第四章衍射
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光学 第四章光的衍射
1
杨氏双缝
2
3 4
薄膜
劈尖 牛顿环
5 迈克尔逊干涉仪
1 杨氏双缝 θ δ = d sin + kλ ={ λ + ( 2 k + 1) 2
( k =0,1,2,... ) 明纹 ( k =0,1,2,... ) 暗纹
明条纹的位置： + k λ x = D d
相邻两明纹或暗纹的间距：
λ Δx = D d
三、光栅(Grating) 1 基本概念 (1)光栅 (2)光栅常数(Grating Constant)
2 光栅衍射的本质 透射光栅的实验装置图
光栅衍射图样是单缝衍射和多缝干涉的 综合结果。
屏
b a
f
0
x
a d= a + b
b 缝宽 不透光部分宽度 4 6 ~ 10 ~ 10 m 光栅常数
3 光栅衍射图样的描述 ① 产生主极大的条件
例 在通常亮度下，人眼睛瞳孔直径约 为3mm，问人眼的最小分辨角是多大？ 远处两根细丝之间的距离为2.0mm，问 离开多远时恰能分辨？
五、X射线(X-ray) 布拉格条件(Bragg Condition)：
当 时， 原子散射线相干加强。波动性的体现。
布喇格父子(W.H.Bragg, W.L.Bragg)
一、基本概念 1 衍射现象 光在传播过程中遇到障碍物时，能够绕 过障碍物的边缘前进，光的这种偏离直线 传播的现象称为光的衍射现象。
屏幕 阴 影
屏幕
缝较大时， 光是直线传播的
缝很小时， 衍射现象明显
2 衍射的本质（惠更斯—菲涅尔原理） (Huygens-Fresnel Principle)
波阵面S 上每个面元 ds 都可以看成是发 出球面子波的新波源，空间任一点 P 的振 动是所有这些子波在该点的相干叠加。
杨氏双缝
2
3 4
薄膜
劈尖 牛顿环
5 迈克尔逊干涉仪
1 杨氏双缝 θ δ = d sin + kλ ={ λ + ( 2 k + 1) 2
( k =0,1,2,... ) 明纹 ( k =0,1,2,... ) 暗纹
明条纹的位置： + k λ x = D d
相邻两明纹或暗纹的间距：
λ Δx = D d
三、光栅(Grating) 1 基本概念 (1)光栅 (2)光栅常数(Grating Constant)
2 光栅衍射的本质 透射光栅的实验装置图
光栅衍射图样是单缝衍射和多缝干涉的 综合结果。
屏
b a
f
0
x
a d= a + b
b 缝宽 不透光部分宽度 4 6 ~ 10 ~ 10 m 光栅常数
3 光栅衍射图样的描述 ① 产生主极大的条件
例 在通常亮度下，人眼睛瞳孔直径约 为3mm，问人眼的最小分辨角是多大？ 远处两根细丝之间的距离为2.0mm，问 离开多远时恰能分辨？
五、X射线(X-ray) 布拉格条件(Bragg Condition)：
当 时， 原子散射线相干加强。波动性的体现。
布喇格父子(W.H.Bragg, W.L.Bragg)
一、基本概念 1 衍射现象 光在传播过程中遇到障碍物时，能够绕 过障碍物的边缘前进，光的这种偏离直线 传播的现象称为光的衍射现象。
屏幕 阴 影
屏幕
缝较大时， 光是直线传播的
缝很小时， 衍射现象明显
2 衍射的本质（惠更斯—菲涅尔原理） (Huygens-Fresnel Principle)
波阵面S 上每个面元 ds 都可以看成是发 出球面子波的新波源，空间任一点 P 的振 动是所有这些子波在该点的相干叠加。
第四章 衍射
第二类瑞利－索末菲衍射只需对E的导 数施加边界条件
1 EII P 4 E G ds n
平面上两种格林函数的导数
G P exp jkr 1 1 cos n, r jk G n n r r
格林定理的化简
在S及V中， E和G均满足波动方程，即
2 E k 2 E 0 2 G k 2G 0
格林定理的左边因此可写成
G E E G dv k EG GE dv 0
2 2 2 V V
格林定理的右边因此变成
G E
G exp jkr 1 exp jkr cos n, r jk n n r r r
