内蒙古呼伦贝尔市牙克石林业一中届高三数学第四次模拟考试试题-理

内蒙古呼伦贝尔市牙克石林业一中2012届高三数学第四次模拟考试试题 理一．选择题（12⨯5分=60分）1.已知z 是纯虚数，iz -+12是实数（其中i 为虚数单位），则z = A ．2i B ．i C ．i -D ．2i -2.已知p ：14x +≤，q ：256x x <-，则p 是q 成立的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 3.已知向量p ()2,3=-,q (),6x =,且//p q ，则+p q 的值为A ．5 D ．13 4.函数ln xy x=在区间()1,+∞上 A ．是减函数 B ．是增函数 C ．有极小值 D ．有极大值5.设变量,x y 满足约束条件20701x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则y x 的最大值为（ ）A ．95B ．3C ．4D ．66.已知随机变量x 服从正态分布),(2σμN ，且)22(σμσμ+≤<-x P ＝)(σμσμ+≤<-x P ＝0.6826，若μ＝4，σ＝1，则P (5＜x ＜6)＝( A ．0.1358 B ．0.1359C ．0.2716 D ．0.2718 7.已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中假命题是A ．若βα//，α⊂l ,则β//lB ．若βα//，α⊥l ,则β⊥lC ．若α//l ，α⊂m ,则m l //D ．若βα⊥，l =⋂βα,α⊂m ,l m ⊥,则β⊥m 8.阅读右图的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9. 若函数)2sin(2ϕ+=x y 的图象过点)1,6(πA. 12π=x B. 6π=x C. 3π=x D. 125π=xO BADC 10. 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，()0f x '>，且0)21(=-f ，则不等式()0f x <的解集为（ ）A ．21{-<x x }B ．{x }210<<xC ．21{-<x x 或}210<<x D ．1|02x x ⎧-≤≤⎨⎩或}12x ≥11. 等差数列{}n a 中，100a <，110a >，且1011||||a a <，n S 为其前n 项之和，则（ ） A ．1210,,,S S S 都小于零，1112,,S S 都大于零 B ．125,,,S S S 都小于零，67,,S S 都大于零 C ．1219,,,S S S 都小于零，2021,,S S 都大于零 D ．1220,,,S S S 都小于零，2122,,S S 都大于零12. 已知1F 、2F 是椭圆:C 12222=+by a x 的左右焦点，P 是C 上一点，2214||||3b PF PF =⋅→→，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．]21,0( B ．]23,0( C ．)1,23[ D ．)1,21[ 二．填空题（4⨯5分=20分）13.在二项式1(2)nx x-的展开式中，若第5项是常数项，则n =_______．（用数字作答）14. 设2[0,1]()1(1,]x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，则0()e f x dx =⎰_____．15.如图, 设A 、B 、C 、D 为球O 上四点，若AB 、AC 、AD 两两互相垂直，且6,2AB AC AD ===，则AD 两点间的球面距离.16.已知数列{}n a 满足12a =,)(231*+∈+=N n a a n n ,则该数列的通项公式n a =．三．解答题（共70分）17.（本小题满分12分）已知函()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示：ABCD E FE(1)求,ωϕ的值；(2)设g()()()1228x x x f π=--，当[0,]2x π∈时，求函数()g x 的值域．18. （本小题满分12分）甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试，已知甲能通过测试的概率是25，甲、乙、丙三人都能通过测试的概率是320，甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是340，且乙通过测试的概率比丙大.（Ⅰ）求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少； （Ⅱ）求测试结束后通过的人数ξ的数学期望E ξ. 19．（本小题满分12分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点.(1) 求证：//AF 平面BCE ； (2) 求证：平面BCE ⊥平面CDE ； (3) 求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值. 20. （本小题满分12分）已知椭圆E ：12222=+by ax )0(>>b a 的左、右焦点分别为12F F 、，离心率e 2=，点(0,1)D 在且椭圆E 上， （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设过点2F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆E 于A B 、两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点(,0)G t ，求点G 横坐标的取值范围.（Ⅲ）试用t 表示GAB ∆的面积，并求GAB ∆面积的最大值21.(本小题满分12分）已知函数432()2f x x ax x b =+++（x R ∈），其中,a b R ∈． （1）当310-=a 时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()f x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围； （3）若对于任意的[2,2]a ∈-，不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立，求b 的取值范围．22. (本小题满分10分）注：考生可在下列三题中任选一选者按先做题评分。

