高中数学求数列通项的常用方法
数列通项的五种求法
数列通项的五种求法求数列的通项公式是高中数学中最为常见的题型之一，它既可考查等价转化与化归的数学思想，又能反映考生对等差与等现象数列理想的深度，具有一定的技巧性，因此经常渗透在高考和竞赛中，要正确写出数列通项，其关键是：找出n a 与n 的对应关系，而其中数列的通项求法比较灵活。
下面分别介绍几种常见的数列通项的求法，请同学们学习。
一、常规数列的通项例1 写出下列数列的一个通项公式。
(1) 3, 5, 7, 9.... (2) 3, 5, 9, 17. (3)⋯,638,356,154,32 (4)⋯,917,710,1,32 解 （1）（方法一）注意观察，该数列前四项均为奇数，所以归纳出它的通项公式是a n =2n+1.（方法二）发现后一项比前一项都多2，前4项依次可写成a 1=3, a 2=3+2, a 3=3+2×2, a 4=3+2×3, ∴a n =3+2(n-1).（2）观察发现，前四项依次为2+1，22+1，23+1，24+1，∴a n =2n +1.（3）每一项的分子均为偶数，分母依次为1×3，3×5，5×7，7×9，…，均是相邻的两奇数之积，∴.)12)(12(2+-=n n na n（4）各项依次可写成，，，，，⋯9177105532分子依次是项数的平方数加1，∴.1212++=n n a n 小结 认真观察（注意分解式子）所给数据的结构特征，正确写出对应的表达式。
二、摆动数列的通项例2 写出下列数列的一个通项公式。
（1）1，5，1，5，1，5，…. （2）⋯--,78,54,32,1. （3）1，2，2，4，3，8，4，16，….解 （1）（方法一）∵奇数项均为1，偶数项均为5，∴⎩⎨⎧=，a n 5,1为n n 为正偶数.正奇数，（方法二）∵1与5的平均数为3，∴前四项依次可看成3-2，3+2，3-2，3+2. ∴a n =3+(-1)n ×2.（2）前四项可写成.122)1(,72)1(,52,32)1(,12113210--=∴⨯-⨯---n a n n n （3）∵a 1=1, a 3=2, a 5=3, a 7=4,…, ∴当n 为奇数时,21+=n a n , ∵a 2=2, a 4=4, a 6=8, a 8=16,…, ∴当n 为偶数时，.22n n a =∴⎪⎩⎪⎨⎧+=，n a n n 22,21为n n 为.正偶数正奇数，小结 这类题需要看清奇、偶项的正、负，可用(-1)n 或(-1)n+1等形式表示，或用分段形式表示。
数列通项公式的求解方法总结
数列通项公式的求解方法总结求数列的通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本文就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习和老师的教学。
一、累加法：利用an=a1+（a2-a1）+…（an-an-1）求通项公式的方法称为累加法。
累加法是求型如an+1=an+f（n）的递推数列通项公式的基本方法（f（n）可求前n项和）.例1.已知数列an满足an+1=an+2n+1，a1=1，求数列an的通项公式。
解：由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1则an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+ （a2-a1）+a1=[2（n-1）+1]+[2（n-2）+1]+…+（2×2+1）+（2×1+1）+1=2[（n-1）+（n-2）+…+2+1]+（n-1）+1=2+（n-1）+1=（n-1）（n+1）+1=n2所以数列an的通项公式为an=n2。
例2：在数列{an}中，已知an+1= ，求该数列的通项公式.备注：取倒数之后变成逐差法。
解：两边取倒数递推式化为：=+，即-=所以-=，-=，-=…-=.…，将以上n-1个式子相加，得：-=++…+即=+++…+==1-故an==二、累乘法：利用恒等式an=a1…（an≠0，n？叟n）求通项公式的方法称为累乘法，累乘法是求型如：an+1=g（n）an的递推数列通项公式的基本方法（数列g（n）可求前n项积）.例3.已知数列{an}中a1=，an=·an-1（n？叟2）求数列{an}的通项公式。
解：当n？叟2时，=，=，=，…=将这n-1个式子累乘，得到=，从而an=×=，当n=1时，==a1，所以an= 。
注：在运用累乘法时，还是要特别注意项数，计算时项数容易出错.三、公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有an=Sn-Sn-1（n？叟2），等差数列或等比数列的通项公式。
求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式的十种方法求解数列的通项公式是高中数学中的一个重要问题，通常需要运用数学分析方法、递推关系、差分方法等多种技巧。