求小球半径为零的极限
对于S3上的点，格林函数对法线的方向导数为
G 1 exp jk jk n
2
E 1 0 n E cos n, r0 jk r 0 0
G E
S3
n E G n ds 4 2 G E n E G n 0
由基尔霍夫分析知 4 E P 1 E P G E n E G n ds 4 S0 S1 S2
S0+ S1 + S2上的积分
球面S0上，显然，G和G0都能使得索末菲远场 辐射条件成立，故S0球面上的积分为零 平面上，G—恒为零，S1范围内，E=0；S2 范围内，E等于入射光场，因此，只有S2即 平面上的积分不为零 第一类瑞利－索末菲衍射为
G G 1 1 EI P E ds E ds 4 S2 n 4 n
第四章光的衍射-PPT课件
0
1
七、干涉和衍射的联系与区别
干涉和衍射都是波的相干叠加， 但干涉是 有限多个分立光束的相干叠加， 衍射是波阵面
上无限多个子波的相干叠加。 二者又常出现在 同一现象中。 双缝干涉是干涉和衍射的共同效果。
§3 光栅衍射
一、光栅
大量等宽等间距的平行狭缝(或反射面) 构成的光学元件。 从工作原理分
衍射光栅 (透射光栅)
1 I / I0
相对光强曲线
0.017 0.047
2 a
0.047 0.017 0
a
a
2 a
sin
•波长对衍射条纹的影响
•缝宽对衍射条纹的影响
•单缝位置对衍射条纹的影响
•光源位置对衍射条纹的影响
条纹在屏幕上的位置与波长成正比，如果用白 光做光源，中央为白色明条纹，其两侧各级都 为彩色条纹。该衍射图样称为衍射光谱。 3 -2 -1 2 3
A C a
f
o
x
P
B
L
分割成偶数个半波带， P 点为暗纹。
分割成奇数个半波带， P 点为明纹。
二、加强减弱条件
A C a
f
o
x
P
B
L
( k 1 , 2 )减弱 2k 2 a sin k 1 , 2 )加强 （ 2k 1 ） ( 2
B
1 2 3
I
2. 明纹位置
A C a
f
o
3 2 1
2 1
x
P
B
L
x （ 2 k 1 ） k 1 , 2 ) 2 a ( 3f x1 两条，对称分布屏幕中央两侧。 2a 其它各级明纹也两条，对称分布。
第四章光的衍射
d
0
Q
R
S
n
dU (P) U0 (Q) 瞳函数
dU (P) d
次波中心面
r
dU (P) dU (P) eikr
r
元面积 球面波
P dU (P) F(0, ) 倾斜因子
dU (P)
KF(0, )U0 (Q)
eikr r
d
dU(P)
KF (0 ,
基尔霍夫（G. Kirchhoff，1882）边界条件
取一个封闭曲面， Σ=Σ0+Σ1+Σ2
1
基尔霍夫边界条件：
i） Σ0全透
S
2
ii） Σ1全遮蔽
0 P
dU (P) 0 1
1
iii） Σ2积分为0
dU (P) 0 2
仅需要对区域Σ0，求积分即可 仅屏上对透光区域求积分即可
定性而不能定量不能准确回 答振幅、位相的传播问题
6
惠更斯-费涅耳原理：空间某点的振动可看作波前上所有面元所发 次波在该点的相干迭加，数学上表述为：
U ( p) dU ( p)
d
Q
S
r
dU (P) P
7
次波的复振幅
• 选取波前Σ上任一个次波中心Q，及Q点周围一面积元dΣ
• 可以先求出该面积元发出的球面次波在场点P处引起的复 振幅dŨ(P)
光孔和接收范围都满足傍轴条件：
U (x, y) ei /2
r0
U0 (x, y)eikrdxdy
0
13
3. 巴俾涅（A. Babinet，1837）原理
互补屏衍射场的复振幅之和等于自由传播波场，表述为：
光学 第四章光的衍射
解:（1）
（2） 出现缺极情况， 用缺极条件
d k k a 此题：k 3 k 1
（3）在选定了上述 射角
和
之后，求在衍
范围内可能观察到的
全部主级大的级次？
k max
d sin
2 4
实际可能观察到 k=0 +1 -1 +2 –2 （k=+3 -3缺级； k=+4 -4 实际无法 看到 ）
一、光的衍射（ diffraction of light ）
