2020-2021学年江苏省扬州中学第二学期高一期中考试数学试卷
江苏省扬州中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题
根据导数的运算法则和特殊函数的导数，逐一判断.
【详解】
∵根据函数的求导公式可得，∵ ，∴A错；∵ ，∴B错；∵ ，C错；D正确.
【点睛】
本题考查了导数的运算法则以及特殊函数的导数.
3．B
【分析】
直接利用二项展开式的通项公式求得展开式中a3b2的系数.
【详解】
解：（a+b）5的展开式的通项公式为：Tr+1 •a5﹣r•br；
A．20B．10C．5D．1
4．已知 ， ，则 等于（）
A． B． C． D．
5．在某项测试中，测量结果 服从正态分布 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．设a∈Z，且0≤a＜13，若512020+a能被13整除，则a＝（）
A．0B．1C．11D．12
7．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率 的值的范围是：3.1415926＜ ＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有（）
10．将高二（1）班的四个同学分到语文、数学、英语三个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名同学的分配方法有多少种？下列结论正确的有（）
A． B．
C． D．18
11．已知 的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（）
A．7B．8C．9D．10
12．函数f(x)=ex+asinx，x∈(－π，+∞)，下列说法正确的是（）
【详解】
解：512020＝（52﹣1）2020＝（1﹣52）2020
江苏省扬州市扬州中学2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题(含答案)
江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试题高一数学 2024.11试卷满分:150分，考试时间:120分钟注意事项:1.作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码2.将选择题答案填写在答题卡的指定位置上(用2B 铅笔填涂)，非选择题一律在答题卡上作答（用0.5mm 黑色签字笔作答），在试卷上答题无效。
3.考试结束后，请将答题卡交监考人员。
一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每题给出的四个选项中只有一项是最符合题意的。
1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 或2. 已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D.43.设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）A. B. C. D. 4．函数的值域为（ ）A. B. C. D. 5.已知函数的定义域为，则函数）A. B. C. D. 6. 若不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ）{|02}A x x =<<{|14}B x x =<<A B = {|02}x x <<{|24}x x <<{|04}x x <<{2|x x <4}x >a {}260A x x x =+-=∣{20}B x ax =-=∣B A ⊆a ()f x 0x ≥()2f x x x =+0x <()f x =2x x +2x x -2x x --2x x -+x x y 211-++=(]2，∞-()2，∞-()20，[)∞+，2(2)f x +(3,4)-()g x =(1,6)(1,2)(1,6)-(1,4)20ax bx c ++>{}12x x -<<()()2112a x b x c ax ++-+>A. B. 或C. 或 D. 7.命题在单调增函数，命题在上为增函数，则命题是命题的（ ）条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要8. 已知,则的最大值为（ ）A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分。
江苏省扬州中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题(PDF版含答案)
二、多选题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对得 3 分．)
BD AD CD BCD
三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，多空题，第一空 2 分，第二空 3 分，共 20 分．)
13、 x R,3x2 2x 1 0
（2）函数 f x =0 在0, 2上有解，即方程 x a x 2b 在0, 2上有解；
设
h
x
{
x
2
x
ax 2 ax
x
(x
a
a)
，
当a
0 时，则 h x
x2
ax,
x
0,
2
，且
h
x
在
0,
2
上单调增，∴
h
x
min
h0
0，
h
x
max
h2
4 2a ，则当 0
2b
4
2a
时，原方程有解，则
a
A．
x
1
y
1 4
B．
1 x
1 y
1
C． xy 2
D．
1 xy
1
7．已知函数
f
(x)
x2 ax 5，(x1)
a x
，( x
1)
是
R
上的增函数，则 a
的取值范围是（
）
A． 3a 0
B． 3a 2
C． a 2
D． a 0
8．设平行于 x 轴的直线 l 分别与函数 y 2x 和 y 2x1 的图象相交于点 A，B，若在函数
2
由(1)知集合 A
2020-2021学年江苏省镇江市扬中高级中学高一(下)期中数学试卷
2020-2021学年江苏省镇江市扬中高级中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共24.0分）1.若函数y=√3cos(2ωx−π3)(ω>0)的图象上两相邻的对称轴之间的距离为π2，则ω=()A. 1B. 2C. 3D. 42.复数4i1+√3i(其中i是虚数单位)在复平面内所对应的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.在△ABC中，下列四个式子中不为常数的是()A. cos(A+B)+cosCB. sin(A+B)+sinCC. sin(2A+2B)+sin2CD. tan(2A+2B)+tan2C4.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边a，b，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即：S=√14[a2c2−(a2+c2−b22)2].即有△ABC满足a：b：c=2：3：√7，且△ABC的面积S△ABC=6√3，请运用上述公式判断下列命题正确的是()A. △ABC周长为10+2√7B. △ABC三个内角满足2B=A+CC. △ABC外接圆的半径为4√213D. △ABC内切圆的半径为4√2135.已知角α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P(1,3)，则2α的终边一定经过()A. (−3,4)B. (3,−4)C. (−4,3)D. (4,−3)6.函数f(x)=2sinxcosx−sinx−cosx(x∈R)的最小值是()A. 1B. 14C. −1 D. −547.将函数f(x)=√3sin2x+acos2x(a≠0)的图象向右平移π6后关于点(π12,0)对称，则a=()A. √33B. 1C. √3D. 38. 在△ABC 中，角D ，E 均在边BC 上，且AD 为中线，AE 为∠BAC 平分线，∠BAC =120°，若AD =√32,AE =23，则△ABC 的面积等于( )A. 12B. 23C. √22 D. √32二、多选题（本大题共4小题，共12.0分） 9. 已知z 复数，则下列结论正确的是( )A. z +z −是实数B. z −z −是纯虚数C. |z|=|z −|D. |z|=z 210. 在△ABC 中，A =π3，AB =4，若解此三角形仅有一解，则边BC 长度的可能取值为( )A. √3B. 2√3C. √13D. √1711. 设函数f(x)=(cosx +sinx)⋅|cosx −sinx|，则下列关于f(x)的叙述正确的是( )A. f(x)是周期函数B. f(x)在区间[−π2,π2]上是增函数C. 若|f(x 1)|+|f(x 2)|=0，则x 1+x 2=π2+kπ(k ∈Z) D. 函数g(x)=f(x)+1在区间[0,2π]上有3个零点12. 已知向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x e 1⃗⃗⃗ +y e 2⃗⃗⃗ 时，则称有序实数对(x,y)为点P 的广义坐标.若点A 、B 的广义坐标分别为(x 1,y 1)(x 2,y 2)，关于下列命题正确的是( )A. 线段A 、B 的中点的广义坐标为(x 1+x 22,y 1+y 22)B. A 、B 两点间的距离为√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2C. 向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ 平行于向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的充要条件是x 1y 2=x 2y 1 D. 向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直于OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的充要条件是x 1y 2+x 2y 1=0 三、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，|a ⃗ −2b ⃗ |=√13，则向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为______ ． 14. 已知如图，是由n(n ∈N ∗且n ≥2)个完全相同的正方形构成的平面几何图形，若α+β=π4，则n = ______ ． 15. 请写出复数7+24i 的一个平方根______ ．16. 已知由sin2x =2sinxcosx ，cos2x =2cos 2x −1，cos3x =cos(2x +x)推得三倍角余弦公式cos3x =4cos 3x −3cosx ，已知cos54°=sin36°，结合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式得sin18°= ______ ，如图，已知五角形ABCDE 是由边长为2的正五边形GHIJK 和五个全等的等腰三角形组成的，则HG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1)，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−1)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,3)，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)(m,x ，y ∈R)． (1)若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值； (2)若四边形ABCD 为矩形，求x +y 的值．