华南理工大学2010年数学竞赛试卷
华南理工大学2010数学竞赛试卷1. 考前请将密封线内填写清楚；2. 所有答案请直接答在试卷上； ．考试形式：闭卷；本试卷共 8 大题，满分100分，考试时间120分钟。
一、计算下列各题 （每小题6分，本大题共36分）. 求极限1lim 1n n n e n →∞⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦原式()1ln 11200111ln 111ln 11lim lim lim lim 1122n n n n x x e e n x x e n x e e e x x n n⎛⎫+- ⎪⎝⎭→∞→∞→→⎡⎤⎛⎫-⎢⎥+-- ⎪+-⎢⎥⎣⎦⎝⎭+=====-. 求极限1lim 1n xx n x e dx e →∞+⎰由于[]0,0,11n xn xx e x x e ≤≤∈+ 110010lim lim lim 011n x nx n n n x e dx x dx e n →∞→∞→∞≤≤==++⎰⎰,从而由夹逼准则10lim 01n x x n x e dx e →∞=+⎰. 求极限[]()01lim xx t t dt x →+∞-⎰,其中[]t 为不超过t 的最大整数.由于[][][]()[][][]()[]()[][][][]111122211x x xt t dt t t dtt t dtx x x x xx x +---+=≤≤=++⎰⎰⎰ []()011lim 2xx t t dt x →+∞-=⎰. 在原点附近,试用一个二次多项式近似代替函数()201sin 32xtf x dt t +=++⎰ 由于()()()()()()()()22222cos 21sin 1sin 1103,,0,,02222x x x x x f f x f f x f x x +-++''''''=====++()()()()220011031!2!24f f f x f x x x x '''≈++=++５. 计算422cos 1x xdx e ππ--+⎰解 由()()()0a aaf x dx f x f x dx -=+-⎡⎤⎣⎦⎰⎰ 可得442202cos 313cos 142216x x dx xdx e πππππ--==⋅⋅=+⎰⎰ ６. 计算()2cz y ds +⎰,其中c 为球面2222xy z R ++=与平面0x y z ++=的交线解()22cccz y ds zds y ds +=+⎰⎰⎰,由曲线的轮换对称性可得()()2222231112()03333cccc z y ds z x y ds y z x ds R ds R π+=+++++=+=⎰⎰⎰⎰ 二、（本题8分）设()f x 在1x =点附近有定义，且在1x =点可导,()()10,12f f '==,求()220sin cos limtan x f x x x x x→++。
解：原式()()()222222200sin cos 1sin cos 1sin cos 11lim 1lim 1sin cos 1tan 21tan x x x x f x x f x x x x f x x x x x xx →→-++-+-'=⋅=⋅=+-++ 三、（本题10分）证明()()211,0,1,2,2!n n n n nd P x x n n dx =-=L 满足关系式()()()()()21210n n n xP x xP x n n P x '''-+-+=证 设()211,0,1,2,2!n n z x n n =-=L ,则()()122112,212!n nz x nx nxz x z n -''=-⋅=- 两边再求()1n +阶导数,得()()()()()()()()()1212122112122!n n n n n n n nxzn n zx zx n zz ++++++=-+++⋅从而()()()()()2121210n n nx zxz n n z ++-+-+=因为()()()()()()21,,n n nn n n z P x z P x z P x ++'''===故()()()()()21210n n n x P x xP x n n P x '''-+-+=四、（本题10分）设函数()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可微, 且()()1010,12f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭。
证明：(1)存在1,12ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()f ξξ=; (2)存在()0,ηξ∈使得()()1f fηηη'=-+证 (1)设()()F x f x x =-,则()F x 在[]0,1上连续， 且()111010,1022F F ⎛⎫=-<=->⎪⎝⎭,从而有零点定理,存在1,12ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()f ξξ=;(2)设()()xG x f x x e -=-⎡⎤⎣⎦,则()G x 在[]0,1上连续，在()0,1内可微, 且()()()()1,0()0xG x f x f x x e G G ξ-''=--+==⎡⎤⎣⎦由罗尔定理,存在()0,ηξ∈使得()0G η'=,即()()1f f ηηη'=-+五、（本题10分）已知(),u f t t ==满足()32222222222u u u x y z x y z -∂∂∂++=++∂∂∂,求()f t 解 ()()()()()222222222222222,,x xx x x y z x u f t u f t f t x y z x y z x y z +-''''=⋅=⋅+⋅++++++ 从而()32222222222222u u u f f x y z x y z x y z -'''∂∂∂+++==++∂∂∂++ ()()()12222t f t f t x y ze --'''+=++=, 从而2*120,0,1,t r r r r y ate -+===-=代入,解之得()121,tta f t c c e te --=-=+-六、（本题10分）设(),f x y 在区域D 上有连续偏导数,且满足关系式22220f fx y∂∂+=∂∂,证明：（1）等式22c D ff f f ds dxdy n x y ⎡⎤⎛⎫∂∂∂⎛⎫=+⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰Ñ成立，其中曲线c 为区域D 的边界，n r为c 的外法线方向；（2）若(),f x y 在c 上恒等于零，则(),f x y 在区域D 内也恒等于零证 （1）设单位切向量为{}cos ,cos t αβ=r，则外法线单位法向量为{}cos ,sin n βα=-r， 从而cos cos x y ff f nβα∂=-∂ 等式左边()()cos cos xy y x cccffds f ff ds ff dx ff dy nβα∂==-=-+∂⎰⎰⎰蜒?由格林公式，等式左边()()()22x y x xx y yy x y D Dff ff dxdy f ff f ff dxdy ⎡⎤''=+=+++⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰再由已知可得，左边=右边（2）由已知220D c f f fdxdy f ds x y n ⎡⎤⎛⎫∂∂∂⎛⎫+==⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰Ñ 从而()220,0,,f f f f f x y x y x y ⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫+=== ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭为常数，再由于边界上(),0f x y =，因此(),0f x y =七、（本题8分）计算()()()222222x y dydz y z dzdx z x dxdy ∑-+-+-⎰⎰。
其中∑是()22222210x y z z a b c ++=≥的上侧 解 取22122:0,1x y z a b∑=+≤下侧则 原式()()22112221222x y ab x y z dv x dxdy ∑+∑∑Ω+≤=-=+++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222212222220001221cos Cx y a b z zdv x dxdy z ab dz d a r abrdr c ππθθΩ+≤⎛⎫=-=⋅--⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰231124abc a b ππ=- 七、（本题8分）假定一个半径为r 的雪球，其融化时体积的变化率正比于雪球的表面积，比例常数为0k >。
