行列式的性质
行列式的认识
行列式的认识在线性代数中，行列式是一种非常重要的概念，它是一个方阵的一个标量量度。
它在许多领域中都有着广泛的应用，包括物理，工程学，统计学和计算机图形学等。
1. 行列式的定义行列式通常表示为$det(A)$或$|A|$。
它是一个方阵的数字值，如果它是正的，则表示该矩阵是“正定”的，否则表示它是“负定”的。
一个矩阵的行列式的计算方式如下：$$ det(A)=\sum_{\sigma\in S_{n}}(-1)^{\tau(\sigma)}\prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma_i},$$其中，$n$是矩阵的阶数，$a_{i,j}$是矩阵$A$中第$i$行第$j$列的元素，$S_n$是$n$个元素的置换群，$\sigma$是$S_n$中一个置换。
$\tau(\sigma)$表示置换$\sigma$的逆序数，即该置换可以通过多少次交换相邻的元素变为单位置换。
$(-1)^{\tau(\sigma)}$表示符号，当逆序数是偶数时取值为正，当逆序数是奇数时取值为负。
因此，行列式的值可以通过先列出所有可能的$n!$种置换，然后计算每个置换的贡献来得到。
2. 行列式的性质行列式有许多令人惊讶的性质。
以下是一些重要性质的概述：2.1 行列式的性质1：任意交换矩阵的两行或两列，行列式的值会发生反转。
根据上述公式，当交换两行时，置换的符号改变了，因为逆序数的奇偶性改变了。
当交换两列时，置换的奇偶性也改变了，因此结果符号仍然改变。
例如，对于一个3x3的矩阵A，如果我们交换第1行和第2行，那么行列式的值将由$det(A)$变为$-det(A)$。
2.2 行列式的性质2：如果矩阵的两行或两列成比例，那么该行列式的值为零。
如果两行成比例，那么矩阵的行列式为零，因为对于任何置换$\sigma$，这两行的元素始终被映射到了同一列。
结果是，对于每个乘积$a_{i,\sigma_i}$，该乘积乘以一个相同的因子$a_{j,\sigma_j}=ka_{i,\sigma_j}$，其中$k$是一个常数。
1.2行列式性质
a13 a23 12 a33
a23 a33 3 a21 a33 a31
1
0 2
0 1 2
100 298
100 0 200 1 300 2
例2
计算行列式 2 1 199
3
1 2 3 0 1 2 100 1 199 2 298 3
解
1 2 3
0 1 2
100 1 200 2 300 3
D T 称为D的转置行列式。从而有 D D T
这条性质说明行列式的行和列的地位是相同的。也就 是说，对“行”成立的性质，对于“列”成立的
性质2 互换行列式的两行（列），行列式反号。即
r r i j
D
c c i j
D,
则D D
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等 于零。 性质3 行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以数k 得到行列式D1，等于数k乘以此行列式。即
0 an
例6 设
a11 11 ak 1 k1 c11 c n1
这是用两条线将行列式分成四 块了，其中一块为0，与0不在 同一对角线上的两块必须方块
D
a1 k akk kk c1 k c nk
0
c11 c n1 b11 11 bn1 bn1
0
解
b a Dn a a
a b a a
a a a a a b a a
a b a a
a a a b
a a a a
c1 c2 cn
b (n 1)a a a a a b (n 1)a b a a a b (n 1)a a a b a b (n 1)a a a a b
行列式的性质有什么技巧吗
行列式的性质有什么技巧吗行列式是矩阵的一个重要性质，对于解方程组、求逆矩阵以及矩阵的特征值等计算都有着重要作用。
在计算行列式的过程中，可以根据行列式的性质来简化计算，提高计算效率。
下面将介绍一些常用的行列式的性质和计算技巧。
1. 行列互换性质：行列式的值不变，当交换行列式中任意两行（或两列）的位置。
例如，对于一个3阶行列式A，若交换第一行和第二行的位置，行列式值不变。
2. 行列式的取公因子性质：行列式的值等于公因子与剩余元素构成的行列式的值的乘积。
例如，对于一个3阶行列式A，如果第一行的元素可以取公因子k，那么行列式A的值等于第一行元素乘以公因子k的行列式B的值，即A = k * B。
3. 行列式的倍性性质：行列式的某一行（或列）的元素乘以一个常数k，与行列式的值的乘积相等。
例如，对于一个3阶行列式A，如果将第一行的元素都乘以常数k，那么行列式A的值等于第一行元素乘以常数k的行列式B的值，即A = k * B。
4. 行列式对行的线性关系：如果行列式中两行成比例，那么这个行列式的值为0。
例如，如果行列式的第一行的元素都等于第二行元素的两倍，那么这个行列式的值为0。
5. 行列式的行列式和斜交性质：行列式中有两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值为0。
例如，如果行列式的第一行跟第二行完全相同，那么这个行列式的值为0。
6. 行列式的二次行列和二次展开定理：对于一个n阶的行列式，可以通过二次行列和二次展开定理来计算行列式的值。
即将行列式按矩阵中的某一行（或列）展开，然后将展开后的行列式分割成若干个小行列式，这些小行列式的值与对应元素的代数余子式成正负关系。
通过递归地计算这些小行列式的值，最终可以得到行列式的值。
7. 行列式的上三角行列的性质：一个上三角阵的行列式，等于对角线上的元素的乘积。
即对于一个n阶的上三角阵A，它的行列式的值等于A的对角线上的元素的乘积。
这个性质在求解方程组的过程中特别有用。
8. 行列式的性质与矩阵求逆的关系：如果一个矩阵A可逆，那么它的行列式不等于0；反之，如果一个矩阵的行列式不等于0，那么它可逆。
行列式的性质与计算方法
行列式的性质与计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，是矩阵的一个标量。
它可以用来描述线性方程组的解的情况，也可以用来判断矩阵是否可逆等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质和计算方法。
一、行列式的性质1. 行列式与转置矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列调换，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
如果行列式的元素都是实数，那么它的值不会受转置操作的影响，即$\left|A\right|=\left|A^{T}\right|$2. 行列式的行列互换行列式的行列互换是指将行列式的任意两行或两列互换位置，得到的新行列式称为原行列式的行列互换。