下面将列举十种常见的方法来求解数列的通项公式。
方法一：等差数列的通项公式对于等差数列 an = a1 + (n - 1) * d，其中 a1 为首项，n 为项数，d 为公差。
通项公式可以直接通过公式计算得出。
方法二：等差数列的求和公式对于等差数列 S = (n / 2) * (a1 + an)，其中 S 为前 n 项和，a1 为首项，an 为末项，n 为项数。
可以通过求和公式推导出等差数列的通项公式。
方法三：等比数列的通项公式对于等比数列 an = a1 * r^(n - 1)，其中 a1 为首项，r 为公比，n 为项数。
通项公式可以直接通过公式计算得出。
方法四：等比数列的求和公式对于等比数列S=(a1*(r^n-1))/(r-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
可以通过求和公式推导出等比数列的通项公式。
方法五：递推关系法对于一些递推关系的数列，可以通过寻找规律，构建递推关系来求解数列的通项公式。
例如斐波那契数列就可以通过递推关系f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(1)=1，f(2)=1，来求解通项公式。
方法六：二项式展开法对于一些满足二项式展开的数列，可以通过展开得到二项式系数，然后通过系数的通项公式来求解数列的通项公式。
例如二项式数列(x+1)^n的展开系数就是通过n阶二项展开推导出来的。
方法七：差分法通过对数列进行差分操作，找到规律来求解数列的通项公式。
例如，如果差分的结果是一个等差数列，那么原数列就是一个二次或高次多项式。
方法八：线性递推法对于一些线性递推关系的数列，可以通过构建矩阵形式或特征方程的方法来求解数列的通项公式。
例如，对于一阶线性递推数列a(n)=p*a(n-1)+q，可以通过特征方程x-p*x-q=0来求解通项公式。
方法九：插值法通过给定数列中的若干项，利用 Lagrange 插值公式来推导数列的通项公式。
高中数学数列通项公式的求法技巧大全
数列通项公式的求法技巧大全一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。
四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
数列通项公式常见求法 (1)
数列通项公式的常见求法数列在高中数学中占有非常重要的地位，每年高考都会出现相关数列的方面的试题，一般分为小题和大题两种题型，而数列的通项公式的求法是常考的一个知识点，一般常出现在大题的第一小问中，所以掌握好数列通项公式的求法不但有利于我们掌握好数列知识，更有助于我们在高考中取得好的成绩。
下面本文将中学数学中相关数列通项公式的常见求法实行较为系统的总结，希望能对同学们有所协助。
一.公式法高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就能够直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。
1、等差数列公式 例1、（2011辽宁理）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- 2、等比数列公式例2.（2011重庆理）设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+。
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式解：I ）设q 为等比数列{}n a 的公比，则由21322,4224a a a q q ==+=+得，即220q q --=，解得21q q ==-或（舍去），所以 2.q =所以{}n a 的通项为1*222().n n n a n N -=⋅=∈3、通用公式若已知数列的前n 项和n S 的表达式，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n nn n 求解。
一般先求出a1=S1，若计算出的an 中当n=1适合时能够合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。
例3、已知数列}{n a 的前n 项和12-=n s n ，求}{n a 的通项公式。
求数列通项公式的常用方法
