材力 第五章
材料力学 第五章扭转变形.强度、刚度条件(6,7,8)汇总
( 4)
例题 6-6
5. 实心铜杆横截面上任意点的切应力为 Ta Ga M e 0 ra ρa I pa Ga I pa Gb I pb 空心钢杆横截面上任意 点的切应力为
b
Tb Gb M e I pb Ga I pa Gb I pb
2
1 dV (dxdydz ) 2 dV dW v dV dxdydz 1 v 2
一、密圈螺旋弹簧
——螺旋角
F
O
d
d ——簧丝横截面的直径 D ——弹簧圈的平均直径
O D
密圈螺旋弹簧 ——螺旋角<5°时的圆柱形弹簧
§4.5
密圈螺旋弹簧的计算
O F
例题 6-6
Me Tb Ta
解： 1. 实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta 和Tb(图b)，但只有一个独立平衡方程 Ta+Tb= Me (1) 故为一次超静定问题。
例题 6-6
Me Tb Ta
2. 位移相容条件为实心杆和空心杆的B截面相对 于A截面的扭转角相等。在图b中都用表示（设 A端固定）。 Ba Bb ( 2)
a
b
ra
ra
a rb
切应力沿半径的变化 情况如图c所示。
ra
rb
(c)
§5-8非圆截面等直杆扭转的概念
圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在平 面假设 的基础上。对于非圆截面杆,受扭时横截面不 再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲 面。这一现象称为截面翘曲。因此,圆轴扭转时的应 力、变形公式对非圆截面杆均不适用。
(2)
材料力学课件第5章
M
zM
x
等截面梁
y
注意 当梁为变截面梁时, max 并不一定
发生在|M|max 所在面上.
22
5.3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲正应力强度条件
h
常用图y形Wz
c b
Wz =Iz /ymax
z
Wz
Iz h
bh3 2 12 h
bh2 6
2
h2
h1
y
c
z
Wz
Iz h1
1 ( b1h13 h1 6
z
于是
M
E
Iz
M
得
1 M
EIz
y
x
代入
E
y得
My
Iz
15
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
常用图形y、Iz
h
y
1.矩形
dy
c
y z
Iz
Ay2 d A
h 2
y2b d y bh3
h 2
12
b
y
同理：
Iy
hb3 12
z
Iz
b1h13 12
b2h23 12
c
b2 b1
同理： I y
h1b13 12
y
12 rp
mn
x2
x
x1
12
dx
'=
x2 FN1
FN2
'=
38
5.4 横力弯曲时梁横截面上的切应力 弯曲切应力强度条件
F
Fx 0
FN 2 FN1 dx b
x1
y
12 rp mn
x2
x
12
dx
材料力学第五章 弯曲应力分析
B
D
1m
1m
1m
y2
20
120
FRA
F1=9kN FRB F2=4kN
A C
BD
1m
1m
1m
2.5 Fs
+
+
4 kN
-
6.5 2.5
M
kNm
-
+
4
解： FRA 2.5kN FRB 10.5kN
88
52
-
+
C 2.5
4 B 80
z
20
120
20
B截面
σ t max
M B y1 Iz
4 • 52 763
20
+
-
+
10
Fs
kN
10
20
30
30
25
25
M
kNm
max
M max W
[ ]
W Mmax 30 187.5cm3
[ ] 160
1)圆 W d 3 187.5
32
d 12.4cm
A d 2 121cm2
4
2）正方形
a3 W 187.5
6
3）矩形
a 10.4cm
A a2 108cm2
压，只受单向拉压. （c）同一层纤维的变形相同。 （d）不同层纤维的变形不相同。
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性轴
中性轴⊥横截面对称轴
中性层
横截面对称轴
二、变形几何关系
dx
dx
图（a）
O
O
zb
O yx b
y
图（b）
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
材料力学第5章-剪力图与弯矩图
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
建立剪力方程和弯矩方程的方法与过程，实际上与前面所 介绍的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和过程是相似的 ，所不同的，现在的指定横截面是坐标为x的横截面。
需要特别注意的是，在剪力方程和弯矩方程中，x是变量， 而FQ(x)和M(x)则是x的函数。
