北师大版九年级数学知识点汇总

北师大版九年级数学知识点汇总第一章特殊平行四边形一、平行四边形1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2、性质：（1）平行四边形的对边平行且相等。

（2）平行四边形的对角相等，邻角互补。

（3）平行四边形的对角线互相平分，两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形。

（4）平行四边形是中心对称图形。

3、判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

4、面积：S平行四边形=底ⅹ高二、菱形1、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2、性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质。

（2）菱形的四条边都相等。

（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形。

（4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。

3、判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（3）四条边都相等的四边形是菱形。

4、面积：S菱形=底ⅹ高；S菱形=对角线乘积的一半三、矩形1、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2、性质：（1）矩形具有平行四边形的所有性质。

（2）矩形的四个角都是直角。

（3）矩形的对角线相等且互相平分，两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形。

（4）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（5）矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。

3、判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。

（2）对角线相等的平行四边形是矩形。

（3）有三个角是直角的四边形是矩形。

4、面积：S矩形=底ⅹ高四、正方形1、定义：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

2、性质：（1）正方形具有菱形和矩形的所有性质。

（2）正方形的四条边都相等，四个角都是直角。

（3）正方形的对角线互相垂直平分且相等，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

（4）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形（四条）。

3、判定：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。

（2）对角线互相垂直的矩形是正方形。

正方形=菱形+矩形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形。

（4）对角线相等的菱形是正方形。

4、面积：S 正方形=边长的平方；S 正方形=对角线乘积的一半五、中点四边形1、定义：以四边形四条边的中点为顶点组成的四边形2、中点四边形：一般四边形→平行四边形；平行四边形→平行四边形；菱形→矩形；矩形→菱形；正方形→正方形。

第二章 一元二次方程一、定义：我们把形如2(,,)ax bx c o a b c a o ++=≠为常数，的方程，称为一元二次方程。

其中2ax ，bx ，c 分别称为二次项，一次项和常数项，a ，b 分别称为二次项系数和一次项系数。

二、解一元二次方程的方法1、配方法：移项→二次项系数化为1→配方（方程两边同时加上一次项系数一半的平方）→开平方（有正负两个结果）→求解→写根。

2、公式法：化为一般形式（2ax bx c o ++=）→找出a ，b ，c （记得带上符号）→代入根的判别式（24b ac -）→代入求根公式2b x a -=（240b ac -≥）→求解→写根。

3、因式分解法：当一元二次方程的一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积时可用因式分解法。

（1）提公因式法：0ac bc +=→()0c a b +=（2）公式法：①平方差公式：22()()a b a b a b -=+-②完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=± （3）十字相乘法：2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 三、一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程2()ax bx c o a o ++=≠ （1）当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根。

（2）当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根。

（3）当240b ac -<时，方程没有实数根。

四、一元二次方程根与系数之间的关系（韦达定理）如果方程2()ax bx c o a o ++=≠有两个实数根1x ，2x，那么12b x x a +=-，12cx x a =五、应用一元二次方程（1、几何面积问题；2、销售问题）审题→寻找数量关系和等量关系→设未知数（直接假设和间接假设）→列一元二次方程→解方程→检验→作答。

第三章 概率的进一步认识一、列表法和化树状图法1、列表法：当一次实验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。

2、画树状图法：当一次实验涉及3个或更多因素时，列表就不方便，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法。

二、频率估计概率：一般的，在大量重复实验时，如果事件A 发成的频率mn 稳定于某个常数P ，那么事件A 发生的概率()P A P=第四章 图形的相似一、成比例线段1、定义：四条线段,,,a b c d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a c b d =，那么这四条线段,,,a b c d 叫做成比例线段，简称比例线段。

2、性质：（1）基本性质：如果a cb d =，那么ad bc =； 如果ad bc =(),,,0a b c d 都不等于，那么a cb d =（2）等比性质：如果()==0a cmb d n b d n=+++≠，那么a c m ab d n b +++=+++（3）合比性质：如果a c b d =，那么a b c d bd ++=，a b c d b d --=二、平行线分线段成比例1、定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例2、推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例三、相似多边形1、定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做相似比2、性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方四、相似三角形1、定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形2、判定：（1）两角分别相等的两个三角形相似（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（3）三边成比例的两个三角形相似3、性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方五、黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC ()AC BC>，如果AC BCAB AC=，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，即:0.618:1AC AB≈六、位似图形1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P,'P所在的直线都经过同一点O，且有'OP= ()0k OP k⋅≠，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比3、画图步骤：（1）尺规作图法：①确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数()0k k≠，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为k第五章投影与视图一、投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象，影子所在的平面叫做投影面1、中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影。