求数列通项公式的常用方法作者：陈雪涛来源：《理科考试研究·高中》2016年第04期数列是高中数学的重要内容，而数列的通项公式是数列的核心，它如同函数的解析式一样，有解析式便可研究其性质，而有了数列的通项公式，便可求出任意一项及前n项的和.本文介绍求数列通项公式的一些常用方法，供读者参考.1.观察法例1求下列各数列的一个通项公式：（1） 0.9 ， 0.99， 0.999 ， 0.9999 ，…；（2） -2，54，-109，1716，….解（1）将数列中的项和1进行比较就会发现：a1=0.9=1-110，a2=0.99=1-1100，a3=0.999=1-11000，…因此an=1-110n.（2）将数列的各项变为-21，54，-109，1716，…注意观察各项的符号是正负交替出现的，分母是一组平方数，分子比分母大1，因此an=（-1）n×n2+1n2.2.公式法若已知数列是等差（或等比）数列，可运用等差（或等比）数列的通项公式求解.例2已知数列{log2（an-1）} （n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9.求数列{an}的通项公式.解设等差数列{log2（an-1）}的公差为d，由a1=3，a3=9得2d=log2（9-1）-log2（3-1），即d=1.所以log2（an-1）=1+（n-1）×1=n，从而an=2n+1.3.运用an与Sn的关系求通项公式运用数列的通项an与数列的前n项和Sn的关系an=S1（n=1），Sn-Sn-1（n≥2）求数列的通项公式时，要注意关系式中的条件.例3已知数列{an}的前n项的和Sn满足：Sn=3+2n，求数列{an}的通项公式.解由Sn=3+2n，（1）得Sn-1=3+2n-1 （n≥2）.（2）（1）-（2）得Sn-Sn-1=2n-2n-1 （n≥2），即an=2n-1 （n≥2）.由已知得a1=S1=5，不满足an=2n-1，所以an=5，n=1，2n-1，n≥2.4.由数列的递推公式求通项公式由数列的递推公式求通项公式常用的数学思想是化归与转化，把数列化成等差或等比数列.根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的.（1）形如an-an-1=f（n）的形式，采用累加法.例4已知数列{an}中，a1=2，an+1-an=3n （n∈N*），求数列{an}的通项公式.解由an+1-an=3n （n∈N*）得a2-a1=3×1，a3-a2=3×2，a4-a3=3×3，…an-an-1=3×（n-1），（n-1）个式子相加得：an-a1=3×[1+2+…+（n-1）]=3×n×（n-1）2，所以an=2+3n（n-1）2 （n≥2）.又a1=2满足上式，所以数列{an}的通项公式为an=2+3n（n-1）2.（2）形如anan-1=f（n）的形式，采用累乘法.例5已知数列{an}中，a1=12，（n-1）2an-1=（n2-1）右顶点，则常数a的值为.解析由直线l的参数方程x=t，y=t-a （t为参数）消去参数t得直线l的一般方程：y=x-a.由椭圆的参数方程可知其右顶点为（3，0）.因为直线l过椭圆的右顶点，所以3-a=0，即a=3.点评求未知参数的基本方法是先将极坐标方程或者参数方程转化为直角坐标方程，判断其类型，根据类型找出它们特有的性质，最后应用代数或几何关系列出相应的等式求解.题型7根据曲线的参数方程求两曲线的交点的个数例7（2012年北京）直线x=2+t，y=-1-t （t为参数）与曲线x=3cosα，y=3sinα （α为参数）的交点的个数为.解析直线方程可化为x+y-1=0，曲线方程可化为x2+y2=9，圆心（0，0）到直线x+y-1=0的距离d=12=22点评事实上，此类题型还有求曲线与曲线的交点，就是求方程组的实数解问题.本文对坐标系与参数方程仅给出7种题型及其相应的解答方法，为高中此部分的专题教学提供参考.要提高专题的质量，我们还需研读《普通高中数学课程标准》，领会教科书的编写意图，结合实际，才能制定出科学的教学方案.an （n≥2），求数列{an}的通项公式.解由（n-1）2an-1=（n2-1）an （n≥2），得anan-1=n-1n+1 （n≥2），a2a1=13，a3a2=24，a4a3=35，…anan-1=n-1n+1 ，（n-1）个式子相乘得：ana1=13×24×35×…×n-3n-1×n-2n-1×n-1n+1=1×2n（n+1），所以an=1n（n+1）（n≥2）.又a1=12满足上式，所以数列{an}的通项公式为an=1n（n+1）.（3）形如an=Aan-1+B （A、B是常数）的形式，采用构造法，构造以A为公比的等比数列.例6已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，求数列{an}的通项公式.解因为an+1=2an+1，所以an+1+1=2（an+1），所以数列{an+1}是首项为a1+1=2，公比为2的等比数列.所以an+1=2×2n-1，所以an=2n-1.例7已知数列{an}中，a1=4，2an+1=an+1，求数列{an}的通项公式.解待定系数法因为2an+1=an+1，所以an+1=12an+12（1）设an+1+x=12（an+x），所以an+1=12an-12x（3）由（1）、（2）可得12=-12x，所以x=-1.所以数列{an-1}是首项a1-1=3，公比为12的等比数列.所以an-1=3×（12）n-1，所以an=3×（12）n-1+1.（4）形如an=Aan-1+An （A为常数）的形式，采用构造法，构造以1为公差的等差数列.