上海交大附中高一下学期期中考试数学试题
2016-2017学年上海市交大附中高一（下）学期期中数学试卷（解析版）
2016-2017学年上海市交⼤附中⾼⼀（下）学期期中数学试卷（解析版）2016-2017学年上海市交⼤附中⾼⼀第⼆学期期中数学试卷⼀、填空题1．已知⾓α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，其终边上有⼀点P （5，﹣12），则sec α＝．2．arccos （?√32）＝．3．已知扇形的圆⼼⾓为2弧度，⾯积为9cm 2，则该扇形的弧长为 cm ． 4．设sin α=35，α∈（π2，π），则tan α的值为．5．函数y =2sin 2(x +π6)的最⼩正周期为．6．若cos x cos y +sin x sin y =13，则cos （2x ﹣2y ）＝． 7．函数y ＝sin x +arcsin x 的值域是．8．关于x 的⽅程cos 2x +sin x +a ＝0在x ∈(0，π2]上有解，则a 的取值范围是． 9．设函数f(x)=(sinx+1)2sin 2x+1的最⼤值为M ，最⼩值为m ，则M +m ＝． 10．已知sin α＝3sin （α+π6），则tan （α+π12）＝．11．已知△ABC ，若存在△A 1B 1C 1，满⾜cosA sinA 1=cosB sinB 1=cosC sinC 1=1，则称△A 1B 1C 1是△ABC 的⼀个“对偶”三⾓形，若等腰△ABC 存在“对偶”三⾓形，则其底⾓的弧度数为．12．已知函数y ＝k cos （kx ）在区间(π4，π3)单调递减，则实数k 的取值范围为．⼆、选择题13．⽅程tan x ＝2的解集为（） A ．{x |x ＝2k π+arctan2，k ∈Z } B ．{x |x ＝2k π±arctan2，k ∈Z }C ．{x |x ＝k π+arctan2，k ∈Z }D ．{x |x ＝k π+（﹣1）k arctan2，k ∈Z }14．已知函数y ＝A sin （ωx +φ）+m （A ＞0，ω＞0）的最⼤值为4，最⼩值为0，最⼩正周期为π2，直线x =π3是其图象的⼀条对称轴，则符合条件的函数解析式是（）A ．y =4sin(4x +π6)B ．y =2sin(2x +π3)+2C ．y =2sin(4x +π3)+2D ．y =2sin(4x +π6)+215．函数y ＝2sin （π62x ），（x ∈[0，π]）为增函数的区间是（） A ．[0，π3]B ．[π12，7π12] C ．[π3，5π6] D ．[5π6，π]16．已知α，β，γ是某三⾓形的三个内⾓，给出下列四组数据：①sin α，sin β，sin γ；②sin 2α，sin 2β，sin 2γ；③cos 2α2，cos 2β2，cos 2γ2；④tan α2，tan β2，tan γ2分别以每组数据作为三条线段的长，其中⼀定能构成三⾓形的有（） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组三、解答题17．设α∈(0，π3)，β∈(π6，π2)，且α，β满⾜{5√3sinα+5cosα=8√2sinβ+√6cosβ=2（1）求cos(α+π6)的值．（2）求cos （α+β）的值．18．如图，等腰三⾓形ABC 中，∠B ＝∠C ，D 在BC 上，∠BAD ⼤⼩为α，∠CAD ⼤⼩为β．（1）若α=π4，β=π3，求BD DC ；（2）若BD DC=12，β=α+π3，求∠B ．19．某景区欲建两条圆形观景步道M 1，M 2（宽度忽略不计），如图所⽰，已知AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝AD ＝60（单位：⽶），要求圆M 与AB ，AD 分别相切于点B ，D ，圆M 2与AC ，AD 分别相切于点C ，D ．（1）若∠BAD =π3，求圆M 1，M 2的半径（结果精确到0.1⽶）（2）若观景步道M 1，M 2的造价分别为每⽶0.8千元与每⽶0.9千元，则当∠BAD 多⼤时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）20．在△ABC中，内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c．已知(√3sinB?cosB)(√3sinC?cosC)=4cos B cos C．（1）求⾓A的⼤⼩；（2）若a＝2，求△ABC⾯积的取值范围；（3）若sin B＝p sin C，试确定实数p的取值范围，使△ABC是锐⾓三⾓形．21．已知集合P是满⾜下述性质的函数f（x）的全体：存在⾮零常数M，对于任意的x∈R，都有f（x+M）＝﹣Mf（x）成⽴．（1）设函数g（x）＝sinπx，试证明：g（x）∈P；（2）当M＝1时，试说明函数f（x）的⼀个性质，并加以证明；（3）若函数h（x）＝sinωx∈P，求实数ω的取值范围．2016-2017学年上海市交⼤附中⾼⼀第⼆学期期中数学试卷参考答案⼀、填空题1．已知⾓α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，其终边上有⼀点P （5，﹣12），则sec α＝135．【分析】利⽤条件直接利⽤任意⾓的三⾓函数的定义求得cos α的值，然后求解sec α．解：由题意可得 x ＝5，y ＝﹣12，r ＝|OP |＝13，∴cos α=x r =513，∴sec α=135．故答案为：135．【点评】本题主要考查任意⾓的三⾓函数的定义，属于基础题．2．arccos （?√32）＝ 5π6．【分析】利⽤arccos(?√32)=π?arccos √32即可得出．解：arccos(?√32)=π?arccos √32=π?π6=5π6．故答案为：5π6．【点评】本题考查了反三⾓函数的性质，属于基础题．3．已知扇形的圆⼼⾓为2弧度，⾯积为9cm 2，则该扇形的弧长为 6 cm ．【分析】利⽤扇形的⾯积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值．解：设扇形的弧长为l ，圆⼼⾓⼤⼩为α（rad ），半径为r ，扇形的⾯积为S ，则：r 2=2S α=2×92=9．解得r ＝3∴扇形的弧长为l ＝r α＝3×2＝6l ＝r α＝3×2＝6cm ．故答案为：6．【点评】本题考查扇形⾯积、扇形的弧长公式的应⽤，考查计算能⼒，属于基础题． 4．设sin α=35，α∈（π2，π），则tan α的值为 ?34 ．【分析】由已知利⽤同⾓三⾓函数基本关系式可求cos α，进⽽可求tan α的值．解：∵sinα=35，α∈（π2，π），∴cosα=?√1?sin2α=?45，∴tanα=sinαcosα=3545=?34．故答案为：?3 4．【点评】本题主要考查了同⾓三⾓函数基本关系式在三⾓函数化简求值中的应⽤，考查了转化思想，属于基础题．5．函数y=2sin2(x+π6)的最⼩正周期为π．【分析】利⽤⼆倍⾓的余弦公式化简函数的解析式，再根据y＝A cos（ωx+φ）的周期等于T=2πω，得出结论．解：函数y=2sin2(x+π6)=2sin2(x+π6)?1+1＝﹣cos（2x+π3）+1 的最⼩正周期为2π2=π，故答案为：π．【点评】本题主要考查三⾓函数的周期性及其求法，⼆倍⾓的余弦公式，利⽤了y＝A cos（ωx+φ）的周期T=2πω，属于基础题．6．若cos x cos y+sin x sin y=13，则cos（2x﹣2y）＝?79．【分析】已知等式左边利⽤两⾓和与差的余弦函数公式化简，求出cos（x﹣y）的值，所求式⼦利⽤⼆倍⾓的余弦函数公式化简后，将cos（x﹣y）的值代⼊计算即可求出值．解：∵cos x cos y+sin x sin y＝cos（x﹣y）=1 3，∴cos（2x﹣2y）＝cos2（x﹣y）＝2cos2（x﹣y）﹣1=?7 9．故答案为：?7 9．【点评】此题考查了两⾓和与差的余弦函数公式，⼆倍⾓的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．7．函数y＝sin x+arcsin x的值域是[﹣sin1?π2，sin1+π2]．【分析】函数y＝sin x+arcsin x的定义域为[﹣1，1]，且在此定义域内单调递增，故当x＝﹣1时，函数有最⼩值，当x＝1时，函数y＝sin x+arcsin x有最⼤值，由此得到函数的值域．解：函数y＝sin x+arcsin x的定义域为[﹣1，1]，且在此定义域内单调递增，故当x ＝﹣1时，函数y ＝sin x +arcsin x 有最⼩值﹣sin1+（?π2）＝﹣sin1?π2．故当x ＝1时，函数y ＝sin x +arcsin x 有最⼤值 sin1+π2，故函数y ＝sin x +arcsin x 的值域是[﹣sin1?π2，sin1+π2]，故答案为[﹣sin1?π2，sin1+π2]．【点评】本题主要考查正弦函数的和反正弦函数的定义域、值域，及其单调性的应⽤，得到函数在其定义域[﹣1，1]内单调递增，是解题的关键，属于中档题．8．关于x 的⽅程cos 2x +sin x +a ＝0在x ∈(0，π2]上有解，则a 的取值范围是 [?54，?1] ．【分析】由题意，x 的⽅程cos 2x +sin x +a ＝0在x ∈(0，π2]上有解，转化为⼆次函数值域的问题．解：由cos 2x +sin x +a ＝0，转化为：1﹣sin 2x +sin x +a ＝0，即（sin x ?12）2=54+a∵x ∈(0，π2]上， sin x ∈（0，1）∴sin x ?12∈（?12，12]则（sin x ?12）2∈[0，14]∴{54+a ≤1454+a ≥0 ∴a 的取值范围是[?54，?1]．故答案为[?54，?1]．【点评】本题主要考查对三⾓函数的化简能⼒和三⾓函数的图象和性质的运⽤，属于中档题． 9．设函数f(x)=(sinx+1)2sin 2x+1的最⼤值为M ，最⼩值为m ，则M +m ＝ 2 ．【分析】通过换元可知y ＝f （x ）＝1+2t t 2+1，其中t ＝sin x ∈[﹣1，1]，利⽤z =2tt 2+1为奇函数可知z max +z min ＝0，进⽽M +m ＝（1+z max ）+（1+z min ）＝2．解：由题可知t ＝sin x ∈[﹣1，1]，则y ＝f （x ）＝1+2tt 2+1，令z =2tt 2+1，则当t ＝0时z ＝0，且函数z 为奇函数，所以z max +z min ＝0，⼜因为M +m ＝（1+z max ）+（1+z min ），所以M +m ＝2+（z max +z min ）＝2，故答案为：2．【点评】本题考查函数的最值及其⼏何意义，考查函数的奇偶性，注意解题⽅法的积累，属于中档题．10．已知sin α＝3sin （α+π6），则tan （α+π12）＝ 2√3?4 ．【分析】利⽤⾓三⾓的基本关系、两⾓和差的三⾓公式求得tan α、tan π12的值，可得tan （α+π12）的值．解：∵sin α＝3sin （α+π6）＝3sin α?√32+3cos α?12，∴tan α=2?33，∴tan π12=tan （π3?π4）=tan π3?tan π41+tan π3?tan π4=√3?11+3=2?√3，∴tan （α+π12）=tanα+tan π121?tanα?tan π12=32?33+(2?√3)1?32?3√3(2√3)=√3)(23√3)2333(23)=2√3?4，故答案为：2√3?4．【点评】本题主要考查两⾓和差的三⾓公式的应⽤，同⾓三⾓的基本关系，属于基础题． 11．已知△ABC ，若存在△A 1B 1C 1，满⾜cosA sinA 1=cosB sinB 1=cosC sinC 1=1，则称△A 1B 1C 1是△ABC 的⼀个“对偶”三⾓形，若等腰△ABC 存在“对偶”三⾓形，则其底⾓的弧度数为3π8．【分析】设等腰△ABC 中A ＝B ，由已知得sin A 1＝sin B 1，cos A ＝sin A 1，cos B ＝sin B 1，cos C ＝sin C 1，则A 1＝B 1，结合同⾓三⾓函数关系进⾏化简求值即可．