人教版高中数学必修第一册第五章优质课件
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人教A版高中数学必修第一册 第5章 三角函数 课件(1)(共38张PPT)
图象图正象弦特曲征线、余弦曲线、正切曲线
三角函数
三角函数的图象与性质
周 奇期 偶性 性 性质
单调性
最大、最小值
A，ω，φ对函数图象的影响
函数y＝Asinωx＋φ的图象 图象画法五 变点 换法 法
三角函数模型的简单应用
专题训练
专题一 正弦函数与余弦函数的对称性问题 正弦函数 y＝sinx，余弦函数 y＝cosx，在教材中已研究了 它们的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．除了上述有 关内容之外，近年来有关正弦函数、余弦函数等对称性问题在 高考中有所出现，有必要对其作进一步的探讨．
第五章
人教2019A版必修 第一册
三角函数
小结与复习
知识框图
三 角 函 数
பைடு நூலகம்
公式一～四：α＋2kπk∈Z，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值， 前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号
三角函数的诱导公式
公式五、六：π2±α的正余弦函数值，分别等于α的余弦正弦函数值， 前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号
解得ab＝ ＝－ －41， .
∴a、b 的取值分别是 4、－3 或－4、－1.
[点拨] 本题是先由定义域确定正弦函数 y＝sin(2x＋6π)的 值域，但对整个函数的最值的取得与 a 有关系，故对 a 进行分 类讨论．
设 a≥0，若 y＝cos2x－asinx＋b 的最大值为 0，最 小值为－4，试求 a、b 的值．
[分析] 通过换元化为一元二次函数最值问题求解．
[解析] 原函数变形为 y＝－(sinx＋a2)2＋1＋b＋a42. 当 0≤a≤2 时，－a2∈[－1,0]， ∴ymax＝1＋b＋a42＝0.① ymin＝－(1＋a2)2＋1＋b＋a42＝－4② 由以上两式①②，得 a＝2，b＝－2，舍 a＝－6(与 0≤a≤2 矛盾)．
高中数学人教A版必修第一册第五章5.1任意角课件(共20张PPT)
3
y
90°
当 k 3n(n Z ) 时 ，
n 360 n 360 30 ，k Z ， 180°
故
3 是第一象限的角
.
O
当
3
k
3n 1(n Z ) 时 ，
270°
n 360 120 n 360 150 ，k Z ，
故
3 是第二象限的角 .
3
当 k 3n 2(n Z ) 时 ，
所有与α终边相同的角,连同α在内,可构成一个集合 S={β|β=α+k·360º,k∈Z},即任一与角α终边相同的角, 都可以表示为角α与整数个周角的和.
说明： ①α为任意角； ②相等的角终边一定相同,但终边相同的角不一定相等, 终边相同的角有无数个,它们相差360º的整数倍； ③k∈Z这一条件必不可少.
4、第二象限角一定比第一象限角大吗？
不一定
高中数学人教A版（）必修第一册第五 章5.1 任意角 课件（ 共20张P PT）
3、终边相同的角之间的关系 高中数学人教A版（）必修第一册第五章5.1任意角课件（共20张PPT）
请在坐标系中画出30º,390º,-330º,并找出它们的共同点?
y
390º 0
n 360 240 n 360 270 ，k Z ，
故
3 是第三象限的角 .
综上3 可知： 是第一或第二或第三象限的角 .
3
高中数学人教A版（）必修第一册第五 章5.1 任意角 课件（ 共20张P PT）
0°
360° x
高中数学人教A版（）必修第一册第五 章5.1 任意角 课件（ 共20张P PT）
第三象限
{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°， k∈Z}
y
90°
当 k 3n(n Z ) 时 ，
n 360 n 360 30 ，k Z ， 180°
故
3 是第一象限的角
.
O
当
3
k
3n 1(n Z ) 时 ，
270°
n 360 120 n 360 150 ，k Z ，
故
3 是第二象限的角 .
