1.2 行列式的性质与计算
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1-2行列式的性质和计算
c1 c2
row –行 column –列
1 3 1 2 1 5 3 4 0 2 1 1 5 1 3 3
r2 r1
r4 5r1
r2 r3
1 3 1 2 0 2 1 1 0 8 4 2 0 16 2 7
r3 4r2
r4 8r2
1 0 0 0
3 1 2 2 1 1 0 8 2 0 10 15
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
3 7
DT
a11 a12 a1n
a21 an1 a22 an 2 a 2 n a nn
2 3 7 9 0
1 如：D 2
12 1 T 7 ，D 3 0
3 9
12 7
性质1.
行列式转置后，其值不变。即
30 r3 58 r3 8r2 r4
30 37 143 1 1 58 286 29
例3.
xa 计算n阶行列式 a Dn a a
a xa a a
a a xa a
a a a . xa
解：行列式各行元素之和都等于x n 2 a, 把行列式 的第二列，．．．，第n列分别加到第一列，得
例1. 计算行列式
1 3 12 (1) D1 0 0 0 3 9 10 1 3 12 (2) D2 2 6 97 3 9 0
答案：D1 D2 0
a11 a12 a1n 性质4. 如果设 D bi1 ci1 bi 2 ci 2 bin cin , an1 an 2 ann a11 a12 a1n D1 bi1 bi 2 bin , an1 an 2 ann
线性代数1.2行列式的性质
如 1 6 7
1 9 7
137
5 7 3 5 1 3 5 6 3
2 3 9 2 4 9 2 1 9
性质5 将行列式的某一行(列)所有元素的 k倍加到另一行
(列)的对应元素上,行列式的值不变,即:
a11 a12 a1n
a11
a12
a1n
ai1 ai2 ain k
ai1
ai 2
ain
aj 1 aj 2 ajn
例1计算 阶行列式
3
4 1 2
D
15 2
12 0
9 12 1 1
1 20 3 3
解：注意到行列式第2列元素都有因数4，可将其提出来。
3 1 1 2
3 1 1 2
D
4 15 2
3 0
9 1
12 1
4
3 5 2
1 0
3 4 1 1
1 5 3 3
1 5 3 3
将行列式化成上三角型行列式过程中我们希望第1行、第1列
ipj
jpi
npn
p1pi pj pn
a a a a (1) (p1pj pi pn )
1p1
ipj
jpi
npn
p1pj pi pn
a a a a (1) (p1pj pi pn )
1p1
ipj
jpi
npn
D
p1pj pi pn
证毕。
推论1 若行列式的两行(列)的对应元素相同,则行列式为零.
第二节 行列式的性质
一 行列式的性质
在计算行列式的时候,一般都不会直接使用定义,通常会 将行列式进行一些变换,化成容易看出结果的形态,此节就是 讨论行列式的变换遵循什么法则.
1.2.2行列式的性质
应的元素上，行列式不变, 即
a11 ... ai1 ... a j1 ... an1 a12 ... ai 2 ... ... ... a1n ... ... ... ain ... ... ... ... a11 ... a12 ... ai 2 ... ... an 2 ... ... ... ... ... ... a1n ... ain ... ... ann
ห้องสมุดไป่ตู้
a12
a1n
a j 2 a jn ai 2 ain an 2 ann
a11 a1 j a1i a1n
a j 2 a jn an 2 ann
a1 j a1n
a21 a2i a2 j a2 n an1 ani anj ann
行列式的性质
性质3 行列式可以按行(列)提取公因子，即
a11 kai1 an1 a12 a1n a11 a12 a1n kai 2 kain k ai1 an 2 ann an1 ai 2 ain an 2 ann
a11 a1 j a1n j a2 n a21 a2 ann an1 anj
性质5 行列式两行(列)互换，行列式变号，即
a11 ai1 a j1 an1
a11 a1i
a12 ai 2
a1n ain
a11 a j1 ai1 an1
a j 2 ... a jn an 2 ... ann
ai1 ... a j1 kai1 ... an1
a j 2 kai 2 ... a jn kain
a11 ... ai1 ... a j1 ... an1 a12 ... ai 2 ... ... ... a1n ... ... ... ain ... ... ... ... a11 ... a12 ... ai 2 ... ... an 2 ... ... ... ... ... ... a1n ... ain ... ... ann
ห้องสมุดไป่ตู้
a12
a1n
a j 2 a jn ai 2 ain an 2 ann
a11 a1 j a1i a1n
a j 2 a jn an 2 ann
a1 j a1n
a21 a2i a2 j a2 n an1 ani anj ann
行列式的性质
性质3 行列式可以按行(列)提取公因子，即
a11 kai1 an1 a12 a1n a11 a12 a1n kai 2 kain k ai1 an 2 ann an1 ai 2 ain an 2 ann
a11 a1 j a1n j a2 n a21 a2 ann an1 anj
性质5 行列式两行(列)互换，行列式变号，即
a11 ai1 a j1 an1
a11 a1i
a12 ai 2
a1n ain
a11 a j1 ai1 an1
a j 2 ... a jn an 2 ... ann
ai1 ... a j1 kai1 ... an1
a j 2 kai 2 ... a jn kain
§1.2 行列式的性质与计算
行列式的值不变. 行列式的值不变.
