2014年人教A版选修1-1教案 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
人教版高中数学选修1-1第三章3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
旧知回顾 求函数的导数的方法是:00f(x +Δx)-f(x )Δy =;Δx ΔxΔx →0Δy y =lim .Δx（1）求增量（2）算比值 （3）求极限0)()(0x x x f x f ='='知识要点21)(),2)(),3)(),14)(),y f x c y f x x y f x x y f x x ========'1y =；'2y x =；21'.y x =-'0y =；新课导入由上节课的内容可知函数y=x2的导数为y’=2x，那么，于一般的二次函数y=ax2+bx+c，它的导数又是什么呢?这就需要用到函数的四则运算的求导法则.又如我们知道函数y=1/x 2的导数是=-2/x 3，那么函数y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?y 学习了这节课，就可以解决这些问题了！3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标知识与能力（1）掌握基本初等函数的导数公式.（2）会运用导数的运算法则及简单复合函数的复合过程.过程与方法（1）通过丰富的实例，了解求函数的导数的流程图.（2）理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数．情感态度与价值观经历由实际问题中抽象出导数概念，使同学们体会到通过导数也能刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型.教学重难点重点理解简单复合函数的复合过程.难点函数的积、商的求导法则的推导及复合函数的结构分析.知识要点为了方便，今后我们可以直接使用下面的初等函数的导数公式表：()();x f ,c x f .'01==则若()()();nx x f ,N n x x f .n 'n 12-*=∈=则若()();x cos x f ,x sin x f .'==则若3()();x sin x f ,x cos x f .'-==则若4()();a ln a x f ,a x f .x 'x ==则若5基本初等函数的导数公式()();e x f ,e x f .x 'x ==则若6()();a ln x x f ,x log x f .'a 17==则若()().x x f ,x ln x f .'18==则若例 1假设某国家在20年期间的年通货膨胀率为5﹪，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有函数关系，其中 为t=0时的物价.假定某商品的那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度的大约是多少（精确到0.01）？()()015%t p t p =+0p 01p=()' 1.05ln1.05.tp t =()()./..ln .p ,'年元所以0800510511010≈=解：根据基本初等函数的导数公式表，有因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.如果上式中的某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？5p当 时，，这时，求P 关于t 的导数可以看成函数f(t)=5与g(t)= 乘积得到导数.下面的“导数运算法则”可以帮助我们解决两个函数加﹑减﹑乘﹑除的求导问题.05p =()5 1.05t p t =⨯ 1.05t若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则根据导数的定义，可以推出可导函数四则运算的求导法则1.和(或差)的导数法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即 (u v)u v '''±=±1.和(或差)的导数 (u v)u v '''±=±)()()(x v x u x f y ±==证明：[][])()()()(x v x x v x u x x u -∆+±-∆+=vu ∆±∆=x v x u x y ∆∆±∆∆=∆∆x v x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim )()(''x v x u ±=例 2'23cos x x =+ y 求y= + sin x 的导数.3x 解：由导数的基本公式得：例 3'3'421x x =-- y 解：由导数的基本公式得： 求的导数. 42y =x -x -x +32.积的导数法则2 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即请同学们自己证明()()()()()()f x g x =f x g x +f x g x ⨯⎡⎤⎣⎦′′′知识拓展推论(:=')CCu'u例422求的导数y=2x-3x+5x-4？解：由导数的基本公式得：'4655=-+=-y x x x例 52y =(2x +3)(3x -2)求的导数？'2223(4)(32)(23)3128691889y x x x x x x x x =-++⨯=-++=-+解：由导数的基本公式得：3.商的导数法则3 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即 []0000020'()()()()f(x)[]'|g(x)()x x f x g x fx g x g x ='-=2x y =sinx 的导数.