★ 定义 光在传播过程中能够 绕过障碍物的边缘而 偏离直线传播的现象。 ★ 现象示意图 屏幕
缝很小时，衍射现象明显
1. 惠更斯—菲涅尔原理 (Huygens-Fresnel Principle)
① 波前S上各点都可以看作新的发射球面子光 的新光源，在其后任一时刻，这些子波的包 迹形成新的波振面（确定波的传播方向） ② 空间任一点的光振动是所有子光在该点的相 干叠加。（确定衍射图样中的光强分布） 惠更斯：子波的概念 菲涅尔：子波干涉（子波相干叠加）的思想
6 光栅光谱 ① 在垂直入射时，中央是零级明纹。 无光谱。 ② 完整光谱： 没有重叠的清晰光谱
条件：
③ 光栅的分辨本领R R kN
5、光栅光谱 如果复色光投射在光栅上， 在屏上将出现光栅光谱。 复色光 屏 φ f 0 x
三级光谱 二级光谱
一级光谱
汞光的光栅光谱
汞光的光栅光谱
汞光的光栅光谱
2. 衍
射 的 分 类
（近场衍射）
（远场衍射）
P
S
（近场衍射）
有限远
P
S
f
（远场衍射）
f
无限远
第四章 衍射
a为圆孔半径
3、艾里斑—中央亮斑: 光强占入射光的84%。 第一暗环的角半径（爱里斑半角宽 ）
0.61
a
or
1.22
D
(4.50)
D为圆孔直径
f t an 很小 , t an sin 1.22
D
f
D
~ U k P0
k
A1 ( P0 ) A2 ( P0 ) A3 ( P0 ) A4 ( P0 )
4.13
(4.14)
由惠更斯-菲涅耳原理:
k Ak f ( k ) rk
k R rk Rb
与k无关 (4.16)
f (k )随k 增大缓慢减小
~ A( P0 ) U P0
~ U k P0
k
A1 ( P0 ) A2 ( P0 ) A3 ( P0 ) A4 ( P0 )
1 A( P0 ) [ A1 (1) n 1 An ] 2 (4.17 )
4.13
自由传播: 孔径ρ→∞
f (k ) 0, Ak 0 1 A( P0 ) A1 ( P0 ) (4.18) 2
照相机镜头的孔径至少应为:
1.22 S 1.22 5.0 107 1.6 105 D 1.952m d 0.05
§4-5 多缝夫琅禾费衍射和光栅
衍射光栅: 任何具有空间周期性的衍射屏。
透射光栅 反射光栅 transmission grating reflexion grating
每两个相邻带的边缘到P0点的距离都相差半波长。这样，由任何相邻 的两带的对应部分发的子波到达P0点时的光程差为：λ／2，亦即相位 相反，这样分成的环形带称为菲涅耳半波带。
第4章 光的衍射
1、实验装置和衍射条纹 、 2、半波带法 、 3、单缝衍射图样特征 、 4、干涉和衍射的区别和联系 、
P B
a
A
θ
O
1、实验装置和衍射条纹
衍射屏为单缝，缝宽为 衍射屏为单缝，缝宽为a , 在A、B上各点都可当作新 单缝 、 上各点都可当作新 的波源，它们发出的子波到达空间某点会相干叠加 相干叠加。 的波源，它们发出的子波到达空间某点会相干叠加。 衍射角为θ的一束平行衍射光， 衍射角为 的一束平行衍射光，经透镜会聚于接收 的一束平行衍射光 屏上的P点 这束光中各子波射线到达P 屏上的 点。这束光中各子波射线到达 点的光程 相位）不相等，有的地方振动加强， （相位）不相等，有的地方振动加强，有的地方振动 减弱。出现一组明暗相间的平行直条纹 明暗相间的平行直条纹。 减弱。出现一组明暗相间的平行直条纹。
P171 例题 、单缝夫琅禾费衍射实验。波长为λ的平行 例题4.1、单缝夫琅禾费衍射实验。波长为λ 光垂直照射在宽度a=5λ的单缝上，缝后有焦距为 光垂直照射在宽度 λ的单缝上，缝后有焦距为40cm 的凸透镜， 的凸透镜，求： （1）透镜焦平面上出现的衍射中央明 ） 纹的宽度；（ ；（2） 级亮纹的宽度 级亮纹的宽度。 纹的宽度；（ ）第1级亮纹的宽度。 级暗纹中心的距离为中央明纹宽度。 解：（1）两个第 级暗纹中心的距离为中央明纹宽度。 ：（ ）两个第1级暗纹中心的距离为中央明纹宽度 第k级暗纹对应的衍射角 级暗纹对应的衍射角 λ sinθ = k a 暗纹对应的位置 暗纹对应的位置