18. 已知△ABC 满足a =3√2sinB ，且b =√6,A =2π3．(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．19. 已知向量a ⃗ =(cos(2x −π3),sin(x −π4)),b ⃗ =(1,2sin(x +π4))，函数f(x)=a ⃗ ⋅b⃗ ． (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)若关于x 的方程f(x)−b =0在[π6,2π3]上有解，求实数b 的取值范围．20. 已知α，β满足cosα=√55,sinβ=3√1010，且0<α<π,−π2<β<π2．(1)求sin(2α−β)的值； (2)求α+β的大小．21. 扬中三桥是扬中市区与金港大道快速通道的交通枢纽，毗邻姚桥高速公路入口和大港南站高铁站，也是镇江市区、新区等地联系的重要通道.为了解大桥跨度，小李、小丽、小张三位同学组建社会实践活动小组，通过测量得知：A ，B 相距3(百米)，A ，C ，D 分别位于B 处的北偏西51°，81°，南偏西63°方向上，C ，D 分别位于A 处正西，西偏南37°方向上.根据下列提供的数据，在不使用计算器的基础上，选择合适解题方案，作答下列问题：sin9°≈320，sin10°≈17100，sin66°≈6875，cos37°≈0.8． (1)计算A ，C 两地之间的距离；(2)大桥为保证行驶安全，限制最高时速不超过80公里，若一辆汽车需要过桥，它通过C ，D 之间的桥面刚好用时50秒，判断该车是否超速．22.在三角形ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a<b<c且tan A，tan B，tan C均为整数．(1)求tan A的值；(2)求证：2tanB=tanA+tanC．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵函数y=√3cos(2ωx−π3)(ω>0)的图象上两相邻的对称轴之间的距离为12⋅2π2ω=π2，∴ω=1，故选：A．由题意利用余弦函数的周期性，求得ω的值．本题主要考查余弦函数的周期性，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵1+√3i =√3i)(1+√3i)(1−√3i)=√3i212+(√3)3=√3+i，∴复数1+√3i在复平面内所对应的点的坐标为(√3,1)，在第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】B【解析】解：cos(A+B)+cosC=−cosC+cosC=0，A不符合题意；sin(A+B)+sinC=sinC+sinC=2sinC，不为常数，符合题意；sin(2A+2B)+sin2C=−sin2C+sin2C=0，为常数，不符合题意；tan(2A+2B)+tan2C=−tan2C+tan2C=0，为常数，不符合题意．故选：B．由已知结合三角形内角和及诱导公式分别进行化简即可判断．本题主要考查了三角形内角和及诱导公式的简单应用，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵a ：b ：c =2：3：√7， 设a =2k ，b =3k ，c =√7k ；k ≠0， ∵△ABC 面积为6√3， ∴S =√14[a 2c 2−(a 2+c 2−b 22)2]=√14[7k 2×4k 2−(7k 2+4k 2−9k 22)2]=6√3，解得k =2，∴a =4，b =6，c =2√7，所以a +b +c =10+2√7，故A 正确； 对于B ，因为cosC =a 2+b 2−c 22ab=16+36−282×4×6=12，可得C =π3，所以A +B =2π3，故A +B =2C ，所以△ABC 三个内角A ，C ，B 成等差数列，故B 错误；对于C ，由正弦定理知，△ABC 外接圆直径2R =asinA =bsinB =csinC ； 由cosB =2√7，得sinB =3√2114；∴2R =3√2114=4√213；故选项C 错误；对于D ，在△ABC 中，设△ABC 内切圆的半径r ，由题意可得12(a +b +c)r =6√3， 即12×(4+6+2√7)r =6√3，解得r =5√3−√213，故错误．故选：A ．对于选项A ，由正弦定理得三角形三边之比，由面积求出三边，代入公式即可求出周长；对于选项B ，根据余弦定理可求得cos C 的值为12，可得C =π3，可得△ABC 三个内角A ，C ，B 成等差数列； 对于选项C ，由正弦定理可得，△ABC 外接圆直径2R =asinA =bsinB =csinC ；根据cos B 可求得sin B ，由bsinB 可得2R 的值；对于选项D ，设△ABC 内切圆的半径r ，由题意利用三角形的面积公式可得12(a +b +c)r =6√3，即可计算得解．本题考查了数学文化，正弦定理，余弦定理，三角形面积计算，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：∵角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点P(1,3)， 故tanα=3，α∈(2kπ+π3,2kπ+π2)，k ∈Z ， 故tan2α=2tanα1−tan 2α=−34，2α∈(4kπ+2π3,4kπ+π)，故|−x|>y ，故选：C ．由题意求得tanα的值，判断2α∈(2π3,π)，求得tan2α=−34，从而得出结论． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正切公式，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：函数f(x)=2sinxcosx −sinx −cosx ， 设sinx +cosx =√2sin(x +π4)=t ∈[−√2,√2]， 所以2sinxcosx =t 2−1，故g(t)=t 2−t −1=(t −12)2−54， 当t =12时，f(t)min =−54． 故选：D ．直接利用换元法和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，换元法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：函数f(x)=√3sin2x +acos2x(a ≠0)的图象向右平移π6后， 得到g(x)=√3sin[2(x −π6)]+acos[2(x −π6)]， 由于函数g(x)的图象关于(π12,0)对称， 故g(π12)=0，所以√3sin[2(π12−π6)]+acos[2(π12−π6)]=0， 解得a =1． 故选：B ．直接利用三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换，函数的性质的应用求出a 的值． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：由题意得，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14(c 2+b 2+2bccos 2π3)=14(c 2+b 2−bc)=34， 即c 2+b 2−bc =3，因为AE =23，BE 2=c 2+49−2×2c 3×12=c 2−2c 3+49，CE 2=b 2+49−2×2b 3×12=b 2−2b 3+49，由角平分线性质得，BE 2CE 2=c 2−2c 3+49b 2−2b 3+49=c 2b 2，整理得，2b 2−3b 2c =2c 2−3c 2b ， 所以2(b 2−c 2)=3bc(b −c)， 因为b ≠c ，所以2(b +c)=3bc ，两边平方得4(b 2+c 2+2bc)=9b 2c 2， 因为c 2+b 2−bc =3，令t =bc ， 所以4(3+t +2t)=9t 2， 解得t =2，即bc =2， 故△ABC 的面积S =12bcsin2π3=√32． 故选：D ．由已知结合向量线性表示及向量数量积性质c 2+b 2−bc =3，然后结合角平分线性质可求bc ，然后结合三角形面积公式可求．本题主要考查了向量的线性表示及向量数量积的性质，还考查了角平分线性质及三角形面积公式，属于中档题．9.【答案】AC【解析】解：对于A ，设z =a +bi ，则z +z −=a +bi +a −bi =2a 是实数，故A 正确； 对于B ，设z =a +bi ，则z −zi =a +bi −a +bi =2bi ，当b =0时是实数，故B 错误； 对于C ，设z =a +bi ，则|z|=√a 2+b 2，|z −|=√a 2+(−b)2=√a 2+b 2，故C 正确；对于D ，设z =a +bi ，则|z|=√a 2+b 2，z 2=(a +bi)2=a 2+2abi +b 2i 2=(a 2−b 2)+2abi ，故D 错误． 故选：AC ．利用复数的运算法则、共轭复数、复数的模直接求解．本题考查复数的运算，考查复数的运算法则、共轭复数、复数的模等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．10.【答案】BD【解析】解：△ABC 中，A =π3，AB =4， 由正弦定理得a sinA =csinC ，即√32=4sinC ，所以sinC =2√3a，当sinC =2√3a =1，即a =2√3时，C =90°，此时三角形唯一， 当sinC =2√3a<1，即a >2√3时，需满足C <A =π3时三角形唯一，从而有{a >2√3a >c =4，所以a >4，综上，a >4或a =2√3． 故选：BD ．由已知结合正弦定理及三角形的大边对大角即可直接求解．本题主要考查了正弦定理及三角形的大边对大角在求解三角形中的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．11.【答案】AC【解析】解：函数f(x)=(cosx +sinx)⋅|cosx −sinx|={cos2x(sinx <cosx)−cos2x (sinx ≥cosx)，画出函数的图象， 如图所示：故：对于A ：函数为周期函数，故A 正确；对于B ：函数f(x)在区间[−π2,0]上是增函数，在[0,π2]上为减函数，故B 错误； 对于C ：若|f(x 1)|+|f(x 2)|=0，则x 1+x 2=kπ+π2(k ∈Z)，故C 正确；对于D ：函数f(x)在区间[0,2π]上有3个零点，在g(x)=f(x)+1上有1个零点，故D 错误． 故选：AC ．直接利用函数的关系式的讨论整理出函数的解析式，进一步画出函数的图象，再利用函数的图象判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：三角函数的图象，函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．12.