解：设A ＝B ，由已知得sin A 1＝sin B 1，cos A ＝sin A 1，cos B ＝sin B 1，cos C ＝sin C 1，则A 1＝B 1，所以A +A 1=π2，B +B 1=π2，C +C 1=π2（舍）或A +A 1=π2，B +B 1=π2，C ＝C 1?π2，解得C =π4，A ＝B =π?π42=3π8．故答案是：3π8．【点评】本题主要考查三⾓函数的化简求值，注意新定义运算法则，诱导公式的应⽤，属于中档题．12．已知函数y ＝k cos （kx ）在区间(π4，π3)单调递减，则实数k 的取值范围为 [﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12} ．【分析】对k 的符号进⾏讨论，利⽤符合函数的单调性及余弦函数的单调性列不等式组求出f （x ）的减区间，令区间(π4，π3)为f （x ）单调减区间的⼦集解出k 的范围．解：当k ＞0时，令2m π≤kx ≤π+2m π，解得2mπk≤x ≤πk +2mπk ，m ∈Z ，∵函数y ＝k cos （kx ）在区间(π4，π3)单调递减，∴{π4≥2mπk π3≤πk +2mπk，解得{k ≥8m k ≤3+6m ，m ∈Z ，∴0＜k ≤3或8≤k ≤9．当k ＜0时，令﹣π+2m π≤﹣kx ≤2m π，解得πk ?2mπk≤x ≤?2mπk ，m ∈Z ，∵函数y ＝k cos （kx ）在区间(π4，π3)单调递减，∴{π4≥πk ?2mπk π3≤?2mπk ，解得{k ≤4?8m k ≥?6m ，m ∈Z ，∴﹣6≤k ≤﹣4，或k ＝﹣12，综上，k 的取值范围是[﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12}．故答案为：[﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12}．【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质，分类讨论思想，属于中档题．⼆、选择题13．⽅程tan x ＝2的解集为（） A ．{x |x ＝2k π+arctan2，k ∈Z } B ．{x |x ＝2k π±arctan2，k ∈Z }C ．{x |x ＝k π+arctan2，k ∈Z }D ．{x |x ＝k π+（﹣1）k arctan2，k ∈Z }【分析】根据反三⾓函数的定义及正切函数的周期为k π，即可得到原⽅程的解．解：由tan x ＝2，根据正切函数图象及周期可知： x ＝k π+arctan2．故选：C ．【点评】此题考查学⽣掌握正切函数的图象及周期性，是⼀道基础题．14．已知函数y ＝A sin （ωx +φ）+m （A ＞0，ω＞0）的最⼤值为4，最⼩值为0，最⼩正周期为π2，直线x =π3是其图象的⼀条对称轴，则符合条件的函数解析式是（）A ．y =4sin(4x +π6)B ．y =2sin(2x +π3)+2 C ．y =2sin(4x +π3)+2D ．y =2sin(4x +π6)+2【分析】由题意可得A +m ＝4，A ﹣m ＝0，解得 A 和m 的值，再根据周期求出ω，根据函数图象的对称轴及φ的范围求出φ，从⽽得到符合条件的函数解析式．解：由题意可得A +m ＝4，A ﹣m ＝0，解得 A ＝2，m ＝2．再由最⼩正周期为π2，可得2πω=π2，解得ω＝4，∴函数y ＝A sin （ωx +φ）+m ＝2sin （4x +φ）+2．再由 x =π3是其图象的⼀条对称轴，可得 4×π3+φ＝k π+π2，k ∈Z ，⼜|φ|＜π2，∴φ=π6，故符合条件的函数解析式是 y ＝2sin （4x +π6）+2，故选：D ．【点评】本题主要考查利⽤y ＝A sin （ωx +φ）的图象特征，由函数y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象求解析式，属于中档题．15．函数y ＝2sin （π6?2x ），（x ∈[0，π]）为增函数的区间是（）A ．[0，π3]B ．[π12，7π12] C ．[π3，5π6] D ．[5π6，π]【分析】化简函数y ＝2sin （π62x ），利⽤正弦函数的图象与性质，求出y 在x ∈[0，π]的增区间即可．解：∵y ＝2sin （π6?2x ）＝﹣2sin （2x ?π6），∴只要求y ＝2sin （2x ?π6）的减区间，∵y ＝sin x 的减区间为[2k π+π2，2k π+3π2]，∴令2x ?π6∈[2k π+π2，2k π+3π2]，解得x ∈[k π+π3，k π+5π6]，⼜x ∈[0，π]，∴x ∈[π3，5π6]．故选：C ．【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应⽤问题，是基础题⽬． 16．已知α，β，γ是某三⾓形的三个内⾓，给出下列四组数据：①sin α，sin β，sin γ；②sin 2α，sin 2β，sin 2γ；③cos 2α2，cos 2β2，cos 2γ2；④tan α2，tan β2，tan γ2分别以每组数据作为三条线段的长，其中⼀定能构成三⾓形的有（） A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组【分析】设α，β，γ的对边分别为a ，b ，c ，不妨令α≤β≤γ，则a ≤b ≤c ，则a +b ＞c ，分别判断两个较⼩的边与最⼤边的差是否⼀定⼤于0，可得答案．解：∵α，β，γ是某三⾓形的三个内⾓，设α，β，γ的对边分别为a ，b ，c ，不妨令α≤β≤γ，则a ≤b ≤c ，则a +b ＞c ．则①中，sin α=a2R ，sin β=b2R，sin γ=c 2R ；则a 2R+b 2R＞c 2R，故⼀定能构成三⾓形；②中，sin 2α=a 24r 2，sin 2β=b 24R2，sin 2γ=c 24R 2，由a 24r +b 24R ＞c 24R 仅在a 2+b 2﹣c 2＞0，即cos γ＞0时成⽴，故不⼀定能构成三⾓形．③中，cos 2α2+cos 2β2=cosα+cosβ?cosγ2+12＞0恒成⽴．恒成⽴，故⼀定能构成三⾓形，故③正确．④中，当α＝β＝30°时γ＝120°，tan α2+tan β2tan γ2＜0，故不⼀定能构成三⾓形，故①③正确，故选：B ．【点评】本题考查了构成三⾓形的条件，三⾓函数的图象和性质，是三⾓函数较为综合的考查，难度较⼤，属于难题三、解答题17．设α∈(0，π3)，β∈(π6，π2)，且α，β满⾜{5√3sinα+5cosα=8√2sinβ+√6cosβ=2（1）求cos(α+π6)的值．（2）求cos （α+β）的值．【分析】（1）将等式5√3sin α+5cos α＝8左边提取10，利⽤两⾓和与差的正弦函数公式及特殊⾓的三⾓函数值求出sin （α+π6）的值，由α的范围求出α+π6的范围，利⽤同⾓三⾓函数间的基本关系化简即可求出cos （α+π6）的值；（2）等式√2sin β+√6cos β＝2左边提取2√2，利⽤两⾓和与差的正弦函数公式及特殊⾓的三⾓函数值化简，求出sin （β+π3）的值，由β的范围求出β+π3的范围，利⽤同⾓三⾓函数间的基本关系求出cos （β+π3）的值，将所求式⼦利⽤诱导公式sin （π2+θ）＝cos θ变形，其中的⾓π2+α+β变形为（α+π6）+（β+π3），利⽤两⾓和与差的正弦函数公式化简后，将各⾃的值代⼊即可求出值．解：（1）∵5√3sin α+5cos α＝8，2sin α+12cos α）＝8，即sin （α+π6）=45，∵α∈（0，π3），∴α+π6∈（π6，π2），∴cos （α+π6）=√1?sin 2(α+π6)=35；（2）⼜∵√2sin β+√6cos β＝2，∴2√2（12sin β+√32cos β）＝2，即sin （β+π3）=√22，∵β∈（π6，π2），∴β+π3∈（π2，5π6），∴cos （β+π3）=?√22，∴cos （α+β）＝sin[π+（α+β）]＝sin[（α+π6）+（β+π3）]＝sin （α+π6）cos （β+π3）+cos （α+π6）sin （β+π3） =45×（?√22）+35×√22=?√210．【点评】此题考查了两⾓和与差的正弦函数公式，诱导公式，同⾓三⾓函数间的基本关系，熟练掌握公式，灵活变换⾓度是解本题的关键，同时注意⾓度的范围．本题中灵活运⽤⾓的变换的技巧达到了⽤已知表⽰未知，在求值题中，这是⼀个重要的经验！ 18．如图，等腰三⾓形ABC 中，∠B ＝∠C ，D 在BC 上，∠BAD ⼤⼩为α，∠CAD ⼤⼩为β．（1）若α=π4，β=π3，求BD DC ；（2）若BD DC=12，β=α+π3，求∠B ．【分析】（1）分别在△ABD 和△ACD 中使⽤正弦定理即可得出BD DC=sinαsinβ；（2）利⽤三⾓恒等变换求出α，从⽽得出∠B ．解：（1）在△ABD 中，由正弦定理得BD sinα=AD sinB，在△ACD 中，由正弦定理得DC sinβ=ADsinC，∵∠B ＝∠C ，∴BD sinα=DC sinβ∴BD DC=sinαsinβ=√22√32=√63．（2）由（1）知BD DC=sinαsinβ=12，⼜β＝α+π3，∴sin β＝sin （α+π3）=12sin α+√32cos α，∴12sin α+√32cos α＝2sin α，即√3cos α＝3sin α，∴tan α=√33，∴α=π6，β=π2，∴B =12（π﹣α﹣β）=π6．【点评】本题考查了正弦定理，三⾓恒等变换，属于中档题．19．某景区欲建两条圆形观景步道M 1，M 2（宽度忽略不计），如图所⽰，已知AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝AD ＝60（单位：⽶），要求圆M 与AB ，AD 分别相切于点B ，D ，圆M 2与AC ，AD 分别相切于点C ，D ．（1）若∠BAD =π3，求圆M 1，M 2的半径（结果精确到0.1⽶）（2）若观景步道M 1，M 2的造价分别为每⽶0.8千元与每⽶0.9千元，则当∠BAD 多⼤时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）【分析】（1）利⽤切线的性质即可得出圆的半径；（2）设∠BAD ＝2α，则总造价y ＝0.8?2π?60tan α+0.9?2π?60tan （45°﹣α），化简，令1+tan α＝x 换元，利⽤基本不等式得出最值．解：（1）连结M 1M 2，AM 1，AM 2，∵圆M 1与AB ，AD 相切于B ，D ，圆M 2与AC ，AD 分别相切于点C ，D ，∴M 1，M 2⊥AD ，∠M 1AD =12∠BAD =π6，∠M 2AD =π12，∴M 1B ＝AB tan ∠M 1AB ＝60×√33=20√3≈34.6（⽶），∵tanπ6=2tanπ121?tan 2π12=√33，∴tan π12=2?√3，同理可得：M 2D ＝60×tanπ12=60（2?√3）≈16.1（⽶）．（2）设∠BAD ＝2α（0＜α＜π4），由（1）可知圆M 1的半径为60tan α，圆M 2的半径为60tan （45°﹣α），设观景步道总造价为y 千元，则y ＝0.8?2π?60tan α+0.9?2π?60tan （45°﹣α）＝96πtan α+108π?1?tanα1+tanα，设1+tan α＝x ，则tan α＝x ﹣1，且1＜x ＜2．∴y ＝96π（x ﹣1）+108π（2x ?1）＝12π?（8x +18x ?17）≥84π≈263.8，当且仅当8x =18x 即x =32时取等号，当x =32时，tan α=12，∴α≈26.6°，2α≈53.2°．∴当∠BAD 为53.2°时，观景步道造价最低，最低造价为263.8千元．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运⽤，属于中档题．20．在△ABC中，内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c．