则y＝bx＋c 是一次函数3：若y＝0，则函数图象交于x轴，化为一元二次方程a x2＋bx + c =04：特殊解析式：形如y=kx²-2kx-3k这样各项都含参数k的二次函数，图像必过定点.（令y=0, 则kx²-2kx-3k=0，化掉参数k得：x²-2x-3=0）二、二次函数的几种基本形式1：2y ax=的性质:a越大，抛物线的开口越小，越靠近y轴2. 2y ax c=+的性质：平移规律：上加下减y。
3.()2y a x h=-的性质：平移规律：左加右减x。
y=3(x+4)2(x-2)2y=3x24.()2y a x h k=-+（顶点式）的性质：平移规律：左加右减x 。
上加下减y,5．2y ax bx c =++（一般式）的性质： 先将一般式2y ax bx c =++通过配方法化成22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再对比顶点式，()2y a x h k =-+可得2424b ac b h k a a -=-=，．故两者性质相同。
三、二次函数2y ax bx c =++（或()2y a x h k =-+）图象及性质再归纳： 1：开口方向.①：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下； ②：a 相等，几条抛物线的开口大小、形状相同. ③：a 越大，抛物线的开口越小，越靠近y 轴 2：对称轴，直线abx 2-=（或直线x ＝h ） 3：顶点坐标：），（ab ac a b 4422-- 或（h,k ）4：增减性 ①：若0>a ，当x<a b 2-时，y 减；当x>a b2-时，y 增，简记：左减右增； ②：若0<a ，当x<a b 2-时，y 增；当x>ab2-时，y 减，简记：左增右减；5:最值 ⑴：若定义域是全体实数，则在顶点处取得最大值（或最小值），即:当a b x 2-=时，ab ac y 442-=最值，（或当x ＝h 时，最值是y ＝k ）2-32⑵: 若定义域是21x x x ≤≤， 则：①：若a b 2-在21x x x ≤≤内，则当x=a b 2-时，ab ac y 442-=最值；②：若ab2-不在21x x x ≤≤内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性， A: 若y 为增，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小； B: 若y 为减，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。
二次函数交点式
二次函数交点式交点式：y=a(X-x1)(X-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]。
设y=ax²+bx+c此函数与x轴有两交点,即ax²+bx+c=0有两根分别为x1,x2,a(x²+bx/a+c/a)=0 根据韦达定理a[x²-(x1+x2)x+x1*x2]=0十字交叉相乘：1x -x11x -x2a(x-x1)(x-x2) 就是这样推出的。
解决二次函数，还有一般式和顶点式一般式：y=ax²+bx+c顶点式：y=a(x-h)²+k交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]一般的，如果a，b，c是常数(a≠0)，那么y叫做x的二次函数。
2.二次函数的性质（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.（2）函数的图像与的符号关系.①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为 .3.二次函数的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中 .5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤ .6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.四个象限位置图①a 的符号决定抛物线的开口方向：当a>0 时，开口向上；当a<0 时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y轴（或重合）的直线记作对称轴 .特别地，y轴记作直线 .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线 .（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直线 .（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线中a 的作用（1）a决定抛物线的开口，a>0, 开口向上；a<0,开口向下。
九年级数学第二章二次函数与一元二次方程
用函数观点看一元二次方程【学习目标】1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；2.会求抛物线与x 轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；3.经历探索验证二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题． 【要点梳理】要点一、二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况求二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象与x 轴的交点坐标，就是令y ＝0，求20ax bx c ++=中x 的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x 轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式24b ac =-△二次函数2(0)y ax bx c a =++≠ 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠图象与x 轴的交点坐标根的情况△＞00a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x轴交于1(,0)x ，2(,0)x 12()x x <两点，且21,242b b acx a-±-=，此时称抛物线与x 轴相交一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b ac x a-±-=0a <△＝00a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交切于,02b a ⎛⎫-⎪⎝⎭这一点，此时称抛物线与x 轴相切 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-0a <△＜00a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x轴无交点，此时称抛物线与x 轴相离 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠在实数范围内无解（或称无实数根）0a <要点进阶：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定的.