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
例题2
MO=2FPl
FP
B
A
C
l
l
悬臂梁在B、C两处分别承受集中力FP和集中力偶M＝2FPl
的作用。梁的全长为2l。 试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
y
MO=2FPl
O
A
C
l
FP
B l
解：1．确定控制面和分段
本例将通过考察截开截面的右
边部分平衡建立剪力方程和弯矩方 程，因此可以不必确定左端的约束 力。
本章首先介绍如何建立剪力方程和弯矩方程；讨论载荷、 剪力、弯矩之间的微分关系；怎样根据载荷、剪力、弯矩之间 的微分关系绘制剪力图与弯矩图；然后应用平衡、变形协调以 及物性关系，建立确定弯曲的应力和变形公式；最后介绍弯曲 强度设计方法。
第5章 梁的强度问题
工程中的弯曲构件 梁的内力及其与外力的相互关系 剪力方程与弯矩方程 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 剪力图与弯矩图 刚架的内力与内力图 结论与讨论(1)
根据以上分析，不难得到结论： 杆件各截面上内力变化规律随着外力的 变化而改变。
第5章 梁的强度问题
梁的内力及其与外力的相互关系
所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩变 化的函数或变化的图线。这表明，如果在两个外力 作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段梁 所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方程 或者同一图线描述。
材料力学第五章
F l a x
l
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两 侧的两段梁在与梁轴相垂直方 向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力；梁的横截面上作用在 纵向平面内的内力偶矩是与梁 的弯曲相对应，故称为弯矩。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横
截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号
要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如下图。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力——使截开部分梁产生顺时针方向
转动为正；产生逆时针方向转动为负。
(2) 横截面上的弯矩——作用在左侧面上使截开部分 逆时针方向转动，或者作用在右侧截面上使截开部分顺时 针方向转动者为正；反之为负。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定， 称为超静定梁。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
§5.2 梁的内力及其与外力的相互关系
Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(梁的横截面上的两种内力)
图a所示跨度为l的简支梁其
约束力为：
FA
Fl
l
a,
FB
Fa l
梁的左段内任一横截面m－
m上的内力，由m－m左边分离
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。
扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。
(轴)
弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
材料力学
梁的分类
F
q
第五章 梁的剪力图与弯矩图
材料力学第五章
y
= ∫ y dA
2 A
1 1 π ⋅ d4 π ⋅ d4 I y = Iz = I ρ = ⋅ = z 2 2 32 64
1 π ⋅ (D4 − d 4 ) 对空心圆截面： 对空心圆截面： I = I = I = y z ρ 2 64
第五章 弯曲应力
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力
M⋅ y 二、弯曲正应力一般公式： 弯曲正应力一般公式： σ= Iz
Ip
弯曲 剪力Q 剪力
？
第五章 弯曲应力
§5-1 引言 y
梁段
M τ Q
z
σ
横截面上剪应力 横截面上正应力
横截面上内力
Q = ∫τdA
剪应力造成剪力
M = ∫σydA
正应力造成弯矩
剪应力和正应力的分布规律是什么？ 剪应力和正应力的分布规律是什么？
超静定问题
第五章 弯曲应力
§5-1 引言
