函数中任意性与存在性问题

变式1：x1 [1, m], x2 [1, m](m 1), 不等式f ( x1 ) g ( x2 )恒成立 变式2：x1 [1, m], x2 [1, m](m 1), 不等式f ( x1 ) g ( x2 )恒成立 变式3：x1 [1, m], x2 [1, m](m 1), 不等式f ( x1 ) g ( x2 )恒成立
函数中的任意性和存在性问题
阳新高中 徐忠星
a 1 (10山东21改编）已知函数f ( x) ax ln x 1 x （1）若0 a 1，讨论f ( x)的单调性； 1 2 1 5 1 （2）设g ( x) x ax 2a，若对a [ ,1]， 3 2 6 2 x1 , x2 [1, m](m 1), 不等式f ( x1 ) g ( x2 )恒成立， 求实数m的取值范围.
{ f ( x) | x A} {g ( x) | x B}
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任意性存在性问题分类总结：
1.不同函数，不同变量（分别考虑） 2.不同函数，相同变量（构造函数） 3.相同函数，不同变量（考查最值差）
4.不同函数，相等关系（考查值域）
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过程与思想方法
分析 (a2 1) (2 2a 0对 aa (0, 都成立， 解析: :问题等价于 由题设知,ax 3x x2 ax 1) x2 x 1对 )a (0, )
2 如果把 x 当做参数会怎样呢？ 都成立，即(a 1) x 2 x 2a 0对a (0, )都成立。
隐性问题
转化化归思想
显性问题
数形结合思想
主参换位法
分离参数法
数形结合法
研究最值
主参换位法 分类讨论思想 分离参数法 导数分析法
构造函数法 导数分析法
利用函数图象
求新函数的最值
求原函数的最值
结束
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走近高考
练习1： (07安徽理科3)若对任意x R, 不等式|x | ax恒成立， 则实数a的取值范围是( A.a 1 B. | a | 1 ) C. | a | 1
4. 不同函数，相等关系
(1)x A, f ( x) g ( x) y f ( x) g ( x)有零点
(2)x1 A, x2 B, f ( x1) g( x2 )成立
{ f ( x) | x A} {g ( x) | x B}
(3)x1 A, x2 B, f ( x1) g ( x2 )成立
f ( x1 )max g ( x2 )max
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2.不同函数，相同变量
(1)x A, f ( x) g ( x)成立
[ f ( x) g ( x)]max 0 [ g ( x) f ( x)]min 0
(2)x A, f ( x) g ( x)成立
分析：f '( x) ln x (2ax 1) 0有x1 , x2两根 条件等价于x1 , x2 (0, ), 使得 ln x 2ax 1.
y ln x与y 2ax 1 图象有两交点.
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解析：由分析,直线y 2ax 1在y 1与y ln x 在(1, 0)处的切线之间， 0 2a 1 1 a (0, ) 2
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分离参数法
2
1 1 例（ 3 13全国大纲理9）若函数f ( x) x ax 在( , )是增函数， x 2 则a的取值范围是（ ） A.[1, 0] B.[1, ) C.[0,3] D.[3, )
解析：由分析知，条件等价于 分析：问题等价于
33 2 1 1 2 x 1 2 x ax 对x ( , )，a ( ) max 1 2 对x ( 2 , )，f '( x) x 0恒成立. 2 2 x 2 3 1 2x 2 x 3( x 1) 令g ( x) 1 2 , 则g '( x)1 2x 4 x 对x ( x , )，a 恒成立. 2 x g(x 显然，当x 2 0时, g '( x) 0， 3 )单调递减.
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x2
O
1
1
x1
x
数形结合法
x 2 2 x, x 0, 例（ 2 13全国卷I 11）已知函数f ( x) ln( x 1), x 0. 若 | f ( x) | ax, 则a的取值范围是（ ） A.(, 0] B.(,1] C.[2,1] D.[2, 0]
分析：直线始终在 | f ( x) | 的图象下方， 除原点再无交点.
解析：由分析可知，直线y ax
在x轴与 | f ( x) | x 2 2 x( x 0)图象 在原点处的切线之间，f '(0) 2,
斜率 2 a 0.