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点时，，方程没有实根.2.抛物线与直线的交点问题抛物线与x 轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴交点和二次函数与一次函数1y kx b =+(0)k ≠的交点问题．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴的交点是(0，c)．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与一次函数1y kx b =+(k ≠0)的交点个数由方程组12,y kx b y ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的个数决定．当方程组有两组不同的解时⇔两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时⇔两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时⇔两函数图象没有交点．总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 要点进阶：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 要点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤：1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与x 轴交点的横坐标的大致范围；3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y 值．4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y 值所对应的x 值即是一元二次方的近似根．要点进阶： 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）：(1)直接作出函数的图象，则图象与x 轴交点的横坐标就是方程的根；(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； (3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.要点三、抛物线与x 轴的两个交点之间的距离公式当△＞0时，设抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点为A(1x ，0)，B(2x ，0)，则1x 、2x 是一元二次方程2=0ax bx c ++的两个根．由根与系数的关系得12b x x a +=-，12c x x a=． ∴ 22121||||()AB x x x x =-=-21212()4x x x x =+-24⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭b c a a 224b ac a -=24||b ac a -= 即 ||||AB a =△（△＞0）． 要点四、抛物线与不等式的关系二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)与一元二次不等式20ax bx c ++>(a ≠0)及20ax bx c ++<(a ≠0)之间的关系如下12()x x <：判别式 0a >抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点不等式20ax bx c ++>的解集不等式20ax bx c ++<的解集△＞01x x <或2x x >12x x x <<△＝01x x ≠（或2x x ≠）无解△＜0全体实数 无解注：a ＜0的情况请同学们自己完成． 要点进阶：抛物线2y ax bx c =++在x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x 的所有值就是不等式20ax bx c ++>的解集；在x 轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x 的所有值就是不等式20ax bx c ++<的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．【典型例题】类型一、二次函数图象与坐标轴交点例1. 已知抛物线22(1)423y k x kx k =+++-．求：(1)k 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点； (2)k 为何值时，抛物线与x 轴有唯一交点；(3)k 为何值时，抛物线与x 轴没有交点．举一反三：【变式】二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程ax 2+bx+c=0的两个根； （2）写出不等式ax 2+bx+c ＞0的解集； （3）求y 的取值范围．类型二、利用图象法求一元二次方程的解例2. 利用函数的图象，求方程组的解.类型三、二次函数与一元二次方程的综合运用例3. 已知关于x 的二次函数22(21)34y x m x m m =--+++．(1)探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数为2，1，0．(2)设二次函数y 的图象与x 轴的交点为A(1x ，0)，B(2x ，0)，且22125x x +=与y 轴的交点为C ，它的顶点为M ，求直线CM 的解析式．举一反三：【变式】已知抛物线)(2442是常数m m mx mx y -+-=．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若155m <<，且抛物线与x 轴交于整数点，求此抛物线的解析式．例4.如图，二次函数的图象与x 轴交于A （﹣3，0）和B （1，0）两点，交y 轴于点C （0，3），点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ． （1）求二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围；（3）若直线与y 轴的交点为E ，连结AD 、AE ，求△ADE 的面积．【巩固练习】 一、选择题1. 若二次函数241y ax x a =++-的最大值为2，则a 的值是（ ）A.4B.-1C.3D.4或-12．已知函数2(3)21y k x x =-++的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＜0B ．