3-2 行列式的性质与计算
线性代数之行列式的性质及计算
第二节 行列式的性质与计算§2.1 行列式的性质考虑111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =将它的行依次变为相应的列，得112111222212n n Tnnnna a a a a a D a a a =称T D 为D 的转置行列式 .性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =）事实上，若记111212122212n n T n n nnb b b b b b D b b b =则(,1,2,,)ij ji b a i j n ==1212()12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑1212()12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立.性质2 互换行列式的两行(i j r r ↔)或两列(i j c c ↔)，行列式变号.例如 123123086351.351086=- 推论 若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =.性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即111211112112121212n n i i in i i in n n nnn n nna a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；(2) D 中某一行(列)所有元素为零，则0D =；性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零．性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即11121112212n i i i i in in n n nna a a ab a b a b a a a +++=111211212n i i in n n nna a a a a a a a a +111211212n i i in n n nna a ab b b a a a . 证: 由行列式定义1212()12(1)()n i i n p p p p p ip ip np D a a a b a τ=-+∑12121212()()1212(1)(1).n n in i n p p p p p p p p ip np p p ip np a a a a a a b a ττ=-+-∑∑性质6 行列式D 的某一行（列）的各元素都乘以同一数k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变()i jr kr D D +=，即111211212i jnr kr i i in n n nna a a a a a a a a +=11121112212n i j i j in jn n n nna a a a ka a ka a ka a a a +++ 计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值． 例1: 计算行列式2324311112321311(1)(2)3234113104251113D --=-解: 211231231232123223240188(1)323408620425425r r r r r r D +↔-----=------=43324130858412321232018801880058620058621430303729r r r r r r -++------==143[1(1)58]28629=-⨯-⨯⨯=. 41212,3,4666611111111131113110200(2)66113111310020111311130002ii i r r r r i D=+-=∑===6(1222)48=⨯⨯⨯⨯=.此方法称为归边法. 例2: 计算n 阶行列式12111111(1)(2)111(0,1,2,,)n n n i a x a a a ax a D D a aaxa i n ++==+≠=解: (1)1112132,3,11111000000i r r ni nn a a a D a a a a -=+---=2211111110010001nna a a a a -=+-(箭形行列式)11223122,3,,1111000iinc c i ia n i nna a a a a a a +==++∑=2312122111(1)(1)nnn n n i i iia a a a a a a a a a a ===++=+∑∑(2) 注意到行列式各行元素之和等于(1)x n a +-,有12,3,,(1)(1)(1)i c c ni nx n a a a x n a x a D x n aax+=+-+-+-=11[(1)]1a a x a x n a ax=+-12,3,,100[(1)]i r r i na a x a x n a x a-=-+--=1[(1)]()n x n a x a -=+--.例3: 设111111111111,kk kk k n n nkn nna a a a D c cb bc c b b =11111,kk kka a D a a =11121,nn nnb b D b b =证明:12.D D D =证: 对1D 作行运算i j r kr +, 把1D 化为下三角形行列式:1111110;kk k kk p D p p p p ==对2D 作列运算i j c kc +, 把2D 化为下三角形行列式:1121110.nn n nk q D q q q p ==先对D 的前k k 行作行运算i j r kr +, 然后对D 的后n 列作列运算i j c kc +, 把D 化为下三角形行列式:1111111111,k kk k n nkn nnp p p D c c q c c q q =故, 111112.kk nn D p p q q D D =⋅=.