（1）. 几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ， EF 垂直BA 的延长线于点F ．求证：（1）DFA DEA ∠=∠；（2）AB 2=BE •BD-AE •AC.（2）.坐标系与参数方程已知直线l 的极坐标方程是cos sin 10ρθρθ+-=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在曲线1cos :sin x C y θθθ=-+⎧⎨=⎩（为参数）上求一点，使它到直线l 的距离最小，并求出该点坐标和最小距离．（3）.不等式选讲已知,,a b c 均为正实数，且1a b c ++=. 求414141a b c +++++的最大值.牙克石林业一中2011---2012学年高三年级第四次模拟考试数学试卷(理)参考答案一．选择题（12⨯5分=60分）二．填空题（4⨯5分=20分）13. 8 14.34 15. π3216. 13-=n n a 三．解答题（共70分）∴()g x 的值域为[2]-。

………………………………………………12分 18．解（Ⅰ）设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是x 、y 依题意得：23,52033(1)(1),540xy x y ⎧=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩ 即3,41.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,23.4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）┅┅┅┅4分 所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是34、12.┅┅┅┅6分 （Ⅱ）因为3(0)40P ξ==3(3)20P ξ==2312312317(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)54254254220P ξ==--+--+--=01317(2)1()40P P P P ξ==-++= 所以E ξ=371733301234020402020⋅+⋅+⋅+⋅=┅┅┅┅12分(2) 证：∵ACD ∆为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥. ……6分∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE AF ⊥. ………7分 又CDDE D =，故AF ⊥平面CDE . …………8分∵//BG AF ，∴BG ⊥平面CDE . …………9分 ∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE . …………10分(3) 解：在平面CDE 内，过F 作FH CE ⊥于H ，连BH . ∵平面BCE ⊥平面CDE ，∴FH ⊥平面BCE .∴FBH ∠为BF 和平面BCE 所成的角. …………12分 设22AD DE AB a ===，则2sin 452FH CF a =︒=， 2222(3)2BF AB AF a a a =+=+=，R t △FHB 中，2sin FH FBH BF ∠==∴直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值为24. 20．解：（Ⅰ）22222221,,2,2c a b b e a a a a-===∴==∴椭圆E 的方程为2212x y +=-------------------4分 （Ⅱ）设直线AB 的方程为y=k(x-1)(k≠0),代入22x +y 2=1,整理得(1+2k 2)x 2-4k 2x+2k 2-2=0.∵直线AB 过椭圆的右焦点2F , ∴方程有两个不等实根.记A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 中点N(x 0,y 0),则x 1+x 1=,12422+k k 2012002212(),(1),22121k kx x x y k x k k =+==-=-++---------------6分∴AB 垂直平分线NG 的方程为).(100x x ky y --=-令y =0，得222002222211.212121242k k k t x ky k k k k =+=-==-++++ ----------------8分∵10,0.2k t ≠∴<<∴的取值范围为1(0,)2. -------10分所以，当14t =时，()f t 有最大值6427)41(=f ．所以，当14t =时，△GAB 的面积有最大值863．-------------------14分21．解：（1）322()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++．当103a =-时，2()(4104)2(21)(2)f x x x x x x x '=-+=--．令()0f x '=，解得10x =，212x =，32x =． 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在(0,)2，(2,)+∞内是增函数，在(,0)-∞，(,2)2内是减函数．（2）2()(434)f x x x ax '=++，显然0x =不是方程24340x ax ++=的根．为使()f x 仅在0x =处有极值，必须24403x ax +≥+恒成立，即有29640a ∆=-≤． 解此不等式，得3838a -≤≤．这时，(0)f b =是唯一极值． 因此满足条件的a 的取值范围是88[,]33-．（3）由条件[2,2]a ∈-及（II ）可知，29640a ∆=-<．从而24340x ax ++>恒成立．当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．因此函数()f x 在[1,1]-上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者． 为使对任意的[2,2]a ∈-，不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立，当且仅当111))1((f f ≤-≤⎧⎨⎩，即22b ab a≤--≤-+⎧⎨⎩，在[2,2]a ∈-上恒成立．所以4b ≤-．因此满足条件的b 的取值范围是(,4]-∞-．22．（1）证明：(1)连结AD 因为AB 为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF ⊥AB ，∠EFA=90°则A 、D 、E 、F 四点共圆∴∠DEA=∠DFA(2)由(1)知，BD •BE=BA •BF 又△ABC ∽△AEF ∴AFACAE AB =即：AB •AF=AE •AC ∴ BE •BD-AE •AC =BA •BF-AB •AF =AB(BF-AF) =AB 2（3）解：由柯西不等式得()222141141141(111)(414141)a b c a b c +++++≤+++++++3[4()3]21a b c =+++=…当且仅当a=b=c=13时等号成立故414141a b c +++21…。