北师大版九年级数学上册期末复习压轴题专题训练试题

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北师大版九年级数学上期末备考压轴题专项培优：特殊的平行四边形(解析版)

期末备考压轴题专项培优：特殊的平行四边形1．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．设点N 的坐标为（m，n）．（1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段BD上，点B（﹣1，0），A（0，1）．且BM＝t（0＜t≤2），则点D的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣1）；请直接写出点N纵坐标n的取值范围是0＜n≤；（2）若正方形的边长为2，求EC的长，以及AM+BM+CM的最小值．（提示：连结MN：＝+1，＝﹣1）解：（1）如图1，以直线BD为x轴，直线AC为y轴，建立平面直角坐标系，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵点B（﹣1，0），A（0，1），∴D（1，0），C（0，﹣1）；过N作NH⊥BD于h，∴∠NHB＝90°，∵将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，∴∠NBH＝60°，BM＝BN，∴NH＝BN＝t，∵0＜t≤2，∴点N纵坐标n的取值范围是0＜n≤；故答案为：（1，0），（0，﹣1）；0＜n≤；（2）如图所示，连接MN，过E作EH⊥BC，交CB的延长线于H，由旋转可得，BM＝BN，∠NBM＝60°，∴△BMN是等边三角形，∴MN＝BM，∵△ABE是等边三角形，∴BE＝BA，∠ABE＝60°，∴∠ABM＝∠EBN，∴△ABM≌△EBN（SAS），∴AM＝EN，∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM，∴当E，N，M，C在同一直线上时，AM+BM+CN的最小值是CE的长，又∵∠ABE＝60°，∠ABH＝90°，∴∠EBH＝30°，∴Rt△EBH中，EH＝EB＝×2＝1，∴BH＝＝＝，∴CH＝2+，∴Rt△CEH中，CE＝＝＝＝；∴AM+BM+CM的最小值为+．2．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作▱ECFG．（1）证明▱ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连结BD、CG，求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．解：（1）证明：，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10，∴DM＝BD＝5．3．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以AD为边向外作等边△ADE，连接CE，交BD于F．（1）如图1，若AE＝，求DF的长；（2）如图2，点M为AB的延长线上一点，连接CM，连接FM且FM平分∠AMC，求证：CM＝MF﹣AM．解：（1）如图1，连接OE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，OA＝OD＝OB＝OC∵△ADE是等边三角形∴AD＝DE＝AE＝，∠ADE＝60°∴CD＝AD＝，OD＝OB＝∵AE＝DE，OD＝OA∴OE垂直平分AD即OE⊥AD，DH＝AH∴OE＝OH+EH＝+＝，∵∠ADC＝∠DHE＝90°∴CD∥OE∴△CDF∽△EOF∴＝，即DF＝OF∵DF+OF＝OD＝∴OF＝﹣DF∴DF＝（﹣DF），解得：DF＝﹣1．（2）如图2，连接EO，过点F作PQ⊥CD交EO于N，在MA上截取MT＝MC，连接FT，设正方形边长为a，∵四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形∴AD＝AB＝CD＝DE＝a，∠ADC＝∠DAB＝90°∠ADE＝60°易证OE⊥AD∴OE＝a，OD＝a，由（1）知△CDF∽△EOF∴＝，即a•DF＝a•OF∵DF+OF＝a∴OF＝a﹣DF∴a•DF＝a（a﹣DF）∴DF＝a，∵△DPF是等腰直角三角形∴DP＝PF＝DF＝a，∴FQ＝a﹣a＝a＝CP，∵FM平分∠AMC，∴∠CMF＝∠AMF在△MCF和△MTF中∴△MCF≌△MTF（SAS）∴CF＝FT∴Rt△CFP≌Rt△FTQ（HL）∴QT＝PF＝a，∵AQ＝DP∴AQ＝QT∵BM+AB﹣AT＝MT＝CM∴CM﹣BM＝AB﹣AT＝a﹣2×a＝a，CM+BM＝MT+BM＝BT+2BM＝a﹣2×a+2BM＝a+2BM∴CM2﹣BM2＝（CM﹣BM）（CM+BM）＝a（a+2BM）∵CM2﹣BM2＝BC2＝a2，∴a（a+2BM）＝a2，∴BM＝a在Rt△BCM中，tan∠BMC＝＝＝，∴∠BMC＝60°∴∠AMF＝30°∴＝cos∠AMF＝cos30°＝∴2MQ＝MF∵2MQ＝2BM+2BQ＝2BM+2BT+2QT＝（BM+BT）+（BM+BT+AT）＝CM+AM ∴CM+AM＝MF即CM＝MF﹣AM．4．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BD为菱形的一条对角线．（1）如图1，过A作AE⊥BC于点E，交BD于点F，若EF＝2，求菱形ABCD的面积；（2）如图2，M为菱形ABCD外一点，过A作AN⊥BM交BM的延长线于点N，连接AM，DM，AG⊥DM于点G，且∠AMN＝∠AMD，求证：DM＝BM+AM．（1）解：如图1中，∵四边形ABC都是菱形，∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵AE⊥BC，∴∠BEF＝90°，∵EF＝2，∴BF＝2EF＝4，∠BFE＝60°，∵∠BFE＝∠ABF+∠F AB，∴∠ABF＝∠F AB＝30°，∴BF＝AF＝4，∴AE＝AF+EF＝6，∴AB＝＝4，∴BC＝AB＝4，∴S＝BC•AE＝24．菱形ABCD（2）证明：如图2中，∵∠AMN＝∠AMG，AN⊥MN，AG⊥DM，∴AN＝AG，∵∠MNA＝∠MGA＝90°，AM＝AM，AN＝AG，∴Rt△MAN≌Rt△MAG（HL），∴NM＝MG，∵∠ANB＝∠AGD＝90°，AN＝AG，AB＝AD，∴Rt△ANB≌Rt△AGD（HL），∴∠ABN＝∠ADG，BN＝DG，∴∠BMD＝△BAD＝120°，∴∠NMG＝60°，∴∠AMN＝∠AMG＝30°，∴DM﹣BM＝MG+DG﹣（BN﹣MN）＝2MN＝AM，∴DM＝BM+AM．5．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）若AD＝12，DC＝3，∠EBD＝60°，则BE＝6时，四边形BFCE是菱形．（只需完成填空，不需写出具体过程．）（1）证明：∵在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴BE＝FC，∠ABE＝∠DCF，∴∠EBC＝∠FCB，∴BE∥FC，∴四边形BFCE是平行四边形；（2）解：当四边形BFCE是菱形，则BE＝EC，∵AD＝12，DC＝3，AB＝DC，∴BC＝6，∵∠EBD＝60°，EB＝EC，∴△EBC是等边三角形，∴BE＝6．故答案为：6．6．已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；（3）若BD＝2AB，①探究四边形GEHF的形状，并说明理由；②当AB＝2，∠ABD＝120°时，直接写出四边形GEHF的面积．（1）证明：连接AC，如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴BD的中点在AC上，∵E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，∴E、F分别为OB、OD的中点，∵G是AD的中点，∴GF为△AOD的中位线，∴GF∥OA，GF＝OA，同理：EH∥OC，EH＝OC，∴EH＝GF，EH∥GF，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）解：当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；理由如下：连接GH，如图2所示：则AG＝BH，AG∥BH，∴四边形ABHG是平行四边形，∴AB∥GH，∵AB⊥BD，∴GH⊥BD，∴GH⊥EF，∴四边形GEHF是菱形；故答案为：AB⊥BD；（3）解：①四边形GEHF是矩形；理由如下：由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，∴GH＝AB，∵BD＝2AB，∴AB＝BD＝EF，∴GH＝EF，∴四边形GEHF是矩形；②作AM⊥BD于M，GN⊥BD于N，如图3所示：则AM∥GN，∵G是AD的中点，∴GN是△ADM的中位线，∴GN＝AM，∵∠ABD＝120°，∴∠ABM＝60°，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝1，AM＝BM＝，∴GN＝，∵BD＝2AB＝4，∴EF＝BD＝2，∴△EFG的面积＝EF×GN＝×2×＝，∴四边形GEHF的面积＝2△EFG的面积＝．7．如图，边长为6的正方形ABCD中，E，F分别是AD，AB上的点，AP⊥BE，P为垂足．（1）如图1，AF＝BF，AE＝2，点T是射线PF上的一个动点，当△ABT为直角三角形时，求AT的长；（2）如图2，若AE＝AF，连接CP，求证：CP⊥FP．（1）解：在正方形ABCD中，可得∠DAB＝90°．∵在Rt△BAE中，tan∠ABE＝＝＝，∴∠ABE＝30°．点T是射线PF上的一个动点，当△ABT为直角三角形时，分三种情况：①当点T在AB的上方，∠ATB＝90°，显然此时点T和点P重合，即AT＝AP＝AB＝3；②当点T在AB的下方，∠ATB ＝90°，如图①所示．在Rt△APB中，由AF＝BF，可得：AF＝BF＝PF＝3，∴∠BPF＝∠FBP＝30°，∴∠BFT＝60°．在Rt△ATB中，TF＝BF＝AF＝3，∴△FTB是等边三角形，∴TB＝3，AT＝＝3；③当点T在AB的下方，∠ABT＝90°时，如图②所示．在Rt△FBT中，∠BFT＝60°，BF＝3，BT＝BF•tan60°＝3．在Rt△ATB中：AT＝＝3．综上所述：当△ABT为直角三角形时，AT的长为3或3或3；（2）证明：如图③所示，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC，AD∥BC，∠DAB＝90°，∴∠3＝∠4．∵在Rt△EAB中，AP⊥BE，∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠3＝∠4，∵tan∠1＝，tan∠3＝，∴＝，∵AE＝AF，AB＝BC，∴＝，∴△PBC∽△P AF，∴∠5＝∠6．∵∠6+∠7＝90°，∴∠5+∠7＝90°，即∠CPF＝90°，∴CP⊥FP．8．已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）已知AB＝5，AD＝8．求四边形GEHF是矩形时BD的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠GDE＝∠FBH，∵G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，∴在Rt△AED和Rt△CFB中，EG＝AD＝GD，FH＝BC＝HB，∴EG＝FH，∠GED＝∠GDE，∠FBH＝∠BFH，∴∠GED＝∠BFH，∴EG∥FH，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）解：连接GH，当四边形GEHF是矩形时，∠EHF＝∠BFC＝90°，∵∠FBH＝∠BFH，∴△EFH∽△CBF，∴＝，由（1）可得：GA∥HB，GA＝HB，∴四边形GABH是平行四边形，∴GH＝AB＝5，∵在矩形GEHF中，EF＝GH，且AB＝5，AD＝8，∴＝，解得：BF＝，∴BE＝BF﹣EF＝﹣5＝，在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF＝，∴BD＝BF+DF＝+＝．9．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；（2）如图2，若DA＝DE，求证：BF+DF＝AF．解：（1）设BM＝x，则CM＝2x，BC＝3x，∵BA＝BC，∴BA＝3x．在Rt△ABM中，E为斜边AM中点，∴AM＝2BE＝2．由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，即40＝x2+9x2，解得x＝2．∴AB＝3x＝6．（2）延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点．∵DF平分∠CDE，∴∠1＝∠2．∵DE＝DA，DP⊥AF∴∠3＝∠4．∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴∠2+∠3＝45°．∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°．∴AH＝AF．∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAH．又AB＝AD，∴△ABF≌△ADH（SAS）．∴AF＝AH，BF＝DH．∵Rt△F AH是等腰直角三角形，∴HF＝AF．∵HF＝DH+DF＝BF+DF，∴BF+DF＝AF．10．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的两条直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H．【感知】如图①，若四边形ABCD是正方形，且AG＝BE＝CH＝DF，则S四边形AEOG＝ S 正方形ABCD ；【拓展】如图②，若四边形ABCD 是矩形，且S 四边形AEOG ＝S 矩形ABCD ，设AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝m ，求AG 的长（用含a 、b 、m 的代数式表示）；【探究】如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，且AB ＝3，AD ＝5，BE ＝1，试确定F 、G 、H 的位置，使直线EF 、GH 把四边形ABCD 的面积四等分．解：【感知】如图①，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠OAG ＝∠OBE ＝45°，OA ＝OB ，在△AOG 与△BOE 中，， ∴△AOG ≌△BOE ，∴S 四边形AEOG ＝S △AOB ＝S 正方形ABCD ；故答案为：；【拓展】如图②，过O 作ON ⊥AD 于N ，OM ⊥AB 于M ，∵S △AOB ＝S 矩形ABCD ，S 四边形AEOG ＝S 矩形ABCD ，∴S △AOB ＝S 四边形AEOG ，∵S △AOB ＝S △BOE +S △AOE ，S 四边形AEOG ＝S △AOG +S △AOE ， ∴S △BOE ＝S △AOG ， ∵S △BOE ＝BE •OM ＝mb ＝mb ，S △AOG ＝AG •ON ＝AG •a ＝AG •a ， ∴mb ＝AG •a ，∴AG ＝；【探究】如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，则KL＝2OK，PQ＝2OQ，∵S平行四边形ABCD＝AB•KL＝AD•PQ，∴3×2OK＝5×2OQ，∴＝，∵S△AOB ＝S平行四边形ABCD，S四边形AEOG＝S平行四边形ABCD，∴S△AOB ＝S四边形AEOG，∴S△BOE ＝S△AOG，∵S△BOE ＝BE•OK＝×1×OK，S△AOG＝AG•OQ，∴×1×OK＝AG•OQ，∴＝AG＝，∴当AG＝CH＝，BE＝DF＝1时，直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q 的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝16﹣t，得t＝8，故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形即＝16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，则周长为4×10cm＝40cm；面积为10cm×8cm＝80cm2．12．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上的点，BE交AC于点F，连接DF．（1）求证：∠BAF＝∠DAF，∠AFD＝∠CFE；（2）若AB∥CD，试证明：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定点E的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说理由．证明：（1）在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC，在△ABF和△ADF中，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB＝∠AFD，∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFD＝∠CFE，∴∠BAF＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；（2）∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（3）∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF，∵CF＝CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF＝∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，∴∠EFD＝∠BCD．13．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个点，过点O作直线MN∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？证明你的结论．（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF＝180°，∴∠ECF＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF＝＝10，∴OC＝OE＝EF＝5；（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°．求AE的长．（1）证明：在菱形ABCD中，OC＝AC．∴DE＝OC．∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2．∴在矩形OCED中，CE＝OD＝．在Rt△ACE中，AE＝．15．如图，以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG．（1）求证：△BDE≌△BAC；（2）求证：四边形ADEG是平行四边形．（3）直接回答下面两个问题，不必证明：①当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？②当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？（1）证明：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），（2）∵△BDE≌△BAC，∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（3）①当四边形ADEG是矩形时，∠DAG＝90°．则∠BAC＝360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，即当∠BAC＝135°时，平行四边形ADEG是矩形；②当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．由①知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．∵四边形ABDI是正方形，∴AD＝AB．又∵四边形ACHG是正方形，∴AC＝AG，∴AC＝AB．∴当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．。

初中数学北师大版九年级上学期期末备考压轴题专项习题：反比例函数(含答案)