k ≤4C ．k ＜4且k ≠3D ．k ≤4且k ≠33．方程2123x x x++=的实数根的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 44．如图所示的二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)240b ac ->；(2)1c >；(3)20a b -<；(4)0a b c ++<．你认为其中错误的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个5．方程2252x x x-++=的正根的个数为( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个6．“如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m 、n （m ＜n ）是关于x 的方程1﹣（x ﹣a ）（x ﹣b ）=0的两根，且a ＜b ，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ） A ．m ＜a ＜b ＜n B ． a ＜m ＜n ＜b C ． a ＜m ＜b ＜n D ．m ＜a ＜n ＜b二、填空题7． 已知二次函数22(21)44y x m x m m =--+++的图象的顶点在x 轴上，则m 的值为 ．8．如图所示，函数y ＝(k-8)x 2-6x+k 的图象与x 轴只有一个公共点，则该公共点的坐标为 ．第8题 第9题9．已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的顶点坐标为(-1，-3.2)及部分图象(如图所示)，由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别为1 1.3x =和2x =________．10．已知二次函数222(1)2y x m x m m =-+-+-的图象关于y 轴对称，则此图象的顶点A 和图象与x 轴的两个交点B 、C 构成的△ABC 的面积是________．11．抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）满足条件：（1）40a b -=；（2）0a b c -+>；（3）与x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①0a <；②0c >；③0a b c ++<；④43c ca <<，其中所有正确结论的序号是 ．12．如图是二次函数和一次函数y 2=kx+t 的图象，当y 1≥y 2时，x 的取值范围是 ．三、解答题 13．已知抛物线212y x x k =-+与x 轴有两个不同的交点． (1)求k 的取值范围；(2)设抛物线与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在点B 的左侧，点D 是抛物线的顶点，如果△ABC 是等腰直角三角形，求抛物线的解析式．14．如图所示，已知直线12y x =-与抛物线2164y x =-+交于A 、B 两点．(1)求A、B两点的坐标；(2)如图所示，取一根橡皮筋，端点分别固定在A、B两处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A、B两点构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．15．已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？。
二次函数知识点总结及相关典型题目(含答案)
二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分二次函数基础知识相关概念及定义二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc （a b c ，，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．二次函数2yaxbxc 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二次函数各种形式之间的变换二次函数c bx axy 2用配方法可化成：k hx a y2的形式，其中abac kab h4422，.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y ；②k axy2；③2h x a y ；④k hx a y2；⑤c bx axy 2.二次函数解析式的表示方法一般式：2y axbx c （a ，b ，c 为常数，0a ）；顶点式：2()y a x h k （a ，h ，k 为常数，0a ）；两根式：12()()ya xx x x （0a，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 二次函数2ax y 的性质二次函数2y ax c 的性质二次函数2ya x h 的性质：二次函数2ya x hk 的性质抛物线2yaxbx c 的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a 的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2b xa.特别地，y 轴记作直线0x .顶点坐标坐标：），（a bac a b4422顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 抛物线c bx axy 2中，c b a ,,与函数图像的关系二次项系数a 二次函数2yaxbxc 中，a 作为二次项系数，显然0a．⑴当0a 时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵当0a 时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴在0a 的前提下，当0b 时，02ba ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b 时，02ba，即抛物线的对称轴就是y 轴；a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a向上00，y 轴0x 时，y 随x 的增大而增大；0x 时，y随x 的增大而减小；0x 时，y 有最小值0．0a 向下00，y 轴0x 时，y 随x 的增大增大而减小；0x 时，y 随x 的增大而增大；0x 时，y 有最大值0．a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质性质a向上0c，y 轴0x时，y 随x 的增大而增大；0x时，y随x 的增大而减小；0x 时，y 有最小值c ．a 向下0c ，y 轴0x时，y 随x 的增大而减小；0x时，y随x 的增大而增大；0x 时，y 有最大值c ．