锐角三角函数练习及其答案
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解直角三角形
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
2.会把实际问题转化为解直角三角形问题,从而会把实际问题转化为数学问题来解决.
【重点难点】
1.直角三角形的解法.
2.三角函数在解直角三角形中的灵活运用.
3.实际问题转化成数学模型. 知识概览图
解直角三角形的定义:在直角三角形中,由已知元素求未知元
素的过程
三边关系:a 2+b 2=c 2(勾股定理)
两锐角关系:两锐角互余 边角关系:三角函数
30°角所对的直角边等于斜边的一
半
两边一角:由勾
股定理求另一边,再求角
一边一角:由三
角函数求另两边,再求角 新课导引
【生活链接】如右图所示,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°,现有一个长6 m 的梯子.
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙?(结果保留小数点后一位) (2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时,梯子与地面所成的角a 等于多少?这时人
解直角三角形 直角三角形的有关性质
解直角三角形的基本类型及方法
是否能够安全使用这个梯子?(结果保留整数)
【问题探究】对于问题(1),当梯子与地面所成的角α为75°时,梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能安全攀到的最大高度,即在Rt△ABC中,已知∠A=75°,斜边AB=6,求∠A的对边BC的长.由sin A=BC
AB
,得BC=AB²sin A=6sin75°.由计算器求得sin 75°≈0.97,∴BC≈6³0.97≈5.8(m).那么对于问题(2),该如何求解呢?
教材精华
知识点1 解直角三角形的概念
如图28-30所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=50°,c
=5,如何求∠B,a,b呢?
由∠A+∠B=90°,∠A=50°,得∠B=90°-∠A=40°.
由sin A=a
c
,得a=c²sin A=5²sin 50°≈5³0.7660=3.83.
由cos A=b
c
,得b=c²cos A=5²cos 50°≈5³0.6428=3.214.上述问题中,除直角外,已知一条边和一个锐角,求另外两条边和一个锐角,于是有:
一般地,直角三角形中,除直角外,共有5个元素,即3条边和2个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.
拓展直角三角形中一共有六个元素,即三条边和三个角,除直角外,另外的五个元素中,只要已知一条边和一个角或两条边,就可以求出其余的所有未知元素.
知识点2 解直角三角形的理论依据
在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边.
(1)三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理).
(2)两锐角之间的关系:∠A+∠B=90°.
(3)边角之间的关系:sin A=a
c ,cos A=b
c
,tan A=a
b
,sin B=b
c
,cos
B=a
c ,tan B=b
a
.
(4)直角三角形中的有关定理.
①直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半. ②直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.
③直角三角形中,若一条直角边等于斜边的一半,则这条直角边所对的锐角等于30°.
④直角三角形中,斜边上的高是这条高分斜边所得两条线段的比例中项.如图28-31所示,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥
AB ,垂足为D ,则CD 2=AD ²DB .同理AC 2=AD ²AB ,CB 2=BD ²BA .
⑤面积公式:如图28-31所示,S △ABC =1
2
CA ²CB =12
AB ²CD .
拓展 运用关系式解直角三角形时,常用到下列变形:(1)锐角之间的关系:∠A =90°-∠B ,∠B =90°-∠A .(2)三边之间的常用变形:a
,b
c
边角之间的常用变形:a =c ²sin A ,b =c ²cos A ,
a =
b ﹒tan A ,a =
c ²cos B ,b =c ²sin B ,b =a ²tan B .
知识点3 解直角三角形的基本类型及其解法
解直角三角形有四种基本类型:(1)已知斜边和一直角边;(2)已知两直角边;(3)已知斜边和一锐角;(4)已知一直角边和一锐角.其解法步骤列表如下:
图 形
已知类型
已知条件
解法步骤
两边
斜边,一直角边(如
c ,
d )
(1)b
(2)由sin A =a
c
,求∠A (3)∠B =90°-∠A 两直角边(如a ,b ) (1)c
(2)由tan A =a b
,求∠A
(3)∠B =90°-∠A 一边一角
斜边,一锐角(如
c ,∠A )
(1)∠B =90°-∠A
(2)由sin A =a b
,求a =c ²sin A (3)由cos A =a
c ,求b =c ²cos