关于行列式的一般定义和计算方法
行列式知识点
行列式知识点行列式是线性代数中的重要概念之一，广泛应用于数学、物理、工程和计算机科学等领域。
本文将介绍行列式的基本概念、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和应用行列式知识。
一、行列式的定义行列式是一个与矩阵相关的数值。
对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为det(A)，其中n表示方阵的阶数。
行列式的计算涉及到矩阵的元素和排列的概念，下面将详细介绍。
二、行列式的性质1. 行列式的对角线规则：对于一个n阶方阵A，行列式det(A)等于主对角线元素相乘的积减去次对角线元素相乘的积。
2. 行列式的性质之一：交换行（列）位置，行列式的值不变。
3. 行列式的性质之二：若行（列）中有两行（列）元素成比例，行列式的值为0。
4. 行列式的性质之三：行列式的某一行（列）乘以一个数k，等于行列式的值乘以k。
三、行列式的计算方法1. 二阶和三阶行列式的计算：对于二阶行列式A，可以用交叉相乘法计算，即ad-bc。
对于三阶行列式A，可以用Sarrus法则计算。
2. 高阶行列式的计算：对于n阶行列式A，可以利用拉普拉斯展开定理进行计算。
具体步骤是选择一行（列）作为展开行（列），将行列式展开为以该行（列）元素为首的n个代数余子式的乘积之和。
四、行列式的应用1. 线性方程组的解：行列式可以用于求解线性方程组的解。
若系数矩阵的行列式不为0，则方程组有唯一解；若行列式为0，则方程组无解或有无穷解。
2. 矩阵的逆：若一个n阶方阵A的行列式不为0，则矩阵A可逆，且其逆矩阵A^{-1}的元素可以用A的伴随矩阵元素和行列式的倒数表示。
3. 坐标变换：在几何学中，行列式可以用于坐标变换。
例如，二维平面上坐标变换时，坐标的旋转、平移和缩放可以用行列式进行表示。
五、总结本文介绍了行列式的基本概念、性质和计算方法，并提供了行列式在线性方程组、矩阵逆和坐标变换中的应用。
行列式作为线性代数中的基础知识，对于深入理解和应用相关领域的知识具有重要作用。
通过学习和掌握行列式的知识点，读者可以更好地理解相关的数学和科学问题，并灵活运用行列式进行问题求解和分析。
关于行列式的一般定义和计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法（一）n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n n n a a a a a a a a a212222111211=∑-nnn j j j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ2 N 阶行列式是N !项的代数和;3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312.它们都是偶排列;三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.§行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。
即nn n n n n a a a a a a a a a212222111211=nnn n n n a a a a a a a a a212221212111； 行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质2互换行列式的两行（列），行列式的值变号.如: D=d c b a =ad-bc , b a dc =bc-ad= -D以r i 表第i 行，C j 表第j 列。
交换 i ,j 两行记为rjir ↔,交换i,j 两列记作Ci322311332112312213a a a a a a a a a ---322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==（1↔C j 。
性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。
性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。
（第i 行乘以k ，记作r i k ⨯）推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。
行列式的定义与计算
行列式的定义与计算行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述线性方程组的性质以及矩阵的特征。
在本文中，将介绍行列式的定义以及计算方法。
一、行列式的定义行列式是一个数学函数，用一种特定的方式将矩阵映射为一个数字。
对于n阶矩阵A = [aij]来说，其行列式记作det(A)或|A|。
行列式的定义如下：当n=1时，矩阵只有一个元素，此时矩阵的行列式就是这个元素本身。
当n>1时，矩阵A可以分为n行n列，可以表示为：A = [a11 a12 (1)a21 a22 (2)... ... ... ...an1 an2 ... ann]其中a11、a12...ann是矩阵A的元素。
对于n>1的情况，行列式的计算可以使用展开定理或按行（列）展开等方法进行。
二、行列式的计算（一）二阶行列式二阶行列式的计算公式如下：|A| = a11·a22 - a12·a21（二）三阶行列式三阶行列式的计算公式如下：|A| = a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 - a13·a22·a31 -a12·a21·a33 - a11·a23·a32（三）n阶行列式n阶行列式的计算可以通过列展开、行展开或使用拉普拉斯定理等方法进行。
这里以列展开为例介绍。
设A为一个n阶矩阵，可以将其表示为A = [a1 a2 ...an]，其中ai为A的第i列。
若选择第k列进行展开，则根据列展开法可得：|A| = a1k·A1k - a2k·A2k + ... + (-1)^(k+1)·ank·Ank其中，Aik是移去第i行第k列元素所形成的(n-1)阶行列式。
根据此公式，可以递归地计算n阶行列式的值。
三、行列式的性质行列式具有以下性质：1. 互换行列式的两行（列），行列式的值变号。