思考练习1.计算行列式111222122512123714(1)(2)(2)5927124612n n n n a a a n a a a n D D n a a a n+++-+++--==≥-+++-2.证明1111111112222222222a bb c c a a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c ++++++=+++ 3. 证明2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)4(2)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a ab ac aeb b b b bd cdde abcdef c c c c bf cf efd d d d +++-+++-==+++-+++ 4.计算行列式2324323631063abcda ab a bc a b c dD a a b a b c a b c da ab a bc a b c d++++++=++++++++++++答案134152217341.(1)29571642c c D ↔------=3243422152215220113011311(3)390030003000333r r r r r r -++--⨯⨯-⨯---====112122,3,,111111,2(2)0,2111i c c ni nn a n a n a a n D n a n -=+-+--=⎧==⎨>⎩+- 2.左边=21111111111111222222222222c c a b b c c a a bc a c a a b b c c a a b c a c a a b b c c a a b c a c a -++++-++++=+-+++++-+ 32111111111122222222222222c c a b c a c a b c a c a b c a c a b c a c a b c a c a b c a c ++-+-=+-=+-+-+- 21312341,2152215220216011301130216012012r r r r r r r r +----------==2312121111111222222222c c c c c c a b a c b a c a b a c b a c a b a c b a c -+↔+--=+-=-=+--1112222a b c a b c a b c . 3. 证(1)左边111111111abcdef -=--213111102020r r r r abcdef ++-=23111020002r r abcdef ↔-=-4.abcdef = (2)左边12222,3,42214469214469214469214469i c c i a a a a b b b b cc c cd d d d -=++++++=++++++324222223221262126021262126c c c c a a b b c cd d --++==++=右边4. 解: 从第4行开始，后行减前行得，002320363a bcda ab a bc D a a b a b ca ab a bc +++=++++++4332r r r r -=-0002003a b c d a a b a b c a a b a a b +++++43r r -=0002000a b c da ab a bc a a b a++++4a =§2.2 行列式按行（列）展开对于三阶行列式，容易验证：111213212223313233a a a a a a a a a 222321232123111213323331333133a a a a a a a a a a a a a a a =-+可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算.问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个n －1阶行列式来计算？一、余子式与代数余子式定义：在n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =中，划去元素ij a 所在的第i 行和第j 列，余下的元素按原来的顺序构成的1n -阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记作ij M ；而(1)i j ij ij A M +=-称为元素ij a 的代数余子式.例如 三阶行列式 111213212223313232a a a a a a a a a 中元素ij a 的余子式为1112233132a a M a a =元素23a 的代数余子式为23232323(1)A M M +=-=-四阶行列式11102511230301x ---中元素x 的代数余子式为3232111(1)0515001A +-=--=二、行列式按行（列）展开定理 n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即11221122(1,2,,)(1,2,,)i i i i in inj j j j nj nj D a A a A a A i n D a A a A a A j n =++==++=或证 （1）元素11a 位于第一行、第一列，而该行其余元素均为零;此时 11212221200n n n nna a a a D a a a =1212121211()()121211(1)(1)n n n n j j j j j j j j nj j j nj j j a a a a a a ττ=≠=-+-∑∑2223()112()(1)n n n j j j nj j j j a a a τ=-∑1111a M =而11111111(1)A M M +=-=,故1111D a A =;（2）111110j n ij n njnna a a a D a a a = 将D 中第i 行依次与前1i -行对调，调换1i -次后位于第一行;将D 中第j 列依次与前1j -列对调，调换1j -次后位于第一列; 经(1)(1)2i j i j -+-=+-次对调后，ij a 就位于第一行、第一列，即2(1)(1)i j i j ij ij ij ij ij ij D a M a M a A +-+=-=-=.