二项分布的经验贝叶斯估计
二项分布的例子
二项分布的例子【篇一：二项分布的例子】在介绍贝塔分布(beta distribution)之前，需要先明确一下先验概率、后验概率、然函数以及共轭分布的概念。
通俗的讲，先验概率就是事情尚未发生前，我们对该事发生概率的估计。
利用过去历史资料计算得到的先验概率，称为客观先验概率；当历史资料无从取得或资料不完全时，凭人们的主观经验来判断而得到的先验概率，称为主观先验概率。
例如抛一枚硬币头向上的概率为0.5，这就是主观先验概率。
后验概率是指通过调查或其它方式获取新的附加信息，利用贝叶斯公式对先验概率进行修正，而后得到的概率。
先验概率和后验概率的区别：先验概率不是根据有关自然状态的全部资料测定的，而只是利用现有的材料(主要是历史资料)计算的；后验概率使用了有关自然状态更加全面的资料，既有先验概率资料，也有补充资料。
另外一种表述：先验概率是在缺乏某个事实的情况下描述一个变量；而后验概率（probability of outcomes of an experiment after it has been performed and a certain event has occured.）是在考虑了一个事实之后的条件概率。
然函数共轭分布(conjugacy)：后验概率分布函数与先验概率分布函数具有相同形式好了，有了以上先验知识后，终于可以引入贝塔分布啦！！首先，考虑一点，在试验数据比较少的情况下，直接用最大然法估计二项分布的参数可能会出现过拟合的现象（比如，扔硬币三次都是正面，那么最大然法预测以后的所有抛硬币结果都是正面）。
为了避免这种情况的发生，可以考虑引入先验概率分布来控制参数，防止出现过拟合现象。
那么，问题现在转为如何选择！先验概率和后验概率的关系为：二项分布的然函数为（就是二项分布除归一化参数之外的后面那部分，然函数之所以不是pdf，是因为它不需要归一化）：如果选择的先验概率也与和次方德乘积的关系，那么后验概率分布的函数形式就会跟它的先验函数形式一样了。
数学分布(泊松分布、二项分布、正态分布、均匀分布、指数分布)+生存分析+贝叶斯概率公式+全概率公式资料讲
数学分布(泊松分布、二项分布、正态分布、均匀分布、指数分布)+生存分析+贝叶斯概率公式+全概率公式数学期望：随机变量最基本的数学特征之一。
它反映随机变量平均取值的大小。
又称期望或均值。
它是简单算术平均的一种推广。
例如某城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个，则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03，它的数学期望为0×0.01＋1×0.9＋2×0.06＋3×0.03等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个，用数学式子表示为：E(X)=1.11。
也就是说，我们用数学的方法分析了这个概率性的问题，对于每一个家庭，最有可能它家的孩子为1.11个。
可以简单的理解为求一个概率性事件的平均状况。
各种数学分布的方差是：1、一个完全符合分布的样本2、这个样本的方差概率密度的概念是：某种事物发生的概率占总概率(1)的比例,越大就说明密度越大。
比如某地某次考试的成绩近似服从均值为80的正态分布，即平均分是80分，由正态分布的图形知x=80时的函数值最大，即随机变量在80附近取值最密集，也即考试成绩在80分左右的人最多。
下图为概率密度函数图(F(x)应为f(x)，表示概率密度)：离散型分布：二项分布、泊松分布连续型分布：指数分布、正态分布、X2分布、t分布、F分布抽样分布抽样分布只与自由度，即样本含量（抽样样本含量）有关二项分布（binomial distribution）：例子抛硬币1、重复试验（n个相同试验，每次试验两种结果，每种结果概率恒定————伯努利试验）2、3、P(X=0), P(X=1), P(X=3), ……….所有可能的概率共同组成了一个分布，即二项分布泊松分布（possion distribution）：1、一个单位内（时间、面积、空间）某稀有事件2、此事件发生K次的概率3、P(X=0), P(X=1), P(X=3), ……….所有可能的概率共同组成了一个分布，即泊松分布二项分布与泊松分布的关系：二项分布在事件发生概率很小，重复次数n很大的情况下，其分布近似泊松分布均匀分布(uniform distribution)：分为连续型均匀分布和离散型均匀分布离散型均匀分布：1、n种可能的结果2、每个可能的概率相等(1/n)连续型均匀分布：1、可能的结果是连续的2、每个可能的概率相等()连续型均匀分布概率密度函数如下图：指数分布（exponential distribution）：用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。