已知两小时内融化其体积的四分之一，问剩余部分需要多少小时才能全部融化。
解 由已知2344,,,3dV drk r V r k r kt c dt dtππ=-⋅==-=-+， 令0t =时0r r =，则0r r kt =-由已知2t =时()330004342,2343r r k r k r ππ=--=⋅，得002r k -=，0112k r ⎛=- ⎝，00112r r r t ⎛=- ⎝从而，从开始到全部融化所需时间为21.87t =≈219.87-≈小时能全部融化。
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛获奖名单041019141323
上海立信会计学院
龚晖 钟江柳
任哲莹
14
上海交通大学
杨奕晨 刘璐
龚路
15
上海交通大学
李岩 朱东鹤
郑金聪
16
上海交通大学
许凌云 张方博
徐宗玮
17
上海交通大学
惠博闻 刘宁
张卫鹏
18
上海交通大学
刘宇杰 李颖哲
黄彬弟
19
上海交通大学
董骁扬 祁迪
肖彦洋
20
上海交通大学
阎立 王伊晓
陈诚
21
上海交通大学
张讼 方正
肖涛
黄菲
宋爽 卜昕阳 数模教练组
50
东南大学
羌波
董荻莎 袁颖
数模教练组
51
乐山师范学院
陈强
张小欢 余慷
指导教师组
52
兰州大学
邱亮亮
王东晖 毛光才
赵晨霞
53
兰州交通大学
兰金福
王贞 刘波
常胜等
54
北京大学
田成喆
于晨露 范爱琳
指导小组
55
北京大学
程诚
黄辰 刘瑞恺
指导小组
56
北京大学
匡宇明
吕桐 龚任飞
指导小组
57
指导小组 付嵩峰 贺祖国 贺祖国 袁健华 贺祖国 彭临平 彭临平 孙海燕 孙海燕 冯伟 徐厚宝 房永飞
黄丽 邹述超 何腊梅
钮海 指导小组 指导小组
高晴 覃思义 杜鸿飞 数模组 教练组 教练组 梅正阳 梅正阳 指导教师组 数模组 吕显瑞 史少云 吕显瑞 齐德全 郝朝洋
章飞 张琼 教练组
3
97
江西师范大学
河南师范大学
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛获奖名单(初稿)
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛获奖名单（初稿）（异议期：2010年11月5日－2010年11月18日）本科组一等奖（210名，按赛区序号排列，赛区内按学校笔画排列）序号 赛区 学校 参赛队员 指导教师1 北京 中央财经大学 陈博 武玉婷 孙砚培2 北京 中国人民大学 卜文凯 时昱旻 杨亚旭 韩丽涛3 北京 中国人民大学 陈柯 兴开楠 祝晨琪 韩丽涛4 北京 中国地质大学（北京） 刘洋廷 刘鑫磊 郑梦天 郑勋烨5 北京 北京大学 田成喆 于晨露 范爱琳 指导小组6 北京 北京大学 程诚 黄辰 刘瑞恺 指导小组7 北京 北京大学 匡宇明 吕桐 龚任飞 指导小组8 北京 北京大学 杨颖 程锴 周瑾 指导小组9 北京 北京工业大学 鹿思珩 刘昊淼 史海波 数模指导组10 北京 北京师范大学 陶雨萌 林梦西 肖牧 指导小组11 北京 北京师范大学 朱茵仪 鲁珵 王情 指导小组12 北京 北京邮电大学 任峰 陈雯 张国波 贺祖国13 北京 北京邮电大学 赵丽红 尚秋里 王占孔 贺祖国14 北京 北京邮电大学 赵若君 薛潇剑 王璟尧 袁健华15 北京 北京邮电大学 徐佳祥 张引 黄海龙 贺祖国16 北京 北京航空航天大学 刘文佳 覃贝贝 于楠 彭临平17 北京 北京航空航天大学 叶峰 周润楠 邹贤青 彭临平18 北京 北京航空航天大学 牛宝龙 康志新 全拥 孙海燕19 北京 北京航空航天大学 佘昌洋 齐毅 叶子豪 孙海燕20 北京 北京航空航天大学 姜亚中 淡志强 吕晓帆 冯 伟21 北京 北京理工大学 于腾飞 陈勇波 高原 徐厚宝22 北京 北京理工大学 朱俊杰 王斌斌 李毅彬 房永飞23 北京 对外经济贸易大学 于淼 吴羽乔 周霁颖 指导小组24 北京 对外经济贸易大学 吴卓宴 邱珍琦 朱箫笛 指导小组25 北京 首都医科大学 邵毅 刘冬鑫 欧阳涣堃 指导小组26 北京 清华大学 韩科航 周伟国 王小雪 指导小组27 北京 清华大学 孙立君 汪利 徐悟 指导小组28 北京 装甲兵工程学院 王磊 刘厚璋 傅文君 齐紫微29 天津 天津农学院 李建忠 田金歌 王姣姣 穆志民30 天津 军事交通学院 陈虹睿 伍恒 王立思 鞠涛31 河北 东北大学秦皇岛分校 郑晓云 李春 侯鹏庆 指导教师组32 河北 华北电力大学 周振 甄钊 王彬彬33 河北 防灾科技学院 贺子龙 余坤 曹京津 何珊珊34 山西 山西大学 张 骁 张连敏 李明宇 李顺勇35 山西 山西大学 刘俊伶 薛 波 王译梧 刘桂荣36 山西 太原理工大学 陈 涛 程 景 冷 冬 王彩贤37 山西 太原理工大学 范 岳 樊留根 姚金磊 安润玲38 内蒙古 内蒙古大学 王恩奇 邓会敏 杜增义 马壮39 辽宁 大连海事大学 毋岩斌 赵宝强 王嘉宁 张运杰40 辽宁 东北大学 田涧 任龙 元河清 何雪浤41 辽宁 东北大学 黄小雨 周小琨 陈美希 王琪42 吉林 长春师范学院 吴斯 胡晓倩 敖晶 吴登峰43 吉林 长春理工大学 王天也 刘文民 朱宝金 成丽波44 吉林 长春理工大学 王昕妍 舒文敏 蒲睿 李卫明45 吉林 长春理工大学 彭京蒙 刘健 王慧超 李卫明46 吉林 长春理工大学 周宇艇 郝贺 梁帅 蔡志丹47 吉林 吉林大学 姜富春 苏丽娟 侍骏超 吕显瑞48 吉林 吉林大学 冯海兵 江浩亮 师宪伟 史少云49 吉林 吉林大学 周天伟 孟晨 王晨 吕显瑞50 吉林 吉林医药学院 刘海涛 冯俊惠 张苗苗51 黑龙江 哈尔滨工业大学 周鑫 张叶红 解奉龙 李道华52 黑龙江 哈尔滨工业大学 金平 徐妍妍 陈浩辰 尚寿亭53 上海 上海交通大学 车宇航 王泽宇 闫程远54 上海 同济大学 张森 叶子 熊彼德 郝朝洋55 上海 复旦大学 陆俊巍 厉传斌 赵晟 曹沅56 上海 复旦大学 艾里•热孜克 李可嘉 王晨阳 曹沅57 上海 复旦大学 李天原 朱涵 彭镇 曹沅58 上海 复旦大学 徐仚 刘苒 孙宁 曹沅59 上海 复旦大学 曹原 范敏杰 方乐恒 曹沅60 江苏 东南大学 黄菲 宋爽 卜昕阳 数模教练组61 江苏 东南大学 羌波 董荻莎 袁颖 数模教练组62 江苏 江苏大学 冯亦倬 任文婷 万根顺 教练组63 江苏 江南大学 李磊 苏欢欢 王猛 数模教练组64 江苏 河海大学 徐晓军 金罗斌 朱鹏 张学莹65 江苏 河海大学 唐少将 狄克 罗斌 丁根宏66 江苏 南京大学 言浩 马骏 王宁欣 教练组67 江苏 南京大学 钱行 强闰伟 钱煜 教练组68 江苏 南京大学 杨霄 蔺璐媛 付怀龙 教练组69 江苏 南京大学 彭宇 王晓亮 姚秋爽 教练组70 江苏 南京大学 陈秦波 成松豪 杜变 教练组71 江苏 南京师范大学 张艳 汤晓萌 谢起予72 江苏 南京财经大学 马健 杜泽宇 施庭 肖丽华73 江苏 南京邮电大学 李宁騛 邱煜淳 李建蕊 孔告化74 江苏 南京邮电大学 王睿 洪翠云 王春路 许立炜75 江苏 南京邮电大学 张伟 张玮 王富广 闫庆伦76 江苏 南京信息工程大学 舒宏武 陈凤娇 傅洋77 江苏 南京理工大学 刘迎 刘文慧 张利强 肖伟78 江苏 常熟理工学院 曹进 鞠美凤 宗耀东 数模教练组79 江苏 解放军理工大学 许晓明 高枫越 张驭龙80 浙江 中国计量学院 戚立才 洪露 陈小军 数模组81 浙江 中国计量学院 余舒婷 章苹 文一章 数模组82 浙江 中国计量学院 王彬清 张权耀 刘雨 数模组83 浙江 杭州电子科技大学 罗云岗 林潮阳 杨雅萌 数模组84 浙江 浙江大学 马宇斌 莫璐怡 杨琦 数模组85 浙江 浙江大学 陈鑫磊 丁玫 李子健 数模组86 浙江 浙江大学 曹臻 罗丁 胡晨玥 数模组87 浙江 浙江大学 刘胡世阳 杨家程 程功 数模组88 浙江 浙江工业大学 何伟 王绍楠 陈聪 数模组89 浙江 浙江工业大学 金超 方佳盈 胡晓馨 数模组90 浙江 浙江工业大学 丁洁女 温彩哨 钟雷 数模组91 浙江 浙江师范大学 孟佶贤 谢杰 高艳东 数模组92 浙江 浙江师范大学 张旭丹 陈余康 陈聪 数模组93 浙江 温州大学瓯江学院 金莹 陈伟敏 许明明 徐徐94 安徽 中国科学技术大学 冯荻 兰菲 李天骄 张峰95 安徽 安徽大学 阮骥 范文萍 罗小兵 章飞96 安徽 安徽师范大学 魏子翔 胡益清 韩熙轩 张琼97 安徽 安徽建筑工业学院 李淼 吴红奎 章龙 教练组98 安徽 蚌埠学院 吴文健 陶璇 赵红敏 张迎秋99 安徽 解放军炮兵学院 彭浩宇 肖鑫 冯宝龙 王伦夫100 福建 泉州师范学院 黄伟菁 杨玲玲 陈世军 杨昔阳101 福建 厦门大学 林奕 徐梦露 沈忱 谭忠102 福建 厦门理工学院 宁亦杼 林明阳 梅玉 陈玉成103 江西 江西师范大学 刘维 张丽 阳春燕 教练组104 江西 江西理工大学 项淋飞 万芸 