2、衍射的分类 、
（1）菲涅耳衍射（近场衍射）： ）菲涅耳衍射（近场衍射）： 光源S 和接收屏H 离衍射屏G 光源 和接收屏 离衍射屏 的距离有限远 （或其中之一为有限远）。 或其中之一为有限远）。
P B
a
A
θ
O
1、实验装置和衍射条纹
衍射屏为单缝，缝宽为 衍射屏为单缝，缝宽为a , 在A、B上各点都可当作新 单缝 、 上各点都可当作新 的波源，它们发出的子波到达空间某点会相干叠加 相干叠加。 的波源，它们发出的子波到达空间某点会相干叠加。 衍射角为θ的一束平行衍射光， 衍射角为 的一束平行衍射光，经透镜会聚于接收 的一束平行衍射光 屏上的P点 这束光中各子波射线到达P 屏上的 点。这束光中各子波射线到达 点的光程 相位）不相等，有的地方振动加强， （相位）不相等，有的地方振动加强，有的地方振动 减弱。出现一组明暗相间的平行直条纹 明暗相间的平行直条纹。 减弱。出现一组明暗相间的平行直条纹。
P171 例题 、单缝夫琅禾费衍射实验。波长为λ的平行 例题4.1、单缝夫琅禾费衍射实验。波长为λ 光垂直照射在宽度a=5λ的单缝上，缝后有焦距为 光垂直照射在宽度 λ的单缝上，缝后有焦距为40cm 的凸透镜， 的凸透镜，求： （1）透镜焦平面上出现的衍射中央明 ） 纹的宽度；（ ；（2） 级亮纹的宽度 级亮纹的宽度。 纹的宽度；（ ）第1级亮纹的宽度。 级暗纹中心的距离为中央明纹宽度。 解：（1）两个第 级暗纹中心的距离为中央明纹宽度。 ：（ ）两个第1级暗纹中心的距离为中央明纹宽度 第k级暗纹对应的衍射角 级暗纹对应的衍射角 λ sinθ = k a 暗纹对应的位置 暗纹对应的位置
2、衍射的分类 、
（1）菲涅耳衍射（近场衍射）： ）菲涅耳衍射（近场衍射）： 光源S 和接收屏H 离衍射屏G 光源 和接收屏 离衍射屏 的距离有限远 （或其中之一为有限远）。 或其中之一为有限远）。
第四章 X射线衍射方法
需要的角度 尽可能高
强度和分辨 提高弱线强 重视小角度 强度尽可能 准确定位且 率适中 度和分辨率 衍射线 大且重现好 分辨率高
4.1.9 衍射仪操作 开机前准备和检查。开冷却水；检查X射线管窗口 快门是否已关闭，管压、管流表是否指在最小；接通 总电源，开稳压器，将制好的试样插入样品架，关好 防护罩；开热交换器电源，开X射线发生器电源， Ready灯亮后，开X光管电源，交替缓慢升高管压和 管流至所需值。开计算机，设置适当的衍射条件，输 入文件名、样品名等，开X射线快门，开始扫描并存 储衍射数据。测试毕，关快门，响警报，开防护，换 样品，关防护，警报止，重复以上操作，完成所有测 试任务，关快门，缓慢降管压、管流至最小值，关X 光管电源，过一会儿再关X射线发生器电源、热交换 器电源和冷却水，最后关稳压器和总电源。
条 件 靶材 管压(kV) 管流(mA) 一般物相 混合物中微 有机高分子 物相定量 定性分析 量相分析 测定 分析 Cu 35~40 30~40 Cu 35~40 30~40 Cu 35~40 30~40 Cu 35~40 30~40 点阵参数 测定 Cu, Co 35~40 30~40
量程(CPS) 2000~20000 200~4000 RC (s) W(/min) 1, 0.5 2, 4 10~2 ½, 1
(1)“粉样自由落体”装样法——侧槽填样
(2)必要时在样品粉末中掺入等体积的细粒硅胶，但会降强度、 增背景。对黏土矿物，制样时有意使其形成择优取向。
4.1.6 测角仪定位读数校正 衍射仪在使用前必须对测角仪进行一系列的光 路调节、零位和角度读数的校准。这对能否获得良 好的聚焦、正确的角度读数、最佳的分辨率和最大 衍射强度极为重要。 (1) 标样法：2 (d值)可用标准物质的已知峰校准，低 角区用云母，高角区用高纯硅粉。
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k ?1
(k ? 1,2,? )
(4.19 )
?1 ?