中心极限定理不独立估计的方法
中心极限定理不独立估计的方法中心极限定理是概率论和数理统计中重要的一条定理，它描述了当一个随机变量是许多独立同分布变量之和时，这个随机变量的分布会趋于正态分布。
然而，在实际应用中，我们经常遇到的情况是随机变量之间并不是完全独立的，即它们之间存在一定的相关性。
本文将介绍一些不独立估计的方法来处理中心极限定理。
一、相关独立估计方法在处理不独立随机变量时，可以利用相关独立估计方法来近似计算。
这种方法假设随机变量之间的相关系数趋于零或者服从某种特定的分布，从而实现独立估计。
以求解不独立二项分布为例，设有n个不独立的二项分布随机变量X_1, X_2, ..., X_n，它们的成功概率分别为p_1, p_2, ..., p_n。
相关独立估计方法可大致分为两类：线性估计和非线性估计。
1. 线性估计线性估计的基本思想是将不独立的二项分布随机变量X_1, X_2, ...,X_n线性组合，得到一个新的随机变量Y，使得Y的分布近似于正态分布。
常用的线性估计方法有加权平均法和线性组合法。
其中，加权平均法的公式为：Y = a_1X_1 + a_2X_2 + ... + a_nX_n其中，a_1, a_2, ..., a_n为权重系数，满足a_1 + a_2 + ... + a_n = 1。
通过调整权重系数的取值，可以使得Y的分布更接近正态分布。
而线性组合法则是通过将随机变量线性组合，并根据随机变量之间的相关系数进行调整，从而得到独立估计值。
2. 非线性估计非线性估计方法是一种更加灵活的估计方法，通过引入非线性函数将不独立的二项分布随机变量转化为其他分布的随机变量，进而实现独立估计。
常用的非线性估计方法有卡方检验和G概率函数等。
卡方检验将不独立的二项分布随机变量转化为服从卡方分布的随机变量，通过引入卡方分布的性质，可以进行独立估计。
而G概率函数则通过引入G概率函数的特性，将不独立的二项分布随机变量转化为服从G分布的随机变量，从而实现独立估计。
高二数学选择性必修件二项分布
假设检验的基本思想
通过构造一个与原假设相对立的备择假设，然后根据样本信息来 判断原假设是否成立。
假设检验的步骤
明确原假设和备择假设，选择合适的检验统计量，确定显著性水平 ，计算检验统计量的值，根据统计量值做出决策。
假设检验中的两类错误
第一类错误是原假设为真时拒绝原假设，第二类错误是原假设为假 时接受原假设。
间或空间内的发生次数。在实际应用中，可以根据问题的具体背景和条
件选择合适的概率模型。
05
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二项分布参数估计方法
最大似然估计法
原理
最大似然估计法是一种基于概率 的估计方法，它认为在已知样本 的情况下，选择使得样本出现概
率最大的参数作为估计值。
步骤
首先，根据二项分布的概率质量函 数构造似然函数；然后，对似然函 数取对数并求导，令导数为0解得 参数的最大似然估计值。
最大似然估计法是基于频率学派的观点，认为参数是固 定的未知常数，通过最大化样本出现的概率来求解参数 ；
优缺点分析
贝叶斯估计法能够充分利用先验信息，对于小样本数据 也能得到较好的估计结果，但计算相对复杂，且对先验 分布的选择有一定主观性。
06
CATALOGUE
二项分布假设检验问题探讨
假设检验基本原理介绍
04
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二项分布与泊松分布关系
泊松分布定义及公式
泊松分布定义
泊松分布是一种离散型概率分布，用 于描述在给定时间间隔或空间内，某 一事件发生的次数的概率分布。
泊松分布公式
P(X=k) = λ^k * e^(-λ) / k!，其中λ 是单位时间（或单位面积）内随机事 件的平均发生率，k是事件发生的次数 。
贝叶斯估计
a1
a2
a3
1 3 －2 0
2 1
4 －3
3 －4 －1 2
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这是一个典型的双人博弈（赌博）问题。不少实际问 题可归纳为双人博弈问题。把上例中的乙方改为自然 或社会，就形成人与自然（或社会）的博弈问题。
例2 农作物有两个品种：产量高但抗旱能力弱的
品种 a1 和抗旱能力强但产量低的品种 a2 。 在明年雨量不知的情况下，农民应该选播哪个品
这表明,当 ˆ ˆE 时,可使后验均方差达到最小, 实际中常取后验均值作为 的贝叶斯估计值.