例8已知数列{an}，a1=1，an=3an-1+3n （n≥2），求数列{an}的通项公式.解由an=3an-1+3n （n≥2），两边同时除以3n得an3n=an-13n-1+1，所以an3n-an-13n-1=1 （n≥2）.所以数列{an3n}是首项为a13=13，公差为1的等差数列.所以an3n=13+（n-1）×1=n-23，所以an=3n（n-23）=n·3n-23·3n=n·3n-2·3n-1=3n-1 （3n-2）.故数列{an}的通项公式是an=3n-1（3n-2）.（5）形如an=Aan-1+Bn （A、B为常数）的形式，采用构造法，构造以A为公比的等比数列.例9已知数列{an}，a1=2，an+1=2an+3n，求数列{an}的通项公式.解设数列{an}满足an+1+λ·3n+1=2（an+λ·3n）（λ∈R），整理得an+1=2an-λ3n.又an+1-3n+1=2（an-3n），所以λ=-1，所以an+1-3n+1=2（an-3n），所以an+1-3n+1an-3n=2，故数列{an-3n}是首项为a1-3=-1，公比为2的等比数列.所以其通项公式是an-3n=-1×2n-1，故数列{an}的通项公式是an=-1×2n-1+3n=3n-2n-1.（6）形如an=Can-1A+Ban-1 （A、B、C为常数）的形式，往往取倒数，构造等差（或等比）数列.例10已知数列{an}满足a1=1，an+1=an1+6an，求数列{an}的通项公式.解由已知可知an≠0，故对an+1=an1+6an式子两边同时取倒数，得到1an+1=1+6anan=1an+6，所以1an+1-1an=6，故数列{1an}是首项为1a1=1，公差为6的等差数列.所以1an=1+（n-1）·6，所以an=16n-5，故数列{an}的通项公式是an=16n-5.（7）关于an+1或an的二次三项式的形式，常常通过分解因式，达到求通项公式的目的.例11已知首项为1的正项数列{an}满足（n+1）a2n+1-na2n+an+1·an=0，求数列{an}的通项公式.解由（n+1）a2n+1-na2n+an+1·an=0，得[（n+1）an+1-nan]·（an+1+an）=0.因为an>0，所以an+1+an>0，故（n+1）an+1-nan=0，所以an+1an=nn+1.转化为anan-1=f（n）的形式，采用累乘法可求得数列{an}的通项公式为an=1n.。
求数列通项公式的常见类型及方法
ZHON GXUE JIA OX UE CA NKAO解题方法与技巧69E-mail:zxjxcklk@求数列通项公式的常见类型及方法广西崇左市高级中学(532200) 农芳棉数列是高中数学的重要内容之一,也是历年高考的重点和热点内容,而数列推理题是新出现的命题热点,它主要是以等差数列和等比数列为载体,以数列的通项为主线的试题出现.因此在高考复习中掌握一些简单常见的数列求通项的策略很有必要.现将求数列通项公式的常见类型及其方法归纳如下.一、已知数列的前几项,求其通项公式根据数列前几项求数列通项公式应掌握几种技巧:(1)符号规律,若各项符号为正负相间时,则必有(-1)n 或(-1)n +1因式;(2)乘方规律,即每一项都与同一个数的乘方有密切关系;(3)分式中分子分母的特征;(4)拆项后的特征.找规律时,要看给出的项的分子分母有什么变化规律,可以适当变形,使它们的结构变得一致,再用含n 的式子表示出来.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含着 从特殊到一般 的思想,由不完全归纳法得出的结果是不可靠的,若根据数列前几项求数列通项公式出现在选择题,要注意代值检验,若出现在解答题就用完全归纳法来证明它的正确性.!例1∀ 根据下面各数列的前几项的值写出数列的一个通项公式:(1)1,13,935,1763,3399,#;(2)-3,2,-5,3,-7,4,#(3)1,3,7,15,31,#解:(1)将数列写成:31∃3,53∃5,95∃7,177∃9,339∃11,观察分子分母与项数n 之间的联系,易知其通项公式为a n =2n +1(2n -1)(2n +1).(2)这是一个与(-1)n有关的数列,可将数列写成-37,410,-513,616,-719,822,#,可知分母组成以3为公差的等差数列,分子组成以3为首项、1为公差的等差数列,因此其通项公式为a n =(-1)n n +23m +4;(3)考虑数列的差分数列{a n +1-a n }.a 2-a 1=2,a 3-a 2=4,a 4-a 3=8,#,a n -a n -1=2n -1.将这n -1个式累加,得a n -a 1=2+22+23+#+2n -1=2n -2,所以a n =2n -1.二、已知数列的前n 项和S n 的关系式,求数列的通项公式a n利用S n 与a n 的关系式a n =S 1(n =1);S n -S n -1(n %2),求通项a n ,!