(3) 一般地111211212000000ni iinn n nna a a D a a a a a a =+++++++++111211112111121121212120000nn n i i in n n nnn n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++ 1122i i i i in in a A a A a A =++1122j j j j nj nj D a A a A a A =++同理有.推论 n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即112211220()0()i s i s in sn j t j t nj nt a A a A a A i s a A a A a A j t ++=≠++=≠或证 考虑辅助行列式1111121222112j j n j j nn nj njna a a a a a a a D a a a a i j =列列1122).t j t j t nj nt a A a A a A j t =++≠按第列展（该行列式中有两列对应元素相等.而10D =，所以1122)0j t j t nj nt a A a A a A j t ++≠=（.关于代数余子式的重要性质1,,0,;n ki kj ij k D i j a A D i j δ==⎧==⎨≠⎩∑ 1,,0,;nik jk ij k D i j a A D i j δ==⎧==⎨≠⎩∑1,0,.ij i j i j δ=⎧=⎨≠⎩，其中 在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n 阶行列式换成n 个（n －1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义.但展开定理在理论上是重要的.三、行列式的计算利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式.计算行列式常用方法：化零，展开.例4: 计算四阶行列式123410123110125D =---.解: 31412122210031461217c c c c D-------=()22122211146217+=⨯------按第行展()()122(1)111121146217r r ÷÷--⨯⨯---=1112146217=--21311002135239c c c c ----=()113521139+=⨯⨯---按第1行展3522439==---.例5 已知4阶行列式414243443402222,..075322ij ij D M M M M M a =+++--求的值其中为的余子式 解: (方法1) 直接计算4(1,2,3,4),.i A i =的值然后相加（略）(方法2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算.414243441424344441424344111(1)1M M M M A A A A A A A A +++=-+++=-⋅+⋅+-⋅+⋅3040222207001111=---3407222111=--34014111002=342811=28=-.例6: 计算n 阶行列式00001000000020(1)(2)0000001000n n x y x y D D x y n y xn ==-解：11111212111(1)nn n D a A a A a A =++按第列展1110000000000000(1)(1)000000000000n x y y x y x y x y x y y xx y++=-+-1(1)n n n x y +=+-.11111212111(2)nn n D a A a A a A =++按第列展1110000200(1)(1)!00200001n n nn n n ++=-=---.例7: 计算四阶行列式4000000a ba b a b a b D a b a b a ba b+-+-=-+-+.解: 按第1行展开，有1114400()(1)0()(1)000a b a ba b a b D a b a b a ba b a b a b a ba b +++-+-=+--++---++-,对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开，得 22[()()]a b a bD a b a b a b a b +-=+---+4222a b =.例8: 证明范得蒙行列式（Vandermonde )12111112111()(2)n n i j j i n n n n n x x x D x x n x x x ≤<≤---==-≥∏, 其中1()i j j i n x x ≤<≤-∏表示所有可能的())i j x x j i -<（的乘积. 