上节例4 0 例1 上节例 中 计算四阶行列式 1 1 1
用性质计算行列式
1 0 1 1 解： 0 2 5 1 ( 1)r1 + r3 D= 1 x 2 3 0 3 0 1
1
1 1 0 2 5 1 0
0 0
x 3
3 2 0 1
2 5 1 3 5 5 1 3c3 + c1 1+ 1 x 6 3 2 3 2 +6 x 展开1( 1) 0 0 1 0 3 0 1 3
… … …
→1 →i → j
i、 j行互换，行列式变号 行互换， 、 行互换 行列式变号.
2 4 2 2 1 1 1
ai 1 D= ain
2 4
… … →i →j
= D
D= 0
性质1.2.4 把行列式的某一行（列）中的各元素都乘以同一常 性质 把行列式的某一行（ 乘此行列式的值. 数 k , 等于用数 k 乘此行列式的值 推论1.2.2 符号外面. 符号外面. 推论1.2.3 若行列式中有两行(列)元素对应成比例，则此行列 若行列式中有两行( 元素对应成比例， 推论 式值为零. 式值为零. 行列式中某一行（ 行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式
D=
a a
b a+b
c a+b+c
d a+b+c+d
r3 + r4 = r2 + r3
a b c d 0 a a+b a+b+c 0 0 0 0 a a 2a + b 3a + b
r3 + r4 =
a b
c
d
0 a a+b a+b+c 0 0 a 2a + b 0 0 算 例2 解：1
上节例4 0 例1 上节例 中 计算四阶行列式 1 1 1
用性质计算行列式
1 0 1 1 解： 0 2 5 1 ( 1)r1 + r3 D= 1 x 2 3 0 3 0 1
1
1 1 0 2 5 1 0
0 0
x 3
3 2 0 1
2 5 1 3 5 5 1 3c3 + c1 1+ 1 x 6 3 2 3 2 +6 x 展开1( 1) 0 0 1 0 3 0 1 3
… … …
→1 →i → j
i、 j行互换，行列式变号 行互换， 、 行互换 行列式变号.
2 4 2 2 1 1 1
ai 1 D= ain
2 4
… … →i →j
= D
D= 0
性质1.2.4 把行列式的某一行（列）中的各元素都乘以同一常 性质 把行列式的某一行（ 乘此行列式的值. 数 k , 等于用数 k 乘此行列式的值 推论1.2.2 符号外面. 符号外面. 推论1.2.3 若行列式中有两行(列)元素对应成比例，则此行列 若行列式中有两行( 元素对应成比例， 推论 式值为零. 式值为零. 行列式中某一行（ 行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式
D=
a a
b a+b
c a+b+c
d a+b+c+d
r3 + r4 = r2 + r3
a b c d 0 a a+b a+b+c 0 0 0 0 a a 2a + b 3a + b
r3 + r4 =
a b
c
d
0 a a+b a+b+c 0 0 a 2a + b 0 0 算 例2 解：1
1[1].2_行列式的性质与计算
![1[1].2_行列式的性质与计算](https://img.taocdn.com/s3/m/3a5085d7b14e852458fb5783.png)
性质４ 若行列式的某一列（ 的元素都是两数之和. 性质４: 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和
a11 a 21 例如: 例如 D = M a n1
a12 a 22 M an2
′ L ( a1 i + a1 i ) L a1 n L (a 2 i + a ′ i ) L a 2 n 2 M M ′ L (a ni + a ni ) L a nn
1 −1 2 − 3 1 0 −2 1 −5 3 r2 ↔ r4 − 0 2 0 4 −1 0 0 −1 0 − 2 0 0 2 2 −2
⊕
1 −1 2 − 3 1 0 −2 1 −5 3 r3 + r2 − 0 0 1 −1 2 0 0 −1 0 − 2 0 0 2 2 −2
⊕
r4 + r3
1 0 −0 0 0
r2 + 3r1 2 0 4 3 −5 7 4 − 4 10
−2 − 14 − 10
1 6 2
1 × (− 2 ) −1 2 −3 0 −1 0 −2 ⊕ r2 + 3r1 2 0 4 1 −2 3 − 5 7 − 14 6 4 − 4 10 − 10 2 1 0
(− 4 ) ×
r3 − 2r1
⊕
1 −1 2 0 0 −1 0 2 0
−3 0 4
1 × (− 3 ) −2 ⊕ −1 6 2
3 − 5 7 − 14 4 − 4 10 − 10
1 −1 2 − 3 1 0 0 −1 0 − 2 r4 − 3r1 0 2 0 4 −1 r5 − 4r1 0 −2 1 −5 3 0 0 2 2 −2
= 0.