李一帆105 江西 南昌大学 郭慧君 江长云 周慧 教练组106 江西 南昌大学科学技术学院 杨献祥 陈臣 许梦婷 教练组107 山东 山东大学 崔金杰 王军 肖佃艳 数模组108 山东 山东大学 刘浩东 苏绍清 滕斌 数模组109 山东 山东大学 许荣华 秦彦齐 孙开元 数模组110 山东 山东大学威海分校 戚睿骅 张静源 董方丽 曹祝楼111 山东 山东大学威海分校 郭翰橙 朱文涛 何勇 杨兵112 山东 山东科技大学 王宗炎 虞鑫栋 宋婉莹 张玉林113 山东 山东科技大学 邱健 李丽荣 刘培龙 王新赠114 山东 中国石油大学(华东) 尚林源 吴立金 李琦 周生田115 山东 中国海洋大学 孟繁龙 马瑞松 王成亮 数模组116 山东 中国海洋大学 高源 靳光震 王博 数模组117 山东 青岛理工大学 王维 曹帅 张文亮 数模组118 山东 青岛理工大学 刘雷雷 王一凡 孟令娜 数模组119 山东 青岛理工大学 王欢 高合盟 贾言安 数模组120 山东 青岛理工大学 张雪 辛金龙 李清杰 数模组121 山东 海军航空工程学院青岛分院 胡光潮 赵大玮 郑良波 曹122 河南 河南师范大学 梁广颖 潘逸飞 杨云飞 指导教师组123 河南 河南科技大学 袁志凯 许雪敏 胡磊 李培峦124 河南 解放军信息工程大学 马蓁 薛峰 杨京 指导教师组125 河南 解放军信息工程大学 杨绪魁 秦记东 魏星 指导教师组126 河南 解放军信息工程大学 徐一夫 韩洁 张驰 指导教师组127 河南 解放军信息工程大学 张辉 杨帆 卫彦伉 指导教师组128 湖北 三峡大学 陈杨 焦晓晖 胡昌志 指导教师组129 湖北 三峡大学 刘乐军 陈晓东 敖行 指导教师组130 湖北 三峡大学 付志龙 辜继明 李美莹 指导教师组131 湖北 三峡大学 叶润森 陈腾飞 齐紫航 指导教师组132 湖北 华中农业大学 李阳 杜佩 陈宁陆 教练组133 湖北 华中农业大学 佟昊 高文辉 刘乾 教练组134 湖北 华中科技大学 黄天骁 汪光亮 印家星 梅正阳135 湖北 华中科技大学 闻铭 肖成志 朱云帆 梅正阳136 湖北 武汉大学 周朝 胡凡 孙健兴 数模指导组137 湖北 武汉大学 倪超 杨盼盼 李枫 数模指导组138 湖北 武汉大学 韩旭 李海波 国玉静 数模指导组139 湖北 武汉大学 陈鹏 郭双全 田钰 数模指导组140 湖北 武汉工程大学 黄浩 张晓迪 杨俊威 杨向辉141 湖北 武汉理工大学 王人福 方越栋 李欣 黄小为142 湖北 武汉理工大学 陈骁 郑杰 张景源 何朗143 湖北 解放军空军雷达学院 黄龙权 魏煜 左家骏 数模指导组144 湖北 解放军海军工程大学 黄振华 周群 郝红芳 数模组145 湖南 中南大学 唐高朋 田家凯 余道顺 张佃中146 湖南 中南大学 孙贝 李洋 岳梦楚 张鸿雁147 湖南 中南大学 呙邵明 陈小龙 肖成 郑洲顺148 湖南 长沙理工大学 戈先武 罗海星 彭珊姗 戴志锋149 湖南 长沙理工大学 汤凌 谭敏 李晓恩 戴志锋150 湖南 国防科技大学 马肖肖 张若冰 周应秋151 湖南 国防科技大学 李靖 朱新新 尹晓晴152 湖南 国防科技大学 杜睿 徐海洋 房晓婷153 湖南 湖南人文科技学院 黄准 于俊 唐晓琼 陈国华154 湖南 湖南农业大学 王志勇 雷达 万志鸿 刘跃武155 湖南 湖南商学院 肖蔚 付雅婷 刘霞 谢小良156 广东 北京师范大学－香港浸会大学联合国际学院 于其位 朱栋 明越157 广东 华南理工大学 刘鹏 陈晓强 曾浩健 数模组158 广东 暨南大学珠海校区 潘亦铭 张樟 詹雯婷159 广西 广西师范大学 林明进 邵严民 容蓉 数模组160 广西 桂林理工大学 利仕坤 佘华煜 周毅 刘筱萍161 广西 桂林理工大学 沈孝文 叶彩园 张震 梁鹏162 海南 海南大学 高峰 葛同广 邝翼飞 教练组163 海南 琼州学院 吴政婉 苏致远 石震林 教练组164 重庆 重庆大学 王建 丁超 王昌赢 龚劬165 重庆 重庆大学 郭攀 徐亦达 罗云琳 龚劬166 重庆 重庆大学 刘洋毅 梁健斌 郭宗林 龚劬167 重庆 重庆工商大学 王文姣 白洋 吴静 袁德美168 重庆 重庆交通大学 王振凯 胡沛 张星星 张聪169 重庆 重庆邮电大学 袁震 陶树人 王位哲 鲜思东170 重庆 重庆邮电大学 曹世伟 胡晨 李楠 郑继明171 重庆 重庆邮电大学 封炳荣 罗剑 董亚苹 陈六新172 重庆 解放军后勤工程学院 项俊 陈佳 刘晋铭 杨廷鸿173 重庆 解放军后勤工程学院 方海洋 宗福兴 汪辉 方玲174 重庆 解放军第三军医大学 段傲文 王健 白建越 马翠175 四川 乐山师范学院 陈强 张小欢 余慷 指导教师组176 四川 四川大学 谈承翌 李杰 李崔堂 黄丽177 四川 四川大学 赵威 孙侃 蔺海明 邹述超178 四川 四川大学 朱名发 刘娜 杨博 何腊梅179 四川 四川大学 陈贞贞 周凡 朱洋民 钮海180 四川 电子科技大学 陈阳 杨卓凯 王嵘 高晴181 四川 电子科技大学 宁超 吕建宏 董荟 覃思义182 四川 电子科技大学 樊波 周慧玲 邸鼎荣 杜鸿飞183 四川 西华师范大学 潘理 刘荣燕 曾柯方 潘大志184 四川 西南石油大学 余奇徽 余婷 吴清霞 李玲娜185 四川 西南交通大学 喻程 曹先腾 张凌雪 何平186 四川 西南交通大学 申伟 涂年杰 毛亚强 梁涛187 四川 西南交通大学 王渊闻 梁霁宁 陈一新 王璐188 四川 西南财经大学 王皓 黄颖 师龙 李绍文189 贵州 贵州大学 田玲珲 鲍鑫 刘宗权 教练组190 贵州 贵阳学院 杨国春 王小惠 俞志斌 教练组191 云南 云南大学 周凌霄 张健 崔俊辉 李海燕192 云南 云南师范大学 赵勇波 朱琼芳 黄希芳 张洪波193 陕西 长安大学 丁明畅 任君平 强耀锋 阮苗194 陕西 西北工业大学 王宁 王有江 徐引擎 王力工195 陕西 西北工业大学 王迅 杨钫韬 顾文婷 袁占斌196 陕西 西安电子科技大学 董川 马建鹏 江小雅 教练组197 陕西 西安电子科技大学 金力 栗涛 郝磊 教练组198 陕西 西安交通大学 刘帅 王同磊 王晓冰 王立周199 陕西 西安交通大学 李辛昭 薛景安 李硕 高静200 陕西 西安邮电学院 白雪 吕晓辉 李子蹊 教练组201 陕西 西安理工大学 丁延鹏 孙靖萱 卢欣 赵凤群202 陕西 空军工程大学 姜久龙 王旭峰 黄河 教师组203 陕西 空军工程大学 孙昱 张亦驰 陈知超 教练组204 陕西 陕西师范大学 麻敏洁 田燕 马俊 指导组205 陕西 陕西师范大学 朱欣 杨茂珍 邱运先 指导组206 陕西 陕西科技大学 任兆勇 康钦谋 金丽 教练组207 陕西 陕西科技大学 杨少飞 牟宗轩 贺静 教练组208 甘肃 兰州大学 邱亮亮 王东晖 毛光才 赵晨霞209 甘肃 兰州交通大学 兰金福 王贞 刘波 常胜等210 新疆 石河子大学 热比古丽 彭海城 王骞 数模组本科组二等奖（907名，按赛区序号排列，赛区内按学校笔画排列）序号 赛区 学校 参赛队员 指导教师1 北京 中央财经大学 冯天洋 程坦 宋晓天2 北京 中央财经大学 邢梦醒 王晓璐 佘巍巍3 北京 中央财经大学 马默宁 张智超 赵然4 北京 中央财经大学 邬隽骁 李妍 骆圣婷5 北京 中国石油大学（北京） 王晶 曾玮 张欣雨 指导组6 北京 中国石油大学（北京） 王丙钢 宋泽章 诸葛海锦 指导组7 北京 中国地质大学（北京） 刘龙冰 陈源 吴南 黄光东8 北京 中国地质大学（北京） 曾云川 许茹斐 石仁烽 郑勋烨9 北京 北京大学 赵靖康 李骋 颜聪 指导小组10 北京 北京大学 陈浩 徐东昊 苗旺 指导小组11 北京 北京大学 张瑞祥 孙文博 王骜 指导小组12 北京 北京大学 苏炜杰 冯玮炜 指导小组13 北京 北京大学 马郓 陈昕 马陶然 指导小组14 北京 北京工业大学 刘峥 代维佳 高博伦 数模指导组15 北京 北京化工大学 黄森洋 盛世杰 伍惠敏 指导小组16 北京 北京化工大学 张奔韬 宋雪超 王欣波 指导小组17 北京 北京交通大学 张剑南 李硕 孙靳睿 王兵团18 北京 北京交通大学 张奇 张梦雨 洪运 魏永生19 北京 北京交通大学 蒋则明 黄延霞 钱学成 刘迎东20 北京 北京师范大学 李昕彤 李心怡 邢星星 指导小组21 北京 北京邮电大学 陈跃潭 于海 王宏宇 帅天平22 北京 北京邮电大学 王萌 洪亚腾 陆恂 贺祖国23 北京 北京邮电大学 刘自强 罗晓晖 陈俊龙 贺祖国24 北京 北京邮电大学 陈昊 倪郑威 叶逢铸 贺祖国25 北京 北京邮电大学 张龙 艾陈胤 李俊 周清26 北京 北京邮电大学 马晓 曾静宜 郑岱旭 贺祖国27 北京 北京物资学院 王明正 初成曦 冼宏宇 常双领28 北京 北京信息科技大学 于云 刘茜 谢维 指导小组29 北京 北京信息科技大学 冯沁 苏晓 韩磊 指导小组30 北京 北京科技大学 苏晓丽 闫冰倩 徐昕钰 朱婧31 北京 北京科技大学 巩萌 赵宝实 赵自谦 朱婧32 北京 北京语言大学 张贞艳 丁伟峰 李逸杰 指导小组33 北京 北京语言大学 夏知寒 