例析抽象函数的周期性
高中数学抽象函数专题含答案-教师版
抽象函数周期性的探究(教师版)抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.而在教学中我发现同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难 ,所以特探究一下抽象函数的周期性问题.利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法 .此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题.以下给出几个命题：命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x) 是周期函数.(1)函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.(2)函数y=f(x)满足f(x+a)=1f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.(3)函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.命题2：若a、b(a b )是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.(1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期.(2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期.命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x) 是周期函数.(1)若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a 是它的一个周期.(2)若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a 是它的一个周期.我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3 (1)，其他命题的证明基本类似.设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数.条件B: f(x)关于x=a对称条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期.结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个.证明: ①已知A、B→ C (2001年全国高考第22题第二问)∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x)又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期②已知A、C→B∵定义在R上的函数f(x)是一个偶函数∴f(-x)=f(x)又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x+2a) ∴ f(x)关于x=a对称③已知C、B→A∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x) ∴f(x)是R上的偶函数T由命题3(2)，我们还可以得到结论:f(x)是周期为T的奇函数，则f( )=02基于上述命题阐述，可以发现，抽象函数具有某些关系.根据上述命题，我们易得函数周期，从而解决问题，以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用.1.求函数值例1：f(x) 是R上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x∈[0，2]时f(x)=x，求f(2007) 的值解：方法一∵f(x)=－f(x+4) ∴f(x+8) =－f(x+4) =f(x)∴8是f(x)的一个周期∴f(2007)= f(251×8-1)=f(-1)=－f(1)=－1方法二∵f(x)=－f(x+4)，f(x)是奇函数∴f(-x)=f(x+4) ∴f(x)关于x=2对称又∵f(x)是奇函数∴8是f(x)的一个周期，以下与方法一相同.例2：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值解：由条件知f(x)1，故f (x + 2) =：f (x + 4) = = 1f(x)类比命题1可知，函数f(x)的周期为8，故f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=22. 求函数解析式例3：已知f(x)是定义在R上的偶函数， f(x)= f(4-x)，且当x[2,0]时， f(x)=－2x+1，则当x [4,6]时求f(x)的解析式解：当x [0,2]时x [2,0] ∴f(－x)=2x+1∵f(x)是偶函数∴f(－x)=f(x) ∴f(x)=2x+1当x [4,6]时 4 + x [0,2] ∴f(－4+x)=2(－4+x)+1=2x－7又函数f(x)是定义在R上的偶函数， f(x)= f(4-x)，类比命题3 (1)知函数f(x)的周期为4故f(-4+x)=f(x)∴当x [4,6]时求f(x)=2x－73.判断函数的奇偶性例4：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=1f(x)，f(999+x)=f(999－x)，试刘云汉判断函数f(x)的奇偶性.解：由f(x+999)=一1f(x)，类比命题1可知，函数f(x)的周期为1998即f(x+1998)=f(x)；由f(999+x)=f(999－x)知f(x)关于x=999对称，即f(－x)=f(1998+x)故f(x)=f(－x) ：f(x)是偶函数 4.判断函数的单调性例5：已知f(x)是定义在R 上的偶函数， f(x)= f(4-x)，且当x =[一2,0]时， f(x)是减函数， 求证当x =[4,6]时f(x)为增函数解：设4 共 x < x 共 6 则一2 共 一x + 4 < 一x + 4 共 01 2 2 1∵ f(x)在[-2，0]上是减函数∴ f (一x + 4) > f (一x + 4)2 1又函数f(x)是定义在R 上的偶函数， f(x)= f(4-x)，类比命题3 (1)知函数f(x)的周期为 4故f(x+4)=f(x ) ∴ f (一x ) > f (一x ) ∵ f(-x)=f(x) ∴ f (x ) > f (x )2 1 2 1故当 x =[4,6]时f(x)为增函数例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a ∈ [5，9]且f(x) 在[5，9]上单调.