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方法反思： 数形结合法： 若把等式或不等式进行合理 的变形后，能非常容易地画出等号或不等 号两边函数的图象，则可以通过画图直接 判断得出结果。尤其对于选择题、填空题 这种方法更显方便、快捷。
[ f ( x) g ( x)]min 0 [ g ( x) f ( x)]max 0
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3.相同函数，不同变量
x1 , x2 A,| f ( x1 ) f ( x2 ) | M 成立
f ( x)maபைடு நூலகம் f ( x)min M
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2013高考中的热度
全国I 全国II 全国大纲 山东 北京 天津 辽宁 湖北 重庆
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理11，21，24 文12，24 理21 文12 理9 ，22 文11 理21 文21 理18 理20 理21 文21 理10 文10 理16
例 （ 1 13湖北10）已知a为常数，函数f ( x) x(ln x ax) 有两个极值点x1 , x2 ( x1 x2 )，则 1 A. f ( x1 ) 0, f ( x2 ) 2 1 C. f ( x1 ) 0, f ( x2 ) 2 1 B. f ( x1 ) 0, f ( x2 ) 2 1 D. f ( x1 ) 0, f ( x2 ) 2
F ( x) f ( x) kg ( x) x x 4 x 2 e (2 x 2)
0 1)若k 0, F (0) 2(1 kex ) 0与题不符 . F (0) 2(1 ke ) 0 k 1. 2 x
方法反思： 构造函数法：某些任意性存在性问题，需要解决 函数的最值或值域，而没有简便快捷方法时，我 们可以尝试构造新函数，结合导数分析法，最值 定位法，探究函数性质，最终解决问题。
x
D.a 1
练习（ 2 13全国II文12）若存在正数x使2 ( x a) 1成立， 则a的取值范围是（ ） A.(, ) B.(2, ) C.(0, ) D.(1, )
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任意性存在性 问题转化归纳
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1.不同函数，不同变量
(1)x1 A, x2 B, f ( x1) g ( x2 )成立
f ( x1 )max g ( x2 )min
(2)x1 A, x2 B, f ( x1) g ( x2 )成立 f ( x1 )min g ( x2 )min (3)x1 A, x2 B, f ( x1) g ( x2 )成立 f ( x1 )min g ( x2 )max (4)x1 A, x2 B, f ( x1) g ( x2 )成立
max
分析：参数 k(易分离，但是分离之后得到的 由题知，对x 2, ), F ( x) 0恒成立。
F '( x) 2( x 2)(1 ke x ), ( x R ) 新函数最值很难求出。而
2)若k 0, 令F '( x) 2( x 2)(1 ke ) 0, 解得：x 2或 ln k； 2 的单调性可由导数分析得出。 I k e2 , 不符题意；II 1 k e ，符合题意； 2 2 I若 2 ln k，即 kk e， II若 22 ln k，即 e， III k F e '( ，对 xx [ 2, ] x ) 0在x [2, ]上成立. 由此，问题可转化为 : 此时， x ) 2( 2)(1 ke 此时，在[2, )上,F ( x)有唯一的极大值点 ln k ; x2 2 F '( x ) 2( x 2)(1 e ) 0, F (恒成立。 x . 2 )在该区间单调递减 对 x ( 2, ), F ( x ) 0 在 [ 2, ) 上 , F ( x ) F ( 2) 2( ke 1) 0, 不符 . F ( x) max F ( lnmax k ) max (ln k 1) 1 0, F ( x) max F ( 22) 0 2 0, 符合题意 2 . 解得： 1 k e , 又k e ， 1 k e . 13:45:06 综上，k [1, e2 ].
设g (a) ( x 2)a x 2 x, 则g (a)在(0, )上单调递增。
2 2
所以对a (0, )，g (a) 0恒成立等价于 g (a)min g (0) x 2 2 x 0 解得：x [2, 0].
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方法反思： 主参换位法：某些含参不等式恒成立问题，在 分离参数会遇到讨论的麻烦或容易分离，但函 数的最值却难求可考虑变换思维角度。即把主 元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会 取得出奇制胜的效果。
由图易知，x1 1 x2且在( x1 , x2 )上， f '( x) ln x (2ax 1) 0, f ( x)单调递增,y