【答案】AC【解析】解：根据题意得，由中点坐标公式知A 正确；只有平面直角坐标系中两点间的距离公式B 才正确，未必是平面直角坐标系因此B 错误； 由向量平行的充要条件得C 正确；当向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是相互垂直的单位向量时，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直的充要条件为x 1x 2+y 1y 2=0，因此D 不正确； 故选：AC ．运用向量的坐标，共线向量，向量垂直的充要条件，两点间的距离公式可得． 本题考查向量的坐标运算，共线向量的知识，向量垂直和平行的充要条件．13.【答案】60°【解析】解：根据题意，设向量a⃗，b⃗ 的夹角为θ，若|a⃗|=1，|b⃗ |=2，|a⃗−2b⃗ |=√13，则(a⃗−2b⃗ )2=a⃗2+4b⃗ 2−4a⃗⋅b⃗ =17−8cosθ=13，解可得cosθ=12，又由0°≤θ≤180°，则θ=60°，故答案为：60°．根据题意，设向量a⃗，b⃗ 的夹角为θ，由数量积的计算公式可得(a⃗−2b⃗ )2=a⃗2+4b⃗ 2−4a⃗⋅b⃗ =13，变形可得cosθ的值，结合θ的范围分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：根据题意，设正方形的边长为1，tanα=1n ，tanβ=1n−1，若α+β=π4，则tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=1n+1n−11−1n(n−1)=2n−1n2−n−1=1，解可得n=3或0(舍)，故答案为：2．根据题意，设正方形的边长为1，用n表示tanα、tanβ，利用正切的和角公式可得关于n的方程，解可得n的值，即可得答案．本题考查正切的和角公式，涉及正切的定义，属于基础题．15.【答案】±(4+3i)【解析】解：设(a+bi)2=7+24i，a∈R，b∈R，则a2−b2=7，2ab=24，解得a=4，b=3，或a=−4，b=−3，∴复数7+24i的平方根为：±(4+3i)．故答案为：±(4+3i)．设(a+bi)2=7+24i，a∈R，b∈R，则a2−b2=7，2ab=24，由此能求出结果．本题考查复数的一个平方根的求法，考查复数运算法则等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．16.【答案】√5−14 5+√5【解析】解：因为cos54°=sin36°，所以4cos 318°−3cos18°=2sin18°cos18°，即4cos 218°−3=2sin18°， 所以cos 218°=2sin18°+34，所以sin 218°+cos 218°=sin 218°+12sin18°+34=1， 即4sin 218°+2sin18°−1=0，解得sin18°=−2+√202×4=√5−14， 在五角形ABCDE 中，EG =EI ，HG =HI ，HE =HE ，所以△EHG≌△EHI ，所以∠HEG =12∠CEB =18°，∠EHG =12∠IHG =54°， 过点H 作HM ⊥BE 于点M ，则∠GHM =18°，于是cos∠GHM =HM GH，从而HM =GHcos∠GHM =2cos18°，在Rt △EHM 中，sin∠HEG =HMEH，于是EH =HM sin∠HEG =2cos18°sin18∘，从而HG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|HG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||HE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos54°=2×2cos18°sin18∘×sin36°=8cos 218°=8−8sin 218°=8−8×(√5−14)2=5+√5． 故答案为：√5−14；5+√5．由三倍角余弦公式以及二倍角正弦公式可得4cos 218°−3=2sin18°，由同角三角函数的基本关系即可求解sin18°，利用三角形全等，可得∠HEG =18°，∠EHG =54°，过点H 作HM ⊥BE 于点M ，可求得EH =2cos18°sin18∘，利用向量的数量积运算即可求得HG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅HE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值． 本题主要考查三角函数的求值，平面向量数量积的运算，考查方程思想、数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−1)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,3)， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −1,2)， 由A ，B ，C 三点共线知，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即−2(m −1)−2×2=0，解得m =−1； (2)由AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −3,4)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,y −1)， CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −m,y −3)， 若四边形ABCD 为矩形，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(m −3)−8=0，解得m =7； 由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得{x −m =x −7=−2y −3=2，解得x =5，y =5， 所以x +y =10．【解析】(1)根据平面向量的坐标运算求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用A ，B ，C 三点共线列方程求出m 的值． (2)由平面向量的坐标运算和矩形的定义，列方程组求出m 、x 、y 的值，再求和． 本题考查了平面向量的共线定理与应用问题，也考查了坐标表示与运算问题，是基础题．18.【答案】解；(1)由正弦定理得a sinA =bsinB ，因为a =3√2sinB ，且b =√6,A =2π3，所以√2sinB√32=√6sinB ，所以sin 2B =12， 因为A =2π3，所以B =π4，sinC =sin(A +B)=sin(2π3+π4)=√32×√22−12×√22=√6−√24， (2)S △ABC =12absinC =12×(3√2×√22)×√6×√6−√24=9−3√34．【解析】(1)由已知结合正弦定理可求B ，然后结合三角形内角和及两角和的正弦公式可求； (2)由已知结合三角形面积公式即可直接求解．本题主要考查了正弦定理，和差角公式，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．19.【答案】解：(1)f(x)=a⃗ ⋅b ⃗ =cos(2x −π3)+2sin(x −π4)sin(x +π4) =cos(2x −π3)+2sin(x −π4)cos(x −π4)=12cos2x +√32sin2x −cos2x =√32sin2x −12cos2x =sin(2x −π6)，令−π2+2kπ≤2x −π6≤π2+2kπ，k ∈Z ， ∴−π6+kπ≤x ≤π3+kπ，∴f(x)的单调递增区间为[−π6+kπ,π3+kπ]，k ∈Z ． (2)∵x ∈[π6,2π3]，∴2x −π6∈[π6,7π6]，∴sin(2x −π6)∈[−12,1]，即f(x)∈[−12,1]， ∵关于f(x)−b =0的方程在[π6,2π3]上有解，∴b ∈[−12,1]．【解析】(1)根据平面向量的数量积运算、三角恒等变换公式，可将函数f(x)化简为f(x)=sin(2x −π6)，然后结合正弦函数的单调性即可得解． (2)由x ∈[π6,2π3]，得2x −π6∈[π6,7π6]，再结合正弦函数的图象与性质即可得解．本题考查平面向量与三角函数的综合应用，涉及平面向量的数量积运算，正弦函数的图象与性质和三角恒等变换的公式，考查学生灵活运用知识的能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)已知α，β满足cosα=√55,sinβ=3√1010，且0<α<π,−π2<β<π2． 所以sinα=2√55，cosβ=√1010，所以sin(2α−β)=sin2αcosβ−cos2αsinβ=2sinαcosαcosβ−(2cos 2α−1)sinβ=13√1050． (2)由于sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=√22，cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=−√22， 由于0<α<π,−π2<β<π2， 所以α+β∈(−π2,3π2)，故α+β=3π4．【解析】(1)直接利用同角三角函数关系式的变换求出结果；(2)利用和角公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，角的变换的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．21.【答案】解：根据题意可画出如下图所示：(1)在△ABC中：由正弦定理得：ABsin9∘=ACsin30∘，即300320=AC12，解得：AC=1000(米)．故A，C两地之间的距离为1000米；(2)在△ADB中：由正弦定理得：ADsin66∘=ABsin10∘，即AD6875=30017100，解得：AD=1.6(公里)．在△ADC中：AC=1公里，由余弦定理得：DC=√AC2+AD2−2AC⋅ADcos37°≈√12+1．62−2×1×1.6×0.8=1(公里)．1公里/50秒=72公里/小时<80公里/小时，故该车不超速．【解析】用正余弦定理分别解△ABC、△ABD、△ADC可解决此题．该车考查正余弦定理应用、方程思想、数形结合思想，考查数学运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)∵a<b<c，∴A<B<C，∴A不能是钝角，tanA>0，若tanA≥2，∵tan60°=√3，且y=tanx在[0,π2)内单调递增，∴A>60°，又A<B<C，∴B，C都大于60°，与A+B+C=π矛盾，∴tanA=1．(2)证明：∵tanA=1，即A=45°，∴B+C=135°，tan(B+C)=tan135°=−1，=−1，又tan(B+C)=tanB+tanC1−tanBtanC即tanBtanC−1=tanB+tanC，由tan B，tan C均为整数，且B<C，可得tanB=2，tanC=3，故2tanB=tanA+tanC.得证．【解析】(1)由a<b<c，得A<B<C，可得tanA>0，若tanA≥2，利用正切函数的性质可得A>60°，可得B，C都大于60°，与A+B+C=π矛盾，从而可得tanA=1，得解A=45°．(2)由B+C=135°，利用两角和的正切公式可得tanBtanC−1=tanB+tanC，由tan B，tan C均为整数，且B<C，可得tanB=2，tanC=3，即可得解．本题主要考查了正切函数的性质，两角和的正切公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理，平面向量数量积的运算，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．。