数学九年级（北师大版）上学期期末备考压轴题专项习题：反比例函数1．如图，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，OA＝10，sin∠AOB＝，反比例函数y＝kx﹣1（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．（1）求反比例函数的表达式；（2）若点F为BC的中点，求△OBF的面积．2．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数的图象于点A（2，﹣4）和点B（n，﹣2），交x轴于点C．（1）求这两个函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）请直接写出使一次函数值大于反比例函数值的x的范围．3．如图，A（4，3）是反比例函数y＝在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x 轴，截取AB＝OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y＝的图象于点P．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）求点B的坐标及OB所在直线解析式；（3）求△OAP的面积．4．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A（﹣6，0）、D（﹣7，3），点B、C在第二象限内．（1）点B的坐标；（2）将正方形ABCD以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B、D两点的对应点B'、D'正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；（3）在（2）的情况下，问是否存在y轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B'、D'四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，直线y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点D，点A为直线y＝x上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，连接BD．（1）若点B的坐标为（8，2），则k＝，点D的坐标为；（2）若AB＝2BC，且△OAC的面积为18，求k的值及△ABD的面积．6．如图，已知反比例函数y＝与一次函数y＝x+b的图象在第一象限相交于点A（1，﹣k+4）．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，过点B作BD⊥y于点D，A（﹣6，0），C（6，0），tan∠ACB ＝2，∠BAC＝45°（1）则AC＝；（2）反比例函数y＝的图象经过点B，求k的值；（3）在线段OD上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标（不用写过程）；若不存在，请说明理由．8．“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”这是我国著名数学家李善兰给出的“（function）函数”翻译，一次函数、二次函数、反比例函数是初中阶段必须掌握的三大初等函数．（1）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数相交于A（1，6），B（n，2）两点，求这两个函数的解析式及由坐标系原点O，A，B围成的三角形的面积；（2）已知实数m，n（m＜n）在二次函数y＝x2+3x﹣4对称轴的同一侧，当m≤x≤n时，y的取值范围为，求出m，n的值；（3）已知直线y＝2tx﹣2和抛物线y＝（t2﹣1）x2﹣1在y轴左边相交于A，B两点，点C是线段AB的中点，经过C，D（﹣2，0）的直线交y轴于点H（0，h），求h取值范围．9．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数y＝的图象上．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）在坐标轴上是否存在一点P，使得以O、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标：若不存在，简述你的理由．10．如图，点A（a，b）是双曲线y＝（x＞0）上的一点，点P是x轴负半轴上的一动点，AC⊥y轴于C点，过A作AD⊥x轴于D点，连接AP交y轴于B点．（1）△P AC的面积是；（2）当a＝2，P点的坐标为（﹣2，0）时，求△ACB的面积；（3）当a＝2，P点的坐标为（x，0）时，设△ACB的面积为S，试求S与x之间的函数关系．11．直线y＝kx+b与反比例函数（x＞0）的图象分别交于点A（m，4）和点B（8，n），与坐标轴分别交于点C和点D．（1）求直线AB的解析式；（2）观察图象，当x＞0时，直接写出的解集；（3）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．12．已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S＝．△OAB（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．13．如图，双曲线y＝（x＞0）经过△AOB的点顶A（2，3），AB∥x轴，OB交双曲线于点C，且OB＝3OC（1）求k的值；（2）连接AC，求点C的坐标和△ABC的面积．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝mx的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，P两点．（1）求m，n的值与点A的坐标；（2）求证：△CPD∽△AEO；（3）求sin∠CDB的值．15．如图，已知一次函数y＝mx﹣4（m≠0）的图象分别交x轴，y轴于A（﹣4，0），B两点，与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第二象限的交点为C（﹣5，n）（1）分别求一次函数和反比例函数的表达式；（2）点P在该反比例函数的图象上，点Q在x轴上，且P，Q两点在直线AB的同侧，若以B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求满足条件的点P和点Q的坐标．参考答案1．解：（1）如图，过点A 作AH ⊥OB 于H ， ∵sin ∠AOB ＝，OA ＝10， ∴AH ＝8，OH ＝6， ∴A 点坐标为（6，8），代入反比例函数y ＝kx ﹣1（k ＞0）可得：k ＝6×8＝48， ∴反比例函数解析式：y ＝；（2）如图，过点F 作FM ⊥x 轴于M ， ∵四边形AOBC 是平行四边形， ∴AO ∥BC ，AO ＝CB ＝10， ∴∠AOB ＝∠FBM ， ∵sin ∠AOB ＝， ∴sin ∠FBM ＝， ∵点F 为BC 的中点， ∴BF ＝5，∵AH ＝8，OH ＝6， ∴FM ＝4，BM ＝3， ∴S △BFM ＝6，∵F 在反比例函数图象上， ∴S △OFM ＝24，∴S △OBF ＝S △OFM ﹣S △BFM ＝18．2．解：（1）把A（2，﹣4）的坐标代入得：，∴4﹣2m＝﹣8，反比例函数的表达式是；把B（n，﹣2）的坐标代入得，解得：n＝4，∴B点坐标为（4，﹣2），把A（2，﹣4）、B（4，﹣2）的坐标代入y＝kx+b得，解得，∴一次函数表达式为y＝x﹣6；（2）当y＝0时，x＝0+6＝6，∴OC＝6，∴△AOB的面积＝×6×4﹣×6×2＝6；（3）由图象知，一次函数值大于反比例函数值的x的范围为0＜x＜2或x＞4．3．解：（1）将点A（4，3）代入y＝（k≠0），得：k＝12，则反比例函数解析式为y＝；（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，则OC＝4、AC＝3，∴OA＝＝5，∵AB∥x轴，且AB＝OA＝5，∴点B的坐标为（9，3）；设OB所在直线解析式为y＝mx（m≠0），将点B（9，3）代入得m＝，∴OB所在直线解析式为y＝x；（3）联立解析式：解得：，可得点P坐标为（6，2），过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，连接AP，则点E坐标为（6，3），∴AE＝2，PE＝1，PD＝2，则△OAP的面积＝×（2+6）×3﹣×6×2﹣×2×1＝5．4．解：（1）如图，过点B、D分别作BH⊥x轴、DG⊥x轴交于点H、G，∵点A（﹣6，0）、D（﹣7，3），∴OA＝6，OG＝7，DG＝3，∴AG＝OG﹣OA＝1，∵∠DAG+∠BAH＝90°，∠DAG+∠GDA＝90°，∴∠GDA＝∠BAH，又∠DGA＝∠AHB＝90°，AD＝AB，∴△DGA≌△AHB（AAS），∴DG＝AH＝3，BH＝AG＝1，∴点B坐标为（﹣3，1）；（2）由（1）知，B（﹣3，1），∵D（﹣7，3）∴运动t秒时，点D'（﹣7+2t，3）、B'（﹣3+2t，1），设反比例函数解析式为y＝，∵点B'，D'在反比例函数图象上，∴k＝（﹣7+2t）×3＝（﹣3+2t）×1，∴，k＝6，∴反比例函数解析式为；（3）存在，理由：由（2）知，点D'（﹣7+2t，3）、B'（﹣3+2t，1），t＝，∴D'（2，3）、B'（6，1），由（2）知，反比例函数解析式为y＝，设点Q（m，），点P（0，s），以P、Q、B'、D'四个点为顶点的四边形是平行四边形，∴①当PQ与B'D'是对角线时，∴（0+m）＝（2+6），（s+）＝（3+1），∴m＝8，s＝，∴Q（8，），P（0，），②当PB'与QD'是对角线时，∴（0+6）＝（2+m），（s+1）＝（+3），∴m＝4，s＝，∴Q（4，），P（0，）．③当PD'与QB'是对角线时，∴（0+2）＝（m+6），（s+3）＝（+1），∴m＝﹣4，s＝﹣，∴Q（﹣4，﹣），P（0，﹣），综上：Q（8，），P（0，）或Q（4，），P（0，）或Q（﹣4，﹣），P（0，﹣）．5．解：（1）把B（8，2）代入y＝得：k＝2×8＝16，∴反比例函数的关系式为y＝，由题意得：解得：，（舍去）∴点D的坐标为（4，4）故答案为：16，（4，4）（2）过点D作DE⊥OC，DF⊥AC，垂足为E、F，如图所示：∵点A在第一象限y＝x上，∴AC＝OC，又∵△OAC的面积为18，∴AC＝OC＝6，∵AB＝2BC，∴AB＝4，BC＝2，∴点B（6，2），代入y＝得，k＝12；设点D（a，a）代入y＝得，a＝（a＞0）∴D （，），即OE ＝DE ＝，∴DF ＝EC ＝OC ﹣OE ＝6﹣，∴△ABD 的面积＝AB •DF ＝×4×（6﹣）＝12﹣；因此k 的值为12，∴△ABD 的面积为12﹣．6．解：（1）∵已知反比例函数y ＝与一次函数y ＝x +b 的图象在第一象限相交于点A （1，﹣k +4）， ∴﹣k +4＝k ，解得k ＝2，故反比例函数的解析式为y ＝，又知A （1，2）在一次函数y ＝x +b 的图象上，故2＝1+b ，解得b ＝1，故一次函数的解析式为y ＝x +1；（2）由题意得：，解得x ＝﹣2或1， ∴B （﹣2，﹣1），令y ＝0，得x +1＝0，解得x ＝﹣1， ∴C （﹣1，0）， ∴S △AOB ＝S △AOC +S △COB ＝×1×2+×1×1 ＝1+ ＝1.5；（3）由图象可知，当一次函数的值大于反比例函数值时，x的取值范围是x＞1或﹣2＜x ＜0．7．解：（1）6﹣（﹣6）＝12．故答案为：12．（2）过点B作BE⊥x轴，如图1所示．设BE＝m，则CE＝＝m，AE＝＝m．∵AE+CE＝12，∴m+m＝12，∴m＝8，∴OE＝OC﹣CE＝6﹣×8＝2．∴点B的坐标为（2，8）．（3）∵点B的坐标为（2，8），BD⊥y于点D，∴点D的坐标为（0，8），∴BD＝2．∵点A的坐标为（﹣6，0），∴OA＝6．设点P的坐标为（0，n）（0＜n＜8），则OP＝n，DP＝8﹣n．∵∠AOP＝∠BDP＝90°，以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似，∴＝或＝，即＝或＝，解得：n＝2或n＝6，∴在线段OD上存在点P（0，2）或（0，6），使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似．8．解：（1）∵A（1，6），B（n，2）在反比例函数的图象上，∴m＝6，∴反比例函数的解析式是y＝，∴2n＝6，解得n＝3，∴B（3，2），∵一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A、B两点．∴，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣2x+8；设直线y＝﹣2x+8与x轴相交于点C，C的坐标是（4，0）．S△AOB ＝S△AOC﹣S△BOC＝OC|y A|﹣OC|y B）＝8；（2）分两种情况讨论：①当m＜n＜﹣，即m、n在对称轴的左侧时，二次函数y的值随x增大而减小，∵，∴方程组中的第一个方程×n得，n3+3n2﹣4n＝12∴（n+2）（n﹣2）（n+3）＝0解得n＝﹣2或2或﹣3，同理由方程组中的第二个方程×m得m＝﹣2或2或3，∵m＜n＜﹣，∴m＝﹣3，n＝﹣2；②当﹣＜m＜n，即m、n在对称轴的右侧时，二次函数y的值随x增大而增大，∵，，方程①×n﹣2×m，得m2n﹣n2m+4（m﹣n）＝0，∴（mn+4）（m﹣n）＝0，∵m﹣n≠0，∴mn+4＝0，m＝﹣，将m＝﹣代入方程②得，n2+3n﹣4＝﹣3n，∴n＝﹣3±∵n＞﹣n＝﹣3+∴m＝﹣3﹣＜﹣，与上述﹣＜m＜n矛盾，∴没有满足的m、n．综上，在对称轴的左侧存在实数m、n，当m≤x≤n时，y的取值范围为，此时m＝﹣3，n＝﹣2；（3）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1、x2是方程2tx﹣2＝（t2﹣1）x2﹣1即（t2﹣1）x2﹣2tx+1＝0，解得x1＝，x2＝，∴x1+x2＝，y1+y2＝2tx1﹣2+2tx2﹣2＝2t（x1+x2）﹣4＝．∵点C是AB的中点，∴点C的坐标为（，）即（，）．设直线DC的解析式为y＝mx+n，则有，解得．∴直线与y轴的交点纵坐标h＝n＝．∵点A、B在y轴的左侧，∴x1＝＜0且x2＝＜0，解得t＜﹣1．设k＝2t2+t﹣1，则有h＝，k＝2（t+）2﹣，∵2＞0，∴当t＜﹣1时k随着t的增大而减小，∴k＞2（﹣1+）2﹣即k＞﹣1，对于h＝，①当﹣1＜k＜0时，h＜﹣4；②当k＞0时，h＞0，∴直线与y轴的交点纵坐标h的取值范围是h＜﹣4或h＞0．9．解：（1）将A（，1）代入y＝，得：1＝，解得：k＝，∴反比例函数的表达式为y＝．（2）∵点A的坐标为（，1），AB⊥x轴于点C，∴OC＝，AC＝1，∴OA＝＝2＝2AC，∴∠AOC＝30°．∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠B＝∠AOC＝30°，∴AB＝2OA＝4，＝AB•OC＝×4×＝2．∴S△AOB（3）在Rt△AOB中，OA＝2，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，∴OB＝＝2．分三种情况考虑：①当OP＝OB时，如图2所示，∵OB＝2，∴OP＝2，∴点P的坐标为（﹣2，0），（2，0），（0，﹣2），（0，2）；②当BP＝BO时，如图3，过点B做BD⊥y轴于点D，则OD＝BC＝AB﹣AC＝3，∵BP＝BO，∴OP＝2OC＝2或OP＝2OD＝6，∴点P的坐标为（2，0），（0，﹣6）；③当PO＝PB时，如图4所示．若点P在x轴上，∵PO＝PB，∠BOP＝60°，∴△BOP为等边三角形，∴OP＝OB＝2，∴点P的坐标为（2，0）；若点P在y轴上，设OP＝a，则PD＝3﹣a，∵PO＝PB，∴PB2＝PD2+BD2，即a2＝（3﹣a）2+12，解得：a＝2，∴点P的坐标为（0，﹣2）．综上所述：在坐标轴上存在一点P，使得以O、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为（﹣2，0），（2，0），（0，﹣2），（0，2），（0，﹣6），（0，﹣2）．10．解：（1）∵点A（a，b）是双曲线y＝（x＞0）上，∴ab＝8，∵AC⊥y轴于C点，AD⊥x轴于D点，∴AC＝a，AD＝b，∴△P AC的面积＝AD•AC＝ab＝4；故答案为：4；（2）∵a＝2，∴b＝4，∴AC＝2，AD＝4，A（2，4），设直线AP的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线AP的解析式为y＝x+2，∴B（0，2），∴S＝AC•BC＝＝2；△ABC（3）同理直线AP的解析式为y＝﹣，∴B（0，﹣），∴BC＝4+＝∴S＝×2×＝．11．解：（1）∵点A（m，4）和点B（8，n）在y＝图象上，∴m＝＝2，n＝＝1，即A（2，4），B（8，1）把A（2，4），B（8，1）两点代入y＝kx+b中得解得：，所以直线AB的解析式为：y＝﹣x+5；（2）由图象可得，当x＞0时，kx+b＞的解集为2＜x＜8．（3）由（1）得直线AB的解析式为y＝﹣x+5，当x＝0时，y＝5，∴C（0，5），∴OC＝5，当y＝0时，x＝10，∴D点坐标为（10，0）∴OD＝10，∴CD＝＝5∵A（2，4），∴AD＝＝4设P点坐标为（a，0），由题可以，点P在点D左侧，则PD＝10﹣a 由∠CDO＝∠ADP可得①当△COD∽△APD时，，∴，解得a＝2，故点P坐标为（2，0）②当△COD∽△P AD时，，∴，解得a＝0，即点P的坐标为（0，0）因此，点P的坐标为（2，0）或（0，0）时，△COD与△ADP相似．12．解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，∵B（5，0），∴OB＝5，∵S＝，△OAB∴×5×AD＝，∴AD＝3，∵OB＝AB，∴AB＝5，在Rt△ADB中，BD＝＝4，∴OD＝OB+BD＝9，∴A（9，3），将点A坐标代入反比例函数y＝中得，m＝9×3＝27，∴反比例函数的解析式为y＝，将点A（9，3），B（5，0）代入直线y＝kx+b中，，∴，∴直线AB的解析式为y＝x﹣；（2）由（1）知，AB＝5，∵△ABP是等腰三角形，∴①当AB＝PB时，∴PB＝5，∴P（0，0）或（10，0），②当AB＝AP时，如图2，由（1）知，BD＝4，易知，点P与点B关于AD对称，∴DP＝BD＝4，∴OP＝5+4+4＝13，∴P（13，0），③当PB＝AP时，设P（a，0），∵A（9，3），B（5，0），∴AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，∴（9﹣a）2+9＝（5﹣a）2∴a＝，∴P（，0），即：满足条件的点P的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（，0）．13．解：（1）把A （2，3）代入y ＝得：k ＝2×3＝6，答：k 的值为：6．（2）过点A 、C 、B 分别作AF ⊥x 轴，CD ⊥x 轴，BE ⊥x 轴，垂足为F 、D 、E ， ∵A （2，3） ∴OF ＝2，AF ＝3，由△OCD ∽△OBE 得：，∴CD ＝1，把y ＝1代入y ＝得：x ＝6， ∴C （6，1）， ∴OE ＝18，∴S △OAB ＝S 梯形OABE ﹣S △OBE ＝（18+16）×3﹣×18×3＝24， ∵OB ＝3OC ， ∴S △ABC ＝S △AOB ＝＝16．答：点C 的坐标为（6，1），△ABC 的面积为16．14．（1）解：将点P（﹣1，2）代入y＝mx，得：2＝﹣m，解得：m＝﹣2，∴正比例函数解析式为y＝﹣2x；将点P（﹣1，2）代入y＝，得：2＝﹣（n﹣3），解得：n＝1，∴反比例函数解析式为y＝﹣．联立正、反比例函数解析式成方程组，得：，解得：，，∴点A的坐标为（1，﹣2）．（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD，∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE．∵AB⊥x轴，∴∠AEO＝∠CPD＝90°，∴△CPD∽△AEO．（3）解：∵点A的坐标为（1，﹣2），∴AE＝2，OE＝1，AO＝＝．∵△CPD∽△AEO，∴∠CDP＝∠AOE，∴sin∠CDB＝sin∠AOE＝＝＝．15．解：（1）∵点A是一次函数y＝mx﹣4的图象上，∴﹣4m﹣4＝0，∴m＝﹣1，∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣4，∵点C（﹣5，n）是直线y＝﹣x﹣4上，∴n＝﹣（﹣5）﹣4＝1，∴C（﹣5，1），∵点C（﹣5，1）是反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝﹣5×1＝﹣5，∴反比例函数的解析式为y＝﹣；（2）由（1）知，C（﹣5，1），直线AB的解析式为y＝﹣x﹣4，∴B（0，﹣4），设点Q（q，0），P（p，﹣），∵以B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，且P，Q两点在直线AB的同侧，∴①当BP与CQ是对角线时，∴BP与CQ互相平分，∴，∴，∴P（﹣1，5），Q（4，0）②当BQ与CP是对角线时，∴BQ与CP互相平分，∴，∴，∴P（﹣1，5），Q（﹣4，0），此时，点C，Q，B，P在同一条线上，不符合题意，舍去，即以B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点P（﹣1，5），点Q（4，0）．。

北师大版九年级数学上学期期末压轴题培优第六章：反比例函数(含答案)