证: (用数学归纳法)2n =时,2211211,D x x x x ==-结论正确; 假设对n -11n -范得蒙行列式结论成立，以下考虑n 阶情形.21311222221331111121222133111111000n n n nn n n n n n n n x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---------=------ 2131122133112222213311111100()()()0()()()n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------=------112()n i i x x ==-∏按第列展提取公因子 2322223111n n n n n x x x x x x ---1()i j j i n x x ≤<≤=-∏.例9 用范德蒙行列式计算4阶行列式1111437516949256427343125D -=- 解 ：对照范德蒙行列式，此处12344,3,7,5x x x x ====-所以有14()i j j i D x x ≤<≤=-∏213141324243()()()()()()x x x x x x x x x x x x =---⋅--⋅-(34)(74)(54)(73)(53)(57)10368=----⋅---⋅--=.第三环节：课堂练习练习:已知4阶行列式1424344411713180,..21435125ij ij D A A A A A a -=+++-求的值其中为的代数余子式 解: (方法1) 直接计算4(1,2,3,4),.i A i =的值然后相加（略）(方法2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算. 14243444142434441111A A A A A A A A +++=⋅+⋅+⋅+⋅ 它是D 中第2列元素与第4列元素的代数余子式的乘积之和，故有 142434440.A A A A +++=。
行列式定义性质与计算
二阶行列式是所有位于对角线上的元素和它们不相邻的元素的 总和。
计算方法
用代数余子式展开，然后进行简单的代数运算。
例子
对于二阶行列式
二阶行列式的计算方法
``` |ab| |cd|
二阶行列式的计算方法
```
其值为 a*d - b*c。
三阶行列式的计算方法
01
02
定义
计算方法
三阶行列式是所有位于对角线上的元 素和它们不相邻的元素的总和，共有 6个项，每个项都是不同行不同列的 三个元素的乘积。
矩阵除法中行列式的应用
总结词
矩阵除法中，行列式可以帮助我们确定可 逆矩阵的逆矩阵。
VS
详细描述
在矩阵除法中，我们经常需要求出可逆矩 阵的逆矩阵。这时，行列式可以帮助我们 确定逆矩阵。具体来说，对于一个可逆矩 阵A，其行列式值|A|不为0，这意味着A 存在逆矩阵。通过使用行列式，我们可以 轻松地找到A的逆矩阵。
n阶行列式定义
01
n阶行列式是由n行n列组成的矩阵， 其值由其元素的代数余子式决定。
02
n阶行列式的一般形式为： D=a11a22...ann=(1)^t(P)i=1n(ai1j1+ai2j2+...+ainjn)j 1j2...jn(P)i=1n(ai1j1+ai2j2+...+ainj n)j1j2...jn其中t为P的逆序数，P为排 列。
解法
通过将方程组转化为行列式形式，可以求解未知数 的值。
步骤
将方程组转化为行列式形式后，根据行列式的性质 ，通过展开行列式得到未知数的值。
三阶线性方程组的解法
定义
三阶线性方程组是由三个方程组成的，每个方 程中包含未知数的三阶线性项和常数项。
§12行列式的性质与计算
§1.2 行列式的性质与计算行列式是线性代数中的基本概念之一，它是一种特殊的方阵，由一个方阵中的所有元素按照一定规则构成。
行列式具有一些重要的性质和计算方法，以下是关于行列式的性质与计算的介绍。
一、行列式的性质1.行列式的行和列具有相同的独立性。
即对于一个n阶行列式，它的行和列都是n个独立的元素，可以独立进行变换，而不影响其他元素的位置。
2.行列式的行和列具有相同的代数余子式。
即对于一个n阶行列式，它的行代数余子式和列代数余子式都是n阶行列式，可以通过伴随矩阵的方式求得。
3.行列式的行和列具有相同的转置矩阵。
即对于一个n阶行列式，它的行转置矩阵和列转置矩阵都是n阶矩阵，可以通过转置矩阵的方式求得。
4.行列式的行和列具有相同的逆矩阵。
即对于一个n阶行列式，它的行逆矩阵和列逆矩阵都是n阶矩阵，可以通过逆矩阵的方式求得。
5.行列式的行和列具有相同的特征值。
即对于一个n阶行列式，它的行特征值和列特征值都是n个独立的特征值，可以通过特征多项式的方式求得。
二、行列式的计算1.按照定义计算。
行列式的定义是一个由方阵中的元素按照一定规则构成的多项式，可以按照定义直接计算。
2.化简计算。
行列式中的元素可以进行化简和约分，使得计算更加简便。
3.公式计算。
行列式有一些常用的公式，可以通过这些公式进行计算。
4.软件计算。
现在有很多数学软件可以用来计算行列式，例如MATLAB、Mathematica等等。
三、特殊行列式的计算1.二阶行列式的计算。
二阶行列式只有两个元素，可以通过交叉相乘的方式计算。
2.三阶行列式的计算。
三阶行列式有六个元素，可以按照展开式的公式进行计算，也可以通过软件计算。
3.n阶行列式的计算。
对于n阶行列式，可以使用Laplace展开式进行计算，也可以使用软件进行计算。
四、行列式的应用1.在解线性方程组中的应用。
通过求解线性方程组的系数矩阵和常数向量，可以得到方程组的解。
而系数矩阵就是一个n阶行列式，因此行列式在解线性方程组中有着重要的应用。
线性代数行列式的性质与计算
下页
2 1 3 1
例1. 计算行列式 D = 3 1 0 7 1 2 4 2 1 0 1 5
解：
1 0 1 5 r2 3r1 1 0 1 5
r3 +r1
r1r4 3 1 0 7 0 1 r4 2r1 3 8
D =
=
1 2 4 2
02 3 3
2 1 3 1
0 1 1 11
令Aij=(1)i+jMij， Aij称为元素aij的代数余子式.