如物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影2、平行投影：由平行光线形成的投影叫做平行投影。

如物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影）就是平行投影。

若平行光线与投影面垂直，则这种投影称为正投影二、三视图1、视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图2、三视图概念：（1）主视图：从正面得到的视图叫做主视图，反映物体的长和高（2）左视图：从左面得到的视图叫做左视图，反映物体的长和宽（3）俯视图：从上面得到的视图叫做俯视图，反映物体的高和宽3、三视图特点：（1）主视图和俯视图的长对正（2）主视图和左视图的高平齐（3）左视图和俯视图的宽相等第六章 反比例函数一、定义：一般的，形如()0ky k k x =≠为常数，的函数，叫做反比例函数。

其中x 是自变量，y 是函数。

自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数二、表达式：1、ky x =； 2、1y kx -=； 3、xy k =三、图象与性质1、图象：由两条曲线组成（双曲线）2、性质：3、反比例 函数比例系数k 的几何意义如图，在反比例函数ky x =上任取一点(),P x y ，过这一点分别作x 轴，y 轴的垂线PE ，PF 与坐标轴围成的矩形PEOF 的面积S xy k==函数k图象 所在象限 增减性 k y x =()0k k ≠为常数，0k >第一、 三象限(),x y 同号在同一象限内，y随x 的增大而减小0k <第二、 四象限(),x y 异号在同一象限内，y随x 的增大而增大k越大，函数图象越远离坐标原点4、对称性：（1）中心对称，对称中心是坐标原点（2）轴对称：对称轴为直线y x =和直线y x =-第七章 直角三角形的边角关系一、锐角三角函数在Rt ABC ∆中，90C ︒∠=，则A ∠的三角函数为二、特殊角的三角函数值三角函数 30°45°60°1三、解直角三角形1、直角三角形的边角关系：（1）两锐角关系：90A B ∠+∠=︒（2）三边关系：222a b c +=（勾股定理）（3）边角关系：sin cos a A B c ==，cos sin bA B c ==tan a A b =，tan b B a =2、解直角三角形的类型和解法αsin 212223αcos 232221αtan 333 定 义 表达式取值范围关 系正弦(∠A 为锐角)余弦 (∠A 为锐角) 正切(∠A 为锐角)1tan tan A B =斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin 1sin 0<<A B A cos sin =B A sin cos =1cos sin 22=+A A 斜边的邻边A A ∠=cos c bA =cos 1cos 0<<A 的邻边的对边A tan ∠∠=A A b aA =tan 0tan >A 对边邻边b第八章 二次函数一、概念：一般的，若两个变量x ，y 之间的对应关系可以表示成()2,,,y ax bx c a b c a o =++≠是常数的形式，则称y 是x 的二次函数，其中，x 是自变量， ,,a b c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项二、二次函数图象及其性质1、图像与性质已知条件图形解法已知一直角边和一个锐角(),a A ∠(90,,sin tan a a B A c b b A A ∠=︒-∠===或已知斜边和一个锐角(),c A ∠ (90,sin ,cos B A a c A b c A b ∠=︒-∠===或 已知两直角边(),a btan ,90ac A A B A b ==∠∠=︒-∠由求已知斜边和一条直角边(),c asin ,90ab A A B Ac ==∠∠=︒-∠由求函数()()2,,,0y a x h k a h k a =-+≠为常数()2,,,y ax bx c a b c a o =++≠是常数图象0a >0a < 0a > 0a <性质开口方向 开口向上开口向下开口向上开口向下对称轴直线x h =直线2b x a =-增减性 当x h <时，y 随的x 增大而减小； 当x h >时，y 随x的增大而增大当x h <时，y 随x 的增大而增大； 当x h >时，y 随的x 增大而减小；当2b x a <-时，y 随的x 增大而减小； 当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大； 当2bx a >-时，y 随的x 增大而减小；0a >时，在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大； 0a <时，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小对边 邻边bAC2、抛物线与,,a b c 的关系三、二次函数表达式的确定。