高观点下的几何学练习题及参考答案
高中几何测试题及答案
高中几何测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 在直角三角形中，如果一个锐角是另一个锐角的两倍，那么这个三角形的三个内角分别是多少？A. 30°，60°，90°B. 45°，45°，90°C. 60°，30°，90°D. 90°，45°，45°2. 一个圆的半径是5厘米，那么它的周长是多少厘米？A. 10πB. 15πC. 20πD. 25π3. 已知点A(-3, 4)和点B(2, -1)，线段AB的长度是多少？A. 3√2B. 5√2C. 6√2D. 7√24. 一个正六边形的内角是多少度？A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°5. 如果一个矩形的长是宽的两倍，那么它的对角线长度是宽的多少倍？B. 2C. 3D. 46. 在一个正三角形中，高的长度与边长的关系是什么？A. 高是边长的√3/2倍B. 高是边长的√2/2倍C. 高是边长的1/2倍D. 高是边长的√3倍7. 已知一个球的体积是(4/3)π，那么这个球的半径是多少？A. 1B. 2C. 3D. 48. 如果一个圆锥的底面半径是3，高是4，那么它的体积是多少？A. 9πB. 12πC. 15πD. 18π9. 一个正四面体的每个顶点到对面顶点的距离相等，这个距离是边长的多少倍？A. √2B. √3C. √6D. √810. 已知一个圆柱的底面半径是2，高是5，那么它的体积是多少？B. 25πC. 30πD. 35π二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个圆的直径是14厘米，那么它的面积是________π平方厘米。
12. 如果一个等腰三角形的底边长是6厘米，两腰相等，且底角是45°，那么这个三角形的面积是________平方厘米。
13. 已知一个长方体的长、宽、高分别是2米、3米和4米，那么它的对角线长度是________米。
2023高中数学立体几何复习 题集附答案
2023高中数学立体几何复习题集附答案一、立体几何基础知识立体几何是数学中的一个重要分支，主要研究空间内的图形、体积和表面积等相关性质。
掌握立体几何的基础知识对于高中数学学习尤为重要。
下面是一些常见的立体几何概念及其性质：1. 空间中的点、线、面是立体几何中最基本的概念。
点是没有长度、宽度和高度的，线是由无数个点组成的，面是由无数条线组成的。
2. 立体是由许多平面相互连接而成的。
这些平面称为面，每个面都有其特定的几何形状，如三角形面、矩形面等。
3. 空间中的距离有两种：直线距离和曲线距离。
直线距离是两点之间最短的距离，而曲线距离则是沿着曲线的长度。
4. 空间中的体积是指一个物体占据的空间大小。
常见的几何体体积计算公式有：长方体的体积为底面积乘以高，球体的体积为4/3乘以π半径的立方，圆柱体的体积为底面积乘以高等。
5. 表面积是指立体图形外表面的总面积。
计算几何体表面积的公式与计算体积的公式类似，只是不同几何体的取值不同。
二、复习题1. 长方体A的长、宽、高分别为3cm、4cm和5cm，计算长方体A的表面积和体积。
解答：长方体的表面积公式为S = 2(ab + ac + bc)，其中a、b和c分别是长方体的三个边长。
代入数据后，可得长方体A的表面积为：S = 2(3*4 + 3*5 + 4*5) = 94cm²长方体的体积公式为V = lwh，其中l、w和h分别是长方体的三个边长。
代入数据后，可得长方体A的体积为：V = 3*4*5 = 60cm³因此，长方体A的表面积为94cm²，体积为60cm³。
2. 一个四棱锥的底面是一个边长为6cm的正方形，其高度为8cm。
计算该四棱锥的体积和表面积。
解答：四棱锥的体积公式为V = 1/3 * 底面积 * 高度。
底面为正方形，因此底面积为6²=36cm²。
代入数据后，可得四棱锥的体积为：V = 1/3 * 36 * 8 = 96cm³四棱锥的表面积公式为S = 底面积 + 侧面积。
高观点下——几何学 复习题
《高观点下的几何学》练习题一一、填空题1．设共线三点()0,2,(2,0),(1,1)A B C ，则()ACB =2．如果两个向量线性相关，则它们的位置关系是（ ），夹角为（ ）。
3．空间中三个向量线性相关当且仅当它们（ ），空间中的四个向量一定（ ） 4．设a 与b 是两个非零向量，若a 与b 线性相关，则()a b ⨯=。
5．已知向量{}{}123123,,,,,a x x x b y y y ==，则a 与b 之间的内积()a b ⋅=。
二、选择题1．下列性质或量中哪些是仿射的( ) （1）线段的中点； （2）角的平分线； （3）交比； （4）点偶的调和共轭性 （5）角度 （6）三角形的面积 （7）两相交线段的比 （8）两平行线段的比 （9）对称轴 （10）对称中心2．设a 与b 是两个非零向量，若0a b ⋅=，则（ ）。
()A a 与b 平行 ()B a 与b 垂直 ()C a 与b 线性相关 ()D a 与b 的夹角为π 3．设a 与b 是两个非零向量，则下列结论正确的是（ ）。
()A a b a b ⋅≤ ()B a b a b ⋅= ()C a b a b ⋅≥ ()D a b a b ⋅>4．下列说法错误的是（ ）A ．平面上两个向量线性无关当且仅当它们不共线；B ．平面上两个向量线性无关当且仅当它们垂直C ．平面上两个向量线性无关当且仅当它们平行D ．平面上的三个向量一定线性相关 5．设a 与b 是两个非零向量，若0a b ⨯=，则（ ）()A a 与b 平行 ()B a 与b 交角为锐角 ()C a 与b 线性相关 ()D a 与b 的夹角为2π三、计算与证明题1．设平面上的点变换1σ和2σ分别由⎩⎨⎧-+='++='15232:1y x y y x x σ和⎩⎨⎧+='-='2:2x y yx x σ表示， 求 12(1) σσ；11(2) σ-；21(3) σσ； 12(4) σ-。
高中数学立体几何专项练习题及答案
高中数学立体几何专项练习题及答案一、选择题1. 下面哪个选项不是描述柱体的特点？A. 体积恒定B. 底面形状不限C. 侧面是矩形D. 顶面和底面平行答案：A2. 如果一个四面体的一个顶点的对边垂直于底面，那么这个四面体是什么类型？A. 正方形四面体B. 倒立四面体C. 锥体D. 正方锥体答案：C3. 以下哪个选项正确描述了一个正方体的特点？A. 全部面都是正方形B. 12 条棱长度相同C. 8 个顶点D. 6 个面都是正方形答案：D4. 若长方体的高度是 6cm，底面积是 5cm²，底面对角线长为 a cm，那么 a 的值为多少？A. √11B. √29C. √31D. √41答案：C二、填空题1. 一个正方体的棱长为 4cm，它的体积是多少？答案：64cm³2. 一个球的表面积是100π cm²，那么它的半径是多少？答案：5cm3. 一个圆柱体的底面半径为 3cm，高度为 8cm，它的体积是多少？答案：72π cm³4. 一个圆锥的底面半径为 6cm，高度为 10cm，它的体积是多少？答案：120π cm³三、计算题1. 一个四棱锥的底面是边长为 5cm 的正方形，高度为 8cm，它的体积是多少？