九年级上学期期末压轴题培优：反比例函数1．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象和△ABC都在第一象限内，AB＝AC＝，BC∥x轴，且BC＝4，点A的坐标为（3，5）．（1）若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，求此反比例函数的解析式；（2）若将△ABC向下平移m（m＞0）个单位长度，A，C两点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m的值．解：（1）∵AB＝AC＝，BC＝4，点A（3，5）．∴B（1，），C（5，），若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，则＝，解得，k＝，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）∵点A（3，5）．C（5，），将△ABC向下平移m个单位长度，∴A（3，5﹣m），C（5，﹣m），∵A，C两点同时落在反比例函数图象上，∴3（5﹣m）＝5（﹣m），∴m＝．2．一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝的图象相交于A （﹣1，m ），B （n ，1）两点．（1）求出这个一次函数的表达式；（2）求△OAB 的面积．解：（1）把A （﹣1，m ），B （n ，﹣1）分别代入y ＝得﹣m ＝﹣2，﹣n ＝﹣2，解得m＝2，n ＝2，所以A 点坐标为（﹣1，2），B 点坐标为（2，﹣1），把A （﹣1，2），B （2，﹣1）代入y ＝kx +b 得，解得，所以这个一次函数的表达式为y ＝﹣x +1；（2）设直线AB 交y 轴于P 点，如图，当x ＝0时，y ＝1，所以P 点坐标为（0，1），所以S △OAB ＝S △AOP +S △BOP ＝×1×1+×1×2＝．3．如图所示，已知双曲线y＝（k＞0，x＞0）的图象上有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），且x1＜x2，分别过P1，P2向x轴作垂线，垂足为B，D，过P1，P2向y轴作垂线，垂足分别为A，C．（1）若记四边形AP1BO和四边形CP2DO的面积分别为S1，S2，试比较S1和S2的大小．（2）若记四边形AP1BO和四边形CP2DO的周长分别为C1和C2，试比较C1，C2的大小．（3）若P是双曲线y＝（k＞0，x＞0）上一点，分别过P向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M，N．试问当P在何处时四边形PMON的周长最小，最小值为多少？解：（1）根据反比例函数系数k的几何意义可知S1＝S2＝k；（2）∵C1＝2OB+2AO＝2BO+2CO+2AC，C2＝2CO+2OD＝2CO+2OB+2BD，∴当y1﹣y2＝x2﹣x1，即AC＝BD时，C1＝C2；当y1﹣y2＜x2﹣x1，即AC＜BD时，C1＜C2；当y1﹣y2＞x2﹣x1，即AC＞BD时，C1＞C2．（3）设P（x，y），即（x，），四边形PMON的周长＝2（x+y）＝2（x+），因为面积相等的四边形中正方形的周长最小，所以x＝，即x2＝k，解得x＝，故P点坐标为（，）．∴最小值为4．4．如图，在平面直角坐标系中，过点M （0，2）的直线l 与x 轴平行，且直线l 分别与反比例函数y ＝（x ＞0）和y ＝（x ＜0）的图象分别交于点P ，Q ．（1）求P 点的坐标；（2）若△POQ 的面积为9，求k 的值．解：（1）∵PQ ∥x 轴， ∴点P 的纵坐标为2，把y ＝2代入y ＝得x ＝3， ∴P 点坐标为（3，2）；（2）∵S △POQ ＝S △OMQ +S △OMP ，∴|k |+×|6|＝9， ∴|k |＝12，而k ＜0， ∴k ＝﹣12．5．如图，四边形OABC是矩形，A、C分别在y轴、x轴上，且OA＝6cm，OC＝8cm，点P 从点A开始以2cm/s的速度向B运动，点Q从点B开始以1cm/s的速度向C运动，设运动时间为t．（1）如图（1），当t为何值时，△BPQ的面积为4cm2？（2）当t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？（3）如图（2），在运动过程中的某一时刻，反比例函数y＝的图象恰好同时经过P、Q 两点，求这个反比例函数的解析式．解：（1）由题意AB＝OC＝8cm，AO＝BC＝6cm，∠B＝90°，∵P A＝2t，BQ＝t，∴PB＝8﹣2t，∵△BPQ的面积为4cm2，∴•（8﹣2t）•t＝4，解得t＝2，∴t＝2s时，△PBQ的面积为4．（2）①当△BPQ∽△BAC时，＝，∴＝，解得t＝．②当△BPQ∽△BCA时，＝，∴＝，解得t＝，∴t为s或s时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．（3）由题意P（2t，6），Q（8，6﹣t），∵反比例函数y＝的图象恰好同时经过P、Q两点，∴12t＝8（6﹣t），解得t＝，∴P（，6），∴m＝，∴反比例函数的解析式为y＝．6．如图1，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（1，m）都在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．（1）直接写出m和k的值；（2）如图2，将线段AB向右平移n个单位长度（n≥0），得到对应线段CD，连接AC，BD．①在平移过程中，若反比例函数图象与线段AB有交点，求n的取值范围；②在平移过程中，连接BC，若△BCD是直角三角形，请直接写出所有满足条件n的值．解：（1）∵点A（0，4）在直线y＝﹣2x+b上，∴﹣2×0+b＝4，∴b＝4，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+4，将点B（1，m）代入直线AB的解析式y＝﹣2x+4中，得﹣2×1+4＝m，∴b＝2，∴B（1，2），将B（1，2）在反比例函数解析式y＝（x＞0）中，得k＝xy＝1×2＝2；（2）①∵将线段AB向右平移n个单位长度，∴A（n，4），把A（n，4）代入y＝中，得，4＝，∴n＝，∴在平移过程中，若反比例函数图象与线段AB有交点，n的取值范围为0≤n≤；②∵将线段AB向右平移n个单位长度（n≥0），得到对应线段CD，∴AB∥CD，∴∠CDB≠90°，当∠CBD＝90°时，△BCD是直角三角形，∴CB⊥BC，∴C（1，4），∴n＝1；当∠BCD＝90°，△BCD是直角三角形，则C（n，4），D（n+1，2），∵BC2+CD2＝BD2，∴（n﹣1）2+（4﹣2）2+12+（4﹣2）2＝n2，解得：n＝5，综上所述，若△BCD是直角三角形，n的值为1或5．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与图数y＝的限象交于A（﹣2，a），B两点．（1）求a，k的值；（2）已知点P（0，n），过点P作平行于x轴的直线l，交函数y＝的图象于点C（x1，y1），交直线y＝﹣x+1的图象于点D（x2，y2），若|x1|≤|x2|，结合函数图象，请求出m的取值范围．解：（1）∵直线y＝﹣x+1与函数y＝的图象交于A（﹣2，a），把A（﹣2，a）代入y＝﹣x+1解得a＝3，∴A（﹣2，3）．把A（﹣2，3）代入y＝，解得k＝﹣6；（2）画出函数图象如图解得或，∵A （﹣2，3）， ∴B （3，﹣2），根据图象可得：若|x 1|≤|x 2|，则m ≥3或﹣2≤m ＜0．8．如图，在直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的DC 边在x 轴上，D 点坐标为（﹣6，0）边AB 、AD 的长分别为3、8，E 是BC 的中点，反比例函数y ＝的图象经过点E ，与AD 边交于点F ．（1）求k 的值及经过A 、E 两点的一次函数的表达式；（2）若x 轴上有一点P ，使PE +PF 的值最小，试求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，连接EF 、PE 、PF ，在直线AE 上找一点Q ，使得S △QEF ＝S △PEF 直接写出符合条件的Q 点坐标．解：（1）在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝8， ∴CD ＝AB ＝3，BC ＝AD ＝8， ∵D （﹣6，0），∴A （﹣6，8），C （﹣3，0），B （﹣3，8）， ∵E 是BC 的中点， ∴E （﹣3，4），∵点D 在反比例函数y ＝的图象上， ∴k ＝﹣3×4＝﹣12，设经过A 、E 两点的一次函数的表达式为y ＝k 'x +b ，∴，∴，∴经过A 、E 两点的一次函数的表达式为y ＝﹣x ；（2）如图1，由（1）知，k ＝﹣12，∴反比例函数的解析式为y ＝﹣，∵点F 的横坐标为﹣6， ∴点F 的纵坐标为2， ∴F （﹣6，2），作点F 关于x 轴的对称点F '，则F '（﹣6，﹣2），连接EF '交x 轴于P ，此时，PE +PF 的值最小， ∵E （﹣3，4），∴直线EF '的解析式为y ＝2x +10，令y ＝0，则2x +10＝0， ∴x ＝﹣5， ∴P （﹣5，0）；（3）如图2，由（2）知，F '（﹣6，﹣2）， ∵E （﹣3，4），F （﹣6，2），∴S △PEF ＝S △EFF '﹣S △PFF '＝×（2+2）×（﹣3+6）﹣（2+2）×（﹣5+6）＝4， ∵E （﹣3，4），F （﹣6，2），∴直线EF 的解析式为y ＝x +6，由（1）知，经过A 、E 两点的一次函数的表达式为y ＝﹣x ，设点Q （m ，﹣m ），过点Q 作y 轴的平行线交EF 于G ，∴G （m ， m +6），∴QG ＝|﹣m ﹣m ﹣6|＝|2m +6|， ∵S △QEF ＝S △PEF ，∴S △QEF ＝|2m +6|×（﹣3+6）＝4，∴m ＝﹣或m ＝﹣，∴Q （﹣，）或（﹣，）．9．如图，直线y ＝2x +6与反比例数y ＝（x ＞0）的图象交于点A （1，m ），与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ．（1）求m 的值和反比例函数的表达式；（2）在y 轴上有一动点P （0，n ）（n ＜6），过点P 作平行于x 轴的直线，交反比例函数的图象于点M ，交直线AB 于点N ，连接OM ，MN①当n ＝4时，判断四边形BOMN 的形状，并简要写出证明思路； ②若S △BDM ＞S △BOD ，直接写出点P 的纵坐标n 的取值范围．解：（1）当x＝1时，m＝2x+6＝8，∴点A的坐标为（1，8）．∵点A（1，8）在反比例数y＝的图象上，∴k＝1×8＝8，∴反比例函数的解析式为y＝．（2）①四边形BOMN为平行四边形．证明：当y＝0时，2x+6＝0，解得：x＝﹣3，∴点A的坐标为（﹣3，0），OB＝3；当y＝4时，2x+6＝4，＝4，解得：x＝﹣1，x＝2，∴点M的坐标为（2，4），点N的坐标为（﹣1，4），∴MN＝2﹣（﹣1）＝3，∴MN＝OB．∵MN∥x轴，OB在x轴上，∴MN∥OB，∴四边形BOMN为平行四边形．②过点O作直线l∥AB，交反比例数y＝（x＞0）的图象于点M．∵直线AB的解析式为y＝2x+6，∴直线l的解析式为y＝2x．联立直线l 和反比例函数解析式成方程组，得：，解得：，（舍去），∴点M 的坐标为（2，4）；同理，可求出直线y ＝2x +12与反比例函数y ＝的图象交点M 3（﹣3﹣，6﹣2）（舍去），M 4（﹣3+，6+2）（舍去）．∵S △BDM ＞S △BOD ， ∴0＜n ＜4．10．小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温y （℃）与开机时间x （分）满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温y （℃）与开机时间x （分）成反比例关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）当0≤x≤10时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；（2）求图中t的值；（3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步57分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？解：（1）当0≤x≤10时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y＝kx+b，依据题意，得，解得：，故此函数解析式为：y＝8x+20；（2）在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y＝，依据题意，得：100＝，即m＝1000，故y＝，当y＝20时，20＝，解得：t＝50；（3）∵57﹣50＝7≤10，∴当x＝7时，y＝8×7+20＝76，答：小明散步57分钟回到家时，饮水机内的温度约为76℃．11．如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点B，与x轴，y轴交于点D，E，BC⊥x轴于C，BA⊥y轴于A，＝，△ABE 的面积为24．（1）点E的坐标是（0，﹣2）；（2）求一次函数和反比例函数的表达式；（3）以BC为边作菱形CBMN，顶点M在点B左侧的一次函数y＝kx﹣2的图象上，判断边MN与反比例函数y＝（x＜0）的图象是否有公共点．解：（1）∵一次函数y＝kx﹣2的图象与y轴交于点E，令x＝0，得到y＝﹣2，∴E（0，﹣2），故答案为（0，﹣2）．（2）∵BC⊥x轴于C，BA⊥y轴于A，∴∠BCO＝∠BAO＝∠AOD＝90°，∴四边形ACOB是矩形，∴OC∥AB，OC＝AB，∵＝，∴＝＝＝，∵OE＝2，∴EA＝6，∴OA＝4，＝×AB×6＝24，∵S△ABE∴AB＝8，∴B（﹣8，4），∵点B在y＝上，∴m＝﹣32，把B（﹣8，4）代入y＝kx﹣2得到k＝﹣，∴一次函数的解析式为y ＝﹣x ﹣2，反比例函数的解析式为y ＝﹣．（3）设M （m ，﹣m ﹣2），延长MN 交x 轴于H ．由题意D （﹣，0），∵BC ＝BM ＝4，BD ＝＝，∵BC ∥MH ，∴＝，∴＝，解得m ＝﹣，∴M （﹣，），N （﹣，），对于反比例函数y ＝﹣，当x ＝﹣时，y ＝，∵＜，∴线段MN 与反比例函数的图象有交点．12．如图，已知一次函数y 1＝ax +b 的图象与x 轴、y 轴分别交于点D ，C ，与反比例函数y 2＝的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标是（1，3）、点B 的坐标是（3，m ）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求C 、D 两点的坐标，并求△AOB 的面积；（3）根据图象直接写出：当x 在什么取值范围时，y 1＞y 2？解：（1）把点A （1，3）代入y 2＝， ∴3＝，即k ＝3，故反比例函数的解析式为：y 2＝．把点B 的坐标是（3，m ）代入y 2＝，得：m ＝＝1， ∴点B 的坐标是（3，1）．把A （1，3），B （3，1）代入y 1＝ax +b ，得，解得，故一次函数的解析式为：y 1＝﹣x +4；（2）令x ＝0，则y 1＝4；令y 1＝0，则x ＝4， ∴C （0，4），D （4，0），∴S △AOB ＝S △AOD ﹣S △BOD ＝×4×3﹣×4×1＝4；（3）当x 满足1＜x ＜3时，则y 1＞y 2．13．如图，正比例函数y ＝2x 的图象与反比例函数的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直x 轴于点C ，连结BC ．若△ABC 的面积为2．（1）求k 的值；（2）直接写出：①点A 坐标（1，2）；点B 坐标（﹣1，﹣2）；②当时，x 的取值范围 x ≥1或0＞x ≥﹣1 ；（3）x 轴上是否存在一点D ，使△ABD 为直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA＝OB，∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝2÷2＝1，又∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥x轴于点C，∴△AOC的面积＝|k|，∴|k|＝1，∵k＞0，∴k＝2；（2）①解得，或，∴点A坐标（1，2），点B坐标（﹣1，﹣2），②当时，x的取值范围为x≥1或0＞x≥﹣1；故答案为：（1，2），（﹣1，﹣2），x≥1或0＞x≥﹣1；（3）x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形．∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），①当AD⊥AB时，如图1，设直线AD的关系式为y＝﹣x+b，将A（1，2）代入上式得：b＝，∴直线AD的关系式为y＝﹣x+，令y＝0得：x＝5，∴D（5，0）；②当BD⊥AB时，如图2，设直线BD的关系式为y＝﹣x+b，将B（﹣1，﹣2）代入上式得：b＝﹣，∴直线BD的关系式为y＝﹣x﹣，令y＝0得：x＝﹣5，∴D（﹣5，0）；③当AD⊥BD时，如图3，∵O为线段A的中点，∴OD＝AB＝OA，∵A（1，2），∴OC＝1，AC＝2，由勾股定理得：OA＝＝＝，∴OD＝，∴D（，0）．根据对称性，当D为直角顶点，且D在x轴负半轴时，D（﹣，0）．故x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形，点D的坐标为（5，0）或（﹣5，0）或（，0）或（﹣，0）．14．如图，平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，6），直线y ＝mx﹣2与x轴交于点B（﹣1，0）．（1）求k，m的值．（2）点P是直线y＝﹣2x位于第二象限上的一个动点，过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝mx﹣2于点C，交函数y＝（x＜0）的图象于点D，设P（n，﹣2n）．①当n＝﹣1时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由②当PD≥2PC时，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．解：（1）∵函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，6），∴k＝﹣1×6＝﹣6；将B（﹣1，0）代入y＝mx﹣2，得：0＝﹣m﹣2，解得：m＝﹣2．（2）①PD＝2PC，理由如下：当n＝﹣1时，点P的坐标为（﹣1，2）．当y＝2时，﹣2x﹣2＝2，＝2，解得：x＝﹣2，x＝﹣3，∴点C 的坐标为（﹣2，2），点D 的坐标为（﹣3，2）， ∴PC ＝1，PD ＝2， ∴PD ＝2PC ．②当n ＝﹣3时，点P 的坐标为（﹣3，6）．当y ＝6时，﹣2x ﹣2＝6，＝6，解得：x ＝﹣4，x ＝﹣1，∴点C 的坐标为（﹣4，6），点D 的坐标为（﹣1，6）， ∴PC ＝1，PD ＝2， ∴PD ＝2PC ．∵点P 是直线y ＝﹣2x 位于第二象限上的一个动点， ∴当PD ≥2PC 时，﹣1≤n ＜0或n ≤﹣3．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点C 在y 轴的正半轴上，D 是BC 边上的一点，OC ：CD ＝5：3，DB ＝6．反比例函数y ＝（k ≠0）在第一象限内的图象经过点D ，交AB 于点E ，AE ：BE ＝1：2．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）动点P 在矩形OABC 内，且满足S △P AO ＝S 四边形OABC ． ①若点P 在这个反比例函数的图象上，求点P 的坐标；②若点Q 是平面内一点使得以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形求点Q 的坐标．解：（1）设点B 的坐标为（m ，n ），则点E 的坐标为（m ， n ），点D 的坐标为（m ﹣6，n ）．∵点D ，E 在反比例函数y ＝（k ≠0）的图象上， ∴k ＝mn ＝（m ﹣6）n ， ∴m ＝9．∵OC ：CD ＝5：3， ∴n ：（m ﹣6）＝5：3， ∴n ＝5，∴k ＝mn ＝×9×5＝15，∴反比例函数的表达式为y ＝．（2）∵S △P AO ＝S 四边形OABC ，∴OA •y P ＝OA •OC ，∴y P ＝OC ＝4．①当y ＝4时，＝4，解得：x ＝，∴若点P 在这个反比例函数的图象上，点P 的坐标为（，4）．②由（1）可知：点A 的坐标为（9，0），点B 的坐标为（9，5）， ∵y P ＝4，y A +y B ＝5，∴y P ≠，∴AP ≠BP ，∴AB不能为对角线．设点P的坐标为（t，4）．分AP＝AB和BP＝AB两种情况考虑（如图所示）：（i）当AB＝AP时，（9﹣t）2+（4﹣0）2＝52，解得：t1＝6，t2＝12（舍去），∴点P1的坐标为（6，4）．又∵P1Q1＝AB＝5，∴点Q1的坐标为（6，9）；（ii）当BP＝AB时，（9﹣t）2+（5﹣4）2＝52，解得：t3＝9﹣2，t4＝9+2（舍去），∴点P2的坐标为（9﹣2，4）．又∵P2Q2＝AB＝5，∴点Q2的坐标为（9﹣2，﹣1）．综上所述：点Q的坐标为（6，9）或（9﹣2，﹣1）．16．（1）如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，证明AB∥CD；（2）①如图2，点M，N在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，E，请利用（1）的结果，证明：MN∥EF；②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断MN与EF是否平行（不用写理由）．（1）证明：在图1中，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，过点D 作DQ ⊥AB 于点Q ，则∠CP A ＝∠DQB ＝90°， ∴CP ∥DQ ．∵△ABC 与△ABD 的面积相等， ∴CP ＝DQ ，∴四边形CPQD 为平行四边形， ∴AB ∥CD ．（2）①证明：在图2中，连接FM ，EN ．设点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标为（x 2，y 2）．∵点M ，N 在反比例函数y ＝（k ＞0）的图象上， ∴k ＝x 1y 1＝x 2y 2． ∵ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴，∴OE ＝y 1，OF ＝x 2，ME ＝x 1，NF ＝y 2．∵S △EFM ＝ME •OE ＝x 1y 1＝k ，S △EFN ＝NF •OF ＝x 2y 2＝k ， ∴S △EFM ＝S △EFN ， ∴MN ∥EF ；②解：MN ∥EF ，理由如下：在图3中，连接MN ，FM ，EN ．设点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标为（x 2，y 2）．∵点M ，N 在反比例函数y ＝（k ＞0）的图象上， ∴k ＝x 1y 1＝x 2y 2．∵ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴，∴OE ＝y 1，OF ＝x 2，ME ＝x 1，NF ＝y 2．∵S △EFM ＝ME •OE ＝x 1y 1＝k ，S △EFN ＝NF •OF ＝x 2y 2＝k ， ∴S △EFM ＝S △EFN ， ∴MN ∥EF ；17．如图，正比例函数y 1＝kx 与反比例函数y ＝（x ＞0）交于点A （2，3），AB ⊥x 轴于点B ，平移直线y 1＝kx 使其经过点B ，得到直线y 2，y 2与y 轴交于点C ，与y ＝交于点D ．（1）求正比例函数y 1＝kx 及反比例函数y ＝的解析式；（2）求点D 的坐标；（3）求△ACD 的面积．解：（1）将点A （2，3）分别代入y 1＝kx 、得3＝2k 、，解得k ＝，m ＝6，∴正比例函数及反比例函数的解析式分别为y 1＝x 、；（2）∵y 2由y 1平移得到，所以设y 2＝x +b ，∵AB ⊥x 轴，∴B （2，0），将其代入y 2＝x +b 得b ＝﹣3，∴y 2＝x ﹣3，由题意得：解得：，（舍去），∴点D 坐标为（，）；（3）连接OD ，过点D 作DE ⊥y 轴，垂足为E ，则DE ＝1+，把x ＝0代入y 2＝x ﹣3得，y ＝﹣3， ∴C （0，﹣3） ∵直线y 1∥y 2，∴S △ACD ＝S △OCD ＝OC •DE ＝×3×（）＝．答：△ACD 的面积为．18．已知，矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点B的坐标为（10，8），已知直线AC与双曲线y＝（m≠0）在第一象限内有一交点Q（5，n）．（1）求直线AC和双曲线的解析式；（2）若动点P从A点出发，沿折线AO→OC的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C处停止．求△OPQ的面积S与的运动时间t秒的函数关系式，并求当t取何值时S＝10．解：设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），过A（10，0）、C（0，8），，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+8，又∵Q（5，n）在直线AC上，∴n＝﹣×5+8＝4，又∵双曲线y＝过Q（5，4），∴m＝5×4＝20，∴双曲线的解析式为：y＝；②当0≤t≤5时，OP＝10﹣2t，过Q作QD⊥OA，垂足为D，如图1，∵Q（5，4），∴QD＝4，∴S＝（10﹣2t）×4＝20﹣4t，当S＝10时，20﹣4t＝10解得t＝2.5，当5＜t≤9时，OP＝2t﹣10，过Q作QE⊥OC，垂足为E，如图2∵Q（5，4），∴QE＝5，∴S＝（2t﹣10）×5＝5t﹣25，当S＝10时，5t﹣25＝10，解得t＝7，综上，S＝，当t＝5秒时，△OPQ的面积不存在，∴当t＝2.5秒或t＝7秒时，S＝10．19．如图，一次函数y1＝k1x+2与反比例函数y2＝的图象交于点A（4，m）和B（﹣8，﹣2），与y轴交于点C．（1）k1＝，k2＝16；（2）根据函数图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围是﹣8＜x＜0或x＞4；（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC ：S△ODE＝3：1时，求直线OP的解析式．解：（1）把B（﹣8，﹣2）代入y1＝k1x+2得﹣8k1+2＝﹣2，解得k1＝，∴一次函数解析式为y1＝x+2；把B（﹣8，﹣2）代入y2＝得k2＝﹣8×（﹣2）＝16，∴反比例函数解析式为y2＝，故答案为：，16；（2）∵当y1＞y2时即直线在反比例函数图象的上方时对应的x的取值范围，∴﹣8＜x＜0或x＞4；故答案为：﹣8＜x＜0或x＞4；（3）把A（4，m）代入y2＝得4m＝16，解得m＝4，∴点A的坐标是（4，4），而点C的坐标是（0，2），∴CO＝2，AD＝OD＝4．∴S梯形ODAC＝×（2+4）×4＝12，∵S梯形ODAC ：S△ODE＝3：1，∴S△ODE＝×12＝4，∴OD•DE＝4，∴DE＝2，∴点E的坐标为（4，2）．设直线OP的解析式为y＝kx，把E（4，2）代入得4k＝2，解得k＝，∴直线OP的解析式为y＝x．20．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的等边△OAB的边OB在x轴的负半轴上，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过AB边的中点C，且与OA边交于点D．（1）求k的值；（2）连接OC，CD，求△OCD的面积；（3）若直线y＝mx+n与直线CD平行，且与△OAB的边有交点，直接写出n的取值范围．解：（1）∵等边△OAB，∴AB＝BO＝AO＝4，∠ABO＝∠BOA＝∠OAB＝60°，∵点C是AB的中点，∴BC＝AC＝2，过点C作CM⊥OB，垂足为M，在Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣60°＝30°，BC＝2，∴BM＝1，CM＝，∴OM＝4﹣1＝3，∴点C的坐标为（﹣3，），代入y＝得：k＝﹣3答：k的值为﹣3．（2）过点A作AN⊥OB，垂足为N，由题意得：AN＝2CM＝2，ON＝OB＝2，∴A（﹣2，2），设直线OA的关系式为y＝kx，将A的坐标代入得：k＝﹣，∴直线OA的关系式为：y＝﹣x，31由题意得：，解得：舍去，，∴D（﹣，3）过D 作DE ⊥OB ，垂足为E ，S △OCD ＝S CMED +S △DOE ﹣S △COM ＝S CMED＝（+3）×（3﹣）＝3，答：△OCD 的面积为3．（3）①当与直线CD 平行的直线y ＝mx +n 过点O 时，此时y ＝mx +n 的n ＝0， ②当与直线CD 平行的直线y ＝mx +n 经过点A 时，设直线CD 的关系式为y ＝ax +b ，把C 、D 坐标代入得：，解得：a ＝1，b ＝3+∴直线CD 的关系式为y ＝x+3+， ∵y ＝mx +n 过与直线y ＝x+3+平行， ∴m ＝1，把A （﹣2，2）代入y ＝x +n 得：n ＝2+2因此：0≤n ≤2+2．答：n 的取值范围为：0≤n ≤2+2．。