江苏省扬州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高一数学答案
江苏省扬州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高一数学答案 1．A 2．C 3．D 4．B 5．C 6．D 7．C 8． D 9．C 10．A 11．A 12．B13．2 14．30° 15 16 17．解：（1）由240320x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得：02x y =⎧⎨=⎩， ()0,2P ∴；（2）Q 直线30x y -+=斜率为1，∴直线l 斜率1k =-.():210l y x ∴-=--，即：20x y +-=.18．解：（1）()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则当[0,]x π∈时，5[,]666x πππ-∈-，1sin()[,1]62x π-∈-，2sin()[1,2]6x π-∈-，所以函数()f x 的值域为[1,2]-．（2）102sin 613f παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，即5sin 13α=，0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，故12cos 13α=； 512120sin 22sin cos 21313169ααα==⨯⨯=． 19．解：（1）取CD 的中点I∵E 、F 、I 分别是正方形ABCD 中AB 、BC 、CD 的中点 ∴12CF EI ∥∴在平面ABCD 中，延长EF 与DC 必交于C 右侧一点P ，且PC CI = 同理，在平面11CC D D 中，延长HG 与DC 必交于C 右侧一点Q ，且QC CI = ∴P 与Q 重合进而，直线EF 与GH 相交方法二：∵在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、H 分别是AB 、11C D 的中点 ∴112EB CD HC ∥∥∴1EBC H 是平行四边形 ∴1EH BC ∥又∵F 、G 分别是BC 、1CC 的中点 ∴112FG BC ∥∴∥EH FG ，EH FG ≠∴EF 、GH 是梯形EFGH 的两腰 ∴直线EF 与GH 相交（2）解：∵在正方体1111ABCD A B C D -中，11AA CC ∥ ∴11ACC A 是平行四边形 ∴11//AC A C又∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点 ∴//EF AC ∴11EF AC P∴1A D 与EF 所成的角即为1A D 与11A C 所成的角（或：1A D 与EF 所成的角即为11DAC ∠及其补角中的较小角）① 又∵在正方体1111ABCD A B C D -中，11AC D ∆为等边三角形 ∴1160DAC ∠=︒②∴由①②得直线1A D 与EF 所成的角为60︒ 20．（1）在CAM V 中，已知3CAM π∠=，sin CMA ∠=，2AC =，由正弦定理，得sin sin CM AC CAM CMA=∠∠，解得sin233sin AC CM CMA π⋅===∠．（2）因为12BMN ACB S S =△△，所以111sin 22622BM BN π⋅⋅⋅=⨯⨯⨯BM BN ⋅=在BMN ∆中，由余弦定理得，()22222cos2162MN BM BN BM BN BM BN BM BN π⎛=+-⋅=+-⋅⋅+ ⎝⎭，即()2221BM BN ⎛=+-⨯+⎝⎭， ()(22194BM BN +=+=+，故4BM BN +=+21．（1）由题意知11121222OM AD BC ===⨯=，3sin sin 1sin 3012MN OM MOD CD OM MOD AB ∴=∠+=∠+=⨯+=o ，cos 11cos301BN OA OM MOD =+∠=+⨯==o ，1132622228PMN S MN BN ∆+∴=⋅=⨯⨯=，即三角形铁皮PMN的面积为68+； （2）（2）设MOD x ∠=，则0x π<<，因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，所以只需考察02x π<≤。
2020年江苏省扬州市邗江区高一(下)期中数学试卷
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知直线l：y=-x，则直线l的倾斜角为（）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，若a=3，b=4，C=60°，则c=（）A. 5B. 11C.D.3.棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A. 12πB. πC. 8πD. 4π4.已知直线l1：x+2y-1=0，l2：2x+ny+5=0，l3：mx+3y+1=0，若l1∥l2且l1⊥l3，则m+n的值为（）A. -10B. 10C. -2D. 25.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为（）A. 8B. 6C. 8D. 86.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=a cos C+c，则角A为（）A. 60°B. 120°C. 45°D. 135°7.已知实数x，y满足x+y-3=0，则的最小值是（）A. B. 2 C. 1 D. 48.已知直线m、n，平面α、β，给出下列命题①若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥β②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β③若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β④若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α⊥β其中正确的命题是（）A. ①②B. ③④C. ①④D. ②③9.已知锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，则的值范围是（）A. B. C. D.10.已知，，点P在直线上，若使取最小值，则P点坐标是( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.在△ABC中，已知，则△ABC的形状是______三角形．12.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则下列命题中，正确的为______（填序号）．①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC=BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°．13.过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点平分，则直线斜率为_____________.14.如图，正四棱锥P-ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE与平面PAC所成的角为______．15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=2，若sin2A+sin2B-sin A sin B=sin2C，则a+b的取值范围______．16.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AA1=3，AB=2，点D是棱CC1的中点，点E在棱AA1上，则三棱锥B1-EBD的体积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知直线l的斜率为-，且直线l经过直线kx-y+2k+5=0所过的定点P．（1）求直线l的方程；（2）若直线m平行于直线l，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．18.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，E分别是边BC，B1C1中点，且AB=AC．求证：（1）BE∥平面AC1D；（2）平面ADC1⊥平面BCC1B1．19.已知三角形的顶点为A（2，4），B（0，-2），C（-2，3）．（1）求AB边上的中线CM所在直线的方程；（2）求△ABC的面积．20.在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=，C=．（1）若2sin A=3sin B，求a，b；（2）若cos B=，求sin2A的值．21.西北某省会城市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示；其为五边形ABCDE．其中三角形区域ABE为球类活动场所；四边形BCDE为文艺活动场所，AB，BC，CD，DE，EA，为运动小道（不考虑宽度）∠BCD=∠CDE=120°，∠BAE=60°，DE=2BC=2CD=6千米．（1）求小道BE的长度；（2）求球类活动场所△ABE的面积最大值．22.如图四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（1）证明：SD⊥平面SAB；（2）求二面角A-SB-C的平面角的正弦值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°）．则tanθ=-，∴θ=120°．故选：C．设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°）．可得tanθ=-，即可得出．本题考查了直线斜率、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．由已知利用余弦定理可求c的值．【解答】解：∵a=3，b=4，C=60°，∴由余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C，可得：c2=32+42-2×3×4×cos60°=13．∴解得：c=．故选：C．3.【答案】A【解析】解：∵棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，∴该球面的半径R==，∴该球面的表面积为S=4πR2=12π．故选：A．先求出该球面的半径R=，由此能求出该球面的表面积．本题考查球面的表面积的求法，考查正方体的外接球、球的表面积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．4.【答案】C【解析】解：∵l1∥l2且l1⊥l3，∴n-4=0，m+6=0，解得n=4，m=-6．则m+n=4-6=-2．故选：C．由l1∥l2且l1⊥l3，可得n-4=0，m+6=0，解得n，m即可得出．本题考查了直线位置关系与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查长方体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查计算能力，属于基础题．