求a 的值.解：∵ f(x)=-f(6-x ) ∴f(x)关于(3，0)对称∵ f(x)= f(2-x ) ∴ f(x)关于x=1对称∴根据命题2 (4)得8是f(x)的一个周期 ∴f(2000)= f(0) 又∵f(a) =-f (2000) ∴f(a)=-f(0)又∵f(x) =-f(6-x) ∴f(0)=-f(6) ∴f(a)=f(6)∵a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调∴a =6 5.确定方程根的个数例7：已知f(x)是定义在R 上的函数， f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0， 求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？解：依题意f(x)关于x=2，x=7对称，类比命题2 (2)可知f(x)的一个周期是10故f(x+10)=f(x ) ∴f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0即在区间(0，10]上，方程f(x)=0至少两个根又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根，因此方程f(x)=0在区间[－1000，1000]上至少有1+2人200010=401个根.两类易混淆的函数问题：对称性与周期性已知函数 y = f (x ) (x ∈R)满足 f (5+x ) = f (5－x )，问： y = f (x )是周期函数吗它的图像是不是轴对称图形已知函数 y = f (x ) (x ∈R)满足 f (5+x ) = f (5－x )，问： y = f (x )是周期函数吗它的图像是不是轴对称图形这两个问题的已知条件形似而质异。
对抽象函数周期性的认识
对抽象函数周期性的认识麻城实验高中 阮 晓 锋对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
可见周期函数是一类特殊的函数，下面就谈谈我对抽象函数周期性的认识。
几种特殊的抽象函数的周期：设函数()y f x =对定义域内任一实数x 满足：（1）()(x)f x T f ±=(T ≠0），则T 是函数()y f x =的一个周期，且kT （k єZ)也是其周期 推论：若(+)=(+)f x a f x b ，则T=b-a 是函数()y f x =的一个周期。
（2)()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； 推论：若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件)()(b x f x a f --=+，则)(x f y =是 以)(2b a T +=为周期的周期函数。
(3）()()1f x a fx +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；（4）()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；（5）1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.（6）()+1(+)=()-1f x f x a f x ，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.（7）1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.（8）1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.（9）若函数f(x)有一条对称轴x=a 和一个对称点(b,c)，那么该函数一定为周期函数，且 其中一个周期为T ＝4|a －b|推论：若奇函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），则其周期为4T a =。
高中数学知识点;抽像函数周期性公式(基础知识总结)
高中数学抽线函数周期性难题解题技巧（名师总结）今天跟同学们分享一个专题就是抽象函数怎么想周期，同学们抽象等式给到我们的时候有的时候，有得时候让我们找周期性、找对称中心、看奇偶函数等等一系列的问题，同学内题型还是比较困扰同学们的，今天就给同学分享一下抽象函数找周期性的问题！今天通过4个例题的讲解，同学们在遇到这类题型的时候，就知道是找抽象函数周期行的题型！函数周期性技巧原理讲解：首先这是定义是对每一位同学基本的要求，你必须要要掌握，同学们考试的时候给我们的周期式肯定不会这样简单，比如说f(x+8)=f(x)那么一目了然就知道周期式8，同学们这类题的考察本质是函数周期，那么它一定不会给那么简单地式子，而他会隐身给周期的解析式；接下来老师会分享四个抽象等式的式子，同学能够完全记住，在以后做题的时候才能节约时间；接下看一下不等式的两种出现方式；同学先讲两个f()型的题型，两个f()型我们要找到周期原本的定义，那怎么来找出周期的本质定义了，这里来看老师的具体讲解，怎样来理解；接下来；老师会由浅入深给同学讲一些难点，能够做到循序渐进；接下来要注意了，重点来了，这个式子两两个都是复杂，同学们分享到这里，同学以后做题的时候对函数周期的了解、掌握不仅仅局限于定义式，而是这四个你都要记住，这里重要说一个知识点：第二个式子与第三个式子其实是一个类型的，二式m为正、三式前面有负号，这里正负其实没有关系，只要是这种形式那么周期一定等于a的2倍:第四式是绝对值括号内部相减，绝对值括号内x+a-x-b,这个时候正x、负x约掉就是绝对值a减b或者b减a,接下来要解决这样的问题，就要掌握什么样的情况想周期、什么情况想奇偶性、什么情况想对称轴、什么情况想对称中心，要解决这些问题老师给同学们总结了一句话，这句话是非常重要的。