例62'2''2()sin (sin )sin x x x x y x⋅-⋅=解：222sin cos sin x x x xx-=例7 2x +3y =x =3x +3求在点处的导数.2'221(3)(3)2(3)x x x y x ⋅+-+⋅=+解：22263(3)x x x --+=+'329183241|(93)1446x y =--+-∴===-+()()()()()()()()()2f x f x g x f x g x 3.g x 0.g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦′′′导数的运算法则1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′;2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′;如何求函数y=㏑（x+2）的函数呢？我们无法用现有的方法求函数y=㏑（x+2）的导数.下面，我们先分析这个函数的结构特点.若设u=x+2（x>-2），则y=ln u.即y=㏑（x+2）可以看成是由y=ln u和u=x+2（x>-2）经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.名词解释一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记做y=f(g(x)).复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为 x u x y =y u ′′′.即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.()()x u x 13 y =y u =lnu 3x +2=3=u 3x +2⨯⨯ ′′′′′ 问题解答由此可得，y=㏑(3x+2)对x 的导数等于y= ㏑u 对u 的导数与u=3x+2对x 的导数的乘积，即)(x f 例8()2y =2x +3求函数的导数.'''x u x y y u =⋅()()''223u x =⋅+4812.u x ==+解：函数可以看作函数 和 的复合函数.由复合函数求导法则有 ()223y x =+3y u =23u x =+课堂小结1.由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2.导数的运算法则 ()()()()()()()()()2f x f x g x -f x g x3.=g x 0g x g x ⎡⎤≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦′′′1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′3.复合函数的复合过程利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中间变量是复合函数求导的关键.高考链接 (2008海南、宁夏文)设 ，若()ln f x x x = ，则 （ ）A. B.C. D. 0'()2f x =0x =2e e ln 22ln 2B2ax y =a 062=--y x =a 121-21-(2008全国Ⅱ卷文)设曲线 在点（1, )处的切线与直线 平行,则A ．1B ．C ．D ． ( ) A随堂练习()()()()''3'''32323y x x x x =-+=-+解因为23 2.x =-1、 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数 的导数. 323y x x =-+随堂练习()()()()0.0511;2sin ,.x y ey x πϕπϕ-+==+其中均为常数2、 求下列函数的导数u -0.05x+1=-0.05e =-0.05e .x u x y =y u ⨯′′′()()u=e -0.05x +1⨯′′（1）函数 可以看做函数 和的复合函数.由复合函数的求导法则有 -0.05x+1y =e u y =e u =-0.05x +1()()2y =sin πx +φy =sinu u =πx +φ.函数可以看作函数和的复合函数由复合函数求导法则有().φx πcos πu cos π+=='x 'u 'x u y y ⋅=()()''φx πu sin +⋅=习题答案练习（第18页）''''1.()27,(2)3,(6) 5.12.(1);ln2f x x f fyx=-=-==所以，'(2)2;xy e='4(3)106;y x x=-'(4)3sin 4cos ;y x x =--''1(5)sin;331(6).21x y y x =-=-。
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》优质课教案_4
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【教学目标】知识与技能：1.掌握基本初等函数的导数公式；2.掌握导数的运算法则；3.掌握复合函数的导数公式。
过程与方法：培养学生灵活应用公式的能，以及分析探索知识的能力；培养学生的化归思想。
情感、态度与价值观：激发学生的学习兴趣，有易入难的探索精神。
【教学重点】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【教学难点】复合函数的导数公式及解题应用【学情分析】在前面同学们已经掌握了导数的概念以及几个简单的基本初等函数的导数公式推导过程，也认识了符合函数。
本节，是在原有基础上的加深延续，同学们只要能够记住公式，掌握运算能力，就可以很好的完成本节的内容。