3
当 k 3n 2(n Z ) 时 ，
所有与α终边相同的角,连同α在内,可构成一个集合 S={β|β=α+k·360º,k∈Z},即任一与角α终边相同的角, 都可以表示为角α与整数个周角的和.
说明： ①α为任意角； ②相等的角终边一定相同,但终边相同的角不一定相等, 终边相同的角有无数个,它们相差360º的整数倍； ③k∈Z这一条件必不可少.
4、第二象限角一定比第一象限角大吗？
不一定
高中数学人教A版（）必修第一册第五 章5.1 任意角 课件（ 共20张P PT）
3、终边相同的角之间的关系 高中数学人教A版（）必修第一册第五章5.1任意角课件（共20张PPT）
请在坐标系中画出30º,390º,-330º,并找出它们的共同点?
y
390º 0
n 360 240 n 360 270 ，k Z ，
故
3 是第三象限的角 .
综上3 可知： 是第一或第二或第三象限的角 .
3
高中数学人教A版（）必修第一册第五 章5.1 任意角 课件（ 共20张P PT）
0°
360° x
高中数学人教A版（）必修第一册第五 章5.1 任意角 课件（ 共20张P PT）
第三象限
{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°， k∈Z}
5.4.1正弦函数、余弦函数的图象课件高中数学人教A版必修第一册
−2π, π 上的图象，如图所示，
由图象可知： = sin ， �� = cos 的图象在
区间 −2π, π 的交点个数为3．
故选：A．
）
典型例题
题型四：与三角函数有关的零点问题
1
2
【对点训练4】函数 = sin + 2|sin |, ∈ [0,2π]的图象与直线 = 的交点共有
必修第一册 第五章
三角函数
第五章 三角函数
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
正弦函数、余弦函数的定义
将角的弧度视为自变量x，角的三角函数值为y，则
函数y=sin x叫做正弦函数，
弧 唯一确定
函数y=cos x叫做余弦函数，
度
二者的定义域均为R。
角
单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置:
+ 2 )( ∈ )
2
3
+ 2 ,
故选：B
2
3
+ 2)( ∈ )．
典型例题
题型四：与三角函数有关的零点问题
【例4】函数 = sin ， = cos 的图象在区间 −2π, π 的交点个数为（
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【解析】分别作出 = sin ， = cos 在区间
【答案】4
【解析】当 ∈ [0, π]时，求得 = 3sin ，
当 ∈ [π, 2π]时，求得 = −sin ，
在同一坐标系中画出画出两个函数的图象，结合图
象，即可求解．
由题意，函数 = sin + 2|sin |, ∈ [0,2π]，
当 ∈ [0, π]时，sin ≥ 0，
2
由图象可知： = sin ， �� = cos 的图象在
区间 −2π, π 的交点个数为3．
故选：A．
）
典型例题
题型四：与三角函数有关的零点问题
1
2
【对点训练4】函数 = sin + 2|sin |, ∈ [0,2π]的图象与直线 = 的交点共有
必修第一册 第五章
三角函数
第五章 三角函数
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
正弦函数、余弦函数的定义
将角的弧度视为自变量x，角的三角函数值为y，则
函数y=sin x叫做正弦函数，
弧 唯一确定
函数y=cos x叫做余弦函数，
度
二者的定义域均为R。
角
单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置:
+ 2 )( ∈ )
2
3
+ 2 ,
故选：B
2
3
+ 2)( ∈ )．
典型例题
题型四：与三角函数有关的零点问题
【例4】函数 = sin ， = cos 的图象在区间 −2π, π 的交点个数为（
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【解析】分别作出 = sin ， = cos 在区间
【答案】4
【解析】当 ∈ [0, π]时，求得 = 3sin ，
当 ∈ [π, 2π]时，求得 = −sin ，
在同一坐标系中画出画出两个函数的图象，结合图
象，即可求解．
由题意，函数 = sin + 2|sin |, ∈ [0,2π]，
当 ∈ [0, π]时，sin ≥ 0，
2
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)优质课件：5.1.1任意角
规律方法 判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. (2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可.