只要把这句话掌握清楚明白周期一眼就能看出来；此类抽象等式：当f()内x前系数相同时一定想周期！我们来看一下前面的不等式是不是这么一会事了，不要想要眨眼，是时候表演真正的技巧了：这里讲的是正常周期，正常周期是f()外侧的系数相同，等式中f()外面的系数的绝对值是相等的；今天没有分享内周期，所以不要抬杠！接着分享：上面讲的都是两个f()型，这道题函有三个f()型；这里体现了数学的逻辑性，是一环扣一环的，如果没有看懂，可以找老师要视频资料；好的这道就把周期给大家解决掉，我可以告诉大家，这道题的答案是1，同学可以自己算，我把最重要的东西给大家搞定就可以了，接着在看一题，今天分享抽象函数周期型那题尽分享完了，这篇文章有对应的视频资料，需要的可以联系老师！。
抽象函数常见题型解法
抽象函数常见题型解法抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。
常见的特殊模型:目录：一.定义域问题 二、求值问题 三、值域问题 四、解析式问题 五、单调性问题 六、奇偶性问题七、周期性与对称性问题 八、综合问题一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。
例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 。
解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。
评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ϕ的定义域问题，相当于解内函数()x ϕ的不等式问题。
练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x f 3log 21 的定义域。
例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。
[]11log ,13 评析： 已知函数()()x f ϕ的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。
相当于求内函数()x ϕ的值域。
11≤≤-x练习：定义在(]8,3上的函数f(x)的值域为[]2,2-，若它的反函数为f -1(x)，则y=f -1(2-3x)的定义域为，值域为 。
(]8,3,34,0⎥⎦⎤⎢⎣⎡二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。
怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;例3.①对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. 解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：,)]1([2)()1(,1,2f n f n f y n x +=+==得令 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, 令x=y=0,得：f(0)=0,∴f(1)=21,.22001)2001(f ,2n )n (f ,21f(n)-1)f(n =∴==+故即②R 上的奇函数y=f(x)有反函数y=f -1(x),由y=f(x+1)与y=f -1(x+2)互为反函数，则f(2009)= . 解析：由于求的是f(2009)，可由y=f -1(x+2)求其反函数y=f(x)-2,所以f(x+1)= f(x)-2，又f(0)=0,通过递推可得f(2009)=-4918.例4.已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)=1,且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.1解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1. 而f(x+5)≥f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5 , 又f(x+1)≤f(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1即 g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x). 所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1), 故g(x)=g(x+1) 又g(1)=1, 故g(2002)=1.练习： 1. f(x)的定义域为(0,)+∞，对任意正实数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则f = （12）2.的值是则且如果)2001(f )2000(f )5(f )6(f )3(f )4(f )1(f )2(f ,2)1(f ),y (f )x (f )y x (f ++++==+ 。
重难点2-4-抽象函数及其性质8大题型(解析版) (1)
重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。
抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。
一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性；3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性；4、换x 为+x T 确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为：()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为：()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f . 三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式；2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式. 四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口；3、抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。
抽象函数单调性、奇偶性、周期性和对称性典例分析