【教学过程】一、 问题导学：1、 依据我们上节课所学的内容，请同学们求出以下函数的导数： y=c y=x y=x 2 y=1/x x y =2、 总结以下函数的导数公式：f(x)=x α(α∈Q *) f(x)=sinx f(x)=cosxf(x)=a x f(x)=e x f(x)=log a x f(x)=lnx二、 自主学习：1、y=c y ′=0 ； y=x y′=1； y=x 2y′=2x ； y=1/x y′=-1/x 2 ；x y = x y 21='.2、基本初等函数的导数公式：(1)若 f(x)=c (c 为常数)，则f′(x) =0 ；(2)若f(x)=x α(α∈Q *) ，则f ′(x)= αx α-1 ；(3)若 f(x)=sinx ，则f′(x)=cosx ；(4)若f(x)=cosx ，则 f′(x)=-sinx ；(5)若f(x)=a x ， 则f′(x)= a x lna ；(6)若 f(x)=e x , 则f′(x)= e x ；(7)若f(x)=log a x ，则f′(x)= 1/(xlna) ；(8)若f(x)=lnx ， 则f′(x)= 1/x .3、导数运算法则：(1) [f(x)±g(x)]′= f′(x) ± g′(x) ;(2) [f(x)g(x)] ′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ;(3) [f(x)/g(x)] ′=[f′(x)g(x)-f(x)g′(x)]/[g(x)]2(g(x)≠0)三、互动探究：1、求下列函数的导数：（1）y=cf(x) （2）y=x3-2x+3（3）y=x/(2-x) （4）y=log2x（5）y=3cosx-2sinx （6）y=2e x+lnx-ln4（生）（1）y′=cf′(x) （2）y′=3x2-2（3）y′=2/(2-x)2（4）y′=1/(xln2)（5）y′=-3sinx-2cosx （6）y′=2e x+1/x2、复合函数的导数：(1)如何求函数y=ln(x+2)的导数呢？（生）令y=lnu u=x+2则y′=1/u u′=1 所以y x′=1/(x+2)(2)总结：如何求复合函数y=f(g(x))的导数，并找出与y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系。
人教新课标A版高二数学《选修1-1》3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
1 2 3 ＋ ＋ － － － (3)y′＝ x x2 x3 ′＝(x 1＋2·x 2＋3·x 3)′ 1 4 9 － － － ＝－x 2－4x 3－9x 4＝－ 2－ 3－ 4. x x x xsinx－2 xsinx 2 － (4)y′＝ cosx cosx ′＝ cosx ′ ＝ xsinx－2 ′cosx＋ xsinx－2 sinx cos2x
【答案】(1)y′＝4x－3 (2)y′＝2x＋4 1 (3)y′＝cosx－sinx (4)y′＝ 2 (5)y′＝6x＋5. cos x
题目类型一、导数的四则运算法则的应用
[例 1] 求下列函数的导数：
(1)y＝(x＋1)2(x－1)； (2)y＝x2sinx； 1 2 3 (3)y＝ x＋x2＋x3； 2 (4)y＝xtanx－ . cosx
第三章 导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则二）
能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则 运算法则求简单函数的导数
本节重点：导数的四则运算法则及其运用． 本节难点：导数的四则运算法则的理解运用．
1．可导函数的四则运算法则是解决函数四则运算形式的 求导法则，也是进一步学习导数的基础，因此，必须透彻理解 函数求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及规律， 以达到巩固知识、提升能力的目的． 2．有了函数的和、差、积、商的求导法则，以及常见函 数的导数公式，对一些简单函数的求导问题，便可直接应用法 则和公式很快地求出导数，而不必每一问题都回到定义．
∴－3－x2 0＝2x0(1 －x0)， 解得 x＝－1 或 x0＝3. ∴过点(1，－ 3)的该抛物线切线方程为 y－1＝－2(x ＋1) 或 y－9＝6(x－3)， 即 2x＋y＋1＝0 或 6x－y－9＝0.
高中数学第3章3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一教师用书教案新人教A版选修1
3.2 导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)学习 目 标核 心 素 养1.能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x，y ＝x 的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．(重点、难点)借助导数的定义求几个常用函数的导数，培养逻辑推理及数学运算的素养.1．几个常用函数的导数原函数 导函数 f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝1xf ′(x )＝－1x2思考：根据上述四个公式，你能总结出函数y ＝x α的导数是什么吗？ [提示] 若y ＝x α，则y ′＝αx α－1. 2．基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a (a >0)f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a (a >0，且a ≠1) f (x )＝ln xf ′(x )＝1x1．函数f (x )＝0的导数是( )A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定A [由基本初等函数的导数公式知(0)′＝0，故选A ．] 2．下列结论正确的个数为( ) ①f (x )＝ln 2，则f ′(x )＝12；②g (x)＝cos x ，则g ′⎝⎛⎭⎫π6＝－12； ③h (x )＝2x ，则h ′(x )＝2x ln 2； ④φ(x )＝log 5x ，则φ′(x )＝1x ln 5.A ．0B ．1C ．2D ．3D [对①，f ′(x )＝(ln 2)′＝0；对②，g ′(x )＝－sin x ，g ′⎝⎛⎭⎫π6＝－sin π6＝－12；对③，h ′(x )＝2x ·ln 2；对④，φ′(x )＝1x ln 5.故选D ．] 3．求下列函数的导数．