定理1.2: 阶行列式 的任意一行（列）的元素与其对应 阶行列式D 的任意一行（ 定理 的代数余子式乘积之和等于D 某一行（ 的代数余子式乘积之和等于 ；某一行（列） 的元素与另一行（ 的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子 式乘积之和等于０ 式乘积之和等于０.
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
1.2 行列式的性质
1 1 2 3 0 2 1 5 0 0 1 1
1 3 2
0 0 0 1 0 4 0 0 0 4 6 1 1 2 3 1 0 2 1 5 3 r5 4r4 0 0 1 1 2 2 1 6 12. 0 0 0 1 0 0 0 0 0 6
两行相同，行列式的值为0
a11 a12 ... a1n ... ... ... ... ... ... ... ... ai1 ai 2 ... ain ai1 ai 2 ... ain an1 an 2 ... ann a11 a12 ... a1n ... ... ... ... ... ... ... ... ai1 ai 2 ... ain ai1 ai 2 ... ain an1 an 2 ... ann
D D,
D 0.
6
引例
例如：
a1 a2 kb1 kb2
k (a1b2 a2b1 ) k
a1 a2 b1 b2
n阶行列式也有此性质
性质3 行列式一行的共因数可以提出去，即
a11 ... ... a n1 a12 ... a1n ... ... ... ... ... ...
即bij a ji 按定义
D 1 b1 p1 b2 p2 L bnpn 1 a p1 1a p2 2 L a pnn .
T
又因为行列式D可表示为
D 1 a p1 1a p2 2 L a pnn .
故
D DT .
3
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 引例 例如
a11 b12 a21 b22
b11 b12 b21 b22
§2 行列式的性质与计算
1 2 n
j (1) ( j j j ) a1 j (aij j j
1 2 n 1 1 2 n
i
biji ) anjn
a11 a12 a1n a11 a12 a1n ( 1) ( j j j ) a1 j aij anj j j j ai 1 ai 2 ain bi 1 bi 2 bin ( j j j ) ( 1) a1 j bij anj j j j an1 an 2 ann an1 an 2 ann
a1 p1 aip j a jpi anpn
p p (1) p p
( p1 p j pi pn )
D
§2 行列式的性质与计算
推论1 如果行列式中有两行（列）相同，那么
该行列式为零． 比如：
1 2 3 1 2 3 4 5 6
r1 r2
1 2 3 1 2 3 4 ห้องสมุดไป่ตู้ 6
3、再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下 的低一阶行列式； 4、如此继续下去，直至使它成为上三角形行列式， 这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.