答案：单位为 cm³，计算过程如下：首先计算底面积：5cm * 5cm = 25cm²再计算体积：25cm² * 8cm / 3 = 200cm³2. 一个圆柱体的底面直径为 12cm，高度为 15cm，它的体积是多少？答案：单位为 cm³，计算过程如下：首先计算底面半径：12cm / 2 = 6cm再计算底面积：π * 6cm * 6cm = 36π cm²最后计算体积：36π cm² * 15cm = 540π cm³3. 一个球的直径为 8cm，它的体积是多少？答案：单位为 cm³，计算过程如下：首先计算半径：8cm / 2 = 4cm再计算体积：4/3 * π * 4cm * 4cm * 4cm = 268.08π cm³4. 一个圆锥的底面半径为 10cm，高度为 20cm，它的体积是多少？答案：单位为 cm³，计算过程如下：首先计算底面积：π * 10cm * 10cm = 100π cm²最后计算体积：100π cm² * 20cm / 3 = 2000π cm³四、解答题1. 若一个长方体的长度、宽度、高度分别为 a、b、c，它的表面积为多少？答案：单位为 cm²，计算过程如下：首先计算侧面积：2 * (a * b + a * c + b * c)再计算底面积：a * b最后计算表面积：2 * (a * b + a * c + b * c) + a * b2. 一个四棱锥的底面为边长为 a 的正三角形，高度为 h，求这个四棱锥的体积。
高观点下的几何学练习题及参考答案
《高观点下的几何学》练习题参考答案一一、填空题。
1．公理法的三个基本问题是（相容性问题）、（独立性问题）和（完备性问题）。
2．公理法的结构是（原始概念的列举）、（定义的叙述）、（公理的叙述）和（定理的叙述和证明）。
3．仿射变换把矩形变成平行四边形4．仿射变换把平行线变成平行线5．仿射变换把正三角形变成三角形二、简答题。
1．试给一个罗氏几何的数学模型。
答：罗氏几何的（）模型在欧氏平面上任取一个圆，把圆内部的点所构成的集合看成是罗氏“平面”。
罗氏平面几何的原始概念解释成：罗氏点：圆内的点；罗氏直线：圆内的开弦（两个端点除外，它们可称为无穷远点）。
结合关系：圆内原来的点和线的结合关系；介于关系：圆内弦上三点的介于关系；运动关系：欧氏平面上，将圆K变成自身的射影变换。
罗氏平行公理（在罗氏平面上）通过直线外一点至少存在两直线与已知直线不相交。
2．试给一个黎曼几何的数学模型答：黎曼几何的（）模型黎曼几何的原始概念解释成：黎氏点：欧氏球面上的点，但把每对对径点看成一点；黎氏直线：球面上的大圆；黎氏平面：改造后的球面。
黎氏点与黎氏直线的基本关系：(1)通过任意两个黎氏点存在一条黎氏直线；(2)通过任意两个黎氏点至多存在一条黎氏直线；(3)每条黎氏直线上至少有两个黎氏点；至少存在三个黎氏点不在同一条黎氏直线上。
黎曼几何平行公理：黎氏平面上任意两条直线相交。
3．简述公理法的基本思想。
答：若干个原始概念（包括元素和关系）、定义和公理一起叫做一个公理体系，构成了一种几何的基础。
全部元素的集合构成了这种几何的空间。
在这个公理体系的基础上，每个概念都必须给出定义，每个命题都必须给出证明，原始概念、定义、公理和定理按照逻辑关系有次序地排列而构成命题系统——逻辑结构，这就是公理法思想。
4．简述公理系统的独立性答：如果一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明，即不时其余公理的推论，则称这跳公理在公理系统中是独立的。
如果一个公理系统中的没一条工理都是独立的，则称这个公理系统是独立的。
高二数学立体几何综合试题答案及解析
高二数学立体几何综合试题答案及解析1.下列四个条件中，能确定一个平面的只有（填序号）.①空间中的三点②空间中两条直线③一条直线和一个点④两条平行直线【答案】④.【解析】①选项中可确定1个或4个；②选项中若两条直线是异面直线的话就不能确定一个平面；③选项中点要在直线外才能确定一条直线.只有④是正确的.【考点】确定平面的几何要素.2.以正方体的任意4个顶点为顶点的几何形体有①空间四边形；②每个面都是等边三角形的四面体；③最多三个面是直角三角形的四面体；④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体.【答案】①②④【解析】①只要不在同一平面上的四个点连结而成的四边形都是空间四边形. ②从一个顶点出发与它的三个对角面的顶点连结所成的四棱锥符合条件.最多有四个直角四面体.由一个顶点和又该点出发的两条棱的端点及一个对角面的定点四点即可.所以③不成立. ④显然成立.故选①②④.【考点】1.空间图形的判断.2.空间中线面间的关系.3.右图所示的直观图，其原来平面图形的面积是 .【答案】4【解析】由斜二测画法可知原图应为：其面积为：故答案为4.【考点】平面图形的直观图.4.一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（）A. B.C. AB与CD所成的角为D. AB与CD相交【答案】C【解析】将表面展开图还原为正方体，连接,∵∥,∴就是异面直线所成的角，连接,∵是正三角形，=，选C.【考点】1、正方体的表面展开图；2、异面直线所成的角.5.在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AC=1，M 为 AB 中点，将△ACM 沿 CM 折起，使 A、B 间的距离为，则 M 到面 ABC 的距离为（）（A）（B）（C）1（D）【答案】A【解析】由已知得AB=2，AM=MB=MC=1，BC=，由△AMC为等边三角形，取CM中点，则AD⊥CM，AD交BC于E，则AD=，DE=，CE=．折起后，由BC2=AC2+AB2，知∠BAC=90°，又cos∠ECA=，∴AE2=CA2+CE2-2CA•CEcos∠ECA=，于是AC2=AE2+CE2．∴∠AEC=90°．∵AD2=AE2+ED2，∴AE⊥平面BCM，即AE是三棱锥A-BCM的高，AE=。
高中数学立体几何多选题100附答案
高中数学立体几何多选题100附答案一、立体几何多选题1．如图，正方体1111ABCD A B C D -中的正四面体11A BDC -的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）A ．异面直线1AB 与1AD 所成的角是3πB ．1BD ⊥平面11AC DC ．平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为3D ．正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23【答案】ABD 【分析】选项A ，利用正方体的结构特征找到异面直线所成的角；选项B ，根据正方体和正四面体的结构特征以及线面垂直的判定定理容易得证；选项C ，由图得平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为1ACB 面积的四分之一；选项D ，分别求出正方体的体对角线长和正四面体11A BDC -的高，然后判断数量关系即可得解. 