正确理解 泊松分布 通俗解释
谈谈对泊松分布的理解
谈谈对泊松分布的理解
泊松分布是一种概率分布，可以用于描述随机事件在一段固定时间内发生次数的概率分布。
它是一种离散的概率分布，通常用于表示单位时间或空间内某个随机事件发生次数的分布情况。
泊松分布的名称来自于法国数学家西蒙·德·拉普拉斯在其著作《概率理论的研究》中以法国数学家西蒙·丹尼·泊松的名字命名的。
泊松分布有一个重要的性质，即它是一个特殊的极限分布，当事件次数很大时，泊松分布会与正态分布越来越接近。
因此，泊松分布也被称为极限分布之一。
泊松分布的参数是事件发生的期望值，也称为平均事件发生率。
如果事件发生的期望值为λ，则泊松分布的概率质量函数可以表示为：
P(X=k) = e^(-λ) * λ^k / k!
其中，X表示事件发生的次数，k表示一个非负整数，e表示自然对数的底数，k!表示k的阶乘。
泊松分布的图形通常呈现出类似钟形曲线的形态，但是相比于正态分布，它的尾部更长一些，分布更为集中。
另外，泊松分布的期望和方差相等，即E(X) = Var(X) = λ。
泊松分布最常见的应用是在统计和概率问题中，例如在服务质量的改进、网站流量的变化、医疗事件发生次数、犯罪次数等等。
泊松分布可以用来估计在某个时间段内或空间单位内某个随机事件的发生次数，并给出每个可能值的概率分布。
另外，泊松分布还能够被广泛应用于大范围的实际应用，包括通信网络、金融风险管理、生物统计、独立事故评估等等。
泊松分布的概念及表和查表方法
泊松分布的概念及表和查表方法Poisson分布，是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）在1838年时发表。
中文名泊松分布外文名poisson distribution 分类数学时间1838年台译卜瓦松分布提出西莫恩·德尼·泊松目录1命名原因2分布特点3关系4应用场景5应用示例6推导7形式与性质命名原因泊松分布实例泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。
泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。
这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。
分布特点泊松分布的概率函数为：泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
泊松分布的期望和方差均为特征函数为关系泊松分布与二项分布泊松分布当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。
通常当n≧20,p≦0.05时，就可以用泊松公式近似得计算。
事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关部分。
应用场景在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。
泊松分布的概念及表和查表方法
目录1命名原因2分布特点3关系4应用场景5应用示例6推导7形式与性质命名原因泊松分布实例泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。
泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。
这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。
分布特点泊松分布的概率函数为：泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
泊松分布的期望和方差均为特征函数为关系泊松分布与二项分布泊松分布当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。
通常当n≧20,p≦时，就可以用泊松公式近似得计算。
事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关部分。
应用场景在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。
因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位（在早期学界认为人类行为是服从泊松分布，2005年在nature上发表的文章揭示了人类行为具有高度非均匀性）。
应用示例泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。
如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。
泊松分布定理
泊松分布定理泊松分布定理又称为泊松定理，是概率论中的一条重要定理，它描述了随机事件在单位时间内发生的次数服从泊松分布的概率分布。
泊松分布定理的数学表达式为：P(k) = λ^k * e^(-λ) / k!其中，P(k)表示事件发生k次的概率，λ为单位时间内事件平均发生的次数。
首先，我们来解释一下泊松分布的背景和基本概念。
泊松分布是一种描述离散随机变量的概率分布，它适用于具有以下特点的事件：1. 事件是独立发生的，每次事件的发生与其他事件的发生无关。
2. 事件在单位时间内发生的次数是有限的，没有上限。
3. 事件平均发生的次数在单位时间内是相对稳定的，不会随时间发生变化。
泊松分布定理给出了计算事件发生概率的具体公式，可以通过该公式计算出任意次数事件发生的概率。