画出图形，利用已知条件求出长方体的高，然后求解长方体的体积即可．【解答】解：长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，即∠AC1B=30°，可得BC1==2，可得BB1==2，所以该长方体的体积为：2×=8．故选：C．6.【答案】A【解析】解：∵b=a cos C+c．∴由正弦定理可得：sin B=sin A cos C+sin C，可得：sin A cos C+sin C cos A=sin A cos C+sin C，可得：sin C cos A=sin C，∵sin C≠0，∴cos A=，∵A∈（0°，180°），∴A=60°．故选：A．利用正弦定理把已知等式转化成角的关系，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求cos A的值，结合A的范围即可得解A的值．本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用．注重了对学生基础知识综合考查，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：点P满足直线x+y-3=0，则表示直线l的上点P（x、y）与定点A（2，-1）的距离，其最小值是点A到直线l：x+y-3=0作垂线段为最短，所以点A到直线l的距离为d==，即所求的最小值是．故选：A．把问题化为“直线l的上点P（x、y）与定点A（2，-1）的距离”，即从“点A向直线l：x+y-3=0作垂线段，由点A到直线l的距离”求出结果．本题主要考查了点到直线的距离公式与转化思想的应用问题，是基础题目．8.【答案】C【解析】解：①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，因此正确；②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β或相交，因此不正确；③若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α∥β也可能相交，因此不正确；④若m⊥α，n∥β，且m∥n，利用面面垂直的判定定理可得α⊥β，因此正确．综上可知：只有①④正确．故选：C．①利用面面垂直的判定定理即可判断出；②利用线线、线面平行的判定与性质即可得出；③利用线面平行于垂直的判定与性质定理即可得出；④利用面面垂直的判定定理即可得出．本题考查了线线、线面与面面平行与垂直的判定与性质定理，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：根据题意，锐角△ABC中，若B=2A，则有B=2A＜90°，即A＜45°，又由C＜90°，则A+B=3A＞90°，即A＞30°，综合可得：30°＜A＜45°，若B=2A，则====tan A，又由30°＜A＜45°，则＜＜，即的值范围是（，）；故选：D．根据题意，由锐角三角形的性质分析可得A的取值范围是30°＜A＜45°，进而由正弦定理可得====tan A，结合A的范围分析可得答案．本题考查正弦定理和正切函数的图象性质，注意分析A的范围．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是最短路径问题，实际考查了点关于直线对称的点以及求两直线交点问题，属于中档题．求出A关于直线l：x+y=0的对称点为C，则P为直线BC与直线l的交点时，满足条件，进而得到答案．【解答】解：如下图所示：点A（3，-1）关于直线l：x+y=0的对称点为C（1，-3），由BC的方程为：，即x-4y-13=0，可得直线BC与直线l的交点坐标为：（，-），即P点坐标为：（，-）时，|PA|+|PB|最小．故选：C．11.【答案】等腰【解析】解：在△ABC中，∵，，∴cos A=cos B，∵A∈（0，π），B∈（0，π），余弦函数y=cos x在[0，π]上单调递减，∴A=B，则△ABC为等腰三角形；故答案为：等腰．由已知利用正弦定理可求cos A=cos B，利用余弦函数y=cos x在[0，π]上单调递减，可直接得到A=B，从而可求三角形为等腰三角形．本题主要考查了正弦定理，余弦函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．12.【答案】①②④【解析】解：在四面体ABCD中，∵截面PQMN是正方形，∴PQ∥MN，PQ⊄平面ACD，MN⊂平面ACD，∴PQ∥平面ACD．∵平面ACB∩平面ACD=AC，∴PQ∥AC，可得AC∥平面PQMN．同理可得BD∥平面PQMN，BD∥PN．∵PN⊥PQ，∴AC⊥BD．由BD∥PN，∴∠MPN是异面直线PM与BD所成的角，且为45°．由上面可知：BD∥PN，PQ∥AC．而AN≠DN，PN=MN，∴BD≠AC．综上可知：①②④都正确．故答案为：①②④．利用线面平行与垂直的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角即可判定．本题考查了线面平行与垂直的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角，属于中档题．13.【答案】8【解析】解：设直线l：y=k（x-3），联立方程组可得，解方程组可得A（，），同理联立方程组，解方程组可得B（，），由中点坐标公式得+=6，解得k=8，故答案为：8．设直线l：y=k（x-3），分别联立方程组可得A、B坐标，由中点公式可得k的方程，解之可得所求．本题考查直线的一般式方程，涉及待定系数法求直线的方程和中点公式，属基础题．14.【答案】600【解析】解：在正四棱锥P-ABCD中，连接AC，BD，交于O连接PO，则PO⊥平面ABCD，则在正四棱锥中，BO⊥平面PAC，则连接OE，DE，则∠BEO是直线BE与平面PAC所成的角，∵正四棱锥P-ABCD的体积为2，底面积为6，∴V=•PO=2，则高PO=1，∵底面积为6，∴BC=，OC=OB=，则侧棱PB=PC==2，∵E为侧棱PC的中点，∴取OC的中点H，则EH⊥OC，则EH=PO=，OH==，则OE===1，在直角三角形BOE中，tan∠BEO==，则∠BEO=60°，故答案为：600在正四棱锥中，连接AC，BD，交于O，连接PO，则PO⊥平面ABCD得到∠BEO是直线BE与平面PAC所成的角，根据条件结合三角形的边角关系进行求解即可．本题主要考查线面角的计算，根据线面角的定义结合正四棱锥的性质得到∠BOE是直线BE与平面PAC所成的角是解决本题的关键．考查学生的计算能力．15.【答案】（2，4]【解析】解：∵sin2A+sin2B-sin A sin B=sin2C，∴由正弦定理可得：a2+b2-ab=c2，∴可得cos C==，∵C∈（0，π），∴C=．∴由已知及正弦定理可得：==，∴a=sin A，b=sin B，B=-A．则a+b=sin A+sin B=sin A+sin（-A）=4sin（A+），∵A∈（0，），∴A+∈（，），∴sin（A+）∈（，1]，∴a+b∈（2，4]．故答案为：（2，4]．sin2A+sin2B-sin A sin B=sin2C，由余弦定理可得：a2+b2-ab=c2，再利用余弦定理可得C．由正弦定理可得：==，解出a，b代入a+b，利用三角函数两角和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AA1=3，AB=2，点D是棱CC1的中点，点E在棱AA1上，∴==3，点E到平面BDB1的距离h==，∴三棱锥B1-EBD的体积为：====．故答案为：．三棱锥B1-EBD的体积为=，由此能求出结果．本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17.【答案】解：（1）根据题意，直线kx-y+2k+5=0，即y-5=k（x+2），过定点（-2，5），直线l的斜率为-，且过点（-2，5），其方程为y-5=-（x+2），变形可得3x+4y-14=0，则直线l的方程为3x+4y-14=0；（2）根据题意，若直线m平行于直线l，设直线，则或,∴直线m为：或.【解析】（1）根据题意，分析可得直线kx-y+2k+5=0过定点（-2，5），即可得直线l 过点（-2，5），由直线的点斜式方程可得直线l的方程；（2）根据题意，设直线，又由P到直线m的距离为3，由点到直线的距离公式计算可得b的值，即可得答案．本题考查直线过定点问题以及点到直线的距离公式，关键是求出直线l的方程．18.【答案】证明：（1）∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，E分别是边BC，B1C1中点，∴EC1BD，∴四边形BDC1E是平行四边形，∴BE∥DC1，∵BE⊄平面AC1D，DC1⊂平面AC1D，∴BE∥平面AC1D．解：（2）∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥ABC，∴AD⊥BB1，∵点D别是边BC，且AB=AC，∴AD⊥BC，∵BC∩BB1=B，∴AD⊥平面BCC1B1．∵AD⊂平面ADC1，∴平面ADC1⊥平面BCC1B1．【解析】（1）推导出EC1BD，从而四边形BDC1E是平行四边形，进而BE∥DC1，由此能证明BE∥平面AC1D．（2）推导出AD⊥BB1，AD⊥BC，从而AD⊥平面BCC1B1．由此能证明平面ADC1⊥平面BCC1B1．本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）AB中点M的坐标是M（1，1），中线CM所在直线的方程是，即2x+3y-5=0．（2）解法一：，直线AB的方程是3x-y-2=0，点C到直线AB的距离是，所以△ABC的面积是．解法二：设AC与y轴的交点为D，则D恰为AC的中点，其坐标是，，∴S△ABC=S△ABD+S△CBD=|BD|•（x A-x C）=×4=11．【解析】（1）AB中点M的坐标是M（1，1），利用两点式可得：中线CM所在直线的方程．（2），直线AB的方程是3x-y-2=0，利用点到直线的距离可得：点C到直线AB的距离，可得△ABC的面积S=|AB|d．解法二：设AC与y轴的交点为D，则D恰为AC的中点，其坐标是，，可得：S△ABC=S△ABD+S△CBD．本题考查了中点坐标公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）∵c=，C=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2-2ab cos C，即a2+b2-ab=7①，∵2sin A=3sin B，由正弦定理化简得：2a=3b②，∴联立①②解得：a=3，b=2；（2）∵cos B=，B为三角形内角，∴sin B==，∴sin2B=2sin B cosB=，cos2B=2cos2B-1=，∴sin2A=sin2（π-B-C）=sin（-2B）=-cos2B+sin2B=．【解析】（1）利用余弦定理列出关系式，将c与cos C的值代入得到一个关系式，再将已知等式利用正弦定理化简得到另一个关系式，联立两关系式即可求出a与b的值；（2）由cos B的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin B的值，进而确定出sin2B 与cos2B的值，将sin2A变形为sin2（π-B-C），把C度数代入，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值．此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．