【详解】A ：正方体1111ABCD ABCD -中，易知11//AD BC ，异面直线1A B 与1AD 所成的角即直线1A B 与1BC 所成的角，即11A BC ∠，11A BC 为等边三角形，113A BC π∠=，正确；B ：连接11B D ，1B B ⊥平面1111DC B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，即111AC B B ⊥，又1111AC B D ⊥，1111B B B D B ⋂=，有11A C ⊥平面11BDD B ，1BD ⊂平面11BDD B ，所以111BD AC ⊥，同理可证：11BD A D ⊥，1111AC A D A ⋂=，所以1BD ⊥平面11AC D ，正确；C ：易知平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为134ACB S=，错误；D ：易得正方体1111ABCD A B C D -()()()2222226++=2的正四面体11A BDC -，故正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23，正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：利用正方体的性质，找异面直线所成角的平面角求其大小，根据线面垂直的判定证明1BD ⊥平面11AC D ，由正四面体的性质，结合几何图形确定截面的面积，并求高，即可判断C 、D 的正误.2．已知球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球，平面11A C B 截球O 的面积为24π，下列命题中正确的有（ ）A ．异面直线AC 与1BC 所成的角为60°B ．1BD ⊥平面11AC B C ．球O 的表面积为36πD ．三棱锥111B AC B -的体积为288 【答案】AD 【分析】连接11A C ，1A B ，通过平移将AC 与1BC 所成角转化为11A C 与1BC 所成角可判断A ；通过反证法证明B ；由已知平面11A C B 截球O 的面积为24π求出正方体棱长，进而求出内切球的表面积可判断C ；利用等体积法可求得三棱锥111B AC B -的体积可判断D. 【详解】对于A ，连接11A C ，1A B ，由正方体1111ABCD A B C D -，可知11//A C AC ，11AC B ∴∠为异面直线AC 与1BC 所成的角，设正方体边长为a ，则1111AC A B BC ==，由等边三角形知1160A C B ∠=，即异面直线AC 与1BC 所成的角为60，故A 正确； 对于B ，假设1BD ⊥平面11A C B ，又1A B ⊂平面11A C B ，则11BD B A ⊥，设正方体边长为a ，则11A D a =，1A B =，1BD =，由勾股定理知111A D B A ⊥，与假设矛盾，假设不成立，故1BD 不垂直于平面11A C B ，故B 错误；对于C ，设正方体边长为a ，则11AC =，内切球半径为2a，设内切球的球心O 在面11A C B 上的投影为O '，由等边三角形性质可知O '为等边11A C B △的重心，则11123O A AC ='==，又1OA =，∴球心O 到面11A C B 的距离为12122232633a a a OA O A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-='-，又球心与截面圆心的连线垂直于截面，∴截面圆的半径为2236626a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，又截面圆的面积2624S a ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭=，解得12a =，则内切球半径为6，内切球表面积214644S ππ==⨯，故C 错误；对于D ，由等体积法知111111111111212122812383B A C B B A C B A C B V V S a --==⨯⨯=⨯⨯=，故D 正确； 故选：AD【点睛】关键点点睛：本题考查了正方体和它的内切球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，从而求出正方体的棱长，进而求出内切球的表面积及三棱锥的体积，考查了空间想象能力，数形结合的思想，属于较难题.3．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是（ ）A ．()()2212AA AB ADAC ++=B ．1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点C ．1AA 与平面ABCD 所成角大于45 D ．1BD 与AC所成角的余弦值为3【答案】AC 【分析】对A ，分别计算()21++AA AB AD 和2AC ，进行判断；对B ，设BD 中点为O ，连接1A O ，假设1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点，应得10⋅=O AB A ，计算10⋅≠O AB A ，即可判断1A 在底面ABCD 上的射影不是线段BD 的中点；对C ，计算11,,A A AC AC ，根据勾股定理逆定理判断得11⊥A A AC ，1AA 与平面ABCD 所成角为1A AC ∠，再计算1tan ∠A AC ；对D ，计算1,AC BD 以及1BD AC ⋅，再利用向量的夹角公式代入计算夹角的余弦值. 【详解】对A ，由题意，11111cos602⋅=⋅=⋅=⨯⨯=AA AB AA AD AD AB ，所以()2222111112*********++=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯=AA AB ADAA AB AD AA AB AB AD AA AD ，AC AB AD =+，所以()222221113=+=+⋅+=++=AC AB ADAB AB AD AD ，所以()()22126++==AA AB AD AC ，故A 正确；对B ，设BD 中点为O ，连接1A O ，1111111222=+=+=++AO A A AO A A AC A A AD AB ，若1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点，则1A O ⊥平面ABCD ，则应10⋅=O AB A ，又因为21111111111110222222224⎛⎫⋅=++⋅=-⋅+⋅+=-+⨯+=≠ ⎪⎝⎭O AB A A AD AB AB AA AB AD AB AB A ，故B 错误；对D ，11,BD AD AA AB AC AB AD =+-=+，所以()()2211=2,=3=+-=+AD A B A AB AC AB AD D ()()2211111⋅=+-⋅+=⋅++⋅+⋅--⋅=AC AD AA AB AB AD AD AB ADAA AB AA AD AB AB AD BD，111cos ,2⋅<>===B AC D BD BD AC ACD 不正确；对C，112==AC BD ，在1A AC 中，111,===A A AC AC 22211+=A A AC AC ，所以11⊥A A AC ，所以1AA 与平面ABCD 所成角为1A AC ∠，又1tan 1∠=>A AC ，即145∠>A AC ，故C 正确；故选：AC【点睛】方法点睛：用向量方法解决立体几何问题，需要树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比；同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，利用向量的夹角公式求解.4．