泊松分布定理的证明主要基于数学方法，其中用到了高等数学中的泰勒级数展开和极限的概念。
证明的过程比较抽象和复杂，对于一般读者来说可能较难理解。
然而，对于实际应用中的问题，我们可以通过具体的例子来更好地理解和应用泊松分布定理。
例如，假设一个电话交换台每分钟接收的电话次数平均为3次，现在我们希望知道在30分钟内接收到5次电话的概率是多少。
根据泊松分布定理，我们可以计算出这个概率。
首先，将λ=3代入泊松分布定理公式，得到事件发生k=5次的概率P(5)：P(5) = 3^5 * e^(-3) / 5!接下来，我们希望计算在30分钟内接收到5次电话的概率，这相当于在30个单位时间内接收到5次电话的概率。
由于事件是独立发生的，我们可以将30分钟内接收到5次电话的概率表示为：P = P(5)^30将前面计算得到的P(5)代入上式，即可计算出在30分钟内接收到5次电话的概率。
通过这个例子，我们可以看到泊松分布定理的应用具有一定的实用性。
在实际问题中，例如交通流量的分析、疾病的发病率研究等，都可以采用泊松分布定理进行概率计算。
总结起来，泊松分布定理是概率论中的一条重要定理，用于描述随机事件在单位时间内发生的次数服从泊松分布的概率分布。
泊松分布的理解
泊松分布的理解一、什么是泊松分布泊松分布是一种概率分布，它描述了在一定时间或空间范围内，事件发生的次数。
它得名于法国数学家西蒙泊松（Siméon Denis Poisson），他在研究天文学时发现了这种分布。
泊松分布的特点是：事件的发生是随机的，且任意两个事件之间是独立的。
它通常用于描述一些稀有事件的发生概率，例如地震、车祸、电话呼叫等。
二、泊松分布的公式泊松分布的概率质量函数为：P(X=k)=e^(-λ) * λ^k / k!其中，X表示事件发生的次数，λ表示单位时间或单位空间内事件的平均发生次数，k表示事件发生的次数。
三、泊松分布的实际应用1. 网络攻击网络攻击是一种随机事件，它的发生概率符合泊松分布。
例如，黑客攻击某个网站的次数就可以用泊松分布来描述。
在网络安全领域，泊松分布被广泛应用于预测网络攻击的发生概率和频率，以便采取相应的防御措施。
2. 电话呼叫电话呼叫也符合泊松分布的特点。
例如，某个电话服务中心在一个小时内接到的呼叫次数就可以用泊松分布来描述。
这种分布可以帮助电话服务中心预测客户呼叫的数量，以便安排足够的客服人员来处理呼叫。
3. 交通事故交通事故也可以用泊松分布来描述。
例如，在一个路口发生的交通事故数量就可以用泊松分布来表示。
这种分布可以帮助交通管理部门预测交通事故的发生概率和频率，以便采取相应的交通安全措施。
四、泊松分布的优点和缺点泊松分布的优点是：它简单易用，适用于描述稀有事件的发生概率。
它的概率质量函数只有一个参数λ，可以通过样本数据来估计。
此外，泊松分布具有无记忆性，即事件的发生概率与之前的事件无关，这使得它在实际应用中更加方便。
泊松分布的缺点是：它只适用于描述稀有事件，当事件的发生次数较多时，它的拟合效果就会变差。
此外，泊松分布假设事件的发生是随机独立的，但在实际应用中，事件之间可能存在一定的相关性，这也会影响泊松分布的拟合效果。
五、总结泊松分布是一种描述稀有事件发生概率的概率分布，它可以应用于很多领域，例如网络安全、电话服务、交通管理等。
每天一点统计学——泊松分布公式在生活中的应用
每天一点统计学——泊松分布公式在生活中的应用泊松分布的定义泊松概率分布是考虑在连续时间和空间单位上发生的随机事件的概率。
通俗解释：基于过去的经验，预测该随机事件在新的同样长的时间或同样大的空间中发生N次的概率。
泊松分布包括以下条件：1.单独事件在给定区间内随机、独立地发生，给定区间可以是时间或空间，例如可以是一个星期，也可以是一公里；2.已知该区间的事件平均发生次数，且为有限数值，该事件平均发生次数通常用希腊字母λ（lambda）表示。
泊松分布公式某事件在给定区间内平均发生λ次，在求给定区间内发生r次事件的概率时，使用以下公式：泊松分布公式泊松分布公式用到了指数函数ex，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828。
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。
如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数等等。
泊松分布公式的应用已知某家小杂货店，平均每周售出2个水果罐头。
请问该店水果罐头的最佳库存量是多少？解：假定不存在季节因素，可以近似认为，这个问题满足以下三个条件：（1）顾客购买水果罐头是小概率事件。
（2）购买水果罐头的顾客是独立的，不会互相影响。
（3）顾客购买水果罐头的概率是稳定的。
各个参数的含义：•P：每周销售r个罐头的概率；•X：水果罐头的销售变量；•r：每周销售罐头数的取值（0，1，2，3…）；•λ：每周水果罐头的平均销售量（数学期望），是一个常数，本题为2；根据公式，计算得到每周销售不同数量罐头数的概率及累计概率：从上表可见，如果存货4个罐头，95%的概率不会缺货（5%＝1/20，即平均19周发生一次）；如果存货5个罐头98%的概率不会缺货（2%＝1/50，即平均49周发生一次）。
泊松分布及其在实际中的应用
pn
(1
p)N0 n
。
（1）
由于在放射性衰变中，原子核数目N0 很大，而p
相对很小，并且满足 t 1，所以上式可以近似化
为泊松分布，因为此时 m N0 p N0，对于 m附近的
n 值可得到：
Cn N0
N0(N0
1)( N0
2)(N0
n 1)
N0n
(1 p)N0 n (e p ) N0 n e pN0
带入（1)式中得到： p(n) N0n pne pN0 n!