已知(√3sinB?cosB)(√3sinC?cosC)=4cos B cos C．（1）求⾓A的⼤⼩；（2）若a＝2，求△ABC⾯积的取值范围；（3）若sin B＝p sin C，试确定实数p的取值范围，使△ABC是锐⾓三⾓形．【分析】（1 ）由已知及三⾓函数中的恒等变换应⽤，从⽽可求tan A=√3，即可解得A的值，（2）由余弦定理和基本不等式可得bc≤4，再根据三⾓形的⾯积公式计算即可，（3）由题意可得p=√32tanC+12，根据⾓C的范围，即可求出．解：（1）∵(√3sinB?cosB)(√3sinC?cosC)=4cos B cos C，∴3sin B sin C+cos B cos C?√3sin B cos C?√3cos B sin C，∴?√3sin（B+C）＝3cos（B+C），∴tan（B+C）=?√3，∴tan A=√3，∴A=π3，（2）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴4＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，当且仅当b＝c时取等号，∴S△ABC=12bc sin A≤12×4×√32=√3，∴△ABC⾯积的取值范围为（0，√3]，（3）sin B＝p sin C，∴p=sinBsinC =sin(120°?C)sinC=√32tanC+12，∵△ABC 为锐⾓三⾓形，A =π3，∴π6＜C ＜π2，∴tan C ＞√33，∴12＜p ＜2，即p 的范围为(12，2)【点评】本题主要考查了三⾓函数中的恒等变换应⽤，考查了正弦定理余弦定理和三⾓形的⾯积公式，属于中档题．21．已知集合P 是满⾜下述性质的函数f （x ）的全体：存在⾮零常数M ，对于任意的x ∈R ，都有f （x +M ）＝﹣Mf （x ）成⽴．（1）设函数g （x ）＝sin πx ，试证明：g （x ）∈P ；（2）当M ＝1时，试说明函数f （x ）的⼀个性质，并加以证明；（3）若函数h （x ）＝sin ωx ∈P ，求实数ω的取值范围．【分析】（1）可取M ＝1，验证即可；（2）M ＝1时，由f （x +1）＝﹣f （x ）可得到函数f （x ）的⼀个性质：周期性；（3）由题意可得h （x +M ）＝﹣Mh （x ）成⽴，既 sin （ωx +ωM ）＝﹣M sin ωx ，可对M 分|M |＞1，|M |＜1及|M |＝1三种情况讨论解决．解：（1）取 M ＝1 对于任意x ∈R ，g （x +M ）＝sin （πx +π）＝﹣sin πx ＝﹣g （x ）＝Mf （x ）∴g （x ）∈P（2）M ＝1时，f （x +1）＝﹣f （x ）f （x +2）＝﹣f （x +1）＝f （x ）∴f （x ）是⼀个周期函数，周期为2；（3）∵h （x ）＝sin ωx ∈P ∴存在⾮零常数M ，对于对于任意的x ∈R ，都有h （x +M ）＝﹣Mh （x ）成⽴．既 sin （ωx +ωM ）＝﹣M sin ωx若|M |＞1，取sin ωx ＝1，则 sin （ωx +ωM ）＝﹣M 对x ∈R 恒成⽴时不可能的．若|M |＜1，取sin （ωx +ωM ）＝1，则sinωx =?1M对x ∈R 也不成⽴．∴M ＝±1当 M ＝1时 sin （ωx +ω）＝﹣sin ωx ，sin （ωx +ω）+sin ωx ＝0，2sin(ωx +ω2)?cos ω2=0（x ∈R ），cos ω2=0解得：ω＝2k π+π（k ∈Z ）；当M ＝﹣1时 sin （ωx ﹣ω）＝sin ωx ，sin （ωx ﹣ω）﹣sin ωx ＝0，2cos(ωx ?ω2)?sin(?ω2)=0（x∈R），sin ω2=0解得：ω＝2kπk∈Z综上可得ω＝kπ（k∈Z）【点评】本题考查三⾓函数的周期性与最值，难点在于（3）中对M取值范围的分类讨论及和差化积公式与根据三⾓函数值求⾓的灵活应⽤，属于难题．。
2018-2019学年上海市交通大学附属中学高一下学期期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市交通大学附属中学高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．△中，“”是“”的（）条件A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要【答案】A【解析】根据角的范围分类讨论,再结合正弦函数、余弦函数单调性以及正弦定理进行推证.【详解】若均为锐角，则,若均为锐角，则,而，综上“”是“”的充要条件.选A.【点睛】本题考查正弦函数、余弦函数单调性以及正弦定理，考查综合分析论证能力，属中档题. 2．已知函数，，则的所有零点之和等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】两角和的正弦公式以及二倍角公式化简,函数的两点就是方程或的根，求出方程的根，即可得结果.【详解】,或，在上的所有零点为，，，故选C.【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.3．在中，，则的形状是（）A．等腰非直角三角形B．等腰直角三角形C．直角非等腰三角形D．等腰或直角三角形【答案】C【解析】由正弦定理可得，化为，由，进而可得结果.【详解】,化为，由正弦定理可得，，，，，是直角三角形，不是等腰三角形，故选C.【点睛】判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.4．已知函数，，若，对恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先根据指数函数性质化简不等式，再根据二倍角关系转化为对应二次不等式，最后根据二次函数性质求解.【详解】因为时，，所以，对恒成立，等价于，对恒成立，令,则等价于,因此所以，选B. 【点睛】本题考查指数函数性质、二倍角余弦公式以及二次函数性质，考查综合转化与求解能力，属较难题.二、填空题5．已知角是第一象限角，则是第__________象限角．【答案】一或三【解析】试题分析：的取值范围是，的取值范围是分类讨论，①当其中时，的取值范围是，即属于第三象限角；②当其中时，的取值范围是，即属于第一象限角，故答案为一或三.【考点】象限角的基本含义.6．半径为1的扇形面积也为1，则其圆心角的弧度数是________【答案】2【解析】根据扇形面积公式求解.【详解】因为扇形面积【点睛】本题考查扇形面积公式，考查基本求解能力，属基础题.7．函数的最小正周期是______．【答案】p【解析】，周期.8．已知角满足，其终边上有一点，若，则________【答案】-3【解析】根据三角函数定义求解.【详解】由三角函数定义得【点睛】本题考查三角函数定义，考查基本求解能力，属基础题.9．三角方程满足的解构成的解集为________（用反正弦表示）【答案】或【解析】根据反三角函数范围求解.【详解】因为，，所以当时，由得；当时，由得,；【点睛】本题考查反三角函数，考查基本转化与求解能力，属基础题.10．在△中，若，，且三角形有解，则的弧度数的取值范围是________【答案】【解析】根据正弦定理列式求解.【详解】由正弦定理得,因为，所以.【点睛】本题考查正弦定理，考查基本转化与求解能力，属基础题.11．若，则________【答案】或0【解析】根据同角三角函数平方关系求解.【详解】因为，，所以，因此或当时，当时，综上或0.【点睛】本题考查同角三角函数平方关系，考查基本转化与求解能力，属基础题.12．将函数的图像向右平移个单位长度后，得到函数的图像，则函数的图像的对称轴方程为________【答案】，【解析】先根据图象变换得，再根据余弦函数性质求解.【详解】将函数的图像向右平移个单位长度后，得到，所以由，得对称轴方程为，【点睛】本题考查三角函数图象变换以及余弦函数性质，考查基本转化与求解能力，属中档题. 13．中，，，，为边上的中点，则与的外接圆的面积之比为_______【答案】【解析】根据正弦定理求三角形外接圆直径，即可得外接圆的面积之比.【详解】因为，，，所以△为直角三角形，因此,从而△与△的外接圆的直径分别为，因此面积之比为【点睛】本题考查正弦定理，考查基本转化与求解能力，属基础题.14．下列是有关△的几个命题：①若，则△是锐角三角形；②若，则△是等腰三角形；③若，则△是等腰三角形；④若，则△是直角三角形，其中所有正确命题的序号是________【答案】①③【解析】根据正弦定理、三角形内角正切关系以及诱导公式进行判断选择.【详解】因为△中，所以若，则,因此必有,即△是锐角三角形；若，则，或;若，则，，，,所以△是等腰三角形；若，则,所以或，即或；综上正确命题的序号是①③.【点睛】本题考查正弦定理、三角形内角正切关系以及诱导公式，考查基本转化与判断化简能力，属中档题.15．已知函数，，其最小值为，则实数的取值范围是________【答案】【解析】将函数最值问题转化为对应不等式恒成立问题，再变量分离转化为新函数最值问题.【详解】因为函数，，其最小值为，所以在恒成立且在]上有解.当时，,此时,当时，,因为，所以,而时在]上恒有解.综上实数的取值范围是.【点睛】本题考查三角恒等变换以及正切函数性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.16．设、，且，则的最小值等于________【答案】【解析】由三角函数的性质可知，，所以，即，所以，所以.三、解答题17．设，且，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）法一：根据两角和的正切函数的公式，化简得，在根据余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解；法二：令，求得，利用三角函数的诱导公式和基本关系式，即可求解；（2）由三角函数的基本关系式，求得，再由两角和的正弦、余弦函数的公式，求得，的值，进而可求解.【详解】（1）法一：，法二：令，则，.（2），，，，，..【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，及三角函数基本关系式和诱导公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式、基本关系式，以及两角和的正弦、余弦函数、倍角公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.18．已知函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式;(2)将函数的图象向右平移个单位得到函数，当时，求函数的值域.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由周期求出ω，由，k∈Z，结合范围，求出的值，由函数的图象过（0，）求得A，可得函数f（x）的解析式；（2）根据三角函数的图象变换关系求出函数g（x）的表达式，结合三角函数的性质进行求解即可．【详解】(1)∵，，又，.(2)依题意h，∵，，的值域为.【点睛】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，考查了三角函数化简问题，考查了正弦函数的值域，属于中档题．19．如图，已知的半径为1，点在直径的延长线上，，点是半圆上的一个动点，以为边作正三角形，且点与圆心分别在两侧.（1）若，试将四边形的面积表示成的函数并写出定义域；（2）求出四边形面积的最大值，并写出面积取得最大值时的的值.【答案】解：(1)在中，由余弦定理，得==．(2)当,即时,．答：四边形面积的最大值为【解析】本试题主要是考查了等差数列的定义和通项公式的求解和运用，以及等比数列的性质的综合运用问题，和错位相减法求解数列和的一道综合试题。
上海市交大附中2020-2021学年高一下学期期中数学试题
11．函数 的值域是_______
12．设函数 ，其中 、 为已知实常数， .