①终边落在第一象限的角为锐角； ②锐角是第一象限角； ③第二象限角为钝角； ④小于90°的角一定为锐角； ⑤角α与－α的终边关于x轴对称.
(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺 时针方向旋转820°至OC处，则β＝________.
解析 (1)终边落在第一象限的角不一定是锐角， 如400°的角是第一象限角，但不是锐角， 故①的说法是错误的；同理第二象限角也不一定是钝角，故③的说法也是错 误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的. (2)两次旋转后形成的角为60°＋(－820°)＝－760°，β＝－760°＋720°＝－40°. 答案 (1)②⑤ (2)－40°
[微思考] 1.角的概念推广后角的范围有怎样的变化？
提示 角的概念推广后，角度的范围不限于0°～360°，而是任意的角，包括正 角、负角与零角. 2.终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？ 提示 当角的始边相同时，若角相等，则终边相同，但若角终边相同，则不 一定相等.
题型一 与任意角有关的概念辨析 【例1】 (1)下列说法中，正确的是________(填序号).
三角学与其天文学的应用在埃及的托勒密时代达到了高峰，托勒密在《数学汇编》 中计算了36度角和72度角的正弦值，还给出了计算和角公式和半角公式的方法.托 勒密还给出了所有0度到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值.
喜帕恰斯
[读图探新]——发现现象背后的知识 伦敦眼(英文名：The London Eye)，全称英国航空伦敦眼 (The British Airways London Eye)，又称千禧之轮，坐落在伦 敦泰晤士河畔，是世界第四大摩天轮，是伦敦的地标之一， 也是伦敦最吸引游人的观光点之一.伦敦眼于1999年年底开 幕，总高度135米(443英尺).伦敦眼共有32个乘坐舱，因舱内 外用钢化玻璃打造，所以设有空调系统.每个乘坐舱可载客 约25名，回转速度约为每秒0.26米，即一圈需时30分钟.
人教A版高中数学必修第一册第五章5-7三角函数的应用课件
第五章 三角函数
5.7 三角函数的应用
整体感知
[学习目标] 1．了解y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意 义．(数学抽象) 2．会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(数学建模) [讨论交流] 预习教材P242－P248，并思考以下问题： 问题1．在简谐运动中，y＝A sin (ωx＋φ)的初相、振幅、周期分别 为多少？ 问题2．解三角函数应用题有哪四步？
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测，y＝f (t)可近似地看成是函数y＝A cos ωt＋b． (1)根据以上数据，求出该函数的周期T、振幅A及函数解析式； (2)依据规定，当海浪高度高于1 m时才对冲浪爱好者开放，试依据(1) 的结论，判断一天内8：00至20：00之间有多长时间可供冲浪者进行 运动．
[自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画 出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1 简谐运动 探究问题 如图，某个弹簧振子(简称振子)在完 成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移 y(单位：mm)之间的对应数据如表所示．
t 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 y －20.0 －10.1 10.3 20.0 10.3 －10.1 －20.0
(3)设在x h时货船的安全水深为y m，那 么y＝5.5－0.3(x－2)(x≥2)．在同一直 角坐标系内画出这两个函数的图象， 可以看到在6～8时之间两个函数图象 有一个交点(图5.7-6)．
借助计算工具，用二分法可以求得点P的坐标约为(7.016，3.995)， 因此为了安全，货船最好在6.6时之间停止卸货并驶离港口．应用迁移来自题号√12
5.7 三角函数的应用
整体感知
[学习目标] 1．了解y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意 义．(数学抽象) 2．会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(数学建模) [讨论交流] 预习教材P242－P248，并思考以下问题： 问题1．在简谐运动中，y＝A sin (ωx＋φ)的初相、振幅、周期分别 为多少？ 问题2．解三角函数应用题有哪四步？