Rb ? R? b
(4.20)
?
2 k
?
r2
?
(b
?
h)2
?
r2
?
b2
?
2bh
?
h2
? (r 2 ? b 2 ) ? 2bh
? ? (1)
h
(忽略了高次项 h2)
(r 2 ? b2 ) ? (b ? k ? )2 ? b2
2
? kb? ? ? (2) (忽略了高次项 (kλ/2)2)
合成复振幅:
? A(P0 ) ? U~?P0 ??
?
~ Uk
?P0
?
k
? A1 (P0 ) ? A2 (P0 ) ? A3 ( P0 ) ? A4 ( P0 )?
? U~1?P0 ?? ? ? A1 P0 ei?1
? ? ? ? ? U~2 P0 ? A2 P0 ei(?1?? )
? ? ? ? ?
R?
k ?1
(k ? 1,2,? ) (4.19 )
由(4)式 R ? b ? k? ? 1 ? 1 ? k? ? 1 ? 1 ? 1 (4.22)
Rb
?
2 k
Rb
?
2 k
Rb f
波带片与透镜不同 : (作用与透镜相似) ＊ 一个波带片有许多焦点 , 作上述主焦点外 , 还有一系列
次焦点, f/3、f/5 、f/7、……；还有一系列虚焦点 , -f 、-
圆屏中心总是亮点:
A( P0 ) ? Ak ?1 ( P0 ) ? Ak? 2 ( P0 ) ? ?
?
(? 1) n?1 An ( P0 ) ?
1 2
Ak ?1 ( P0 )
三、矢量图解法
当圆面积孔内包含的不
是整数个半波带时,将半
波带分割为m个更窄的
带环, 小矢量:
??
?
? A1、? A2 、? 、? Am
~ U3
P0
? A3 P0 ei(? 1 ? 2? )
??
?4.13 ?
由惠更斯-菲涅耳原理:
Ak ?
f
(?
k
)
?? rk
k
(4.14 )
?? k ? ? R? 与 k无关 (4.16 )
rk R ? b
f (? k )随 ? k 增大缓慢减小
? A( P0 ) ? U~ ?P0 ?? ? U~k ?P0 ? k ? A1 (P0 ) ? A2 ( P0 ) ? A3 (P0 ) ? A4 ( P0 )?
P S
（2） 夫琅禾费衍射（远场衍射） 障碍物到光源和考察点的距离可认为是无限远，即平行光束衍射。
?
S
P
§4-2 菲涅耳圆孔衍射和圆屏衍射
一、实验现象
圆孔
圆屏 圆屏：衍射中心总是亮斑
二、半波带法
每两个相邻带的边缘到P0点的距离都相差半波长。这样，由任何相邻 的两带的对应部分发的子波到达P0点时的光程差为：λ／2，亦即相位 相反，这样分成的环形带称为菲涅耳半波带。
子波（次波）的波源，在其后的任一时刻，这些子波的 包络面就成为新的波阵面。
t 时刻波面
t+? t时刻波面
· 波传播方向 · · ·
·
u? t 平面波
t+ ?t
··
·
· ·
··t
· ·
·
·
·
· ·
球面波
·
a·
·
·
惠更斯原理可定性地说明衍射现象 ，但不能解释光的衍射 图样中光强的分布。
2、菲涅耳假定： 波在传播过程中，从同一波阵面上各点 发出的子波，经传播而在空间某点相遇时，产生相干叠 加。
d?
