高一数学必修1课后习题
f ( x) 与 g ( x) 相等？ x
2
映射是“求正弦” ，与 A 中元素 60 相对应的 B 中
（ 1 ） f ( x)
x 1, g ( x )
2
x
4
1；
的元素是什么？与 元素是什么？
B 中的元素
2 2
相对应的
A中
（ 2） （ 3）
f ( x) f ( x)
x , g(x) x , g ( x)
” _______ A ；
10 _______ A ．
（ 1）大于 1且小于 6 的整数；
3．用列举法表示下列给定的集合：
{ x | x是菱形 } _______ { x | x是平行四边形 } ；
{ x |x是等腰三角形 } ____ { x | x是等边三角形 }
（ 2） A
{ x | ( x 1)(x
时间
O （B）
时间
O （ C）
时间
O
h 与时间 t 关系的函数
3 ．画出函数 y | x
2 | 的图象．
h
130t
5 t 和二次函数 y 1 和 g ( x)
0
2
130x 5x ；
2
（ 2 ） f ( x)
x ．
5
4 ．设
A { x | x是锐角 }, B
{0,1 }，从 A 到 B 的
2 ．下列哪一组中的函数
现在以 vcm / s 的速度向容器内注入某种溶 液．求溶液内溶液的高度 时间 值域． 6．若
xcm 关于注入溶液的
ts 的函数解析式，并写出函数的定义域和
f ( x)
x
2
bx c ，且 f (1) 0, f (3)
0，
求 f ( 1) 的值．
7
10．设集合 A
{ a , b , c}, B
{0,1} ，试问：从 A 到
{x| x
（ 6） (
2 5) _______ N ．
1 _______ A ；
2． 已知 A 符号填空： （ 1 ） 5 _______ A ； （ 3） （ 2） 7 _______ A ； （ 3）
1}_______ A ； {1, 1} _______ A ；
3 k 1, k
用“ Z} ，
” 或 “
r 取何值时，只有唯一的
3km / h ，步行的速度是 5 km / h ， t （单位： h ）表示他从小岛到城镇的时间， km ）表示此人将船停在海岸处距
离．请将
x （单位：
P 点的距
t 表示为 x 的函数．
P 4km 处，那么从小岛到
（ 2 ）如果将船停在距点 城镇要多长时间 （精确到 1h ）？
3． 函数 f ( x )
[ x ] 的函数值表示不超过 4 ，[2.1] 2 ．当 x
x 的最大整
(2 5 . , 3 ]
B 的映射共有几个？并将它们分别表示出来．
数，例如， [ 3.5] 时，写出函数
f ( x) 的解析式，并作出函数的图象．
Ｂ组
1．函数 r （ 1）函数 r （ 2）函数 r （ 3）
2
B
________________________________________ （ 3）
9
0 的所有实数根组成的集
A { x | x是 4 与 10 的公倍数 , x 20m, m N }
N }，
B {x| x
_________________________________________
_________________________________________ （ 3 ）一次函数 的交点组成的集合； _________________________________________ （ 4 ）不等式 4 x
2 2
A { x|x
4x 5
0}, B { x | x
1 } ，求
A B ,A B ．
a ______ { a , b , c} ；
2
（ 2 ） 0 ______ { x | x （ 3） ______ { x
0} ；
2
R| x
1 0} ；
1
3
．
已
知
A {
x是等腰三角形 | x
B, A B．
，
（ 3） B
{x
Z| 3
2 x 1 3} ．
B { x | x是直角三角形 } ，求 A
4 ．试选择适当的方法表示下列集合： （ 1 ）二次函数
y
x
2
4 的函数值组成的集合；
4 ．
已
知
全
集
U
{ 1 ,
2 ,
3 ,，
（ 2 ）反比例函数 合；
A
{2,4,5}, B
求
{1,3,5,7} ，
U A)
y
2 x
的自变量的值组成的集
f ( p ) 的图象如图所示． f ( p ) 的定义域是什么？ f ( p ) 的值域是什么？ p 值与之对应？
4． 如图所示， 一座小岛距离海岸线上最近的点 个城镇．
P的
距离是 2km ，从点 P 沿海岸正东 12km 处有一
（ 1） 假 设 一 个 人 驾 驶 的 小 船 的 平 均 速 度 为
2．画出定义域为
{ x| 3
x
8, 且 x
5} ，值域为
{y | 1
y
2, y
0} 的一个函数的图象．
（ 1）如果平面直角坐标系中点
P ( x, y) 的坐标满足 2 ，那么其中哪些点不
3
x
8， 1
y
能在图象上？
8
1． 3． 2 单调性与最大（小）值
1． 3 函数的基本性质
1． 3． 1 单调性与最大（小）值
2
x} ；
2
（ 6 ） {2,1} ______ { x | x
3x 2
0} ．
3 ．判断下列两个集合之间的关系： （ 1） A
A { x| x B { x| x
{x
2
x} ，则 1 _______ A ； x 6
x
{1,2,4} ， B
{ x | x是 8 的约数 } ；
2
0} ，则 3 _______ B
(B
B组
1． 已知集合 A 8．学校里开运动会，设 则集合 B 有 2 ．在平面直角坐标系中， ， 表示直线 y 集合
{1, 2} ， 集合 B 满足 A
个． 集合 C
B
{1,2} ，
A { x | x是参加一百米跑的同学 } ， B { x | x是参加二百米跑的同学 } C { x | x是参加四百米跑的同学 } ，
2
( x) ；
3
x ．
6
3 ．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和 值域． 1． 2 函数及其表示 习题 1 ． 2 （第 23 页） 1．求下列函数的定义域： （ 1） f ( x ) （ 2） （ 4） （ 1）y
3 x ； （ 2 ）y
8 x
； （ 3 ）y
4x 5 ；
y
x
2
6x 7 ．
3x x 4
2)
0} ；
．
2
6．设集合
9 ．
设
S {
x |是平行四边形或梯形 x
， }
A A
{ x| 2 B , A
x
． B
4}, x} ， 求
A { x | x是平行四边形 } ， B { x | x是菱形 } ， C
，求 B { x| x 是矩形 }
C ， eA B ， eS A ．
练习（第 32 页）
3 ．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单 调区间上，函数是增函数还是减函数 .
练习（第 36 页）
1 ．判断下列函数的奇偶性： （ 1）
4 2 3
f ( x)
2x
x
2
3 x ； （ 2） f ( x)
1
x
2x
（ 3 ） f ( x)
x
；
（ 4）
f ( x)
x
2
1.
4．证明函数
0 0
；
（ 2 ） G ( n)
3 n 1, n
{1,2,3} ．
5．已知函数
f ( x)
x x
2 6
，
（ 1）点 (3,14) 在 f ( x) 的图象上吗？ （ 2）当 x
4 时，求 f ( x) 的值； 2 时，求 x 的值．
（ 3）当 f ( x )
9． 一个圆柱形容器的底部直径是
3
dcm ， 高是 hcm ，
y
x
3与 y
2x
6 的图象
1． 1． 3 集合的基本运算
练习（第 11 页）
1 ． 设
A
{
3 ,
5 B,
6 , 8 } ， ,
求
5
3 的解集．
A
,B
A． B
_________________________________________
1． 1． 2 集合间的基本关系
练习（第 7 页）
1．写出集合 { a, b, c} 的所有子集． ________________________________________ 2．用适当的符号填空： （ 1） 2 ．设
{x|x
2} ，则有：
2 7
_______ Q ；
4 _______ B ； {2} _______ B ；
3 _______ A ； B _______ A ；
人教版高一数学必修一答案
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在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、设集合u??1,2,3,4,5?,a??1,2,3?,b??2,5?，则a??cub??（） a、?2? b、?2,3? c、?3? d、?1,3? 2、已知集合m??0,1,2?,n??xx?2a,a?m?，则集合 m?n? （） a、?0? b、?0,1?c、?1,2?d、?0,2? 3、函数y?1?log2x,?x?4?的值域是（）a、?2,???b、?3,???c、?3,???d、???,??? 4、关于a到b的一一映射，下列叙述正确的是（）①一一映射又叫一一对应② a中不同元素的像不同③ b中每个元素都有原像④像的集合就是集合b a、①② b、①②③ c、②③④ d、①②③④ 5、在y?1,y?2x,y?x2?x,y? （） 2xa、1个 b、2个c、3个 d、4个 6、已知函数f?x??x2?2x?3，那么f?x?1?的表达式是（） a、x2?5x?9 b、x2?2x?3 c、x2?5x?9 d、x2?2 7、若函数f(x)?ax?x?a有两零点，则a的取值范围是（） a、?0,???b、?1,???c、?0,1?d、? 8、若102x?25，则10?x等于（）1111a、?b、c、d、55625509、若loga?a2?1??loga2a?0，则a的取值范围是（）a、0?a?1b、11?a?1c、0?a?d、a?1 22?1.5?1?10、设a?40.9,b?80.48,c????2?，则a,b,c的大小顺序为（）a、a?b?cb、a?c?bc、b?a?cd、c?a?b11、已知f?x??x2?2?a?1?x?2在???,4?上单调递减，则a的取值范围是（） a、a??3 b、a??3 c、a??3d、以上答案都不对12、若f?lgx??x，则f?3?? （）a、lg3b、3c、103d、310二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
高一数学必修1课后习题答案
一、选择题：1. 已知全集 U=R，集合A={x|x≥2}，B={x|x≤-3}，则A∩B 的表示式是（）A. {x|x≥2,x≤-3}B. {x|x≥-3,x≤2}C. {x|x≤2,x≥-3}D. {x|x≤-3,x≥2}答案：C2. 已知函数 f(x)=x2-2x+1，则 f(x)的最小值是（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 已知 a，b，c 三条直线，则下列结论正确的是（）A. 若 a，b，c 三条直线相交，则 a，b，c 三条直线共点B. 若 a，b，c 三条直线共点，则 a，b，c 三条直线相交C. 若 a，b，c 三条直线平行，则 a，b，c 三条直线共点D. 若 a，b，c 三条直线共点，则 a，b，c 三条直线平行答案：D4. 已知函数 f(x)=x2-2x+1，则 f(x)的最小值是（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B5. 若 a，b，c 满足 a＞b＞c＞0，则下列不等式正确的是（）A. a＞cB. a＞bC. b＞aD. c＞b答案：A二、填空题：6. 已知函数 f(x)=2x2-3x+1，则 f(x)的极值点为（）。
答案：(-1/2,2)7. 已知集合A={x|x≥2}，B={x|x≤-3}，则A∩B 的元素为（）。
答案：空集8. 若 a，b，c 满足 a＞b＞c＞0，则 a，b，c 三个数的最小值为（）。
答案：c9. 已知三角形的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则该三角形的面积为（）。
答案：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p=（a+b+c）/2三、解答题：10. 已知函数 f(x)=2x2-3x+1，求 f(x)的定义域。
解：f(x)的定义域为 R 。
因为 f(x)是一个二次函数，当 a>0 时，f(x)的定义域为 R；当 a=0 时，f(x)的定义域为R；当 a<0 时，f(x)的定义域为 R 。
高一数学必修高中数学必修1课后习题答案
二、函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．注意：○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。
)2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。
3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
高一数学必修一全册练习题(解析版)
第一章集合与函数的概念1．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的一个是()A．{x|x是小于18的正奇数}B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k＜5}C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5}D．{x|x＝4s－3，s∈N*，且s≤5}解析：选D.A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3,7,11,15；B中k取负数，多了若干元素；C中t＝0时多了－3这个元素，只有D是正确的．2．集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}，M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，S＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，a∈P，b∈M，设c＝a＋b，则有()A．c∈P B．c∈MC．c∈S D．以上都不对解析：选B.∈a∈P，b∈M，c＝a＋b，设a＝2k1，k1∈Z，b＝2k2＋1，k2∈Z，∈c＝2k1＋2k2＋1＝2(k1＋k2)＋1，又k1＋k2∈Z，∈c∈M.3．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B 的所有元素之和为()A．0 B．2C．3 D．6解析：选D.∈z＝xy，x∈A，y∈B，∈z的取值有：1×0＝0,1×2＝2,2×0＝0,2×2＝4，故A*B＝{0,2,4}，∈集合A*B的所有元素之和为：0＋2＋4＝6.4．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，C＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，则用列举法表示集合C＝____________.解析：∈C＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，∈满足条件的点为：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)．答案：{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)}1．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( ) A ．方程y ＝2x －1 B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合 答案：D2．设集合M ＝{x ∈R |x ≤33}，a ＝26，则( ) A ．a ∈M B ．a ∈M C ．{a }∈M D ．{a |a ＝26}∈M 解析：选B.(26)2－(33)2＝24－27<0， 故26<3 3.所以a ∈M .3．