韩静也 马男 指导小组34 北京 北京航空航天大学 陈嘉晖 徐泽祥 王存 彭临平35 北京 北京航空航天大学 郭若峰 冯铁山 付子豪 彭临平36 北京 北京航空航天大学 郭嘉昊 沈梃 高鹏宇 冯伟37 北京 北京航空航天大学 陈致霖 陈成昊 李卫华 彭临平38 北京 北京理工大学 陈凤娇 李禹肖 陈婉芳 李炳照39 北京 北京理工大学 高瑜隆 程思源 宋扬 曹鹏40 北京 北京理工大学 范国超 任璐 郭常超 王宏洲41 北京 北京理工大学 谢登元 朱治柳 钱秀兰 蔡亮42 北京 对外经济贸易大学 张孟飞 杨晗 陈骐 指导小组43 北京 对外经济贸易大学 黎立娴 杨钟韵 刘丹 指导小组44 北京 对外经济贸易大学 韦巍 苏觅 欧昌群 指导小组45 北京 华北电力大学 常思远 张阳 于亚薇46 北京 华北电力大学 杨煦 金挺超 杨婷婷47 北京 华北电力大学 王海东 史龙 朱逸超48 北京 陆军航空兵学院 程东 张海涛 杨博 王品49 北京 首都经济贸易大学 韩端 董慧君 吴雪霏50 北京 清华大学 俞华程 马腾宇 陈丹琦 指导小组51 北京 清华大学 邵天兰 刘冰 李荣莎 指导小组52 北京 清华大学 王譞 钟贵廷 楼阳 指导小组53 北京 清华大学 陈润泽 李凡 崔盛辉 指导小组54 北京 装甲兵工程学院 张毅华 程大舜 田其龙55 天津 中国民航大学 刘宁 郭淳 李泱 赵玉环56 天津 中国民航大学 宋晨辰 杨宽义 王高云 付宇57 天津 中国民航大学 毛利民 张钊 查荣轩 张春晓58 天津 天津大学仁爱学院 何文东 张政旭 郭燕红 赵凯芳59 天津 天津外国语大学 郭艳楠 王子麟 彭黄莉 李胜朋60 天津 天津外国语学院滨海外事学院 吴春晓 郎瑜 陈四兴 唐占61 天津 天津农学院 刘亭亭 武志华 张晓 徐利艳62 天津 天津农学院 徐玲 查海燕 曹海鹏 房宏63 天津 天津师范大学 刘冬 陶君 李媛媛 周立群64 天津 天津师范大学津沽学院 吴婷 李瑞 周国庆 李光辉65 天津 天津科技大学 邓小毛 李文凯 朱锋66 天津 天津科技大学 陶文翠 王超杰 曹小柳67 天津 天津科技大学 高举 洪刚 张弘阳68 天津 天津商业大学 许琳 康若颖 李青伟 李景焕69 天津 天津理工大学 贾东旭 纪文开 李镔 陈相东70 天津 天津职业技术师范大学 杨鹏宇 郭鑫 刘明 许茵71 天津 天津职业技术师范大学 李小亮 钟旭 卢聪宾 王明春72 天津 河北工业大学 雷阳 王祥宇 王增喜 孙丞73 天津 河北工业大学 赵欢 沈亚楠 张会焱 穆国旺74 天津 南开大学 胡奕 柏林 黄玮虹75 河北 中国人民武装警察部队学院 欧枫 黄喜龙 唐运 指导教师76 河北 东北大学秦皇岛分校 齐鹏鹤 犹和敏 叶永建 指导教师组77 河北 北华航天工业学院 李阳 佟冰 王佳庆 张文治78 河北 石家庄经济学院 王娣 付艳璐 钟洋 康娜79 河北 石家庄经济学院 侯亮 陈静 郭自晓 康娜80 河北 军械工程学院 尹世庄 张显德 李小东 王志平81 河北 军械工程学院 张普阳 王仕国 芦向东 胡皓82 河北 华北电力大学 尹瑞 古向楠 隆茂83 河北 华北电力大学科技学院 孙强 李昊 宁飞84 河北 华北电力大学科技学院 吴彬彬 赵佩 闫琦元85 河北 华北电力大学科技学院 彭帅 陈昕 任剑峰86 河北 邢台学院 潘自康 周晴雯 俞成锦 王明礼等87 河北 河北大学 王禄恒 武瑞乾 石宁 指导教师组88 河北 河北大学 张磊 宋华 何利斌 指导教师组89 河北 河北大学 翟梦尧 李同 王桥 指导教师组90 河北 河北工业大学 盖晓龙 刘硕 袁钊 邵泽玲91 河北 河北工业大学 何春雷 刘冰月 张梁 睢百龙92 河北 河北工业大学 李艳丽 张孜毅 周旭 李小朋93 河北 河北北方学院 焦艳杰 牛蓝英 李科 郑秀亮94 河北 河北师范大学 申达志 皮彬睿 陈鑫皓 张朝晖95 河北 河北金融学院 崔伟 张洁 史晓爽 指导教师组96 河北 河北科技大学 陆飞 杨波 陈文超 指导教师组97 河北 河北科技大学 周大力 马楠 孔龙涛 指导教师组98 河北 河北理工大学轻工学院 刘雪琴 王欣 于涛涛 指导教师组99 河北 河北理工大学轻工学院 郑建平 黄亚磊 李亚南 指导教师100 河北 河北理工大学轻工学院 张晶晶 陈艺丹 郭轶玮 指导教101 河北 燕山大学 姜宏丽 霍亚军 张文辉 赵晓知102 河北 燕山大学 刘津 陈争朝 朱明增 宋向东103 河北 燕山大学 潘志勇 闫宏航 郭亚雪 李建东104 河北 燕山大学 李子卓 刘强 齐景好 宋向东105 河北 燕山大学里仁学院 李凤娇 王月宏 李海苓 指导教师组106 河北 燕山大学里仁学院 李婷 杨硕 刘红玉 指导教师组107 山西 山西大学 常清泉 董 艺 韩德浩 杨 威108 山西 山西大学 窦志远 崔 帆 洪 炉 翟109 山西 山西大学商务学院 刘春园 王 怡 宋 钰 郑学谦110 山西 山西大学商务学院 董晓云 郭 姣 李曼曼 赵丽霞111 山西 山西大学商务学院 卢 波 郭彦辉 崔 倩 李华锋112 山西 山西师范大学 马丽丽 陈海鲜 康 柯 安立坚113 山西 山西财经大学 靳瑞娟 王 清 刘 璐 李启亮114 山西 山西财经大学 郭省钰 梁吉斌 杨晓臣 张善俊115 山西 山西财经大学 郝晋伟 杜 磊 成仲秀 高崇山116 山西 中北大学 孙宝亮 孙彦雷 李晓娟 胥 兰117 山西 中北大学 王 龙 刘 园 魏交统 王纪城118 山西 中北大学 袁亮亮 李 扬 范 欣 杨 明119 山西 中北大学 刘瑞瑞 徐佳佳 李海林 肖亚峰120 山西 中北大学 黑东盛 郭 辰 庄万涛 梅银珍121 山西 太原师范学院 张力群 张 晓 闫 芬 王福胜122 山西 太原科技大学 史亚娟 王 清 曹树芋 谢秀峰123 山西 太原理工大学 倪 玲 牛鹏宇 刘晓良 段周波124 山西 太原理工大学 黄吉珠 邢肖然 郭 慧 王彩贤125 山西 长治学院 张鸣杰 李 磊 田春丰 冯晋军126 山西 忻州师范学院 成睿睿 刘静霞 任 君 曹 啸127 内蒙古 内蒙古工业大学 李国庆 史灿威 李雪莲 李娜128 内蒙古 内蒙古科技大学 万春尧 陈鹏琦 李建 李江鹏129 内蒙古 呼伦贝尔学院 高翔 李荣强 王朋飞 石磊130 辽宁 大连民族学院 郑滨 杨云森 李爱娜 周庆健131 辽宁 大连民族学院 周济民 陈雨琪 杨雨 教师组132 辽宁 大连海事大学 赵俊 宋圣伟 吴非 张运杰133 辽宁 大连海事大学 秦翠 朱慧娟 朱亚琼 张运杰134 辽宁 大连理工大学 杨文博 江磊 袁康 潘秋惠135 辽宁 大连理工大学 孙迪 姜杉 吕华清 王震136 辽宁 大连理工大学 俞思韵 宋悦铭 王挺 潘秋惠137 辽宁 大连理工大学 安德 王恩鹏 王延斌 潘秋惠138 辽宁 大连理工大学 安哲成 于广瀛 刘洋 潘秋惠139 辽宁 大连理工大学 张洋 柴东志 柴炎 王震140 辽宁 大连理工大学 杨源涵 薛旭庆 孙冲 王震141 辽宁 大连理工大学软件学院 金程 朱雅楠 俞闯 丁宁142 辽宁 大连理工大学软件学院 陈振 朱骋 张家宁 丁宁143 辽宁 大连理工大学软件学院 万萌远 邹振宇 谢园普 丁宁144 辽宁 大连理工大学城市学院 蔡启煌 徐行伟 陈龙 高旭彬145 辽宁 东北大学 周仁义 封静娴 林轩 郭阳146 辽宁 东北大学 吴迪 薛凯 商博 朱和贵147 辽宁 东北大学 王彪 董章淼 张路 杨云148 辽宁 东北大学 尹铭显 王驰远 沙禹威 陈东岳149 辽宁 东北大学 金泓伟 黄军斌 孙俊勇 贾同150 辽宁 辽宁石油化工大学 顾增伟 李欣 卢超 赵晓颖151 辽宁 辽宁师范大学 韩采书 魏宏亮 祖艳娇 周德亮152 辽宁 辽宁师范大学 曹禺 姜烁 李恩泽 崔利宏153 辽宁 辽宁科技大学 李爽 白君怡 高荣翔 教师组154 辽宁 沈阳工业大学 李根 李胜勇 王洪东 王博155 辽宁 沈阳工业大学 曹贺哲 姚聪 杨耀华 王博156 辽宁 沈阳工业大学 闫帅 郑健 蔡靖 王博157 辽宁 沈阳工程学院 程时 闫海鹏 路鲁 孙作安158 辽宁 沈阳工程学院 倪维成 刘超 礼冬雪 尤福财159 辽宁 沈阳化工大学 刘京 王艳超 王培培 李扬160 辽宁 沈阳化工大学 王尧 刘超 林建林 李扬161 辽宁 沈阳师范大学 孙振 金叶 董钰 李丽。
大学生数学竞赛试卷及答案(数学类)
Fe1 = e2 , F 2 e1 = Fe2 = e3 ," , F n −1e1 = F ( F n − 2 e1 ) = Fen −1 = en
由
（*）
Me1 = (an1 F n −1 + an −11 F n − 2 + " + a21 F + a11 E )e1 = an1 F n −1e1 + an −11 F n − 2 e1 + " + a21 Fe1 + a11 Ee1 = an1en + an −11en −1 + " + a21e2 + a11e1 = α1 = Ae1
圆柱面的半径即为平行直线 x = y = z 和 x − 1 = y + 1 = z 之间的距离. P0 (1, −1, 0) 为 L0 上的点.