令 m N0 p，得到: p(n) mn em ,即为泊松分布。并
n!
且有E(n) m, 2 m。
综上，泊松分布作为概率论中最重要的几个分布 之一，具有很多特殊的性质和作用，在实际中有着 广泛的应用。通过此次对泊松分布的性质及其应用 的讨论，我深刻体会到，我们在学习概率论与数理 统计这门课的过程中，不仅要注重相关公式的推导 和理解，更要学会了解相关知识在现实生活和其他 学科中的应用。
通过路口的1000辆汽车发生事故与否，可以
看成 n=1000次伯努利试验，所以 X服从二项
分布，由于 n=1000很大，且 p =0.0001很
小，且 np=0.1，所以X服从泊松分布，
P( X
m)
Cnm
pnm (1
p)nm
npm m!
enp (m
0,1,, n)。
此段时间内发生2次以上事故的概率为：
1.泊松分布的定义及基本知识
1.1定义： （1）若随机变量X的分布列为 则称X服从参数为 的 泊松分布，并用记号X~P( )表示。 （2）泊松流： 随机质点流：随机现象中源源不断出现的随机质点构 成的序列。 若质点流具有平稳性、无后效性、普通性, 则称该质点 流为泊松事件流(泊松流)。 例如某电话交换台收到的电话呼叫数; 到某机场降落 的飞机数; 一个售货员接待的顾客数等这些事件都可 以看作泊松流。
泊松分布极限-概述说明以及解释
泊松分布极限-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述泊松分布是概率论中重要的分布之一，它描述了在一定时间或空间范围内随机事件发生的次数。
泊松分布常常被用于模拟和分析各种实际问题，如交通流量、电话呼叫数量、网站访问量等。
本文旨在介绍泊松分布的定义、特征以及它在实际应用领域中的重要性。
同时，我们将讨论泊松分布的极限定理，即当事件发生的次数足够多时，泊松分布将趋近于正态分布。
在正文部分，我们首先会详细介绍泊松分布的定义和特征。
泊松分布是一种离散概率分布，描述了在一个固定的时间间隔或空间区域内，某事件发生的次数符合泊松分布的概率。
其次，我们将探讨泊松分布在各个应用领域中的重要性。
由于其简单性和灵活性，泊松分布被广泛应用于各种实际问题的建模和分析中。
例如，在交通领域中，泊松分布可以用来描述车辆通过某个路口的速率和流量。
在通信领域，泊松分布可以用来模拟电话呼叫的数量和到达时间间隔。
在互联网领域，泊松分布可以用来分析网站的访问量和用户的点击行为。
最后，我们将研究泊松分布的极限定理。
当事件发生的次数足够多时，根据中心极限定理，泊松分布的近似分布将趋近于正态分布。
这一定理在实际应用中具有重要的意义，它使得我们可以应用正态分布的性质来分析和预测泊松分布相关问题。
总结起来，本文将介绍泊松分布的定义、特征和应用领域，并分析其极限定理。
通过对泊松分布的深入研究，我们可以更好地理解和应用这一概率分布，为实际问题的建模和解决提供更精确和有效的方法。
对于未来的研究和应用方向，我们也将展望泊松分布在更多领域中的发展和思考。
1.2文章结构文章结构文章将按照以下结构展开：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 泊松分布的定义和特征2.2 泊松分布的应用领域2.3 泊松分布的极限定理3. 结论3.1 总结泊松分布的重要性和应用3.2 对泊松分布极限的意义和影响进行讨论3.3 展望泊松分布在未来的研究和应用方向在本文中，我们将首先在引言部分对泊松分布进行简要介绍和背景阐述。
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很多人在上概率论这门课的时候就没搞明白过泊松分布到底是怎么回事，至少我就是如此。