例2∀ 已知数列{a n }的前项和S n =n 2-13n -1,求数列的通项公式a n .解:当n =1时,a 1=S 1=12-13∃1-1=-13;当n %2时,a n =S n -S n -1=n 2-13n -1-(n -1)2+13n +1=2n -14.验证:当n =1时,a 1=2∃1-14=-12&S 1,所以a n =-13(n =1);2n -14(n %2).解此类题目应注意:当n =1时,a 1若适合S n -S n -1,则n =1的情况可并入n %2时的通项a n ;当n =1时,a 1若不适合S n -S n -1,则用分段函数的形式表示.三、已知数列的前项和S n 和通项a n 的关系式,求数列的通项公式a n利用S n 与a n 的关系式a n =S 1(n =1),S n -S n -1(n %2),求通项a n ,若a n 和S n 在一个等式中,一般可利用a n 与S n 的关系消去a n 或S n ,构造关于{S n }或{a n }的递推公式,再进一步确定a n 与S n .!例3∀ 数列{a n }的前n 项和S n =1+2a n ,求其通项公式a n .解:∋S n =1+2a n ,(a n =S n -S n -1=1+2a n -1-2a n -1.(-a n =-2a n -1.(a n a n -1=2(n %2).又a 1=S 1=1+2a 1,(a 1=-1,(数列是以-1为首项,2为公比的等比数列.(a n =(-1)∃2n -1=-2n -1.四、已知数列{a n }的递推关系,求其通项公式(1)若已知数列的递推关系形如a n +1=a n +f (n),其中{f (n)}的前n 项可求和.此种类型的数列求其通项公式a n 时,采取累加法.!例4∀ 在数列{a n }中已知a 1=1,a n +1=a n +n,求其通项a n .解:∋a n +1=a n +n,(a n +1-a n =n,(a 2-a 1=1,a 3-a 2=2,a 4-a 3=3,#(a n -a n -1=n -1.把这n -1个等式两边分别相加,得a n -a 1=1+2+3+#+n =n(1+n)2,(a n =n 2+n +22.(2)若已知数列的递推关系形如a n +1=g(n)a n ,其中{g(n)}的前n 项的乘积容易化简.此种类型的数列求其中学教学参考解题方法与技巧70(中旬)2009.6总第17期通项公式a n 时,采取累乘法.!例5∀ 在数列{a n }中,已知a n +1=n +2n a n ,a 1=4,求其通项a n .解:∋a n +1=n a n ,a 1=4,(n +1a n =n.(a 21=3,a 32=4,a 43=5,#,a n -1n -2=n ,a nn -1=n -1.(a 2a 1∃a 3a 2∃a 4a 3∃a 5a 4∃#∃a n -2a n -3∃a n -1a n -2∃a n a n -1=31∃2∃3∃4∃#∃n -3∃n -2∃n -1.(a n a 1=1∃2.(a n =2n(n +1).当n =1时,此式也得a 1=4.(a n =2n(n +1).(3)若已知数列的递推关系形如a n +1=c ∃a n +d(c,d 为常数),求其通项a n 常用构造新数列法.因为形式像直线方程y =kx +b,所以可以考虑变形为点斜式y -m =k(x -m)的形式,即a n +1+m =c(a n +m),构造出新等比数列{a n +m}.!例6∀ 在数列{a n }中,已知a 1=3,a n +1=2a n +3,求其通项a n .解:∋a n +1=2a n +3,设其变形为a n +1+m =2(a n +m),再展开得a n +1=2a n +m,要等于2a n +3,所以m =3.(构造新数列{a n +3},且此数列是以a 1+3为首项,2为公比的等比数列.(a n +3=(a 1+3)2n -1=6∃2n -1.(a n =6∃2n -1-3.(4)若已知数列的递推关系形如a n +1=c ∃a n +f (n)(c 为常数),求其通项a n 也可用构造新数列法.!例7∀ 在数列{a n }中已知a 1=1,a n +1=2a n +n,求其通项a n .解:由例6的思想,将a n +1=2a n +n 恒等变形为(a n +1+n +1)=2(a n +n)+1,此式子又可看成新数列{a n +n}的递推关系.令b n =a n +n,则有b n +1=2b n +1,此式又形如例6,令b n +1+1=2(b n +1),所以新数列{b n +1}是以b 1+1为首项、2为公比的等比数列,所以b n +1=(b 1+1)2n -1,又b 1+1=a 1+1+1=3,所以b n =3∃2n -1-1,所以a n =3∃2n -1-n -1.(5)若已知数列的递推关系形如a n +1=p a n +rq n(p&q,q &0,r &0),常转化为求以p 为公比的等比数列{a n +p -qq n}的通项来解决,当p =q 时,则转化为求以q 为公差的等差数列{a nq}的通项来解决.!