下列所有正确命题的序号是____________．
①若 ，则 对任意实数 恒成立；
②若 ，则函数 为奇函数；
③若 ，则函数 为偶函数；
④当 时，若 ，则 .
17．在 ，角A，B，C所对的边分别为 ，b，c，已知 ， ，且 .
（1）当 ， 时，求 ，c的值；
（2）若B为锐角，求实数 的取值范围.
18．已知函数 ， .
（1）若直线 是函数 的图像的一条对称轴，求 的值；
（2）若 ，求 的值域.
19．如图，摩天轮上一点P在时刻t（单位:分钟)距离地面的高度y(单位:米)满足 ，已知该摩天轮的半径为50米，圆心O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处.
5．函数 的单调递增区间是________
6．已知 ，将 从小到大排列___________
7．若 是偶函数,则有序实数对( )可以
是.
8．若函数 的图像与直线 有且仅有四个不同的交点，则 的取值范围是______
9．将 图像上所有点向右平移 个单位，再把所得的图像上各点横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），这样得到的图像对应的函数解析式为________
本题考查余弦定理的应用，考查基本运算求解能力，属于基础题．
4．
【分析】
利用诱导公式化简所给的式子，即可得答案．
【详解】
因为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查诱导公式应用，求解时注意函数名和符号问题，属于基础题．
5．
【分析】
2019-2020学年上海市交大附中高一(下)期中数学试卷(附答案解析)
2019-2020学年上海市交大附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）1．（4分）若2arcsin（x﹣2）＝，则x＝．2．（4分）在公差d不为零的等差数列{a n}中，a6＝17，且a3，a11，a43成等比数列，则d ＝．3．（4分）已知等比数列{a n}中，a n＞0，a1a6＝4，则log2a2+log2a3+log2a4+log2a5＝．4．（4分）前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是．5．（4分）在△ABC中，a2+b2﹣mc2＝0（m为常数），且+＝，则m的值是．6．（4分）已知等比数列{a n}的各项都是正数，S n为其前n项和，若S4＝8，S8＝24，则S16＝．7．（4分）已知函数f（x）＝3sin x+4cos x，x1，x2∈[0，π]，则f（x1）﹣f（x2）的最大值是．8．（4分）在△ABC中，角A、B、C所对应边分别为a、b、c，∠ABC＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝2，则a+4c的最小值为9．（4分）已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2﹣12n，数列{|a n|}的前n项和T n，则的最小值．10．（4分）在等差数列{a n}中，若S10＝100，S100＝910，S110＝．11．（4分）设函数f（x）＝，函数g（x）＝，则方程f （x）＝g（x）根的数量为个．12．（4分）已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且＝，则使得为整数的正整数k有个．13．（4分）设等差数列{a n}的各项都是正数，公差为d，前n项和为S n，若数列也是公差为d的等差数列，则{a n}的前6项和为．14．（4分）若等差数列{a n}满足a12+a2012≤10，则M＝a201+a202+a203+…+a401的最大值为．二、选择题（本大题共20题，每题3分，满分60分）15．（3分）已知{a n}为等差数列，若a1+a5+a9＝5π，则cos（a2+a8）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．16．（3分）△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a＝6，b＝2，B，A，C 成等差数列，则B＝（）A．B．C．或D．17．（3分）若等差数列{a n}和{b n}的公差均为d（d≠0），则下列数列中不为等差数列的是（）A．{λa n}（λ为常数）B．{a n+b n}C．{a n2﹣b n2}D．{{a n•b n}}18．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a＝15，b＝24，A＝60°，则这样的三角形解的个数为（）A．1B．2C．0D．不确定19．（3分）已知函数，下列说法中错误的是（）A．函数f（x）的定义域是B．函数f（x）图象与直线没有交点C．函数f（x）的单调增区间是D．函数f（x）的周期是220．（3分）函数y＝cos（2x+），x∈[0，]的值域为（）A．[0，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣，] 21．（3分）函数y＝sin x，x的反函数为（）A．y＝arcsin x，x∈[﹣1，1]B．y＝﹣arcsin x，x∈[﹣1，1]C．y＝π+arcsin x，x∈[﹣1，1]D．y＝π﹣arcsin x，x∈[﹣1，1]22．（3分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且4S＝b2+c2﹣4，a＝2，则△ABC外接圆的面积为（）A．B．C．2πD．4π23．（3分）已知曲线，则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C224．（3分）已知f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象关于直线x＝对称，若存在x1，x2∈R，使得对于任意x都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），且|x1﹣x2|的最小值为，则φ等于（）A．B．C．D．25．（3分）若等比数列{a n}的前n项和S n＝3（2n+m），则a12+a22+…+a n2＝（）A．B．4n﹣1C．3（4n﹣1）D．无法确定26．（3分）已知等差数列{a n}的首项为4，公差为4，其前n项和为S n，则数列{}的前n项和为（）A．B．C．D．27．（3分）已知函数f（x）是定义在R上的单调递减函数，且f（x）为奇函数，数列{a n}是等差数列，a158＞0，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a313）+f（a314）+f（a315）的值（）A．恒为负数B．恒为正数C．恒为0D．可正可负28．（3分）已知函数f（x）＝a sin x+cos x的一条对称轴为x＝，则函数g（x）＝sin x﹣a cos x 的一条对称轴可以为（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝。
上海市交通大学附属中学2019-2020学年高一下学期数学期中考试卷(word,简答)
上海交通大学附属中学2019-2020学年度第二学期高一数学期中考试试卷(满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上)一、填空题(本大题共14题，每题4分，满分56分)1、若52arcsin(2),43xπ-=则x=____.2、在公差d不为零的等差数列{}n a中，617,a=且31143,,a a a成等比数列,则d=____3、已知等比数列{}n a中，160,4,na a a>=则22232425log log log loga a a a+++=____4、前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是____5、在△ABC中，2220a b mc+-=(m为常数)，且cos cos cos,sin sin sinA B CA B C+=则m的值是____6、已知等比数列{}n a的各项都是正数,n S为其前n项和,若488,24,S S==则16S=___7、已知函数f(x)=3sinx+4cosx12,[0,],x xπ∈则12()()f x f x-的最大值是_____8、在△ABC中,角A、B、C所对应边分别为a、b、c，∠ABC=90°,∠ABC的平分线交AC于点D,且22,BD=则a+4c的最小值为____9、已知数列{}n a的前n项和2212,nS n n=-数列{||}na的前n项和,nT则nTn的最小值____10、在等差数列{}n a中,若10100110100,910,S S S===___11、设函数|sin|,0(),2,0xx xf xx<⎧=⎨≥⎩函数2lg(),0(),0x xg xx x-<⎧=⎨≥⎩则方程f(x)=g(x)根的数量为___个.12、已知两个等差数列{}n a和{}n b的前n项和分别为n S和,n T且736,2nnS nT n+=+则使得2kkab为整数的正整数k有_____个.13、设等差数列{}n a的各项都是正数,公差为d,前n项和为,n S若数列{}n S也是公差为d的等差数列,则{}na的前6项和为_____14、若等差数列{}n a满足22120110,a a+≤则201202203401M a a a a=++++L的最大值为_____二、选择题(本大题共20题，每题3分，满分60分)15、已知数列{}n a为等差数列,若1598,a a aπ++=则28cos()a a+的值为()1.2A -.2B -1.2C2D16、△ABC 的内角A,B,C 所对应边分别为a,b,c 若a 6,,b B A ==，C 成等差数列,则B=().6A π5.6B π.6C π或56π2.3D π 17、若等差数列{}{}n n a b 和的公差均为d(d≠0),则下列数列中不为等差数列的是().{}n A a λ(λ为常数) .{}n n B a b +22.{}n n C a b -.{}n n D a b ⋅18、在△ABC 中,角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c,若a=15,b=24,A=60°,则这样的三角形解的个数为()A.1B.2C.0D.不确定19、已知函数()2tan().23f x x ππ=-+下列说法中错误的是()A.函数f(x)的定义域是1{|2,}3x x k k Z ≠+∈ B.函数f(x)图象与直线12,3x k =+k ∈Z 没有交点 C.函数f(x)的单调增区间是51(2,2),33k k k -++∈Z D.函数f(x)的周期是2 20、函数cos(2),[0,]32y x x ππ=+∈的值域为()A.[0,1]1.[1,]2B -1.[]22C -11.[,]22D -21、函数y=sinx,3[,]22x ππ∈的反函数是()A.y=arcsinx,x ∈[-1,1]B.y=-arcsinx,x ∈[-1,1]C.y=π+arcsinx,x ∈[-1,1]D.y=π-arcsinx,x ∈[-1,1]22、在△ABC 中,若△ABC 的面积为S,且2244,S b c =+-a=2,则△ABC 的外接圆的面积为()4Aπ.2B πC.2πD.4π23、已知曲线122:cos ,:sin(2),3C y x C y x π==+则下面结论正确的是() A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6π个单位,得到曲线2C B.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12π个单位,得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的1,2纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移12π个单位,得到曲线2C D.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的1,2纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12π个单位,得到曲线2C 24、已知()2sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象关于直线6x π=对称,若存在12,,x x R ∈使得对于任意x 都有12()()(),f x f x f x ≤≤且12||x x -的最小值为,2π则φ等于().12A π.6B π.4C π.3D π25、若等比数列{}n a 的前n 项和3(2),nn S m =+则22212n a a a +++=L () 41.3n A - B.4n -1.3(41)n C -D.无法确定26、已知等差数列{}n a 的首项为4,公差为4,其前n 项和为,n S 则数列1{}nS 的前n 项和为() .2(1)nA n +1.2(1)B n n +2.(1)C n n +2.1nD n + 27、已知函数f(x)是定义在R 上的单调递减函数,且f(x)为奇函数,数列{}n a 是等差数列,1580,a >则123313314315()()()()()()f a f a f a f a f a f a ++++++L 的值()A.恒为负数B.恒为正数C.恒为0D.可正可负28、已知函数f(x)=asinx+cosx 的一条对称轴为,11x π=则函数g(x)=sinx-acosx 的一条对称轴可以为()9.22A x π=13.22B x π=10.11C x π=13.11D x π=29、《周髀算经》有这样一个问题:从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，已知一文为十尺，一尺为十寸.问芒种日影长为()A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸30、已知等差数列{},{},n n a b 其前n 项和分别为23,,,31n n n n a n S T S n +=-则1111ST =() 15.17A25.32B C.1D.231、已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,若存在m ∈N *满足22519,1m m m m S a m S a m +==-，则数列{}n a 的公比为()B.2CD.432、已知数列{}n a 是等比数列,其前n 项和为,n S 则下列结论正确的是() A.若120,a a +>则130a a +> B.若130,a a +>则120a a +> C.