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测，y＝f (t)可近似地看成是函数y＝A cos ωt＋b． (1)根据以上数据，求出该函数的周期T、振幅A及函数解析式； (2)依据规定，当海浪高度高于1 m时才对冲浪爱好者开放，试依据(1) 的结论，判断一天内8：00至20：00之间有多长时间可供冲浪者进行 运动．
[自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画 出本节课的知识逻辑体系．
探究建构
探究1 简谐运动 探究问题 如图，某个弹簧振子(简称振子)在完 成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移 y(单位：mm)之间的对应数据如表所示．
t 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 y －20.0 －10.1 10.3 20.0 10.3 －10.1 －20.0
(3)设在x h时货船的安全水深为y m，那 么y＝5.5－0.3(x－2)(x≥2)．在同一直 角坐标系内画出这两个函数的图象， 可以看到在6～8时之间两个函数图象 有一个交点(图5.7-6)．
借助计算工具，用二分法可以求得点P的坐标约为(7.016，3.995)， 因此为了安全，货船最好在6.6时之间停止卸货并驶离港口．应用迁移来自题号√12
高中数学人教A版必修第一册课件5.7三角函数的应用课件
课堂小结，领会提升
问题 1、对于一个周期性现象，你该如何利用三角函数来刻画？ 2、你能举出一些符合三角函数规律的实际模型吗？ 3、在本节课中，你经历了怎样的学习过程， 4、涉及哪些数学思想方法， 5、还有哪些其它方面的收获？
归纳小结
课堂小结，领会提升
利用三角函数刻画周期性现象，就是要找出这一现象中哪两个变量 满足“当其中一个变量增加相同的常数时，另一个变量的值重复出 现”，并求出这两个变量之间满足的三角函数关系．
整体感知
弹簧振子模型
把一个有孔的小球装在弹簧的一端，弹 簧的另一端固定，在理想状态下，将小球拉 离平衡位置，然后放开，他就会在平衡位置 附近振动。这样的系统称为弹簧振子。
如何将弹簧振子模型转化为 数学模型？
收集数据
新知探究
例一：某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t（单位s）与 位移y（单位mm）之间的对应数据如表所示．试根据这些数据确定 这个振子的位移关于时间的函数解析式．
振子振动的周期为0.6s，即 2 0.6，解得 10 ；
3
再由初始状态(t=0)振子的位移为-20，可得sin φ=-1，因此
-
。
2
函数的解析式为 y
20sin
10π 3
t
π 2
，t
[0，
)
．
注意定义域！！！
模型建立一般程序
一般函数模型的建立程序 一般函数模型的建立程序如图所示：
8
研探新知
答案：（1）振幅是3，周期是4，频率是14 ；
（2）y
3cos(
π 2
x
π 10
)．
根据散点图（如图）， 分析得出位移y随时间t的变化规律可以用y＝Asin（ωx＋φ)这个函 数模型进行刻画．
高中数学新人教A版必修第一册课件： 第5章 三角函数 5
[解析] (1)依题意，x2＋232＝1，解得 x＝± 35，于是 sin α＝23，cos α
2
＝±35，tan α＝
3
5＝±2
5
5 .
±3
(2)当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点 P(1，2)，由 r＝|OP|
＝
12＋22＝
5，得
sin
α＝
25＝2 5 5，cos
α＝
1＝ 5
55，tan
当 a＝1 时，r＝ 2，sin θ＝－ 22，cos θ＝ 22；
当 a＝－1 时，r＝
2，sin
θ＝－
22，cos
θ＝－
2 2.
课堂检测 ·固双基
1．已知角 α 的终边过点 P(－2，1)，则 cos α 的值为 ( D )
A．－12
B．
5 5
C．2 5 5
D．－2
5 5
[解析] 由角 α 的终边过点 P(－2，1)，所以 cos α＝ （－－2）2 2＋12＝
【对点练习】❷ 已知角 θ 的终边在射线 y＝－1ax(a≠0，y<0)上，且
tan θ＝－a，求 sin θ，cos θ 的值．
[解析] 因为角 θ 的终边在射线 y＝－1ax(a≠0，y<0)上，所以可设 P(a，
－1)(a≠0)为角 θ 终边上任意一点，则 r＝ a2＋1(a≠0)．
又 tan θ＝－a，所以－1a＝－a，解得 a＝±1.