北师大版九年级数学上学期期末备考压轴题专项习题：特殊的平行四边形(含答案)

期末备考压轴题专项习题：特殊的平行四边形1．已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的任意一点，AE⊥EF，且直线EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）如图1，求证：AE＝EF；（2）如图2，当AB＝2，点E是边BC的中点时，请直接写出FC的长．2．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）判断四边形ACDF的形状；（2）当BC＝2CD时，求证：CF平分∠BCD．3．在菱形A BCD中，∠ABC＝60°，延长BA至点F，延长CB至点E，使BE＝AF，连结CF，EA，AC，延长EA交CF于点G．（1）求证：△ACE≌△CBF；（2）求∠CGE的度数．4．如图，△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．（1）试判断四边形AEDF的形状．（2）当△ABC满足条件时，EF∥BC；当△ABC满足条件时，EF＝AD．5．如图正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点．（1）若∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF；（2）若该正方形ABCD的边长为1，如果△CEF的周长为2．求∠EAF的度数．6．一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中四边形PRBA，RQDC，QPFE为正方形．记正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为S1，S2，S3，RH⊥PQ，垂足为H．（友情提示：正方形的四个内角都等于90度，四边都相等）（1）若PR⊥QR，S1＝16，S2＝9，则S3＝，RH＝；（2）若四边形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为25m2、13m2、36m2①求△PRQ的面积；②请判断△PRQ和△DEQ的面积的数量关系，并证明你的结论；③六边形花坛ABCDEF的面积是m2．7．已知，如图所示，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D 不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H．（1）求证：①△BCG≌△DCE．②BH⊥DE．（2）当BH平分DE时，求GC的长．8．如图，过矩形ABCD的对角线AC的中点O做EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝，∠DCF＝30°，求EF的长．9．已知：如图，在平行四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）当平行四边形ABCD满足条件时，四边形GEHF是菱形；（3）若BD＝2AB，探究四边形GEHF的形状，并说明理由．10．如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结C E，DF．（1）求证：四边形CEDF为平行四边形；（2）若AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，①当AE＝cm时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝cm时，四边形CEDF是菱形．11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝8，AD＝16，BC＝22，∠ABC＝90°，点P 从点A出发，以每秒1单位的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以每秒v单位的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当v＝3时，若以点P，Q和点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形为平行四边形，且线段PQ为平行四边形的一边，求t的值；（2）若以点P，Q和点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形为菱形，且线段PQ为菱形的一条对角线，请直接写出t的值．12．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC垂直平分BD，交BD于点F，延长DC到点E，使得CE＝DC，连接BE．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）填空：①当∠ADC＝°时，四边形ACEB为菱形；②当∠ADC＝90°，BE＝4时，则DE＝．13．如图，在矩形ABCD中，M是BC上一点，EF垂直平分AM，分别交BC，AM，AD于点E，O，F，连接AE，MF．（1）求证：四边形AEMF是菱形；（2）若AB＝6，H为AB的中点，连接OH交AE于点P，OH+OA＝9，求△OPE的周长．14．在菱形ABCD中，P、Q分别是边BC、CD的中点，连接AP、AQ．（1）如图（1），求证：AP＝AQ；（2）如图（2），连接PQ、AC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形．15．如图，四边形ABCD为菱形，∠BCD＝60°，E为对角线AC上一点，且AE＝AB，F 为CE的中点，接DF、BF，BG⊥BF与AC交于点G；（1）若AB＝2，求EF的长；（2）求证：CG﹣EF＝BG．参考答案1．（1）证明：如图1，在AB上截取BM＝BE，连接ME，∵∠B＝90°，∴∠BME＝∠BEM＝45°，∴∠AME＝135°＝∠ECF，∵AB＝BC，BM＝BE，∴AM＝EC，在△AME和△ECF中，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；（2）解：取AB中点M，连接EM，∵AB＝BC，E为BC中点，M为AB中点，∴AM＝CE＝BE，∴∠BME＝∠BME＝45°，∴∠AME＝135°＝∠ECF，∵∠B＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，在△AME和△ECF中，∴△AME≌△ECF（ASA），∴EM＝CF，∵AB＝2，点E是边BC的中点，∴BM＝BE＝1，∴CF＝ME＝．2．（1）解：四边形ACDF是平行四边形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BCD＝∠B＝90°，∴∠F AE＝∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，在△F AE和△CDE中，，∴△F AE≌△CDE（ASA），∴CD＝F A，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形；（2）证明：∵BC＝2CD，AB＝CD，四边形ACDF是平行四边形，∴AF＝CD，BF＝BC，∴△BCF是等腰直角三角形，∴∠BCF＝45°，∴∠DCF＝45°，∴CF平分∠BCD．3．（1）证明：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝∠ABC，∵BE＝AF，∴BE+BC＝AF+AB，即CE＝BF，在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF（SAS）；（2）解：由（1）可知：△ABC是等边三角形，△ACE≌△CBF，∴∠E＝∠F，∵∠BAE＝∠F AG，∴∠E+∠BAE＝∠F+∠F AG，∴∠CGE＝∠ABC，∵∠ABC＝60°，∴∠CGE＝60°．4．解：（1）四边形AEDF是菱形；理由如下：∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠F AD，∴∠ADF＝∠F AD，∴F A＝FD，∴四边形AEDF是菱形；（2）当△ABC满足AB＝AC条件时，EF∥BC；当△ABC满足∠BAC＝90°条件时，EF ＝AD．理由如下：由（1）得：四边形AEDF是菱形，∴AD⊥EF，∵AB＝AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC，∴EF∥BC；当∠ABC＝90°时，四边形AEDF是正方形，∴EF＝AD；故答案为：AB＝AC，∠BAC＝90°．5．（1）证明：如图，延长CD至E'，使DE'＝BE，连接AE'，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CB＝CD，∠BAD＝∠B＝90°，∴∠ADE'＝90°＝∠ABE，在△ADE'和△ABE中，，∴△ADE'≌△ABE（SAS），∴AE'＝AE，∠DAE'＝∠BAE，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠B AE＝45°，∴∠DAF+∠DAE'＝∠E'AF＝45°＝∠EAF，在△E′AF和△EAF中，，∴△E′AF≌△EAF（SAS），∴E′F＝EF，∵E′F＝DE′+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（2）延长CD至E'使DE'＝BE，连接AE'，由（1）知，△ADE'≌△ABE（SAS），∴AE'＝AE，∠DAE'＝BAE，设BE＝x，DF＝y，∵正方形ABCD的边长为1，∴CE＝1﹣x，CF＝1﹣y，∵△CEF的周长为2，∴CE+CF+EF＝2，∴1﹣x+1﹣y+EF＝2，∴EF＝x+y＝BE+DF＝DE'+DF＝E'F，在△E'AF和△EAF中，，∴△E'AF≌△EAF（SSS），∴∠E'AF＝∠EAF，∴∠DAE'+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠EAF，∵∠DAF+∠EAF+∠BAE＝90°，∴∠EAF＝45°．6．解：（1）∵PR⊥QR，∴∠PRQ＝90°，∴PR2+RQ2＝PQ2，∵S1＝16，S2＝9，∴S3＝16+9＝25，∴PR＝4，RQ＝3，PQ＝5，∵RH⊥PQ，∴PR•RQ＝PQ•RH，∴RH＝＝，故答案为：25，2.4；（2）①设PH＝a，则QH＝6﹣a，∵RH2＝PR2﹣PH2＝RQ2﹣HQ2，∴25﹣a2＝13﹣（6﹣a）2，解得：a＝4，∴RH2＝PR2﹣PH2＝25﹣16＝9，∴RH ＝3，∴S △PQR ＝×6×3＝9；②S △PRQ ＝S △DQE ，证明：延长RQ 到点M ，使QM ＝RQ ，连结PM ，∵QD ＝QM ，∠DQE ＝∠MQP ，QE ＝QP∴△DQE ≌△MQP （SAS ），∴S △DQE ＝S △MQP ，∵RQ ＝QM ，∴S △PRQ ＝S △MQP ，∴S △PRQ ＝S △DQE ；③六边形花坛ABCDEF 的面积＝25+13+36+4×9＝74+36＝110m 2．故答案为：110．7．（1）证明：∵正方形ABCD ，∴∠BCD ＝90°，BC ＝CD ，同理：CG ＝CE ，∠GCE ＝90°，∴∠BCD ＝∠GCE ＝90°，，∴△BCG ≌△DCE （SAS ），∴∠GBC＝∠CDE，在Rt△DCE中∠CDE+∠CED＝90°，∴∠GBC+∠BEH＝90°，∴∠BHE＝180°﹣（∠GBC+∠BHE）＝90°，∴BH⊥DE；（2）若BH垂直平分DE，连接BD，∴BD＝BE，∵BD＝，∴CG＝CE＝BE﹣BC＝﹣1．8．解：（1）证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFO＝∠CEO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF＝CE，∴AF＝CF＝CE＝AE，∴四边形AECF是菱形；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝，在Rt△CDF中，cos∠DCF＝，∠DCF＝30°，∴CF＝＝2，∵四边形AECF是菱形，∴CE＝CF＝2．9．（1）证明：连接AC，如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴BD的中点在AC上，∵E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，∴E、F分别为OB、OD的中点，∵G是AD的中点，∴GF为△AOD的中位线，∴GF∥OA，GF＝OA，同理：EH∥OC，EH＝OC，∴EH＝GF，EH∥GF，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）解：当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；理由如下：连接GH，如图2所示：则AG＝BH，AG∥BH，∴四边形ABHG是平行四边形，∴AB∥GH，∵AB⊥BD，∴GH⊥BD，∴GH⊥EF，∴四边形GEHF是菱形；故答案为：AB⊥BD；（3）解：四边形GEHF是矩形；理由如下：由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，∴GH＝AB，∵BD＝2AB，∴AB＝BD＝EF，∴GH＝EF，∴四边形GEHF是矩形．10．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCD＝∠GCD，∵G是CD的中点，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中，∴△CFG≌△EDG（ASA），∴FG＝EG，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）①解：当AE＝7时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AM⊥BC于M，∵∠B＝60°，AB＝6，∴BM＝3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝6，BC＝AD＝10，∵AE＝7，∴DE＝3＝BM，在△MBA和△EDC中，，∴△MBA≌△EDC（SAS），∴∠CED＝∠AMB＝90°，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是矩形，故答案为：7；②当AE＝4时，四边形CEDF是菱形，理由是：∵AD＝10，AE＝4，∴DE＝6，∵CD＝6，∠CDE＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE＝DE，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是菱形，故答案为：4．11．解：（1）∵当P、Q两点与A、B两点构成的四边形是平行四边形时，∵AP∥BQ，∴当AP＝BQ时，四边形APQB为平行四边形．此时，t＝22﹣3t，t＝．当P、Q两点与C、D两点构成的四边形是平行四边形时，∵PD∥QC，∴当PD＝QC时，四边形PQCD为平行四边形．此时，16﹣t＝3t，t＝4，∵线段PQ为平行四边形的一边，故当t＝或4时，线段PQ为平行四边形的一边．（2）当PD＝BQ＝BP时，四边形PBQD能成为菱形．由PD＝BQ，得16﹣t＝22﹣3t，解得t＝3，当t＝3时，PD＝BQ＝13，AP＝AD﹣PD＝16﹣13＝3．在Rt△ABP中，AB＝8，根据勾股定理得，BP═≠13∴四边形PBQD不能成为菱形；如果Q点的速度改变为vcm/s时，能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形，由题意得，，解得，．故点Q的速度为2cm/s时，能够使四边形PBQD在t＝6时为菱形．12．（1）证明：∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BF＝DF，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CD B．∵∠AFB＝∠CFD，∴△AFB≌△CFD（ASA），∴AB＝CD．又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）①当∠ADC＝60°，四边形ACEB为菱形，∵∠ADC＝60°，∴∠BCE＝60°，∴△BCE是等边三角形，∴CE＝BE，∴四边形ACEB为菱形，故答案为：60；②当∠ADC＝90°，BE＝4时，DE＝4，故答案为：4．13．（1）证明：∵EF垂直平分AM，∴AE＝EM，OA＝OM．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠AFO＝∠MEO，在△OF和△MOE中，，∴△AOF≌△MOE（AAS）．∴OF＝OE．∴四边形AEMF是平行四边形．∵AE＝EM．∴四边形AEMF是菱形；（2）解：∵O、H分别为AM、AB的中点，∴BM＝2OH，AM＝2OA，∴AM+BM＝2OA+2OH＝18．设BM＝x，则AM＝18﹣x，在Rt△ABM中，由勾股定理得：62+x2＝（18﹣x）2，解得：x＝8，∴BM＝8，AM＝10．∴OA＝AM＝5，设EM＝m，则BE＝8﹣m，AE＝EM＝m，在Rt△ABE中，由勾股定理得：62+（8﹣m）2＝m2，解得：m＝，∴AE＝EM＝在Rt△AOE中，EO＝＝＝．∵OP∥EM，∴＝＝1，∴AP＝PE，∴OP＝EM＝，∵PE＝AE＝，∴△OPE的周长＝EO+PE+OP＝++＝10．14．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，∵P、Q分别是边BC、CD的中点，∴BP＝CQ，在△ABP和△ADQ中，，∴△ABP≌△ADQ（SAS），∴AP＝AQ，（2）∵AP＝AQ，∴△APQ是等腰三角形，∵BC＝CD，∵P、Q分别是边BC、CD的中点，∴PC＝CQ，∴△PQC是等腰三角形，∵AB＝BC，AD＝CD，∴△ABC，△ACD是等腰三角形，∴图中所有的等腰三角形有△ABC，△APQ，△ACD，△CPQ．15．（1）解：连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD＝∠BCD＝60°，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，∠OAB＝∠BAD＝30°，∴OB＝AB＝1，OA＝OB＝，∴AC＝2OA＝2，∵AE＝AB＝2，∴CE＝AC﹣AE＝2﹣2，∵F为CE的中点，∴EF＝CE＝﹣1；（2）证明：设AB＝2a，同（1）得：OB＝AB＝a，OA＝OB＝a，∴AC＝2OA＝2a，∵AE＝AB＝2a，∴CE＝AC﹣AE＝（2﹣2）a，OE＝AE﹣OA＝（2﹣）a，∵F为CE的中点，∴EF＝CE＝（﹣1）a，∴OF＝OE+EF＝（2﹣）a+（﹣1）a＝a，∴OB＝OF，∵AC⊥BD，∴△BOF是等腰直角三角形，∴∠BFG＝45°，∵BG⊥BF，∴△BFG是等腰直角三角形，∴GF＝BG，∵GF＝CG﹣CF＝CG﹣EF，∴CG﹣EF＝BG．。