a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a向上h ，X=hxh 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值0．0a向下h ，X=hxh 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随x的增大而增大；xh 时，y 有最大值0．a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a向上h k，X=hxh 时，y 随x 的增大而增大；xh 时，y 随x 的增大而减小；xh 时，y 有最小值k ．a 向下h k，X=hxh 时，y 随x 的增大而减小；xh 时，y 随x 的增大而增大；xh 时，y 有最大值k ．当0b 时，02ba，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b 时，02b a ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b 时，02b a ，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．总结：常数项c⑴当0c 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵当0c 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶当0c时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法：abac abxa cbx axy 442222，∴顶点是），（ab ac a b4422，对称轴是直线ab x2.配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为k hx a y 2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x .运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 用待定系数法求二次函数的解析式一般式：c bx axy 2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.顶点式：k h x a y2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：21x x x xa y.直线与抛物线的交点y 轴与抛物线c bx axy2得交点为(0, c ).与y 轴平行的直线h x与抛物线c bx axy2有且只有一个交点(h ,c bh ah2).抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx axy2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02cbx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点0抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）0抛物线与x 轴相切；③没有交点抛物线与x 轴相离.平行于x 轴的直线与抛物线的交点可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax2的两个实数根.一次函数0k n kx y 的图像l 与二次函数02ac bx axy的图像G 的交点，由方程组2y kx n yaxbx c的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时l 与G 只有一个交点；③方程组无解时l 与G 没有交点. 抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx axy2与x 轴两交点为0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02c bx ax的两个根，故ac x x a b x x 2121,aaac bac ab x x x x x x x x AB444222122122121二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于x 轴对称2ya xb xc 关于x 轴对称后，得到的解析式是2y axbx c ；2y a x hk 关于x 轴对称后，得到的解析式是2y a xhk ；关于y 轴对称2y a x b x c 关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bxc ；2ya x hk 关于y 轴对称后，得到的解析式是2y a x h k ；关于原点对称2y a x b x c 关于原点对称后，得到的解析式是2y axbx c ；2ya xhk 关于原点对称后，得到的解析式是2y a x hk ；关于顶点对称2y a x b x c关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbx ca；2ya xhk 关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk ．关于点m n ，对称2y a x hk 关于点m n ，对称后，得到的解析式是222y a x h m n k总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图象的平移平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ，确定其顶点坐标h k ，；⑵保持抛物线2yax 的形状不变，将其顶点平移到h k ，处，具体平移方法如下：向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h )2+ky=a(x-h )2y=ax 2+ky=ax2平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。
初中数学常用公式和定理大全(全新)
l 与 G 只有一个交点；③方程组无解时
l 与 G 没有交点 .
（ 5）抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线
y ax 2 bx c 与 x 轴两交点为 A x1，0 ， B x2，0 ，
则 AB x1 x2
1、多边形内角和公式： n 边形的内角和等于 (n－ 2)180o（ n≥ 3，n 是正整数），外角和等于 2、平行线分线段成比例定理： （ 1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 如图： a∥ b∥ c，直线 l1 与 l2 分别与直线 a、 b、 c 相交与点 A 、 B、 C
6、幂的运算性质：① am× an＝ am＋ n．② am÷ an＝ am－ n．③ (am)n ＝ amn．④ (ab)n＝ anbn．⑤ ( )n＝ n．
