内切球与外接球常见解法
高考数学空间几何体的外接球与内切球常见题型
高考数学空间几何体的外接球与内切球常见题型本文介绍了空间几何体的外接球与内切球的经典类型，其中第一种类型为墙角模型，即三条棱两两垂直，不需要找球心的位置即可求出球半径。
具体方法是找到三条两两垂直的线段，然后使用公式2R=a+b+c或2R=a^2+b^2+c^2来求出R。
例如，在已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16的情况下，可以求出该球的表面积为32π。
第二种类型为对棱相等模型，补形为长方体。
在这种情况下，需要找到对棱相等的空间几何体，并补成长方体。
例如，如果三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积为36π。
除此之外，文章还给出了一些具体的例子，如正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积为36π。
同时，文章还提到了一些需要注意的引理，如正三棱锥的对棱互相垂直等。
需要注意的是，文章中存在一些格式错误和明显有问题的段落，需要进行删除或修改。
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD，AD=BC，AC=BD）首先，我们可以画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱，如图2-1所示。
设出长方体的长宽高分别为a,b,c，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z，列方程组：a^2+b^2=x^2b+c=yc^2+a^2=z^2根据墙角模型，我们可以得到2R=a+b+c=2(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，化简得到R=sqrt(2)/2*(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，求出R即可。
例2（1）如下图所示三棱锥A-BCD，其中AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7，则该三棱锥外接球的表面积为。
2）在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为。
3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为。
内切球和外接球常见解法
内切球和外接球常见解法内切球和外接球是在几何学中常用的概念，它们分别指的是一个几何体内切或外接于另一个几何体的球。
在实际问题中，内切球和外接球常常用于优化问题和几何问题的求解，其解法也有多种。
以下将介绍一些常见的解法。
1. 解法一：利用勾股定理求解。
内切球和外接球都可以利用勾股定理求解。
以内切球为例，我们可以考虑任意三角形ABC，设其内切球的半径为r，以I为内切圆心，则：AB + AC = 2r；AC + BC = 2r；AB + BC = 2r。
整理可得：r = [ABC] / (s + a + b + c)，其中s为半周长，a、b、c为三角形ABC的三边长，[ABC]为三角形ABC的面积。
而外接球的半径r'则可用公式r'=[ABC] / (4S)，其中S为三角形ABC的外接圆半径。
欧拉定理是内切球和外接球求解的另一个重要工具。
欧拉定理有两种形式，分别为：对于任意四面体，其四个顶点、三条棱的中点和六面体质心共九个点在同一球面上。
对于任意三角形ABC，其外接圆心、垂足交点、垂心、重心四点在同一圆上，且圆心为外接球心。
利用欧拉定理可以求得内切球半径：点O为六面体质心，点I为内切圆心，则IO等于内切球半径r。
点O为三角形外心，点H为垂心，点G为重心，则OG等于外接球半径r'。
对于一些优化问题，内切球和外接球也可以通过线性规划求解。
例如，对于一个凸多面体，求其内切球或外接球的半径最大值，可以将问题转化为线性规划问题，即：max rs.t. A_i * x <= b_i, i=1,2,...,mx_i >= 0, i=1,2,...,n其中，A_i是多面体的几何信息，b_i是多面体中某一点到各个面的距离，x是优化变量，r就是所需要求的内切球或外接球半径。
可以使用线性规划求解器求解其最优解。
内切球与外接球常见解法
内切球与外接球常见解法一、内切球内切球是指一个球体恰好能够被另一个球体包围，且两个球体相切于球面上的一个点。
在数学中，内切球经常与三角形、四面体等几何图形相关联。
1. 三角形的内切圆对于一个任意形状的三角形，都存在唯一一个内切圆，该内切圆的圆心与三角形的三条边相切。
下面介绍一种常见的求解方法：以三角形的三个顶点为A、B、C。
1) 求解三个边长a、b、c。
利用两点之间的距离公式可以得到三条边的长度：a = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]b = √[(x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2]c = √[(x1 - x3)^2 + (y1 - y3)^2]2) 求解三角形的半周长s。
s = (a + b + c)/23) 求解内切圆的半径r。
r = √[(s - a)(s - b)(s - c)/s]4) 求解内切圆的圆心坐标。