?? U~?P ??
?i
2?
(cos ? 0
(? )
?
cos
?
)U~
0
(Q
)
e ikr r
d?
?4.10 ?
5、巴比涅原理
U~a ?P ?? U~b ?P ?? U~0 ?P ? ?4.12 ?
互补屏造成的衍射场中复振幅之和等于自由场的复振幅。
6、衍射的分类
（1） 菲涅耳衍射（近场衍射） 障碍物距光源和考察点的距离（或其中之一）是有限的。
当光遇到小的障碍物（小孔、金属细线）时，也出现偏离直线 传播而进入几何阴影区，并在屏幕上出现光强不均匀的分布的 现象。
干涉和衍射的相同点：
都是相干光叠加引起光强的重新分布
干涉和衍射的区别：
干涉现象是有限个相干光波的叠加， 衍射现象是无限多个相干光波的叠加。
二、惠更斯—菲涅耳原理
1、惠更斯原理： 在波的传播过程中，波阵面（波面） （相位相同的点构成的面）上的每一点都可看作是发射
代表各小环带的贡献, 相邻小矢量角度差:
? /m
m ? ? , 折线 ? 曲线
考虑倾斜因子, 半径 逐渐收缩; 自由传播 时, 如图 4-15c 所示
四、菲涅耳波带片
只让偶数(或只让奇 数)的半波带透光的 波带片, 如图: 可使场点光强增加很 多倍, 作用与透镜相 似。
?k ?
Rb k? ?
R? b
第四章 衍 射
? §4-1 光的衍射现象 惠更斯-菲涅耳原理 ? §4-2 菲涅耳圆孔衍射和圆屏衍射 ? §4-3 夫琅禾费单缝衍射和矩孔衍射 ? §4-4 光学仪器的像分辨本领 ? §4-5 多缝夫琅禾费衍射和光栅 ? §4-6 光栅光谱仪
§4-1 光的衍射现象 惠更斯-菲涅耳原理
一、光的衍射现象
3、菲涅耳衍射积分公式
?? U~?P ??
K
(?
U~0
)
(Q)
F
(?
0
,?
)
e ikr r
d?
?4.6?
（1）波面是一个同相面，其上各点相位相同。
（2）次波在P点的振幅与距离r成反比。
（3）d∑面元所发出的次波的振幅与d∑面积成正比。且随d∑面
元的法线与r之间的夹角θ增大而减小。
?P
r
4、菲涅耳 -基尔霍夫衍射公式
f/3、-f/5 、-f/7、……
＊由于波带片的焦距 f 与波长λ密切相关，因此它的色差比 一般透镜大得多。
＊波带片与普通透镜的比较 : 1、长焦距波带片设计、制作简单 2、面积大、轻便、可折叠 3、适宜远程光通讯、测距及宇航技术 4、在微波、红外、紫外线、 X光成象技术中得到应用。
?4.13 ?
A( P0 ) ?
1 2
[
A1
?
(? 1) n?1 An ]
自由传播: 孔径ρ→∞
(4.17 )
f (? k ) ? 0, Ak ? 0
A( P0 )
?
1 2
A1 ( P0 )
由式(4.17)
( 4.18 )
圆孔中包含奇数个半波带时, 中心是亮点.
圆孔中包含偶数个半波带时, 中心是暗点.
?
2 k
?
R2
? (R ?
h)2
?
r2
?
(b ?
h)2
?
h ? (r 2 ? b2 ) 2(R ? b)
? ? (3)
?
2 k
?
(r 2
? b2) ?
2bh
?
kb?
?
2b(r 2 ? b2 ) 2(R ? b)
?
kb?
R R? b
? ? (4)
将 (2)(3)代入 (1)式 ? k ?
Rb k? ?