例8∀ 在数列{a n }中,已知a 1=2,a n +1= a n +n +1+(2- )2n,n )N +, >0,求其通项a n .解:由a n +1= a n + n +1+(2- )2n = a n + n +1+2n +1- ∃2n,两边同时除以 n +1得a n +1n +1=a n n +1+n +1n +1-nn ,即(a n +1-a n +1)-(a n -2n)=1.所以数列{a n n -n n }是以a 1-=0为首项、1为公差的等差数列.所以n -n n =n -1,所以a n =(n -1) n +2n.(6)若已知数列的递推关系形如ba n +1+ca n a n +1-da n =0,则采取等式两边除以a n a n +1,得a n -a n +1=-c,令b n =a n ,则变为b n +1=d b n +d,则又变为类型(3),故解法同类型(3).!例9∀ 已知数列{a n }的首项a 1=35,a n +1=3a n2a n +1,n )N +,求{a n }的通项公式.解:由a n +1=3a n2a n +1,得a n +1+2a n a n +1-3a n =0,即a n +1=3∃a n +3.令b n =a n,则数列{b n }的递推关系为b n +1=13∃b n +23,此时解法与类型(3)一样,故数列b n +1-1=13(b n -1).所以数列{b n -1}是以b 1-1=1a 1-1=23为首项,3为公比的等比数列.所以b 1-1=a 1-1=3(3)n -1,所以a n =n3n +2.(7)若已知数列的递推关系形如a n +1=p (a n )r (p ,r 为常数,且p >0,a n >0),求a n 时常采用递推关系式两边取对数的方法.!例10∀ 已知数列{a n }的首项a 1=3,a n +1=3a 2n ,求{a n }的通项公式.解:由a n +1=3a 2n 得lg a n +1=lg3a 2n =lg3+2lg a n ,令b n=lg a n ,则b n +1=2b n +lg3,此时解法与类型(3)一样,所以b n +1+lg3=2(b n +lg3),所以数列{b n +lg3}为等比数列,所以b n +lg3=2n -1∃2lg3=2nlg3,所以a n =32n-1.由以上几种类型可知,在处理数列的递推关系问题时,化归转化是重要的数学思想方法之一,如果我们能将复杂的递推关系转化为简单的递推关系,尤其转化为等差等比数列的递推关系,就能使得问题迎刃而解.(责任编辑:金 铃)。
高中数学数列求解方法 (完整版)
高中数学数列解题方法总结类型一：)(1n f a a n n +=+（)(n f 可以求和）−−−−→解决方法累加法例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。
解析：121(2)n n a a n n --=-≥∴213243113521n n a a a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 上述1n -个等式相加可得： 211n a a n -=- 2n a n ∴=类型二：1()n n a f n a +=⋅ （()f n 可以求积）−−−−→解决方法累积法 例2、在数列{}n a 中，已知11,a =有()11n n na n a -=+，(2n ≥)求数列{}n a 的通项公式。
解析：1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=⋅⋅⋅⋅123211143n n n n n n --=⋅⋅⋅⋅+-21n =+ 又1a 也满足上式；21n a n ∴=+ *()n N ∈类型三：1(n n a Aa B +=+≠其中A,B 为常数A 0,1）−−−−→解决方法待定常数法 可将其转化为1()n n a t A a t ++=+，其中1Bt A =-，则数列{}n a t +为公比等于A 的等比数列，然后求n a 即可。
例3 在数列{}n a 中， 11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式。
解析：设()13n n a t a t -+=+，则132n n a a t -=+1t ∴=，于是()1131n n a a -+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，以3为公比的等比数列。
1231n n a -∴=⋅-类型四：()110n n n Aa Ba Ca +-++=⋅⋅≠；其中A,B,C 为常数，且A B C 0可将其转化为()()()112n n n n A a a a a n αβα+-+=+≥-----（*）的形式，列出方程组A B C αββα⋅-=⎧⎨-⋅=⎩,解出,;αβ还原到（*）式，则数列{}1n na a α++是以21a a α+为首项， A β为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出n a 。