1、北师大版初三数学几何压轴题专项训练(探究题)

1、课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD 中，AC平分∠DAB, ∠DAB＝60°, ∠B与∠D互补，求证：AB＋AD＝ 3 AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．（1）特殊情况入手添加条件：“∠B＝∠D”, 如图2，可证AB＋AD＝ 3 AC．（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过Ｃ点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）2、如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE ．⑴求证：CE ＝CF ；⑵在图1中，若G 在AD 上，且∠GCE ＝45°，则GE ＝BE ＋GD 成立吗？为什么？⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ＝12，E 是AB 上一点，且∠DCE ＝45°，BE ＝4，求DE 的长．B C A G D FE图1 图2B CA DE3、（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：△△AEB的度数为；△线段AD，BE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，△ACB=△DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断△AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且△BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．4、（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH 于点O，求证：AE=DH；类比探究：（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；综合运用：（3）在（2）问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积。

2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练1-29 《特殊平行四边形》全章复习与巩固(培优篇)

专题1.29 《特殊平行四边形》全章复习与巩固（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，菱形OABC 的顶点O 与原点重合，点C 在x 轴上，点A 的坐标为（3，4）．将菱形OABC 绕点O 逆时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点B 的坐标为（）A ．（-8，-4）B ．（-9，-4）C ．（-9，-3）D ．（-8，-3） 2．如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将△ABD 沿射线BD 方向平移，得到△EFG ，连接EC 、GC ．则EC +GC 的最小值为（）A ．B ．C ．D ．3．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，0），四边形OABC 是菱形，60AOC ∠=︒，以OB 为边作菱形11OBB C ，使顶点1B 在OC 的延长线上，再以1OB 为边作菱形122OB B C ，使顶点2B 在1OC 的延长线上，再以2OB 为边作菱形233OB B C ，使顶点3B 在2OC 的延长线上，按照此规律继续下去，则2021B 的坐标是（）A ．101130-（，）B ．101132（，）C ．20210-（，）D ．202310113322（-，）4．如图，点H ，F 分别在菱形ABCD 的边AD ，BC 上，点E ，G 分别在BA ，DC 的延长线上，且AE AH CG CF ===．连结EH ，EF ，GF ，GH ，若菱形ABCD 和四边形EFGH 的面积相等，则AH AD的值为（）A ．12 B C D ．15．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝4，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是（）A．4 B ．8 C ．D ．6．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，AD =O 是对角线的交点，过C 作CE BD ⊥于点E ，EC 的延长线与BAD ∠的平分线相交于点H ，AH 与BC 交于点F .给出下列四个结论：∠AF FH =；∠BF BO =；∠AC CH =；∠3BE DE =.其中正确结论有( ).A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，四边形ABCD 是矩形纸片，6AB =，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，折痕为EF ．展平后再过点B 折叠矩形纸片，使点A 落在EF 上的点N ，折痕为BM ，再次展平，连接BN ，MN ，延长MN 交BC 于点G ．有如下结论：∠60ABN ∠=︒；∠3AM =；∠∠BMG是等边三角形；∠EN =∠P 为线段BM 上一动点，H 是线段BN 上的动点，则PN PH+的最小值是）A ．∠∠∠∠B ．∠∠∠∠C ．∠∠∠∠D ．∠∠∠∠∠8．如图，将四边形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠，使得点B 落在CD 上的点M 处，折痕为AP ；再将PCM △，ADM △分别沿PM ，AM 折叠，此时点C ，D 落在AP 上的同一点N 处．下列结论不．正确的是（）A ．M 是CD 的中点B ．MN AP ⊥C ．当四边形APCD 是平行四边形时，AB =D ．AD BC ∥ 9．如图，在∠ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以AC ， BC 为边向外作正方形ACDE 与正方形BCFG ， H 为EG 的中点，连接DH ，FH ．记∠FGH 的面积为S 1，∠CDH 的面积为S 2，若S 1－S 2＝6，则AB 的长为（）A ．B ．C ．D ．10．如图，正方形ABCD 边长为4，点E 是CD 边上一点，且75ABE ∠=︒．P 是对角线BD 上一动点，则12AP BP +的最小值为（）A．4 B ．C D 11．如图，在平面直角坐标系中，正方形纸片ABCD 的顶点A 的坐标为（-1，3），在纸的正方形1111D C B A ，将该纸片以O 为旋转中心进行逆时针旋转，每次旋转45°，则第298次旋转后，点C 和点1B 的坐标分别为（）A ．（-3，-1），（1，0）B ．（-3，-1），（0，-1）C ．（3，1），（0，-1）D ．（3，1），（1，0） 12．如图，将正方形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在AD 边的点P 处（不与点A ，点D 重合），点C 落在G 点处，PG 交DC 于点H ，连接BP ，BH ．BH 交EF 于点M ，连接PM ．下列结论：∠PB 平分∠APG ；∠PH =AP +CH ；∠BM ，∠若BE =53，AP =1，则S 四边形BEPM =113，其中正确结论的序号是（）A ．∠∠∠∠B ．∠∠∠C ．∠∠∠D ．∠∠∠二、填空题 13．如在菱形ABCD 中，2BC =，120C ∠=︒，E 为AB 的中点，P 为对角线BD 上的任意一点，则PA PE +的最小值为__________．14．如图，已知ABC 中，5AB AC ==，8BC =，将ABC 沿射线BC 方向平移m 个单位得到DEF ，顶点A ，B ，C 分别与D ，E ，F 对应，若以A ，D ，E 为顶点的三角形是等腰三角形，则m 的值是___________．15．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，对角线AC 、BD 交于点O ，BD ＝4，点E 为OD 的中点，点F 为AB 上一点，且AF ＝3BF ，点P 为AC 上一动点，连接PE 、PF ，则PF ﹣PE 的最大值为 ___．16．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，点E 在边BC 上，将∠ABE 沿直线AE 翻折180°，得到∠AB ′E ，点B 的对应点是点B ′．若AB ′∠BD ，BE ＝2，则BB ′的长是___．17．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 上一动点，将ABE △沿AE 折叠后得到AFE △，点F 在矩形ABCD 内部，延长AF 交CD 于点G ，3AB =，4=AD ．当点E 是BC 的中点时，线段GC 的长为______；点E 在运动过程中，当∠CFE 的周长最小时，BE 的长为______．18．如图，在等腰Rt ABC 中，CA BA =，90CAB ∠=︒，点M 是AB 上一点，点P 为射线CA （除点C 外）上一个动点，直线PM 交射线CB 于点D ，若1AM =，3BM =，CPD ∆的面积的最小值为________．19．如图，在四边形ABCD 中，AB ∠BC ，AD ∠AC ，AD ＝AC ，∠BAD ＝105°，点E 和点F 分别是AC 和CD 的中点，连接BE ，EF ，BF ，若CD ＝8，则BEF 的面积是_____．20．如图，点E 是矩形ABCD 的边AB 的中点，点P 是边AD 上的动点，沿直线PE 将△APE 对折，点A 落在点F 处. 已知AB =6，AD =4，连结CF 、CE ，当△CEF 恰为直角三角形时，AP 的长度等于___________.21．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，∠EAF ＝45°，∠ECF 的周长为8，则正方形ABCD 的边长为_____．22．如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，1AB =，点D 为AC 边上任意一点，将BCD 沿BD 折叠，点C 的对应点为点E ，当30ADE ∠=︒时，CD 的长为______．23．如图，正方形ABCD 的边长为4，E ，F ，H 分别是边BC ，CD ，AB 上的一点，将正方形ABCD 沿FH 折叠，使点D 恰好落在BC 边的中点E 处，点A 的对应点为点P ，则折痕FH 的长为______．24．图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，若F 是BC 的中点，45EDF ∠=︒，则DE 的长为 _____．三、解答题25．直线443y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，菱形ABCD 如图放置在平面直角坐标系中，其中点D 在x 轴负半轴上，直线y x m =+经过点C ，交x 轴于点E ．(1)请直接写出点C ，点D 的坐标，并求出m 的值；(2)点()0,P t 是线段OB 上的一个动点（点P 不与O 、B 重合），经过点P 且平行于x 轴的直线交AB 于M ，交CE 于.N 当四边形NEDM 是平行四边形时，求点P 的坐标；(3)点()0,P t 是y 轴正半轴上的一个动点，Q 是平面内任意一点，t 为何值时，以点C 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？26．综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为(0,)A a ，点(,0)B b ，且a ．b 满足：4b +=C 与点B 关于y 轴对称，点P ，点E 分别是x 轴，直线AB 上的两个动点．(1)求点C 的坐标；(2)连接PA ，PE ．∠如图1，当点P 在线段BO （不包括B ，O 两个端点）上运动，若APE 为直角三角形，F 为PA 的中点，连接EF ，OF ，试判断EF 与OF 的关系，并说明理由；∠如图2，当点P 在线段OC （不包括O ，C 两个端点）上运动，若APE 为等腰三角形，M 为底边AE 的中点，连接MO ，请直接写出PA 与OM 的数量关系．27．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E 、F 分别在正方形的边CB 、CD 上，连接AF ；取AF 中点M ，EF 的中点N ，连接MD ，MN ．(1)连接AE ，求证：△AEF 是等腰三角形；猜想与发现：(2)在（1）的条件下，请判断MD 、MN 的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：DM、MN的数量关系是___________________________；结论2：DM、MN的位置关系是___________________________；拓展与探究：(3)如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．28．正方形ABCD的边长为6，点E是BC边上一动点，点F是CD边上一动点，过点E作AF的平行线，过点F作AE的平行线，两条线交于点G．(1)如图1，若BE＝DF，求证：四边形AEGF是菱形；(2)如图2，在（1）小题条件下，若∠EAF＝45°，求线段DF的长；(3)如图3，若点F运动到DF＝2的位置，且∠EAF依然保持为45°，求四边形AEGF的面积．参考答案1．A【分析】过点A作AE∠OC于E，设第一次旋转点B的对应点为B1，作B1F∠y轴于F，利用全等三角形的性质求出的坐标，根据循环性规律，得出第2022次旋转结束时，点B的坐标即可．解：过点A作AE∠OC于E，设第一次旋转点B的对应点为B1，作B1F∠y轴于F，∠点A的坐标为（3，4），∠5OA，∠菱形OABC的顶点O与原点重合，∠5AB OA==，AB∠OC，∠点B的坐标为（8，4），延长BA交y轴于H，∠BH∠OF，∠∠BHO=∠B1FO=90°，∠∠BOB1=90°，∠∠BOH+∠FOB1=90°，∠BOH+∠OBH=90°，∠∠FOB1=∠OBH，∠OB1=OB，∠∠OBH∠∠OB1F，∠FB1=OH=4，FO1=BH=8，B1的坐标为（-4，8）；同理可求，第二次旋转点B的坐标为（-8，-4）,第三次旋转点B的坐标为（4，-8）,第四次旋转点B的坐标为（8，4）,四次一循环，∠2022÷4=505……2，故第2022次旋转结束时，点B的坐标（-8，-4）,故选：A．【点拨】本题考查了菱形的性质、勾股定理、点的坐标变换，解题关键是熟练运用相关性质求出变换后点的坐标，发现规律求解．2．B【分析】连接AE ，作点D 关于直线AE 的对称点H ，连接DE ，DH ，EH ，AH ，CH ．由平移和菱形的性质可证明四边形CDEG 为平行四边形，即得出HE CG =，从而可得出EC GC EC HE CH +=+≥，即CH 的长为EC GC +的最小值．最后根据等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质与勾股定理求出CH 的长即可．解：如图，连接AE ，作点D 关于直线AE 的对称点H ，连接DE ，DH ，EH ，AH ，CH ．由平移的性质可知AB EG =，AB EG ．∠四边形ABCD 为菱形，∠AB CD =，AB CD ，1302ADB ABD ABC ∠=∠=∠=︒， ∠CD EG =，∥EG CD ，∠四边形CDEG 为平行四边形，∠GC DE =．由轴对称的性质可知HE DE =，DAE HAE ∠=∠，AH AD =，∠HE CG =，∠EC GC EC HE CH +=+≥，即CH 的长为EC GC +的最小值．∠AB EG =，AB EG ，∠四边形ABGE 为平行四边形，∠AE BG ∥，∠30EAD ADB ∠=∠=︒，∠260HAD EAD ∠=∠=︒，∠ADH 为等边三角形，∠4DH AD CD ===，60ADH ∠=︒，∠2120CDH ADH ∠=∠=︒，∠30HCD ∠=︒，即CDH △为顶角是120°，底角为30°的等腰三角形，结合含30°角的直角三角形和勾股定理即可求224CH === 故选B ．【点拨】本题考查平移的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轴对称变换，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，综合性强，为选择题中的压轴题．正确的作出辅助线是解题关键．3．A【分析】连接AC 、BC 1，分别交OB 、OB 1于点D 、D 1，利用菱形的性质及勾股定理即可得OB 的长，进一步在菱形OBB 1C 1计算出OB 1，过点B 1作B 1M ∠x 轴于M ，利用勾股定理计算出B 1M ，OM ，从而得B 1的坐标，同理可得B 2，B 3，B 4，B 5，B 6，B 7，B 8，B 9，B 10，B 11，B 12，根据循环规律可得B 2021的坐标．解：如图所示，连接AC ，1BC 分别交OB ，1OB 与D 、1D ，∠点A 的坐标为（1，0），∠OA =1，∠四边形OABC 是菱形，∠AOC =60°，∠OC =OA =1，OB =2OD ，∠COD =30°，∠CDO =90°， ∠1122CD OC ==，∠OD ==∠OB =∠∠AOC =60°，∠∠B 1OC 1=90°-60°=30°，∠四边形OBB 1C 1是菱形，11111902C DO OC OB OB OD ∴∠=︒===，，在Rt ∠OC 1D 1中11112C D OC ==，∠132OD ==， ∠OB 1=2OD 1=3，过点B 1作B 1M ∠x 轴于点M ，在Rt ∠OMB 1中，11322OM OB ==∠1B M ==∠13(2B ，同理可得2345927(((27,0)22B B B B ---，，，6788181(,(,(0,22B B B ---，，，91011243729(,(,(729,0)22B B B ，，，12729)2B ，由此可以发现规律“每经过12次作图后点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次1n n OB +=，∠2021÷12=168……5，∠B 2021的纵坐标符号与B 5的相同，则B 2021在y 轴的负半轴上，又2022101120213OB ==∠B 2021的坐标为1011(3,0)-，故选A【点拨】本题考查平面直角坐标系找规律，利用菱形的性质处理条件，掌握循环规律的处理方法是解题的关键．4．D【分析】根据题意先证四边形EFGH 是平行四边形，由平行四边形的性质求出EH ∠AC ，进而由面积关系进行分析即可求解．解：连接HC 、AF 、HF 、AC ，HF 交AC 于O ，连接EG ．∠四边形ABCD 是菱形，∠D =∠B ，AB =CD =AD =BC ，∠AE =AH =CG =CF ，∠DH =BF ，BE =DG ，在∠DHG 和∠BFE 中，DH BF D B BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠DHG ∠∠BFE ，∠HG =EF ，∠DHG =∠BFE，∠BC ∠AD ，∠∠BFE =∠DKF ，∠∠DHG =∠DKG ，∠HG ∠EF ，∠四边形EFGH 是平行四边形．∠AH =CF ，AH ∠CF ，∠四边形AHCF 是平行四边形，∠AC 与HF 互相平分，∠四边形EFGH 是平行四边形，∠HF 与EG 互相平分，∠HF 、AC 、EG 互相平分，相交于点O ，∠AE =AH ，DA =DC ，BE ∠DC ，∠∠EAH =∠D ，∠∠AEH =∠AHE =∠DAC =∠DCA ，∠EH ∠AC ，∠S △AEH =S △EHO =S △AHO =12S △AHC =14S 四边形EFGH =14S 四边形ABCD ， ∠S △AHC =12S 四边形ABCD =S △ADC ，∠AD =AH ， ∠AH AD =1. 故选：D ．【点拨】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，证明EH ∠AC 是解题的关键．5．C【分析】取CD 中点H ，连接AH ，BH ，根据矩形的性质题意得出四边形AECH 是平行四边形，可知AC CE ∥，然后根据三角形中位线的性质得PH CE ∥，得出点P 在AH 上，然后判断BP 的最小值，再求出值即可.解：如图，取CD 中点H ，连接AH ，BH ，设AH 与DE 的交点为O ，∠四边形ABCD 是矩形，∠AB ＝CD ＝8，AD ＝BC ＝4，CD AB ∥，∠点E 是AB 中点，点H 是CD 中点，∠CH ＝AE ＝DH ＝BE ＝4，∠四边形AECH 是平行四边形，∠AH CE ∥，∠点P 是DF 的中点，点H 是CD 的中点，∠PH 是∠CDF 的中位线，∠PH CE ∥，∠点P 在AH 上，∠当BP ∠AH 时，此时点P 与H 重合，BP 有最小值，∠AD ＝DH ＝CH ＝BC ＝4，∠∠DHA＝∠DAH ＝∠CBH ＝∠CHB ＝45°，AH BH ==∠∠AHB ＝90°，∠BP 的最小值为故选：C ．【点拨】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，中位线的性质和定义等，确定点P 的位置是解题的关键．6．C【分析】利用矩形性质及勾股定理，30所对的直角边等于斜边的一半，可知60ABO ∠=︒，进一步可得AOB 为等边三角形，得到1BO BA ==，再利用角平分线的性质可证明1BF BA ==，故∠正确；证明15CHA OAH ∠=∠=︒，即可知∠正确；求出1122DE CD ==，13222BE =-=，即可知∠正确；无法证明F 是AH 中点，故∠错误．解：∠ABCD 为矩形，1AB =，AD =，∠90DAB ∠=︒，30ADB ∠=︒，2BD =，∠AF 平分DAB ∠，∠45FAB AFB ∠=∠=︒，即1BF BA ==，∠30ADB ∠=︒，∠60ABO ∠=︒，∠OA OB =，∠AOB 为等边三角形，∠1BO BA ==，∠BF BO =，故∠正确；∠AOB 为等边三角形，且45FAB ∠=︒，∠15OAH ∠=︒，同理：COD △为等边三角形，∠CE BD ⊥，∠30ECO ∠=︒，∠15CHA ∠=︒，∠15CHA OAH ∠=∠=︒，即AC CH =，故∠正确；∠30ECO ∠=︒，∠30DCE ∠=︒，∠1CD AB ==， ∠1122DE CD ==， ∠2DB =， ∠13222BE =-=， ∠3BE DE =，故∠正确；∠AC CH =，但是无法证明F 是AH 中点，故∠错误；综上所述：正确的有∠∠∠．故选：C ．【点拨】本题考查矩形性质及勾股定理，30所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形，角平分线，三角形外角的定义及性质．解题的关键是熟练掌握以上知识点，证明1BO BA ==， 1BF BA ==；证明15CHA OAH ∠=∠=︒；求出1122DE CD ==，13222BE =-=． 7．C【分析】∠首先根据EF 垂直平分AB ，可得AN =BN ，然后根据折叠的性质，可得AB =BN ，据此判断出∠ABN 为等边三角形，即可判断出∠ABN =60°；∠首先根据∠ABN =60°，∠ABM = ∠NBM ，求出∠ABM =∠NBM =30°，然后在Rt ∠ABM 中，根据AB =6，求出AM 的大小即可；∠求出∠AMB =60°，得到∠BMG =60°，根据AD ∠BC ，求出∠BGM =60°即可；∠根据勾股定理求出EN 即可；∠根据轴对称图形的性质得到AP =PN ，PN +PH =AH ，且当AH ∠BN 时，PN +PH 最小，应用勾股定理，求出AH 的值即可．