例如，求4阶行列式中a32的代数余子式
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
M32=
A32= (1)3+2M32 = M32
a11 a13 a14 a21 a23 a24 a41 a43 a44
下页
范得蒙（Vandermonde）行列式
1
a1 a12 Dn = a1n3 a1n2 a1n1
下页
1
1
0
Dn
=
0
0
0
a2 a1 a22 a1a2
a2n2 a1a2n3
a2n1 a1a2n2
1
a3 a1 a32 a1a3
a3n2 a1a3n3 a3n1 a1a3n2
1
an a1
an2 a1an
ann2 a1ann3
ann1 a1ann2
a2 a1 a22 a1a2
按第二列展开
D=a12A12 +a22A22 +a32A32
=0 (1)1+2 1 3 +1 (1)2+2 1 2 +3 (1)3+2 1 2
线性代数行列式的性质与计算
线性代数行列式的性质与计算线性代数中的行列式是一种非常重要的数学工具，它在各个领域的数学和物理问题中都具有广泛的应用和重要性。
行列式是一个数，它与矩阵的元素有关，在许多情况下可以通过一些算法进行计算。
一、行列式的性质1.行列式有可加性：若A为n阶方阵，有两列完全相同，则行列式的值为0；若A为n阶方阵，交换两列，行列式的值变号。
2.行列式有因子约束：若A的其中一行或其中一列的元素是两个数之和，则A的行列式等于这两个数的和的行列式之和。
3.行列式有数乘的性质：若将A的其中一行或其中一列的元素都乘以k，则A的行列式等于k乘以这个行列式。
4.行列式对其中一行与另一行的代换变号，对其中一列与另一列的代换变号，换行、换列对行列式无影响。
5.方阵A与其转置矩阵A'行列式相等，即，A，=，A'。
6.若A为可逆的方阵，则，A，≠0；若A的其中一行全为0，则，A，=0。
二、行列式的计算1.二阶行列式的计算：设A为二阶方阵。
2.三阶行列式的计算：设A为三阶方阵a11a12a1A=，a21a22a23a31a32a33.高阶行列式的计算：a)拉普拉斯展开法：以行或列为基准进行展开，逐步减小行列式的阶数，直至计算到二阶行列式。
b)三角形矩阵法：若A为上（下）三角矩阵，则A的行列式等于对角元素的乘积。
c)伴随矩阵法：设A为n阶方阵，A的伴随矩阵的转置矩阵为A*，则，A，=，A*，=A*A^-1d)特征值法：设A的特征值为λ1,λ2,…,λn，则，A，=λ1λ2…λn.e)克拉默法则：若Ax=b为线性方程组，其中A为n阶方阵，且，A，≠0，则方程组有唯一解x=A^-1b.总之，行列式作为一种数学工具，在线性代数中具有重要的地位和作用。
它不仅可以帮助我们判断矩阵的可逆性，还可以求解线性方程组、计算矩阵的秩、判断矩阵的相似性等。
行列式的性质和计算方法可以帮助我们更好地理解和应用线性代数的相关知识。
行列式的性质与运算法则
行列式的性质与运算法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算中起着至关重要的作用。
行列式的性质和运算法则是我们学习和应用行列式的基础，本文将围绕这一主题展开阐述。
一、行列式的定义和基本性质行列式是一个数，它是一个方阵中元素的一种特殊组合。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|，其中n表示方阵的阶数。
行列式具有以下基本性质：1. 方阵A的行列式等于其转置矩阵A^T的行列式，即det(A) = det(A^T)。
2. 对调方阵A的两行（或两列），其行列式的值不变，即行列式具有行对换性质。
3. 如果方阵A的某一行（或某一列）的元素全为0，则行列式的值为0。
4. 行列式的值与方阵的行列式的值成正比，即如果一个方阵的某一行（或某一列）的元素都乘以一个常数k，那么行列式的值也将乘以k。
二、行列式的运算法则行列式的运算法则包括加法法则、数乘法则、乘法法则和转置法则。
1. 加法法则对于两个n阶方阵A和B，它们的行列式之和等于行列式分别取和的结果，即det(A + B) = det(A) + det(B)。
2. 数乘法则对于一个n阶方阵A和一个数k，方阵A的行列式乘以k等于行列式乘以k的结果，即det(kA) = k^n * det(A)。
3. 乘法法则对于两个n阶方阵A和B，它们的乘积的行列式等于行列式分别取乘积的结果，即det(AB) = det(A) * det(B)。
4. 转置法则对于一个n阶方阵A，它的转置矩阵A^T的行列式等于原方阵A的行列式，即det(A^T) = det(A)。
三、行列式的应用行列式的应用广泛，它在线性代数、微积分、几何学等领域都有重要的应用。
1. 判断方阵的可逆性一个n阶方阵A可逆的充要条件是其行列式不等于0，即det(A) ≠ 0。
利用这一性质，我们可以通过计算方阵的行列式来判断其可逆性。
2. 求解线性方程组对于一个n元线性方程组，我们可以将其系数矩阵表示为一个方阵A，并将常数项表示为一个列向量b。
Topic3行列式的计算与性质
Topic 33_1 行列式的計算行列式的計算與性質a b c d 即稱為㆒個㆓階行列式，縱者為行，橫者為列。