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求数列通项公式的方法本文章总结了求数列通项公式的几种常见的方法，分别有：公式法，累加法，累乘法，待定系数法，对数变换法，迭代法，数学归纳法，换元法。
希望对大家有所帮助~~~ 关键字：数列，通项公式，方法 一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232nn n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222nna n =-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nn n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2nna 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n na n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。
二、累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。
例3 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由1231n n n a a +=+⨯+得1231nn n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.nn a n =+-评注：本题解题的关键是把递推关系式1231n n n a a +=+⨯+转化为1231nn n a a +-=⨯+，进而求出11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。
例4 已知数列{}n a 满足1132313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++， 则111213333n n n n n a a +++-=+，故 112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯， 则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯- 评注：本题解题的关键是把递推关系式13231nn n a a +=+⨯+转化为111213333n n n n n a a +++-=+，进而求出112232111122321()()()()333333333n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a -----------+-+-++-+，即得数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。
三、累乘法例5 已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则12(1)5n n na n a +=+，故1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=⋅⋅⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5nn n a n a +=+⨯转化为12(1)5n n na n a +=+，进而求出13211221n n n n a a a a a a a a a ---⋅⋅⋅⋅⋅，即得数列{}n a 的通项公式。
例6已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公式。
解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥①所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+②用②式－①式得1.n n n a a na +-= 则1(1)(2)n n a n a n +=+≥故11(2)n na n n a +=+≥ 所以13222122![(1)43].2n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⨯=③由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知11a =，则21a =，代入③得!13452n n a n =⋅⋅⋅⋅⋅=。