9
例2 设一批产品的不合格率为 ,检查是一个一个进行,
直到发现第一个不合格品为止,若X为发现第一个不合 格品时已检查的产品数,则X服从几何分布,其分布列为
P(X x ) (1 )x1, x 1,2,
设ˆ 是 的一个贝叶斯估计，在样本给定后，ˆ 是一 个数，在综合各种信息后， 是按 ( x) 取值，所以
评价一个贝叶斯估计的误差的最好而又简单的方式是
用θ对 ˆ的后验均方差或平方根来度量，定义如下：
定义3.2 设参数θ的后验分布为 ( x) ,
贝叶斯估计为
ˆ ,则
ˆ 的后验期望
MSE(ˆ x) E x (
0 4 8
L
1
0
2
3.7 1.8 0
a1 , a2 , a3
23
2、损失函数
构成决策问题的三要素： A a L , a
由收益函数容易获得损失函数
计^
MD
更合适一些。
ˆE
要比最大后验估
第三、 的后验期望值估计要比最大后验估计更合适一
些。 表2.1列出四个实验结果,在试验1与试验2中,“抽 检3个产品没有一件不合格”与抽检10个产品没有一件 是不合格”这两件事在人们心目中留下的印象是不同 的。后者的质量要比前者的质量更信得过。
二项分布的几种经验bayes估计方法
二项分布的几种经验bayes估计方法二项分布是概率论中常用的一种离散概率分布，它描述了在一系列独立的伯努利试验中成功的次数。
经验Bayes估计是一种在贝叶斯统计中用于参数估计的方法，可以用于估计二项分布的参数。
本文将介绍几种常见的经验Bayes估计方法，以及它们在二项分布中的应用。
一、贝叶斯估计简介贝叶斯估计是一种统计学中的参数估计方法，它基于贝叶斯定理，并结合了先验概率和样本观测数据，得到后验概率分布，从而得到参数的估计值。
经验Bayes估计是一种特殊的贝叶斯估计方法，它假设参数的先验分布是由样本数据估计得到的。
二、Laplace平滑估计Laplace平滑估计是一种常用的经验Bayes估计方法，它用于解决估计参数为0的问题。
在二项分布中，如果样本观测中某个事件的发生次数为0，那么根据传统的极大似然估计方法，该事件的概率将被估计为0，这显然是不合理的。
因此，Laplace平滑估计引入了一个先验概率，将所有事件的发生次数都加上一个正数k，从而解决了参数为0的问题。
三、贝叶斯估计与最大似然估计的比较贝叶斯估计与最大似然估计是两种常用的参数估计方法。
最大似然估计是基于频率学派的思想，通过最大化样本观测数据的似然函数，得到参数的估计值。
而贝叶斯估计则引入了先验概率，通过贝叶斯定理得到后验概率分布，从而得到参数的估计值。
在二项分布中，贝叶斯估计相比最大似然估计具有更好的稳定性和鲁棒性，尤其在样本量较小的情况下效果更好。
四、Dirichlet分布的经验Bayes估计Dirichlet分布是一种常用的多维概率分布，它常用于描述多个参数的分布。
在二项分布中，可以使用Dirichlet分布作为先验分布，利用样本观测数据来估计参数的分布。
Dirichlet分布的参数可以通过最大似然估计或贝叶斯估计得到，从而得到二项分布的参数估计值。
五、经验Bayes估计的优缺点经验Bayes估计作为一种参数估计方法，具有一些优点和缺点。
几种常见的概率分布及应用
几种常见的概率分布及应用常见的概率分布有很多种，在统计学和概率论中，这些分布被广泛应用于各种领域，包括自然科学、工程、经济和社会科学等。
下面是几种常见的概率分布及其应用：1. 均匀分布（Uniform Distribution）：均匀分布是最简单的概率分布之一，它的概率密度函数在一个给定的区间内是常数。
这种分布广泛应用于统计推断、模拟和随机数生成等领域。
2. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布适用于具有两个可能结果的离散试验，如抛硬币、打靶等。
在二项分布中，每个试验都是独立的，并且具有相同的概率。