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x －y ＝9的解集是( )A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y ＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－4，该方程组有一组解(5，－4)，解集为{(5，－4)}．4．下列命题正确的有( ) (1)很小的实数可以构成集合；(2)集合{y |y ＝x 2－1}与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合； (3)1，32，64，|－12|,0.5这些数组成的集合有5个元素；(4)集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：选A.(1)错的原因是元素不确定；(2)前者是数集，而后者是点集，种类不同；(3)32＝64，|－12|＝0.5，有重复的元素，应该是3个元素；(4)本集合还包括坐标轴． 5．下列集合中，不同于另外三个集合的是( ) A ．{0} B ．{y |y 2＝0} C ．{x |x ＝0} D ．{x ＝0}解析：选D.A 是列举法，C 是描述法，对于B 要注意集合的代表元素是y ，故与A ，C 相同，而D 表示该集合含有一个元素，即“x ＝0”．6．设P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{4,5,6,7,8}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q ，a ≠b }，则P *Q 中元素的个数为( )A ．4B ．5C ．19D ．20解析：选C.易得P *Q 中元素的个数为4×5－1＝19.故选C 项．7．由实数x ，－x ，x 2，－3x 3所组成的集合里面元素最多有________个． 解析：x 2＝|x |，而－3x 3＝－x ，故集合里面元素最多有2个． 答案：28．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |4x －3∈Z ，试用列举法表示集合A ＝________. 解析：要使4x －3∈Z ，必须x －3是4的约数．而4的约数有－4，－2，－1,1,2,4六个，则x ＝－1,1,2,4,5,7，要注意到元素x 应为自然数，故A ＝{1,2,4,5,7}答案：{1,2,4,5,7}9．集合{x |x 2－2x ＋m ＝0}含有两个元素，则实数m 满足的条件为________． 解析：该集合是关于x 的一元二次方程的解集，则Δ＝4－4m >0，所以m <1. 答案：m <110. 用适当的方法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数；(2)图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合(不含虚线)； (3)满足方程x ＝|x |，x ∈Z 的所有x 的值构成的集合B .解：(1){x |x ＝3n ，n ∈Z }；(2){(x ，y )|－1≤x ≤2，－12≤y ≤1，且xy ≥0}；(3)B ＝{x |x ＝|x |，x ∈Z }．11．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a ∈R .若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A .解：∈1是集合A 中的一个元素，∈1是关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0的一个根， ∈a ·12＋2×1＋1＝0，即a ＝－3. 方程即为－3x 2＋2x ＋1＝0，解这个方程，得x 1＝1，x 2＝－13，∈集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，1.12．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}，若A 中元素至多只有一个，求实数a 的取值范围． 解：∈a ＝0时，原方程为－3x ＋2＝0，x ＝23，符合题意．∈a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0为一元二次方程． 由Δ＝9－8a ≤0，得a ≥98.∈当a ≥98时，方程ax 2－3x ＋2＝0无实数根或有两个相等的实数根．综合∈∈，知a ＝0或a ≥98.1．下列各组对象中不能构成集合的是( ) A ．水浒书业的全体员工 B ．《优化方案》的所有书刊 C ．2010年考入清华大学的全体学生 D ．美国NBA 的篮球明星解析：选D.A 、B 、C 中的元素：员工、书刊、学生都有明确的对象，而D 中对象不确定，“明星”没有具体明确的标准．2．(2011年上海高一检测)下列所给关系正确的个数是( ) ∈π∈R ；∈3∈Q ；∈0∈N *；∈|－4|∈N *. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选B.∈∈正确，∈∈错误．3．集合A ＝{一条边长为1，一个角为40°的等腰三角形}中有元素( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个解析：选C.(1)当腰长为1时，底角为40°或顶角为40°.(2)当底边长为1时，底角为40°或顶角为40°，所以共有4个三角形．4．以方程x 2－5x ＋6＝0和方程x 2－x －2＝0的解为元素的集合中共有________个元素． 解析：由x 2－5x ＋6＝0，解得x ＝2或x ＝3.由x2－x－2＝0，解得x＝2或x＝－1.答案：31．若以正实数x，y，z，w四个元素构成集合A，以A中四个元素为边长构成的四边形可能是()A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形答案：A2．设集合A只含一个元素a，则下列各式正确的是()A．0∈A B．a∈AC．a∈A D．a＝A答案：C3．给出以下四个对象，其中能构成集合的有()∈教2011届高一的年轻教师；∈你所在班中身高超过1.70米的同学；∈2010年广州亚运会的比赛项目；∈1,3,5.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C.因为未规定年轻的标准，所以∈不能构成集合；由于∈∈∈中的对象具备确定性、互异性，所以∈∈∈能构成集合．4．若集合M＝{a，b，c}，M中元素是∈ABC的三边长，则∈ABC一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：选D.根据元素的互异性可知，a≠b，a≠c，b≠c.5．下列各组集合，表示相等集合的是()∈M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；∈M＝{3,2}，N＝{2,3}；∈M＝{(1,2)}，N＝{1,2}．A．∈ B．∈C．∈ D．以上都不对解析：选B.∈中M中表示点(3,2)，N中表示点(2,3)，∈中由元素的无序性知是相等集合，∈中M表示一个元素：点(1,2)，N中表示两个元素分别为1,2.6．若所有形如a ＋2b (a ∈Q 、b ∈Q )的数组成集合M ，对于x ＝13－52，y ＝3＋2π，则有( )A ．x ∈M ，y ∈MB ．x ∈M ，y ∈MC ．x ∈M ，y ∈MD ．x ∈M ，y ∈M 解析：选B.∈x ＝13－52＝－341－5412，y ＝3＋2π中π是无理数，而集合M 中，b ∈Q ，得x ∈M ，y ∈M .7．已知∈5∈R ；∈13∈Q ；∈0＝{0}；∈0∈N ；∈π∈Q ；∈－3∈Z .其中正确的个数为________．解析：∈错误，0是元素，{0}是一个集合；∈0∈N ；∈π∈Q ，∈∈∈正确． 答案：38．对于集合A ＝{2,4,6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的取值是________． 解析：当a ＝2时，6－a ＝4∈A ； 当a ＝4时，6－a ＝2∈A ； 当a ＝6时，6－a ＝0∈A ， 所以a ＝2或a ＝4. 答案：2或49．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b 的可能取值组成的集合中元素的个数为________．解析：当a >0，b >0时，|a |a ＋|b |b ＝2；当a ·b <0时，|a |a ＋|b |b ＝0；当a <0且b <0时，|a |a ＋|b |b＝－2.所以集合中的元素为2,0，－2.即元素的个数为3. 答案：310．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈A ，试求实数a 的值． 解：∈－3∈A ，∈－3＝a －3或－3＝2a －1. 若－3＝a －3，则a ＝0，此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意． 若－3＝2a －1，则a ＝－1，此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.11．集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，试判断12－3是不是集合A 中的元素？解：∈12－3＝2＋3＝2＋3×1，而2,1∈Z ，∈2＋3∈A ，即12－3∈A .12．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，试求a 与b 的值． 解：根据集合中元素的互异性，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b2b ＝2a， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0或⎩⎨⎧a ＝14b ＝12.再根据集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14b ＝12.1．下列六个关系式，其中正确的有( )∈{a ，b }＝{b ，a }；∈{a ，b }∈{b ，a }；∈∈＝{∈}；∈{0}＝∈；∈∈{0}；∈0∈{0}．A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个及3个以下 解析：选C.∈∈∈∈正确．2．已知集合A ，B ，若A 不是B 的子集，则下列命题中正确的是( ) A ．对任意的a ∈A ，都有a ∈B B ．对任意的b ∈B ，都有b ∈A C ．存在a 0，满足a 0∈A ，a 0∈B D ．存在a 0，满足a 0∈A ，a 0∈B解析：选C.A 不是B 的子集，也就是说A 中存在不是B 中的元素，显然正是C 选项要表达的．对于A 和B 选项，取A ＝{1,2}，B ＝{2,3}可否定，对于D 选项，取A ＝{1}，B ＝{2,3}可否定．3．设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则a的取值范围是()A．a≥2 B．a≤1C．a≥1 D．a≤2解析：选A.A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，要使A B，则应有a≥2.4．集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，a∈R}的子集的个数为________．解析：∈Δ＝9－4(2－a2)＝1＋4a2＞0，∈M恒有2个元素，所以子集有4个．答案：41．如果A＝{x|x>－1}，那么()A．0∈A B．{0}∈AC．∈∈A D．{0}∈A解析：选D.A、B、C的关系符号是错误的．2．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则()A．A>B B．A BC．B A D．A∈B解析：选C.利用数轴(图略)可看出x∈B∈x∈A，但x∈A∈x∈B不成立．3．定义A－B＝{x|x∈A且x∈B}，若A＝{1,3,5,7,9}，B＝{2,3,5}，则A－B等于() A．A B．BC．{2} D．{1,7,9}解析：选D.从定义可看出，元素在A中但是不能在B中，所以只能是D.4．以下共有6组集合．(1)A＝{(－5,3)}，B＝{－5,3}；(2)M＝{1，－3}，N＝{3，－1}；(3)M＝∈，N＝{0}；(4)M＝{π}，N＝{3.1415}；(5)M＝{x|x是小数}，N＝{x|x是实数}；(6)M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0}．其中表示相等的集合有()A．2组B．3组C．4组D．5组解析：选A.(5)，(6)表示相等的集合，注意小数是实数，而实数也是小数．5．定义集合间的一种运算“*”满足：A*B＝{ω|ω＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．若集合A＝{0,1}，B ＝{2,3}，则A *B 的子集的个数是( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：选B.在集合A 和B 中分别取出元素进行*的运算，有0·2·(0＋2)＝0·3·(0＋3)＝0,1·2·(1＋2)＝6,1·3·(1＋3)＝12，因此可知A *B ＝{0,6,12}，因此其子集个数为23＝8，选B.6．设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ∈B }，则A 与B 的关系是( ) A ．A ∈B B ．B ∈A C ．A ∈B D ．B ∈A解析：选D.∈B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，∈， ∈A ＝{x |x ∈B }＝{{1}，{2}，{1,2}，∈}，∈B ∈A .7．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|yx ＝1}，则A 、B 间的关系为________．解析：在A 中，(0,0)∈A ，而(0,0)∈B ，故B A .答案：BA8．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ∈B ，则a 的值为________． 解析：A ∈B ，则a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a ，解得a ＝2或a ＝－1或a ＝1，结合集合元素的互异性，可确定a ＝－1或a ＝2.答案：－1或29．已知A ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，B ＝{x |a ≤x ＜a ＋4}，若A B ，则实数a 的取值范围是________．解析：作出数轴可得，要使A B ，则必须a ＋4≤－1或a ＞5，解之得{a |a ＞5或a ≤－5}．答案：{a |a ＞5或a ≤－5}10．已知集合A ＝{a ，a ＋b ，a ＋2b }，B ＝{a ，ac ，ac 2}，若A ＝B ，求c 的值．解：∈若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝ac a ＋2b ＝ac2，消去b 得a ＋ac 2－2ac ＝0， 即a (c 2－2c ＋1)＝0.当a ＝0时，集合B 中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性， 故a ≠0，c 2－2c ＋1＝0，即c ＝1； 当c ＝1时，集合B 中的三个元素也相同， ∈c ＝1舍去，即此时无解．∈若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝ac 2a ＋2b ＝ac ，消去b 得2ac 2－ac －a ＝0，即a (2c 2－c －1)＝0.∈a ≠0，∈2c 2－c －1＝0，即(c －1)(2c ＋1)＝0. 又∈c ≠1，∈c ＝－12.11．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}． (1)若AB ，求a 的取值范围；(2)若B ∈A ，求a 的取值范围． 解：(1)若AB ，由图可知，a >2.(2)若B ∈A ，由图可知，1≤a ≤2.12．