所以，{}n a 的通项公式为!.2n n a =评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为11(2)n na n n a +=+≥，进而求出132122n n n n a a a a a a a ---⋅⋅⋅⋅，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。
四、待定系数法例7 已知数列{}n a 满足112356nn n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：设1152(5)n n n n a x a x +++⨯=+⨯④将1235n n n a a +=+⨯代入④式，得12355225n n nn n a x a x ++⨯+⨯=+⨯，等式两边消去2n a ，得135525n n n x x +⋅+⋅=⋅，两边除以5n ，得352,1,x x x +==-则代入④式得1152(5)n n n n a a ++-=-⑤由1156510a -=-=≠及⑤式得50nn a -≠，则11525n n nn a a ++-=-，则数列{5}n n a -是以1151a -=为首项，以2为公比的等比数列，则152n n n a --=，故125n nn a -=+。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1235n n n a a +=+⨯转化为1152(5)n n n n a a ++-=-，从而可知数列{5}nn a -是等比数列，进而求出数列{5}nn a -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。
例8 已知数列{}n a 满足1135241nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：设1123(2)n n n n a x y a x y +++⨯+=+⨯+⑥将13524nn n a a +=+⨯+代入⑥式，得1352423(2)n n n n n a x y a x y ++⨯++⨯+=+⨯+整理得(52)24323nnx y x y +⨯++=⨯+。
令52343x x y y +=⎧⎨+=⎩，则52x y =⎧⎨=⎩，代入⑥式得115223(522)n n n n a a +++⨯+=+⨯+⑦由11522112130a +⨯+=+=≠及⑦式，得5220nn a +⨯+≠，则115223522n n nn a a +++⨯+=+⨯+， 故数列{522}n n a +⨯+是以1152211213a +⨯+=+=为首项，以3为公比的等比数列，因此1522133n n n a -+⨯+=⨯，则1133522n n n a -=⨯-⨯-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式13524n n n a a +=+⨯+转化为115223(522)n nn n a a +++⨯+=+⨯+，从而可知数列{522}n n a +⨯+是等比数列，进而求出数列{522}nn a +⨯+的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。
例9 已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：设221(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++ ⑧将212345n n a a n n +=+++代入⑧式，得2222345(1)(1)2()n n a n n x n y n z a xn yn z ++++++++=+++，则 222(3)(24)(5)2222n n a x n x y n x y z a xn yn z +++++++++=+++等式两边消去2n a ，得22(3)(24)(5)222x n x y n x y z xn yn z ++++++++=++，解方程组3224252x x x y y x y z z +=⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，则31018x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，代入⑧式，得2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++ ⑨由213110118131320a +⨯+⨯+=+=≠及⑨式，得2310180n a n n +++≠则2123(1)10(1)18231018n n a n n a n n ++++++=+++，故数列2{31018}n a n n +++为以21311011813132a +⨯+⨯+=+=为首项，以2为公比的等比数列，因此2131018322n n a n n -+++=⨯，则42231018n n a n n +=---。