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力 §5-3 对称弯曲切应力 对称弯曲切应力 弯曲 §5-4 梁的强度条件与合理强度设计 梁的强度条件与合理强度设计 §5-5 双对称截面梁的非对称弯曲 双对称截面梁的非对称弯曲 §5-6 弯拉（压）组合 弯拉（ 对称弯曲（平面弯曲）： 对称弯曲（平面弯曲）： 外力作用在纵向对称面内， 外力作用在纵向对称面内，梁轴线变形 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。
(3)
Mz = ∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M (5) A E 2 E 2 E (5) M z = ∫ ρ y dA = ∫ y dA = ρ I z = M
A
ρ
A
1 M = ρ EIz
第五章 弯曲应力
材料力学第5章弯曲应力
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
z
mn
y
dx
Mzy
Iz
max
Mz Wz
M
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离
IZ:截面对中性轴的惯性矩
M
中性轴
§5-2 惯性矩的计算
一、静矩 P319
y
Sz ydA
A
z dA
zc
c y
S y zdA
yc
A
o
z
分别为平面图形对z 轴和 y 轴的静矩。
ySc Az ydA
F M
F
a
B
F
Fa
5.3 梁弯曲时的正应力
若梁在某段内各横截
面上的弯矩为常量, F
F
a
a
剪力为零, 则该段梁 A 的弯曲就称为纯弯曲。
B
Fs
在 AC 和 DB 段 内 横 截 面上既有弯矩又有剪 M 力, 这种情况称为横 力弯曲或剪切弯曲。
F F
Fa
平面假设
变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为 平面, 并绕垂直于纵对称面的某一轴旋转, 且仍 然垂直于变形后的梁轴线。这就是弯曲变形的 平面假设。
C y'
a
x'
xc
b
注意！C点必须为截面形心。
六、组合截面的惯性矩
Iy Iyi
Iz Izi
例2：求对倒T字型形心 轴yC和zC的惯性矩。
解：1. 取参考轴yOz 2. 求形心
2cm y（yc）
1 c1
6 cm
yc
Ai yi A
y
c 1
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5—3 图示悬臂梁,横截面为矩形,承受载荷F 1与F 2作用,且F 1=2F 2=5 kN,试计算梁内的最
大弯曲正应力,及该应力所在截面上K 点处的弯曲正应力。
解:(1) 画梁的弯矩图:
(2) 最大弯矩(位于固定端):
max 7.5 M kN =
(3) 计算应力: 最大应力:
K 点的应力:
5—4 图示梁,由No22槽钢制成,弯矩M =80 N 、m,并位于纵向对称面(即x-y 平面)内。
试求
梁内的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。
6max max max
227.510176 408066
Z
M M MPa
bh W σ⨯====⨯6max max 33
7.51030
132 ********
K Z
M y M y MPa bh I σ⋅⋅⨯⨯====⨯40
1m F 1
C y 1m F 2 80 K
z
30 M M y
z
y 0 b C
s F ()-
kN
5.2 kN 5
(+)
7、5kNm
x
M
5kN
kNm 5.7
kNm 5
解:(1) 查表得截面的几何性质:
4020.3 79 176 z y mm b mm I cm ===
(2) 最大弯曲拉应力(发生在下边缘点处):
()30max
8
80(7920.3)10 2.67 17610x M b y MPa I σ
-+-⋅-⨯-⨯===⨯ (3) 最大弯曲压应力(发生在上边缘点处):
30max
8
8020.3100.92 17610x M y MPa I σ
---⋅⨯⨯===⨯
5—5图示简支梁,由No18工字钢制成,在集度为q 的均布载荷作用下,测得横截面C 底边的纵
向正应变ε=3、0×10-4,试计算梁内的最大弯曲正应力,已知钢的弹性模量E =200 Gpa,a =1 m 。
解:(1) 求支反力:
31 44
A B R qa R qa ==
(2) 画内力图:
(3) 由胡克定律求得截面C 下边缘点的拉应力为:
q
x
x
F S
M
49
max
3.010*******
C
E MPa
σε
+-
=⋅=⨯⨯⨯=也可以表达为:
2
max
4
C
C
z z
qa
M
W W
σ+==
(4) 梁内的最大弯曲正应力:
2
max
max max
9
9
3267.5
8C
z z
qa
M
MPa
W W
σσ+
====
5—12图示矩形截面木梁,许用应力[σ+]=10MPa。