若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且B A ，求实数m 的值．解：A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}． ∈BA ，∈mx ＋1＝0的解为－3或2或无解．当mx ＋1＝0的解为－3时， 由m ·(－3)＋1＝0，得m ＝13；当mx ＋1＝0的解为2时， 由m ·2＋1＝0，得m ＝－12；当mx ＋1＝0无解时，m ＝0. 综上所述，m ＝13或m ＝－12或m ＝0.1．(2010年高考广东卷)若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则集合A ∩B ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜1} B ．{x |－2＜x ＜1} C ．{x |－2＜x ＜2} D ．{x |0＜x ＜1}解析：选D.因为A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |0＜x ＜1}． 2．(2010年高考湖南卷)已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}则( ) A ．M ∈N B ．N ∈M C ．M ∩N ＝{2,3} D ．M ∈N ＝{1,4}解析：选C.∈M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}．∈选项A、B显然不对．M∈N＝{1,2,3,4}，∈选项D错误．又M∩N＝{2,3}，故选C.3．已知集合M＝{y|y＝x2}，N＝{y|x＝y2}，则M∩N＝()A．{(0,0)，(1,1)} B．{0,1}C．{y|y≥0} D．{y|0≤y≤1}解析：选C.M＝{y|y≥0}，N＝R，∈M∩N＝M＝{y|y≥0}．4．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∈B＝A，则实数m的取值范围是________．解析：A∈B＝A，即B∈A，∈m≥2.答案：m≥21．下列关系Q∩R＝R∩Q；Z∈N＝N；Q∈R＝R∈Q；Q∩N＝N中，正确的个数是() A．1B．2C．3 D．4解析：选C.只有Z∈N＝N是错误的，应是Z∈N＝Z.2．(2010年高考四川卷)设集合A＝{3,5,6,8}，集合B＝{4,5,7,8}，则A∩B等于() A．{3,4,5,6,7,8} B．{3,6}C．{4,7} D．{5,8}解析：选D.∈A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，∈A∩B＝{5,8}．3．(2009年高考山东卷)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∈B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0 B．1C．2 D．4解析：选D.根据元素特性，a≠0，a≠2，a≠1.∈a＝4.4．已知集合P＝{x∈N|1≤x≤10}，集合Q＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则P∩Q等于() A．{2} B．{1,2}C．{2,3} D．{1,2,3}解析：选A.Q＝{x∈R|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．∈P∩Q＝{2}．5．(2010年高考福建卷)若集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}，则A∩B等于()A．{x|2＜x≤3} B．{x|x≥1}C．{x|2≤x＜3} D．{x|x＞2}解析：选A.∈A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}，∈A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}．6．设集合S ＝{x |x ＞5或x ＜－1}，T ＝{x |a ＜x ＜a ＋8}，S ∈T ＝R ，则a 的取值范围是( )A ．－3＜a ＜－1B ．－3≤a ≤－1C ．a ≤－3或a ≥－1D ．a ＜－3或a ＞－1 解析：选A.S ∈T ＝R ，∈⎩⎪⎨⎪⎧a ＋8＞5，a ＜－1.∈－3＜a ＜－1. 7．(2010年高考湖南卷)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2，m,4}，A ∩B ＝{2,3}，则m ＝________. 解析：∈A ∩B ＝{2,3}，∈3∈B ，∈m ＝3. 答案：38．满足条件{1,3}∈M ＝{1,3,5}的集合M 的个数是________． 解析：∈{1,3}∈M ＝{1,3,5}，∈M 中必须含有5， ∈M 可以是{5}，{5,1}，{5,3}，{1,3,5}，共4个． 答案：49．若集合A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |x ≥a }，且满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝________. 解析：当a ＞2时，A ∩B ＝∈； 当a ＜2时，A ∩B ＝{x |a ≤x ≤2}； 当a ＝2时，A ∩B ＝{2}．综上：a ＝2. 答案：210．已知A ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，B ＝{x |x 2＋cx ＋15＝0}，A ∈B ＝{3,5}，A ∩B ＝{3}，求实数a ，b ，c 的值．解：∈A ∩B ＝{3}，∈由9＋3c ＋15＝0，解得c ＝－8.由x 2－8x ＋15＝0，解得B ＝{3,5}，故A ＝{3}． 又a 2－4b ＝0，解得a ＝－6，b ＝9. 综上知，a ＝－6，b ＝9，c ＝－8.11．已知集合A ＝{x |x －2＞3}，B ＝{x |2x －3＞3x －a }，求A ∈B . 解：A ＝{x |x －2＞3}＝{x |x ＞5}， B ＝{x |2x －3＞3x －a }＝{x |x ＜a －3}． 借助数轴如图：∈当a －3≤5，即a ≤8时，A ∈B ＝{x |x ＜a －3或x ＞5}． ∈当a －3＞5，即a ＞8时，A ∈B ＝{x |x ＞5}∈{x |x ＜a －3}＝{x |x ∈R }＝R . 综上可知当a ≤8时，A ∈B ＝{x |x ＜a －3或x ＞5}； 当a ＞8时，A ∈B ＝R .12．设集合A ＝{(x ，y )|2x ＋y ＝1，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|a 2x ＋2y ＝a ，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∈，求a 的值．解：集合A 、B 的元素都是点，A ∩B 的元素是两直线的公共点．A ∩B ＝∈，则两直线无交点，即方程组无解．列方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝1a 2x ＋2y ＝a ，解得(4－a 2)x ＝2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧4－a 2＝02－a ≠0，即a ＝－2.1．(2010年高考辽宁卷)已知集合U ＝{1,3,5,7,9}，A ＝{1,5,7}，则∈U A ＝( ) A ．{1,3} B ．{3,7,9} C ．{3,5,9} D ．{3,9} 解析：选D.∈U A ＝{3,9}，故选D.2．(2010年高考陕西卷)集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，则A ∩(∈R B )＝( ) A ．{x |x ＞1} B ．{x |x ≥1} C ．{x |1＜x ≤2} D ．{x |1≤x ≤2}解析：选D.∈B ＝{x |x ＜1}，∈∈R B ＝{x |x ≥1}， ∈A ∩∈R B ＝{x |1≤x ≤2}．3. 已知全集U ＝Z ，集合A ＝{x |x 2＝x }，B ＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于( )A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}解析：选A.依题意知A＝{0,1}，(∈U A)∩B表示全集U中不在集合A中，但在集合B中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}．选A.4．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若∈U A＝{x|2≤x≤5}，则a＝________.解析：∈A∈∈U A＝U，∈A＝{x|1≤x＜2}．∈a＝2.答案：21．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，且A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，则A∩(∈U B)等于()A．{2} B．{5}C．{3,4} D．{2,3,4,5}解析：选C.∈U B＝{3,4,5}，∈A∩(∈U B)＝{3,4}．2．已知全集U＝{0,1,2}，且∈U A＝{2}，则A＝()A．{0} B．{1}C．∈ D．{0,1}解析：选D.∈∈U A＝{2}，∈2∈A，又U＝{0,1,2}，∈A＝{0,1}．3．(2009年高考全国卷∈)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4，7,8,9}，全集U＝A∈B，则集合∈U(A∩B)中的元素共有()A．3个B．4个C．5个D．6个解析：选A.U＝A∈B＝{3,4,5,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}，∈∈U(A∩B)＝{3,5,8}．4．已知集合U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则()A．M∩N＝{4,6} B．M∈N＝UC．(∈U N)∈M＝U D．(∈U M)∩N＝N解析：选B.由U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，得M∩N＝{4,5}，(∈U N)∈M ＝{3,4,5,7}，(∈U M)∩N＝{2,6}，M∈N＝{2,3,4,5,6,7}＝U，选B.5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∈U(A∈B)中元素个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B.∈A＝{1,2}，∈B＝{2,4}，∈A∈B＝{1,2,4}，∈∈U(A∈B)＝{3,5}．6．已知全集U ＝A ∈B 中有m 个元素，(∈U A )∈(∈U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n解析：选D.U ＝A ∈B 中有m 个元素，∈(∈U A )∈(∈U B )＝∈U (A ∩B )中有n 个元素， ∈A ∩B 中有m －n 个元素，故选D.7．设集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{2,4}，B ＝{3,4,5}，C ＝{3,4}，则(A ∈B )∩(∈U C )＝________. 解析：∈A ∈B ＝{2,3,4,5}，∈U C ＝{1,2,5}， ∈(A ∈B )∩(∈U C )＝{2,3,4,5}∩{1,2,5}＝{2,5}． 答案：{2,5}8．已知全集U ＝{2,3，a 2－a －1}，A ＝{2,3}，若∈U A ＝{1}，则实数a 的值是________． 解析：∈U ＝{2,3，a 2－a －1}，A ＝{2,3}，∈U A ＝{1}， ∈a 2－a －1＝1，即a 2－a －2＝0， 解得a ＝－1或a ＝2. 答案：－1或29．设集合A ＝{x |x ＋m ≥0}，B ＝{x |－2＜x ＜4}，全集U ＝R ，且(∈U A )∩B ＝∈，求实数m 的取值范围为________．解析：由已知A ＝{x |x ≥－m }， ∈∈U A ＝{x |x ＜－m }，∈B ＝{x |－2＜x ＜4}，(∈U A )∩B ＝∈， ∈－m ≤－2，即m ≥2， ∈m 的取值范围是m ≥2. 答案：{m |m ≥2}10．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，求A ∩B ，(∈U B )∈P ，(A ∩B )∩(∈U P )．解：将集合A 、B 、P 表示在数轴上，如图．∈A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，∈A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}． ∈∈U B ＝{x |x ≤－1或x ＞3}， ∈(∈U B )∈P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，(A ∩B )∩(∈U P )＝{x |－1＜x ＜2}∩{x |0＜x ＜52}＝{x |0＜x ＜2}．11．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足B ∩(∈U A )＝{2}，A ∩(∈U B )＝{4}，U ＝R ，求实数a ，b 的值．解：∈B ∩(∈U A )＝{2}， ∈2∈B ，但2∈A .∈A ∩(∈U B )＝{4}，∈4∈A ，但4∈B .∈⎩⎪⎨⎪⎧42＋4a ＋12b ＝022－2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝87b ＝127.∈a ，b 的值为87，－127.12．已知集合A ＝{x |2a －2<x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∈R B ，求实数a 的取值范围．解：∈R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}≠∈， ∈A∈R B ，∈分A ＝∈和A ≠∈两种情况讨论． ∈若A ＝∈，此时有2a －2≥a ， ∈a ≥2.∈若A ≠∈，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －2<a a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a 2a －2≥2.∈a ≤1.综上所述，a ≤1或a ≥2.第二章 基本初等函数1．下列说法中正确的为( ) A ．y ＝f (x )与y ＝f (t )表示同一个函数 B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)不可能是同一函数 C ．f (x )＝1与f (x )＝x 0表示同一函数D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数解析：选A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关，判断两个函数是否相同，主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同．2．下列函数完全相同的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3解析：选B.A 、C 、D 的定义域均不同． 3．函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( ) A ．{x |x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |x ≥1或x ≤0} D ．{x |0≤x ≤1}解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0x ≥0，得0≤x ≤1.4．