利用三角形面积公式可以求解内切圆的圆心坐标：x = (a*x1 + b*x2 + c*x3)/(a + b + c)y = (a*y1 + b*y2 + c*y3)/(a + b + c)2. 四面体的内切球对于四面体，即由四个平面三角形组成的几何图形，也存在一个内切球。
下面介绍一种常见的求解方法：以四面体的四个顶点为A、B、C、D。
1) 求解四个面的面积S1、S2、S3、S4。
利用三角形面积公式可以求解四个面的面积。
S1 = 1/2 * |(B - A) × (C - A)|S2 = 1/2 * |(C - B) × (D - B)|S3 = 1/2 * |(D - C) × (A - C)|S4 = 1/2 * |(A - D) × (B - D)|2) 求解四面体的体积V。
四面体的体积可以通过以下公式求解：V = 1/6 * |(B - A) · [(C - A) × (D - A)]|3) 求解四面体内切球的半径r。
内切球与外接球常见解法
内切球与外接球常见解法在立体几何的学习中，内切球与外接球问题常常让同学们感到头疼。
其实，只要掌握了常见的解法，这类问题就能迎刃而解。
下面咱们就来详细探讨一下内切球与外接球的常见解法。
首先，咱们得明白什么是内切球和外接球。
内切球就是一个几何体内部恰好能够容纳一个球，并且这个球与几何体的各个面都相切；外接球则是指一个几何体恰好能够被一个球完全包围，并且几何体的各个顶点都在这个球面上。
对于常见的几何体，比如长方体、正方体、正四面体等，都有比较固定的求解方法。
先来说说长方体的外接球。
假设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，那么其外接球的直径就是长方体的体对角线长度。
体对角线长度可以通过勾股定理求出，即\（＼sqrt{a^2 ＋ b^2 ＋ c^2}＼），所以外接球的半径\（R ＝＼frac{＼sqrt{a^2 ＋ b^2 ＋ c^2}｝｛2}＼）。
正方体就更简单啦。
设正方体的棱长为 a，那么其外接球的直径就是正方体的面对角线长度的\（＼sqrt{3}＼）倍，所以外接球的半径\（R ＝＼frac{＼sqrt{3}a}｛2}＼）。
再看看正四面体的外接球。
正四面体比较特殊，我们可以通过一些几何关系来求解。
设正四面体的棱长为 a，先求出正四面体的高\（h ＝＼frac{＼sqrt{6}｝｛3}a\），然后外接球的半径\（R ＝＼frac{＼sqrt{6}｝｛4}a\）。
接下来，咱们说说一般多面体的外接球求解方法。
其中一种常用的方法是补形法。
比如说，如果一个三棱锥的对棱相等，那么我们可以把它补成一个长方体，然后利用长方体的外接球求解方法来解决。
还有一种方法是找球心。
球心到几何体各个顶点的距离都相等，我们可以通过一些已知条件，比如垂直关系、距离关系等来确定球心的位置。
对于内切球的求解，通常会用到体积分割的方法。
比如说，对于一个三棱锥，如果知道了它的表面积和体积，那么内切球的半径 r 就可以通过体积分割来求。
设三棱锥的体积为 V，表面积为 S，那么\（V ＝＼frac{1}｛3}Sr\），从而可以求出内切球的半径 r 。
数学高考重点内容多面体外接球、内切球常见解题方法总结
多面体外接球、内切球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同9一个球面上，且该六棱柱的体积为三，底面周长为3,则这个球的体积为86x=3,f1JQ———解设正六棱柱的底面边长为X,高为则有9后，2'§=6x甘"，]入=右.正六棱柱的底面圆的半径r=~,球心到底面的距离d=—.:.外接球的半径22R=J/+J?=]....v球=—.3小结本题是运用公式R2=r-+d2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是A.16^B.20ttC.24>tD.32i解设正四棱柱的底面边长为X,外接球的半径为R,则有4/=16,解得%=2, 2R=a/22+22+42=2^6,:.R=£.这个球的表面积是4*=24^,选C.小结本题是运用''正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为右，则其外接球的表面积是—.解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，...把这个三棱锥可以补成一个棱长为73的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R,则有（27?）2=（、厅『+（、行『+（^3）2=9./.R2=|,故其外接球的表面积S=4*=9兀.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为0、/?、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为A,则有2R=7a2+b2+c2.寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥S-ABC。
（完整版）八个有趣模型搞定外接球内切球问题（学生版））