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性一、典例分析1.求函数值例1.设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于（ ）（A ）0.5;（B ）-0.5; （C ）1.5; （D ）-1.5.例2．已知)(x f 是定义在实数集上的函数，且[])(1)(1)2(x f x f x f +=-+，,32)1(+=f 求)1989(f 的值.(1989)f = 。
2、比较函数值大小例3.若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，当[]1,0∈x 时，,)(19981xx f =试比较)1998(f 、)17101(f 、)15104(f 的大小.3、求函数解析式例4.设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上且以2为周期的函数，对Z k ∈，用k I 表示区间),12,12(+-k k 已知当0I x ∈时，.)(2x x f =求)(x f 在k I 上的解析式.例5．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，.4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式.4、判断函数奇偶性例6.已知)(x f 的周期为4，且等式)2()2(x f x f -=+对任意R x ∈均成立，判断函数)(x f 的奇偶性.5、确定函数图象与x 轴交点的个数例7.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f ,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点.6、在数列中的应用例8.在数列{}n a 中，)2(11,3111≥-+==--n a a a a n n n ，求数列的通项公式，并计算.1997951a a a a ++++7、在二项式中的应用例9.今天是星期三，试求今天后的第9292天是星期几？8、复数中的应用例10.（XX 市1994年高考题）设)(2321是虚数单位i i z +-=，则满足等式,z z n =且大于1的正整数n 中最小的是()（A ） 3 ； （B ）4 ； （C ）6 ； （D ）7.9、解“立几”题例11.ABCD —1111D C B A 是单位长方体，黑白二蚁都从点A 出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。
抽象函数解题方法与技巧
抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1、定义在x ∈R 上的函数y=fx ,满足fx+a=fx -a 或fx -2a=fxa >0恒成立,则y=fx 是周期为2a 的周期函数；2、若y=fx 的图像关于直线x=a 和x=b 对称,则函数y=fx 是周期为2|a -b|的周期函数；3、若y=fx 的图像关于点a,0和b,0对称,则函数y=fx 是周期为2|a -b|的周期函数；4、若y=fx 的图像有一个对称中心Aa,0和一条对称轴x=ba ≠b ,则函数y=fx 是周期为4|a -b|的周期函数；5、若函数y=fx 满足fa+x=fa -x ,其中a>0,且如果y=fx 为奇函数,则其周期为4a ；如果y=fx 为偶函数,则其周期为2a ；6、定义在x ∈R 上的函数y=fx ,满足fx+a=-fx ()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或,则y=fx 是周期为2|a|的周期函数；7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=fx 是周期为4a 的周期函数；8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=fx 是周期为2a 的周期函数;7、8应掌握具体推导方法,如7 函数图像的对称性：1、若函数y=fx 满足fa+x=fb -x ,则函数y=fx 的图像关于直线2a b x +=对称；2、若函数y=fx 满足fx=f2a -x 或fx+a=fa -x ,则函数y=fx 的图像关于直线x=a 对称；3、若函数y=fx 满足fa+x+fb -x=c ,则y=fx 的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形； 4、曲线fx,y=0关于点a,b 的对称曲线的方程为f2a -x,2b -y=0； 5、形如()0,ax by c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线,由常数分离法 ()()()()()()()1111212112()()11f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++d ad ad a x b ba c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知：对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭；6、设函数y=fx 定义在实数集上,则y=fx+a 与y=fb -x 的图像关于直线2b a x -=对称；7、若函数y=fx 有反函数,则y=fa+x 和y=f -1x+a 的图像关于直线y=x+a 对称;一、换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法,它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知f1+sinx=2+sinx+cos 2x , 求fx二、方程组法 运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题;例2．.232|)(:|,)1(2)(),)(,(≥=-=x f x x f x f x f x f(x)y 求证且为实数即是实数函数设三、待定系数法如果抽象函数的类型是确定的,则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题; 例3．已知fx 是二次函数,且fx+1+fx -1=2x 2-4x ,求fx .四、赋值法有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决; 例4．对任意实数x,y ,均满足fx+y 2=fx+2fy 2且f1≠0,则f2001=_______. 