二项分布在实验研究和贝叶斯统计等领域有广泛的应用。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）：泊松分布适用于描述单位时间或空间内稀有事件发生次数的概率分布。
它在复杂事件模型、风险评估和可靠性分析等领域有广泛的应用。
4. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是最常见的连续概率分布之一，也被称为高斯分布。
它具有对称的钟形曲线，广泛应用于自然科学、社会科学和工程等领域。
正态分布在统计推断、回归分析、贝叶斯统计等方面发挥着重要作用。
5. 指数分布（Exponential Distribution）：指数分布适用于描述事件发生之间的时间间隔的概率分布。
它在可靠性工程、队列论、生存分析等领域有广泛的应用。
6. γ分布（Gamma Distribution）：γ分布是一类连续概率分布，用于描述正数随机变量的分布，如等待时间、寿命和利润等。
它在贝叶斯统计、过程控制和金融分析等领域被广泛使用。
7. t分布（T-Distribution）：t分布是一种用于小样本情况下的概率分布，它类似于正态分布，但考虑了样本容量较小的情况。
t分布在统计推断和假设检验等方面有广泛的应用。
8. χ²分布（Chi-Square Distribution）：χ²分布是一种用于度量变量之间的独立性和相关性的概率分布。
证明贝塔分布是二项分布的共轭先验
在深入探讨证明贝塔分布是二项分布的共轭先验之前，让我们先来了解一下贝塔分布和二项分布的基本概念。
贝塔分布是概率论和统计学中常用的一种连续概率分布，它用于描述0到1之间的随机变量的概率分布。
贝塔分布的概率密度函数形式为：[ f(x; , ) = x{}(1-x){} ]其中，() 和 () 是分布的参数，而 (B(, )) 是贝塔函数。
贝塔分布常用于描述概率或比率的分布，例如成功的概率、事件发生的频率等。
而二项分布则是描述在 n 次独立重复的是/非试验中成功的次数的离散概率分布。
如果每次试验成功的概率为 p ，失败的概率为 1-p ，则在 n 次独立重复试验中成功的次数 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布。
了解了贝塔分布和二项分布的基本概念后，我们来探讨一下证明贝塔分布是二项分布的共轭先验这个主题。
在贝叶斯统计中，共轭先验是一种重要的性质，它指的是如果后验分布和先验分布属于同一分布族，那么这个先验分布就被称为后验分布的共轭先验。
据证明，如果我们假设二项分布的参数 ( p ) 的先验分布是贝塔分布，那么在给定二项分布的观测数据后，后验分布也将是一个贝塔分布。
这一性质使得贝塔分布成为二项分布的共轭先验。
我们假设二项分布的参数 ( p ) 的先验分布为贝塔分布，即：[ X (n, p) ] [ p (, ) ]其中， ( X ) 是观测数据，表示成功的次数； ( n ) 是重复试验的次数； ( p ) 是成功的概率； ( ) 和 ( ) 是贝塔分布的参数。
接下来，我们根据贝叶斯定理，可以得到参数 ( p ) 的后验分布为：[ p | X (+ X, + n - X) ]这意味着给定二项分布的观测数据后，参数 ( p ) 的后验分布仍然是一个贝塔分布，其参数是根据先验分布的参数和观测数据进行了更新。
这就是贝塔分布是二项分布的共轭先验的证明过程。
在实际应用中，利用贝塔分布作为二项分布参数 ( p ) 的先验分布，可以更加灵活和方便地进行贝叶斯推断。
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二项分布的经验贝叶斯估计
作者:陈银辉
学位授予单位:中山大学
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