行列式的基本概念与性质docx

a1 n (n −1) 0 =(−1) 2 a1 a2⋯ an ⋮ 0
試證明⑵⑷ 做例 1，練 1，練 2
行列式的基本性質（重點） 1.轉置行列式 DT
a D= a ⋮ a
DT=
11 21
n1
a ⋯a a ⋯a ⋮ ⋱ ⋮ ⋯⋯ a
12 22
1n 2n
，D
T=
nn
a a ⋮ a
11 12
1n
a ⋯a a ⋯a ⋮ ⋱ ⋮ ⋯⋯ a
a2 b2 ⑵ D= 2 c d2 1 ⑶ D= 1 0 1 1 −1 ⑷ D= 0 0 0 2 3 1 2
(a + 1)2 (b + 1)2 (c + 1)2 (d + 1)2 0 5 5 3 1 0 6 4
a11 ⋮ ak1 ⑸ 设 D= c11 ⋮ ck1
a1 1 − a1 −1 0 0 ⋯ a1k ⋮ ⋯ akk ⋯ c1k b11 ⋮ ⋮ ⋯ ckk bk1
a ⑺ (2008/2009 学年澳大入学考题)因式分解行列式 b c
a2 b2 c2
bc ac ab
行列式按行列展开
1. 余子式和代数余子式 在一个 n 级行列式 det(aij)中,把元素(i,j=1,2,.....n)所在的行与列划去后，剩下 的(n-1)2 个元素按照原来的次序组成的一个 n-1 阶行列式 Mij,称为元素 aij 的余 子式，Mij 带上符号(-1)i+j 称为 aij 的代数余子式 Aij 例如 定理一：n 行列式 det（aij）等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的 代数余子式乘积之和。 即 D= ai1 Ai1 + ai2 Ai2 +…+ ain Ain(i=1,2,.....n) 或 D=a1j A1j+a2j A2j+…+anj Anj(j=1,2,.....n) 证明：首先讨论 D 的第一行元素除 a11 外其他元素均为零的情况，即 由于 a12a13a14⋯ ⋯均为 0， 行列式 D 按照第一行展开应该 D=a11M11 由于 M11=A11 所以 D= a11A11
j1
a ⋮ a + ka ⋮ a ⋮ a
12 i2 j2 nn2
⋯ ⋯
j2
a a ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ a + ka a = ⋮ ⋮ a ⋯ ⋯ a ⋮ ⋮ a ⋯ ⋯ a
1n in jn jn nn
11
i1
j1
n1
a ⋯ ⋮ a ⋯ ⋮ a ⋯ ⋮ a ⋯
12 i2 j2 n2
a ⋮ a ⋮ (其中 i≠ j) a ⋮ a
讨论 D 的第 i 行元素除 aij 外其他元素均为 0 的情况，即 a11 ⋯ a1j ⋮ ⋮ 0 ⋯ a ij D= ⋮ ⋮ an1 ⋯ anj ⋯ a1n ⋮ ⋯ 0 ⋮ ⋯ ann
将 D 的第 i 行依次与第 i-1, ⋯第 2 ，第 1 行做 i-1 次相互交换，调到第 1 行， 再将第 j 列依次与第 j-1，⋯第 2，第 1 列作 j-1 次相互交换，调到第一列。一 共 i+j-2 次交换， 同上题得 D=（-1）i+j aij Mij = aij Aij
D=
a11 a12 ⋮ ⋮ = ai1 0 ⋮ ⋮ an1 an2
= ai1 Ai1 + ai2 Ai2 +…+ ain Ain
(i=1,2,.....n)
类似的若按列证明，可得：
D=a1j A1j+a2j A2j+…+anj Anj
(j=1,2,.....n)
这个定理叫做行列式按行（列）展开法(或者叫降阶法)则
1 −2 3 Ex2. 用對角線法則求行列式 D= −4 5 −6 7 −8 9
3. 逆序數 排列 1 5 4 3 2 中構成逆序的數對有 32,42,52,43,53,54 共 6 對
或寫 0 0 1 2 3，則該排列的逆序數表示為τ 1,5,4,3,2 = 6 定義， 由 i1,i2,…ij…ik…in 這 n 個項組成的 n 階行列式中 j<k,若 ij>ik, 則稱數對 ij， ik 構成一個逆序 一個排列的逆序總數稱為這個排列的逆序數，記為τ = i1, i2 … in 逆序數為偶數的排列稱為偶排列 逆序數為奇數的排列稱為奇排列

4. 對換 將一個排列中的兩個數位置互換，而其餘的數不動，就得到另一個排列， 這樣的變換叫對換 如：經過 1,3 兩個數的對換，排列 1 5 4 3 2 變成 3 5 4 1 2，τ 1 5 4 3 2 = 6 為偶排列，τ 3 5 4 1 2 = 7 為奇排列，經過一對數的對換后偶排列變成了奇 排列 任意排列經過一次對換后必改變其奇偶性