例5．已知fx 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的实数a,b 都满足 fab=afb+bfa. 1求f0,f1的值；2判断fx 的奇偶性,并证明你的结论;五、转化法 通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系,为问题的解决带来极大的方便.例6．设函数fx 对任意实数x,y ,都有fx+y=fx+fy ,若x>0时fx<0,且f1= -2, 求fx 在-3,3上的最大值和最小值;例7．定义在R +上的函数fx 满足： ①对任意实数m ,fx m =mfx ； ②f2=1. 1求证：fxy=fx+fy 对任意正数x,y 都成立； 2证明fx 是R +上的单调增函数； 3若fx+fx -3≤2,求x 的取值范围;六、递推法 对于定义在正整数集N 上的抽象函数,用递推法来探究,如果给出的关系式具有递推性,也常用递推法来求解.例8．已知fx 是定义在R 上的函数,f1=1,且对任意x ∈R 都有fx+5≥fx+5,fx+1≤fx+1;若gx=fx+1-x ,则g2002=_________.模型法模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体的函数模型,再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法; 应掌握下面常见的特殊模型：=_____________ 例11．设定义在R 上的函数fx ,满足当x>0时,fx>1,且对任意x,y ∈R ,有fx+y=fxfy,f1=2 1解不等式f3x -x 2>4；2解方程fx 2+12fx+3=f2+1 例12．已知函数fx 对任何正数x,y 都有fxy=fxfy ,且fx ≠0,当x>1时,fx<1;试判断fx 在0,+∞上的单调性,并说明理由;函数性质练习1. 已知函数为偶函数,则的值是A. B. C. D.2. 若偶函数在上是增函数,则下列关系式中成立的是)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f m 1234)(x f (]1,-∞-A. B.C. D.3. 如果奇函数在区间 上是增函数且最大值为,那么在区间上是A. 增函数且最小值是B. 增函数且最大值是C. 减函数且最大值是D. 减函数且最小值是4. 设是定义在上的一个函数,则函数在上一定是 A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数5. 下列函数中,在区间上是增函数的是A. B. C. D. 6. 函数是A. 是奇函数又是减函数B. 是奇函数但不是减函数C. 是减函数但不是奇函数D. 不是奇函数也不是减函数7. 设奇函数的定义域为,若当时,的图象如右图,则不等式的解是8. 函数________________.9. 已知,则函数的值域是.10. 若函数是偶函数,则的递减区间是 .11. 下列四个命题 1; 2函数是其定义域到值域的映射;)2()1()23(f f f <-<-)2()23()1(f f f <-<-)23()1()2(-<-<f f f )1()23()2(-<-<f f f )(x f [3,7]5)(x f []3,7--5-5-5-5-)(x f R )()()(x f x f x F --=R ()0,1x y =x y -=3xy 1=42+-=x y )11()(+--=x x x x f )(x f []5,5-[0,5]x ∈)(x f ()0f x <2y x =+[0,1]x ∈y =2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+)(x f ()f x =3函数的图象是一直线；4函数的图象是抛物线,其中正确的命题个数是____________.12. 已知函数的定义域为,且同时满足下列条件：1是奇函数；2在定义域上单调递减；3求的取值范围.抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1、定义在x ∈R 上的函数y=fx ,满足fx+a=fx -a 或fx -2a=fxa >0恒成立,则y=fx 是周期为2a 的周期函数；2、若y=fx 的图像关于直线x=a 和x=b 对称,则函数y=fx 是周期为2|a -b|的周期函数；3、若y=fx 的图像关于点a,0和b,0对称,则函数y=fx 是周期为2|a -b|的周期函数；4、若y=fx 的图像有一个对称中心Aa,0和一条对称轴x=ba ≠b ,则函数y=fx 是周期为4|a -b|的周期函数；5、若函数y=fx 满足fa+x=fa -x ,其中a>0,且如果y=fx 为奇函数,则其周期为4a ；如果y=fx 为偶函数,则其周期为2a ；6、定义在x ∈R 上的函数y=fx ,满足fx+a=-fx ()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或,则y=fx 是周期为2|a|的周期函数；7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=fx 是周期为4a 的周期函数；8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=fx 是周期为2a 的周期函数;7、8应掌握具体推导方法,如7 函数图像的对称性：1、若函数y=fx 满足fa+x=fb -x ,则函数y=fx 的图像关于直线2a b x +=对称；2、若函数y=fx 满足fx=f2a -x 或fx+a=fa -x ,则函数y=fx 的图像关于直线x=a 对称；2()y x x N =∈22,0,0x x y x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩()f x ()1,1-()f x ()f x 2(1)(1)0,f a f a -+-<a ()()()()()()()1111212112()()11f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++3、若函数y=fx 满足fa+x+fb -x=c ,则y=fx 的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形； 4、曲线fx,y=0关于点a,b 的对称曲线的方程为f2a -x,2b -y=0； 5、形如()0,ax by c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线,由常数分离法 d ad ad a x b ba c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知：对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭；6、设函数y=fx 定义在实数集上,则y=fx+a 与y=fb -x 的图像关于直线2b a x -=对称；7、若函数y=fx 有反函数,则y=fa+x 和y=f -1x+a 的图像关于直线y=x+a 对称;二、换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法,它是解答抽象函数问题的基本方法. 