（完整版）⼋个有趣模型搞定外接球内切球问题（学⽣版））⼋个有趣模型——搞定空间⼏何体的外接球与内切球类型⼀、墙⾓模型（三条线两个垂直，不找球⼼的位置即可求出球半径）⽅法：找三条两两垂直的线段，直接⽤公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同⼀球⾯上的正四棱柱的⾼为4，体积为16，则这个球的表⾯积是（） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧⾯两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表⾯积是（3）在正三棱锥中，分别是棱的中点，且MN AM ⊥,若侧棱,则正三棱锥ABC S -外接球的表⾯积是（4）在四⾯体中，ABC SA 平⾯⊥，,1,2,120====∠?AB AC SA BAC 则该四⾯体的外接球的表⾯积为（）（5）如果三棱锥的三个侧⾯两两垂直，它们的⾯积分别为6、4、3，那么它的外接球的表⾯积是图2图3S ABC -M N 、SC BC 、SA =S ABC -（6）已知某⼏何体的三视图如图所⽰，三视图是腰长为1的等腰直⾓三⾓形和边长为1的正⽅形，则该⼏何体外接球的体积为类型⼆、垂⾯模型（⼀条直线垂直于⼀个平⾯） 1．题设：如图5，⊥PA 平⾯ABC 解题步骤：第⼀步：将ABC ?画在⼩圆⾯上，A 为⼩圆直径的⼀个端点，作⼩圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球⼼O ；第⼆步：1O 为ABC ?的外⼼，所以⊥1OO 平⾯ABC ，算出⼩圆1O 的半径r D O =1（三⾓形的外接圆直径算法：利⽤正弦定理，得r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=；第三步：利⽤勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=?22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=?212OO r R +=2．题设：如图6，7，8，P 的射影是ABC ?的外⼼?三棱锥ABC P -的三条侧棱相等?三棱锥ABC P -的底⾯ABC ?在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点图6PADO 1OCB图7-1B图7-2 PAO 1 O C B图8 PAO 1 OCB图8-1 DPOO 2 ABC图8-2 POO 2A BC图8-3 DP图5ADPO 1OCB解题步骤：第⼀步：确定球⼼O 的位置，取ABC ?的外⼼1O ，则1,,O O P 三点共线；第⼆步：先算出⼩圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的⾼h PO =1（也是圆锥的⾼）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=?222)(r R h R +-=，解出R⽅法⼆：⼩圆直径参与构造⼤圆。
高中数学解题指导八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题
高中数学解题指导八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型墙角模型是指三条线段两两垂直的几何体，通过公式(2R) = a + b + c，即2R = a^2 + b^2 + c^2，可以求出其外接球半径R。
例1：1）已知顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，求该球的表面积。
解：由V = ah = 16，得a = 2，4R = a + a + h = 4 + 4 + 16 = 24，S = 24π，答案为C。
2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，求其外接球的表面积。
解：由2R = a + b + c = 3 + 3 + 3 = 9，得R = 9/4，S =4πR^2 = 9π。
3）在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA = 23，求正三棱锥S-ABC外接球的表面积。
解：由墙角模型的特点可知，正三棱锥的对棱互垂直。
连接AB、BC的中点D、E，连接AE、CD，交于H，则H是底面正三角形ABC的中心。
由AM⊥MN，SB//MN，可得AM⊥SB，AC⊥SB，故SB⊥平面SAC，SB⊥SA，SB⊥SC，即SB⊥SA，BC⊥SA，故SA⊥平面SBC，SA⊥SC。
因此，三棱锥S-ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，由2R^2 = 23^2 + 23^2 + 23^2 = 36，得R^2 = 9，S = 36π。
类型二、棱台模型棱台模型是指上底面和下底面都是正多边形，且两底面中心连线与侧棱垂直的几何体。
通过勾股定理和相似三角形，可以求出其外接球半径R和内切球半径r。
例2：1）已知棱台的上底面和下底面都是正三角形，上底边长为3，下底边长为6，侧棱长为5，求其外接球半径R和内切球半径r。
解：由勾股定理可得棱台的高为4√3.设外接球半径为R，内切球半径为r，则有R/r = (a + b + c)/(a + b - c) = (3 + 6 +5)/(3 + 6 - 5) = 7，解得R = 7r。
内切球与外接球常见解法
内切球与外接球常见解法内切球与外接球是数学里经典的概念，许多数学问题都涉及到了这两类球的概念，比如说圆锥曲线，并且内切球与外接球的解法也十分经典。
本文将会介绍内切球与外接球的常见解法。
一、内切球的解法1. 欧拉公式法欧拉公式告诉我们，对于任意一个凸多面体，其顶点数、棱数、面数之和等于2加上该凸多面体的亏格数。
因此，对于一个球体，其亏格数为2。