G JJJG G JJJG | n ×ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱP0 S | | n × P0O | G G = 对圆柱面上任意一点 S ( x, y, z ) ， 有 ， 即 |n| |n| (− y + z − 1) 2 + ( x − z − 1) 2 + (− x + y + 2) 2 = 6 ，
地， Wm 在 g 下是不变的. 下面证明， Wm 在 f 下也是不变的.事实上，由 f (η ) = λ0η ，知
fg (η ) = gf (η ) + f (η ) = λ0 g (η ) + λ0η
fg 2 (η ) = gfg (η ) + fg (η ) = g (λ0 g (η ) + λ0η ) + (λ0 g (η ) + λ0η ) = λ0 g 2 (η ) + 2λ0 g (η ) + λ0η
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛获奖名单(初稿)
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛获奖名单（初稿）（异议期：2010年11月5日－2010年11月18日）本科组一等奖（210名，按赛区序号排列，赛区内按学校笔画排列）序号赛区学校参赛队员指导教师1 北京中央财经大学陈博武玉婷孙砚培2 北京中国人民大学卜文凯时昱旻杨亚旭韩丽涛3 北京中国人民大学陈柯兴开楠祝晨琪韩丽涛4 北京中国地质大学（北京）刘洋廷刘鑫磊郑梦天郑勋烨5 北京北京大学田成喆于晨露范爱琳指导小组6 北京北京大学程诚黄辰刘瑞恺指导小组7 北京北京大学匡宇明吕桐龚任飞指导小组8 北京北京大学杨颖程锴周瑾指导小组9 北京北京工业大学鹿思珩刘昊淼史海波数模指导组10 北京北京师范大学陶雨萌林梦西肖牧指导小组11 北京北京师范大学朱茵仪鲁珵王情指导小组12 北京北京邮电大学任峰陈雯张国波贺祖国13 北京北京邮电大学赵丽红尚秋里王占孔贺祖国14 北京北京邮电大学赵若君薛潇剑王璟尧袁健华15 北京北京邮电大学徐佳祥张引黄海龙贺祖国16 北京北京航空航天大学刘文佳覃贝贝于楠彭临平17 北京北京航空航天大学叶峰周润楠邹贤青彭临平18 北京北京航空航天大学牛宝龙康志新全拥孙海燕19 北京北京航空航天大学佘昌洋齐毅叶子豪孙海燕20 北京北京航空航天大学姜亚中淡志强吕晓帆冯伟21 北京北京理工大学于腾飞陈勇波高原徐厚宝22 北京北京理工大学朱俊杰王斌斌李毅彬房永飞23 北京对外经济贸易大学于淼吴羽乔周霁颖指导小组24 北京对外经济贸易大学吴卓宴邱珍琦朱箫笛指导小组25 北京首都医科大学邵毅刘冬鑫欧阳涣堃指导小组26 北京清华大学韩科航周伟国王小雪指导小组27 北京清华大学孙立君汪利徐悟指导小组28 北京装甲兵工程学院王磊刘厚璋傅文君齐紫微29 天津天津农学院李建忠田金歌王姣姣穆志民30 天津军事交通学院陈虹睿伍恒王立思鞠涛31 河北东北大学秦皇岛分校郑晓云李春侯鹏庆指导教师组32 河北华北电力大学周振甄钊王彬彬33 河北防灾科技学院贺子龙余坤曹京津何珊珊34 山西山西大学张骁张连敏李明宇李顺勇35 山西山西大学刘俊伶薛波王译梧刘桂荣36 山西太原理工大学陈涛程景冷冬王彩贤37 山西太原理工大学范岳樊留根姚金磊安润玲38 内蒙古内蒙古大学王恩奇邓会敏杜增义马壮39 辽宁大连海事大学毋岩斌赵宝强王嘉宁张运杰40 辽宁东北大学田涧任龙元河清何雪浤41 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第二届(2010年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案(非数学类).docx
第二届（2010年）全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案(非数学类)(150分钟)一、(25分，每小题5分)(1)设£ = (1 +。
)(1 + /)•••(】 + a，")，其中|a|< 1,求limxn->xi、L(2)求lime"A 1+— o"I x)(3)设5>0 ,求/ = f X e^xx x ll dx(n = 1,2,.. j oJo（4）设函数/（/）有二阶连续导数，r = y/x2 + y2,y） = f一\r）⑸求直线述了。
与直线A字二宁弓的距离。
解：(1) £=(1 +。
)(1 + /)…(1 +旷)=兀=(1一。
)(1 + 0)(1 + /)・・・(1 + 旷)/(1-6/)=(1—cr)(1 + )・・・(1+)/(1—a)=・・・=(1—)/(1—a)・•. liinx 1HII(1 - ah) / (1 - a) = 1 / (1 - a) /?-^x⑵lim厂A->X 1+丄I X)f 1 2lnr"* (1+—)r x2 ln<l+—) -x =lim^ -r = limeA->X .V->X令x=l/t,则UnU+f)-f)原式=lime z： = lime 21 fTO fTO =lin* 丽77 =产/TO(3)/” = f 宀”故=(-|)f x"de~sx =(-》[x”严I； -J；严X]=（4）略（不难，难得写）（5）用参数方程求解。
答案好像是二、（15分）设函数/（X）在（-8,乜）上具有二阶导数，并且f\x） > 0, lim f\x） = a > 0, lun f\x） = 0 v 0,且存在一点x0,使得/（x0） < 0。
A->-X证明：方程/(x) = 0在(YO、*O)恰有两个实根。
解：(简要过程) 二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边 找两大于0的值。
2010年全国大学生非数学专业竞赛试题及解答
2010年全国大学生非数学专业竞赛试题及解答一、计算题 （1） 求极限 21lim(1)sin nn k k k n n π→∞=+∑ 解法1 直接化为黎曼和的形式有困难. 注意到 3sin ()x x O x =+,3322611lim 1sin lim 1nnn n k k k k k k k O n n n n n πππ→∞→∞==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑, 由于 33336611|1()|20,()nnk k k k k O C n n n n ππ==⎛⎫+≤→→∞ ⎪⎝⎭∑∑，所以2211lim 1sin lim 1nn n n k k k k k k n n n n ππ→∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 65)(1)(lim 102122πππ=+=+=⎰∑=∞→dx x x n n k n k nk n . 解法2 利用31sin 6x x x x -<<，得 3326221sin 6k k k k n n n nππππ-<<， 332622111111(1)1sin 16nn n nk k k k k k k k k k k k n n n n n n n n ππππ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<+<+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑, 由于33336611|1|20,()nnk k k k k n n n n ππ==⎛⎫+≤→→∞ ⎪⎝⎭∑∑，21lim 1nn k k k n n π→∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑65)(1)(lim 102122πππ=+=+=⎰∑=∞→dx x x n n k n k n k n ， 所以215lim(1)sin 6nn k k k n n ππ→∞=+=∑ . （2）计算2axdydz z a dxdyI∑++=，其中∑为下半球z =0a >.解法一. 先以()12222xy za ++=代入被积函数，()2axdydz z a dxdy I a∑++=⎰⎰()21a x d y d z za d x d ya ∑=++⎰⎰， 补一块有向平面222:0x y a S z -⎧+≤⎨=⎩，其法向量与z 轴正向相反，利用高斯公式，从而得到()()-22+S 1S I axdydz z a dxdy axdydz z a dxdy a -∑⎡⎤=++-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰()2D 12a z a dxdydz a dxdy a Ω⎡⎤=-+++⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰， 其中Ω为+S -∑围成的空间区域，D 为0z =上的平面区域222x y a +≤，于是32212323Ia a zdxdydz a a a ππΩ⎛⎫=-⋅-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰()2040012a a d dr aππθ=--⎰⎰⎰32a π=-.解法二. 直接分块积分11I axdydz a ∑=⎰⎰2yzD =-⎰⎰， 其中yz D 为yOz 平面上的半圆222y z a +≤，0z ≤.利用极坐标，得2310223I d a ππθπ=-=-⎰⎰，()221I z a dxdy a ∑=+⎰⎰21xyDa dxdya⎡=-⎢⎣⎰⎰，其中xyD为xOy平面上的圆域，222x y a+≤，用极坐标，得()222200122aI d a r rdraπθ=--⎰⎰36aπ=，因此3122I I I aπ=+=-.（3）现要设计一个容积为V的圆柱体的容积，已知上下两低的材料费为单位面积a元，而侧面的材料费为单位面积b元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底面的直径之比为何值时，所需费用最少？解：设圆柱体的高为h，底面直径为d，费用为f，根据题意，可知22dh Vπ⎛⎫=⎪⎝⎭，24Vd hπ=222df a b dhππ⎛⎫=⋅⋅+⋅⎪⎝⎭212a db d hπ⎛⎫=+⎪⎝⎭2111222ad bdh bdhπ⎛⎫=++⎪⎝⎭12π≥==当且仅当2ad bdh=时，等号成立，h a d b=， 故当h ad b=时，所需要的费用最少. （4）已知()f x 在11,42⎛⎫⎪⎝⎭内满足()331sin cos f x x x '=+求()f x . 解：()331sin cos f x dx x x'=+⎰22211sin cos 3sin cos 2sin sin cos cos x x dx x x x x x x +⎛⎫=+ ⎪+-+⎝⎭⎰，11sin cos sin 4dx dx x x x π=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰14tan2x C π+=+，()222sin cos sin cos 11sin sin cos cos sin cos 22x x x xdx dx x x x x x x ++=-+-+⎰⎰ ()2sin cos 2sin cos 1x xdx x x +=-+⎰()()2sin cos 2sin cos 1d x x x x -=-+⎰ ()22arctan sin cos x x C =-+所以，()()24tan arctan sin cos 23x f x x x C π+=+-+. 二、求下列极限.（1）1lim1nnn en→∞⎛⎫⎛⎫+-⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）111lim3nn n nna b c→∞⎛⎫++⎪⎪⎪⎝⎭，其中0a>，0b>，0c>.解：（1）11lim1lim1n xn xn e x en x→∞→+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1ln1lim1xxxe ex⎛⎫+⎪⎝⎭→+∞-=211111ln11lim1xxxx x x xx→+∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=-211ln11lim1xx xex→+∞⎛⎫+-⎪+⎝⎭=-()311111lim12xx x xex→+∞-+++=()211lim12xxex→+∞-+=21lim2211xe ex→+∞=-=-⎛⎫+⎪⎝⎭.