定理 2 ：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余 子式乘积之和等于零，即
ai1 Aj1 + ai2 Aj2 +…+ ain Ajn=0 或 a1i A1j+a2i A2j+…+ani Anj=0
(i≠ j) (i≠ j)
证明： 把行列式 D=det（aij）按第 j 行展开，有 a11 ⋮ ai1 aj1 Aj1 + aj2 Aj2 +…+ ajn Ajn= ⋮ aj1 ⋮ an1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a1n ⋮ ain ⋮ ajn ⋮ ann
21 22
n1 n2
nn
（ − 1）
τ i 1,i 2…i n
ai11ai22 … ainn =
（ − 1）
τ j 1,j 2…j n
a1j1a1j2 … a1jn = D
故 D=DT 性質 1：行列式 D 與它的轉置行列式相等 由此性質表明， 行列式中行與列的地位是對等的， 因此行列式中行列互換， 行列式不變（行列互換指行全部變成列，列全部變成行） 2.性質 2：互換行列式中的兩行或者兩列，行列式反號 單獨取出行列式中的每一行（或者每一列） ，兩列（行）互換后，該排列的奇偶 性改變，那麼行列式 D 的展開項的每一項都變號，也就 D 變成了-D。
D1= b1 a12 = b1a22 − b2a12 b2 a22 D2= a11 b1 = a11b2 − a21b1 a21 b2 則方程組的解為x1= D , x2= D
D1 D2
Ex1. 用行列式來解線性方程組
x + 2y = 1 3x + 5y = 2
2. 類似的，我們定義三階行列式：由 9 個元素排成三行三列的數表 a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11 a22 a33+ a12 a23 a31+ a13 a21 a32- a13 a22 a31- a23 a32 a11 a31 a32 a33 - a12 a21 a33 三階行列式是六個項的代數和。 展開式符合對角線法則 二階行列式的展開式有 2=2！ 個項，三階行列式的展開式有 6=3！個項， 以此類推，n 階行列式的展開式有 n！個項。
最后讨论一般情况： a11 a12 ⋯ ⋮ ⋮ ai1 + 0 + ⋯ + 0 0 + ai2 + 0 ⋯ + 0 ⋯ ⋮ ⋮ an1 an2 ⋯ ⋯ a1n a11 a12 ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 0 + 0 ai2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ann an1 an2 ⋯ a1n ⋮ ⋯ 0 +⋯ + ⋮ ⋯ ann a1n ⋮ 0 + ⋯ + 0 + ain ⋮ ann a11 a12 ⋮ ⋮ 0 0 ⋮ ⋮ an1 an2 ⋯ ⋯ ⋯ a1n ⋮ ain ⋮ ann
行列式的概念
1.二元線性方程組 a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2
消元得（a11a22 − a12a21）x1=b1a22 − b2a12 (a11a22 − a12a21) x2= a11b2 − a21b1 當a11a22 − a12a21 ≠ 0時，方程組有唯一解 x1 = x2 = 而 用記號 b1a22 − b2a12 a11a22 − a12a21 a11b2 − a21b1 a11a22 − a12a21
a11 a12 表示a11a22 − a12a21，這樣的方表稱為二階行列式。 a21 a22
a11 a12 a11 a12 稱為這個方程組的係數行列式；當 ≠ 0時，方程組的唯一解可 a21 a22 a21 a22
用行列式來表示 D= a11 a12 = a11a22 − a12a21 a21 a22
a11 a12 ⋯ ⋮ kai1 kai2 ⋯ ⋮ ⋮ an1 an2 ⋯ 表達 ：