若a>0,则20210S >D.若10,a >则20200S >33、设等比数列{}n a 的公比为q,其前n 项之积为,n T 并且满足条件:2019120192020202011,1,0,1a a a a a ->><-给出下列结论:①02019202120191;10;q a a T <<->②③是数列{}n T 中的最大项;④使1n T >成立的最大自然数等于4039;其中正确结论的序号为()A.①②B.①③C.①③④D.①②③④34、对于无穷数列{},n a 给出下列命题:①若数列{}n a 既是等差数列,又是等比数列,则数列{}n a 是常数列. ②若等差数列{}n a 满足||2020,n a ≤则数列{}n a 是常数列. ③若等比数列{}n a 满足||2020,n a ≤则数列{}n a 是常数列.④若各项为正数的等比数列{}n a 满足12020,n a ≤≤则数列{}n a 是常数列. 4.1B.2C.3D.4三、解答题(本大题共2题，满分34分)35、(本题满分16分,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题6分) 已知函数f(x)=a(|sinx|+|cosx|)+4sin2x+9,满足9()134f π=- (1)求a 的值;(2)求f(x)的最小正周期;(3)是否存在正整数n,使得f(x)=0在区间[0,)4n π内恰有2020个根.若存在,求出n 的值,若不存在,请说明理由.36、(本题满分18分,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分) 已知{},{},n n a b 前n 项和分别记为,.n n S T(1)若{},{}n n a b 都是等差数列，且满足2,4,n n n n b a n T S -==求30S ； (2)若{}n a 是等比数列,{}n b 是等差数列,1302,1,n n b a n a T -==求(3)数列{},{}n n a b 都是等比数列,且满足n≤3时,2,n n b a n -=若符合条件的数列{}n a 唯一,则在数列{}n a 、{}n b 中是否存在相等的项,即*1(,),k a b k l N =∈若存在请找出所有对应相等的项,若不存在,请说明理由.。
上海交大附中高一第二学期数学期中考试试卷及答案(20200621013919)
1 若
tan A =4+
5 ，则 cot （ π+A）=__________.
1 tan A
4
分析 : 本题可由条件式求出 tan A，然后代入所求式即可求值
的结构特点，则问题很容易解决 .
. 但若注意到条件式的左边
解析 : ∵ 1 1
π
tan A =
tan 4
tan A =tan （ π－ A），
20. (本题满分 12 分）
已知 y 4a cos2 x 2 3asin 2x 2 a，
（ 1）求 y 最小正周期 (a 0时) ；
（ 2）当 x [ 0, ] 时 , f (x) 的最大值为 5.求 a 的值及函数 y f ( x)( x R) 的单调递增区间 .
2
（ 1） y 4a cos2 x 2 3a sin 2x 2 a
4 ， cos(
5
5
)
，求 sin 的值
13
解： 0
,0
， sin
4 ,cos(
5 )
2
2
5
13
∴0
cos
1 sin 2
1 16 3 25 5
sin(
) 1 cos2(
25 12 )1
169 13
∴ sin sin[(
) ] sin(
)cos cos(
)sin
12 3 5 4 16 13 5 13 5 65
5 ，则 cot （ π+A）=__________.
1 tan A
4
7. 若函数 y cos x
(其中
6
0 )的最小正周期是 ，则 =________。 5
8. 已知 ABC 内角 A, B, C 的对边分别是 a,b, c ，若 c 2 3b ，
上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题含解析
上海交通大学附属中学2019-2020学年度第二学期高一数学期中考试试卷（满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分） 1.若52arcsin(2),43x π-=则x =____.【答案】2 【解析】 【分析】由反三角函数的定义得5sin (2)64x π=-，即可求解x . 【详解】由题意，52arcsin(2)43x π-=，所以5arcsin(2)46x π-=，由反三角函数的定义，5sin 264x π=-，即15224x =-，解得2x =. 故答案为：2【点睛】本题主要考查反三角函数的应用，属于基础题. 2.在公差d 不为零的等差数列{}n a 中，617,a =且31143,,a a a 成等比数列，则d =____【答案】3 【解析】 【分析】由数列{}n a 是等差数列得61517a a d =+=，由31143,,a a a 成等比数列，所以234311a a a =，联立两式求出1a 和d 即可.【详解】由题意，数列{}n a 是等差数列，所以61517a a d =+=①， 又31143,,a a a 成等比数列，所以234311a a a =，即()()()211124210a d a d a d ++=+②， 联立①②式，解得，12a =，3d =. 故答案为：3【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和等比中项的应用，考查学生计算能力，属于基础题.3.已知等比数列{}n a 中，160,4,n a a a >=则22232425log log log log a a a a +++=____【答案】4 【解析】 【分析】由对数的运算性质，()2223242522345log log log log log a a a a a a a a +++=，再由等比数列的下标性质，1623454a a a a a a ===，即可得到答案.【详解】由对数的运算性质，()2223242522345log log log log log a a a a a a a a +++=， 由等比数列下标性质，1623454a a a a a a ===， 所以()222425234lo log g 4log 24a a a a ===，即22232425log log log log 4a a a a +++=. 故答案为：4【点睛】本题主要考查等比数列的性质和对数的运算性质，属于基础题. 4.前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是______. 【答案】765 【解析】 【分析】前100个正整数中，除以7余数为2的所有数为：2，9，…，100，此数列是公差为7的等差数列，利用求和公式即可得出.【详解】解：前100个正整数中，除以7余数为2的所有数为：2，9，…，100，此数列是公差为7的等差数列.令()100271n =+-，解得15n =.∴前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和为()1521007652⨯+=.故答案为：765.【点睛】本题考查了等差数列的求和，重点考查了等差数列的定义，属基础题.5.在ABC ∆中，2220a b mc +-=（m 为常数），且cos cos cos sin sin sin A B CA B C+=，则m 的值是______. 【答案】3 【解析】 【分析】由已知等式可得2sin sin sin cos C A B C =，再由正弦定理将角化边得到2cos c ab C =，最后由余弦定理求出cos C 代入化简，即可求出参数的值. 【详解】解：cos cos cos sin sin sin A B CA B C+= ()cos sin cos sin sin sin sin cos A B B A C A B C ∴+= ()sin sin sin sin cos A B C A B C ∴+=2sin sin sin cos C A B C ∴=由正弦定理可得2cos c ab C =①根据余弦定理可知222cos 2a b c C ab+-=②由①②得2223a b c += 又因为2220a b mc +-= 所以3m = 故答案为：3【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于基础题. 6.已知等比数列{}n a 的各项都是正数，n S 为其前n 项和，若488,24,S S ==则16S =___【答案】120 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，利用等比数列求和公式分别表示出4S 和8S ，再计算16S 即可.【详解】由题意，设等比数列{}n a 的公比为()0q q >且1q ≠，则()441811a q S q--==，()8814112a q Sq-=-=，所以48413S q S =+=，解得42q =， 又()41118a q q--=，所以181a q=--， ()()16141618121201a q S q-==-⨯-=-.故答案为：120【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和公式，考查学生的计算能力，属于基础题. 7.已知函数()3sin 4cos f x x x =+，[]12,0,x x ∈π，则()()12f x f x -的最大值是________． 【答案】9 【解析】 【分析】先将函数()f x 转化成正弦函数的形式，然后结合正弦函数的图象判断出函数()f x 在区间[]0,π上的最大值和最小值，从而得出结果．【详解】由题意可得：()()343sin 4cos 5sin cos 5sin 55f x x x x x x ϕ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=，且0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．由[0,]x π∈，[,]x ϕϕπϕ+∈+，3,2ππϕπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， 4()5sin()5sin 545min f x πϕϕ∴=+=-=-⨯=-，()5sin 52max f x π==， 当12,[0,]x x π∈时，()()()12()5)49(max min f x f x f x f x -=-=--=． 故答案为：9【点睛】本题考查了三角函数的恒等变化，以及正弦函数图象的性质，正弦函数的最值，把函数化简()()5sin f x x ϕ=+是解题的关键，属于中档题．8.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，∠ABC =90°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且22,BD =则a +4c 的最小值为____【答案】18 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式找到a 和c 的关系，再结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】根据题意，90ABC ∠=，所以12ABC S ac =△， 因为BD 是ABC ∠的平分线，所以45ABD CBD ∠=∠=， 由三角形面积公式，112sin 22222ABDSBD c ABD c c =⨯⨯⨯∠=⨯⨯=， 112sin 22222CBDSBD a CBD c a =⨯⨯⨯∠=⨯⨯=， 因为ABCABD CBD S SS=+，所以12ac a c =+， 化简得，221a c+=， 所以()222828*********a c a c a c a c a c c a c a ⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当28a cc a=，即2a c =，即6a =，3c =时，等号成立， 故答案为：18【点睛】本题主要考查三角形面积公式的应用和基本不等式求最值的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.9.已知数列{}n a 的前n 项和2212,n S n n =-数列{||}n a 的前n 项和,n T 则nT n的最小值____ 【答案】5 【解析】由n S 和1n S -的关系求出数列{}n a 的通项公式，再根据正负表示出数列{||}n a 的通项公式为144,13414,4n n n a n n -≤≤⎧=⎨-≥⎩，求出n T ，并表示出n T n ，再分别求出13n ≤≤和4n ≥时的最小值，即可判断nT n的最小值. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和2212n S n n =-()n N*∈，所以1121210a S ==-=-，当2n ≥时，()()12221221121414n n n n n n n S n a S -⎡⎤-----=-⎣⎦=-=，当1n =时，1411410a ⨯-=-=， 所以414n a n =-，当13n ≤≤时，0n a <，当4n ≥时，0n a >，所以144,13414,4n n n a n n -≤≤⎧=⎨-≥⎩，数列{||}n a 的前n 项和n T ，所以22212,1321236,4n n n n T n n n ⎧-+≤≤=⎨-+≥⎩，当13n ≤≤时，212n T n n =-+，当3n =时，n Tn 的最小值为6； 当4n ≥时，36212n n T n n=+-， 由对勾函数的性质，当4n =时，n Tn有最小值5；综上所述，n Tn的最小值为5故答案为：5【点睛】本题主要考查由n S 求数列通项公式的求法、等差数列前n 项和公式、对勾函数的应用，是一道综合性很强的题目，考查学生分析转化能力和计算能力，属于难题. 10.在等差数列{}n a 中，若10100110100,910,S S S ===___【答案】990【分析】由等差数列前n 项和公式，利用1a 、d 来表示10S 和100S ，求出1a 和d ，再计算110S 即可. 【详解】由题意，设数列{}n a 公差为d ， 由等差数列前n 项和公式，101109101002S a d ⨯=+=， 1100109099100021a S d ⨯==+，解得，11009100a =，150d =-，所以11010091101091110990100250S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭. 