行列互换会改变行列式的符号，即$\left|A\right|=-\left|A_{i j}\right| \text { , } i \neq j$其中$A_{i j}$表示将矩阵$A$的第$i$行和第$j$列删除后得到的$(n-1)\times(n-1)$矩阵的行列式。
3. 行列式的元素线性组合如果一个行列式的某一列（或某一行）减去另一列（或行）的$k$倍，得到的新行列式的值等于原行列式的值乘以$k$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}}+k a_{j} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}}& {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} &{a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{j}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots}& {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|$4. 行列式的行列成比例如果一个行列式的某两行或某两列成比例，那么该行列式的值为$0$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {k a_{i 1}} & {k a_{i 2}} & {\cdots} & {k a_{i n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\{a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} & {a_{j}}\end{array}\right|=0$其中$\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)$和$\left(a_{j 1},a_{j 2}, \cdots, a_{j n}\right)$是比例行列式的两行，$k$是一个非零实数。
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
线性代数 第三节 行列式的性质
第三节 行列式的性质分布图示★ 引言★ 性质1 ★ 例1 ★ 性质2 ★ 例2 ★ 例3 ★ 性质3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 性质4 ★ 例7 ★ 例8★ 性质5 ★ 例9 ★ 利用“三角化”计算行列式 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13★ 例14 ★ 例15 ★ 例16★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-3内容要点一、行列式的性质将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T D 或'D ,即若,212222111211nn n n n n a a a a a a a a a D = 则 nnnnn n T a a a a a aa a a D212221212111=. 性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即.T D D =注 由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号.推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即.2121112112121112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nnn n in i i n nn n n in i i n ===第i 行(列)乘以k ,记为k i ⨯γ(或k C i ⨯).推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如,nnn n in in i i i i na a a cbc b c b a a a D 21221111211+++=. 则21212111211212111211D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nnn n in i i n nn n n in i i n +=+=. 性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变.注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作j i kr r +; 以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +.二、行列式的计算计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:如果第一列第一个元素为0, 先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0; 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.例题选讲例1若210101321-=D , 则.213102011D D T =-=例2（1）01212111012110121---=--（第一、二行互换）.（2）102110211012110121---=--（第二、三列（3）072501111=（第一、二两行相等） （4）0337224112=---（第二、三列相等）例3（1）02222510211=--因为第三行是第一行的2倍. （2）07541410053820141=---因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍.例4 若121013201--=D , 则D 212101321)2(12101342-=---=----又 D 41210132141240112204=--=--.例5 (E01) 设,1333231232221131211=a a a a a a a a a 求.53531026333231232221131211a a a a a a a a a ---- 解 利用行列式性质，有33323123222113121153531026a a a a a a a a a ----=3332312322211312115353522a a a a a a a a a ---5)3(2⋅-⋅-=333231232221131211a a a a a a a a a15)3(2⋅⋅-⋅-=.30=例6 证明奇数阶反对称行列式的值为零. 