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ，y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有________．解析：由函数定义可知，任意作一条直线x ＝a ，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－1≤a ≤1时，直线x ＝a 与函数的图象仅有一个交点，当a ＞1或a ＜－1时，直线x ＝a 与函数的图象没有交点．从而表示y 是x 的函数关系的有(2)(3)．答案：(2)(3)1．函数y ＝1x 的定义域是( )A ．RB ．{0}C ．{x |x ∈R ，且x ≠0}D ．{x |x ≠1}解析：选C.要使1x 有意义，必有x ≠0，即y ＝1x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}．2．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( ) A ．x ＝y 2＋1 B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6 D ．x ＝y解析：选A.一个x 对应的y 值不唯一． 3．下列说法正确的是( )A ．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域可以是空集C ．函数的定义域和值域一定是数集D ．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了解析：选C.根据从集合A 到集合B 函数的定义可知，强调A 中元素的任意性和B 中对应元素的唯一性，所以A 中的多个元素可以对应B 中的同一个元素，从而选项A 错误；同样由函数定义可知，A 、B 集合都是非空数集，故选项B 错误；选项C 正确；对于选项D ，可以举例说明，如定义域、值域均为A ＝{0,1}的函数，对应关系可以是x →x ，x ∈A ，可以是x →x ，x ∈A ，还可以是x →x 2，x ∈A .4．下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是( ) A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1}，f ：A 中的数平方 B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方 C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值解析：选A.按照函数定义，选项B 中集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C 中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A 中任意元素都对应唯一函数值的要求；选项D 中，集合A 中的元素0在集合B 中没有元素与其对应，也不符合函数定义，只有选项A 符合函数定义．5．下列各组函数表示相等函数的是( ) A ．y ＝x 2－3x －3与y ＝x ＋3(x ≠3)B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z 解析：选C.A 、B 与D 对应法则都不同．6．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 一定是( ) A ．∈ B ．∈或{1} C ．{1} D ．∈或{2}解析：选B.由f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，如果B ＝{1,2}，则A ＝{－1,1，－2，2}或A ＝{－1,1，－2}或A ＝{－1,1，2}或A ＝{－1，2，－2}或A ＝{1，－2，2}或A ＝{－1，－2}或A ＝{－1，2}或A ＝{1，2}或A ＝{1，－2}．所以A ∩B ＝∈或{1}．7．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________． 解析：由题意3a －1＞a ，则a ＞12.答案：(12，＋∞)8．函数y ＝x ＋103－2x的定义域是________．解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠03－2x ＞0，即x ＜32且x ≠－1.答案：(－∞，－1)∈(－1，32)9．函数y ＝x 2－2的定义域是{－1,0,1,2}，则其值域是________． 解析：当x 取－1,0,1,2时， y ＝－1，－2，－1,2， 故函数值域为{－1，－2,2}． 答案：{－1，－2,2} 10．求下列函数的定义域： (1)y ＝－x 2x 2－3x －2；(2)y ＝34x ＋83x －2.解：(1)要使y ＝－x 2x 2－3x －2有意义，则必须⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得x ≤0且x ≠－12， 故所求函数的定义域为{x |x ≤0，且x ≠－12}．(2)要使y ＝34x ＋83x －2有意义，则必须3x －2＞0，即x ＞23， 故所求函数的定义域为{x |x ＞23}． 11．已知f (x )＝11＋x(x ∈R 且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )． (1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (2))的值． 解：(1)∈f (x )＝11＋x ，∈f (2)＝11＋2＝13， 又∈g (x )＝x 2＋2， ∈g (2)＝22＋2＝6. (2)由(1)知g (2)＝6， ∈f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17. 12．已知函数y ＝ax ＋1(a ＜0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范围．解：函数y ＝ax ＋1(a ＜0且a 为常数)． ∈ax ＋1≥0，a ＜0，∈x ≤－1a ，即函数的定义域为(－∞，－1a ]．∈函数在区间(－∞，1]上有意义， ∈(－∞，1]∈(－∞，－1a ]，∈－1a ≥1，而a ＜0，∈－1≤a ＜0.即a 的取值范围是[－1,0)．1．下列各图中，不能是函数f (x )图象的是( )解析：选C.结合函数的定义知，对A 、B 、D ，定义域中每一个x 都有唯一函数值与之对应；而对C ，对大于0的x 而言，有两个不同值与之对应，不符合函数定义，故选C.2．若f (1x )＝11＋x ，则f (x )等于( )A.11＋x(x ≠－1) B.1＋x x (x ≠0)C.x1＋x(x ≠0且x ≠－1) D ．1＋x (x ≠－1) 解析：选C.f (1x )＝11＋x＝1x1＋1x(x ≠0)， ∈f (t )＝t1＋t (t ≠0且t ≠－1)，∈f (x )＝x1＋x(x ≠0且x ≠－1)． 3．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3 D ．2x －3解析：选B.设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∈2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，∈⎩⎪⎨⎪⎧ k －b ＝5k ＋b ＝1，∈⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3b ＝－2，∈f (x )＝3x －2. 4．已知f (2x )＝x 2－x －1，则f (x )＝________. 解析：令2x ＝t ，则x ＝t 2，∈f (t )＝⎝⎛⎭⎫t 22－t 2－1，即f (x )＝x 24－x2－1. 答案：x 24－x 2－11．下列表格中的x 与y 能构成函数的是( ) A.x非负数非正数y1 －1B.x 奇数 0 偶数 y1－1C.x 有理数 无理数 y1－1D.x 自然数 整数 有理数 y1－1解析：选C.A 中，当x ＝0时，y ＝±1；B 中0是偶数，当x ＝0时，y ＝0或y ＝－1；D 中自然数、整数、有理数之间存在包含关系，如x ＝1∈N(Z ，Q)，故y 的值不唯一，故A 、B 、D 均不正确．2．若f (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f (12)等于( )A ．1B ．3C ．15D ．30解析：选C.法一：令1－2x ＝t ，则x ＝1－t2(t ≠1)，∈f (t )＝4t －12－1，∈f (12)＝16－1＝15. 法二：令1－2x ＝12，得x ＝14，∈f (12)＝16－1＝15. 3．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式是( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7解析：选B.∈g (x ＋2)＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1， ∈g (x )＝2x －1.4．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中较符合此学生走法的是( )解析：选D.由于纵轴表示离学校的距离，所以距离应该越来越小，排除A 、C ，又一开始跑步，速度快，所以D 符合．5．如果二次函数的二次项系数为1且图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式为( )A ．f (x )＝x 2－1B ．f (x )＝－(x －1)2＋1C ．f (x )＝(x －1)2＋1D ．f (x )＝(x －1)2－1解析：选D.设f (x )＝(x －1)2＋c ， 由于点(0,0)在函数图象上， ∈f (0)＝(0－1)2＋c ＝0， ∈c ＝－1，∈f (x )＝(x －1)2－1.6．已知正方形的周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的函数解析式为( ) A ．y ＝12x (x >0) B ．y ＝24x (x >0)C ．y ＝28x (x >0) D ．y ＝216x (x >0) 解析：选C.设正方形的边长为a ，则4a ＝x ，a ＝x4，其外接圆的直径刚好为正方形的一条对角线长．故2a ＝2y ，所以y ＝22a ＝22×x 4＝28x . 7．已知f (x )＝2x ＋3，且f (m )＝6，则m 等于________． 解析：2m ＋3＝6，m ＝32.答案：328. 如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f [1f 3]的值等于________．解析：由题意，f (3)＝1， ∈f [1f 3]＝f (1)＝2. 答案：29．将函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得函数y ＝x 2的图象，则函数f (x )的解析式为__________________．解析：将函数y ＝x 2的图象向下平移2个单位，得函数y ＝x 2－2的图象，再将函数y ＝x 2－2的图象向右平移1个单位，得函数y ＝(x －1)2－2的图象，即函数y ＝f (x )的图象，故f (x )＝x 2－2x －1.答案：f (x )＝x 2－2x －110．已知f (0)＝1，f (a －b )＝f (a )－b (2a －b ＋1)，求f (x )． 解：令a ＝0，则f (－b )＝f (0)－b (－b ＋1) ＝1＋b (b －1)＝b 2－b ＋1. 再令－b ＝x ，即得f (x )＝x 2＋x ＋1. 11．已知f (x ＋1x )＝x 2＋1x 2＋1x ，求f (x )．解：∈x ＋1x ＝1＋1x ，x 2＋1x 2＝1＋1x 2，且x ＋1x ≠1，∈f (x ＋1x )＝f (1＋1x )＝1＋1x 2＋1x＝(1＋1x )2－(1＋1x )＋1.∈f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．12．设二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，对于x ∈R 恒成立，且f (x )＝0的两个实根的平方和为10，f (x )的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式．解：∈f (2＋x )＝f (2－x )，∈f (x )的图象关于直线x ＝2对称． 于是，设f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)， 则由f (0)＝3，可得k ＝3－4a ， ∈f (x )＝a (x －2)2＋3－4a ＝ax 2－4ax ＋3. ∈ax 2－4ax ＋3＝0的两实根的平方和为10， ∈10＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16－6a ， ∈a ＝1.∈f (x )＝x 2－4x ＋3.1．已知集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{0,1}，下列对应不是A 到B 的映射的是( )解析：选C.A 、B 、D 均满足映射的定义，C 不满足A 中任一元素在B 中都有唯一元素与之对应，且A 中元素b 在B 中无元素与之对应．2．(2011年葫芦岛高一检测)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3 x ＞10f f x ＋5 x ≤10，则f (5)的值是( )A ．24B ．21C ．18D ．16解析：选A.f (5)＝f (f (10))， f (10)＝f (f (15))＝f (18)＝21， f (5)＝f (21)＝24.3．函数y ＝x ＋|x |x的图象为( )解析：选C.y ＝x ＋|x |x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x >0x －1 x <0，再作函数图象．4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x ＜11x ， x ＞1的值域是________．解析：当x ＜1时，x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34；当x ＞1时，0＜1x ＜1，则所求值域为(0，＋∞)，故填(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)1．设f ：A →B 是集合A 到B 的映射，其中A ＝{x |x ＞0}，B ＝R ，且f ：x →x 2－2x －1，则A 中元素1＋2的像和B 中元素－1的原像分别为( )A.2，0或2 B ．0,2 C ．0,0或2D ．0,0或2答案：C2．某城市出租车起步价为10元，最长可租乘3 km(含3 km)，以后每1 km 为1.6元(不足1 km ，按1 km 计费)，若出租车行驶在不需等待的公路上，则出租车的费用y (元)与行驶的里程x (km)之间的函数图象大致为( )解析：选C.由题意，当0＜x ≤3时，y ＝10；当3＜x ≤4时，y ＝11.6； 当4＜x ≤5时，y ＝13.2； …当n －1＜x ≤n 时，y ＝10＋(n －3)×1.6，故选C.3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 20≤x ≤3x 2＋6x－2≤x ≤0的值域是( )A ．RB ．[－9，＋∞)C ．[－8,1]D ．[－9,1]解析：选C.画出图象，也可以分段求出部分值域，再合并，即求并集． 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ≤－1，x 2－1＜x ＜22x x ≥2，若f (x )＝3，则x 的值是( ) A ．1B ．1或32C ．