例2. 已知f1+sinx=2+sinx+cos 2x , 求fx解：令u=1+sinx ,则sinx=u -1 0≤u ≤2,则fu=-u 2+3u+1 0≤u ≤2 故fx=-x 2+3x+1 0≤x ≤2二、方程组法 运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题;例2．.232|)(:|,)1(2)(),)(,(≥=-=x f x x f x f x f x f(x)y 求证且为实数即是实数函数设解:xx x f x x f x f x x 323)(,1)(2)1(,1--==-联立方程组，得得代换用三、待定系数法如果抽象函数的类型是确定的,则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题; 例3．已知fx 是多项式函数,且fx+1+fx -1=2x 2-4x ,求fx . 解：由已知得fx 是二次多项式,设fx=ax 2+bx+c a≠0 代入fx+1=ax+12+bx+1+c=ax 2+2a+bx+a+b+c fx -1= ax -12+bx -1+c=ax 2+ b -2ax+a -b+c∴fx+1+ fx -1=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x比较系数得：a=1,b= -2,c= -1 , fx=x 2-2x -1.四、赋值法有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决; 例4．对任意实数x,y ,均满足fx+y 2=fx+2fy 2且f1≠0,则f2001=_______. 解：令x=y=0,得：f0=0,令x=0,y=1,得f0+12=f0+2f12,∵f1≠0 ∴f1= . 令x=n,y=1,得fn+1=fn+2f12=fn+ 即fn+1-fn = 12,故fn = 2n ,f2001= 20012例5．已知fx 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的实数a,b 都满足 fab=afb+bfa. 1求f0,f1的值；2判断fx 的奇偶性,并证明你的结论; 3若f2=2,u n =f2n n ∈N ,求证：u n+1>u n n ∈N . 解：1令a=b=0,得f0=0,令a=b=1,得f1=0.2fx 是奇函数;因为：令a=b=-1,得f -1-1=-f -1-f -1,f -1=0, 故f -x=f -1x= -fx+xf -1= -fx ,故fx 为奇函数. 3先用数学归纳法证明：u n =f2n >0 n ∈N 略五、转化法 通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系,为问题的解决带来极大的方便.例6．设函数fx 对任意实数x,y ,都有fx+y=fx+fy ,若x>0时fx<0,且f1= -2,求fx 在-3,3上的最大值和最小值;解：令x=y=0,得f0=0,令y=-x ,得f -x+fx=f0=0,即fx 为奇函数. 设x 1<x 2,则x 2-x 1>0,由已知得fx 2-x 1<0,故fx 2=fx 2-x 1+x 1=fx 2-x 1+fx 1< fx 1 所以fx 是R 上的减函数,又f3=f1+f2=3f1=-6,f -3=6 故fx 在-3,3上的最大值为6,最小值为-6.例7．定义在R +上的函数fx 满足： ①对任意实数m ,fx m =mfx ； ②f2=1. 1求证：fxy=fx+fy 对任意正数x,y 都成立； 2证明fx 是R +上的单调增函数； 3若fx+fx -3≤2,求x 的取值范围;解：1令x=2m ,y=2n ,其中m,n 为实数,则fxy=f2m+n =m+nf2=m+n .1212又fx+fy=f2m +f2n =mf2+nf2=m+n ,所以fxy=fx+fy 2证明：设0<x 1<x 2,可令m<n 且使x 1=2m ,x 2=2n 由1得fx 1-fx 2=12x f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=f2m -n=m -nf2=m -n<0故fx 1<fx 2,即fx 是R +上的增函数;3由fx+fx -3≤2及fx 的性质,得fxx -3≤2f2=f4 解得 3<x ≤4;六、递推法 对于定义在正整数集N 上的抽象函数,用递推法来探究,如果给出的关系式具有递推性,也常用递推法来求解.例8．已知fx 是定义在R 上的函数,f1=1,且对任意x ∈R 都有fx+5≥fx+5,fx+1≤fx+1;若gx=fx+1-x ,则g2002=_________.解：由fx+1≤fx+1得fx+5≤fx+4+1≤fx+3+2≤fx+2+3≤fx+1+4 又∵fx+5≥fx+5 ∴fx+5≤fx+1+4 ∴fx+1≤fx+1 又∵fx+1≤fx+1 ∴fx+1=fx+1又∵f1=1 ∴fx=x gx=fx+1-x=1,故g2002=1;模型法模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体的函数模型,再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法; 应掌握下面常见的特殊模型：=_____________ 分析：因为函数fx 恒满足f2+x= f2-x ,方程fx=0有5个实根,可以将该函数看成是类似于二次函数y=kx -22为模型引出解题思路,即函数的对称轴是x=2,并且函数在f2=0,其余的四个实数根关于x=2对称 解：因为实数集上的函数fx 恒满足f2+x= f2-x ,方程fx=0有5个实根,所以函数关于直线x=2对称,所以方程的五个实数根也关于直线x=2对称,其中有一个实数根为2,其它四个实数根位于直线x=2两侧,关于直线x=2对称,则这5个根之和为10;例11．