(4)若已知角 α 终边上点的坐标含参数，则需进行分类讨论．
【对点练习】❶ (1)若角 α 的终边与单位圆的交点是 P(x，23)，则 sin
2
5
25
α＝__3__，cos α＝__±__3__，tan α＝__±__5__．
新教材人教A版数学必修第一册课件：第五章 正弦函数、余弦函数的图象
【解】 把函数
图像在 轴下方的部分翻折到 轴上方，加上原来上方
的部分就可以得到函数
的图像(蓝色部分)，如图.
高中数学 必修第一册 RJ·A
即时巩固
【例4】已知函数 （1）作出函数
的图像； (2)求方程
【解】 (1)当
时，
当
时，
的解.
所以 (2)由图像可知方程
，图像如图所示. 的解是
高中数学 必修第一册 RJ·A
高中数学 必修第一册 RJ·A
2.作函数y＝asin x＋b的图象的步骤：
3.用“五点法”画的正弦型函数在一个周期[0，2π]内的图象，如果要画出在 其他区间上的图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出.
随堂小测
1.用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是
A.0，π2，π，32π，2π
B.0，π4，π2，34π，π
C.0，π，2π，3π，4π
D.0，π6，π3，π2，23π
解析 “五点法”作图是当 2x＝0，π2，π，32π，2π 时的 x 的值，此时 x
＝0，π4，π2，34π，π，故选 B.
高中数学 必修第一册 RJ·A
5.若函数f(x)＝sin x－2m－1，x∈[0,2π]有两个零点，求m的取值范围. 解 由题意可知，sin x－2m－1＝0在[0,2π]上有2个根，即sin x＝2m＋1 有两个根， 可转化为y＝sin x与y＝2m＋1两函数的图象在[0,2π]上有2个交点. 由y＝sin x图象可知， －1＜2m＋1＜1，且2m＋1≠0， 解得－1＜m＜0，且 m≠－12. ∴m∈－1，－21∪－12，0.
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新知学习
正弦函数的图像
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3周（360×3=1080） ③ 还有零角, 一条射线，没有旋转.
角的概念推广以后，它包括任意大小的 正角、负角和零角．
要注意，正角和负角是表示具有相反意 义的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就 好象与正数、负数的规定一样，零角无正负， 就好象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋 转中心、旋转方向和旋转量）
例1. 在0º到360º范围内，找出与下列各角终边 相同的角，并判断它是哪个象限的角.
(1) －120º；(2) 640º；(3) －950º12′.
解：⑴∵－120º=－360º+240º， ∴240º的角与－120º的角终边相同， 它是第三象限角．
⑵ ∵640º=360º+280º， ∴280º的角与640º的角终边相同， 它是第四象限角．
3．“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中 来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴 的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限， 我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落 在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）
例如：30、390、330是第Ⅰ象限角， 300、 60是第Ⅳ象限角， 585、1300是第Ⅲ象限角， 135 、2000是第Ⅱ象限角等
周角的 1 为1度的角。 360
这种用1º角作单位来度量角的制度叫做 角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其
他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
1. 圆心角、弧长和半径之间的关系： 角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋
转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧， 不同的点所形成的圆 弧的长度是不同的， 但都对应同一个圆心角。
⑶ ∵－950º12’=－3×360º+129º48’， ∴129º48’的角与－950º12’的角终边相同， 它是第二象限角．
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S， 并把S中在－360º~720º间的角写出来：
(1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′.
解：(1) S={β| β=k·360º+60º(k∈Z) }, S中在－360º～720º间的角是 －1×360º+60º=－280º； 0×360º+60º=60º； 1×360º+60º=420º．
2100
6600
-1500
特别地，当一条射线没有作任何旋转时， 我们也认为这时形成了一个角，并把这个角 叫做零度角（0º）．
角的记法：角α或可以简记成∠α.