1，32或± 3D.3解析：选D.该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)， ∈f (x )＝x 2＝3，x ＝±3，而－1＜x ＜2，∈x ＝ 3.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x 为有理数，0， x 为无理数，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0， x 为有理数，1， x 为无理数，当x ∈R 时，f (g (x ))，g (f (x ))的值分别为( )A ．0,1B ．0,0C ．1,1D ．1,0解析：选D.g (x )∈Q ，f (x )∈Q ，f (g (x ))＝1，g (f (x ))＝0.6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12 x ≤－1，2x ＋1 －1<x <1，1x －1 x ≥1，已知f (a )>1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∈⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－12，12 C ．(－∞，－2)∈⎝⎛⎭⎫－12，1D.⎝⎛⎭⎫－12，12∈(1，＋∞) 解析：选C.f (a )>1∈⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－1a ＋12>1或⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <12a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥11a －1>1∈⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1a <－2或a >0或⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1a >－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥10<a <12∈a <－2或－12<a <1.即所求a 的取值范围是(－∞，－2)∈⎝⎛⎭⎫－12，1. 7．设A ＝B ＝{a ，b ，c ，d ，…，x ，y ，z }(元素为26个英文字母)，作映射f ：A →B 为A 中每一个字母与B 中下一个字母对应，即：a →b ，b →c ，c →d ，…，z →a ，并称A 中的字母组成的文字为明文，B 中相应的字母为密文，试破译密文“nbuj ”：________.解析：由题意可知m →n ，a →b ，t →u ，i →j ， 所以密文“nbuj ”破译后为“mati ”． 答案：mati8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，f x －2， x ＞0，则f (4)＝________.解析：f (4)＝f (2)＝f (0)＝0. 答案：09．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0，则不等式x ＋(x ＋2)·f (x ＋2)≤5的解集是________．解析：原不等式可化为下面两个不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0x ＋x ＋2·1≤5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＜0x ＋x ＋2·－1≤5，解得－2≤x ≤32或x ＜－2，即x ≤32.答案：(－∞，32]10．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2 －1≤x ≤11 x ＞1或x ＜－1，(1)画出f (x )的图象；(2)求f (x )的定义域和值域．解：(1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示． (2)由条件知， 函数f (x )的定义域为R. 由图象知，当－1≤x ≤1时， f (x )＝x 2的值域为[0,1]， 当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＝1，所以f (x )的值域为[0,1]．11．某汽车以52千米/小时的速度从A 地到260千米远的B 地，在B 地停留112小时后，再以65千米/小时的速度返回A 地．试将汽车离开A 地后行驶的路程s (千米)表示为时间t (小时)的函数．解：∈260÷52＝5(小时)，260÷65＝4(小时)，∈s ＝⎩⎪⎨⎪⎧52t 0≤t ≤5，260 ⎝⎛⎭⎫5＜t ≤612，260＋65⎝⎛⎭⎫t －612 ⎝⎛⎭⎫612＜t ≤1012.12. 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 与x 的函数解析式，并画出大致图象．解：过点A ，D 分别作AG ∈BC ，DH ∈BC ，垂足分别是G ，H . 因为ABCD 是等腰梯形， 底角为45°，AB ＝2 2 cm ， 所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm. 又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm. ∈当点F 在BG 上时， 即x ∈[0,2]时，y ＝12x 2；∈当点F 在GH 上时， 即x ∈(2,5]时，y ＝x ＋x －22×2＝2x －2； ∈当点F 在HC 上时，即x ∈(5,7]时， y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt∈CEF＝12(7＋3)×2－12(7－x )2 ＝－12(x －7)2＋10.综合∈∈∈，得函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2x ∈[0，2]2x －2 x ∈2，5].－12x －72＋10 x ∈5，7]函数图象如图所示．1．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )为增函数，当x ∈(－∞，－2]时，函数f (x )为减函数，则m 等于( )A ．－4B ．－8C ．8D ．无法确定解析：选B.二次函数在对称轴的两侧的单调性相反．由题意得函数的对称轴为x ＝－2，则m4＝－2，所以m ＝－8. 2．函数f (x )在R 上是增函数，若a ＋b ≤0，则有( ) A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )－f (b ) B ．f (a )＋f (b )≥－f (a )－f (b ) C ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )解析：选C.应用增函数的性质判断． ∈a ＋b ≤0，∈a ≤－b ，b ≤－a . 又∈函数f (x )在R 上是增函数， ∈f (a )≤f (－b )，f (b )≤f (－a )． ∈f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )．3．下列四个函数：∈y ＝x x －1；∈y ＝x 2＋x ；∈y ＝－(x ＋1)2；∈y ＝x1－x ＋2.其中在(－∞，0)上为减函数的是( )A ．∈B ．∈C ．∈∈D ．∈∈∈解析：选A.∈y ＝x x －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1.其减区间为(－∞，1)，(1，＋∞)．∈y ＝x 2＋x ＝(x ＋12)2－14，减区间为(－∞，－12)．∈y ＝－(x ＋1)2，其减区间为(－1，＋∞)， ∈与∈相比，可知为增函数．4．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是________． 解析：对称轴x ＝k 8，则k 8≤5，或k8≥8，得k ≤40，或k ≥64，即对称轴不能处于区间内．答案：(－∞，40]∈[64，＋∞)1．函数y ＝－x 2的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞) 解析：选A.根据y ＝－x 2的图象可得．2．若函数f (x )定义在[－1,3]上，且满足f (0)<f (1)，则函数f (x )在区间[－1,3]上的单调性是( )A ．单调递增B ．单调递减C ．先减后增D ．无法判断解析：选D.函数单调性强调x 1，x 2∈[－1,3]，且x 1，x 2具有任意性，虽然f (0)<f (1)，但不能保证其他值也能满足这样的不等关系．3．已知函数y ＝f (x )，x ∈A ，若对任意a ，b ∈A ，当a <b 时，都有f (a )<f (b )，则方程f (x )＝0的根( )A ．有且只有一个B ．可能有两个C ．至多有一个D ．有两个以上解析：选C.由题意知f (x )在A 上是增函数．若y ＝f (x )与x 轴有交点，则有且只有一个交点，故方程f (x )＝0至多有一个根．4．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( ) A ．f (a )＞f (2a ) B ．f (a 2)＜f (a )C ．f (a 2＋a )＜f (a )D ．f (a 2＋1)＜f (a ) 解析：选D.∈a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34＞0，∈a 2＋1＞a ，∈f (a 2＋1)＜f (a )，故选D.5．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( ) ∈y ＝|x |；∈y ＝|x |x ；∈y ＝－x 2|x |；∈y ＝x ＋x|x |.A ．∈∈B ．∈∈C ．∈∈D ．∈∈解析：选C.∈y ＝|x |＝－x (x ＜0)在(－∞，0)上为减函数； ∈y ＝|x |x ＝－1(x ＜0)在(－∞，0)上既不是增函数，也不是减函数；∈y ＝－x 2|x |＝x (x ＜0)在(－∞，0)上是增函数；∈y ＝x ＋x|x |＝x －1(x ＜0)在(－∞，0)上也是增函数，故选C.6．下列说法中正确的有( )∈若x 1，x 2∈I ，当x 1＜x 2时，f (x 1)＜f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ∈函数y ＝x 2在R 上是增函数； ∈函数y ＝－1x在定义域上是增函数；∈y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∈(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选A.函数单调性的定义是指定义在区间I 上的任意两个值x 1，x 2，强调的是任意，从而∈不对；∈y ＝x 2在x ≥0时是增函数，x ≤0时是减函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单调性；∈y ＝－1x 在整个定义域内不是单调递增函数．如－3＜5，而f (－3)＞f (5)；∈y ＝1x 的单调递减区间不是(－∞，0)∈(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法．7．若函数y ＝－bx 在(0，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．解析：设0＜x 1＜x 2，由题意知 f (x 1)－f (x 2)＝－b x 1＋b x 2＝bx 1－x 2x 1·x 2＞0，∈0＜x 1＜x 2，∈x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0. ∈b ＜0.答案：(－∞，0)8．已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34 )的大小关系为________．解析：∈a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34，∈f (a 2－a ＋1)≤f (34)．答案：f (a 2－a ＋1)≤f (34)9．y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________． 解析： y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x x ＞0x 2－3x x ≤0，作出其图象如图，观察图象知递增区间为[0，32]．答案：[0，32]10．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0. (1)求b 与c 的值；(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数． 解：(1)∈f (1)＝0，f (3)＝0，∈⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝09＋3b ＋c ＝0，解得b ＝－4，c ＝3. (2)证明：∈f (x )＝x 2－4x ＋3， ∈设x 1，x 2∈(2，＋∞)且x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－4x 1＋3)－(x 22－4x 2＋3) ＝(x 21－x 22)－4(x 1－x 2) ＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)， ∈x 1－x 2＜0，x 1＞2，x 2＞2， ∈x 1＋x 2－4＞0.∈f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． ∈函数f (x )在区间(2，＋∞)上为增函数．11．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －1)＜f (1－3x )，求x 的取值范围．解：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －1≤1－1≤1－3x ≤1，x －1＜1－3x即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤20≤x ≤23，x ＜12∈0≤x ＜12.12．设函数y ＝f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围．解：设任意的x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1＜x 2， ∈f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 1＋2－ax 2＋1x 2＋2 ＝ax 1＋1x 2＋2－ax 2＋1x 1＋2x 1＋2x 2＋2＝x 1－x 22a －1x 1＋2x 2＋2.∈f (x )在(－2，＋∞)上单调递增， ∈f (x 1)－f (x 2)＜0. ∈x 1－x 22a －1x 1＋2x 2＋2＜0，∈x 1－x 2＜0，x 1＋2＞0，x 2＋2＞0， ∈2a －1＞0，∈a ＞12.1．函数f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上的最大值为( ) A ．9 B ．9(1－a ) C ．9－aD ．9－a 2解析：选A.x ∈[0,3]时f (x )为减函数，f (x )max ＝f (0)＝9. 2．函数y ＝x ＋1－x －1的值域为( ) A ．(－∞， 2 ] B ．(0， 2 ] C ．[2，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选B.y ＝x ＋1－x －1，∈⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0x －1≥0，∈x ≥1.∈y ＝2x ＋1＋x －1为[1，＋∞)上的减函数，∈f (x )max ＝f (1)＝2且y ＞0.3．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2在[0，a ]上取得最大值3，最小值2，则实数a 为( ) A ．0或1 B ．1C ．2D ．以上都不对解析：选B.因为函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2＝(x －a )2－a 2＋a ＋2, 对称轴为x ＝a ，开口方向向上，所以f (x )在[0，a ]上单调递减，其最大值、最小值分别在两个端点处取得，即f (x )max ＝f (0)＝a ＋2＝3，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋a ＋2＝2.故a ＝1.4．(2010年高考山东卷)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1.则xy 的最大值为________．解析：y 4＝1－x 3，∈0＜1－x3＜1,0＜x ＜3.而xy ＝x ·4(1－x 3)＝－43(x －32)2＋3.当x ＝32，y ＝2时，xy 最大值为3.答案：31．函数f (x )＝x 2在[0,1]上的最小值是( ) A ．1 B ．0 C.14D ．不存在解析：选B.由函数f (x )＝x 2在[0,1]上的图象(图略)知， f (x )＝x 2在[0,1]上单调递增，故最小值为f (0)＝0.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]x ＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对解析：选A.f (x )在x ∈[－1,2]上为增函数，f (x )max ＝f (2)＝10，f (x )min ＝f (－1)＝6. 3．函数y ＝－x 2＋2x 在[1,2]上的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．不存在解析：选A.因为函数y ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1.对称轴为x ＝1，开口向下，故在[1,2]上为单调递减函数，所以y max ＝－1＋2＝1.。