(1)(2x )′＝________；(2)(log 3 x )′＝________； (3)(sin 30°)′＝________；(4)⎝⎛⎭⎫1x 4′＝________. [答案] (1)2x ln 2 (2)1x ln 3 (3)0 (4)－4x5利用导数公式求函数的导数(1)y ＝x 12；(2)y ＝5x 3；(3)y ＝2sin x 2cos x 2；(4)y ＝log 12x ；(5)y ＝3x .[解] (1)y ′＝(x 12)′＝12x 12－1＝12x 11.(2)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2.(3)∵y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x .(4)y ′＝(log12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.(5)y ′＝(3x )′＝3x ln 3.用导数公式求函数导数的方法(1)若所求函数是基本初等函数，则直接利用公式求解.(2)对于不能直接利用公式的类型，关键是将其进行合理转化为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y ＝1x 4可以写成y ＝x －4，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误.[跟进训练]求下列函数的导数：(1)y ＝5x ；(2)y ＝－1x 5；(3)y ＝ln 3；(4)y ＝x x 3.[解] (1)y ′＝(5x )′＝5x ln 5. (2)y ′＝－(x －5)′＝5x －6＝5x 6.(3)y ′＝(ln 3)′＝0. (4)∵y ＝x x 3，∴y ＝x 52， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 52′＝52x 52－1＝52x 32＝5x x2.利用导数公式求曲线的切线方程＝x 2的切线方程．[思路点拨] 直线PQ 的斜率⇒所求切线的斜率⇒切点坐标⇒所求切线方程． [解] 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，所以k ＝2x 0＝1，即x 0＝12.所以切点为M ⎝⎛⎭⎫12，14.所以所求切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.1．本例中，是否存在与直线PQ 垂直的切线？若存在，求出切线方程，若不存在，说明理由．[解] 假设存在与直线PQ 垂直的切线，因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，所以与PQ 垂直的切线斜率k ＝－1， 设切点为(x 1，y 1)， 则y ′|x ＝x 1＝2x 1，令2x 1＝－1，则x 1＝－12，y 1＝14，切线方程为y －14＝－⎝⎛⎭⎫x ＋12，即4x ＋4y ＋1＝0. 2．若本例中曲线改为y ＝ln x ，试求与直线PQ 平行的切线方程． [解] 设切点为(a ，b )， 因为k PQ ＝1，则由f ′(a )＝1a ＝1，得a ＝1，故b ＝ln 1＝0，则与直线PQ 平行的切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用： (1)切点处的导数是切线的斜率； (2)切点在切线上；(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.1．利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2 x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2 x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．1．判断正误 (1)(log 3π)′＝1πln 3.( ) (2)若f (x )＝1x，则f ′(x )＝ln x ．( ) (3)因为(sin x )′＝cos x ，所以(sin π)′＝cos π＝－1. ( )[答案] (1)× (2)× (3)×2．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k ＝________. 1e [y ′＝(ln x )′＝1x ，则1x ＝k . 所以x ＝1k ，所以y ＝k ×1k＝1.所以曲线y ＝ln x 过点1k ，1，即1＝ln 1k ，所以k ＝1e.]3．曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线方程为__________．x －y ＋1＝0 [y ′＝e x ，y ′|x ＝0＝e 0＝1，故切线方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.]4．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．[解] 因为y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)， 所以a ＋b ＋c ＝1.y ′＝2ax ＋b ，曲线在点(2，－1)的切线的斜率为4a ＋b ＝1. 又曲线过点(2，－1)， 所以4a ＋2b ＋c ＝－1.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋b ＝1，4a ＋2b ＋c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.所以a ，b ，c 的值分别为3，－11,9.。
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》赛课课件_7
证明： 2 x1 x2
f (x1) f (x2) 2x13 6x12 7 2x23 6x22 7
2(x1 x2) x12 x22x1x2 3x1 3x2
2( x1
x2
)
x1
3 2
2
当x>-2时, y 0,即已知函数在(-2,+∞)上是增函数.
又f(-2)=-1,故所求函数的值域是[-1,+∞).