⑶角的概念扩展的意义：
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩 大了
① 角有正负之分; 如：=210, = 150, =660.
② 角可以任意大; 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）
2．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，
绕着它的端点O按逆时针方向
旋转到另一位置OB，就形成角B
α．
旋转开始时的射线OA叫做
角α的始边，旋转终止的射线
O
Aห้องสมุดไป่ตู้
OB叫做角α的终边，射线的端
点O叫做角α的顶点．
⑵“正角”与“负角”、“0º角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做
正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做 负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β= －150°，γ=660°，
例3．已知角的顶点与坐标系原点重合，始 边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并 指出它们是哪个象限的角？ (1)420º，(2) －75º，(3)855º，(4) －510º．
答：(1)第一象限角； (2)第四象限角， (3)第二象限角， (4)第三象限角.
二、弧度制
在初中几何里，我们学习过角的度量，1度的角是怎样定义的 呢？
(2) S={β| β=k·360º－21º(k∈Z) } S中在－360º～720º间的角是 0×360º－21º=－21º； 1×360º－21º=339º； 2×360º－21º=699º．
(3) β| β=k·360º+ 363º14’ (k∈Z) } S中在－360º～720º间的角是 －2×360º+363º14’=－356º46’； －1×360º+363º14’=3º14’； 0×360º+363º14’=363º14’．
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任意角和弧度制
1、角的概念
初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几
何图形. 这种概念的优点是形象、直观、容易理
解，但它是从图形形状来定义角，因此角的 范围是[0º, 360º)，
这种定义称为静态定义，其弊端在于 “狭隘”.
生活中很多实例会不在该范围。 体操运动员转体720º，跳水运动员向内、 向外转体1080º； 经过1小时，时针、分针、秒针各转了多 少度？ 这些例子不仅不在范围[0º, 360º) ，而且 方向不同，有必要将角的概念推广到任意角， 想想用什么办法才能推广到任意角？ 关键是用运动的观点来看待角的变化。
4．终边相同的角
⑴ 观察：390，330角，它们的终边都与 30角的终边相同.
⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到 360的角与k(k∈Z)个周角的和：
390=30+360(k=1), 330=30360 (k=－1) 30=30+0×360 (k=0), 1470=30+4×360(k=4)
（1）旋转中心：作为角的顶点.
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种，这是一对意义相反的量， 根据以往的经验，我们可以把一对意义相 反的量用正负数来表示，那么许多问题就 可以解决了；
（3）旋转量：
当旋转超过一周时，旋转量即超过360º， 角度的绝对值可大于360º.于是就会出现 720º， － 540º等角度.
1770=305×360 (k=－5)
⑶ 结论： 所有与终边相同的角连同在内可以构
成一个集合：{β| β=α+k·360º}(k∈Z)
即：任何一个与角终边相同的角，都 可以表示成角与整数个周角的和
⑷注意以下四点： ① k∈Z； ② 是任意角； ③ k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应 看成k·360º+(－30º)； ④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角， 终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它 们相差360º的整数倍.
角的概念推广以后，它包括任意大小的 正角、负角和零角．
要注意，正角和负角是表示具有相反意 义的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就 好象与正数、负数的规定一样，零角无正负， 就好象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋 转中心、旋转方向和旋转量）
例1. 在0º到360º范围内，找出与下列各角终边 相同的角，并判断它是哪个象限的角.
(1) －120º；(2) 640º；(3) －950º12′.