1
n
⑥ a－ n＝ a ，特别： ( )－n＝ ( )n．⑦ a0＝ 1(a≠ 0)．如： a3× a2＝ a5， a6÷a2＝ a4， (a3)2＝ a6， (3a3)3＝
右下降 )．特别：当 b＝0 时， y＝ kx(k ≠ 0)又叫做正比例函数 (y 与 x 成正比例 )，图象必过原点．
10、反比例函数 y＝ (k ≠ 0)的图象叫做双曲线．当 k＞ 0 时，双曲线在一、三象限 (在每一象限内，从左向
右降 )；当 k＜ 0 时，双曲线在二、四象限 (在每一象限内，从左向右上升 )．因此，它的增减性与一次函数
360o
AB DE AB DE BC EF
,
,
D、 E、 F，则有 BC EF AC DF AC DF
（ 2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）
，所得的对应线段成比例。
AD AE AD AE DE DB EC
初中数学各种公式(完整版)
..数学各种公式及性质1．乘法与因式分解①(a＋ b)( a－b) ＝a2－b2；②(a± b) 2＝ a2±2ab＋b2；③ ( a＋b)( a2－ ab＋b2) ＝a3＋ b3；④(a－ b)( a2＋ab＋b2) ＝a3－ b3；a2＋b2＝ ( a＋b) 2－2ab；( a－b) 2＝( a＋ b) 2－ 4ab。
2．幂的运算性质①a m×a n＝ a m+n；② a m÷a n＝a m- n；③(a m n＝ a mn；④(ab n＝ a n b n；⑤(a)n＝a n；) )b b n a- n＝1，特别： ( ) - n＝ ( ) n；⑦ a0＝1( a≠0) 。
⑥a n 3．二次根式①( 2 a a≥0)；②＝丨 a丨；③＝×；④＝(a＞， b≥0)。
) ＝ ( 04．三角不等式|a|- |b| ≤|a ±b| ≤|a|+|b| （定理）；加强条件： ||a|- |b|| ≤|a ±b| ≤|a|+|b| 也成立，这个不等式也可称为向量的三角不等式（其中 a，b 分别为向量 a 和向量 b）|a+b| ≤|a|+|b| ； |a- b| ≤|a|+| b| ；|a| ≤b<=>- b≤a≤b ；|a- b| ≥|a| -|b| ； - |a| ≤a≤|a| ；5．某些数列前 n 项之和1+2+3+4+5+6+7+8+9+⋯+n=n(n+1)/2 ；1+3+5+7+9+11+13+15+⋯+(2n -1)=n 2；2+4+6+8+10+12+14+⋯+(2n)=n(n+1) ； 1 2+22 +32+42 +52+62+72+82+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)/6；3 3 3 3 3 3 3 2 2； 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6* 7+⋯+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 ；1 +2 +3 +4 +5 +6 +⋯n=n (n+1) /46．一元二次方程对于方程： ax2＋bx＋ c＝ 0：2①求根公式是 x＝b b4ac，其中△＝b2－4ac叫做根的判别式。
七年级~九年级数学公式大全
七年级~九年级数学公式大全1.乘法与因式分解b) $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；③$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$；①$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$；②$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$；$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$；$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$。
2.幂的运算性质a^m\times a^n=a^{m+n}$；$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$；$a^0=1$；$(ab)^n=a^n\times b^n$；$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$；$\sqrt[n]{a}=\vert a\vert^{\frac{1}{n}}$；$a^1=a$，特别：$a^0=1(a\neq 0)$。
3.二次根式sqrt{a^2}= \vert a\vert$；$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$；$\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}>1$（$a>0$，$b\geq 0$）；$\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{(a+b)(a-b)}$（$a\geq b$）。
4.三角不等式a|-|b|\leq |a\pm b|\leq |a|+|b|$（定理）；加强条件：$||a|-|b||\leq |a\pm b|\leq |a|+|b|$也成立，这个不等式也可称为向量的三角不等式（其中$a$，$b$分别为向量$\textbf{a}$和向量$\textbf{b}$）；a+b|\leq |a|+|b|$；$|a-b|\leq |a|+|b|$；$|a|\leq b\Leftrightarrow -b\leq a\leq b$；a-b|\geq |a|-|b|$；$-|a|\leq a\leq |a|$。
5.某些数列前$n$项之和1+2+3+4+5+6+7+8+9+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$；$1+3+5+7+9+11+13+15+\cdots+(2n-1)=n^2$；$2+4+6+8+10+12+14+\cdots+(2n)=n(n+1)$；1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+\cdots+n^2=\dfrac{n( n+1)(2n+1)}{6}$；1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+\cdots+n^3=\dfrac{n^2(n+1)^2 }{4}$；1\times 2+2\times 3+3\times 4+4\times 5+5\times 6+6\times 7+\cdots+n(n+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$；6.一元二次方程对于方程：$ax^2+bx+c=0$：x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中$\Delta=b^2-4ac$叫做根的判别式。