21.【答案】（本题满分为12分）解：（1）如图，连接BD，在△BCD中，BC=CD==3千米，∠BCD=∠CDE=120°，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2-2BC•CD cos∠BCD=27，∴BD=3．∵BC=CD，∴∠CDB=∠CBD=30°，又∠CDE=120°，∴∠BDE=∠CDE-∠CDB=120°-30°=90°，在Rt△BDE中，所以BE===3…6分（2）设∠ABE=α，∵∠BAE=60°，∴∠AEB=120°-α．在△ABE中，由正弦定理，得====2，∴AB=2sin（120°-α），AE=2sinα．∴S△ABE=|AB||AE|sin60°=2×2×sin（120°-α）sinα=21×{-[cos（120°-α+α）-cos（120°-α-α）]}=cos（120°-2α）+∵0＜α＜120°，∴-120°＜2α-120°＜120°．∴当α=60°时，S△ABE取得最大值为+=．即生活区△ABE面积的最大值为km2．注：第（2）问也可用余弦定理和均值不等式求解．…12分【解析】（1）连接BD，在△BCD中由余弦定理得BD的值，在Rt△BDE中，求解BE 即可．（2）设∠ABE=α，在△ABE中，由正弦定理求解AB，AE，表示S△ABE，然后求解最大值．本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22.【答案】证明：（1）取AB的中点E，连结DE，SE，则四边形BCDE为矩形．即DE=CB=2，AD==，∵侧面SAB为等边三角形，∴SA=SB=AB=2，且SE=，又∵SD=1，∴SA2+SD2=AD2，SE2+SD2=ED2，∴SD⊥SA，SD⊥SE，而SA⊂面SAB，SE⊂面SAB，SA∩SE=S，∴SD⊥平面SAB．------（5分）解：（2）过点S作SG⊥DE于G，∵AB⊥SE，AB⊥DE，SE∩DE=E，∴AB⊥平面SDE，又∵AB⊥平面ABCD，∴平面SDE⊥平面ABCD，由平面与平面垂直的性质，知SG⊥平面ABCD，在Rt△DSE中，由SD•SE=DE•SG，得1×=2×SG，∴SG=．过点A作AH⊥平面SBC于H，取SB中点F，连结AF，FH，则∠AFH为二面角A-SB-C的平面角，∵CD∥AB，AB⊥平面SDE，∴CD⊥平面SDE，∴CD⊥SD，在Rt△CDS中，由CD=SD=1，得SC=．在△SBC中，SB=BC=2，SC=，∴=．由V A-SBC=V S-ABC，得，即，解得AH=，∴sin∠AFH===，∴二面角A-SB-C的平面角的正弦值为．---（12分）【解析】（1）取AB的中点E，连结DE，SE，则四边形BCDE为矩形，推导出SD⊥SA，SD⊥SE，由此能证明SD⊥平面SAB．（2）过点S作SG⊥DE于G，推导出AB⊥平面SDE，从而平面SDE⊥平面ABCD，进而SG⊥平面ABCD，过点A作AH⊥平面SBC于H，取SB中点F，连结AF，FH，则∠AFH 为二面角A-SB-C的平面角，由此能求出二面角A-SB-C的平面角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方思想、数形结合思想，是中档题．。
2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学高一(下)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．若（x2﹣1）+（x2﹣3x+2）i是纯虚数（i为虚数单位），则实数x的值为（）A．﹣1B．1C．±1D．以上都不对2．在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形3．已知空间互不重合的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面内”是“m，n，l两两相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知向量，满足，，，则，的夹角为（）A．B．C．D．5．已知，则＝（）A．1B．C．﹣1D．6．已知正方形ABCD的边长为1，则＝（）A．5B．C．25D．417．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝2，点P为BB1的中点，设平面A1PC1∩AB＝E，平面A1PC1∩BC＝F，则线段EF的长度为（）A．B．C．D．58．在△ABC中，AC＝1，AD⊥BC，垂足为D，且，则当∠BAC取最大值时，△ABC的周长为（）A．3B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列各式中，值为的是（）A．sin72°cos42°﹣cos72°sin42°B．cos2﹣sin2C．D．2tan15°•cos215°10．已知α，β为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列说法正确的是（）A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B．若AB与CD是异面直线，则AC与BD也是异面直线C．若a∥b，b与c是异面直线，则a与c也是异面直线D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b是异面直线11．设，是两个非零向量，下列结论中正确的是（）A．若，则B．若，则或C．若，则D．若，则存在实数λ，使得12．已知函数f（x）＝sin n x+cos n x（n∈N*），则下列说法正确的是（）A．当n＝1时，直线是f（x）图象的一条对称轴B．当n＝4时，函数f（x）的最小正周期为C．当n＝4时，函数f（x）在上单调递减D．当n＝3时，若，则函数f（x）的值域为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，m为实数，且∥，则m ＝．14．已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行．若A船的航行速度为15nmile/h，2h后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距nmile．15．已知，则2sin2α+cos2α＝．16．已知复数z对应的点在复平面第四象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下（i为虚数单位）：甲：；乙：；丙：；丁：，在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z＝．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知i为虚数单位．（1）计算：；（2）若，求复数z．18．已知向量，x∈R，设函数．（1）若，求函数f（x）的最大值和最小值；（2）若，且，求cos2α的值．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面所有直线均垂直，底面△ABC是边长为4的正三角形，侧棱长为3，D，E分别为棱A1C1和B1C1的中点．（1）试判断直线AD和BE的位置关系，并说明理由；（2）求异面直线AB和CE所成角的余弦值．20．在①；②；③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求a的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝2，______，______？21．如图，风景区的形状是如图所示的扇形ABC区域，其半径为2千米，圆心角为60°，点P在弧上．现欲在风景区中规划三条商业街道PQ，PR，RQ，要求街道PQ与AB 垂直（垂足Q在AB上），街道PR与AB平行，交AC于点R．（1）如果P为弧的中点，求三条商业街道围成的△PQR的面积；（2）试求街道RQ长度的最小值．22．已知函数f（x）＝sin x cosα+cos x sinα，g（x）＝cosβ•cos x﹣sin x•sinβ，α，β是常数，x∈R，，．（1）若，判断h（x）＝f（x）+g（x）的奇偶性；若，判别h（x）＝f2（x）+g2（x）的奇偶性；（2）若，F（x）＝f（x）g（x）是偶函数，求β；（3）请仿照问题（1）（2）提一个问题（3），使得所提问题或是（1）的推广或是问题（2）的推广，问题（1）或（2）是问题（3）的特例．（不必证明命题）参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．若（x2﹣1）+（x2﹣3x+2）i是纯虚数（i为虚数单位），则实数x的值为（）A．﹣1B．1C．±1D．以上都不对解：若（x2﹣1）+（x2﹣3x+2）i是纯虚数，则，解得：x＝﹣1，故选：A．2．在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形解：由正弦定理＝化简已知的等式得：sin A cos A＝sin B cos B，∴sin2A＝sin2B，∴sin2A＝sin2B，又A和B都为三角形的内角，∴2A＝2B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B＝，则△ABC为等腰或直角三角形．故选：D．3．已知空间互不重合的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面内”是“m，n，l两两相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：根据题意，若m，n，l在同一平面内，m、n、l三条直线可以互相平行，则“m，n，l在同一平面内”不是“m，n，l两两相交”的充分条件；反之，若m，n，l两两相交，m，n，l可以不在同一平面内，则“m，n，l在同一平面内”不是“m，n，l两两相交”的必要条件；故“m，n，l在同一平面内”是“m，n，l两两相交”的既不充分也不必要条件．故选：D．4．已知向量，满足，，，则，的夹角为（）A．B．C．D．解：，，，设，的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，因为θ∈[0，π]，所以θ＝．故选：B．5．已知，则＝（）A．1B．C．﹣1D．解：根据题意，，即sinθ+cosθ﹣sinθ＝sinθ+cosθ＝1，变形可得：sin（θ+）＝1，故选：A．6．已知正方形ABCD的边长为1，则＝（）A．5B．C．25D．41解：如图，，，，∴＝＝，∴．故选：B．7．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝2，点P为BB1的中点，设平面A1PC1∩AB＝E，平面A1PC1∩BC＝F，则线段EF的长度为（）A．B．C．D．5解：因为平面A1PC1∩AB＝E，平面A1PC1∩BC＝F，所以A1P与AB的交点即为点E，延长线A1P与AB的延长线交于点E，因为AA1∥BP，且P为BB1的中点，所以AB＝AE＝4，同理可得C1P与CB的延长线交于点F，所以BC＝BF＝2，如图所示，连接EF，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠ABC＝FBE＝90°，则EF＝＝＝2，故选：C．8．在△ABC中，AC＝1，AD⊥BC，垂足为D，且，则当∠BAC取最大值时，△ABC的周长为（）A．3B．C．D．解：根据题意，设|CD|＝a，若，则D在线段BC之外，且|BD|＝3|CD|＝3a，如图：又由AC＝1，则|AD|2＝1﹣a2，则|AB|2＝|BD|2+|AD|2＝1+8a2，则|AB|＝，则cos∠BAC＝＝＝＝×（+），又由+≥2，当且仅当8a2+1＝3，即a＝时等号成立，此时cos∠BAC取得最小值，∠BAC取得最大值，此时|BC|＝2a＝1，|AB|＝＝，△ABC的周长为2+；故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省扬州中学2020┄2021学年上学期期中考试高一化学试卷word 解析版