第㆒列元素為 a、b，第 ㆓列元素為 c、d，第㆒行元素為 a、c，第㆓行元素為 b、d。
a1 b1 a 2 b 2 = a1b 2 − a 2 b1 。
a1 b1 c1 a2 b2 c2 = a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − a3b2c1 − a1b3c2 − a2b1c3 。
a3 b3 c33_2 行列式的降階法任何㆒個 n 階行列式均可依某㆒行 ( 列 ) 為首㊠係數展開，而分解成 n 個 ( n − 1 ) 階行列式的組合。
a 1 b1 c1 a c a b b c a 2 b 2 c 2 = −a 2 1 1 + b 2 1 1 − c 2 1 1 。
a3 c3 a3 b3 b3 c3 a 3 b3 c3a1 a2 a3 a4b1 b2 b3 b4c1 c2 c3 c4d1 b2 c2 d2 b1 c1 d1 b1 c1 d1 b1 c1 d 1 d2 d 3 = a1 b3 c3 d3 − a2 b3 c3 d3 + a 3 b2 c2 d 2 − a 4 b2 c2 d 2 。
b4 c4 d4 b4 c4 d4 b4 c4 d4 b3 c3 d 3 d4㆕階 ( 以㆖ ) 行列式不可直接展開求值，需利用降階法將階數降成㆔階 ( 以㆘ ) 方可展開求值。
降階時的符號規則如㆘： + − + − + −。
㆔階 + − + + − + − − + − + ㆕階 + − + −。
− + − +3_3 行列式的基本性質行列式的行與列互換，其值不變。
a 1 b1 c1 a 1 a 2 a 3 a 2 b 2 c 2 = b1 b 2 b 3 。
a 3 b3 c3 c1 c2 c3㆒次方程組 Topic 3 1行列式㆗，任兩行（列）對調，其值變號。
a 1 b1 c1 b 1 a 1 c1 b1 c1 a 1 a2 b2 c2 = − b2 a2 c2 = b2 c2 a2 。
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
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n 2 n 2 x3 ( x 3 x1 ) x n ( x n x1 )
按第1列展开，并把每列的公 因子 ( x i x1 ) 提出， 就有
3.2 行列式的性质与计算
3.2.1 行列式的性质
a11 a12 a1n a11 a21 an1 a21 a22 a2 n a12 a22 an 2 T D D an1 an 2 ann a1n a2 n ann T D 行列式 称为行列式 D 的转置行列式.
证 用数学归纳法 1 1 D2 x 2 x1 ( x i x j ), x1 x 2 2 i j 1
当 n 2 时（ 1）式成立．
假设（ 1）对于 n 1 阶范德蒙德行列式成立 ，
Dn 1 0 0 0 1 x 2 x1 x 2 ( x 2 x1 ) n 2 x2 ( x 2 x1 ) 1 x 3 x1 x 3 ( x 3 x1 ) 1 x n x1 x n ( x n x1 )
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有
D D,
D 0.
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零． 证明 a11
a12 a1n
a11
a12 a1n
a i 1 a i 2 a in
1 1 2 0 0 1 r2 3r1 2 0 4 7 3 5
3 0 2 14 10
1 2 2 1 6 2
4 4 10
4
r2 2r1
1 1 2 0 0 1 0 2 0 7 3 5
3 0 4 14
1 3 2 1 6 2
故 D p11 pkk q11 qnn D1 D2 .
例4
证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
1 x1 1 x2
2 x2
1 xn
2 xn
2 Dn x1 n 1 x1
n i j 1
( xi x j ).
(1)
n 1 n 1 x2 xn
a1 al ab b1 bm c1 cn
m 1 次相邻对换 a a b b b a 1 l 1 m a c1 cn
a1 al ab1 bm bc1 cn ,
2m 1次相邻对换 a a bb b ac c , 1 l 1 m 1 n
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
0 5 4
4 7 10
1 1 2 3 3 7
3 9 2 14
1 3 5 1 6
解
D 2 3
0 5
4 7
4 4 10 10 2 1 1 2 3 1
0 r2 3r1 2
0 0
1 4 7
0 2 14 10
2 1 6 2
3 5
4 4 10
a i 1 a i 2 a in
k 0. kai 1 kai 2 kain a i 1 a i 2 a in a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两 数之和. a a (a a ) a
n
1 ,当 i j， 其中 ij 0 ,当 i j .