§2 行列式的性质与计算
二、应用举例
例1. 计算行列式
0 1 D 1 2 2 2 0 0
1 1 2 1
1 0 1 1
2 2 0 0 1 1 1 3 0 1 1 1 2 2 2 4
§2 行列式的性质与计算
a b c d a ab abc abcd r3 r2 ( 1) 0 a 2a b 3a 2b c 0 a 3a b 6a 3b c
a 0 r2 r1 ( 1) 0 0
a r4 r3 ( 1) 0 0 0
j (1) ( j j j ) a1 j (aij j j
1 2 n 1 1 2 n
i
biji ) anjn
a11 a12 a1n a11 a12 a1n ( 1) ( j j j ) a1 j aij anj j j j ai 1 ai 2 ain bi 1 bi 2 bin ( j j j ) ( 1) a1 j bij anj j j j an1 an 2 ann an1 an 2 ann
a1 p1 aip j a jpi anpn
p p (1) p p
( p1 p j pi pn )
D
§2 行列式的性质与计算
推论1 如果行列式中有两行（列）相同，那么
该行列式为零． 比如：
1 2 3 1 2 3 4 5 6
r1 r2
1 2 3 1 2 3 4 ห้องสมุดไป่ตู้ 6
3、再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下 的低一阶行列式； 4、如此继续下去，直至使它成为上三角形行列式， 这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.
§2 行列式的性质与计算
二、应用举例
例1. 计算行列式
0 1 D 1 2 2 2 0 0
1 1 2 1
1 0 1 1
2 2 0 0 1 1 1 3 0 1 1 1 2 2 2 4
§2 行列式的性质与计算
a b c d a ab abc abcd r3 r2 ( 1) 0 a 2a b 3a 2b c 0 a 3a b 6a 3b c
a 0 r2 r1 ( 1) 0 0
a r4 r3 ( 1) 0 0 0
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n
nDT
n a~kl A~kl n
n a~kl (1)kl M~ kl
l 1 k1
l 1 k1
nn
nn
al k
( 1)k l
M
T lk
al k (1)kl Ml k
l 1 k1
l 1 k1
nn
alk Alk nD ,
l 1 k1
由归纳假设
DT D . 即性质对于 n 阶行列式也成立。
6
§1.2 行列式的性质与计算
第 三、行列式的三个基本操作及其性质
一 章
1. 三个基本操作
2. 相应的三个性质
行 列
性质1
将行列式的某一行(列)中所有的元素 k 倍，则行列式
式 P8 性质2 的值 k 倍，即
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain .
式 175 715
6 6 2 6 6 2 .
3 58 538
9
§1.2 行列式的性质与计算
第 性质2 交换行列式中的两行(列)， 行列式的值反号.
一 章
证明 (利用数学归纳法证明) 对于 2 阶行列式, 结论显然成立；
假设对于 n 1 阶行列式结论成立，下证对于 n 阶行列式
行
列
结论也成立。(注意此时 n 3)
§1.2 行列式的性质与计算
第
一
a11 a1n
章
行
ai1 ain
第i行
列 式
ai1 Aj1 ain Ajn
,
ai1 ain
相同 第 j行
an1 ann
当 i j 时, ai1 Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, (i j).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j).
r3 r1
0 66
66
20
§1.2 行列式的性质与计算
第
3
一 章
例
5 D
2
1 1 2 1 3 4 c1 c2 0 1 1
1 3 1 2 1 5 3 4 0 2 1 1
行
1 5 3 3
5 1 3 3
列
1 3 1 2
1 3 1 2
式
r2 r1 0 8 4 6 r2 r3 0 2 1 1
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
12
§1.2 行列式的性质与计算
第 性质3 将行列式的某一列(行)的各元素 k 倍加到另一列(行)
一 P11 性质5 对应的元素上，行列式的值不变，即 章
a11 a1i a1 j a1n
行 列 式
a21 a2i a2 j a2n
11
§1.2 行列式的性质与计算
第 推论2 若行列式中有两行(列)的元素对应成比例，则行列式
一 P10 推论3 的值为零.
章
证明
a11 a12 a1n
行 列
式
ai1 ai2 ain
a11 a12 a1n ai1 ai2 ain
k 0.
kai1 kai2 kain
r4 5r1 0 2 1 1
0 8 4 6
0 16 2 7
0 16 2 7
1 3 1 2
1 3 1 2
r3 4r2 0 2 r4 8)r3 0 2
8 10
00
1 1 8 10 40.
0 0 10 15
0 0 0 5/2
注 本例的方法适合于计算机编程实现。 21
式
设 Dˆ 是行列式 D 交换第 i , j 两行后得到的行列式，
由于 n 3, 因此除第 i , j 两行外还有一个第 k 行。
令 Aˆ kl 和 Akl 分别是行列式 Dˆ 和 D 的第 k 行的代数 余子式，由归纳假设有 Aˆ kl Akl , 于是有
n
n
Dˆ akl Aˆ kl akl Akl D.
k
an1 ani an j ann
a11 c j kci a21
an1
a1i a2i ani
(a1 j ka1i ) (a2 j ka2i )
(an j kani )
a1n a2n . ann
证明 只需将上式右端行列式的第 j 列拆开即可证明.