解：如图，连接AN ，∠EF 垂直平分AB ，∠AN =BN ，根据折叠的性质，可得AB =BN ，∠AN =AB =BN ，∠△ABN 为等边三角形，∠∠ABN =60°，∠PBN =12⨯60°=30°，即结论∠正确； ∠∠ABN =60°，∠ABM =∠NBM ，∠∠ABM =∠NBM =12⨯60°=30°， ∠BM =2AM ，∠AB =6，222AB AM BM +=，∠62+AM 2=（2AM ）2，解得AM =∠不正确；∠∠AMB =90°-∠ABM =60°，∠∠BMG=∠AMB=60°，∠ AD∠BC，∠∠MBG=∠AMB=60°，∠∠BGM=60°，∠BMG是等边三角形；即结论∠正确；∠BN=AB=6，BN=3，∠EN=∠正确；连接AN，∠△ABM与∠NBM关于BM轴对称，∠AP=NP，∠PN+PH=AP+PH，∠当点A、P、H三点共线时，AP+PH=AH，且当AH∠BN时AH有最小值，∠AB=6，∠ABH=60°，∠∠BAH=30°，∠BH=3，∠AH=∠PN＋PH的最小值是∠正确；【点拨】此题考查了矩形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，直角三角形30度角的性质，熟记等边三角形的判定及性质是解题的关键．8．B【分析】由折叠的性质可得DM＝MN，CM＝MN，即M是CD的中点；故∠正确；∠B＝∠AMP，∠DAM＝∠MAP＝∠P AB，∠DMA＝∠AMN，∠CMP＝∠PMN，∠D＝∠ANM，∠C＝∠MNP，由平角的性质可得∠D+∠C＝180°，∠AMP＝90°，可证AD∠BC，由平行线的性质可得∠DAB＝90°，由平行四边形和折叠的性质可得AN＝PN，由直角三角形的性质可得ABMN．解：由折叠的性质可得：DM＝MN，CM＝MN，∠DM＝CM，即M是CD的中点；故A正确；由折叠的性质可得：∠B＝∠AMP，∠DAM＝∠MAP＝∠P AB，∠DMA＝∠AMN，∠CMP ＝∠PMN，∠D＝∠ANM，∠C＝∠MNP，∠∠MNA+∠MNP＝180°，∠∠D+∠C＝180°，∠AD∥BC，故D正确；∠∠B+∠DAB＝180°，∠∠DMN+∠CMN＝180°，∠∠DMA+∠CMP＝90°，∠∠AMP＝90°，∠∠B＝∠AMP＝90°，∠∠DAB＝90°，若MN∠AP，则∠ADM＝∠MNA＝∠C＝90°，则四边形ABCD为矩形及AB∥CD，而题目中无条件证明此结论，故B不正确；∠∠DAB＝90°，∠∠DAM＝∠MAP＝∠P AB＝30°，由折叠的性质可得：AD＝AN，CP＝PN，∠四边形APCD是平行四边形，∠AD＝PC，∠AN＝PN，又∠∠AMP＝90°，AP，∠MN＝12∠∠P AB＝30°，∠B＝90°，AP，∠PB＝12∠PB＝MN∠AB，故C正确；故选：B ．【点拨】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质及直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点并灵活运用这些性质是解题的关键．9．A【分析】连接AD 交EC 于点M ，连接BF 交CG 于点N ，设,AC a BC b ==，分别求出EC ，AD =，DM =，,CG FN ==，)EG a b =+，)HG EH a b ==+，)CH b a =-，分别求得1S ，2S ，由126S S -=得，2224a b +=，由勾股定理可得结论．解：连接AD 交EC 于点M ，连接BF 交CG 于点N ，∠四边形ACDE ，BCFG 是正方形，∠,,,AD EC BF CG AD EC BF CG ⊥⊥==，1122DM AD FN BF ==，，设,AC a BC b ==，∠∠90,=EAC AE AC a =︒=，∠EC ∠AD =，∠1122DM AD ===，同理可证：,CG FN ==， ∠EG EC CG =+，∠)EG a b =+，∠H 为EG 的中点，∠1))2HG EH a b a b ==+=+，∠)CH EH EC b a =-=-， ∠121124FG H ab b S S HG FN ∆+==⋅⋅=，22(124DH ab a S S CH DM ∆-=== 又∠126S S -=，∠22644ab b ab a +--=，整理得，2224a b +=，∠∠90ACB =︒，∠AB ，故选：A ．【点拨】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．10．D【分析】连接AC ，作PG BE ⊥，证明当12AP BP +取最小值时，A ，P ，G 三点共线，且AG BE ⊥，此时最小值为AG ，再利用勾股定理，30所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果．解：连接AC ，作PG BE ⊥∠ABCD 是正方形且边长为4，∠45ABO ∠=︒，AC BD ⊥，AO =∠75ABE ∠=︒，∠30PBG ∠=︒，∠12PG BP =， ∠当12AP BP +取最小值时，A ，P ，G 三点共线，且AG BE ⊥，此时最小值为AG ，∠75ABE ∠=︒，AG BE ⊥，∠15BAG ∠=︒，∠45BAO ∠=︒，∠30PAO ∠=︒，设OP b =，则2AP b =，∠(()222=2b b +，解得：b 设PG a =，则2BP a =，∠BO =∠2a b +=a∠2AG AP PG b a =+=+=故选：D【点拨】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理，30所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是证明当12AP BP +取最小值时，A ，P ，G 三点共线，且AG BE ⊥，此时最小值为AG ．11．C【分析】由该纸片以О为旋转中心进行逆时针旋转，每次旋转45°，可得旋转一周360458︒÷︒=次，由2988372÷=⋅⋅⋅，可得第298次旋转后，实际是将纸片逆时针旋转37周后再转90°，由正方形纸片ABCD 对角线中点位于原点，可求点C （1，-3）由11A B =根据勾股定理，2221111+2OA OB A B ==求出B 1（-1，0），连结OD 与OC ，过D 作ED ∠x 轴于E ，CF ∠y 轴于F ，可证△FOC ∠△EOD （AAS ），可求点D （3，1），与点C 1（0，-1）即可．解：∠该纸片以О为旋转中心进行逆时针旋转，每次旋转45°，∠旋转一周360458︒÷︒=次，∠2988372÷=⋅⋅⋅，∠第298次旋转后，实际是将纸片逆时针旋转37周后再转90°，∠正方形纸片ABCD 对角线中点位于原点，∠点A 与点C 关于点O 成中心对称，∠点A （-1，3），∠点C （1，-3），∠11A B又∠11OA OB =，根据勾股定理，2221111+2OA OB A B ==，∠111OA OB ==，∠B 1（-1，0），连结OD 与OC ，过D 作ED ∠x 轴于E ，CF ∠y 轴于F ，绕点O 逆时针旋转90°后点C 位置转到点D 位置，∠四边形ABCD 为正方形，OD OC =，90FOE COD ∠==︒，∠∠FOC +∠COE =∠COE +∠EOD =90°，∠∠FOC =∠EOD ，在△FOC 和△EOD 中，90FOC EOD CFO DEO OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∠∠FOC ∠∠EOD （AAS ），∠CF =DE =1，OF =OE =3，∠点D （3，1），∠点B 1转到C 1位置，点C 1（0，-1），∠第298次旋转后，点C 和点1B 的坐标分别为（3，1）与（0，-1）．故选：C ．【点拨】本题主要考查坐标与旋转规律问题，涉及了正方形性质、中心对称性质、勾股定理应用、三角形全等判定与性质等知识，熟练掌握正方形旋转性质、中心对称性质、勾股定理应用、三角形全等判定与性质，根据旋转一周8次，确定旋转37周再转90°是解题关键．12．B【分析】根据折叠的性质，90EPG EBC ∠∠==，EB EP =，从而得到EPB EBP ∠=∠，根据直角三角形两锐角互余，得到APB BPG ∠=∠，即可判定∠；过点B 作BQ ∠PH ，利用全等三角形的判定与性质，得到CH QH =，AP PQ =，即可判定∠；通过证明BMP 为等腰直角三角形，即可判定∠；根据BEP BMP BEPM S S S =+△△四边形求得对应三角形的面积，即可判定∠．解：由题意可得：90EPG EBC ∠∠==，EB EP =，∠90EPG EPB BPG ∠∠∠=+=，EPB EBP ∠=∠，∠90EBP BPG ∠∠+=，由题意可得：1801809090EBP APB A ∠∠∠+=-=-=，∠APB BPG ∠=∠，∠PB 平分∠APG ；∠正确；过点B 作BQ ∠PH ，如下图：∠90BQP A ∠∠==在APB 和QPB 中，A BQP APB QPB BP BP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠(AAS)APB QPB ≌∠AP PQ AB BQ ==，∠四边形ABCD 为正方形∠AB BC BQ ==，又∠BH BH=∠Rt Rt (HL)BCH BQH ≌，∠CH QH =∠PH PQ QH AP CH =+=+，∠正确；由折叠的性质可得：EF 是PB 的中垂线，∠PM BM =由题意可得：BAP BQP ≌，BCH BQH △≌△，∠,ABP PBQ CBH QBH ∠∠∠∠==， ∠1452PBQ QBH ABP CBH ABC ∠∠∠∠∠+=+==， ∠45PBM ∠=，∠45BPM PBM ∠∠==，∠BMP 为等腰直角三角形，∠222BM PM BP +=，即222BM BP =，∠BM ，∠正确；若BE =53，AP =1，则53PE BE ==，在Rt APE 中，222AE AP PE +=∠43AE ==，3AB AE BE ，∠PB =∠BM BP == 21110223BEP BMP BEPM S S S BE AP BM =+=⨯⨯+⨯=△△四边形，∠错误，故选B ，【点拨】此题考查了正方形与折叠问题，涉及了折叠的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性比较性，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．13【分析】连接AC ，CE ，则CE 的长即为AP +PE 的最小值，再根据菱形ABCD 中，120BCD ∠=︒得出∠ABC 的度数，进而判断出∠ABC 是等边三角形，故∠BCE是直角三角形，根据勾股定理即可得出CE 的长．解：连接AC ，CE ，∠四边形ABCD 是菱形，∠A 、C 关于直线BD 对称，∠CE 的长即为AP +PE 的最小值，∠120BCD ∠=︒，∠60ABC ∠=︒，∠∠ABC 是等边三角形，∠E 是AB 的中点，∠CE AB ⊥，112122BE BC ==⨯=∠CE ==【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟知菱形的性质及两点之间线段最短是解答此题的关键．14．258或5或8 【分析】∠ADE 是等腰三角形，所以可以分3种情况讨论：∠当AD ＝AE 时，∠ADE 是等腰三角形．作AM ∠BC ，垂足为M ，利用勾股定理列方程可得结论；∠当AD ＝DE 时，四边形ABED 是菱形，可得m ＝5；∠当AE ＝DE 时，此时C 与E 重合，m ＝8．解：分3种情况讨论：∠当AD ＝AE 时，如图1，过A作AM∠BC于M，∠AB＝AC＝5，BM＝12BC＝4，∠AM＝3，由平移性质可得AD＝BE＝m，∠AE＝m，EM＝4−m，在Rt∠AEM中，由勾股定理得：AE2＝AM2＋EM2，∠m2＝32＋（4−m）2，m＝258，∠当DE＝AD时，如图2，由平移的性质得AB DE∥，AB DE，∠四边形ABED是菱形，∠AD＝BE＝ED＝AB＝5，即m＝5；∠当AC＝DE时，如图3，此时C与E重合，m＝8；综上所述：当m＝258或5或8时，∠ADE是等腰三角形．故答案为：258或5或8．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、平移的性质，解题的关键是分三种情况求出BE的长；本题属于基础题，难度不大，但在解决该题时，部分同学会落掉两种情况，故在解决该题型题目时，全面考虑等腰三角形的三种情况是关键．15．1【分析】取OB中点E'，连接PE'，作射线FE'交AC于点P'．则PE＝PE'，当P与P'重合，P'、E'、F三点在同一直线上时，PF﹣PE'有最大值，即为FE'的长．解：如图，取OB中点E'，连接PE'，作射线FE'交AC于点P'．则PE＝PE'，∠PF﹣PE＝PF﹣PE'≤FE'，当P与P'重合，P'、E'、F三点在同一直线上时，PF﹣PE'有最大值，即为FE'的长，∠在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∠∠ABD＝60°，∠DAB＝60°，∠∠ABD为等边三角形．∠AB＝BD＝AD＝4．∠OD＝OB＝2．∠点E'为OB的中点，E'B＝1，AF＝3BF，∠BF1AB＝1，4∠∠ABD＝60°，∠∠BE'F为等边三角形，∠E'F＝FB＝1．故PF﹣PE的最大值为1．故答案为：1．【点拨】本题考查了轴对称﹣最大值问题、菱形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练运用轴对称的性质和三角形三边关系是解题的关键．16．【分析】根据菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°可知∠ABD 是等边三角形，结合三线合一可得∠BAB '＝30°，求出∠ABB '＝75°，可得∠EB 'B ＝∠EBB '＝45°，则∠BEB '是直角三角形，借助勾股定理求出BB '的长即可．解：∠菱形ABCD ，∠AB ＝AD ，AD //BC ，∠∠BAD ＝60°，∠∠ABC ＝120°，∠AB ′∠BD ，∠∠BAB '1302BAD =∠=︒， ∠将∠ABE 沿直线AE 翻折180°，得到∠AB ′E ，∠BE ＝B 'E ，AB ＝AB '，∠∠ABB '()118030752=⨯︒-︒=︒， ∠∠EBB '＝∠ABE ﹣∠ABB '＝120°﹣75°＝45°，∠∠EB 'B ＝∠EBB '＝45°，∠∠BEB '＝90°，在Rt∠BEB '中，由勾股定理得：BB '==故答案为：．【点拨】本题考查了翻折的性质、菱形的性质、等腰三角形的性质、以及勾股定理等知识，明确翻折前后对应线段相等是解题的关键．17． 43##113 32 【分析】连接GE ，根据点E 是BC 的中点以及翻折的性质可以求出BE ＝EF ＝EC ，然后利用“HL ”证明GFE 和GCE 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证FG ＝CG ，设GC ＝x ，表示出AG 、DG ，然后在Rt ADG 中，利用勾股定理列式进行计算即可得解；先判断出EF AC ⊥时，GEF △的周长最小，最后用勾股定理即可得出结论．解：∠如图，连接GE ，∠E 是BC 的中点，∠BE ＝EC ，∠ABE △沿AE 折叠后得到AFE △，∠BE ＝EF ，∠EF ＝EC ，∠在矩形ABCD 中，∠∠C ＝90°，∠∠EFG ＝90°，∠在Rt GFE 和Rt GCE 中，EG EG EF EC =⎧⎨=⎩∠()GFE GCE HL ≌△△， ∠GF ＝GC ；设GC x =，则3AG x =+，3DG x =-，在Rt ADG 中，2224(3)(3)x x +-=+，解得x ＝43，即43GC =； ∠如图：由折叠知，∠AFE ＝∠B ＝90°，EF ＝BE ，∠4EF CE BE CE BC AD +=+===，∠当CF 最小时，CEF △的周长最小，∠CF AC AF ≥-，∠当点A ，F ，C 在同一条直线上时，CF 最小，由折叠知，AF ＝AB ＝3，在Rt ABC 中，AB ＝3，BC ＝AD ＝4，∠AC ＝5，∠2CF AC AF =-=，在Rt CEF 中，222EF CF CE +=，∠222(4)BE CF BE +=-，∠2222(4)BE BE +=-， ∠3=2BE ．【点拨】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题．18．6【分析】设点M 是PD 的中点，过点M 作直线P D ''与射线CA 、CB 分别交于点,P D ''，得到当点M 是PD 的中点时，CPD △的面积最小，再根据直角三角形的性质及三角形的面积公式求解即可．解：设点M 是PD 的中点，过点M 作直线P D ''与射线CA 、CB 分别交于点,P D ''，则点M 不是P D ''的中点当MD MP ''>时，在MD '上截取ME MP '=，连接DEPMP DME'∠=∠()PMP DME SAS '∴≅=P CD PCD P CDE S S S '''∴>四边形当MD MP ''<时，同理可得P CD PCD S S ''>∴当点M 是PD 的中点时，CPD △的面积最小如图，作DH AB ⊥于H则DHM PAM ≌,90,AM MH DHM PAM AP DH ∴=∠=∠=︒=90BHD =∴∠︒1AM =，3BM =1AM MH ∴==2BH ∴=在等腰Rt ABC △中，314CA BA ==+=45B C ∴∠=︒=∠45B BDH ∴∠=∠=︒2BH DH AP ∴===426CP AC AP ∴=+=+=过点D 作DK PC ⊥交于K∴四边形AKDH 是矩形2DK AH AM HM ∴==+=1162622CDP S CP DK ∴=⋅=⨯⨯= 故答案为：6 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．19．【分析】过点E作EH∠BF于H，利用三角形的中位线定理以及直角三角形斜边中线定理证明∠BFE是顶角为120°的等腰三角形即可解决问题．解：过点E作EH∠BF于H．∠AD=AC，∠DAC=90°，CD=8，∠AD=AC∠DF=FC，AE=EC，∠EF=1AD，EF//AD，2∠∠FEC=∠DAC=90°，∠∠ABC=90°，AE=EC，∠BE=AE=EC∠EF=BE∠∠BAD=105°，∠DAC=90°，∠∠BAE=105°-90°=15°，∠∠EAB=∠EBA=15° ，∠∠CEB=∠EAB+∠EBA=30°，∠∠FEB=90°+30°=120°，∠∠EFB=∠EBF=30°，∠EH∠BF，EF，FH∠EH=1∠ BF=2FH，S △EFB =11··22BF EH =⨯=故答案为【点拨】本题考查三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．94或1 【分析】分∠CFE =90°和∠CEF =90°两种情况根据矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质求解．解：∠如图，当∠CFE =90°时，∠四边形ABCD 是矩形，点E 是矩形ABCD 的边AB 的中点，AB =6，AD =4，∠∠P AE =∠PFE =∠EBC = 90°，AE =EF =BE =3，∠∠PFE +∠CFE =180°，∠P 、F 、C 三点一线，∠△EFC ∠△EBC ，∠FC =BC =4，EC ，∠FEC =∠BEC ，∠∠PEF +∠FEC =90°，设AP =x ，则PC =x +4，∠2222(4)35x x +=++,解得x =94； ∠如图，当∠CEF =90°∠∠CEB+2∠PEA =90°，∠∠CEB+∠PEA =90°-∠PEA，延长PE、CB，二线交于点G，∠AE=BE，∠P AE=∠GBE =90°，∠AEP=∠BEG，∠△P AE∠△GBE，∠P A=BG，∠AEP=∠BEG，∠∠G =90°-∠GEB= 90°-∠PEA，∠CEB+∠PEA =90°-∠PEA，∠∠G =∠CEB+∠PEA=∠CEB+∠GEB=∠CEG，∠CE=CBC+BG=BC+AP，∠5=4+AP，解得P A=1，故答案为：94或1．【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键．21．4【分析】将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，根据旋转的性质得出∠EAF′=45°，进而得出∠F AE∠∠EAF′，即可得出EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=2BC=8，求出BC即可．解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，由题意可得出：△DAF ∠∠BAF ′，∠DF =BF ′，∠DAF =∠BAF ′，∠∠EAF ′=45°，在△F AE 和△EAF ′中,AF AF FAE EAF AE AE ''=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠∠F AE ∠∠EAF ′（SAS ），∠EF =EF ′，∠∠ECF 的周长为8，∠EF +EC +FC =FC +CE +EF ′=FC +BC +BF ′=DF +FC +BC =2BC =8，∠BC =4，即正方形的边长为4．故答案为：4．【点拨】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△F AE ∠∠EAF ′是解题关键．22．3【分析】根据翻折的性质和已知条件可得点F 和点A 重合，过点D 作DH BC ⊥，DG AB ⊥，垂足分别为H ，G ，得四边形BHDG 是正方形，设DG DH x ==，1x x +=，求出x 的值，进而可以解决问题．解：如图，由折叠可知：30E C ∠=∠=︒，FE FD ∴=，当30ADE ∠=︒时，260BFD E ∠=∠=︒，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，60A ∴∠=︒，∴点F 和点A 重合，如图，过点D 作DH BC ⊥，DG AB ⊥，垂足分别为H ，G ，由折叠可知：45CBD EBD ∠=∠=︒，DG DH ∴=，∴四边形BHDG 是正方形，设DG DH x ==，AG DG ∴==，AB AG BG AG GD x ∴=+=++，1x x +=，解得x =DG ∴=， 30C ∠=︒，CD DH∴==．23故答案为：3．【点拨】本题考查翻折变换，正方形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．23．【分析】过点H作HG∠CD于点G，连接DE，DE交FH于点Q，得到∠HGF=∠HGD=90°，推出∠HFG+∠FHG=90°，根据正方形ABCD中，AD=CD=BC=4，∠A=∠ADC=∠C=90°，得到四边形DAHG中，∠AHG=90°，推出四边形DAHG是矩形，得到GH=AD，GH=CD，根据折叠知，FH∠DE，得到∠DQF=90°，推出∠QFD+∠QDF=90°，得到∠GHF=∠CDE，根据∠HGF=∠C=90°，推出△DCE∠∠HGF(ASA)，得到FH=DE，根据E是BC中点，得到CE=12BC=2，推出DE FH=解：过点H作HG∠CD于点G，连接DE，DE交FH于点Q，则∠HGF=∠HGD=90°，∠∠HFG+∠FHG=90°，∠正方形ABCD中，AD=CD=BC=4，∠A=∠ADC=∠C=90°，∠四边形DAHG中，∠AHG=90°，∠四边形DAHG是矩形，∠GH=AD，∠GH=CD，由折叠知，FH∠DE，∠∠DQF=90°，∠∠QFD+∠QDF=90°，∠∠GHF=∠CDE，∠∠HGF=∠C=90°，∠∠DCE∠∠HGF(ASA)，∠FH=DE，∠E是BC中点，∠CE =12BC=2，∠DE ==，∠FH=故答案为【点拨】本题主要考查了正方形，折叠，矩形，全等三角形，勾股定理．解决问题的关键是熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形．24．【分析】延长BA 到点G ，使AG CF =，连接DG ，EF ，利用SAS 证明ADG CDF ≌，得ADG CDF ∠=∠，DG DF =，再证明()GDE FDE SAS △≌△，得=GE FE ，设AE x =，则6BE x =-，3EF x =+，再利用勾股定理即可解决问题．解：：如图，延长BA 到点G ，使AG CF =，连接DG ，EF ，∠ 四边形ABCD 是正方形，∠AD CD =，90DAG DCF ∠=∠=︒，90ADC BAD ABC ∠=∠=∠=︒，在ADG 和CDF 中，AD CD DAG DCF AG CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()ADG CDF SAS △≌△，∠ADG CDF ∠=∠，DG DF =，∠45EDF ∠=︒，。