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第1章集合与逻辑1.2常用逻辑用语1.2.3全称量词和存在量词第2课时含量词命题的否定课后篇巩固提升必备知识基础练1.命题p:“∀x∈R,x2+2x+m>0”的否定为()A.∃x∈R,x2+2x+m>0B.∃x∈R,x2+2x+m≤0C.∀x∈R,x2+2x+m<0D.∀x∈R,x2+2x+m≤02.针对我校某次考试有关的命题p:所有理科学生都会做第1题,那么命题p的否定是()A.所有理科学生都不会做第1题B.存在一个理科学生不会做第1题C.存在一个理科学生会做第1题D.至少有一个理科学生会做第1题3.命题“∃x∈N,x3<x2”的否定是()A.∀x∈N,x3<x2B.∀x∈N,x3≥x2C.∃x∈N,x3≥x2D.∃x∉N,x3<x24.命题“存在一个三角形,内角和不等于180°”的否定为()A.存在一个三角形,内角和等于180°B.任意三角形,内角和都等于180°C.任意三角形,内角和都不等于180°D.很多三角形,内角和不等于180°5.命题“∀x∈R,∃n∈N+,使得n≥x2”的否定形式是()A.∀x∈R,∃n∈N+,使得n<x2B.∀x∈R,∀n∈N+,使得n<x2C.∃x ∈R ,∃n ∈N +,使得n<x 2D.∃x ∈R ,∀n ∈N +,使得n<x 2,存在量词变为全称量词,再否定结论.故选D .6.命题“有的有理数没有倒数”的否定是 ,否定后的命题是 命题.(填“真”“假”之一)假,所以命题的否定为:任意的有理数都有倒数.0没有倒数.7.命题“∃x ∈R ,|2-x|+|x+3|>4”的否定是 .x ∈R ,|2-x|+|x+3|≤48.(2021山东邹城高一期中)判断下列命题是全称命题还是特称命题,写出它们的否定,并判断其真假:(1)p :∀x ∈R ,x 2+x+1≠0恒成立;(2)q :∃x ∈R ,使x 2+3x+5≤0.该命题是全称命题,所以其否定为“∃x ∈R ,使x 2+x+1=0”.因为Δ=-3<0,所以方程x 2+x+1=0无实数解,此命题为假命题.(2)该命题是特称命题,所以其否定为“∀x ∈R ,有x 2+3x+5>0”.因为Δ=-11<0,所以∀x ∈R ,x 2+3x+5>0成立,此命题是真命题.关键能力提升练9.(2021山东青岛期末)命题“对∀x ∈R ,都有sin x ≤1”的否定为( )A.对∀x ∈R ,都有sin x>1B.对∀x ∈R ,都有sin x ≤-1C.∃x 0∈R ,使得sin x 0>1D.∃x 0∈R ,使得sin x ≤110.已知命题p :“∀x ∈[1,2],x 2-a ≥0”,命题q :“∃x ∈R ,x 2+2ax+4=0”.若命题 p 和命题q 都是真命题,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-2]∪{1}B.(-∞,-2]∪[1,2]C.[1,+∞)D.[2,+∞)∀x ∈[1,2],x 2-a ≥0,则a ≤x 2, ∴a ≤1.若∃x ∈R ,x 2+2ax+4=0,则Δ=(2a )2-16≥0,解得a ≤-2或a ≥2.∵命题 p 和命题q 都是真命题,∴{a >1,a ≤-2或{a >1,a ≥2,∴a ≥2,即a 的取值范围是[2,+∞).11.(2021湖南长沙雅礼中学高一月考)已知命题“∃x ∈R ,使4x 2+x+14(a-2)≤0”是假命题,则实数a 的取值范围是( )A.{a|a<0}B.{a|0≤a ≤4}C.{a|a ≥4}D.{a|a >94}命题“∃x ∈R ,使4x 2+x+14(a-2)≤0”是假命题,∴命题“∀x ∈R ,使4x 2+x+14(a-2)>0”是真命题,即判别式Δ=12-4×4×14(a-2)<0,即a>94,故选D.12.写出下列命题的否定并判断其真假.(1)某些梯形的对角线互相平分;(2)被8整除的数能被4整除.命题的否定:任何一个梯形的对角线都不互相平分,是真命题.(2)命题的否定:存在一个数能被8整除,但不能被4整除,是假命题. 学科素养创新练13.已知命题p :∀x ∈R ,x 2+(a-1)x+1≥0,命题q :∃x 0∈R ,a x 02-2ax 0-3>0,若p 假q 真,求实数a 的取值范围.p 是假命题,所以 p :∃x 0∈R ,x 02+(a-1)x 0+1<0是真命题,则(a-1)2-4>0,解得a<-1或a>3.因为命题q :∃x 0∈R ,a x 02-2ax 0-3>0是真命题.所以当a=0时,-3<0,不合题意;当a<0时,(-2a )2+12a>0,所以a<-3.当a>0时,函数y=ax 2-2ax-3的图象开口向上,一定存在满足条件的x 0.故a<-3或a>0. 综上,a 的取值范围是(-∞,-3)∪(3,+∞).。
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第1章集合与逻辑1.1集合1.1.1集合第1课时集合与元素课后篇巩固提升必备知识基础练1.(多选题)(2020山东荣成期中)下列每组对象,能构成集合的是()A.中国各地最美的乡村B.平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点C.一切很大的数D.清华大学2020年入学的全体学生,无法确定集合中的元素,故A不正确;一切很大的数,无法确定集合中的元素,故C不正确;根据集合中元素的确定性可知,B,D都能构成集合.故选BD.2.(2021广东广州广雅中学高一月考)下列关系正确的是()A.√2∉RB.0∈N+C.1∈Q D.√π2∈Z6是有理数,故C正确;由于√π2=π是√2属于实数,故A错误;N+是正整数集,因此0∉N+,故B错误;16无理数,Z是整数集,故D错误.故选C.3.以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的实数解为元素构成集合M,则M中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4.方程x2-5x+6=0的解为x=2或x=3;方程x2-x-2=0的解为x=-1或x=2.所以M中有3个元素,分别是-1,2,3.故选C.4.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素构成的集合,且2∈A,则实数m为()A.2B.3C.0或3D.0或2或3,知m=2或m2-3m+2=2,解得m=2或m=0或m=3.经检验,当m=0或m=2时,不满足集合A中元素的互异性;当m=3时,满足题意.综上可知,m=3.5.一个书架上有九个不同种类的书各5本,那么由这个书架上的书组成的集合中含有个元素.6.设a,b是非零实数,则|a|a +|b|b可能取的值构成的集合中的元素有,所有元素的和为.2,0,20a与b的正负分类讨论求解,有四种情况: 当a>0,b<0时,原式=0;当a>0,b>0时,原式=2;当a<0,b>0时,原式=0;当a<0,b<0时,原式=-2.7.判断下列语句是否正确,并说明理由.(1)某学校高一(8)班比较漂亮的女生能构成一个集合;(2)由1,32,64,|-12|,0.5构成的集合有5个元素;(3)将小于100的自然数,按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到两个不同的集合.错误.因为“漂亮”是个模糊的概念,因此不满足集合中元素的确定性.(2)错误.因为32=64,|-12|=0.5,根据集合中元素的互异性知,由1,32,64,|-12|,0.5构成的集合只有3个元素:1,32,0.5.(3)错误.根据集合中元素的无序性可知,小于100的自然数无论按什么顺序排列,构成的集合都是同一个集合.关键能力提升练8.(2020上海高一月考)已知x∈R,由x,-x,|x|,√x2,-√x33所组成的集合最多含有元素的个数是() A.2 B.3 C.4 D.5x,-x,|x|,√x2=|x|,-√x33=-x中,至多有2个不同的实数,所以组成的集合最多含有元素的个数是2.9.(多选题)已知集合A中有3个元素2,4,6,且当a∈A时,6-a∈A,则a可能为()A.2B.4C.6D.2或4或6A中含有3个元素2,4,6,且当a∈A时,6-a∈A,当a=2∈A时,6-a=4∈A,则a=2;当a=4∈A 时,6-a=2∈A,则a=4;当a=6∈A时,6-a=0∉A.综上所述,故a=2或4.10.(多选题)设a,b,c为非零实数,代数式a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是()A.-4∈MB.0∈MC.4∈MD.以上都不正确a,b,c为非零实数,所以当a>0,b>0,c>0时,a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=1+1+1+1=4;当a,b,c中有一个小于0时,不妨设a<0,b>0,c>0,此时a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=-1+1+1-1=0;当a,b,c中有一个大于0时,不妨设a<0,b<0,c>0,此时a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=-1-1+1+1=0;当a<0,b<0,c<0时,此时a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=-1-1-1-1=-4.11.(2020上海高一期中)已知集合M中有3个元素1,m+1,m2+4,如果5∈M且-2∉M,那么m=.或1或-1∈M且-2∉M,所以若m+1=5,解得m=4,若m2+4=5,解得m=±1,经检验均符合题意,所以m的值为4或1或-1.12.设P,Q为两个数集,P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,求P+Q中元素的个数.a=0时,由b∈Q可得a+b的值为1,2,6;当a=2时,由b∈Q可得a+b的值为3,4,8;当a=5时,由b∈Q可得a+b的值为6,7,11.由集合元素的互异性可知,P+Q中的元素为1,2,3,4,6,7,8,11,共8个.学科素养创新练13.已知集合S满足:若a∈S,则11-a∈S.请解答下列问题:(1)若2∈S,则S中必有另外两个元素,求出这两个元素.(2)证明:若a ∈S ,则1-1a ∈S.(3)在集合S 中,元素能否只有一个?若能,把它求出来;若不能,请说明理由.2∈S ,所以11-2=-1∈S ,所以11-(-1)=12∈S ,所以11-12=2∈S.所以集合S 中另外的两个元素为-1和12.,可知a ≠1且a ≠0,由11-a ∈S ,得11-11-a∈S ,即11-11-a=1-a 1-a -1=1-1a∈S. 所以若a ∈S ,则1-1a ∈S.S 中的元素不可能只有一个.理由如下:令a=11-a , 即a 2-a+1=0.因为Δ=(-1)2-4<0,所以此方程无实数解,所以a ≠11-a. 因此集合S 中不可能只有一个元素.。
(高一)高一数学必修1习题及答案5篇
高一数学必修1习题及答案5篇进入高中一之后，第一个学习的重要数学知识点就是集合，学生需要通过练习稳固集合内容，那么,高一数学必修1习题及答案怎么写以下是我精心收集整理的高一数学必修1习题及答案，下面我就和大家分享，来欣赏一下吧。
高一数学必修1习题及答案1一、选择题：(在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.)1.假设集合，那么m∩p= ( )a. b. c. d.2.以下函数与有相同图象的一个函数是( )a. b. c. d.3. 设a={x|0≤x≤2}，b={y|1≤y≤2}，在以下各图中，能表示从集合a 到集合b的映射的是( )4设，，，那么，，的大小关系为( ). . . . .5.定义为与中值的较小者，那么函数的值是( )6.假设，那么的表达式为( )a. b. c. d.7.函数的反函数是( )a. b.c. d.8假设那么的值为( )a.8b.c.2d.9假设函数在区间上的图象为连续不断的一条曲线，那么以下说法正确的选项是( )a.假设，不存在实数使得;b.假设，存在且只存在一个实数使得;c.假设，有可能存在实数使得;d.假设，有可能不存在实数使得;10.求函数零点的个数为( ) a. b. c. d.11.定义域为r的函数f(x)在区间(-∞，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5+t)=f(5-t)，那么以下式子一定成立的是( )a.f(-1)f(9)f(13) p=b.f(13)f(9)f(-1)c.f(9)f(-1)f(13) p=d.f(13)f(-1)f(9)12.某学生离家去，由于怕迟到，一开始就跑步，等跑累了再步行走完余下的路程，假设以纵轴表示离家的距离，横轴表示离家后的时间，那么以下四个图形中，符合该学生走法的是( )二、填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分.把答案直接填在题中横线上.13、，那么的取值范围是14.实数满足等式，以下五个关系式：(1) ，(2) ，(3) ，(4) ，(5)其中可能成立的关系式有.15.如果在函数的图象上任取不同的两点、，线段(端点除外)总在图象的下方，那么函数的图象给我们向上凸起的印象，我们称函数为上凸函数;反之，如果在函数的图象上任取不同的两点、，线段(端点除外)总在图象的上方，那么我们称函数为下凸函数.例如：就是一个上凸函数.请写出两个不同类型的下凸函数的解析式：16.某批发商批发某种商品的单价p(单位：元/千克)与一次性批发数量q(单位：千克)之间函数的图像如图2，一零售商仅有现金2700元，他最多可购置这种商品千克(不考虑运输费等其他费用).三、解答题：.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题总分值12分)全集u=r，集合，，求，，。
最新湘教版高中数学必修一课后习题--3