3.2.2 应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj 把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
1 1 2 3 3 7 3 9 2 14 10 1 3 5 1 6 2
例１ D 2 3 4
kai 2 kain k a i 1 a i 2 a in a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn
a n1
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面．如果某一行（列） 元素全为0，则行列式为0.
性质3 证明
1 1
b a b b b ab
b b b b a b b a b
0
ab
n1 a (n 1)b (a b) .
0
a11 a1k 0 b11 b1n bn1 bnn
例3
a k 1 a kk 设D c11 c1k c n1 c nk
其中1i j n 为自然排列 , t为排列 p1 pi p j pn 的逆序数.
设排列 p1 pi p j pn 的逆序数为t1 , 则有
故
1 1 , t D1 1 a1 p aip a jp anp D.证毕
t t1
1 3 2 0 4
0 0 0 4 6 1 1 2 3 1 0 2 1 5 3 r5 4r4 0 0 1 1 2 2 1 6 12. 0 0 0 1 0 0 0 0 0 6
a b
例2 计算 n 阶行列式
b a b
b b a b
对 D2 作运算 ci kc j , 把 D2 化为下三角形行列式
q11 0 设为 D2 q11 qnn . qn1 pnk
对 D 的前 k 行作运算 ri krj，再对后 n 列作运 算 c i kc j , 把 D 化为下三角形行列式
p11 0 q11 q n1 qnn , pk 1 pkk D c11 c1k c n1 c nk
a nn
把 a jk 换成 a ik ( k 1,, n), 可得
a11 ai1 a i 1 A j 1 a in A jn ai1 a1 n a in , a in
第i 行 第 j行
相同
当 i j 时,
a n1
a nn
ai 1 A j1 ai 2 A j 2 ain A jn 0,
性质6 行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a i 1 A j 1 a i 2 A j 2 a in A jn 0 , i j .
证 把行列式 D det( a ij ) 按第 j 行展开，有
a11 ai1 a j 1 A j 1 a jn A jn a j1 a n1 a1 n a in , a jn
bip a jp , b jp aip ,
于是
t D1 1 b1 p bip b jp bnp
1 i j n
t 1 a1 p aip a jp anp
1 i j
n
t 1 a1 p aip a jp anp ,
1 j i n
性质1 行列式与它的转置行列式相等. 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 记
性质2 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
a11 kai 1
a12 a1n
a11
a12 a1n
b b b a
b b b a
D b
b b 解 将第 2,3,, n 都加到第一列得
a n 1b a n 1b b a b b b b a b
D a n 1b a n 1b
a ( n 1)b 1 1 1 a (n 1)b b ab
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变． a11 a1i a1 j a1n 例如 a 21 a 2 i a 2 j a 2 j k
a n1 a ni a nj a nj a11 (a1i ka1 j ) a1 j a1n a21 (a2 i ka2 j ) a2 j a2 j ri krj an1 (ani kanj ) anj anj
b11 b1n a11 a1k , D1 det(a ij ) , D2 det(bij ) bn1 bnn a k 1 a kk
证明
D D1 D2 .
证明
对 D1 作运算 ri krj，把 D1 化为下三角形行列式
p11 0 设为 D1 p11 pkk ; pk 1 pkk
11 12 1i 1i 1n
例如
a 21 D a n1
a 22 (a 2 i a 2i ) a2n a n 2 (a ni a ni ) a nn
则D等于下列两个行列式之和： i a1 n a11 a1i a1n a11 a1 a 21 a 2 i a 2 n a 21 a a2n 2i D a n1 a ni a nn a n1 a a nn ni
经对换后 a 的逆序数增加1 ,
当 a b时，
b 的逆序数不变;
b 的逆序数减少1. 经对换后 a 的逆序数不变 ，
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 a1 al ab1 bm bc1 cn 现来对换 a 与 b .
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换
4 4 10 10
r3 3r1
r4 4r1
1 1 2 3 1 0 0 1 0 2 0 0 2 0
1 1 0 2 0 0 0 2 0 0
0 1 2
2 1 0 1 2
4 5 2
3 5 4 0 2
1 3 2