设定义在R 上的函数fx ,满足当x>0时,fx>1,且对任意x,y ∈R ,有fx+y=fxfy,f1=2 1解不等式f3x -x 2>4；2解方程fx 2+12fx+3=f2+1 分析：可联想指数函数fx=a x ;解：1先证fx>0,且单调递增,因为fx=fx+0=fxf0,x>0时fx>1,所以f0=1 对于任意x<0,则-x>0,fxf -x=fx -x=f0=1,∴fx=()1f x - ∵-x>0,f -x>1 ∴0<fx<1 综上所述 fx>0 任取x 1,x 2∈R 且x 1<x 2,则x 2-x 1>0,fx 2-x 1>1, 所以fx 1-fx 2=fx 2-x 1+x 1-fx 1=fx 2-x 1fx 1-fx 1=fx 1fx 2-x 1-1>0 所以x ∈R 时,fx 为增函数;不等式f3x -x 2>4可化为3x -x 2>2 解得：{x|1<x<2}2f1=2,f2=4,f3=8,原方程可化为：fx 2+4fx -5=0,解得fx=1或fx=-5舍 由1得x=0;例12．已知函数fx 对任何正数x,y 都有fxy=fxfy ,且fx ≠0,当x>1时,fx<1;试判断fx 在0,+∞上的单调性,并说明理由;分析：可联想幂函数 fx=x n 解：对x ∈R +,有fx=20ff =≥,又fx ≠0,故fx>0设x 1,x 2∈R +,且x 1<x 2,则211x x >,则()()()()()2211211211111x x f x f f x f x x x x f f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭===< ⎪⎝⎭所以fx 1>fx 2,故fx 在R +上为减函数;函数性质答案1. B 奇次项系数为2. D3. A 奇函数关于原点对称,左右两边有相同的单调性4. A5. A 在上递减,在上递减,在上递减,6. A为奇函数,而为减函数. 7. 奇函数关于原点对称,补足左边的图象8. 是的增函数,当时,9. 该函数为增函数,自变量最小时,函数值最小；自变量最大时,函数值最大10.11. 1,不存在；2函数是特殊的映射；3该图象是由离散的点组成的；4两个不同的抛物线的两部分组成的,不是抛物线.12. 解：,则,0,20,2m m -==3(2)(2),212f f =--<-<-()()()()F x f x f x F x -=--=-3y x =-R 1y x=(0,)+∞24y x =-+(0,)+∞()(11)(11)()f x x x x x x x f x -=----+=+--=-222,12,01(),2,102,1x x x x f x x x x x -≥⎧⎪-≤<⎪=⎨-≤<⎪⎪<-⎩(](2,0)2,5-[2,)-+∞1,x y ≥-x 1x =-min 2y =-[)0,+∞210,1,()3k k f x x -===-+121x x ≥≤且22(1)(1)(1)f a f a f a -<--=-2211111111a a a a -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩∴01a <<。
抽象函数解题方法与技巧
抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x -a)（或f(x -2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数；3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数；4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a -b|的周期函数；5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a -x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ；6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数；7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数；8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。
（7、8应掌握具体推导方法，如7）函数图像的对称性：1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b -x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2a b x +=对称；2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a -x)或f(x+a)=f(a -x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称；3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b -x)=c ，则y=f(x)的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形； 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a -x,2b -y)=0；()()()()()()()1111212112()()11f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++5、形如()0,ax by c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线，由常数分离法 d ad ad a x b ba c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知：对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭；6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b -x)的图像关于直线2b a x -=对称；7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。