a1n a11 a12 ⋯ a1n a11 ⋯ ka1j ⋯ a1n ⋮ ⋮ ⋮ a21 ⋯ ka2j ⋯ a2n kain =k ai1 ai2 ⋯ ain = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ann a n1 ⋯ ka nj ann an1 an2 ⋯ ann 第 i 行乘以 k, 這種運算記作 ri × k 第 j 列乘以 k, 這種運算記作 cj × k
推論 2： 行列式的某一行 （列） 的所有元素的公因子可以提到行列式符號外面。 如：第 i 行（或列）提出公因子 k，這種運算記作ri ÷ k（ci ÷ k） 4.性質 4：行列式中的某一行或列乘以一個不為零的數，加到另一行或列上，行 列式不變。
a ⋮ a + ka ⋮ a ⋮ a
11 i1 j1 n1
0 0 a2 0 1 − a2 a3 −1 1 − a3 0 −1 0 ⋯ ⋯
0 0 a4 1 − a4
0
a11 ⋯ a1k b11 ⋯ ⋮ ⋮ ， D = ， D = ⋮ 1 2 b1k ak1 ⋯ akk bk1 ⋯ ⋮ bkk
b1k ⋮ , 证 bkk
明 D=D1+D2 a1 − b ⑹ D= a1 ⋮ a1 a2 a2 − b ⋮ a2 ⋯ a3 a3 − b ⋯ ⋮ a3 ⋯ an an ⋮ an − b
以 ri 表示行列式 D 的第 i 行，以 cj 表示其第 j 列，交換 D 的 i,j 兩行記作 ri↔ rj，交換 D 的 i,j 兩列記作 ci↔ cj
推論一：若行列式 D 中有兩行或者有兩列相同，那麼 D=0
3. 性 質 3 ： 行 列 式 中 某 行 （ 列 ） 乘 以 一 個 數 等 於 行 列 式 乘 以 這 個 數 即
a1j1a2j2 … annjn表示不同行不同列的 n 個數的乘積，并冠以符
τ j 1,j 2…j n
來決定該項的正負。
給出下列常用行列式 a11 0 0 ⋯ 0 0 a22 ⋯ 0 ⑴ 主對角線行列式 0 0 a33 ⋯ 0 =a11a22… ann ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ann a11 a12 a13 ⋯ a1n 0 a22 ⋯ a2n ⑵ 上三角形行列式 0 0 a33 ⋯ a3n =a11a22… ann ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ann a11 0 0 ⋯ a21 a22 ⋯ ⑶ 下三角形行列式 a31 a32 a33 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ an1 an2 an3 ⋯ ⑷ 0 ⋯ 0 a2 副對角線行列式 ⋮ ⋮ ⋰ ⋮ an ⋯ ⋯ 0 0 0 =a11a22… ann ⋮ ann
在上式的两端将 D 的第 j 行换成第 i 行的元素，即令ajk a11 ⋮ ai1 可得 ai1 Aj1 + ai2 Aj2 +…+ ain Ajn= ⋮ ai1 ⋮ an1 ⋯ a1n ⋮ ⋯ ain ⋮ ⋯ ain ⋮ ⋯ ann
= aik
当 i≠ j时，由于有两行元素对应相同，故行列式等于 0，即得 ai1 Aj1 + ai2 Aj2 +…+ ain Ajn=0 (i≠ j)
1n in jn nn
以數 k 乘以第 j 行加到第 i 行上，這種運算記作 ri+k rj 5.性質 5：行列式的某兩行或者某兩列成比例，則行列式為 0 性質 6：行列式的某一列或者某一行可以看成兩列或者兩行的和時，行列式可 拆另兩個行列式的和 利用性質 5,6 試圖證明性質 4
练习 3：計算行列式 a ⑴ D= b c b+c a+c a+b 1 1 1 (a + 2)2 (b + 2)2 (c + 2)2 (d + 2)2 (a + 3)2 (b + 3)2 (c + 3)2 (d + 3)2
Байду номын сангаас
5. n 階行列式：由 n2 個數組成的 n× n 的數表，其展開式有 N!個項 a11 a12 ⋯a1n D= a21 a22 ⋯a2n 表示 n!個项的代數和 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ an1 ⋯⋯ ann
（ − 1）
其中（ − 1） 號（ − 1）
τ j 1,j 2…j n
τ j ,j …j
1 2
n
a1j1a2j2 … anjn