江苏省扬州中学2020┄2021学年上学期期中考试高一化学试卷一、单项选择题（包括10题，每题2分，共20分．每题只有一个选项符合题意．）1．（2分）下表是某加碘盐包装袋上的部分文字说明：配料氯化钠（NaCl）、碘酸钾（KIO3）含碘量（35±15）mg•kg﹣1（以I计）食用方法菜未烧熟不宜加入加碘盐，菜烧熟后加入加碘盐最佳．根据这一说明某学生作出如下判断，其中正确的是（）A．此食盐是纯净物B．“菜未烧熟不宜加入加碘盐”的原因可能是碘酸钾受热不稳定C．“加碘食盐”中的“碘”是指碘单质D．1kg此食盐中含碘酸钾（35±15）mg考点：氯、溴、碘及其化合物的综合应用；混合物和纯净物．专题：卤族元素．分析：A．只有一种物质组成为纯净物；B．由食用方法可知，菜烧熟后加入加碘盐最佳，以此分析其性质；C．“加碘食盐”中加入碘酸钾；D．（35±15）mg•kg﹣1（以I计）为碘元素的含量．解答：解：A．由配料可知，食盐中含氯化钠（NaCl）、碘酸钾（KIO3），为混合物，故A错误；B．由食用方法可知，菜烧熟后加入加碘盐最佳，则碘酸钾受热不稳定，所以菜未烧熟不宜加入加碘盐，故B正确；C．“加碘食盐”中加入碘酸钾，碘元素存在于化合物中，不是碘单质，碘易升华，则不加碘单质，故C错误；D．由包装袋上的含碘量可知，（35±15）mg•kg﹣1（以I计）为碘元素的含量，而不是碘酸钾的含量，故D错误；故选B．点评：本题考查含碘食盐，为高频考点，侧重学生分析能力及知识迁移应用能力的考查，把握加碘盐包装袋上的部分文字说明为解答的关键，注意信息的分析与应用，题目难度不大．2．（2分）下列物质分类正确的是（）A．波尔多液、工业酒精、氨水均为混合物B．稀豆浆、硅酸、氯化铁溶液均为胶体C．烧碱、冰醋酸、四氯化碳均为电解质D．SO2、SiO2、CO均为酸性氧化物考点：混合物和纯净物；酸、碱、盐、氧化物的概念及其相互联系；分散系、胶体与溶液的概念及关系；电解质与非电解质．专题：物质的分类专题．分析：A．混合物是两种或两种以上的物质组成，纯净物是单一的一种物质；B．分散质直径在1﹣100nm的分散系为胶体；C．水溶液中或熔融状态下你那个导电的化合物为电解质；D．依据和碱反应生成盐和水的氧化物为酸性氧化物分析．解答：解：A．波尔多液是用硫酸铜与石灰乳配制而成的天蓝色药液、工业酒精是酒精的水溶液、氨水是氨气的水溶液均为混合物，故A正确；B．稀豆浆、硅酸均为胶体，氯化铁溶液不是胶体，故B错误；C．烧碱是氢氧化钠、冰醋酸为醋酸水溶液中导电属于电解质，四氯化碳水溶液中不能导电属于非电解质，故C错误；D．SO2、SiO2均为酸性氧化物，CO与酸不能发生反应，为不成盐氧化物，故D错误．故选A．点评：本题考查了物质分类的依据，主要是酸性氧化物、胶体、电解质概念的理解应用，掌握概念内涵和物质组成性质是关键，题目较简单．3．（2分）在一个密闭容器内有X、Y、Z、Q四种物质，在一定条件下进行反应，一段时间后测得反应前后各物质质量如表．该密闭容器中发生化学反应的基本类型可能是（）物质X Y Z Q反应前质量/g2*******反应后质量/g2*******A．分解反应B．置换反应C．复分解反应D．化合反应考点：化学基本反应类型．专题：物质的性质和变化专题．分析：在化学反应中，如果反应前后某物质的质量没有发生变化，这种可能是催化剂或没有参加反应，如果反应后质量增加了，该物质是生成物，如果反应后质量减小了，那么该物质是反应物，根据质量守恒定律判断反应物或生成物种类，结合四种基本反应类型的概念分析．解答：解：由表中数据可知，反应后前后物质X的质量不变，X为催化剂或不参加反应，Y 的质量增大了30g﹣20g=10，则Y为生成物，而Z、Q的质量减小，则为反应物，Z的质量减少了20g﹣16g=4g，Q的质量减少了20g﹣14g=6g，故参加反应的Z、Q的总质量=4g+6g=10g，等于生成物Y的质量增加量10g，即：4g的Z 物质与6gQ反应生成10gY，该反应特征为两种物质反应生成一种物质，属于化合反应，故选D．点评：本题考查基本反应类型、质量守恒定律，难度不大，关键是运用质量守恒定律判断反应物或生成物种类．4．（2分）金属钛对体液无毒且有惰性，能与肌肉和骨骼生长在一起，因而有“生物金属”之称．下列有关和的说法中，正确的是（）A．和原子中均含有22个中子B．分别由和，组成的金属钛单质互称为同分异构体C．和互为同素异形体D．和原子的核外电子排布相同考点：质量数与质子数、中子数之间的相互关系；质子数、中子数、核外电子数及其相互联系．专题：原子组成与结构专题．分析：A．根据质量数=质子数+中子数，Z A X中的Z表示质子数，A表示质量数，求出中子数；B．根据同分异构体是分子式相同，结构不同的是化合物；C．根据同素异形体是同一元素形成的不同单质；D．根据原子的核内质子数=核外电子数，核外电子数相等，核外电子排布相同．解解：A．2248Ti和2250Ti原子中的中子数分别为48﹣22=26、50﹣22=28，故A错答：误；B．同分异构体的对象是化合物，金属钛是单质，故B错误；C．同素异形体是同一元素形成的不同单质，而和是同种单质，故C错误；D．和原子核外电子数相等，所以核外电子排布相同，故D正确；故选D．点评：本题考查了同位素、质量数、中子数和质子数之间的关系，以及同分异构体的概念，难度不大，根据所学知识即可完成．5．（2分）下列实验操作中，错误的（）A．蒸发操作时，不能使混合物中的水分完全蒸干后，才停止加热B．蒸馏操作时，应使温度计水银球靠近蒸馏烧瓶的支管口处C．分液操作时，分液漏斗中下层液体从下口放出，上层液体从上口倒出D．萃取操作时，应选择有机萃取剂，且萃取剂的密度必须比水大考点：蒸发和结晶、重结晶；蒸馏与分馏；分液和萃取．专题：化学实验基本操作．分析：A．在蒸发操作的过程中，当加热到有少量液体剩余时停止加热，利用余热蒸发干；B．温度计测量蒸气的温度；C．活塞到漏斗管口还残留一部分下层液体；D．萃取剂的选择与密度无关．解答：解：A．在蒸发操作的过程中，当加热到有少量液体剩余时停止加热，此时剩下的少量液体可以利用余热蒸发干，故A正确；B．蒸馏操作时，温度计水银球应靠近蒸馏烧瓶的支管口处，故B正确；C．活塞到漏斗管口还残留一部分下层液体．如果将上层液体也从下口放出，残留的下层液体会一起被放出，上层液体就不纯净了，故分液操作时，分液漏斗中下层液体从下口放出，上层液体从上口倒出，故C正确；D．萃取的基本原则两种溶剂互不相溶，且溶质在一种溶剂中的溶解度比在另一种大的多，密度也可以比水小，故D错误．故选：D．点评：本题考查物质的分离、提纯的基本方法选择与应用，题目难度中等，注意根据混合物组分性质的差异性选择分离的方法．6．（2分）据实验证明：用漂白粉溶液浸泡过的有色布条，如果晾置在空气中，过了一段时间，其漂白效果会更好，原因可能是（）A．漂白粉被氧化了B．漂白粉跟空气中的 CO2反应充分，生成了较多量的 HClOC．有色布条被空气中的氧气氧化了D．漂白粉溶液蒸发掉部分水，其浓度增大考点：氯、溴、碘及其化合物的综合应用．专题：卤族元素．分析：漂白粉溶液浸泡过的有色布条，置于空气中，漂白粉跟空气中的CO2反应充分，生成了具有漂白性的HClO，褪色效果会更好．解答：解：A．漂白粉中次氯酸钙具有氧化性，难以被氧化，故A错误；B．漂白粉溶液浸泡过的有色布条，置于空气中，漂白粉跟空气中的CO2反应充分，生成了具有漂白性的HClO，故B正确；C．空气的氧气在短时间内不能迅速氧化有色布条，故C错误；D．漂白粉具有漂白性的原因是与空气中二氧化碳反应生成具有漂白性的HClO，与漂白粉的浓度无关，故D错误．故选B．点评：本题考查次氯酸钙的性质，题目难度不大，本题注意把握相关基础知识的积累，明确HClO具有漂白性为解答的关键．7．（2分）在4℃时向100mL水中溶解了22.4LHCl气体（标准状况下测得）后形成的溶液．下列说法中正确的是（）A．该溶液物质的量浓度为10mol•L﹣1B．该溶液物质的量浓度因溶液的密度未知而无法求得C．该溶液中溶质的质量分数因溶液的密度未知而无法求得D．所得溶液的体积为22.5L考点：物质的量浓度的相关计算；溶液中溶质的质量分数及相关计算．专题：物质的量浓度和溶解度专题．分A、标准状况下22.4LHCl的物质的量为1mol，根据题目信息无法计算溶液的体析：积．B、因溶液的密度未知，无法计算溶液的体积．C、溶液质量=溶质质量+溶剂质量，溶质质量分数=×100%，据此计算．D、溶液体积不等于溶剂与溶质的体积之和，利用V=计算溶液体积．解答：解：A、标准状况下22.4LHCl的物质的量为1mol，溶于水配成100mL溶液，溶液的浓度为10mol/L，溶液体积为100mL，不是溶剂的体积，因溶液的密度未知，无法计算溶液的体积，无计算该溶液的物质的量浓度，故A错误；B、因溶液的密度未知，无法计算溶液的体积，无计算该溶液的物质的量浓度，故B 正确；C、标准状况下22.4LHCl的物质的量为1mol，质量为36.5g，4℃时100mL水的质量为100g，所以溶液溶质的质量分数为×100%=26.74%，故C错误；D、溶液体积不等于溶剂与溶质的体积之和，因溶液的密度未知，无法计算溶液的体积，故D错误．故选：B．点评：考查对物质的量浓度理解、质量分数计算等，难度不大，注意物质的量浓度理解及与质量分数的关系．8．（2分）下列离子检验的方法正确的是（）A．某溶液加入硝酸银溶液有白色沉淀，说明原溶液中有Cl﹣B．某溶液加入氯化钡溶液有白色沉淀，说明原溶液中有SO42﹣C．某溶液加入氢氧化钠溶液有蓝色沉淀，说明原溶液中有Cu2+ D．某溶液加入稀硫酸生成无色气体，说明原溶液中有CO32﹣考点：常见阴离子的检验；常见阳离子的检验．专题：物质检验鉴别题．分析：A、能使硝酸银产生白色沉淀的离子有氯离子、硫酸根离子等．B、能使氯化钡产生白色沉淀的离子有碳酸根离子、硫酸根离子、亚硫酸根离子等．C、能使氢氧化钠产生蓝色沉淀的阳离子只有铜离子．D、能和稀硫酸反应生成无色气体的离子有碳酸根离子、亚硫酸根离子等．解答：解：A、能使硝酸银产生白色沉淀的离子有氯离子、硫酸根离子等，所以某溶液加入硝酸银溶液有白色沉淀，原溶液中不一定有Cl﹣，故A错误．B、能使氯化钡产生白色沉淀的离子有碳酸根离子、硫酸根离子、亚硫酸根离子等，所以某溶液中加入氯化钡溶液有白色沉淀，原溶液中不一定含有硫酸根离子，故B 错误．C、能使氢氧化钠产生蓝色沉淀的阳离子只有铜离子，所以某溶液中加入氢氧化钠溶液有蓝色沉淀，说明原溶液中有Cu2+，故C正确．D、能和稀硫酸反应生成无色气体的离子有碳酸根离子、亚硫酸根离子等，所以某溶液加入稀硫酸生成无色气体，原溶液中不一定含有碳酸根离子，故D错误．故选C．点评：本题考查了常见阴阳离子的检验，难度不大，注意常见阳离子中二价铁离子和三价铁离子的检验，这是高考的热点．9．（2分）下列有关卤族元素的说法中不正确的是（）A．工业上以海水为原料，提取溴单质B．分别向新制氯水和久置的氯水中滴加AgNO3溶液都能生成白色沉淀C．可用干燥的有色布条检验氯化氢气体中是否混有Cl2D．医生建议患甲状腺肿大的病人多食海带，这是由于海带中含有较丰富的碘元素考点：氯、溴、碘及其化合物的综合应用．专题：卤族元素．分析：A．海水中存在溴离子；B．新制氯水和久置的氯水中均含Cl﹣；C．干燥的氯气不具有漂白性；D．海带中含碘元素，可补充人体缺碘．解答：解：A．海水中存在溴离子，利用氧化还原反应氧化溴离子可提取溴单质，故A正确；B．