如图，直三棱柱11,ABC A B C -，ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，且12AC AA ==，E ，F 分别是AC ，11A C 的中点，D ，M 分别是1AA ，1BB 上的两个动点，则（ ）A ．FM 与BD 一定是异面直线B ．三棱锥D MEF -的体积为定值14C ．直线11B C 与BD 所成角为2π D ．若D 为1AA 中点，则四棱锥1D BB FE -的外接球体积为556【答案】CD 【分析】A 当特殊情况M 与B 重合有FM 与BD 相交且共面；B 根据线面垂直、面面垂直判定可证面1BEFB ⊥面11ACC A ，可知EMFS、D 到面1BEFB 的距离，可求D EMF V -；C 根据线面垂直的判定及性质即可确定11B C 与BD 所成角；D 由面面垂直、勾股、矩形性质等确定外接球半径，进而求体积，即可判断各项的正误. 【详解】A ：当M 与B 重合时，FM 与BD 相交且共面，错误； B ：由题意知：BE AC ⊥，AC EF ⊥且BEEF E =，则AC ⊥面1BEFB ，又AC ⊂面11ACC A ，面1BEFB ⋂面11ACC A EF =，所以面1BEFB ⊥面11ACC A ，又1121122EMFSEF BE =⋅⋅=⨯⨯=，D 到面1BEFB 的距离为1h =，所以1133D EMF EMFV h S-=⋅⋅=，错误； C ：由AB BC ⊥，1BC B B ⊥，1B BAB B =，所以BC ⊥面11ABB A ，又11//BC B C ，即11B C ⊥面11ABB A ，而BD ⊂面11ABB A ，则11BD B C ⊥，正确；D ：由B 中，面1BEFB ⊥面11ACC A ，即面DEF ⊥面1BEFB ，则D 到面1BEFB 的距离为1h =，又D 为1AA 中点，若1,BF EB 交点为O ，G 为EF 中点，连接,,OG GD OD ，则OG GD ⊥，故225OD OG GD =+=，由矩形的性质知：152OB OE OF OB ====，令四棱锥1D BB FE -的外接球半径为R ，则5R =，所以四棱锥1D BB FE -的外接球体积为354356V R π==，正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：利用线面、面面关系确定几何体的高，结合棱锥体积公式求体积，根据线面垂直、勾股定理及矩形性质确定外接球半径，结合球体体积公式求体积.5．在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，18AA =，点P 在线段11A C 上，M为AB 的中点，则（ ） A ．BD ⊥平面PACB ．当P 为11AC 的中点时，四棱锥P ABCD -外接球半径为72C ．三棱锥A PCD -体积为定值D ．过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面，所得截面圆的面积的最小值为4π 【答案】ACD 【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A 选项的正误；判断出四棱锥P ABCD -为正四棱锥，求出该四棱锥的外接球半径，可判断B 选项的正误；利用等体积法可判断C 选项的正误；计算出截面圆半径的最小值，求出截面圆面积的最小值，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，因为AB BC =，所以，矩形ABCD 为正方形，所以，BD AC ⊥， 在长方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1BD AA ∴⊥，1AC AA A ⋂=，AC 、1AA ⊂平面PAC ，所以，BD ⊥平面PAC ，A 选项正确；对于B 选项，当点P 为11A C 的中点时，PA ===同理可得PB PC PD ===因为四边形ABCD 为正方形，所以，四棱锥P ABCD -为正四棱锥， 取AC 的中点N ，则PN 平面ABCD ，且四棱锥P ABCD -的外接球球心在直线PN上，设该四棱锥的外接球半径为R ，由几何关系可得222PN R AN R -+=， 即2288R R -+=，解得92R =，B 选项错误； 对于C 选项，2114822ACDSAD CD =⋅=⨯=， 三棱锥P ACD -的高为18AA =，因此，116433A PCD P ACD ACD V V S AA --==⋅=△，C 选项正确；对于D 选项，设长方体1111ABCD A B C D -的外接球球心为E ，则E 为1BD 的中点， 连接EN 、MN ，则1142EN DD ==，122MN AD ==， E 、N 分别为1BD 、BD 的中点，则1//EN DD ， 1DD ⊥平面ABCD ，EN ∴⊥平面ABCD ，MN ⊂平面ABCD ，EN MN ∴⊥，EM ∴==过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面为平面α，点E 到平面α的距离为d ，直线EM 与平面α所成的角为θ，则sin 25sin 25d EM θθ==≤， 当且仅当2πθ=时，等号成立，长方体1111ABCD A B C D -的外接球半径为222126AB AD AA R ++'==，所以，截面圆的半径()()222226252r R d '=-≥-=，因此，截面圆面积的最小值为4π，D 选项正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.6．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，中，E 为棱1CC 上的中点，F 为棱1AA 上的点，且满足1:1:2A F FA =，点F ，B ，E ，G ，H 为过三点B ，E ，F 的平面BMN 与正方体1111ABCD A B C D -的棱的交点，则下列说法正确的是（ ）A ．//HF BEB ．三棱锥的体积14B BMN V -=C ．直线MN 与平面11A B BA 所成的角为45︒D ．11:1:3D G GC = 【答案】ABD 【分析】面面平行性质定理可得出A 正确；等体积法求得B 正确；直线MN 与平面11A B BA 所成的角为1B MN ∠，求其正切值不等于1即可得出C 错误；利用面面平行性质定理和中位线求出11,D G GC 长度即可得出D 正确. 【详解】解：对于A.在正方体1111ABCD A B C D -中平面11//ADA D 平面11BCB C ， 又平面11ADA D 平面BMN HF =，平面11BCB C ⋂平面BMN BE =，有平面与平面平行的性质定理可得//HF BE ，故正确； 对于B.