故答案为：990【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，考查学生计算能力，属于基础题.11.设函数sin ,0(),2,0x x x f x x ⎧<=⎨≥⎩函数2lg(),0(),0x x g x x x -<⎧=⎨≥⎩则方程f （x ）=g （x ）根的数量为___个. 【答案】7 【解析】 【分析】作函数()f x 和()g x 的图象，利用数形结合的方法求解即可.【详解】由题意，作函数sin ,0()2,0x x x f x x ⎧<=⎨≥⎩和2lg(),0(),0x x g x x x -<⎧=⎨≥⎩的图象，当0x <时，0sin 1x ≤≤，()lg 101--=⎡⎤⎣⎦，所以10x <-时，()f x 和()g x 没有交点，100x -<<时，结合图像，()f x 和()g x 有5个交点；当0x ≥时，()2x f x =和2()g x x =有两个交点，分别为()2,4和()4,16；所以()()f x g x =根的数量为7个. 故答案为：7【点睛】本题主要考查方程的根的求法，涉及分段函数的表示，考查学生数形结合的能力，属于中档题.12.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和,n T 且736,2n n S n T n +=+则使得2k ka b 为整数的正整数k 有_____个. 【答案】3 【解析】 【分析】由等差数列前n 项和公式和7362n n S n T n +=+，设出n S ，求出n a ，设出n T ，求出n b ，再得到2k ka b 的表达式，即可求出2kka b 为整数的正整数k 的个数.【详解】由7362n n S n T n +=+，设()736n S mn n =+， 当1n =时，1143S a m ==，当2n ≥时，()11429n n n a S S m n -=-=+，1143S a m ==符合上式，所以()11429n n n a S S m n -=-=+；设()2n T mn n =+， 当1n =时，113T b m ==，当2n ≥时，()121n n n b T T m n -=-=+，113T b m ==符合上式，所以()121n n n b T T m n -=-=+；则()()2282915142121k k m k a b m k k +==+++， 当1,2,7k =时，2k ka b 为整数，所以使得2kka b 为整数的正整数k 有3个.故答案为：3【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查学生分析转化能力和计算能力，属于中档题.13.设等差数列{}n a 的各项都是正数，公差为d ，前n 项和为,n S若数列也是公差为d 的等差数列，则{}n a 的前6项和为_____ 【答案】9 【解析】 【分析】由题意，等差数列的前n 项和公式()112n n n S na d -=+，由数列为等差数列，表示出数列()1n d =-，联立两式求解出1a 和d ，即可计算{}n a 的前6项和.【详解】由题意，等差数列{}n a 的前n 项和公式()112n n n S na d -=+，又数列()1n d =-，所以)()22111n S a n d n d =+-+-，所以)()()22111112n n a n d n d na d -+-+-=+， 解得，()2112na n d d =-+-， 当2n =时，21a d d =+-，当3n =时，21322a d d =+-，联立两式，解得114a =，12d =， 所以{}n a 的前6项和6165169422S ⨯=⨯+⨯= 故答案为：9【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的应用和前n 项和公式，考查学生分析转化能力和计算能力，属于中档题.14.若等差数列{}n a 满足22120110,a a +≤则201202203401M a a a a =++++的最大值为_____【答案】1000 【解析】 【分析】由题意，()221120010a a d ++≤，令1x a =，1200y a d =+，则公差200y xd -=，再由等差数列前n 项和公式得301200a M =，则3011322a x y =-+，当301a 取最大值时，直线301320x y a -+=与圆相切，由点到直线的距离公式求出301a 的最大值，即可求出M 的最大值.【详解】由题意，22120110a a +≤，即()221120010a a d ++≤，令1x a =，1200y a d =+，则等差数列{}n a 的公差200y xd -=， 则()2014012012022301034012002002a a M a a a a a+⨯===++++，30111330030020022y x a a d x x y -=+=+⨯=-+，即301320x y a -+=， ()221120010a a d ++≤为半径的圆内（包含圆周）， 所以301a 取最大值时，直线301320x y a -+=与圆相切，=301a 的最大值为5，所以max 20051000M =⨯=. 故答案为：1000【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和公式的应用、直线与圆的位置关系，考查学生分析转化能力，综合性较强，属于难题.二、选择题（本大题共20题，每题3分，满分60分）15.已知数列{}n a 为等差数列，若1598a a a ++=π，则()28cos a a +的值为（ ） A. -12B. C.12【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可知,1952a a a += ,求出5a ,再由2852a a a +=即可求解. 【详解】∵数列{}n a 为等差数列，1598a a a ++=π， ∴由等差数列的性质可得,1952a a a +=， 所以538a π=，即583a π=, 因为2852a a a +=,所以28163a a π+=， ∴281621cos()cos cos 332a a ππ+===-. 故选：A【点睛】本题考查等差数列的性质和三角函数的诱导公式;属于基础题. 16.ABC ∆的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c若6,a b ==，,,B A C 成等差数列，则B =（ ） A.6πB.56πC.6π或56π D.23π【答案】A 【解析】 【分析】B ，A ，C 成等差数列，可得2A ＝B +C ＝π﹣A ，解得A ．利用正弦定理可得sin B bsinAa=，即可得出．【详解】∵B ，A ，C 成等差数列，∴2A ＝B +C ＝π﹣A ， 解得A 3π=．则sinB1332sinbsinAaπ===， 又a ＞b ，∴B 为锐角． ∴B 6π=．故选：A ．【点睛】本题考查了正弦定理、三角函数求值、等差数列的性质、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.若等差数列{}n a 和{}n b 的公差均为()0d d ≠，则下列数列中不为等差数列的是（ ） A. {}n a λ（λ为常数） B. {}n n a b + C. {}22n n a b - D. {}n n a b ⋅【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的定义对选项逐一进行判断，可得出正确的选项. 【详解】数列{}n a 和{}n b 是公差均为()0d d ≠的等差数列，则()11n a a n d +-=，()11n b b n d =+-，11n n a b a b ∴-=-.对于A 选项，()11n n n n a a a a d λλλλ++-=-=，数列{}n a λ（λ为常数）是等差数列； 对于B 选项，()()()()11112n n n n n n n n a b a b a a b b d +++++-+=-+-=，数列{}n n a b +是等差数列； 对于C 选项，()()()()222222221111n n n n n n n n ab a b a a b b ++++---=---()()()()()()111111112n n n n n n n n n n n n a a a a b b b b d a b a b d a b ++++++=-+--+=-+-=-，所以，数列{}22n n a b -是等差数列；对于D 选项，()()()211n n n n n n n n n n a b a b a d b d a b d d a b ++-=++-=++，不是常数，所以，数列{}n n a b 不是等差数列. 故选：D .【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式，注意等差数列定义的应用，考查推理能力，属于中等题.18.在ABC 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若15a =，24b =，60A =︒，则这样的三角形解的个数为（ ） A. 1B. 2C. 0D. 不确定【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理求出sin B 即可判断出解的个数 【详解】因为15a =，24b =，60A =︒所以由正弦定理得：sin sin a b A B= 即1524sin 60sin B=︒解得sin 1B =>，故无解 故选：C【点睛】本题考查的是正弦定理的运用，较简单. 19.已知函数()2tan 23f x x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭.下列说法中错误的是（ ）A. 函数()f x 的定义域是12,3x x k k Z ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.B. 函数()f x 图象与直线12,3x k k Z =+∈没有交点C. 函数()f x 的单调增区间是5232,3,1k k k Z ⎛⎫-++∈⎪⎝⎭D. 函数()f x 的周期是2 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数的性质逐个判定即可. 【详解】对A,()2tan 23f x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的定义域满足122323x k x k ππππ+≠+⇒≠+,k Z ∈. 故A 正确.对B,由A 可知B 正确. 对C, ()2tan 23f x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递增区间即tan 23x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭的单调递减区间.即3,2232k x k k Z ππππππ+<+<+∈,化简得1722,33k x k k Z +<<+∈.故C 错误. 对D, ()f x 的周期是22ππ= ,故D 正确.故选：C【点睛】本题主要考查了正切型函数的性质判定.属于基础题.20.函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为（ ）. A. []0,1 B. 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B 【解析】 【分析】 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到42333x πππ≤+≤，现利用余弦函数的的图象和性质求解. 【详解】因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以42333x πππ≤+≤所以11cos 232x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ 所以cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域是11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：B【点睛】本题主要考查了余弦函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 21.函数y =sinx ，3[,]22x ππ∈的反函数是（ ）A. y =arcsinx ，x ∈[-1，1]B. y =-arcsinx ，x ∈[-1，1]C. y =π+arcsinx ，x ∈[-1，1]D. y =π-arcsinx ，x ∈[-1，1]【答案】D 【解析】 【分析】先由诱导公式得到()sin ,,22y x x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，再根据反函数的定义求解即可. 【详解】由题意，3sin ,,22y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则[]1,1y ∈- 所以()sin ,,22y x x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以arcsin x y π-=，[]1,1y ∈-， 所以arcsin x y π=-，[]1,1y ∈-，即3sin ,,22y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的反函数是arcsin y x π=-，[]1,1x ∈- 故选：D【点睛】本题主要考查反函数的求法，属于基础题.22.在ABC 中，若ABC 的面积为S ，且2244,2S b c a =+-=，则ABC 的外接圆的面积为（ ）A.4π B.2π C. 2πD. 4π【答案】C 【解析】 【分析】利用2244,2S b c a =+-=求得A ，由此利用正弦定理求得ABC ∆外接圆的半径，进而求得外接圆的面积. 【详解】由2244,2S b c a =+-=得2222sin bc A b c a ⋅=+-，所以222sin cos 2b c a A A bc+-==，由于A 是三角形的内角，所以π4A =.设三角形ABC 外接圆半径为r，由正弦定理得2sin a r r A ====，所以外接圆的面积为2π2πr ⋅=. 故选：C【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.23.已知曲线122:cos ,:sin(2),3C y x C y x π==+则下面结论正确的是（ ） A. 