（2）111111lim lim 33nxn n nx x xn x a b c a b c →∞→+∞⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111ln3lim x x xa b c x x e++→+∞=111ln3lim1x x x x a b cxe→+∞++=，111ln3lim1x x xx a b cx→+∞++1111112211ln ln ln lim 1x x xx x x x a a b b c c x a b c x →+∞⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++=-1111111lim ln ln ln x x xx x x x a a b b c c a b c →+∞⎛⎫=++ ⎪⎝⎭++ ()1ln ln ln 3a b c =++=故111lim 3nn n n n a b c →∞⎛⎫++ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.一般地，有11lim nmn kk n am =→∞⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑，其中0ka >，1,2,,k m = ，120lim x x nx xx e e e n →⎛⎫+++ ⎪⎝⎭2ln0lim x x nxe e e n xx e +++→=()2ln ln 0lim x x nx e e e nxx e+++-→= ()22012lim 1x x nxx x nx x e e ne e e e e→++++++=()11122n n nee++++== .三．设()f x 在1x =点附近有定义，且在1x =点可导，()10f =，()12f '=，求()22sin cos limtan x f x x x x x →++.解：()220sin cos limtan x f x x x x x→++()()22220sin cos 1sin cos 1lim tan sin cos 1x f x x f x x x x x x x →⎛⎫+-+- ⎪=⋅ ⎪++-⎝⎭()220sin cos 11lim tan x x x f x x x→+-'=+ 2220sin 2sin 22limtan x x x x x x→-=+22022sin cos 1222lim sin 11cos x x x x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭2200sin cos 122lim lim sin 11cos x x x x x x x x→→⎛⎫- ⎪=⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭2111112-=⋅=+.四、设()f x 在[)0,∞上连续，无穷积分()0f x dx ∞⎰收敛，求()01lim yy xf x dx y →+∞⎰.解：设()()0xF x f t dt =⎰，由条件知，()()F x f x '=，()()0lim x F x f t dt A +∞→+∞==⎰，利用分部积分，得()()0yyxf x dx xF x dx '=⎰⎰()()0yyF y F x dx =-⎰，()()()0011y yxf x dx F y F x dx y y =-⎰⎰， ()()0lim lim yy y F x dx F y A y→+∞→+∞==⎰，于是()()()0011lim lim lim y yy y y xf x dx F y F x dx y y →+∞→+∞→+∞=-⎰⎰ 0A A =-=.五．设函数()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可微，且()()010f f ==，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.证明：（1）存在1,12ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f ξξ=；（2）对于每一λ，存在()0,ηξ∈，使得()()1f f ηληλη'=-+.证明：（1）令()()Fx f x x =-，由题设条件，可知1122F ⎛⎫=⎪⎝⎭， ()11F =-；利用连续函数的介值定理，得存在1,12ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0F ξ=，即()f ξξ=.（2）令()()()x Gx e f x x λ-=-，由题设条件和（1）中的结果，可知，()00G =，()0G ξ=；利用罗尔中值定理，得存在()0,ηξ∈，使得()0G η'=，由()()()()()1x x G x e f x e f x x λλλ--''=---，即得()()1f f ηληλη'=-+.六、 试证：对每一个整数2n ≥，成立11!!2n nn n e n +++> .分析：这是一个估计泰勒展开余项的问题，其技巧在于利用泰勒展开的积分余项. 证明：显然0n =时，不等式成立；下设1n ≥.由于()001!!k nn n ntk n e n t e dt k n ==+-∑⎰， 这样问题等价于证明()0!2nnnt n en t e dt ->-⎰，即()002nnn tnt t e dt en t e dt +∞-->-⎰⎰，令un t =-上式化为2nn tn u t e dt u e du +∞-->⎰⎰，从而等价于0nn un u nu e du u e du +∞-->⎰⎰，只要证明20nn n un u nu e du u e du -->⎰⎰，设()n u f u u e -=，则只要证明()()f n h f n h +≥-，()0h n ≤≤，就有()()0n nf n h dh f n h dh +≥-⎰⎰，()()20nnnf u du f u du >⎰⎰，则问题得证. 以下证明()()f n h f n h +≥-，()0h n ≤≤，成立上式等价于()()nnn h h n n h e n h e ---+≥-，即()()lnln n n h h n n h h +-≥-+，令()()()ln ln 2g h n n h n n h h =+---， 则()00g=，并且对0h n <<，有2dg n n dh n h n h=+-+-2222222220n h n h n h=-==>--， 从而当0h n <<时，()0gh >，这样问题得证.注：利用这一结论，我们可以证明如下结论.六、设1n >为整数，()2011!2!!n x tt t t F x e dt n -⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭⎰ ，证明方程()2n F x =，在,2n n ⎛⎫⎪⎝⎭上至少有一个根. 六、证明：存在1(,)2a n n ∈，使得001!2k n a xk x e dx n k -==∑⎰. 证明：令()00!knyxk x f y e dx k -==∑⎰，则有220002!2n n k nxx x k n x n f e dx e e dx k --=⎛⎫=<= ⎪⎝⎭∑⎰⎰，()00!k nnxk x f n e dx k -==∑⎰00!k n n nk n e dx k -=>∑⎰0122nn n n e e dx ->⋅=⎰，由连续函数的介值定理，得 存在,2n a n ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()2n f a =，故问题得证.这里是由于()0!k nxk x g x e k -==∑， ()0!n xx g x e n -'=-<，()g x 在[)0,+∞上严格单调递减，所以，当0x n <<时，有()()g x g n >.七、 是否存在R 上的可微函数()f x ，使得2435(())1f f x x x x x =++--，若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明。
华南理工大学2007~2010年概率论试卷答案
2007级概率论与数理统计试卷A 卷参考答案一、1. C注释：由“A ⊂B 成立”得P(A)=P(AB) ()()(|)()()P AB P A P A B P B P B ==故2. C3. B 注释：参考课本86页4.B 2sin 1A xdx π=⎰0注释： ?5.6. B A 项参见课本64页，D 项参见课本86页二、 1. 2 注释：若X 服从Poisson 分布，则EX=λ，DX=λ。
（课本84页） 2. 12 注释：cov(X,Y)= r X Y DX DY ⋅⋅。
（参考课本86页） 3. 1/5 注释：运用等比求和公式S=1(1)1na q q--4. 38.4 注释：22()(),(,),,E D E B n p E np D npq ξξξξξξ=+== 对于 5．p(x)=,00,0x e x x λλ-⎧>⎨≤⎩,211,E D ξξλλ==6. 0.2 注释：类似2006级试卷填空题第6题7.2/5三、（1）1/20; (2)14/15 注释：（1）P(A)=224431078910C C C，表示从、、、这四个数中选两个;（2）B =“三个号码中既含4又含6” 四、（1）C=4; (2)112()-2{1}41-3e ;xx y P dx edy ξη--++<==⎰⎰(3)222__02__0(),()0_____00_____0()()(,),x y e x e y p x p y x y p x p y p x y ξηξηξη--⎧⎧≥≥==⎨⎨<<⎩⎩⋅=因故与独立？(4)2222022112,2221()41124xxE x edx E x edx D E E E D ξηξηξξξξξηη+∞+∞--=⋅==⋅==-===⎰⎰与独立，所以cov(,)=0故同理，，五、 0.9979 注释：运用全概率公式，类似2006级试卷第三题 六、0.9525100(100,0.9),))85{85)1)1( 1.67)(1.67)0.9525X X B P X ⨯⨯≈Φ-Φ≥≈-Φ=-Φ-=Φ=注释：设这个部件中没有损坏部件数为， 则服从二项分布且有______EX=np=1000.9=90,DX=npq=900.1=9由拉普拉斯定理，b-EX a-EX P{a<X<b}((DXDX故至少须有个部件工作的概率为：85-90(9七、M=160,X ⨯⨯⨯≈⨯⨯≥≥≤≥≤注释：设出事人数为则有X B(5000000,0.0003)EX=50000000.0003=1500,DX=50000000.00030.99971500若要以99%的概率保证保险公司在此项保险中获得60万元以上的利润，则P{5000000M (1-40%)-X 300000600000}99%得P{X 10M-2}99%X-150010M-2-1500故需满足P{15001}99%99% 2.33159.22,160M M ≥Φ≥≈Φ≥=50010M-2-1500即（）（）1500解得故八、（1）课本98页辛欣大数定理（2）22222n 11221222211()0(1)()0()()[()]()211_____0(1)()()211,2,3,,()()0112)()2n n n n n n n kn kk k n n k k E n n nnn D E E E n n nnnk E E nn D n nnnξξξξξξξξξξξ++==+==⋅-+⋅+-⋅==-==⋅-+⋅+-⋅===⋅⋅⋅====⋅=∑∑∑由于令则______________________ D(由契比雪夫2n 0,2()|}1lim ()|}1}n n n n n E n E εξξεεξξεξ→∞>-<≥--<=不等式，对任意的有________________P{|故有P{|即{服从大数定律2008年概率论与数理统计试卷A 卷参考答案一、1.D 1(1)()X u u uP X u P σσ-+-≤+=≤注释：=1()σΦ2.C 注释：参考课本第8页3.A 注释：连续型随机变量在某一个点上的概率取值为零，故A 正确 ？B 项是否正确4.B 注释：参考课本86页5.A 二、 1. 1.33(或者填13591024) 2．25 注释：参考课本86页 3. 0.254. （X+Y ）～B(7,p)注释：E(X)=3p,E(Y)=4p,故E(X+Y)=E(X)+E(Y)=3p+4p=7p;D(X)=3p(1-p),D(Y)=4p(1-p)且X 、Y 独立，故D(X+Y)=D(X)+D(Y)= 3p(1-p)+ 4p(1-p) 设（X+Y ）～B(n,P),则有E (X +Y )=7p=nPD (X +Y )=3p(1-p)+4p(1-p)=nP(1-P)⎧⎨⎩解得n=7,P=p5. 2/52215041()5b 4(2)41(54)0,1 4.112555X f x ac X X X X P dx dx =∆=-=-⨯⨯-≥≤≥=+=⎰⎰的密度函数为方程有实根，则必须满足即或者故方程有实根的概率6. 0.3522(35)112(35),9322242{24}0.15,{}0.15333200.1532233202222}33333E X EX D X D X D X X P X P X σσσσσσσσσσσσσσ+==+===---<<=<<=ΦΦ=-ΦΦ----<=ΦΦΦ由得由得因故所以（）-（）所以（）-（）=0.3P{X<0}=P{（）=[1-（）-（）]/2______=[1-0.3]/2=0.35?7. 