关于行列式的一般定义和计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法之宇文皓月创作n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211=∑-nnn jj j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ2N 阶行列式是N !项的代数和;3、N 阶行列式的每项都是位于分歧行、分歧列N 个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式分歧行分歧列的三个元素之积.其一般项为:(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312.它们都是偶排列;三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列. §行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。
322311332112312213a a a a a a a a a ---322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==（1行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质2互换行列式的两行（列），行列式的值变号.如以i 行，j 列。
交换 i ,j 两行记为交换i,j两列记作性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。
性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k 的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。
（第i 行乘以k ，记作推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。
推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行列式值等于零。
推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列式值等于零。
性质5：如果行列式D 的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么行列式D 等于两个行列式D 1和D 2的和。
关于行列式的一般定义和计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法n阶行列式的定义a11a12a1nn 阶行列式a21a22a2n=( 1)( j1 j2j n) a1 j1 a2 j2 a nj nj1 j2j na n1a n 2a nna11a12a13D a21a22a23a11a22a33a12a23a31a13a21a32a31a32a33a13 a22 a31a12 a21a33（ 1a11a23a322N 阶行列式是 N ! 项的代数和 ;3、 N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积 ;特点 :(1)(项数 )它是 3!项的代数和 ;(2)(项的构成 )展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为 :(3)(符号规律 )三个正项的列标构成的排列为123,231,312.它们都是偶排列 ;三个负项的列标构成的排列为321,213,132,它们都是奇排列 .§行列式的性质性质 1：行列式和它的转置行列式的值相同。
a 11a12a1na 11a21a n1即a 21 a22a2n=a 12 a22an2；a n1an2anna 1na2nann行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质 2 互换行列式的两行（列） ，行列式的值变号 .a b c d如: D==ad-bc ,=bc-ad= -Dcda b以 r i 表第 i 行， C j 表第 j 列。
交换 i,j 两行记为 r ir j ,交换 i,j 两列记作C iC j 。
性质 3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。
性质 4：把一个行列式的某一行 （或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。
（第 i 行乘以 k ，记作 r i k ）推论 1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。
推论 2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行列式值等于零。
行列式的运算法则
行列式的运算法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算和方程组求解中起着重要的作用。
行列式的运算法则是指对于不同类型的行列式，我们可以通过一系列的运算来求得其值。
本文将介绍行列式的运算法则，包括行列式的定义、性质以及常见的运算方法。
1. 行列式的定义行列式是一个数学概念，用来描述一个方阵（即行数等于列数的矩阵）所固有的一种性质。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)，可以通过以下方法来计算：- 当n=1时，det(A) = a11，即一个1阶方阵的行列式就是它的唯一元素。
- 当n=2时，det(A) = a11 * a22 - a12 * a21，即一个2阶方阵的行列式是其主对角线上元素的乘积减去次对角线上元素的乘积。
- 当n>2时，可以通过递归的方法将n阶方阵的行列式表示为n-1阶方阵的行列式的线性组合，直到n=2时再利用上述方法计算。
2. 行列式的性质行列式具有许多重要的性质，其中包括：- 互换行列式的两行（列）会改变行列式的符号，即det(-A)= (-1)^n * det(A)，其中n为方阵的阶数。
- 如果方阵A的某一行（列）全为0，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的两行（列）成比例，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的某一行（列）是另一行（列）的线性组合，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
3. 行列式的运算法则在实际应用中，我们经常需要对行列式进行一系列的运算，常见的运算包括：- 行列式的加法：如果方阵A、B的行数和列数相等，则它们的行列式可以相加，即det(A + B) = det(A) + det(B)。
- 行列式的数乘：如果方阵A的行列式为det(A)，则kA的行列式为k^n * det(A)，其中k为常数，n为方阵的阶数。
- 行列式的乘法：如果方阵A、B的行数和列数相等，则它们的行列式可以相乘，即det(AB) = det(A) * det(B)。
关于行列式的一般定义和计算方法
三个负项的列标构成的排列为321,213,132,
它们都是奇排列.