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位，得到曲线2CB. 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位，得到曲线2CC. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的1,2纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位，得到曲线2CD. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的1,2纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位，得到曲线2C 【答案】D【解析】 【分析】由诱导公式将cos y x =化为sin 2y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据图像变换规律，即可得到答案. 【详解】由题意，1C ：cos sin 2y x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭， 故将1C 上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 再把得到的曲线向左平移12π个单位，得到2sin 2sin 21223y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即曲线2C 的图像. 故选：B【点睛】本题主要考查诱导公式的应用和三角函数图像变换规律，属于基础题. 24.已知()()2sin (0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象关于直线6x π=对称，若存在12,x x R ∈，使得对于任意的x 都有()()()12f x f x f x ≤≤，且12x x -的最小值为2π，则ϕ等于（ ） A.12π B.6π C.4π D.3π 【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 的最大值和最小值对应的横坐标的距离，求得()f x 的半周期，由此求得ω的值，结合根据()f x 的对称轴列方程，求得ϕ的值.【详解】依题意存在12,x x R ∈，使得对于任意的x 都有()()()12f x f x f x ≤≤，所以()()12,f x f x 分别是()f x 的最小值和最大值，而12x x -的最小值为2π，所以π,π22T T ==，由()2ππ0T ωω==>解得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+.由于()f x 的图象关于直线6x π=对称，所以ππ2sin 63f ϕ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为2或2-，即πsin 3ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为1或1-，由于ππ50,2336ππϕϕ<<<+<，所以πππ,326ϕϕ+==. 故选：B【点睛】本小题主要考查三角函数的周期性和对称性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.25.若等比数列{}n a 的前n 项和3(2),n n S m =+则22212n a a a +++=（ ）A.413n - B. 4n -1C. 3(41)n-D. 无法确定【答案】C 【解析】 【分析】利用1n =时，11a S =；2n ≥时，1n n n a S S -=-，以及数列{}n a 为等比数列求出m 的值，再得到数列2{}n a 是等比数列，再由等比数列前n 项和公式求解即可.【详解】当1n =时，1113(2)63m m a S =⨯+=+=，当2n ≥时，1113(2)3(2)32n n n n n n m S S m a ---+-+⨯-===，因为数列{}n a 为等比数列，所以当1n =时，13632n m -⨯+=，解得1m =-， 所以数列{}n a 是以3为首项，2为公比的等比数列，当2n ≥时，()()212222132432n n n n aa---⨯==⨯，数列2{}n a 是以239=为首项，4为公比的等比数列， 所以()()2221291434114n n n a a a ⨯-+++==--.故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的定义、通项公式和前n 项和公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.26.已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为4，其前n 项和为n S ，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ）A. 2(1)n n +B. 12(1)n n +C. 2(1)n n +D.21nn + 【答案】A 【解析】 【分析】由题得出数列前n 项和n S ，再用裂项相消法即可求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【详解】等差数列前n 项和公式为()112n n n S na d -=+，又14a =，4d =，所以()242122=+-=+n n n n n S n ，所以()2111111=22212+1⎛⎫==- ⎪++⎝⎭n n n n n n S n ，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()111111111+12122312121⎛⎫⎛⎫=--++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭n nT n n n n . 故选：A【点睛】本题主要考查求数列前n 项和，解题的关键是会用裂项相消求数列前n 项和. 27.已知函数f （x ）是定义在R 上的单调递减函数，且f （x ）为奇函数，数列{}n a 是等差数列，1580,a >则123313314315()()()()()()f a f a f a f a f a f a ++++++的值（ ）A. 恒为负数B. 恒为正数C. 恒为0D. 可正可负【答案】A 【解析】 【分析】函数f （x ）是定义在R 上的单调递减函数，且f （x ）为奇函数，所以(0)0f =，当0x >时，()0f x <，所以可得158()0a f <，由等差数列{}n a 的性质可得131515820a a a +=>，即1315()()0f a f a +<，同理可以得到2314()()0f a f a +<，3313()()0f a f a +<，⋅⋅⋅，进而可以得到所求式子的符号.【详解】由题意，函数f （x ）是定义在R 上的单调递减函数，且f （x ）为奇函数， 所以(0)0f =，当0x >时，()0f x <；因为数列{}n a 是等差数列，且1580a >，所以158()0a f <， 又131515820a a a +=>，所以1315()()0f a f a +<， 同理，2314()()0f a f a +<，3313()()0f a f a +<，⋅⋅⋅， 所以123313314315()()()()()()0f a f a f a f a f a f a ++++++<故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的性质，函数的奇偶性和单调性的综合应用，属于中档题. 28.已知函数f （x ）=asinx +cosx 的一条对称轴为,11x π=则函数g （x ）=sinx -acosx 的一条对称轴可以为（ ） A. 922x π=B. 1322x π=C. 1011x π=D. 1311x π=【答案】B 【解析】 【分析】由辅助角公式化简()()f x x α=+，其中1tan aα=，由()f x 的一条对称轴是11x π=求出α，再根据辅助角公式化简()()g x x β=-，其中tan a β=，利用tan tan 1αβ⋅=，求出α和β的关系，即可求出()g x 的一条对称轴.【详解】由题意，()()sin cos f x a x x x α=+=+，其中1tan aα=， 因为()f x 的一条对称轴是11x π=，所以1,112ππαπ+=+∈k k Z ，解得119,22αππ=+∈k k Z ，函数()()sin cos g x x a x x β=-=-，其中tan a β=， 所以()g x 的对称轴是22,2πβπ=++∈x k k Z ，因为1tan tan 1a aαβ⋅=⋅=，所以sin sin 1cos cos αβαβ=， 即()cos cos sin sin cos 0αβαβαβ-=+=， 所以33,2παβπ+=+∈k k Z ，所以()()33131,211ππβπαπ=+-=+--∈k k k k k Z ，所以()g x 的一条对称轴()()3123121313,2112222πππππππ=++-+=+-+=+∈x k k k k k k k k Z ， 当0k =时，1322x π=. 故选：B【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，两角和差的余弦公式和三角函数的性质，考查学生的分析转化能力，属于中档题.29.《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A. 一尺五寸 B. 二尺五寸C. 三尺五寸D. 四尺五寸【答案】B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解.【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。
2019-2020学年上海市交大附中高一下学期期中数学试卷
数学试题一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分） 1．若2arcsin （54x ﹣2）=π3，则x ＝ ．2．在公差d 不为零的等差数列{a n }中，a 6＝17，且a 3，a 11，a 43成等比数列，则d ＝ ． 3．已知等比数列{a n }中，a n ＞0，a 1a 6＝4，则log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5＝ ． 4．前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是 ． 5．在△ABC 中，a 2+b 2﹣mc 2＝0（m 为常数），且cosA sinA+cosB sinB=cosC sinC，则m 的值是 ．6．已知等比数列{a n }的各项都是正数，S n 为其前n 项和，若S 4＝8，S 8＝24，则S 16＝ ． 7．已知函数f （x ）＝3sin x +4cos x ，x 1，x 2∈[0，π]，则f （x 1）﹣f （x 2）的最大值是 ．8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，∠ABC ＝90°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝2√2，则a +4c 的最小值为9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2﹣12n ，数列{|a n |}的前n 项和T n ，则T n n的最小值 ．10．在等差数列{a n }中，若S 10＝100，S 100＝910，S 110＝ ． 11．设函数f （x ）={|sinx|，x ＜02x ，x ≥0，函数g （x ）={lg(−x)，x ＜0x 2，x ≥0，则方程f （x ）＝g （x ）根的数量为 个．12．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且S n T n=7n+36n+2，则使得a 2kb k为整数的正整数k 有 个．13．设等差数列{a n }的各项都是正数，公差为d ，前n 项和为S n ，若数列{√S n }也是公差为d 的等差数列，则{a n }的前6项和为 ．14．若等差数列{a n }满足a 12+a 2012≤10，则M ＝a 201+a 202+a 203+…+a 401的最大值为 ． 二、选择题（本大题共20题，每题3分，满分60分）15．已知{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9＝5π，则cos （a 2+a 8）的值为（ ） A ．−12B ．−√32C ．12D ．√3216．△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若a ＝6，b ＝2√3，B ，A ，C 成等差数列，则B ＝（ ） A ．π6B ．5π6C ．π6或5π6D ．2π317．若等差数列{a n }和{b n }的公差均为d （d ≠0），则下列数列中不为等差数列的是（ ） A ．{λa n }（λ为常数）B ．{a n +b n }C ．{a n 2﹣b n 2}D ．{{a n •b n }}18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝15，b ＝24，A ＝60°，则这样的三角形解的个数为（ ） A ．1B ．2C ．0D ．不确定19．已知函数f(x)=−2tan(π2x +π3)，下列说法中错误的是（ ） A ．函数f （x ）的定义域是{x|x ≠2k +13，k ∈Z} B ．函数f （x ）图象与直线x =2k +13，k ∈Z 没有交点 C ．函数f （x ）的单调增区间是(−53+2k ，13+2k)，k ∈Z D ．函数f （x ）的周期是220．函数y ＝cos （2x +π3），x ∈[0，π2]的值域为（ ）A ．[0，1]B ．[﹣1，12]C ．[−√32，12]D ．[−12，12]21．函数y ＝sin x ，x ∈[π2，3π2]的反函数为（ ） A ．y ＝arcsin x ，x ∈[﹣1，1] B ．y ＝﹣arcsin x ，x ∈[﹣1，1] C ．y ＝π+arcsin x ，x ∈[﹣1，1]D ．y ＝π﹣arcsin x ，x ∈[﹣1，1]22．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且4S ＝b 2+c 2﹣4，a ＝2，则△ABC 外接圆的面积为（ ） A ．