因为1:1:2A F FA =，所以111332B M A B ==， 又E 为棱1CC 上的中点，所以14B N =, 所以1111234432B BMN N B BM V V --⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故正确； 对于C.由题意及图形可判定直线MN 与平面11A B BA 所成的角为1B MN ∠， 结合B 选项可得1114tan 13B N B MN B M ∠==≠，故错误； 对于D.同A 选项证明方法一样可证的11//GC B M ，因为E 为棱1CC 上的中点，1C 为棱1B N 上的中点，所以1113=22GC B M = 所以11G=2D ，所以11:1:3D G GC =，故正确. 故选：ABD 【点睛】求体积的常用方法：（1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算；（2）等体积法：选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换；（3）割补法：首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算.7．如图，矩形ABCD 中， 22AB AD ==，E 为边AB 的中点.将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △（点1A 不落在底面BCDE 内），若M 在线段1A C 上（点M 与1A ，C 不重合），则在ADE 翻转过程中，以下命题正确的是（ ）A ．存在某个位置，使1DE A C ⊥B ．存在点M ，使得BM ⊥平面1A DC 成立C ．存在点M ，使得//MB 平面1A DE 成立D ．四棱锥1A BCDE -体积最大值为24 【答案】CD【分析】利用反证法可得A 、B 错误，取M 为1A C 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI IE ，可证明//MB 平面1A DE ，当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大值，利用公式可求得此时体积为24. 【详解】如图（1），取DE 的中点为F ，连接1,A F CF ，则45CDF ∠=︒，22DF =，故212254222222CF =+-⨯⨯=， 故222DC DF CF ≠+即2CFD π∠≠．若1CA DE ⊥，因为11,A D A E DF FE ==，故1A F DE ⊥，而111A F A C A ⋂=， 故DE ⊥平面1A FC ，因为CF ⊂平面1A FC ，故DE CF ⊥，矛盾，故A 错． 若BM ⊥平面1A DC ，因为DC ⊂平面1A DC ，故BM DC ⊥，因为DC CB ⊥，BM CB B ⋂=，故CD ⊥平面1A CB ，因为1AC ⊂平面1A CB ，故1CD A C ⊥，但1A D CD <，矛盾，故B 错． 当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大值，由前述证明可知1A F DE ⊥，而平面1A DE 平面BCDE DE =，1A F ⊂平面1A DE ，故1A F ⊥平面BCDE ，因为1A DE △为等腰直角三角形，111A D A E ==，故122A F =， 又四边形BCDE 的面积为13211122⨯-⨯⨯=， 故此时体积为13223224⨯⨯=D 正确． 对于C ，如图（2），取M 为1A C 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI IE ， 则1//,2IM CD IM CD =，而1//,2BE CD BE CD =， 故//,IM BE IM BE =即四边形IEBM 为平行四边形， 故//IE BM ，因为IE ⊂平面1A DE ，BM ⊄平面1A DE ，故//MB 平面1A DE ， 故C 正确．故选：CD.【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，注意对于折叠后点线面的位置的判断，若命题的不成立，往往需要利用反证法来处理，本题属于难题.8．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱11AA =，P 为上底面1111D C B A 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ）A ．若3PD =，则满足条件的P 点有且只有一个B ．若3PD =，则点P 的轨迹是一段圆弧C ．若PD ∥平面1ACB ，则DP 长的最小值为2D ．若PD ∥平面1ACB ，且3PD =，则平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形的面积为94π 【答案】ABD【分析】 若3PD =，由于P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一；()313PD =，，则12PD =P 的轨迹是一段圆弧；当P 为11A C 中点时，DP 有最小值为3=断C ；平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为32=，可得D . 【详解】如图：∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2， ∴1122B D =，又侧棱11AA =，∴()2212213DB =+=，则P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一，故A 正确； ∵()313PD =∈，，11DD =，则12PD =，即点P 的轨迹是一段圆弧，故B 正确； 连接1DA ，1DC ，可得平面11//A DC 平面1ACB ，则当P 为11A C 中点时，DP 有最小值为()22213+=，故C 错误；由C 知，平面BDP 即为平面11BDD B ，平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为2221322122++=，面积为94π，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查了立体几何综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.9．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下列结论中正确的是（ ）A ．11A C ⊥平面11BB D DB ．1BD ⊥平面1ACBC ．1BD 与底面11BCC B 2D ．过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60角的直线有2条【答案】ABD【分析】由直线与平面垂直的判定判断A 与B ；求解1BD 与底面11BCC B 所成角的正切值判断C ；利用空间向量法可判断D ．