(1)试根据强度要求确定截面尺寸b;
(2)若在截面A处钻一直径d=60mm的圆孔,试问就是否安全。
（1）解:如图所示为剪力弯矩图,由图可知:
x
kN
3
kN
5
s
F
M
kNm
13
kNm
3x
()-
kNm M 13max -=
26
h b W z =
z
W M max
max =
σ []+≤σσmax
解得:mm
b 125.0≥
(2)
6
125.0125.02⨯=总
z W
34-m 1026.3⨯=
6
03.0125.02
1⨯=z I
35m 10875.1-⨯=
z I =1-z z I I 总
33-z m 1007.3⨯=I
[]+≤==
σσMPa W M A
79.7z
所以安全
5—13 图示槽形截面悬臂梁,F =10 kN,M e =70 kNm,许用拉应力[σ+]=35 MPa,许用压应力
[σ-]=120 MPa,试校核梁的强度。
解:(1) 截面形心位置及惯性矩:
z C
112212(150250)125(100200)150
96 (150250)(100200)
C A y A y y mm A A ⋅+⋅⨯⋅+-⨯⋅=
==+⨯+-⨯
332
284
1505025200(15050)(25)2(25200)(150)12121.0210 zC
C C I y y mm ⎡⎤⨯⨯=+⨯⋅-++⨯⋅-⎢⎥
⎣⎦=⨯ (2) 画出梁的弯矩图:
(3) 计算应力
A +截面下边缘点处的拉应力及上边缘点处的压应力分别为:
68(250)
4010(25096)60.4 1.0210C A A zC M y MPa I σ
++
+⋅-⨯-=
==⨯
68
40109637.61.0210
C
A A zC
M y MPa I σ-
++
⋅⨯⨯=
==⨯ A -截面下边缘点处的压应力为:
68
(250)
3010(25096)45.3 1.0210C A A zC
M y MPa I σ
--
-⋅-⨯-=
==⨯
可见梁内最大拉应力超过许用拉应力,梁不安全。
5—14图示铸铁梁,载荷F 可沿梁AC 水平移动,其活动范围为0<η<3l/2,试确定载荷F 的许用值。
已知许用拉应力[σt ]=35MPa,许用压应力[σc ] =140MPa,l=1m 、
M x
40kNm
30kNm
(+)
(-)
10kNm
s F
kN 10
()+
解:y c =(
020
.0080.0020.0010.0060
.0020.0080.0010.0020.0100.0⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯)m=0、03222m
]m )03222.0060.0(080.0020.012080.0020.002222.0020.0100.012020.0100.0[4232
3-⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯=z I 46-m 10142.3⨯=z I
分析可知可能的危险面有两个:当F 作用在AB 段时,危险位置就是:
η=
2l ,4
max Fl M =+ 此时剪力弯矩图如图所示:
2
F ()+
s F
4
Fl M
()+
20
100
20
80
100
c y
20
20
80
y
当F 作用在BC 段时,危险位置就是:
η=23l ,|-m ax M |=2
Fl 此时剪力弯矩图如图所示:
确定载荷F 的许用值:
由危险面B 的压力强度要求:
[]c c z
c c y I Fl
y M σσ≤-=-⨯=)100.0(2)100.0(I | |z -max max ,
得:
F ≤）（c y -000.1l ]
2Iz[c σ=）（03222.0-100.01.00010140103.14226-6⨯
⨯⨯⨯⨯N =N N k 98.1210298.14=⨯
由截面B 的拉应力强度要求:
][2|M |-max max t t C Z
c z y I fl
y I σσ≤==，
得:
kN N N
ly I F c t z 83.61083.6)
03222.0100.0(000.11014010142.32][2366=⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯=≤-σ
由+
m ax M 作用面的拉应力强度要求:
][-100.04-100.0|M |max max t t C Z
c z y I Fl y I σσ≤==+）（）（， 得
()+
()-
()-
F
2
F s F
M
2
Fl
kN N N
y l I F c t z 49.61049.6)
03222.0100.0(000.1103510142.34-100.0][4366=⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯=≤-）（σ
比较以上结果,最后确定取载荷的许用值为:
F=6、49kN。