π4B ．π2C ．2πD ．4π23．已知曲线C 1：y =cosx ，C 2：y =sin(2x +2π3)，则下面结论正确的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 224．已知f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的图象关于直线x =π6对称，若存在x 1，x 2∈R ，使得对于任意x 都有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2），且|x 1﹣x 2|的最小值为π2，则φ等于（ ）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π325．若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3（2n +m ），则a 12+a 22+…+a n 2＝（ ） A ．4n−13B ．4n ﹣1C ．3（4n ﹣1）D ．无法确定26．已知等差数列{a n }的首项为4，公差为4，其前n 项和为S n ，则数列{1S n}的前n 项和为（ ） A ．n 2(n+1)B ．12n(n+1)C ．2n(n+1)D ．2nn+127．已知函数f （x ）是定义在R 上的单调递减函数，且f （x ）为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 158＞0，则f （a 1）+f （a 2）+f （a 3）+…+f （a 313）+f （a 314）+f （a 315）的值（ ） A ．恒为负数B ．恒为正数C ．恒为0D ．可正可负28．已知函数f （x ）＝a sin x +cos x 的一条对称轴为x =π11，则函数g （x ）＝sin x ﹣a cos x 的一条对称轴可以为（ ） A ．x =9π22B ．x =13π22C ．x =10π11D ．x =13π1129．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸30．已知等差数列{a n }、{b n }，其前n 项和分别为S n 、T n ，a n b n=2n+33n−1，则S 11T 11=（ ）A ．1517B ．2532C ．1D ．2 31．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N +满足S 2m S m=9，a 2m a m=5m+1m−1，则数列{a n }的公比为（ ） A ．√2B ．2C ．3D ．432．已知数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，则下列结论正确的是（ ） A ．若a 1+a 2＞0，则a 1+a 3＞0 B ．若a 1+a 3＞0，则a 1+a 2＞0 C ．若a 1＞0，则S 2021＞0D ．若a 1＞0，则S 2020＞033．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项之积为T n ，并且满足条件：a 1＞1，a 2019a 2020＞1，a 2019−1a 2020−1＜0，给出下列结论：①0＜q ＜1；②a 2019a 2021﹣1＞0；③T 2019是数列{T n }中的最大项；④使T n ＞1成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为（ ） A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③④34．对于无穷数列{a n }，给出下列命题：（ ）①若数列{a n }既是等差数列，又是等比数列，则数列{a n }是常数列． ②若等差数列{a n }满足|a n |≤2020，则数列{a n }是常数列． ③若等比数列{a n }满足|a n |≤2020，则数列{a n }是常数列．④若各项为正数的等比数列{a n }满足1≤a n ≤2020，则数列{a n }是常数列． 其中正确的命题个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题（本大题共2题，满分34分）35．已知函数f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）+4sin2x +9，满足f （9π4）＝13﹣9√2．（1）求a 的值；（2）求f （x ）的最小正周期；（3）是否存在正整数n ，使得f （x ）＝0在区间[0，nπ4）内恰有2020个根．若存在，求出n 的值，若不存在，请说明理由．36．（18分）已知{a n }，{b n }，前n 项和分别记为S n ，T n ．（1）若{a n }，{b n }都是等差数列，且满足b n ﹣a n ＝2n ，T n ＝4S n ，求S 30； （2）若{a n }是等比数列，{b n }是等差数列，b n ﹣a n ＝2n ，a 1＝1，求T 30（3）数列{a n }，{b n }都是等比数列，且满足n ≤3时，b n ﹣a n ＝2n ，若符合条件的数列{a n }唯一，则在数列{a n }、{b n }中是否存在相等的项，即a k ＝b 1（k ，l ∈N *），若存在请找出所有对应相等的项，若不存在，请说明理由．。
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上海市交大高一下学期期中考试数学试题（满分100分，90分钟完成。
答案一律写在答题纸上）一、填空题（每题3分）1、 若1sincos225αα-=，则sin α=_________。
2、 函数tan(2)3=-y x π的周期为_________。
3、 如果tan csc 0αα⋅<，那么角α的终边在第____________象限。
4、 若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积为______ cm 25、 方程|sin |1x =的解集是_________________。
6、222cos cos (120)cos (240)θθθ++︒++︒的值是________。
7、 若2sin()3αβ+=，1sin()5αβ-=，则tan tan αβ=__________。
8、 设0<α<π，且函数f(x)=sin(x+α)+cos(x -α)是偶函数，则α 的值为_________。
9、 等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的大小为_____________。
（结果用反三角表示）。
10、 设函数f(x)是以2为周期的奇函数，且2()75f -=，若sin α，则(4cos2)f α的值为___________________。
11、 设tan α和tan β是方程mx 2+(2m -3)x+m -2=0的两个实根，则tan(α+β)的最小值为______________。
12、 下列命题：①终边在坐标轴上的角的集合是{α∣2=k πα，k ∈Z}；②若2sin 1cos =+x x ，则tan2x 必为12；③0≠ab ，sin cos ),()+=+<a x b x x ϕϕπ中，若0>a ，则arctan=ba ϕ；④函数1sin()26y x π=-在区间[3π-，116π]上的值域为[，2]；⑤方程sin(2)03x a π+-=在区间[0，2π]上有两个不同的实数解x 1，x 2，则126x x π+=。
其中正确命题的序号为_____________。
二、选择题（每题3分）13、 若A ，B 为锐角三角形ABC 的两个内角，则点P(sinA -cosB ，cosA -sinB)位于( )(A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限 14、函数()f x =()(A) R(B) [2k π，2k π+2π]（k ∈Z ） (C) [2k π-2π，2k π]（k ∈Z ）(D) [2k π-2π，2k π+2π]（k ∈Z ）15、 函数y=sin(2x+3π)的图象是由函数y=sin2x 的图像( )(A) .向左平移3π单位(B) 向右平移6π单位(C) 向左平移56π单位(D) 向右平移56π单位16、 下面等式中不成立的是( )(A) cos ||cos()x x =- (B) arccos arccos()x x π+-=(C)sin(arcsin )33ππ=(D) arcsin ||x =17、 函数()cos tan f x x x =⋅在区间(2π，32π)上的图象为()(A) (B) (C)(D)三、解答题18、 （本题满分10分）定义行列式运算1234a a a a =1423a a a a -。
若1cos 02sin A A-=-。
（1）求tanA 的值；（2）求函数()cos2tan sin f x x A x =+（x ∈R ）的值域。
19、 (本题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos 2cos b A a B c C +=，△ABC 的面积为（1）求角C 的大小； （2）若a=2，求边长c 。
20、 （本题满分12分）已知某海滨浴场的海浪高度y （单位：米）与时间t （0≤t ≤24）（单位：时）的函数关系记作y=f(t)，下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，函数y=f(t)可近似地看成是函数。
（1）根据以上数据，求出函数cos y A t b ω=+的最小正周期T 及函数表达式（其中A>0，ω>0）；（2）根据规定，当海浪高度不低于0.75米时，才对冲浪爱好者开放，请根据以上结论，判断一天内从上午7时至晚上19时之间，该浴场有多少时间可向冲浪爱好者开放？21、 （本题满分15分）设函数f(x)的定义域D 关于原点对称，0∈D ，且存在常数a>0，使f(a)=1，又121212()()()1()()f x f x f x x f x f x --=+，（1）写出f(x)的一个函数解析式，并说明其符合题设条件； （2）判断并证明函数f(x)的奇偶性；（3）若存在正常数T ，使得等式f(x)=f(x +T)或者f(x)=f(x -T)对于x ∈D 都成立，则都称f(x)是周期函数，T 为周期；试问f(x)是不是周期函数？若是，则求出它的一个周期T ；若不是，则说明理由。
上海交通大学附属中学2008-2009学年度第二学期高一数学期中试卷参考答案（满分100分，90分钟完成。
答案一律写在答题纸上） 一、填空题（每题3分）1、24252、 2π3、 二、三4、 4cm 25、 {x ∣x=k π+2π，k ∈Z}6、 327、 137 8、34π9、解：设顶角为A ，∴cosB=23，∴sinB=，∴cosA=-cos2B=sin 2B-cos 2A=19，∴A=arccos 19。
（如果用sinA=sin2B=2sinBcosB=，还须判断A 是否为钝角，方能得出A=）。
10、 -7 11、解：∵△=(2m -3)2-4m(m-2)=-4m+9≥0，∴m ≤94，∴tan(α+β)=23323232(2)241m m m m m m m m ----==-----≤。
12、 ①③⑤二、选择题（每题3分）13、 解：∵A ，B 为锐角三角形的两个内角，∴A+B>2π，∴2π>A>2π-B>0，∴sinA>sin(2π-B)=cosB ，∴sinA -cosB>0，同理可得cosA -sinB<0，∴选(D)14、 解：选(D) 15、 解：B 16、 解：选(C)17、 解：在区间(2π，32π)上cosx<0，∴函数f(x)恒负，∴选(C)三、解答题18、 （本题满分10分）解：（1）由1cos 02sin AA -=-，得sinA -2cosA=0，∵cosA ≠0，∴tanA=2。
……4分（2）213()cos22sin 2(sin )22f x x x x =+=--+， ∵x ∈R ，∴sinx ∈[-1，1]，当1sin 2x =时，f(x)有最大值32；当sinx=-1，f(x)有最小值-3。
所以，值域为[-3，32]。
……6分19、 (本题满分12分)解：（1）∵cos cos 2cos b A a B c C +=，①由正弦定理2sin b R B =，2sin a R A =，2sin c R C =，②……2分将②式代入①式，得2sin cos 2sin cos 4sin cos R B A R A B R C C +=， 化简，得sin()sin 2sin cos A B C C C +==。
……5分∵sinC ≠0，∴1cos 2C =，∴3C π=。
……7分（2）∵△ABC 的面积为，∴1sin 2ab C =ab=16。
又∵a=2，∴b=8。
……10分由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2abcosC=22+82-2·2·8·12=52，∴c =……12分20、 （本题满分12分）（1）T=12，1cos()126y t π=+。
……4分（2）13cos()1264t π+≥，1cos()62t π-≥， ……6分∴2222363k t k πππππ-+≤≤（k ∈Z ）即124124k t k -+≤≤（k ∈Z ）， ……10分由7≤t ≤19，得8≤t ≤16，知该浴场有8小时可向冲浪爱好者开放。
……12分21、 （本题满分15分）解：（1）取f(x)=tanx ，定义域为{x ∣x ≠k π+2π，k ∈Z}关于原点对称，且0∈D ；且存在常数4a π=使得f(a)=tana=1；又由两角差的正切公式知，符合121212()()()1()()f x f x f x x f x f x --=+。
……4分（2）f(x)是D 上的奇函数；证明如下：f(0)=0，取x 1=0，x 2=x ，由(0)()(0)1(0)()f f x f x f f x --=+，得f(-x)=-f(x)，所以f(x)是D 上的奇函数；……4分（3）考察f(x)=tanx 的最小正周期T=π=4a ，可猜测4a 是f(x)的一个周期。
证明：由已知()()()1()1()()1()f x f a f x f x a f x f a f x ---==++，则()1()1()11(2)[()][1][1]1()1()1()()f x a f x f x f x a f x a a f x a f x f x f x -----=--==-÷+=-+-++，1(4)[(2)2]()2f x a f x a a f x f x a -=-=-=--（）。
所以f(x)是周期函数，4a 是f(x)的一个周期。
……7分。