相关 三、四、1__1___30.3_0.5_0.2(1)0.310.530.20.8X EX -⎛⎫⎪⎝⎭=-⨯+⨯+⨯=五、1022201____02(1)()1___021____02()11_0211(2)(510)1)(2211(322_____012xx xx xxxe xf x e x e x F x e x P X eex e dx x e dx EXx e dx x ---∞--∞-∞⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩-<<=--⋅+⋅===⋅+⋅⎰⎰⎰0+0由题意故（）EX=221211___[22][22(2xxxxe dx x e xe e xD X EX ∞--∞=-++-=-=⎰+2EX)？六、2220001(0.005,0.035)0.0050.03510.02,(0.0350.005)0.000075212a 1(,),,())2120.0250.02520005020000{50}{i i i i i i i ii X i X U EX D X b X U a b EX D X b a Y X Y Y P Y P =+===-=+==-=<⨯=-⨯<=∑设为第台机床生产的次品率（注：对于均匀分布有设总次品率若要满足这批产品的平均次品率小于，则.025020000.02}(25.8)20000.00007520000.000075-⨯<=Φ⨯⨯A=B =B =B =B B B B (B )|)0.50.9|)0.540.83P A ⨯⨯⨯⋅⨯====甲乙丙乙甲丙甲甲甲甲设“取出的产品是正品”； 取出的产品是甲厂生产的” 取出的产品是乙厂生产的” 取出的产品是丙厂生产的”则P(A)=P(A )+P(A )+P(A )=0.50.9+0.30.8+0.20.7=0.83P(A )P(A B P(B P(A)P(A)？试卷中没有给出(25.8)Φ的值，且直观上感觉(25.8)Φ的值太大了，故不能肯定题中的做法是否可行 七、____,0_______2________()0__________2________()0__________22(2)0,0a b ababa x ab y b a x a x ab y b y bEX x dx EY y dy a bππππππ--=⎧-≤≤-≤≤⎪⎨⎪⎩⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩=⋅==⋅=⎰⎰椭圆X Y (1)S 1故（x,y)的联合密度函数f(x,y)=ab其它X 的边缘密度函数f 其它Y 的边缘密度函数f 其它222222222222,2424,3344()25,()4335332(3),22()()ab aba b EXx dx EY y dy aba b D X EX EX D Y EY EY a b a x a b y b x y a bπππππππππππ--=⋅==⋅==-===-====-≤≤-≤≤⋅=⋅≠⎰⎰X Y 解得，时，1f f ，故X与Y不独立ab八、555511___________5()1(1)(xzzZ dx zedx eeF z z e ----≤⋅≤≤=-=-=--⋅-⎰⎰1z 1z的分布函数F(z)=P{Z z}=1-P(Z>z)=1-P{min(X,Y)>z}_______________=1-P(X>z,Y>z)=1-P(X>z)P(Y>z)当z 0时，P(X>z)=P(Y>z)=1故F(z)=1-1=0当0<z 1时，P(X>z)=P(Y>z)=故555555)z 1()1010__________________0()1(1)()__0_____________________0()65_______010_____________________1z z z e F z z F z z e e z f z e ze e z z ------>=-=≤⎧⎪=--⋅-≤⎨⎪⎩≤⎧⎪=--<≤⎨⎪>⎩当时，P(X>z)=0故所以0<z 11__________________z>12009年2学分参考答案一、解：设i A ＝｛第i 枚弹道导弹击沉航空母舰｝，i B ＝｛第i 枚弹道导弹击伤航空母舰｝i C ＝｛第i 枚弹道导弹没有击中航空母舰｝，i ＝1，2，3，4D ＝｛发射4枚弹道导弹能击沉航空母舰｝()31=i A P ，()21=i B P ，()61=i C P ，i ＝1，2，3，443214321432143214321B C C UC C B C UC C C B UC C C C UB C C C C D =()()()()()()434432143214321432143216132161461=⨯⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++=B C C C P C B C C P C C B C P C C C B P C C C C P D P()()461311-=-=D P D P = 0.99二、解：（1）A ＝｛同花顺（5张同一花色连续数字构成）｝()55255236)413(4C C A P =-⨯=（只要说明顺子的构成，分子40也算对）（2）A ＝｛3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）｝()5522411234113CC C C C A P =（3）A ＝｛3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）｝()552141421234113C C C C C C A P =三、解：（1）设A ＝｛被查后认为是非危险人物｝， B ＝｛过关的人是非危险人物｝，则()()()()()B A P B P B A P B P A P +=9428.005.004.098.096.0=⨯+⨯= ()()()()998.0==A PB A P B P A B P（2）设需要n 道卡，每道检查系统是相互独立的，则Ci={第i 关危险人物被误认为非危险人物}，{}n n C C P 05.01= ，所以999.005.01≥-n，05.0ln 0001.0ln ≥n ，即1005.0ln 0001.0ln +⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n =[3.0745]+1 = 4 四、解：当1=a 时，1=Y ，则()⎩⎨⎧>≤=1110y y y F Y当10<<a 时，当0≤y 时，()()0=<=y Y P y F Y ，()()0==dyy dF y f Y Y当0>y 时，()()()y a X P y a P y F X Y ln ln <=<=()⎪⎭⎫ ⎝⎛>=a y X P y F Y ln ln ⎪⎭⎫⎝⎛Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=a y a y X P ln ln 1ln ln 1()()222)ln ln (21ln 1σμπσ--⋅-==ay Y Y ea y dyy dF y f当1>a 时，当0≤y 时，()()0=<=y Y P y F Y ，()()0==dyy dF y f Y Y当0>y 时，()⎪⎭⎫ ⎝⎛<=a y X P y F Y ln ln ⎪⎭⎫⎝⎛Φ=a y ln ln ()()222)ln ln (21ln 1σμπσ--⋅==ay Y Y ea y dyy dF y f五、解：（1）E(X+Y)=6.0315.0314.0213.0103.0101.0114.023=+--=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯--⨯--=b a b a174.015.014.013.012.003.002.001.014.0=++=+++++++++b a b a联立解得：17.0=a ，09.0=b （2）X 的概率分布函数：-2-110.17 0.23 0.060.54（3）E(XY)＝8.015.0214.0112.0114.0117.02=⨯+⨯+⨯-⨯+⨯六、解：95.01.0≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-p n m P ，因()()1,0~1N np p pnm--()()95.011.01≥⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<--n p p np p pnm P ，()96.111.0975.0=≥-u np p()()p p n -≥16.192；因为()4/11≤-p p ，取()4/6.192≥n =96.04即97=n七、解：（1）二维随机变量(X,Y)的联合概率密度：⎩⎨⎧<<<<=othersby a x ab y x f ,00,0,/1),(边缘概率密度：⎩⎨⎧<<=othersa x a x f X ,00,/1)(，⎩⎨⎧<<=othersb y b y f Y ,00,/1)(（2）36)12/1(,12)12/1(22====b DY a DX ，312,12==b a （3）随机变量X 与Y 相互独立，因为)()(),(y f x f y x f Y X = 八、解： 333||33||33||||)(||)(||)()|(|tc tE x dF tx x dF tx x dF t P x t x tx ==≤≤=>⎰⎰⎰≥>>ξξ九、解：（1）dx Axydy dxdy y x f ⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=+∞∞-+∞∞-1010),(4A =＝1，A ＝4 （2）P(X<0.4，Y<1.3)＝16.044.0010=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dx xydy （3）⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=++1014dx xydy e Eesytx sYtX ⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101114dx dy e s s ye x e sysy txX⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2222114t t e t e s s e s e tt s s （4）32410102=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰dx ydy x EX ，214101032=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰dx ydy x EX()91942122=-=-=EX EXDX ，()=XY E 944101022=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dx dy y x ()0323294,=⨯-=⋅-=EY EX EXY Y X Cov十、解：（1）设ξ表示该观众答对题数， ,2,1,0=ξ 则第ξ+1次解答答错（即首次出错）。
2010-2013年广东省初中数学竞赛初赛试题及答案
答案01-10DACDB CADBB 11-20 CBDAB BAADB 21-30 DDDCB DCDAB
2011年广东省初中数学竞赛初赛试题及答案
考试时间：2011年3月6日上午9：30—10：30
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
答案
题号
16
18．若0<x<1，则 、x、x2的大小关系是（）
A． B． C． D．
19．甲、乙、丙、丁四人一起到冰店买红豆与桂圆两种冰棒．四人购买的数量及总价如下表所示．若其中一人的总价算错了，则此人是（）
甲
乙
丙
丁
红豆冰棒
18
15
24
27
桂圆冰棒（枝）
30
25
40
45
总价（元）
396
330
528
585
A．甲B．乙C．丙D．丁
25．若实数 满足条件 ，则 中（）
（A）必有两个数相等（B）必有两个数互为相反的数
（C）必有两个数互为倒数（D）每两个数都不等
26．如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数 的图象上，则点E的坐标是（）
（A） （B）
（C） （D）
27．等腰三角形的底角为15，腰长 为，则此等腰三角形的底长为（）
（A）0.88（B）0.89（C）0.90（D）0.91
18．已知 为实数， 一定等于（）
（A） （B） （C） （D）
19．在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，
华南理工大学2009-2010高等数学下册期中考试试卷答案.