北师大版数学九年级上学期期末备考压轴题培优：反比例函数(含答案)

期末备考压轴题培优：反比例函数1．如图，在直角坐标系xOy中，直线y＝mx与双曲线y＝相交于A（﹣1，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1．（1）求m、n的值；（2）求直线AC的解析式．（3）点P在双曲线上，且△POC的面积等于△ABC面积的，求点P的坐标．2．如图，一次函数y＝﹣x+的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，过点A做x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1．（1）求反比例函数的解析式；并直接写出不等式≤﹣+的解集．（2）在x轴上求一点P，使|P A﹣PB|的值最大，并求出其最大值和P点坐标．（3）连接OB，求三角形AOB的面积．3．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A （1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标；（3）直接写出不等式﹣x+3＜的解集．4．已知A（a，﹣2a）、B（﹣2，a）两点是反比例函数y＝与一次函数y＝kx+b图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△ABO的面积；（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．5．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；（1）求反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出﹣x＞的解集；（3）将直线l1：y＝x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y＝在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．6．如图所示，双曲线y＝（x＞0，k＞0）与直线y＝ax+b（a≠0，b为常数）交于A（2，4），B（m，2）两点．（1）求m的值；（2）若C点坐标为（n，0），当AC+BC的值最小时，求出n的值；（3）求△AOB的面积．7．如图，在平面直角坐标系xOy内，点P在直线y＝x上（点P在第一象限），过点P作P A⊥x轴，垂足为点A，且OP＝2．（1）求点P的坐标；＝6，求点Q的坐标；（2）如果点Q在直线OP上，且S△APQ（3）如果点M和点P都在反比例函数y＝（k≠0）图象上，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，如果△MNA和△OAP全等（点M、N、A分别和点O、A、P对应），求点M 的坐标．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过等边三角形BOC 的顶点B，OC＝2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA．（1）求反比例函数y＝（k≠0）的表达式；（2）若四边形ACBO的面积是3，求点A的坐标．9．如图，反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝ax+b的图象相交于点A（1，4）和B（﹣2，n）．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）请根据图象直接写出y1＜y2时，x的取值范围．10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），反比例函数（x＞0）的图象经过点A，动直线x＝t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．（1）求k的值；（2）当t＝4时，求△BMA面积；（3）若MA⊥AB，求t的值．12（1）求A、B两点的坐标和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．12．如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．（1）求a和k的值；（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求E点的坐标；②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是等腰三形，求所有满足条件的m的值．12两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出使一次函数值不大于反比例函数值的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．14．如图，一次函数y＝k1x﹣3（k1＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函y＝（k2＞0）的图象交于C，D两点，作CE⊥y轴，垂足为点E，作DF⊥y轴，垂足为点F，已知CE＝1．（1）①直接写出点C的坐标（用k1来表示）②k2﹣k1＝；（2）若B为AC的中点，求反比例函数的表达式；（3）在（2）的条件下，设点M是x轴负半轴上一点，将线段MF绕点M旋转90°，得到线段MN，当点M滑动时，点N能否在反比例函数的图象上？如果能，求出点N的坐标；如果不能，请说明理由．15．对于一个函数给出如下定义：对于函数y，当a≤x≤b，函数值y满足c≤y≤d，且满足k（b﹣a）＝d﹣c，则称此函数为“k属函数”．例如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3，﹣9≤y≤﹣3，则k（3﹣1）＝﹣3﹣（﹣9），求得：k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3属函数”．（1）反比例函数y＝（1≤x≤5）为“k属函数”，求k的值；（2）若一次函数y＝ax﹣1（1≤x≤5）为“2属函数”，求a的值．16．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数的图象于点A（2，﹣4）和点B（n，﹣2），交x轴于点C．（1）求这两个函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）请直接写出使一次函数值大于反比例函数值的x的范围．17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝k1x（x≥0）与双曲线y＝（x＞0）相交于P （2，4），已知点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，3），连结AB．将Rt△AOB沿OP方向平移，得到△A′PB′，点O与点P是对应点．过点A′作A′C∥y轴交双曲线于点C．（1）求k1、k2的值；（2）求点C的坐标；（3）判断四边形PCA′B′是否为平行四边形，请说明理由．18．探索函数y＝x+（x＞0）的图象和性质．已知正比例函数y＝x与反比例函数y＝在第一象限内的图象如图所示．若P为函数y＝x+（其中x＞0）图象上任意一点，过P作PC垂直于x轴且与已知函数的图象、x轴分别交于点A、B、C，则PC＝x+＝AC+BC，从而发现下述结论：“点P可以看作点A沿竖直方向向上平移BC个长度单位（P A＝BC）而得到”．（1）根据该结论，在图中作出函数y＝x+（x＞0）图象上的一些点，并画出该函数的图象；（2）观察图象，写出函数y＝x+（x＞0）两条不同类型的性质．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点A（﹣1，6），直线y ＝mx﹣2与x轴交于点B（﹣1，0）．（1）求k，m的值；（2）过第二象限的点P（n，﹣2n）作平行于x轴的直线，交直线y＝mx﹣2于点C，交函数的图象于点D．①当n＝﹣1时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由；②若PD≥2PC，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．参考答案1．解：（1）∵直线y＝mx与双曲线y＝相交于A（﹣1，a）、B两点，∴B点横坐标为1，即C（1，0），∵△AOC的面积为1，∴A（﹣1，2），将A（﹣1，2）代入y＝mx，y＝可得m＝﹣2，n＝﹣2；（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，∵y＝kx+b经过点A（﹣1，2）、C（1，0）∴，解得k＝﹣1，b＝1，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+1；（3）∵A（﹣1，2），C（1，0），∴B（1，﹣2），∴S＝×2×2＝2，△ABC∵△POC的面积等于△ABC面积的，＝，∴S△POC＝OC•|y P|，∵S△POC∴＝•|y P|，解得y P＝±1，∴P（﹣2，1）或（2，﹣1）．2．解：（1）∵反比例函数y＝（k＞0）的图象过点A，过A点作x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1，∴|k|＝1，∵k＞0，∴k＝2，故反比例函数的解析式为：y＝，由，解得或，∴A（1，2），B（4，），∴不等式≤﹣+的解集为1≤x≤4或x≤0；（2）一次函数y＝﹣x+的图象与x轴的交点即为P点，此时|P A﹣PB|的值最大，最大值为AB的长．∵A（1，2），B（4，），∴AB＝＝，∴|P A﹣PB|的最大值为；∵一次函数y＝﹣x+，令y＝0，则﹣x+＝0，解得x＝5，∴P点坐标为（5，0）；（3）∵P （5，0），∴OP ＝5，∴S △AOB ＝S △AOP ﹣S △BOP ＝×5×2﹣＝．3．解：（1）把点A （1，a ）代入y ＝﹣x +3，得a ＝2，∴A （1，2）把A （1，2）代入反比例函数y ＝，∴k ＝1×2＝2；∴反比例函数的表达式为y ＝；（2）∵一次函数y ＝﹣x +3的图象与x 轴交于点C ，∴C （3，0），设P （x ，0），∴PC ＝|3﹣x |，∴S △APC ＝|3﹣x |×2＝5，∴x ＝﹣2或x ＝8，∴P 的坐标为（﹣2，0）或（8，0）；（3）解得或，∴B （2，1），由图象可知：不等式﹣x +3＜的解集是0＜x ＜1或x ＞2．4．解：（1）∵A （a ，﹣2a ）、B （﹣2，a ）两点在反比例函数y ＝的图象上， ∴m ＝﹣2a •a ＝﹣2a ，解得a ＝1，m ＝﹣2，∴A （1，﹣2），B （﹣2，1），反比例函数的解析式为y ＝﹣．将点A （1，﹣2）、点B （﹣2，1）代入到y ＝kx +b 中，得：，解得：，∴一次函数的解析式为y ＝﹣x ﹣1．（2）在直线y ＝﹣x ﹣1中，令y ＝0，则﹣x ﹣1＝0，解得x ＝﹣1，∴C （﹣1，0），∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝×1×2+×1＝；（3）观察函数图象，发现：当x ＜﹣2或0＜x ＜1时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，∴不等式kx +b ﹣＞0的解集为x ＜﹣2或0＜x ＜1．5．解：（1）∵直线l 1：y ＝﹣x 经过点A ，A 点的纵坐标是2，∴当y ＝2时，x ＝﹣4，∴A （﹣4，2），∵反比例函数y ＝的图象经过点A ，∴k ＝﹣4×2＝﹣8，∴反比例函数的表达式为y ＝﹣；（2）∵直线l 1：y ＝﹣x 与反比例函数y ＝的图象交于A ，B 两点， ∴B （4，﹣2），∴不等式﹣x ＞的解集为x ＜﹣4或0＜x ＜4；（3）如图，设平移后的直线l 2与x 轴交于点D ，连接AD ，BD ，∵CD ∥AB ，∴△ABC 的面积与△ABD 的面积相等，∵△ABC 的面积为30，∴S △AOD +S △BOD ＝30，即OD （|y A |+|y B |）＝30，∴×OD ×4＝30，∴OD ＝15，∴D（15，0），设平移后的直线l2的函数表达式为y＝﹣x+b，把D（15，0）代入，可得0＝﹣×15+b，解得b＝，∴平移后的直线l2的函数表达式为y＝﹣x+．6．解：（1）把A（2，4）代入y＝（x＞0，k＞0），∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为y＝，把B（m，2）代入y＝得，2＝，解得m＝4；（2）由（1）可知：A（2，4），B（4，2），∴B点关于x轴的对称点B′（4，﹣2），连接AB′，交x轴与C，此时AC+BC＝AB′，AC+BC的值最小，设直线AB′的解析式为y＝mx+t，把A（2，4），B′（4，﹣2）代入得，解得：，∴直线AB′的解析式为y＝﹣3x+10，把（n，0）代入得y＝﹣3n+10，∴n＝；（3）把A（2，4），B（4，2）代入y＝ax+b得，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6，∴直线AB 与x 轴的交点C （6，0），∴S △AOB ＝S △AOC ﹣S △BOC ＝×6×4﹣×6×2＝6．7．解：（1）设AP ＝h ，则OA ＝2h ，由勾股定理得，OP 2＝AP 2+OA 2，即（2）2＝h 2+（2h ）2，解得，h ＝2，∴AP ＝h ＝2，则OA ＝2h ＝4，∴点P 的坐标为（4，2）；（2）设点Q 到AP 的距离为a ，由题意得，×2×a ＝6，解得，a ＝6，∴点Q 的横坐标为4﹣6或4+6，当x ＝4﹣6时，y ＝2﹣3，当x ＝4+6，y ＝2+3，综上所述，点Q 的坐标为（4﹣6，2﹣3）或（4+6，2+3）；（3））∵点P （4，2）在反比例函数y ＝的图象上，∴2＝，解得，k ＝8，∴y ＝，在Rt △P AO 中，∠P AO ＝90°，P A ＝2，AO ＝4，∵∠MNA ＝90°，∴当△MNA 和△APO 全等时，分以下两种情况：①点N 在点A 的左侧时，MN ＝AO ＝4，AN ＝AP ＝2，∴ON ＝OA ﹣AN ＝4﹣2＝2，∴M（2，4），且点M在反比例函数y＝的图象上．②点N在点A的右侧时，AO＝MN＝4，AN＝AP＝2，∴ON＝AN+AO＝4+2＝6．∴M（6，4），但点M不在反比例函数y＝的图象上，综合①②，满足条件的点M的坐标为（2，4）．8．解：（1）作BD⊥OC于D，∵△BOC是等边三角形，∴OB＝OC＝2，OD＝OC＝1，∴BD＝＝，＝OD×BD＝，∴S△OBDS＝|k|，△OBD∴|k|＝，∵反比例函数y＝（k≠0）的图象在一三象限，∴k＝，∴反比例函数的表达式为y＝；＝OC•BD＝＝，（2）∵S△OBC∴S＝3﹣＝2，△AOC＝OC•y A＝2，∵S△AOC∴y A＝2，把y＝2代入y＝，求得x＝，∴点A的坐标为（，2）．9．解：（1）∵反比例函数y1＝的图过点A（1，4），∴4＝，即k＝4，∴反比例函数的解析式为：y1＝，∵反比例函数y1＝的图象过点B（﹣2，n），∴n＝＝﹣2，∴B（﹣2，﹣2），∵一次函数y2＝ax+b的图象过点A（1，4）和点B（﹣2，﹣2），∴，解得：∴一次函数的解析式为：y2＝2x+2；（2）由图象可知：当﹣2＜x＜0或x＞1．10．解：（1）∵反比例函数（x＞0）的图象经过点A，∴1＝，解得k＝8；（2）设直线AB 的解析式为y ＝kx +b ，把点A （8，1），B （0，﹣3）代入得，解得，∴直线AB 的解析式为y ＝x ﹣3，当t ＝4时，则M （4，2），N （4，﹣1），∴MN ＝2﹣（﹣1）＝3，∴S △BMA ＝×3×8＝12；（3）由题意可知M （t ，），∵A （8，1），B （0，﹣3），∴MA 2＝（t ﹣8）2+（﹣1）2，MB 2＝t 2+（+3）2，AB 2＝82+（1+3）2＝80， ∵MA ⊥AB ，∴MB 2＝MA 2+AB 2，即t 2+（+3）2＝（t ﹣8）2+（﹣1）2+80，整理得：2t +＝17，解得t ＝或t ＝8（舍去），故若MA ⊥AB ，t 的值为．11．解：（1）分别把A （1，m ）、B （4，n ）代入y 1＝﹣x +5，得m ＝﹣1+5＝4，n ＝﹣4+5＝1，所以A 点坐标为（1，4），B 点坐标为（4，1），把A （1，4）代入y 2＝，得k ＝1×4＝4，所以反比例函数解析式为y 2＝；（2）如图，设一次函数图象与x 轴交于点C ，当y ＝0时，﹣x +5＝0，解得x ＝5，则C 点坐标为（5，0），所以S △AOB ＝S △AOC ﹣S △BOC＝×5×4﹣×5×1＝7.5．12．