§行列式的性质
性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。
a
11
a
12
a
1n
aa
11
21
a
n1
即
aaa
2122
2
n
=
aa
12
22
a
n
2
；
aaa
n1n2
nn
a
1
n
a
2
n
a
nn
行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质2互换行列式的两行（列），行列式的值变号.
ik）
推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行
列式符号的前面。
推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行
列式值等于零。
推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列
式值等于零。
a
11
a
12
a
1n
a
11
a
12
a
1n
kakakakaaa
12nij
nij1
n1n1n1xxx
12n
7．加边法（升阶法）
加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变
的方法。
例7计算n阶行列式
xaaa
12
n
axaa
12
n
Daaa
n12n
aaxa
12
n
1
aa
1
n
0解：
D
n
关于行列式的一般定义和计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，它将一个方阵与一个实数相关联。
行列式有广泛的应用，例如求解线性方程组、计算逆矩阵、求解二次方程等。
本文将介绍行列式的一般定义和计算方法。
1.行列式的一般定义设A是一个n阶方阵，其中有n行n列。
对于n=1的情况，行列式即为该方阵中唯一的元素。
行列式的定义可以通过代数余子式和代数余子式的代数化简方式来推导得到。
1.1代数余子式对于 n 阶矩阵 A = [a_{ij}]，我们可以通过去掉 A 中的第 i 行和第 j 列来得到一个新的矩阵 A_{ij}，它的阶数为 (n-1) 阶。
则称A_{ij} 的行列式为元素 a_{ij} 的代数余子式，记作 M_{ij}。
1.2代数余子式的代数化简代数余子式 M_{ij} 和元素 a_{ij} 之间的关系可以通过递归的方式进行定义。
假设 A 是一个 n 阶矩阵：M_{ij} = （-1）^{i+j} * det(A_{ij})其中，A_{ij} 是去掉 A 中第 i 行和第 j 列所得到的 (n-1) 阶矩阵。
当 n=1 时，代数余子式即为该方阵中唯一的元素。
2.行列式的计算方法行列式有多种计算方法，包括拉普拉斯展开法、三角行列式法和按行（列）展开法等。
2.1拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是最常用的计算行列式的方法之一、通过选择一行（列）展开计算，可以将一个n阶行列式转化为n个(n-1)阶行列式的代数和。
例如计算一个3阶行列式：abcdefghi选择第一行展开，可以得到：det(A) = a * det(A_{11}) - b * det(A_{12}) + c * det(A_{13})其中，A_{11}、A_{12}和A_{13}是去掉A的第一行所得的子矩阵。
2.2三角行列式法三角行列式法是计算行列式的另一种常用方法，通过将一个n阶行列式转化为三角形矩阵的行列式来计算。
例如计算一个3阶行列式：abc0ef00i可以发现，该矩阵是一个上三角形矩阵，对角线以下的元素全为0。
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关于行列式的一般定义和计算方法 n 阶行列式的定义
n 阶行列式
nn
n n n n a a a a a a a a a
2
122221112
11=
∑-n
n n j j j nj j j j j j a a a 21212121)
()1(τ
2 N 3、N 特点(2)(为:
(3)(性质1即
a a a 性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.