解：⑴∵－120º=－360º+240º， ∴240º的角与－120º的角终边相同， 它是第三象限角．
⑵ ∵640º=360º+280º， ∴280º的角与640º的角终边相同， 它是第四象限角．
3．“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中 来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴 的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限， 我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落 在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）
例如：30、390、330是第Ⅰ象限角， 300、 60是第Ⅳ象限角， 585、1300是第Ⅲ象限角， 135 、2000是第Ⅱ象限角等
周角的 1 为1度的角。 360
这种用1º角作单位来度量角的制度叫做 角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其
他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
1. 圆心角、弧长和半径之间的关系： 角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋
转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧， 不同的点所形成的圆 弧的长度是不同的， 但都对应同一个圆心角。
⑶ ∵－950º12’=－3×360º+129º48’， ∴129º48’的角与－950º12’的角终边相同， 它是第二象限角．
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S， 并把S中在－360º~720º间的角写出来：
(1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′.
解：(1) S={β| β=k·360º+60º(k∈Z) }, S中在－360º～720º间的角是 －1×360º+60º=－280º； 0×360º+60º=60º； 1×360º+60º=420º．
2100
6600
-1500
特别地，当一条射线没有作任何旋转时， 我们也认为这时形成了一个角，并把这个角 叫做零度角（0º）．
角的记法：角α或可以简记成∠α.
⑶角的概念扩展的意义：
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩 大了
① 角有正负之分; 如：=210, = 150, =660.
② 角可以任意大; 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）
2．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，
绕着它的端点O按逆时针方向
旋转到另一位置OB，就形成角B
α．
旋转开始时的射线OA叫做
角α的始边，旋转终止的射线
O
Aห้องสมุดไป่ตู้
OB叫做角α的终边，射线的端
点O叫做角α的顶点．
⑵“正角”与“负角”、“0º角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做
正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做 负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β= －150°，γ=660°，
例3．已知角的顶点与坐标系原点重合，始 边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并 指出它们是哪个象限的角？ (1)420º，(2) －75º，(3)855º，(4) －510º．
答：(1)第一象限角； (2)第四象限角， (3)第二象限角， (4)第三象限角.
二、弧度制
在初中几何里，我们学习过角的度量，1度的角是怎样定义的 呢？
(2) S={β| β=k·360º－21º(k∈Z) } S中在－360º～720º间的角是 0×360º－21º=－21º； 1×360º－21º=339º； 2×360º－21º=699º．
(3) β| β=k·360º+ 363º14’ (k∈Z) } S中在－360º～720º间的角是 －2×360º+363º14’=－356º46’； －1×360º+363º14’=3º14’； 0×360º+363º14’=363º14’．
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任意角和弧度制
1、角的概念
初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几
何图形. 这种概念的优点是形象、直观、容易理
解，但它是从图形形状来定义角，因此角的 范围是[0º, 360º)，
这种定义称为静态定义，其弊端在于 “狭隘”.
生活中很多实例会不在该范围。 体操运动员转体720º，跳水运动员向内、 向外转体1080º； 经过1小时，时针、分针、秒针各转了多 少度？ 这些例子不仅不在范围[0º, 360º) ，而且 方向不同，有必要将角的概念推广到任意角， 想想用什么办法才能推广到任意角？ 关键是用运动的观点来看待角的变化。
4．终边相同的角
⑴ 观察：390，330角，它们的终边都与 30角的终边相同.
⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到 360的角与k(k∈Z)个周角的和：
390=30+360(k=1), 330=30360 (k=－1) 30=30+0×360 (k=0), 1470=30+4×360(k=4)
（1）旋转中心：作为角的顶点.
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种，这是一对意义相反的量， 根据以往的经验，我们可以把一对意义相 反的量用正负数来表示，那么许多问题就 可以解决了；
（3）旋转量：
当旋转超过一周时，旋转量即超过360º， 角度的绝对值可大于360º.于是就会出现 720º， － 540º等角度.
1770=305×360 (k=－5)
⑶ 结论： 所有与终边相同的角连同在内可以构
成一个集合：{β| β=α+k·360º}(k∈Z)
即：任何一个与角终边相同的角，都 可以表示成角与整数个周角的和
⑷注意以下四点： ① k∈Z； ② 是任意角； ③ k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应 看成k·360º+(－30º)； ④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角， 终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它 们相差360º的整数倍.