第3章函数的概念与性质3.1 函数3.1.3 简单的分段函数课后篇巩固提升必备知识基础练1.若f (x )={x -3,x ≥10,f (f (x +6)),x <10,则f (5)的值为( )A.8B.9C.10D.11,f (5)=f (f (11))=f (8)=f (f (14))=f (11)=8.故选A .2.已知f (x )=|x|,g (x )=x 2,设h (x )={f (x ),f (x )≤g (x ),g (x ),f (x )>g (x ),则函数h (x )的大致图象是( )f (x )≤g (x ),即|x|≤x 2时,解得x ≤-1或x ≥1或x=0,故h (x )={|x |,x ≤-1或x ≥1或x =0,x 2,-1<x <1且x ≠0,故h (x )的大致图象为D .3.函数f (x )={2x ,0≤x ≤1,2,1<x <2,3,x ≥2的值域是( )A.RB.[0,2]∪{3}C.[0,+∞)D.[0,3]0≤x ≤1时,0≤2x ≤2,即0≤f (x )≤2;当1<x<2时,f (x )=2;当x ≥2时,f (x )=3.综上可知f (x )的值域为[0,2]∪{3}.4.(2021江西名校联盟高一期末)已知函数y={x 2+1,x ≤0,2x ,x >0,若f (a )=10,则a 的值是( )A.3或-3B.-3或5C.-3D.3或-3或5a ≤0,则f (a )=a 2+1=10,∴a=-3(a=3舍去);若a>0,则f (a )=2a=10,∴a=5.综上可得,a=5或a=-3,故选B .5.已知f (x )的图象如图所示,则f (x )的解析式为 .(x )={-1,0≤x <1,x -2,1≤x ≤20≤x<1时,f (x )=-1;当1≤x ≤2时,设f (x )=kx+b (k ≠0), 则{k +b =-1,2k +b =0,解得{k =1,b =-2, 此时f (x )=x-2.综上,f (x )={-1,0≤x <1,x -2,1≤x ≤2.6.设函数f (x )={(x +1)2,x <1,4x ,x ≥1,则f (f (8))= ,使得f (a )≥4a 的实数a 的取值范围是 .(-∞,1]解析因为f (x )={(x +1)2,x <1,4x,x ≥1,所以f (8)=48=12,因此f (f (8))=f12=12+12=94. 当a<1时,f (a )≥4a 可化为(a+1)2≥4a ,即(a-1)2≥0显然恒成立,所以a<1; 当a ≥1时,f (a )=4a ≥4a , 解得a=1.综上,a 的取值范围为(-∞,1].7.某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同.甲俱乐部每小时5元,乙俱乐部按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)90元,超过30小时的部分每小时2元;某公司准备下个月从这两家俱乐部中选择一家开展活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时.设在甲家开展活动x (15≤x ≤40)小时的收费为f (x )元,在乙家开展活动x 小时的收费为g (x )元. (1)试分别写出f (x )和g (x )的解析式. (2)选择哪家比较合算?请说明理由.由题意可知f (x )=5x ,15≤x ≤40,g (x )={90,15≤x ≤30,30+2x ,30<x ≤40.(2)由5x=90,解得x=18, 即当15≤x<18时,f (x )<g (x ); 当x=18时,f (x )=g (x ); 当18<x ≤40时,f (x )>g (x ).所以当15≤x<18时,选甲家比较合算; 当x=18时,两家一样合算; 当18<x ≤40时,选乙家比较合算.关键能力提升练8.(2020陕西华阴高一期末)设函数f (x )={12x -1,x ≥0,1x,x <0,若f (a )=a ,则实数a 的值为( )A.±1B.-1C.-2或-1D.±1或-2a ≥0时,有12a-1=a ,解得a=-2(不满足条件,舍去);当a<0时,有1a=a ,解得a=1(不满足条件,舍去)或a=-1.所以实数a 的值是-1.故选B . 9.已知函数f (x )={x 2,x ≤1,x +4x-3,x >1,则f (x )的值域是( )A.[1,+∞)B.[0,+∞)C.(1,+∞)D.[0,1)∪(1,+∞)f (x )={x 2,x ≤1,x+4x -3,x >1,知当x ≤1时,x 2≥0;当x>1时,x+4x -3≥2√x ·4x -3=4-3=1,当且仅当x=4x ,即x=2时等号成立. 综上,f (x )的值域是[0,+∞).故选B .10.(多选题)(2020湖北黄冈黄州一中期中)已知f (x )=x ,g (x )=x 2-2x ,且F (x )={g (x ),f (x )≥g (x ),f (x ),f (x )<g (x ),则F (x )的最值情况是 ( )A.有最大值3B.有最小值-1C.无最小值D.无最大值f (x )≥g (x )得0≤x ≤3;由f (x )<g (x ),得x<0或x>3,所以F (x )={x 2-2x ,x ∈[0,3],x ,x ∈(-∞,0)⋃(3,+∞).作出函数F (x )的图象如图,可得F (x )无最大值,无最小值.11.(2021福建厦门高一期末)“高斯函数”为y=[x ],其中[x ]表示不超过x 的最大整数.例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3.已知函数f (x )=|x-1|(3-[x ]),x ∈[0,2),若f (x )=52,则x= ;不等式f (x )≤x 的解集为 . 答案1634,2,得f (x )={3-3x ,0≤x <1,2x -2,1≤x <2,当0≤x<1时,3-3x=52, 即x=16;当1≤x<2时,2x-2=52,即x=94(舍),综上x=16.当0≤x<1时,3-3x ≤x ,即34≤x<1,当1≤x<2时,2x-2≤x ,即1≤x<2,综上34≤x<2.12.设集合A=0,12,B=[12,1],函数f (x )={x +12,x ∈A ,2-2x ,x ∈B ,已知m ∈A ,且f (f (m ))∈A ,则实数m 的取值范围是 . 答案14,12解析∵m ∈A ,∴0≤m<12,f (m )=m+12∈12,1.∴f (f (m ))=2-2m+12=1-2m.∵f (f (m ))∈A ,∴0≤1-2m<12,则14<m ≤12. ∵0≤m<12,∴14<m<12. ∴m 的取值范围是14,12.13.《中华人民共和国个人所得税》规定,公民月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不纳税,超过5 000元的部分为全月纳税所得额,此项税款按下表分段累计计算:(1)已知张先生的月工资、薪金所得合计为10 000元,问他当月应缴纳多少个人所得税?(2)设王先生的月工资、薪金所得合计为x 元,当月应缴纳个人所得税为y 元,写出y 与x 的函数关系式.(3)已知李先生一月份应缴纳个人所得税为303元,那么他当月的工资、薪金所得合计为多少?赵先生应交税为1 500×3%+3 000×10%+500×20%=445(元).(2)y 与x 的函数关系式为y={0,0≤x ≤5 000,(x -5 000)×3%,5 000<x ≤6 500,45+(x -6 500)×10%,6 500<x ≤9 500,345+(x -9 500)×20%,9 500<x ≤14 000.(3)李先生一月份缴纳个人所得税为303元,故必有6 500<x ≤9 500,从而303=45+(x-6 500)×10%,解得x=9 080.所以王先生当月的工资、薪金所得为9 080元.学科素养创新练14.某公司为提高员工的综合素质,聘请专业机构对员工进行专业技术培训,其中培训机构费用成本为12 000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算:当公司参加培训的员工人数不超过30时,每人的培训费用为850元;当公司参加培训的员工人数多于30时,则给予优惠:每多一人,培训费减少10元.已知该公司最多有60位员工可参加培训,设参加培训的员工人数为x ,每位员工的培训费为y 元,培训机构的利润为Q 元.(1)写出y 与x (x>0,x ∈N +)之间的函数关系式;(2)当公司参加培训的员工为多少人时,培训机构可获得最大利润?并求出最大利润.当1≤x ≤30且x ∈N +时,y=850;当30<x ≤60且x ∈N +时,y=850-10(x-30)=1 150-10x. 所以y={850,1≤x ≤30,且x ∈N +,1 150-10x ,30<x ≤60,且x ∈N +.(2)当1≤x ≤30且x ∈N +时,Q=850x-12 000,Q max =850×30-12 000=13 500(元); 当30<x ≤60且x ∈N +时,Q=-10x 2+1 150x-12 000,其对称轴为x=1152=57.5,故当x=57或58时,Q max =21 060元.所以当公司参加培训的员工为57人或58人时,培训机构可获得最大利润,最大利润为21 060元.。
高一数学必修一课课练及答案135页
高一数学必修一课课练几答案135页集．A．{x|－3<x<11，x∈Z}B．{x|－3<x<11}C．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈N}D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}解析：偶数集为{x|x＝2k，k∈Z}，则大于－3且小于11的偶数所组成的集合为{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}．答案：D3．下面对集合{1,5,9,13,17}用描述法表示，其中正确的一个是()A．{x|x是小于18的正奇数}B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，k<5}C．{x|x＝4t－3，t∈N，t<5}D．{x|x＝4s－3，s∈N*，s<6}解析：集合中的元素除以4余1，故可以用4k＋1(0≤k≤4，k∈Z)或4k－3(1≤k≤5，k∈Z)来表示.答案：D4．下面四个命题：(1)集合N中的最小元素是1.(2)方程(x－1)3(x ＋2)(x－5)＝0的解集含有3个元素．(3)0∈∅.(4)满足1＋x>x的实数组成的集合为R.其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：(1)集合N中的最小元素是0，错误；(2)重复的元素按1个记，正确；(3)空集中不含有任何元素，错误；(4)1＋x>x恒成立的解集为R.答案：C5．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．2解析：利用集合中元素的互异性确定集合．当x＝－1，y＝0时，z＝x＋y＝－1；当x＝1，y＝0时，z＝x＋y＝1；当x＝－1，y＝2时，z＝x＋y＝1；当x＝1，y＝2时，z＝x＋y ＝3，由集合中元素的互异性可知集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，即元素个数为3.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B 为________．[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是()A．1B．－1C．1或－1 D．0,1或－1解析：由题意，当Q为空集时，a＝0；当Q不是空集时，由Q ⊆P，a＝1或a＝－1.答案：D2．已知集合M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是()A．M>N B．M NC．N M D．M⊆N解析：因为y＝(x－1)2－2≥－2，所以M＝{y|y≥－2}，所以N M.答案：C3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{3，x2,2}，若A＝B，则x的值是() A．1 B．－1C．±1 D．0解析：由A＝B得x2＝1，所以x＝±1，故选C.答案：C4．已知集合A＝{－1,0,1}，则含有元素0的A的子集的个数为()A．2 B．4C．6 D．8解析：根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．答案：B5．设A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}，若A⊆B，则m的取值范围是()A．m>3 B．m≥3C．m<3 D．m≤3表示在数轴上，如图所示，所以5分，共15分)A B.A B．设集合A＝{1,3________．∵A＝{1,3，＋1∈在数轴上画出集合A.－3，时也满足题意，京举行，若集合A ＝{参加羽毛球锦标赛的运动员}，集合B ＝{参加羽毛球锦标赛的男运动员}，集合C ＝{参加羽毛球锦标赛的女运动员}，则下列关系正确的是( )A ．A ⊆B B ．B ⊆CC ．C AD ．B A解析：易知集合B ，C 是集合A 的子集，且是真子集，而B ，C 之间没有关系，因此只有D 选项正确，答案：D12．已知集合A ＝{1,3,5}，则集合A 的所有子集的元素之和为________．解析：集合A 的子集分别是：∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．注意到A 中的每个元素出现在A 的4个子集，即在其和中出现4次．故所求之和为(1＋3＋5)×4＝36.答案：3613．已知集合A ＝{1,3，x 2}，B ＝{x ＋2,1}．是否存在实数x ，使得B ⊆A ？若存在，求出集合A ，B ；若不存在，说明理由．解析：假设存在实数x ，使B ⊆A ，则x ＋2＝3或x ＋2＝x 2.(1)当x ＋2＝3时，x ＝1，此时A ＝{1,3,1}，不满足集合元素的互异性．故x ≠1.(2)当x ＋2＝x 2时，即x 2－x －2＝0，故x ＝－1或x ＝2.①当x ＝－1时，A ＝{1,3,1}，与集合元素的互异性矛盾，故x ≠－1.②当x ＝2时，A ＝{1,3,4}，B ＝{4,1}，显然有B ⊆A .综上所述，存在x ＝2，使A ＝{1,3,4}，B ＝{4,1}满足B ⊆A .14．已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且B ⊆A .求实数m 的取值范围．解析：∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.(2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上得m ≥－1.即实数m 的取值范围为{m |m ≥－1}．[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知集合A ＝{x |x ≥－3}，B ＝{x |－5≤x ≤2}，则A ∪B ＝( )A ．{x |x ≥－5}B ．{x |x ≤2}C ．{x |－3<x ≤2}D ．{x |－5≤x ≤2}解析：结合数轴(图略)得A ∪B ＝{x |x ≥－5}．答案A2．已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2a －1，a ∈N *}，则M ∩N ＝( )A ．{0}B ．{1,2}C ．{1}D ．{2}解析：因为N ＝{1,3,5，…}，M ＝{0,1,2}，所以M ∩N ＝{1}． 答案：C3．设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|2x －y ＝－4}，则A ∩B 等于( )A ．{x ＝－1，y ＝2}B ．(－1,2)C ．{－1,2}D ．{(－1,2)}解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，2x －y ＝－4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.所以A ∩B ＝{(－1,2)}，故选D.答案：D4．