设内切球半径为r，球心到多面体某一个面的距离为d，则可以得到以下公式：r=(d1+d2+...+dn-nr)/(n-2)其中，d1、d2、...、dn为该面到球心的距离。
该公式适用于多面体的任何一个面。
2. 套路法对于任意一个多面体，在球心到多面体顶点的连线上，肯定会存在一个最小的球，使得该球完全包含了多面体的所有面。
这个球就是内切球。
通过套路法可求出内切球的半径。
首先取一个多面体面的中心点作为初始点，然后每次将该点沿着与之相邻的面的法线方向平移，并使点到多面体的距离为内切球半径。
当所有点到多面体距离之和最小时的内切球半径即为所求。
3. 向量法对于一个三角形，其内切球圆心为三角形的角平分线交点。
我们可以求出三角形的边向量和平面法向量，从而得到角平分线向量。
由角平分线乘以内切球半径即可得到内切球圆心坐标。
同理，对于多面体，内切球圆心为多面体一个面的平面角平分线交点。
二、外接球的解法1. 向量法对于一个三角形，其外接圆圆心为三角形的垂心和三边的交点。
由于垂心很难求得，我们通常使用法向量法求出外接球圆心。
首先求出三角形的边向量和平面法向量，然后将平面法向量沿着垂直三角形所在平面的方向延长，得到一个点P。
将点P连线到三角形三个顶点分别得到三个垂足，并将三个垂足连线求出其交点，即为外接圆圆心。
同理，对于多面体，通过面的法向量求得平面，然后将平面法向量沿着垂直多面体所在平面的方向延长，得到一个点P。
将点P连线到多面体任一面的一个顶点分别得到各个垂足，并将各个垂足连线求出其交点，即为外接球圆心。
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1 球与柱体
1.1 球与正方体
例 1 棱长为1的正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E ，F 分别是 棱 AA 1，DD 1 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为( )
A ． 2
B ．1
C ．1 + 2
D ． 2
A ． 2 2 1.2 球与长方体
长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体 的棱长为a ,b ,c ,其体对角线为l .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其
l
a 2 +
b 2 +
c 2
外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径R = l =a +b +c . 22 例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体， 则球经过的空间部分的体积为(
)
10π 8π 7π A. B.4π C. D.
1.3 球与正棱柱 内切与外接
例3 正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1 的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有 最 值，为 .
2 球与锥体 规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外 接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体 积或者表面积等相关问题.
2.1 球与正四面体
R +r = 3a ，R 2-r 2= CE = 3 ，解得：R = 46a ,r = 126 a .
例 4 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最 小值为 ( )
3+2 6 26 26 4 3+2 6
B. 2+
C. 4+
D.
A. 3 3 3
2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥
例5 在正三棱锥S - ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN ,若侧棱
SA = 2 3 ,则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是
2.3球与正棱锥
球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.
例 6 在三棱锥P－ABC 中，PA＝PB=PC= 3 ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（）
4
A ． B. C. 4 D.
33
SC
接球的球心,则R = SC .
2
例7 矩形ABCD中，AB = 4,BC = 3, 沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角
B - A
C -
D ,则四面体ABCD的外接球的体积是( )
125 125 125 125
A. B. C. D.
12 9 6 3
3 球与球对多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.
例7 在半径为R 的球内放入大小相等的 4 个小球，则小球半径r 的最大值为( )
4球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.
例：与正四面体各棱都相切的球的半径为棱的一半：.
例8 把一个皮球放入如图10 所示的由8 根长均为20 cm 的铁丝接成的四。