13
§1.2 行列式的性质与计算
P 8 推论
3
§1.2 行列式的性质与计算
第 证明 (利用数学归纳法证明) 对 1 阶行列式，性质显然成立；
一 章
假设对于 n 1 阶行列式成立，则对于 n 阶行列式有
n
nn
行
D ai j Ai j , ( j 1 ~ n) , nD
ai j Ai j ,
列
i 1
j1 i1
式
同理
行
列
ai1 Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j.
式 证明 将行列式按第 j 行展开，有
a11
ai1 a j1 Aj1 a jn Ajn
a j1
ai1 ain
an1
a1n ain , a jn
ann
把 a jk 换成 aik (k 1, , n) , 可得 15
行 P 13 例 7
列 式
b b b a
解 将第 2 至 n 列都加到第 1 列得
a (n 1) b b b b
a (n 1) b a b b
D a (n 1) b b a b
a (n 1) b b b a
23
§1.2 行列式的性质与计算
第
1 b b b
一 章
1 a b b
补
行
为了方便讨论，通常用 ri 表示第 i 行，ci 表示第 i 列.
列 (1) 将第 i 行(或列)中所有的元素 k 倍， 式
记作 k ri (或 k ci ).
(2) 交换第 i, j 两行(或列)的所有元素，
记作 ri rj (或 ci c j ).
(3) 将第 i 行(或列)的各元素的 k 倍加到第 j 行(或列) 对应的元素上，记作 rj k ri (或 c j k ci ).
将第一行
行
D (a (n 1)b) 1 b a b
减到其它行
列
式
1 b b a
1b b b
(a (n 1)b)
ab
0 a b
0
ab
(a (n 1)b)(a b)n1.
24
§1.2 行列式的性质与计算
第 一 章 例 计算
P 12 例 5
行
列 式
ab
c
d ab c
d
解
逐行相减
第 四、关于代数余子式的重要性质
一 章
引例
a11 a12 a13 已知 a11 A11 a21 A21 a31 A31 a21 a22 a23 ,
行
a31 a32 a33
列 式
4 a12 a13 问 (1) 4A11 5A21 3A31 ?5 a22 a23 ;
3 a32 a33
b1 a12 a13 (2) b1 A11 b2 A21 b3 A31 ?b2 a22 a23 ;
16
§1.2 行列式的性质与计算
第 四、关于代数余子式的重要性质
一
章 行
综合
n
aki Ak j
k 1
D i j
D ,
0
,
i j, i j;
列
式
n
ai k Ajk
k 1
D i j
D , 0 ,
i j, i j;
其中
ij
10
, ,
i j， i j.
17
§1.2 行列式的性质与计算
第
1234
an1 an2 ann
an1 an2 ann
证明 只需将上式两边的行列式按第 i 行展开即可证明.
7
§1.2 行列式的性质与计算
第
0
一 章
例
形如 a12
a12 a1n 0 a2n 的行列式称为反对称行列式。
行 列
a1n a2n 0
式
试证：奇数阶反对称行列式等于 0。
0 证 D DT a12
一 章
例
设 D 5 2
6 3
7 4
8 5 , 求 3A12 7 A22 4A32 8A42 .
行
6789
列
式
1334
解
5 3A12 7 A22 4A32 8A42 2
7 4
7 4
8 0.
5
6889
18
§1.2 行列式的性质与计算
第 五、行列式的计算
一 章 基本思路 利用行列式的性质把行列式化为上三角形行列式。
定义
设行列式 D a21
a22
a2n , 其转置行列式为
P6
an1 an2 ann
a11 a21
DT
a12
a22
an1 不妨 an2 记为
a1n a2n ann
特点
a~i j a ji ,
M~ i j
M
T ji
.
2
§1.2 行列式的性质与计算
第 一、行列式的转置
一 章
1. 转置行列式的概念与特点
a2n
,
an1 an2 (ani bni ) ann
a11
a21
an1
a1i a1n a11
a2i
a2n
a21
ani ann an1