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析：B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }＝{x |－1<x <2，x ∈Z }＝{0,1}，又A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．答案：C5．设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( )A ．a <2B ．a >－2C ．a >－1D ．－1<a ≤2解析：在数轴上表示出集合A ，B 即可得a 的取值范围为a >－1.分，共15分)的左侧，或与1重合，故如图所示：<2}∪{x|1<x<3}＝{x|－1<x<3}．<2}∩{x|1<x<3}＝{x|1<x<2}．，结合数轴可知t<－[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则∁U A等于()A．{1,3,5,6}B．{2,3,7}C．{2,4,7} D．{2,5,7}解析：由题意知∁U A＝{2,4,7}，选C.答案：C2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)等于()A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}解析：A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．故选D.答案：D3．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是()A．A∩B B．A∪BC．B∩(∁U A) D．A∩(∁U B)解析：由Venn图可知阴影部分为B∩(∁U A)．答案：C4．设全集U＝{1,2,3,4,5}，若A∩B＝{2}，(∁U A)∩B＝{4}，(∁A)∩(∁U B)＝{1,5}，则下列结论中正确的是()UA．3∉A,3∉B B．3∉A,3∈BC．3∈A,3∉B D．3∈A,3∈B解析：由Venn图可知，3∈A,3∉B，故选C.答案：C5．设集合M＝{x|－1≤x<2}，N＝{x|x－k≤0}，若(∁R M)⊇(∁R N)，则k的取值范围是()A．k≤2 B．k≥－1C．k>－1 D．k≥2解析：由(∁R M)⊇(∁R N)可知M⊆N，则k的取值范围为k≥2.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则(∁U A)∪(∁U B)＝________.解析：依题意得知，∁U A＝{c，d}，∁U B＝{a}，(∁U A)∪(∁U B)＝{a，c，d}．答案：{a，c，d}7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.解析：∵U＝{0,1,2,3}，∁U A＝{1,2}．∴A＝{x∈U|x2＋mx＝0}＝{0,3}．∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根，∴0＋3＝－m，即m＝－3.答案：－38．已知U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁U A＝{x|x<3或x>4}，则ab＝________.解析：因为A∪(∁U A)＝R，所以a＝3，b＝4，所以ab＝12.答案：12三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知全集U＝R，集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x≤3}．求：(1)A∩B；(2)∁U(A∪B)；(3)A∩(∁U B)．解析：(1)因为A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x≤3}，所以A∩B＝{x|－1<x<2}∩{x|0<x≤3}＝{x|0<x<2}．(2)A∪B＝{x|－1<x<2}∪{x|0<x≤3}＝{x|－1<x≤3}，，且A⊆C，如图所示，的取值范围是{a|a≥7}．2－2}，A＝{1，x2＝2，U＝{1,2,2}的图象可知－5≤x≤5，－2 2,3]象，下面的描述符合小明散步情况的是()．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前．从家出发，散了一会儿步(没有停留)，然后回家了，则f [f (0)]＝________.＝4，f (4)＝2，f [f 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2分，共20分)的图象是曲线OAB ，其中点f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (3)的值．答案：B12．若f (x )－12f (－x )＝2x (x ∈R )，则f (2)＝________.解析：∵f (x )－12f (－x )＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (2)－12f (－2)＝4，f (－2)－12f (2)＝－4，得⎩⎨⎧2f (2)－f (－2)＝8，f (－2)－12f (2)＝－4，相加得32f (2)＝4，f (2)＝83.答案：8313．作出下列函数的图象并写出其值域：(1)y ＝2x ，x ∈[2，＋∞)； (2)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]． 解析：(1)列表x 2 3 4 5 …y 1 23 12 25…当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2x 的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．(2)列表：x －2 －1 0 1 2 y 0 －1 0 3 8画图象，图象是抛物线y ＝x 2＋2x 在－2≤x ≤2之间的部分．－1,8]．b(a，b为常数，且y＝f(x)的解析式和，所以22a＋b＝1，[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若f：A→B能构成映射，下列说法正确的是()①A中的任一元素在B中必须有像且唯一；②A中的多个元素可以在B中有相同的像；③B中的多个元素可以在A中有相同的原像；④像的集合就是集合B.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：根据映射的概念，A中的元素在B中有唯一的像与之对应，x|x |x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，x －1，x <0.．下列各对应中，构成映射的是( )A ，C 中集合A 中的元素1，在集合B 中有中集合A 中的元素2在集合B 中无元素与之对应，所以都不是映射，只有D 项符合映射的定义．故选D.1,2]上的图象如图所示，则时，y＝x＋1；当x∈＝1，所以A中元素在对应法则f作用下的集合为{1,2,5}，故集合B 中至少有3个元素．答案：313．画出下列函数的图象：(1)f(x)＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)；(2)f(x)＝|x＋2|.解析：(1)f(x)＝[x]＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧…－2，－2≤x<－1，－1，－1≤x<0，0，0≤x<1，1，1≤x<2，2，2≤x<3，…函数图象如图1所示．图1图2(2)f(x)＝|x＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x＋2，x≥－2，－x－2，x<－2.画出y＝x＋2的图象，取[－2，＋∞]上的一段；画出y＝－x－2的图象，取(－∞，－2)上的一段，如图2所示．14．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x＋5，x≤0，x＋5，0<x≤1，－2x＋8，x>1.(1)求f⎝⎛⎭⎪⎫1π，f(f(－1))的值；(2)若f(a)>2，求a的取值范围．解析：(1)因为函数的增区间是(－∞，1]，[2上为增函数，且f(2m分，共20分)＝－1＋1在(0，＋∞函数的大致图象如图所示，单调增区间为∞)．－1,1]上的增函数，的单调区间；⎦⎥⎤－1，12上的最大值．＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ，x ≤0，x 2＋x ，x >0[0，＋∞) 上是增函数，上是减函数， 的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12，[0的图象，如图所示，)在x＝2时取得最大值2x＋2在区间[t，t＋1]2＝(x－1)2＋1，x∈[，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数上为减函数，(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，．下列图象表示的函数具有奇偶性的是()中的图象不关于原点对称，也不关于D中函数的定义域不关于原点对称，也排除．选项中的函数图象关于y轴对称，是偶函数，故选B.根据图象进行判断)－4，x≥2，－2x，－2<x<2，，x≤－2，上的解析式；的图象．由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，，∵f(x)是奇函数，2240分)11．定义两种运算：a b＝a2－b2，a⊗b＝xx⊗2)－2A．奇函数B．偶函数。
高中数学(人教A版)必修一课后习题：三角函数的概念(课后习题)【含答案及解析】
三角函数的概念三角函数的概念课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021河北唐山高一期末)sin(-1 080°)=()A.-12B.1C.0D.-1-1 080°)=-sin(3×360°+0°)=0.故选C.2.点A(x,y)是60°角的终边与单位圆的交点,则yx的值为()A.√3B.-√3C.√33D.-√33由三角函数定义知yx=tan 60°=√3. 3.代数式sin(-330°)cos 390°的值为()A.-34B.√34C.-32D.14,sin(-330°)cos 390°=sin 30°×cos 30°=12×√32=√34.4.tan(-356π)的值等于()A.√33B.-√33C.12D.√3(-356π)=tan(-3×2π+π6)=tanπ6=√33.5.已知角α的终边与单位圆交于点P-12,y,则cos α=()A.-√33B.-12C.-√32D.±12解析角α的终边与单位圆交于点P-12,y,∴cos α=-12.6.已知角α的终边经过点P (x ,-6),且tan α=-35,则x 的值为 .,得tan α=y x =-35,即-6x =-35,解得x=10.7.(2020浙江丽水高一检测)在平面直角坐标系中,角α的顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边过点P (-√3,-1),则tan α= ;cos α-sin α= .1-√32角α终边过点P (-√3,-1),|OP|=2,∴tan α=-√3=√33,sin α=-12,cos α=-√32, ∴cos α-sin α=1-√32.8.求下列各式的值:(1)sin (-15π4)+tan 25π3;(2)sin(-1 380°)cos 1 110°+tan 405°.原式=sin (-4π+π4)+tan (8π+π3) =sin π4+tan π3=√22+√3.(2)原式=sin(-4×360°+60°)cos(3×360°+30°)+tan(360°+45°)=sin 60°cos 30°+tan 45°=√32×√32+1=74. 等级考提升练9.在△ABC 中,若sin A cos B tan C<0,则△ABC 是( ) A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形sin A>0,所以cos B ,tan C 中一定有一个小于0,即B ,C 中一定有一个钝角,故△ABC 是钝角三角形.10.设α是第二象限角,且|cos α2|=-cos α2,则α2是 ( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角α是第二象限角,∴α2为第一或第三象限角.又|cosα2|=-cosα2,∴cosα2<0.∴α2是第三象限角.11.(2021江苏南京高一期末)若角α的终边经过点P(3,a)(a≠0),则()A.sin α>0B.sin α<0C.cos α>0D.cos α<0角α的终边经过点P(3,a)(a≠0),∴由三角函数的定义可知sin α=√3+a2符号不确定,故A,B均错误;cos α=√3+a2>0,故C正确,D错误.故选C.12.在平面直角坐标系中,已知角α的终边经过点P(a,a-3),且cos α=√55,则a等于()A.1B.92C.1或92D.1或-3由题意得√a2+(a-3)=√55,化简得a2+2a-3=0,解得a=-3或1,当a=-3时,点P(-3,-6)在第三象限,cosα<0,与题意不符,舍去,选A.13.(多选题)(2020山东聊城高一期末)已知x∈{x|x≠kπ2,k∈Z},则函数y=sinx|sinx|+cosx|cosx|−tanx|tanx|的值可能为()A.3B.-3C.1D.-1x∈{x|x≠kπ2,k∈Z},当x在第一象限时,y=sinx|sinx|+cosx|cosx|−tanx|tanx|=1+1-1=1;当x在第二象限时,y=sinx|sinx|+cosx|cosx|−tanx|tanx|=1-1+1=1;当x在第三象限时,y=sinx|sinx|+cosx|cosx|−tanx|tanx|=-1-1-1=-3;当x 在第四象限时,y=sinx |sinx |+cosx |cosx |−tanx |tanx |=-1+1+1=1. 14.角α的终边过点P (-3a ,4a )(a ≠0),则cos α= . -35或35|OP|=√(-3a )2+(4a )2=5|a|,且a ≠0.当a>0时,|OP|=5a ,则cos α=-3a 5a =-35.当a<0时,|OP|=-5a ,则cos α=-3a -5a =35.15.sin(-1 740°)cos 1 470°+cos(-660°)sin 750°+tan 405°= .=sin(60°-5×360°)cos(30°+4×360°)+cos(60°-2×360°)sin(30°+2×360°)+tan(45°+360°)=sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30°+tan 45°=√32×√32+12×12+1=2.16.已知1|sinα|=-1sinα,且lg cos α有意义.(1)试判断角α的终边所在的象限;(2)若角α的终边上一点M (35,m),且|OM|=1(O 为坐标原点),求m 的值及sin α的值.由1|sinα|=-1sinα,可知sin α<0.由lg cos α有意义,可知cos α>0,∴角α的终边在第四象限.(2)∵|OM|=1, ∴(35)2+m 2=1,解得m=±45.又α是第四象限角,故m<0,从而m=-45.由正弦函数的定义可知sin α=y r =m|OM |=-451=-45. 新情境创新练17.已知角α的终边在直线y=-3x 上,求10sin α+3cosα的值.α的终边上任一点为P (k ,-3k )(k ≠0),则x=k ,y=-3k ,r=√k 2+(-3k )2=√10|k|.当k>0时,r=√10k ,α是第四象限角, sin α=y r =√10k =-3√1010, 1cosα=r x =√10k k =√10,所以10sin α+3cosα=10×(-3√1010)+3√10=-3√10+3√10=0; 当k<0时,r=-√10k ,α为第二象限角, sin α=y r =-√10k =3√1010, 1cosα=r x =-√10k k=-√10, 所以10sin α+3cosα=10×3√1010+3×(-√10)=3√10-3√10=0. 综上,10sin α+3cosα=0.。