【详解】对于A 选项，如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，则111BB A C ⊥，由于四边形1111D C B A 为正方形，则1111AC B D ⊥， 1111BB B D B =，因此，11A C ⊥平面11BB D D ，故A 正确；对于B 选项，在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，1AC DD ∴⊥，因为四边形ABCD 为正方形，所以，AC BD ⊥，1D DD BD =，AC ∴⊥平面11BB D D ， 1BD ⊂平面11BB D D ，1AC BD ∴⊥，同理可得11BD B C ⊥，1AC B C C =，1BD ∴⊥平面1ACB ，故B 正确； 对于C 选项，由11C D ⊥平面11BCC B ，得11C BD ∠为1BD 与平面11BCC B 所成角， 且111112tan 2C D C BD BC ∠==，故C 错误； 对于D 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则()1,0,0A 、()0,0,0D 、()0,1,0C 、()11,1,1B ，()1,0,0DA =，()11,0,1CB =，设过点1A 且与直线DA 、1CB 所成角的直线的方向向量为()1,,m y z =， 则221cos ,21DA mDA m DA m y z ⋅<>===⋅++，1122111cos ,221CB m z CB m CB m y z ⋅+<>===⋅⋅++， 整理可得2222341y z y z z ⎧+=⎨=++⎩，消去y 并整理得2210z z +-=，解得12z =-+或12z =--，由已知可得3z ≤，所以，12z =-+，可得22y =±，因此，过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60角的直线有2条，D 选项正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．10．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E ，F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB '，DD '交于点M ，N ，以下四个命题中正确的是（ ）A ．0MN EF ⋅=B ．ME NE =C ．四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:3D ．四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3【答案】ABD【分析】证明EF ⊥平面BDD B ''，进而得EF MN ⊥，即可得A 选项正确；证明四边形MENF 为菱形即可得B 选项正确；由菱形性质得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅，再分别讨论MN 的最大值与最小值即可；根据割补法求解体积即可.【详解】对于A 选项，如图，连接BD ，B D ''，MN ．由题易得EF BD ⊥，EF BB '⊥，BD BB B '⋂=，所以EF ⊥平面BDD B ''，又MN ⊂平面BDD B ''，所以EF MN ⊥，因此0MN EF ⋅=，故A 正确．对于B 选项，由正方体性质得：平面''//BCC B 平面''ADD A ，平面''BCC B 平面EMFN MF =，平面''ADD A 平面EMFN EN =， 所以//MF EN ，同理得//ME NF ，又EF MN ⊥，所以四边形MENF 为菱形， 因此ME NE =，故B 正确．对于C 选项，由B 易得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅， 所以当点M ，N 分别为BB '，DD '的中点时，四边形MENF 的面积S 最小，此时MN EF ==，即面积S 的最小值为1； 当点M ，N 分别与点B （或点B '），D （或D ）重合时，四边形MENF 的面积S 最大，此时MN =，即面积S所以四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2C 不正确．对于D 选项，四棱锥A MENF -的体积1111336M AEF N AEF AEF V V V DB S --=+=⋅==△； 因为E ，F 分别是AA '，CC '的中点，所以BM D N '=，DN B M '=，于是被截面MENF 平分的两个多面体是完全相同的，则它们的体积也是相同的，因此多面体ABCD EMFN -的体积21122ABCD A B C D V V ''''-==正方体， 所以四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查立体几何与向量的综合、截面面积的最值、几何体的体积，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于证明四边形MENF 为菱形，利用割补法将四棱锥A MENF -的体积转化为三棱锥M AEF - 和N AEF -的体积之和，将多面体ABCD EMFN -的体积转化为正方体的体积的一半求解.。
历年全国理科数学高考试的题目立体几何部分精选(含问题详解)
1■在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为2•已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球0的球面上，且AB =6, BC二2 3,则棱锥0 - ABCD的体积为____________ 。
3.如图，四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四(A) <D)边形，/ DAB=60,AB=2AD,PDL底面ABCD.(I )证明：PAL BD;(H )若PD=AD,求二面角A-PB-C 的余弦值1. D 28,33.解：(I)因为.DAB =60,AB=2AD ,由余弦定理得 BD 二 J3AD从而 BD 2+AD 2= AB 2，故 BD _ AD又PD_底面ABCD,可得BD_ PD所以BD_平面PAD.故 PA_BD(H)如图，以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线 DA 为X 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D-xyz ，则A 1,0,0 ,B 0, 3,0 ,C -1,、、3,0 , P 0,0,1。