证 设反对称行列式D 0000321323132231211312 nn n n n n a a a a a a a a a a a a ------= 其中),(时j i a a ji ij ≠-=).(0时j i a ij == 利用行列式性质1及性质3的推论1,有D T D =0000)1(321323132231211312 nnnn nn n a a a a a a a a a a a a -------=,)1(D n -= 当n 为奇数时有,D D -=即.0=D例7（1）.110111311103111132+=++= （2）()1)2(1272305)2(11121272305211--+--++=----+122720521112730511---+--=.例8 因为,12310403212213==++--+而15)40()29(02213123=+++=-+-.因此221312303212213-+-≠++--+. 注: 一般来说下式是不成立的22211211222112112222212112121111b b b b a a a a b a b a b a b a +≠++++.例9（1）13201013113214113112----r r ,上式表示第一行乘以-1后加第二行上去, 其值不变.（2）33204103113214113113c c +--,上式表示第一列乘以1后加到第三列上去, 其值不变.例10计算行列式2150321263-=D .解 先将第一行的公因子3提出来：,21503242132150321263-=- 再计算.162354100430201541104702215421087042127189087042132150324213=⨯====----=-=D例11 (E02) 计算.3351110243152113------=D 解 21c c D→3315112043512131------- 14125r r r r +-72160112064802131------32r r ↔ 72160648011202131----- 242384r r r r -+ 1510001080011202131----3445r r +.40250001080011202131＝---例12 (E03) 计算.3111131111311113=D 解 注意到行列式的各列4个数之和都是6.故把第2，3，4行同时加到第1行，可提出公因子6，再由各行减去第一行化为上三角形行列式.D4321r r r r +++311113111131111163111131111316666= 141312r r r r r r --- .4820000200002011116=例13 (E04) 计算.1111000000332211a a a a a a --- 解 根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将第2列加至第3列，再将第3列加至第4列，目的是使4D 中的零元素增多.4D12c c +112100000033221a a a a a -- 23c c + 1321000000003321a a a a -34c c +.44321000000000321321a a a a a a =例14 (E05) 计算.3610363234232dc b a c b a b a ad c b a c b a b a a dc b a c b a b a ad c b a D ++++++++++++++++++=解 从第4行开始，后一行减前一行：D r r r r r r ---33412.363023200c b a b a a c b a b a a cb a b a a dc b a +++++++++3423r r r r -- .20200ba a ab a a a cb a b a a dc b a +++++34r r -..0002004a ab a a cb a b a a dc b a=++++例15 设nnn nkn n k kk k kb bc c b b c c a a a a D111111111111000=，,)det(,)det(1111211111nnn nij kk k kij b b b b b D a a a a a D ====证明 .21D D D =证 对1D 作运算,j i kr r +对2D 作运算,j i kc c +可分别把1D 和2D 化为下三角形行列式.1D =kk k p p p1110;11kk p p =2D =nnn q q q 1110.11nn q q = 对D 的前k 行作与对1D 相同的运算,j i kr r +再对后n 列作与对2D 相同的运算,j i kc c +即把D 化为下三角形行列式，且D nn kk q q p p 1111⋅=.21D D = 证毕.例16 (E06) 解方程.0113211232113221132111321=-+-+-+-+-------xa a a a a a a x a a a a a a a x a a a a a a a x a a a a a a a a n n n n n n nn n n n n解 从第二行开始每一行都减去第一行得),)(())((00000000000001221112211321x a a x a x a a xa xa x a x a a a a a a n n n n n n ----=---------由,0))(())((12211=------x a a x a x a a n n 解得方程的1-n 个根：.,,,,11222211----====n n n n a x a x a x a x课堂练习1. 计算行列式.0112012120112110-----=D 2. 计算n 阶行列式 ab b b bb a b b b b a。
第五节行列式的性质
1 2
0 0 0 1 0
0 0 0 2 6
1 1 2 3 1
r5 + 2r4
0 0
2 0
0 1
4 0
1 2 12
0 0 0 1 0
0 0 0 0 6
例2: 计算 n 阶行列式
a b b b
b a b b
D b b a b .
b b b a
解: 将第2, 3, ···, n 列都加到第一列得:
行列式:
p11
0
D1
p11 pkk ;
pk1 pkk
对D2作列运算 ci+kcj , 把D2化为下三角形行列式:
q11
0
D2
q11 qnn .
qn1 pnk
先对D的前k行作行运算 ri+trj , 然后对D的后n列 作列运算 ci+kcj , 把D化为下三角形行列式:
p11
0
D
35 8
538
推论: 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列 式为零.
证明: 互换相同的两行, 则有D = – D, 所以D = 0. 性质3: 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以
同一数k, 等于用数k乘此行列式.