如果我们学习的意义是为了通过考试，那么我们大可停留在“只会做题”的阶段，因为试卷上不会出现“请发表一下你对泊松公式的看法”这样的题目，因为那样一来卷子就变得不容易批改，大部分考试都会出一些客观题，比如到底是泊松分布还是肉松分布。
而如果我们学习的目的是为了理解一样东西，那么我们就有必要停下来去思考一下诸如“为什么要有泊松分布？”、“泊松分布的物理意义是什么？”这样的“哲学”问题。
如果我们要向一个石器时代的人解释什么是电话，我们一定会说：“电话是一种机器，两个距离很远的人可以通过它进行交谈”，而不会说：“电话在1876 年由贝尔发明，一台电话由几个部分构成……”（泊松分布在1876 年由泊松提出，泊松分布的公式是……）所以我们问的第一个问题应该是“泊松分布能拿来干嘛？”
泊松分布最常见的一个应用就是，它作为了排队论的一个输入。
比如在一段时间t（比如 1 个小时）内来到食堂就餐的学生数量肯定不会是一个常数（比如一直是200 人），而应该符合某种随机规律：假如在 1 个小时内来200 个学生的概率是10%，来180 个学生的概率是20%……一般认为，这种随机规律服从的就是泊松分布。
这当然只是形象化的理解什么是泊松分布，若要公式化定义，那就是：若随机变量X 只取非负整数值0,1,2,..., 且其概率分布服
从则随机变量X 的分布称为泊松分布，记作P(λ)。
这个分布是S.-D.泊松研究二项分布的渐近公式时提出来的。
泊松分布P (λ)中只有一个参数λ ，它既是泊松分布的均值，也是泊松分布的方差。
生活中，当一个随机事件，例如来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ(或称密度)随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从
泊松分布。
（泊松分布图可能长这样——）
在上文中已经提到了，泊松分布的均值和方差都是λ，如何推导的呢？看下图：
其实泊松分布在日常中还是很好辨别的，因为他有一个累计的过程。
曾看到一篇用泊松分布来分析美国治安的例子，引来给大家看看：
美国枪击案假定它们满足"泊松分布"的三个条件：
（1）枪击案是小概率事件。
（2）枪击案是独立的，不会互相影响。
（3）枪击案的发生概率是稳定的。
显然，第三个条件是关键。
如果成立，就说明美国的治安没有恶化；如果不成立，就说明枪击案的发生概率不稳定，正在提高，美国治安恶化。
根据资料，
1982--2012年枪击案的分布情况如下：
计算得到，平均每年发生2起枪击案，所以λ = 2 。
上图中，蓝色的条形柱是实际的观察值，红色的虚线是理论的预期值。
可以看到，观察值与期望值还是相当接近的。
我们用"卡方检验"，检验观察值与期望值之间是否存在显著差异。
卡方统计量= Σ[(观察值-期望值)^2/期望值]
计算得到，卡方统计量等于9.82。
查表后得到，置信水平0.90、自由度7的卡方分布临界值为12.017。
因此，卡方统计量小于临界值，这表明枪击案的观察值与期望值之间没有显著差异。
所以，可以接受"发生枪击案的概率是稳定的"假设，也就是说，从统计学上无法得到美国治安正在恶化的结论。
但是，也必须看到，卡方统计量9.82离临界值很接近，p-value只有0.18。
也就是说，对于"美国治安没有恶化"的结论，我们只有82%的把握，还有18%的可能是我们错了，美国治安实际上正在恶化。
因此，这就需要看今后两年中，是否还有大量枪击案发生。
如果确实发生了，泊松分布就不成立了。