uiv - uuv - uuvAB =(-1, .3,0), PB =(0八 3,-1),BC 十 1,0,0)uuuuuum PB =0,{ uuiu设平面PBC 的法向量为 m ，贝y l m BC=0,n= (x , y , z ),则n AB =0, { uuu n PB =0, 因此可取n=C 、3,1,-.3)设平面PAB 的法向量为故二面角A-PB-C 的余弦值为可取 m= (0, -1, -.3) cos m, n -42、771.正方体ABCD-ABQQ中，B B与平面AC D I所成角的余弦值为A辽B二C 2 D至3 3 3 32. 已知圆0的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么PA・PB 的最小值为(A) -4 2 (B) -3 、2 (C) -4 2,2 (D) -3 2,23. 已知在半径为2的球面上有A、B、C D四点，若AB=CD=2则四面体ABCD勺体积的最大值为(A) 2 3(B) 4 - (C) 2 3 (D) 8 33 3 34. 如图，四棱锥S-ABCD中, SD_ 底面ABCD AB//DC, AD_ DC, AB=AD=1DC=SD=2 E为棱SB上的一点，平面EDU 平面SBC .(I)证明：SE=2EB(n)求二面角A-DE-C的大小.3(二)1. D2. D3. B4.解法一：(I )连接BD,取DC的中点G,连接BG,由此知DG =GC =BG =1,即ABC为直角三角形，故BC _ BD .又SD _ 平面ABCD,故BC _ SD,所以，BC _ 平面BDS,BC_ DE.作BK _ EC, K为垂足，因平面EDC _平面SBC，故BK _平面EDC，BK _DE,DE与平面SBC内的两条相交直线DE!平面SBC DEL EC,DE± SBSB= SD2 DB2 =、6E—DBF E2呼所以，SE=2EB(n )由SA二.SD2 AD2二.5, AB =1,SE = 2EB,AB _ SA 知BC都垂直AE「J “ABV 0 丿131,又AD=1 . 故ADE为等腰三角形.取ED 中点F,连接AF ,则AF _ DE , AF =：：：；'AD2- DF 2 =_| 3连接FG，贝U FG //EC, FG _ DE .所以，• AFG是二面角A - DE -C的平面角连接AG,AG=、2, FG h^DG2-DF23AF 2+FG 2-AG 2 1 cos._AFG , 2LJAFLFG 2 所以，二面角 A_DE _C 的大小为120°. 解法二： 以D 为坐标原点，射线 DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系 D-xyz ,2 E( , , ) 1 • 1 ■ 1 ■ 2 DE =( , , ), DC =(0,2,0) 1 ■ 1 ■ 1 ■ 设平面CDE 的法向量m=(x,y,z) m_DE=0， m_DC=0 x ■ y 2z 厂匸厂72y ° 令 x = 2，则 m =(2,0, -) 由平面 DECL 平面 SBC 得 ml n, mLH =0,2 - ’ = 0/ =2 故 SE=2EB 2 2 2 1 1 1 「 (H)由⑴知比品)，取DE 的中点F ,则兀打丹 二0，由此得FA _ DE 又 EC =(-2,4,-2)，故 ECLDE =0，由此得 EC — DE , 设 A(1,0,0)，贝U B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2) (I) SC=(0,2,-2), £(-1,1,0) 设平面SBC 的法向量为n=(a, b, c) 由 n _ SC, n _ BC ，得 =0, =0 故 2b-2c=0,-a+b=0 令 a=1，贝U b=c,c=1,n=(1,1,1) C ■ 0)，则 又设 故3 3 3向量FA与EC的夹角等于二面角A - DE -C的平面角cos (FA,EC )=臨 1|FA||EC| 2所以，二面角 A 一 DE —C 的大小为120；AB 与CG 所成的角的余弦值为( )则P 、Q 两点之间距离的最小值为() (A) (B)2 (C) 2、、3 (D)4于是1.已知二棱柱ABC-'AB I G 的侧棱与底面边长都相等，A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线 (A ) (C )辽4(D)2.已知二面角〉-1 - ［为60°，动点P 、Q 分别在面aB 内，P 到B 的距离为 3, Q 到a 的距离为2 3 ,3.直三棱柱ABC-A i BiG 的各顶点都在同一球面上，若AB 二 AC = AA = 2, BAC =120，则此球的表 面积等于 _______________ 。
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《高观点下的几何学》练习题参考答案一一、填空题。
1．公理法的三个基本问题是（相容性问题）、（独立性问题）和（完备性问题）。
2．公理法的结构是（原始概念的列举）、（定义的叙述）、（公理的叙述）和（定理的叙述和证明）。
3．仿射变换把矩形变成平行四边形4．仿射变换把平行线变成平行线5．仿射变换把正三角形变成三角形二、简答题。
1．试给一个罗氏几何的数学模型。
答：罗氏几何的（Cayley-F.kLein）模型在欧氏平面上任取一个圆，把圆内部的点所构成的集合看成是罗氏“平面”。
罗氏平面几何的原始概念解释成：罗氏点：圆内的点；罗氏直线：圆内的开弦（两个端点除外，它们可称为无穷远点）。
结合关系：圆内原来的点和线的结合关系；介于关系：圆内弦上三点的介于关系；运动关系：欧氏平面上，将圆K变成自身的射影变换。
罗氏平行公理（在罗氏平面上）通过直线外一点至少存在两直线与已知直线不相交。
2．试给一个黎曼几何的数学模型答：黎曼几何的（F.KLein）模型黎曼几何的原始概念解释成：黎氏点：欧氏球面上的点，但把每对对径点看成一点；黎氏直线：球面上的大圆；黎氏平面：改造后的球面。
黎氏点与黎氏直线的基本关系：(1)通过任意两个黎氏点存在一条黎氏直线；(2)通过任意两个黎氏点至多存在一条黎氏直线；(3)每条黎氏直线上至少有两个黎氏点；至少存在三个黎氏点不在同一条黎氏直线上。
黎曼几何平行公理：黎氏平面上任意两条直线相交。
3．简述公理法的基本思想。
答：若干个原始概念（包括元素和关系）、定义和公理一起叫做一个公理体系，构成了一种几何的基础。
全部元素的集合构成了这种几何的空间。
在这个公理体系的基础上，每个概念都必须给出定义，每个命题都必须给出证明，原始概念、定义、公理和定理按照逻辑关系有次序地排列而构成命题系统——逻辑结构，这就是公理法思想。
4．简述公理系统的独立性答：如果一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明，即不时其余公理的推论，则称这跳公理在公理系统中是独立的。
如果一个公理系统中的没一条工理都是独立的，则称这个公理系统是独立的。
5．试着陈述非欧几何是怎样产生的？答：众所周知，欧几里得《几何原本》是演绎体系的里程碑，虽然它不尽完善，但它确实是建立科学演绎体系的最早的代表作，它一经问世，就引起了学术界的广泛关注，欧几里得之后的数学家们在对《几何原本》的研究过程发现，它的第五公设的内容不象前四条公设叙述的那么简单，同时它又是在第二十九条命题之后才出现的，于是这些数学家很自然提出这样一个问题：是否底五公设它不是一条公理，而是一条命题呢？与是他们试图去论证第五公设的独立性，在这种论证过程中，罗巴切夫斯基与黎曼分别建立了新的无矛盾的科学演绎体系，即罗氏及何与黎曼几何，这两种几何与欧氏几何有共同的绝对几何公理体系，只是平行公理不同。