即 a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain
a21 (a2i ka2 j ) a2 j a2n
an1 (ani kanj ) anj ann
引入记号: 用 ri 表示第 i 行, ci 表示第 i 列. 在计算行列式时, 我们经常利用性质2,3,6对行列
式进行变换.
利用性质2交换行列式的第 i, j 两行(列), 记作
1.4 行列式的性质
a 1n
则
D b1 a n1
bn c1 ann a n1
一、行列式的性质
注： 性质5可以推广到某一行（列）的元素为几组 数的和的情形. 性质6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一
个倍数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行
列式的值不变．
注：以数 k 乘第 j 行（列）加到第 i 行（列）上，记作
例5 设 D
ak1 c 11 c n1
a b 11 a 1 k 11 b 1 n D a ,D b , 1 det( ij) 2 det( ij) a b k 1 a kk n 1 b nn
D D . 证明 D 1 2
二、行列式性质的应用
1 1 3 1
1 1 1 3
二、行列式性质的应用
r2 ( 1 ) r1 r3 ( 1 ) r1 r4 ( 1 ) r1
1 0 6 0 0
1 2 0 0
1 0 2 0
1 0 6 8 48. 0 2
二、行列式性质的应用
例4 计算行列式
a b c d a ab abc abcd D . a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
D 4 1
r1 r2
6 1
0 2
0 1
4 1 1
二、行列式性质的应用
6 0 0 4 1 1 1 2 1
c3 c2
6
0
0
4 1 0 18. 1 2 3
1
（方法二）
2 D 1 4 1 1 200+1 100+2 100+1
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性质4：行列式某一行元素加上另一 行 对应元素的k倍，行列式的值不变 。
a j1
ajn
an1
ann
a11 a1n
a11 a1n
ai1 ain kaj1 kajn
aj1 ajn
aj1 ajn
an1 ann
an1 ann
问题
a11
a1n
ai1 b1 ain bn ?
an1
ann
a a
11
1n
a11 a 1n
a11
a22 a
32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 . a32
a21 D1 a11
a31
a22 a12 a32
a23 a13 a33
a12a21a33 a13a22a31 a11a23a32 a11a22a33 a13a21a32 a12a23a31
a a b b
i1
in
1
n
a a
n1
nn
a a
n1
nn
性质5：若行列式某一行的元素是两数 之 和，则行列式可拆成两个行列式的 和。
推论：若行列式某一行的元素都是m 个元素的和，则行列式可以写成m个 行列式的和。
练习 写出行列式的性质。
证明你写出的行列式的性质。
性质2：互换两行，行列式变号 。
怎么证明呢？
a11
ai1
ai1
an1
我们考虑下面的行列式
a1n
两行相同行列式的值为0.
a i n 将行列式按第j行展开.
ain
ann
a j1 Ai1
a
j
2
A i2
a A jn in
D,
0,
(i j). (i j).
a1 j A1i
a2
j
A 2i
aA nj ni
D,
Hale Waihona Puke 0,(i j). (i j).
性质2：互换两行，行列式变号。即
a11
ai1
a j1
an1
a1n
ain
a jn
ann
a11
a j1
ai1
a n1
a1n
a jn
ain
ann
a11 D a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
a11
设D
a21
an1
行列式的性质
a12 a1n
a22
a2n
则转置行列式为
an2 ann
a11 a21 an1
DT
a12
a22 an2
a1n a2n ann
性质1：D DT
由行列式的定义即可证明这条性质。
在行列式中，行和列的位置是对称的， 对行成立的，对列也成立。
因此下面只介绍关于行列式的行的性质。
a11
a22 a
32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 . a32
推论：若行列式中有两行元素完全相同 则行列式为零。
设Aij为元素aij的代数余子式，则有
aj1 Ai1 aj 2 Ai2 ajn Ain 0 (i j) a1j A1i a2 j A2i anj Ani 0 (i j)
2 2 3 4 1 1 1
8 2 7
性质4：行列式某一行元素加上另 一行对应元素的k倍，行列式的值 不变。即：
a11
a1n
a11 a1n
ai1 ka j1 ain kajn
ai1 ain
.
a j1
ajn
aj1 ajn
an1
ann
an1 ann
a11
a1n
ai1 ka j1 ain kajn
这是非常有用的两个公式，应该记住。
性质3：用数k乘行列式某一行中所有元 素，等于用k乘此行列式。即
a a
11
1n
a a
11
1n
ka ka k a a
i1
in
i1
in
a a
n1
nn
a a
n1
nn
推论：某一行的所有元素的公因子可以 提到行列式符号的外面。
8 4 6 4 2 3 2 1 1 2 2 1 1 16 2 7 16 2 7