解：（1）∵点A（0，8）在直线y＝﹣2x+b上，∴﹣2×0+b＝8，∴b＝8，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，将点B（2，a）代入直线AB的解析式y＝﹣2x+8中，得﹣2×2+8＝a，∴a＝4，∴B（2，4），将B（2，4）代入反比例函数解析式y＝（x＞0）中，得k＝xy＝2×4＝8；（2）①由（1）知，B（2，4），k＝8，∴反比例函数解析式为y＝，当m＝3时，将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，∴D（2+3，4），即D（5，4），∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数y＝的图象于点E，∴E（5，）；②如图，∵将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，∴CD＝AB，AC＝BD＝m，∵A（0，8），B（2，4），∴C（m，8），D（（m+2，4），∵△BCD是以BC为腰的等腰三形，当BC＝CD时，BC＝AB，∴点B在线段AC的垂直平分线上，∴m＝2×2＝4，当BC＝BD时，B（2，4），C（m，8），∴BC＝，∴＝m，∴m＝5，当BD＝AB时，m＝AB＝＝2，综上所述，△BCD是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的m的值为4或5或2．13．解：（1）∵点A（2，4）在反比例函数y2＝的图象上，∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为y2＝．（2）∵点B（﹣4，n）在反比例函数y2＝的图象上，∴n＝＝﹣2，∴点B的坐标为（﹣4，﹣2）．观察函数图象，发现：使一次函数值不大于反比例函数值的x的取值范围为x≤﹣4或0＜x≤2．（3）将点A（2，4）、B（﹣4，﹣2）代入到y1＝ax+b中，得：解得：，∴一次函数的解析式为y＝x+2，令y＝0，求得x＝﹣2，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×2+2×4＝6．14．解：（1）如图1，∵CE⊥y轴于点E且CE＝1，∴C的横坐标为1，当x＝﹣1时，y＝﹣k1﹣3∴C（﹣1，﹣k1﹣3），∵C在反比例函数的图象上，∴﹣1×（﹣k1﹣3）＝k2，∴k2﹣k1＝3；故答案为（﹣1，﹣k1﹣3），3；（2）如图1，∵CE⊥y轴，DF⊥y轴，∴CE∥DF，∵B为AC的中点，∴AB＝BC，∵∠AOB＝∠BEC＝90°，∠ABO＝∠CBE，∴△ABO≌△CBE（AAS），∴AO＝CE＝1，∴A（1，0），当x＝1时，y＝k1+3＝0，∴k1＝3，由（1）得：k2﹣k1＝3，∴k2＝6；∴反比例函数的解析式：y＝；（3）当点M滑动时，点N能在反比例函数的图象上如图2，MF＝MN，∠FMN＝90°过N作NH⊥x轴于H，易得：△MNH≌△FMO，∴FO＝MH，OM＝NH，由（2）知：反比例函数的解析式：y＝；设D（m，），∵tan∠ABO＝＝＝，∴＝，解得：m＝2，m＝﹣1（舍去），∴N（2，3），∴OF＝MH＝3，设M（x，0），∴N（x+3，x），当点N落在反比例函数的图象上时，x（x+3）＝6，x2+3x﹣6＝0，解得x＝（舍去），x＝，∴点N的坐标为（，）．15．解：（1）∵反比例函数y＝中，k＝5＞0，∴y随x的增大而减小，当1≤x≤5时，1≤y≤5，∴k（5﹣1）＝5﹣1，∴k＝1；（2）①a＞0时，对于一次函数y＝ax﹣1，y随x增大而增大，当1≤x≤5时，a﹣1≤y≤5a﹣1，∴k（5﹣1）＝4a，∵k＝2，∴a＝2；②当a＜0时，y随x增大而减小，当1≤x≤5时，a﹣1≤y≤5a﹣1，∴k（5﹣1）＝﹣4a，∵k＝2，∴a＝﹣2．16．解：（1）把A（2，﹣4）的坐标代入得：，∴4﹣2m＝﹣8，反比例函数的表达式是；把B（n，﹣2）的坐标代入得，解得：n＝4，∴B点坐标为（4，﹣2），把A（2，﹣4）、B（4，﹣2）的坐标代入y＝kx+b得，解得，∴一次函数表达式为y＝x﹣6；（2）当y＝0时，x＝0+6＝6，∴OC＝6，∴△AOB的面积＝×6×4﹣×6×2＝6；（3）由图象知，一次函数值大于反比例函数值的x的范围为0＜x＜2或x＞4．17．解：（1）∵直线y＝k1x过点P（2，4），∴4＝2k1，∴k1＝2，∵双曲线y＝（x＞0）过点P（2，4），∴k2＝2×4＝8；（2）由平移知，点O（0，2）向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点P（2，4），∴点A（4，0）也向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点A'（6，4），∵A'C∥y轴，∴点C的横坐标为6，由（1）知，k2＝8，双曲线的解析式为y＝，∵点C在双曲线y＝上，∴y＝＝，∴C（6，）；（3）四边形PCA′B′不是平行四边形，理由：∵B（0，3），∴OB＝3，由平移知，PB'＝OB＝3，PB'∥y轴，∵A'C∥y轴，∴PB'∥A'C，由（2）知，A'（6，4），C（6，），∴A'C＝4﹣＝≠PB'，∴四边形PCA′B′不是平行四边形．18．解：（1）如图所示：（2）函数两条不同类型的性质是：①图象是轴对称图形：②当0＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大；③当x＝1时，函数y＝x+（x＞0）的最小值是2；19．解：（1）∵函数的图象经过点A（﹣1，6），∴k＝﹣6．∵直线y＝mx﹣2与x轴交于点B（﹣1，0），∴m＝﹣2．（2）①判断：PD＝2PC．理由如下：当n＝﹣1时，点P的坐标为（﹣1，2），∵y＝﹣2x﹣2交于于点C，且点P（﹣1，2）作平行于x轴的直线，∴点C的坐标为（﹣2，2），∵函数的图象于点D，且点P（﹣1，2）作平行于x轴的直线，点D的坐标为（﹣3，2）．∴PC＝1，PD＝2．∴PD＝2PC．②当PD＝2PC时，有两种情况，分别为：y＝2，或者y＝6．若PD≥2PC，0＜y≤2，或y≥6即0＜﹣2n≤2，或﹣2n≤6解得﹣1≤n＜0．或n≤﹣3。

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下学期九年级数学上册期末复习压轴题专题训练试题
1.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，D 、E 分别是BC 、BA 的中点，连接DE 并延长至F ，使AF =AE ．(1)证明：四边形ACEF 是平行四边形；(2)若四边形ACEF 是菱形，求∠B 的度数．
2.已知:如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是CD 中点，连接OE.过点C 作CF ∥BD 交线段OE 的延长线于点F ，连接DF.求证: (1)△ODE ≌△FCE;(2)四边形ODFC 是菱形.
3.已知关于x 的方程2(3)(2)0x x p ---=．
（1）求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足22
12
123x x x x +=，求实数p 的值．
4.如图，高高的路灯挂在学校操场旁边上方．王刚同学拿起一根2 m 长的竹竿去
测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地方点A 竖起竹竿(AE)，这时他量了一下竹竿的影长AC 正好是1 m ，他沿着影子的方向走，向远处走出两个竹竿的长度(即4 m )到点B ，他又竖起竹竿(BF 表示)，这时竹竿的影长BD 正好是一根竹竿的长度(即2 m )，此时，王刚同学抬头若有所思地说道：“噢，原来路灯有10 m 高
呀．”你觉得王刚同学的判断对吗？若对，请给出解答，若不对，请说明理由．
5.如图，已知点A(1,a)是反比例函数y=−3
x
的图象上一点，直线y=
−1
2x+1
2
与反比例函数y=−3
x
的图象在第四象限的交点为B．
（1）求直线AB的表达式；
（2）动点P(x,0)在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P的坐标．
6.如图，一次函数y
1＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y
2
＝
m
x
(m≠0，x＜0)的图
象交于点A(－3，1)和点C，与y轴交于点B，△AOB的面积是6；
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)当x＜0时，比较y
1与y
2
的大小．
7.如图，一次函数y
1=kx+b(k≠0)和反比例函数y
2
＝
m
x
(m≠0)的图象交
点A(-1，6)，B(a，-2)
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)根据图象直接写出y
1>y
2
时x的取值范围.
8.如图，已知直线y=1
2
x与双曲线y＝
k
x
(k＞0)交于A，B两点，且点A的横坐
标为4.
(1)求k的值及B点的坐标;
(2)若双曲线y＝k
x
(k＞0)上一点C的横坐标为8，求△AOC的面积.
9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点0，B是CD的中点，连接OE 过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连接DF.
(1)求证:CF＝OD
(2)求证:四边形OCFD是菱形.
10.如图，在平行四边形ABCD中，EF垂直平分AC交BC于E，交AD于F．
（1）求证：四边形AECF 菱形．
（2）若AC CD ⊥．6AB =，10BC =，求四边形AECF 的面积．
11.如图，一次函数y ＝kx+b 与反比例函数y ＝
m
x
的图象交于点A(1，4)，B(4，n)两点.
(1)求反比例函数的表达式;(2)求一次函数的表达式;
(3)点P 是x 轴上的一动点，试确定点P 并求出它的坐标，使PA+PB 最小.
12.如图，四边形 ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90∘，AD =1 cm ，AB =3 cm ，BC =5 cm ，动点 P 从点 B 出发以 1 cm/s 的速度沿 BC 的方向运动，动点 Q 从点 C 出发以 2 cm/s 的速度沿 CD 方向运动，P ，Q 两点同时出发，当 Q 到达点 D 时停止运动，点 P 也随之停止，设运动的时间为 t s (t >0)．
（1）求线段 CD 的长；
（2）t 为何值时，线段 PQ 将四边形 ABCD 的面积分为 1:2 两部分? 13.如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 是BC 上一点，使得AE ⊥DE ；
D
A B
C
E
F
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）若AB=4，AE=BC=5，求CD的长；
（3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由．
14.如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠ADB，BC，AD的延长线相交于点E.求证:
(1)△ACE∽△BDE;
(2) BE.DC=AB.DE
15.如图，一次函数y＝－x＋4的图象与反比例函数y＝k
x
(k为常数，且k≠0)的
图象交于A(1，a)，B两点．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)在x轴上找一点P，使PA＋PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB 的面积．
16.如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AE<BE)，且∠EOF＝90°，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N，连接MN.
(1)求证：OM＝ON；
(2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．
17.如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y＝m
x
与y＝
n
x
(x>0，0<m<n)
的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为4.
(1)当m＝4，n＝20时．
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式；
②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
(2)四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．
18.已知函数y=6
x
−1与函数y=kx交于点A(2,b)、B(−3,m)两点（点A在第一象限），
（1）求b，m，k的值；
（2）函数 y =6
x −1 与 x 轴交于点 C ，求 △ABC 的面积．
19.如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将x 轴所在的直线绕着原点O 逆时针旋转α
度角后的图形．若它与反比例函数y 的图象分别交于第一、三象限的点B 、D ，已知点(,0)A m -、 (,0)C m ．
（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形ABCD 的形状一定是__________．
（2）①当点B 为(,1)p 时，四边形ABCD 是矩形，试求p 和m 的值． ②观察猜想：对①中的m 值，直接写出能使四边形ABCD 为矩形的点B 坐标．（3）试探究四边形ABCD 能不能是菱形？若能，直接写出B 点的坐标，若不能，说明理由．
20.如图，在口ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将△ABE 沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得△CFC (1)求证:BE ＝DG
(2)若∠B ＝60°当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形 ABFC 是菱形?证明你的结论.
21.已知AC ，EC 分别为四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在△ABC 内，∠CAE+∠CBE ＝90°.
(1)如图1，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF
①求证:△CAEC∽△CBF;
②若BE＝1，AE＝2，求CE的长;
(2)如图2，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且AB
BC
=
EF
FC
=k时，若BE＝1,AE
＝2，CE＝3，求K的值.
(3)如图3，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB＝∠GEF＝45°时，设BE ＝m，AE＝n，CE＝p，试探究m,n,p三者之间满足的等量关系.(直接写出结果，不必写出解答过程).
22.如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB＝AC＝BD，点M为BC中点，N 为线段AM上的点，且MB＝MN.
(1)求证：BN平分∠ABE；
(2)若BD＝1，连接DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；
(3)如图②，若点F为AB的中点，连接FN，FM，求证：△MFN∽△BDC.
23.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为(0,3)，点A在x轴的负半轴上，点D，M分别在边AB，OA上，且AD=2DB，AM=2MO，一次函数y=kx+b的图象过点D和M，反比例函数y=m
x
的图象经过点D，与BC的交点为N．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标．
24.如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG.
(1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由;
(2)若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝点P是BD上的一个动点，求PG+PC 的最小值.
25．如图， ABCD在平面直角坐标系中，AD＝6，若OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2－7x＋12＝0的两个根，且OA>OB.
(1)由已知，AB＝_______；(直接写出结果)
(2)若点E为x轴上的点，且S
△AOE ＝
16
3
.
①E点坐标为_____________；(直接写出结果)
②证明：△AOE∽△DAO；
(3)若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A，C，F，M
为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．。