如:D=d
c b a =ad-bc ,
b
a d c
=bc-ad=-D
以r i 表第i 行，C j 表第j 列。
交换 i ,j 两行记为r j i r ↔,交换i,j 两列记作C i ↔C j 。
性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。
性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k 的结果等于用这
D =
个常数k 乘这个行列式。
（第i 行乘以k ，记作r i k ⨯）
推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。
推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行列式值等于零。
推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列式值等于零。
性质5：如果行列式D 的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么行列式D 等于两个行
列式D 1
nn
n n a a a 21
性质6一个n 于零。
∑=n
k 1和⎩⎨⎧≠==∑=j
i j i D A a n
k kj ki 0
1（2）
行列式的计算
1．利用行列式定义直接计算 例1计算行列式
解D n 中不为零的项用一般形式表示为
1122
11!n n n nn a a a a n ---=.
该项列标排列的逆序数t （n －1n －2…1n ）等于(1)(2)
2
n n --，故 2．利用行列式的性质计算
例2一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足
则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即
故行列式D n 可表示为
当3因此化例n 列都加到第4例5逆推公式法：对n 阶行列式D n 找出D n 与D n －1或D n 与Dn －1,D n －2之间的一种关系——称为逆推公式（其中D n ,D n －1,D n －2等结构相同），再由递推公式求出D n 的方法称为递推公式法。
例5证明
证明：将D n 按第1列展开得
由此得递推公式：1n n n D a xD -=+，利用此递推公式可得
6．利用范德蒙行列式 例6计算行列式
解把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第
n －1行的－1倍加到第n 行，便得范德蒙行列式
7．加边法（升阶法）
加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。
例7计算n 阶行列式
解：0n
n n
a D D
2,
,11
01
n
a n x
+--（箭形行列式）8例则当n =
9例1
2n n n
a a a λ+
解：n D =
1212212
n
n n n
a a a a a a a a a λλ++1
222
00
n n n n
a a a a a λλλ++
+
……
上面介绍了计算n 阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。
学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。
(1)y x z x z y z y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;
证明
y
x z x z y z y x b a )(33+=?
关于行列式的消项（其中C 代表列··R 代表行）
(2)
122a a 证明
)1(3-=(3)421a a a ?(a ?b 证明
00012b b ==(a ?b (4)0 0a x n ⋅
⋅⋅证明用数学归纳法证明?
当n ?2时?2121
221a x a x a x a x D ++=+-=?命题成立? 假设对于(n ?1)阶行列式命题成立?即
D n ?1?x n ?1?a 1x n ?2?????a n ?2x ?a n ?1?
则D n 按第一列展开?有
?xD n ?1?a n ?x n
?a 1x n ?1
?????a n ?1x ?a n ?
因此?对于n 阶行列式命题成立?6?设n 阶行列式D ?det(a ij ),把D 上下翻转、或逆时针旋转90?、或依副对角线翻转?依次得 n nn n a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=?11112 n nn n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=?11
113 a a a a D n n
nn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=?
证明D D D n n 2
)
1(21)
1(--==?D 3?D ?
证明
1)
1(+-=D -=(27?(1)D n 解 a D n 1
0 0
0⋅⋅=n -=)1((2)x
a a a x a a a x
D n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解将第一行乘(?1)分别加到其余各行?得
a
x x a a
x x a a x x a a
a a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0 ? 再将各列都加到第一列上?得
x D n =(3)D n 例3
练习3证明：
左边=............
11-n1 (11)
然后做列变换，从各列中减去第一列，得到： 112...n-2n-1 100...0-n ............
1-n0 (00)
再把各列乘以(1/n)，加回到第一列，得到： (n+1)/212...n-2n-1 000...0-n
............
0-n0 (00)
最后沿第一列展开得到结果是(1/2)*(n+1)*n^{n-1}*(-1)^{(n-1)(n-2)/2}。