应用三：证明不等式
例题7：《智力报》P7右文 例1，例2
说明:利用函数的单调性证明不等式是不等式证 明的一种重要方法.其解题步骤是: 令F(x)=f(x)-g(x),x≥a,其中F(a)=f(a)-g(a)=0, 从而将要证明的不等式“当x>a时,f(x)>g(x)”转 化为证明: “当x>a时,F(x)>F(a)”.
函数单调增（减）
定义
y f ( x1) f ( x2 ) 0 0
x
x1 x2
平均变有关，我们 可以利用导数去探讨 函数的单调性。
导数
探究一：函数单调性与导数符号的关系
h(t) 4.9t2 6.5t 10 h(t) 9.8t 6.5
理由： 可能 f (x) 0 恒成立
4、 f (x) 为某区间的增函数 f (x) 0 且 f (x) 0的点离散
应用二：证明函数单调性
例题4：书 P26练习4（改为［0，2］如何？）
例题5:证明方程 x 1 sin x 0 只有一个根x=0. 3
证:设
f
(
x)
x
小结
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》优质课教案_5
第二课时导数的运算法则（重点）1.掌握导数的和、差、积、商的求导法则.（难点）2.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.一知识回顾基本初等函数的导数公式(1)若f(x)＝c(常数)，则f ′(x)＝ .(2)若f(x)＝x α(α∈Q ﹡)，则f ′(x)＝ .(3)若f(x)＝sin x ，则f ′(x)＝ .(4)若f(x)＝cos x ，则f ′(x)＝ .(5)若f(x)＝ax ，则f ′(x)＝ .(6)若f(x)＝ex ，则f ′(x)＝ .(7)若f(x)＝log a x ，则f ′(x)＝ .(8)若f(x)＝ln x ，则f ′(x)＝ .二知识探究1. 导数的运算法则:法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:[]()()()().'''±=±f x g x f x g x 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即: []()()()()()().'''=+f x g x f x g x f x g x 法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方，即:[]20()()()()()(()).()()f x f x g x f x g x g x g x g x '''⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦2.思考下列问题:(1)在导数的运算法则中,f(x),g(x)是否能是常数函数?提示:可以.由法则2:[]()'()()().C f x C f x C f x C f x '''⋅=+⋅=⋅例如,①若y=f(x)±c,则y ′=f ′(x);②若y=af(x),则y ′=af ′(x);③ ()()()2kf x k []f x f x -''=［］ (f(x)≠0). (2)应用导数的运算法则求导数的前提是什么?提示:应用导数的运算法则求导数的前提是f ′(x),g ′(x)都是存在的.3.运算法则的推广(1)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导数仍然成立.两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况,即[f 1(x)±f 2(x)±f 3(x)±…±f n (x)]′=f ′1(x)±f ′2(x)±f ′3(x)±…±f ′n (x).(2) 积的导数公式的拓展,若y=f 1(x)f 2(x)…f n (x),则有y ′=f 1′(x)f 2(x)…f n (x)+f 1(x)f 2′(x)…f n (x)+…+f 1(x)f 2(x)…f n ′(x).三【即时训练】求下列函数的导数:1(1).=+y x x (2)tan .=y x (3)5.=x y例1 求函数y=x 3_2x+3的导数.【变式练习】求下列函数的导数:2121().y x x =-221().=-x y x528480100100 ().x x<<-日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：c(x)=求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率.(1)90%. (2)例2 98%.【提升总结】函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知 .它表示纯净度为98%左右时净化费用的变化率,大约是纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍.这说明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且净化费用增加的速度也越快.小结：导数的运算法则1.()''',±=±u v u v 1212()''''.±±±=±±±n n f f f f f f2.()'''.=+uv u v uv2.''3.()'-=u v u v uv v 注意:(),'''≠u v u v .u u v v ''⎛⎫≠ ⎪'⎝⎭。
(完整版)基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则
全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选教案设计高中数学人教A版选修1-13、2、2基本初等函数的导数公式及导数的四则运算一、教案背景：面向学生：周村区实验中学学科：数学课时：1课时二、教学目标：熟练掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．三、教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则四、教学难点：基本初等函数导数公式和导数的四则运算法则的应用五、教材分析：教科书直接给出基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，不要求根据导数定义推导这些公式和法则，只要求能够利用他们能求简单函数的导数即可。
在教学中，适量的联系对于熟悉公式和法则的运用是必要的，但应避免过量的形式化的运算联系。
六、教学方法及教学思路：运用“721”信息化课堂教学模式----“自主、展示、合作、交流、引领”，本课的设计内容分为以下几个部分：1、回顾公式、寻找技巧2、自主探究、合作学习3、成果展示，汇报交流4、归纳总结，提升拓展5、反馈训练，巩固落实6、总结本节复习要点及课后作业的布置七、教学过程1、回顾公式、寻找技巧基本初等函数的导数公式：导数的四则运算法则：函数的和、差、积、商的求导法则：简单复合函数的求导： 函数 其中和 都可导，则： 2、自主探究、合作学习针对性训练：求下列函数的导数3、成果展示，汇报交流 学生分学习小组到黑板上板书本组解决的任务，并且进行讲解，同时指出本题目所运用的数学思想和数学方法。