6．简述公理系统的完备性。
答：如果公理系统的所有模型都是同构的，则称这个公理系统是完备的，或称其具有完备性。
7．简述公理系统的相容性。
答：公理系公理系统的相容性是指这个系统的所有构成要素是无矛盾的。
任何一个公理系统都要满足无矛盾性。
证明公理系统的相容性常用的方法是模型法。
三、选择题。
1．三角形内角和等于180度与（ A ）A 欧氏平行公理等价B 罗氏平行公理等价C 椭圆几何平行公设等价D 不可判定2．欧氏几何与非欧几何的本质区别为（ A ）A 平行公设不同B 结合公理相同C 绝对公设不同D 结合公理不同3．设点,,A B C 共线，且在仿射变换下分别变成',','A B C ，则',','A B C 三点（ A ）A ．共线B ．三角形顶点C ．可能不共线D ．可能重合 4．正方形在仿射变换下变成（ B ）A ．正方形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形 5．正方形的下列性质中哪些是仿射的( 1，4 )（1）对边平行； （2）四角相等；（3）四边相等；（4）对角线互相平分； （5）对角线互相垂直；（6）角被对角线平分；（7）对角线相等；（8）面积 6．在仿射对应下，哪些量不变？（ C ，D ）A ．长度B ．角度C ．单比D ．交比四、计算与证明题。
1．求出将点(3,1)变成点(1,3)-的绕原点的旋转变换，再将所得的变换用于抛物线28180y x y --+=上。
解：设所求的旋转变换为'cos sin 'sin cos x x y y x y θθθθ=-⎧⎨=+⎩ 则 2πθ=于是所求的旋转变换为''x y y x =-⎧⎨=⎩ 即''x y y x =⎧⎨=-⎩将此变换用于所给的抛物线得2'8''180x x y +-+=。
2． 试确定仿射变换，使y 轴、x 轴的象分别为直线10x y ++=和10x y --=，且点(1,1) 的象为原点。
解：所求变换的公式为111222''''x x y y x y αβγαβγ=++⎧⎨=++⎩ 其中 11220αβαβ≠ 则0x =变成直线111''0x y αβγ++=但由题设0x =变成''10x y ++=可知，111''0x y αβγ++=与''10x y ++=表示同一直线。
所以1111111hαβγ===因此 ''1hx x y =++同理 ''1ky x y =--此处,h k 是参数。
又因为点（1，1）的象为原点，于是1,1h k ==-，所以，所求变换的逆式为''1(''1)x x y y x y =++⎧⎨=---⎩由此得出所求的仿射变换为'22'122x y x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩3．求出将点(2,3)变成点(0,1)-的平移变换，在这个平移变换下，抛物线28180y x y --+=变成什么曲线？ 解：设所求的平移变换为''x x ay y b=+⎧⎨=+⎩ 将已知对应点的坐标代入上式得0213ab =+⎧⎨-=+⎩于是 2, 4a b =-=-所以所求的平移变换为 '2'4x x y y =-⎧⎨=-⎩ 即 '2'4x x y y =+⎧⎨=+⎩将此变换用于所给的抛物线上2('4)('2)8('4)180y x y +-+-++=即2''0y x -=4．求仿射变换'71'424x x y y x y =-+⎧⎨=++⎩的二重直线。
解： 设所求的不变直线为0Ax By C ++= （,A B 不同时为0）即在所给的变换下，0Ax By C ++=对应''0Ax By C ++= 因为''(71)(424) (74)(2)(4)Ax By C A x y B x y C A B x A B y A B C ++=-+++++=++-++++所以 74 (1)2 (2)4 (3)A B A A B B A B C C λλλ+=-+=++=消去,,A B C 得7401200141λλλ---=-展开化简得(1)(7)(2)4(1)0λλλλ---+-=解得1,3,6λ=由于当1λ=时，0A B ==，因此不对应不变直线，分别将3,6λλ==代入（1），（2），（3）得3, 2A B C B =-=和 4, 0A B C =-= 所以不变直线为2230x y --= 和 40x y -=5．证明，直线0Ax By C ++=将两点111(,)P x y 与222(,)P x y 的连线段分成的比是1122Ax By CAx By C++-++。
6．求证：相交于影消线的二直线必射影成两平行线。
证明： 设二直线1l 和2l 交于P 点，P 点在影消线上，1l 和2l 经射影对应，对应直线为'1l 和'2l ，则P 点对应无穷远点。
由于射影对应保持结合性不变，所以P 的对应点是'1l 和'2l 的交点，即无穷远点，也就是'1l ∥'2l 。
二一、填空题。
1．设共线三点()0,2,(2,0),(1,1)A B C ，则()ACB = 22．如果两个向量线性相关，则它们的位置关系是（ 共线或平行 ），夹角为（ 0π或 ）。
3．空间中三个向量线性相关当且仅当它们（ 共面 ），空间中的四个向量一定（ 线性相关 ） 4．设a 与b 是两个非零向量，若a 与b 线性相关，则()0a b ⨯=。
5．已知向量{}{}123123,,,,,a x x x b y y y ==，则a 与b 之间的内积()112233a b x y x y x y ⋅=++。
二、选择题。
1．下列性质或量中哪些是仿射的( 1，3，4，8 )（1）线段的中点； （2）角的平分线；（3）交比； （4）点偶的调和共轭性（5）角度 （6）三角形的面积（7）两相交线段的比（8）两平行线段的比（9）对称轴 （10）对称中心2．设a 与b 是两个非零向量，若0a b ⋅=，则（ B ）。
()A a 与b 平行 ()B a 与b 垂直 ()C a 与b 线性相关 ()D a 与b 的夹角为π3．设a 与b 是两个非零向量，则下列结论正确的是（ A ）。
()A a b a b ⋅≤ ()B a b a b ⋅= ()C a b a b ⋅≥ ()D a b a b ⋅>4．下列说法错误的是（ B ，C ）A ．平面上两个向量线性无关当且仅当它们不共线；B ．平面上两个向量线性无关当且仅当它们垂直C ．平面上两个向量线性无关当且仅当它们平行D ．平面上的三个向量一定线性相关 5．设a 与b 是两个非零向量，若0a b ⨯=，则（A ，C ）()A a 与b 平行 ()B a 与b 交角为锐角。
()C a 与b 线性相关 ()D a 与b 的夹角为2π三、计算与证明题。
1．设平面上的点变换1σ和2σ分别由⎩⎨⎧-+='++='15232:1y x y y x x σ和⎩⎨⎧+='-='2:2x y yx x σ表示，求 12(1) σσ；11(2) σ-；21(3) σσ； 12(4) σ-。
解：（１） 12()2(2)32()5(2)1x x y x y x y x σσ''=-+++⎧=⎨''=-++-⎩即1237729x x y y x y σσ''=-+⎧=⎨''=-+⎩（２）若求11σ-，只需从1σ中求出x,y 即可。