华南理工大学期中考试2009-2010学年第二学期《高等数学》期中考试试卷注意事项：1. 考试形式：闭卷；．本试卷满分100分，考试时间90分钟。
. 解答下列各题 (每小题5分,共20分)设函数由方程确定，其中F为可微函数，且，求z是由方程所确定的函数，其中具有二阶导数，且22求dz.对等式两端取微分得22，x在点处的梯度. yiP为椭球面上的一动点，若S在点P处的切平面与xoy面垂直，P的轨迹C。
椭球面S点处的法向量是，222《高等数学》试卷第 1 页共 6 页点P处的切平面与xoy面垂直的充要条件是n⋅{0,0,1}=2z-y=0⎧232⎧x2+y2+z2-yz=1⎪x+y=1所以点P的轨迹C的方程为：⎨，即⎨ 4⎩2z-y=0⎪⎩2z-y=0二. 解答下列各题 (每小题10分,共30分)５．求二元函数f(x,y)=x解 fx'(x,y)=2x2+y2(2+y)+ylny的极值 22y(2),f'(x,y)=2xy+lny+1令fx'(x,y)=0,fy'(x,y)=0，解得唯一驻点 0,⎪⎛⎝1⎫e⎭'' 0,⎪=2 2+由于A=fxx⎛⎝1⎫e⎭⎛⎝1⎫1⎛1⎫''>0,B=f0,=4⋅0⋅=0 xy⎪2⎪e⎭e⎝e⎭1⎫1⎫⎛22''⎛C=fyy0,=2⋅0+e=e,B-AC=-2e2+<0 ⎪ 2⎪ee⎝⎭⎝⎭从而f 0,⎪=-是f(x,y)的极小值⎛⎝1⎫e⎭1e∂2u∂2u∂2u+52=0。
确定的６．设函数u=f(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式42+12∂x∂x∂y∂y∂2u=0 a,b值，使等式在变换ξ=x+ay,η=x+by下简化为∂ξ∂η2∂u∂u∂u∂2u∂2u∂u∂u2=+,=+2+解，∂x∂ξ∂η∂x2∂ξ2∂ξ∂η∂η222∂u∂u∂u∂2u∂2u∂2u∂2u∂2u∂2u2∂u2∂u=a+b,2=a+2ab+b=a2+(a+b)+b222∂y∂ξ∂η∂y∂ξ∂ξ∂η∂η∂x∂y∂ξ∂ξ∂η∂η将以上各式代入原等式，得∂2u∂2u∂2u2(a+12a+4)2+⎡⎣10ab+12(a+b)+8⎤⎦∂ξ∂η+(5b+12b+4)∂η2=0 ∂ξ2《高等数学》试卷第 2 页共 6 页由题意，令a+12a+4=0,10ab+12(a+b)+8≠0,5b+12b+4=0 22解得a=-2,b=-22，或a=-,b=-2 55⎧x2+y2-2z2=07．已知曲线C:⎨，求C上距离xOy面最远的点和最近的点。
2010全国大学生数学建模竞赛获奖名单(本科组初稿)
2010全国大学生数学建模竞赛获奖名单（本科组初稿）本科组一等奖（210名，按赛区序号排列，赛区内按学校笔画排列）序号赛区学校参赛队员指导教师1 北京中央财经大学陈博武玉婷孙砚培2 北京中国人民大学卜文凯时昱旻杨亚旭韩丽涛3 北京中国人民大学陈柯兴开楠祝晨琪韩丽涛4 北京中国地质大学（北京）刘洋廷刘鑫磊郑梦天郑勋烨5 北京北京大学田成喆于晨露范爱琳指导小组6 北京北京大学程诚黄辰刘瑞恺指导小组7 北京北京大学匡宇明吕桐龚任飞指导小组8 北京北京大学杨颖程锴周瑾指导小组9 北京北京工业大学鹿思珩刘昊淼史海波数模指导组10 北京北京师范大学陶雨萌林梦西肖牧指导小组11 北京北京师范大学朱茵仪鲁珵王情指导小组12 北京北京邮电大学任峰陈雯张国波贺祖国13 北京北京邮电大学赵丽红尚秋里王占孔贺祖国14 北京北京邮电大学赵若君薛潇剑王璟尧袁健华15 北京北京邮电大学徐佳祥张引黄海龙贺祖国16 北京北京航空航天大学刘文佳覃贝贝于楠彭临平17 北京北京航空航天大学叶峰周润楠邹贤青彭临平18 北京北京航空航天大学牛宝龙康志新全拥孙海燕19 北京北京航空航天大学佘昌洋齐毅叶子豪孙海燕20 北京北京航空航天大学姜亚中淡志强吕晓帆冯伟21 北京北京理工大学于腾飞陈勇波高原徐厚宝22 北京北京理工大学朱俊杰王斌斌李毅彬房永飞23 北京对外经济贸易大学于淼吴羽乔周霁颖指导小组24 北京对外经济贸易大学吴卓宴邱珍琦朱箫笛指导小组25 北京首都医科大学邵毅刘冬鑫欧阳涣堃指导小组26 北京清华大学韩科航周伟国王小雪指导小组27 北京清华大学孙立君汪利徐悟指导小组28 北京装甲兵工程学院王磊刘厚璋傅文君齐紫微29 天津天津农学院李建忠田金歌王姣姣穆志民30 天津军事交通学院陈虹睿伍恒王立思鞠涛31 河北东北大学秦皇岛分校郑晓云李春侯鹏庆指导教师组32 河北华北电力大学周振甄钊王彬彬33 河北防灾科技学院贺子龙余坤曹京津何珊珊34 山西山西大学张骁张连敏李明宇李顺勇35 山西山西大学刘俊伶薛波王译梧刘桂荣36 山西太原理工大学陈涛程景冷冬王彩贤37 山西太原理工大学范岳樊留根姚金磊安润玲38 内蒙古内蒙古大学王恩奇邓会敏杜增义马壮39 辽宁大连海事大学毋岩斌赵宝强王嘉宁张运杰40 辽宁东北大学田涧任龙元河清何雪浤41 辽宁东北大学黄小雨周小琨陈美希王琪42 吉林长春师范学院吴斯胡晓倩敖晶吴登峰43 吉林长春理工大学王天也刘文民朱宝金成丽波44 吉林长春理工大学王昕妍舒文敏蒲睿李卫明45 吉林长春理工大学彭京蒙刘健王慧超李卫明46 吉林长春理工大学周宇艇郝贺梁帅蔡志丹47 吉林吉林大学姜富春苏丽娟侍骏超吕显瑞48 吉林吉林大学冯海兵江浩亮师宪伟史少云49 吉林吉林大学周天伟孟晨王晨吕显瑞50 吉林吉林医药学院刘海涛冯俊惠张苗苗齐德全51 黑龙江哈尔滨工业大学周鑫张叶红解奉龙李道华52 黑龙江哈尔滨工业大学金平徐妍妍陈浩辰尚寿亭53 上海上海交通大学车宇航王泽宇闫程远54 上海同济大学张森叶子熊彼德郝朝洋55 上海复旦大学陆俊巍厉传斌赵晟曹沅56 上海复旦大学艾里•热孜克李可嘉王晨阳曹沅57 上海复旦大学李天原朱涵彭镇曹沅58 上海复旦大学徐仚刘苒孙宁曹沅59 上海复旦大学曹原范敏杰方乐恒曹沅60 江苏东南大学黄菲宋爽卜昕阳数模教练组61 江苏东南大学羌波董荻莎袁颖数模教练组62 江苏江苏大学冯亦倬任文婷万根顺教练组63 江苏江南大学李磊苏欢欢王猛数模教练组64 江苏河海大学徐晓军金罗斌朱鹏张学莹65 江苏河海大学唐少将狄克罗斌丁根宏66 江苏南京大学言浩马骏王宁欣教练组67 江苏南京大学钱行强闰伟钱煜教练组68 江苏南京大学杨霄蔺璐媛付怀龙教练组69 江苏南京大学彭宇王晓亮姚秋爽教练组70 江苏南京大学陈秦波成松豪杜变教练组71 江苏南京师范大学张艳汤晓萌谢起予72 江苏南京财经大学马健杜泽宇施庭肖丽华73 江苏南京邮电大学李宁騛邱煜淳李建蕊孔告化74 江苏南京邮电大学王睿洪翠云王春路许立炜75 江苏南京邮电大学张伟张玮王富广闫庆伦76 江苏南京信息工程大学舒宏武陈凤娇傅洋77 江苏南京理工大学刘迎刘文慧张利强肖伟78 江苏常熟理工学院曹进鞠美凤宗耀东数模教练组79 江苏解放军理工大学许晓明高枫越张驭龙80 浙江中国计量学院戚立才洪露陈小军数模组81 浙江中国计量学院余舒婷章苹文一章数模组82 浙江中国计量学院王彬清张权耀刘雨数模组83 浙江杭州电子科技大学罗云岗林潮阳杨雅萌数模组84 浙江浙江大学马宇斌莫璐怡杨琦数模组85 浙江浙江大学陈鑫磊丁玫李子健数模组86 浙江浙江大学曹臻罗丁胡晨玥数模组87 浙江浙江大学刘胡世阳杨家程程功数模组88 浙江浙江工业大学何伟王绍楠陈聪数模组89 浙江浙江工业大学金超方佳盈胡晓馨数模组90 浙江浙江工业大学丁洁女温彩哨钟雷数模组91 浙江浙江师范大学孟佶贤谢杰高艳东数模组92 浙江浙江师范大学张旭丹陈余康陈聪数模组93 浙江温州大学瓯江学院金莹陈伟敏许明明徐徐94 安徽中国科学技术大学冯荻兰菲李天骄张峰95 安徽安徽大学阮骥范文萍罗小兵章飞96 安徽安徽师范大学魏子翔胡益清韩熙轩张琼97 安徽安徽建筑工业学院李淼吴红奎章龙教练组98 安徽蚌埠学院吴文健陶璇赵红敏张迎秋99 安徽解放军炮兵学院彭浩宇肖鑫冯宝龙王伦夫100 福建泉州师范学院黄伟菁杨玲玲陈世军杨昔阳101 福建厦门大学林奕徐梦露沈忱谭忠102 福建厦门理工学院宁亦杼林明阳梅玉陈玉成103 江西江西师范大学刘维张丽阳春燕教练组104 江西江西理工大学项淋飞万芸李一帆教练组105 江西南昌大学郭慧君江长云周慧教练组106 江西南昌大学科学技术学院杨献祥陈臣许梦婷教练组107 山东山东大学崔金杰王军肖佃艳数模组108 山东山东大学刘浩东苏绍清滕斌数模组109 山东山东大学许荣华秦彦齐孙开元数模组110 山东山东大学威海分校戚睿骅张静源董方丽曹祝楼111 山东山东大学威海分校郭翰橙朱文涛何勇杨兵112 山东山东科技大学王宗炎虞鑫栋宋婉莹张玉林113 山东山东科技大学邱健李丽荣刘培龙王新赠114 山东中国石油大学(华东) 尚林源吴立金李琦周生田115 山东中国海洋大学孟繁龙马瑞松王成亮数模组116 山东中国海洋大学高源靳光震王博数模组117 山东青岛理工大学王维曹帅张文亮数模组118 山东青岛理工大学刘雷雷王一凡孟令娜数模组119 山东青岛理工大学王欢高合盟贾言安数模组120 山东青岛理工大学张雪辛金龙李清杰数模组121 山东海军航空工程学院青岛分院胡光潮赵大玮郑良波曹华林122 河南河南师范大学梁广颖潘逸飞杨云飞指导教师组123 河南河南科技大学袁志凯许雪敏胡磊李培峦124 河南解放军信息工程大学马蓁薛峰杨京指导教师组125 河南解放军信息工程大学杨绪魁秦记东魏星指导教师组126 河南解放军信息工程大学徐一夫韩洁张驰指导教师组127 河南解放军信息工程大学张辉杨帆卫彦伉指导教师组128 湖北三峡大学陈杨焦晓晖胡昌志指导教师组129 湖北三峡大学刘乐军陈晓东敖行指导教师组130 湖北三峡大学付志龙辜继明李美莹指导教师组131 湖北三峡大学叶润森陈腾飞齐紫航指导教师组132 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