4、归纳总结，提升拓展总结反思：1、先观察函数是由哪些子函数组成。
2、再观察有哪些运算法则。
3、拿到题目不要急于动手计算，先要分析清楚函数的组合成员xx y sin 34+=）（3229+=x e y ）（5)35(7+=x y ）（（4）y=xsinx )5)(23(62-+=x x y ）（)12(log 103+=x y ）（)32sin(8π+=x y ）（)(x g u =xu x u f y '''⋅=)(u f y =))((x g f y =26331x x x y -+=）（x e y x cos 2-=）（（5）y=tanx再进行拆分。
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》赛课课件_9
第二章 第10讲
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金当版堂教检程测·巩高固三提一升轮总复习 ·文科数学
1. [2015·云南记牢检4个测必备考]点函数突破3f个(热x点)考＝向 ln破x译－x5类2高考x密在码 点迎(战12，年高考－模拟2)处限的时规范切特训线
方程为( )
A. 2x－y－4＝0
B. 2x＋y＝0
C. x－y－3＝0
y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的 切线的斜率 ．即 k=__f′__(_x_0)_．______ 相应地，切线方程为 y－f(x0)＝k(x－x0)．
第二章 第10讲
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金版教程 ·高三一轮总复习 ·文科数学
记牢4个必备考点 突破3个热点考向 破译5类高考密码 迎战2年高考模拟
2 基本初等函数的导数公式
(3)[gfxx]′＝f′xg[xg－xf]2xg′x(g(x)≠0); (4)[Cf(x)]′＝ Cf′(x)
第二章 第10讲
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金例版题教讲程解·知高识三应一用轮总复习 ·文科数学
记牢4个必备考点 突破3个热点考向 破译5类高考密码 迎战2年高考模拟
限时规范特训
考点一 导数的基本运算
答案：B
第二章 第10讲
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金版教程 ·高三一轮总复习 ·文科数学
4. [2013·广东记高牢4个考必备]考若点 曲突线破3个热y点＝考向ax2破－译5类ln高考x密在码 点迎战(12年，高a考模)处拟 的限切时规线范特训平 行于 x 轴，则 a＝________.
解析：令 f(x)＝y＝ax2－lnx， 得 f′(x)＝2ax－1x， ∴f′(1)＝2a－1＝0，得 a＝12. 答案：12
(5) y e2x (ex )2 ex ex
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3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 教学目标：
1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；
2．掌握导数的四则运算法则；
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
教学重难点： ：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则
教学过程：
检查预习情况：见学案
目标展示： 见学案
合作探究：
复习1：常见函数的导数公式：
（1）基本初等函数的导数公式表
（2）根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数．
（1）2y x =与2x
y =
（2）3x y =与3log y x =
2.（1
推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）
提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号.
（2）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．
（1）323y x x =-+
（2）sin y x x =⋅；
（3）2(251)x y x x e =-+⋅；
（4）4x
x y =
.
【点评】
① 求导数是在定义域内实行的．
② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．
典型例题
例1 假设某国家在20年期间的年均通贷膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价.假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?
解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t =
所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）
因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．
例 2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水纯净度的提高，所需净化费用不
断增加. 已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x
=<<-. 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：
（1）90%； （2）98%.
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．
''
'
'252845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ⨯--⨯-==-- 20(100)5284(1)(100)
x x ⨯--⨯-=-25284(100)x =- （1） 因为'
25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．
（2） 因为'2
5284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．
函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．
反思总结
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误.。