新制氯水和久置的氯水中均含Cl﹣，则滴加AgNO3溶液都能生成AgCl白色沉淀，故B正确C．干燥的氯气不具有漂白性，则不能用干燥的有色布条检验氯化氢气体中是否混有Cl2，HClO具有漂白性，故C错误；D．碘是合成甲状腺激素的主要元素，缺乏会患甲状腺肿大和呆小症，则患甲状腺肿大的病人多食海带，是由于海带中含有较丰富的碘元素，故D正确；故选C．点评：本题考查卤族元素的性质，为高频考点，把握海水中元素的提取、氯水的成分、HClO的漂白性及碘在人体作用为解答的关键，注重化学与生活的联系，题目难度不大．10．（2分）下列物质可通过置换反应一步得到的是（）①H2 ②Br2③KCl ④O2．A．①③B．①②③C．①③④D．①②③④都能得到考点：化学基本反应类型．专题：物质的分类专题．分析：①金属和酸能发生置换反应生成氢气；②卤素单质间能发生置换反应；③K与盐酸发生置换反应；④氟气和水能发生置换反应．解答：解：①金属单质和酸或水发生置换反应生成氢气，如钠和水反应生成氢气，故正确；②氯气和溴化钠发生置换反应生成氯化钠和溴单质，所以能通过置换反应生成溴，故正确；③K与HCl发生置换反应生成KCl和氢气，故正确；④氟气能和水发生置换反应生成氧气，同时生成氟化氢，所以能通过置换反应生成氧气，故正确；故选D．点评：本题考查置换反应，为高频考点，注意归纳置换反应类型有：金属之间的置换反应、非金属单质之间的置换反应、金属置换非金属单质、非金属单质置换金属单质，会总结归纳知识点，形成知识网络，题目难度不大．二、选择题（本题包括5小题，每小题4分，共计20分．每小题有一个或两个选项符合题意．若正确答案包括两个选项，只选一个且正确的得2分，但只要选错一个该小题就为0分）11．（4分）阿伏加德罗常数约为6.02×1023 mol﹣1（N A），下列说法正确的是（）A．4.48 L H2和O2的混合气体中所含分子数约为0.2×6.02×1023B．标准状况下，1.8g的H2O中含有的电子数为N AC．53.5 g氯化铵晶体中含有NH4+的数目约为6.02×1023D．标准状况下，22.4 L氦气所含有的质子数目约为4×6.02×1023考点：阿伏加德罗常数．专题：阿伏加德罗常数和阿伏加德罗定律．分析：A、依据气体摩尔体积的应用条件分析判断；B、依据n=计算物质的量结合分子式计算电子数；C、依据n=计算物质的量，结合化学式计算铵根离子数；D、依据n=计算物质的量，氦气是单原子分子．解答：解：A、依据气体摩尔体积的应用条件分析，4.48 L H2和O2的混合气体物质的量不是0.2mol，故A错误；B、n=计算1.8g的H2O物质的量为0.1mol，结合分子式计算含有的电子数为N A，故B正确；C、依据n=计算53.5 g氯化铵晶体物质的量==1mol，结合化学式计算铵根离子数约为6.02×1023，故C正确；D、依据n=计算物质的量==1mol，氦气是单原子分子，含有的质子数目约为2×6.02×1023，故D错误；故选BC．点评：本题考查了阿伏伽德罗常数的分析应用，主要是气体摩尔体积的条件应用，质量、物质的量计算微粒数，注意氦气是单原子分子，题目较简单．12．（4分）下列贮存化学试剂的方法正确的是（）A．在盛液溴的试剂瓶中加水，形成“水封”，以减少溴挥发B．用做感光片的溴化银贮存在无色试剂瓶中C．烧碱溶液放在带磨口玻璃塞的试剂瓶中D．新制的氯水保存在棕色广口瓶中，并放在阴凉处考点：化学试剂的存放．专题：化学实验基本操作．分析：A．液溴有毒，且易挥发；B．AgBr见光分解；C．氢氧化钠溶液能与玻璃中的二氧化硅反应生成黏性的硅酸钠溶液；D．氯水见光会分解，同时氯水又容易挥发．解答：解：A．液溴有毒，且易挥发，采用水封保存，故A正确；B．AgBr见光分解，故通常保存在棕色试剂瓶中，故B错误；C．氢氧化钠溶液能与玻璃中的二氧化硅反应生成黏性的硅酸钠溶液，故C错误；D．氯水见光会分解，应盛放在棕色瓶中，同时氯水又容易挥发，应用磨口玻璃塞的细口玻璃瓶盛放，故D错误，故选A．点评：此题是药品储存的有关考查题，难度不大．解题的关键是了解所储存物质的特性．13．（4分）下列除杂所选用的试剂及操作方法均正确的一组是（）（括号内为杂质）选项待提纯的物质选用的试剂操作方法A NaCl（Na2CO3）盐酸蒸发结晶B CO2（CO）O2点燃C Zn （Cu）稀硫酸过滤D乙醇（水）生石灰蒸馏A．A B．B C．C D．D考点：物质的分离、提纯的基本方法选择与应用；物质的分离、提纯和除杂．专题：实验评价题．分析：A．碳酸钠与盐酸反应生成NaCl，NaCl溶于水；B．二氧化碳过量，CO难以燃烧；C．Zn与稀硫酸反应；D．加CaO与水反应且增大与乙醇的沸点差异．解答：解：A．碳酸钠与盐酸反应生成NaCl，NaCl溶于水，则加盐酸后蒸发结晶可得到NaCl，实现除杂，故A正确；B．二氧化碳过量，CO难以燃烧，则不能利用点燃法除杂，应利用CO还原热的CuO的方法除杂，故B错误；C．Zn与稀硫酸反应，将原物质反应掉，不符合除杂的原则，故C错误；D．加CaO与水反应且增大与乙醇的沸点差异，则加CaO后蒸馏可得到乙醇，实现除杂，故D正确；故选AD．点评：本题考查物质的分离提纯方法的选择，侧重于学生的实验能力的考查，为高考常见题型，注意把握物质的性质的异同，为解答该题的关键，注意除杂的原则，题目难度不大．14．（4分）下列叙述正确的是（）A．同温同压下，相同体积的气体，其分子数一定相等，原子数也一定相等B．任何条件下，等物质的量的甲烷（CH4）和一氧化碳，体积一定相同C．同温同压下的一氧化碳气体和氮气，若体积相等，则质量一定相等D．常温下，0.1mol/L的KI溶液中含有I﹣的物质的量为1mol考点：阿伏加德罗定律及推论．专题：阿伏加德罗常数和阿伏加德罗定律．分析：A．气体分子有单原子分子、多原子分子；B．温度、压强不等，气体摩尔体积不一定相等；C．N2和CO的摩尔质量相等，同温同压下，气体摩尔体积相等，根据m==判断；D．溶液的体积未知．解答：解：A．同温同压下，气体摩尔体积相等，相同体积的气体，其物质的量相等，所以其分子数一定相等，气体分子有单原子分子、多原子分子，所以气体的原子个数不一定相等，故A错误；B．温度、压强不等，气体摩尔体积不一定相等，所以等物质的量的甲烷（CH4）和一氧化碳，体积不一定相同，故B错误；C．N2和CO的摩尔质量相等，同温同压下，气体摩尔体积相等，根据m==知，若体积相等，则质量一定相等，故C正确；D．溶液的体积未知，所以无法计算I﹣的物质的量，故D错误；故选C．点评：本题考查了阿伏伽德罗定律及其推论，熟悉物质的量的有关公式是解本题关键，注意气体摩尔体积的适用范围及适用条件，题目难度不大．15．（4分）如图所示的甲、乙两个装置中（常温），胶头滴管中吸入某种液体，圆底烧瓶中充入（或放入）另一种物质，挤压胶头滴管中液体，一段时间后两装置中的气球都有明显地胀大（忽略液体体积对气球的影响）．则所用试剂分别可能依次是（）甲乙滴管中烧瓶中滴管中烧瓶中A水过氧化钠饱和碳酸氢钠溶液C O2B水钠饱和碳酸钠溶液CO2C NaOH溶液碳酸氢钠澄清石灰水碳酸氢钠D稀盐酸碳酸氢钠N aOH溶液CO2A．A B．B C．C D．D考点：钠的重要化合物．专题：几种重要的金属及其化合物．分析：甲装置气球膨大原因是烧瓶内有气体生成或者温度升高，使烧瓶内的压强大于外界压强；乙装置气球膨大原因是烧瓶内的气体参加反应或者温度降低，使烧瓶内的压强小于外界压强，根据物质的性质结合发生的反应结合原理来回答判断．解答：解：A．甲中水和过氧化钠之间反应生成氧气，使容器内压强大于大气压，所以气球变大；乙中二氧化碳不溶于饱和碳酸氢钠钠溶液，所以容器内气体压强不变，气球不变化，故A错误；B．甲中水和钠之间反应生成氢气，使容器内压强大于大气压，所以气球变大；乙中二氧化碳和碳酸钠反应生成碳酸氢钠，使容器内压强小于大气压，所以气球变大，故B正确；C．甲氢氧化钠和碳酸氢钠反应生成碳酸钠和水，容器内压强不变，所以气球不变；乙中澄清石灰水和碳酸氢钠之间反应没有气体生成，使容器内压强不变，所以气球不变，故C错误；D．甲中盐酸和碳酸氢钠之间反应生成二氧化碳，容器内压强增大，所以气球变大；乙中氢氧化呢和二氧化碳之间反应，使容器内压强小于大气压，所以气球变大，故D正确；故选：BD．点评：本题考查了常见气体的制备原理及装置选择，同时考查酸、碱、盐的性质，要理解和掌握酸、碱、盐常见的化学反应．三、非选择题（80分）16．（12分）实验室需要0.1mol/L NaOH溶液450mL和0.5mol/L硫酸溶液450mL．可供选择的仪器有：①玻璃棒②烧瓶③烧杯④胶头滴管⑤量筒⑥容量瓶⑦托盘天平⑧药匙⑨分液漏斗．实验室现有NaOH固体和质量分数为98%、密度为1.84g•cm﹣3的浓H2SO4提供，根据这两种溶液的配制情况回答下列问题：（1）上述仪器中，一直用不到的有②⑨（填序号）．（2）下列操作中，容量瓶不具备的功能有BCD （填序号）．A、配制一定体积准确浓度的标准溶液B、长期贮存溶液C、用来加热溶解固体溶质D、配制一定质量分数的标准溶液（3）配制时应称取NaOH 2.0 g，量取浓硫酸13.6 mL．（4）实验中，玻璃棒的作用有搅拌、引流．（5）配制溶液时，下列操作中引起误差偏高的有①②⑦⑧．（填序号）①洗涤量取浓H2SO4后的量筒，并将洗涤液转移到容量瓶中②未等溶解的NaOH溶液和稀释后的H2SO4溶液冷却至室温就转移到容量瓶中③将溶液转移至容量瓶后，未洗涤烧杯和玻璃棒④定容时，加蒸馏水超过标线，又用胶头滴管吸出⑤转移前，容量瓶中含有少量蒸馏水⑥定容摇匀后，发现液面低于标线，又用胶头滴管加蒸馏水至标线⑦定容时，俯视标线⑧用量筒量取浓硫酸时，仰视观察凹液面与量筒刻度相切．考点：配制一定物质的量浓度的溶液．专题：物质的量浓度和溶解度专题．分析：（1）配置一定物质的量浓度溶液用到的仪器有：托盘天平或者量筒、药匙、烧杯、玻璃棒、容量瓶、胶头滴管，据此解答；（2）容量瓶作为精密仪器，是用来配置一定物质的量浓度的溶液的主要仪器，不可用于储存和溶解、稀释物质，也不能测量除其规格以外容积的液体体积；（3）依据n=C×V m=n×M计算氢氧化钠的质量；溶液稀释前后溶质的物质的量不变；（4）溶解固体用玻璃棒搅拌可以加速溶解，移液时容量瓶瓶颈太细，用玻璃棒将溶液引流入容量瓶；（5）依据C=分析，凡是使n偏小或者使V偏大的操作都会是溶液的浓度偏低，反之偏高．解答：解：（1）配置一定物质的量浓度溶液用到的仪器有：托盘天平或者量筒、药匙、烧杯、玻璃棒、容量瓶、胶头滴管，用不到的是②烧瓶⑨分液漏斗；故答案为：②⑨；（2）容量瓶作为精密仪器，是用来配置一定物质的量浓度的溶液的主要仪器，不可用于储存和溶解、稀释物质，也不能测量除其规格以外容积的液体体积；故选：BCD；（3）需要氢氧化钠的物质的物质的量n=0.1mol/L×0.5L=×0.05mol，其质量为m=0.05mol×40g/mol=2.0g；浓硫酸的物质的量浓度C===18.4mol/L，溶液稀释前后溶质的物质的量不变，设需要浓硫酸的体积为V，则V×18.4mol/L=0.5mol/L×500ml，解得V=13.6ml；故答案为：2.0；13.6；（4）实验中，玻璃棒的作用有搅拌和引流，故答案为：搅拌、引流；（5）依据C=分析，凡是使n偏小或者使V偏大的操作都会是溶液的浓度偏低，反之偏高．①洗涤量取浓H2SO4后的量筒，并将洗涤液转移到容量瓶中，导致量取的浓硫酸体积偏大，溶质的物质的量n偏大，溶液浓度偏高，故①正确；②未等溶解的NaOH溶液和稀释后的H2SO4溶液冷却至室温就转移到容量瓶中，冷却后溶液的体积小于容量瓶容积，溶液的体积偏小，溶液的浓度偏高，故②正确；③将溶液转移至容量瓶后，未洗涤烧杯和玻璃棒，溶质的物质的量n偏小，溶液的浓度偏低，故③错误；④定容时，加蒸馏水超过标线，又用胶头滴管吸出，溶质的物质的量n偏小，溶液的浓度偏低，故④错误；⑤转移前，容量瓶中含有少量蒸馏水，对溶质的物质的量和溶液的体积均不产生影响，溶液的浓度不受影响故⑤错误；⑥定容摇匀后，发现液面低于标线，又用胶头滴管加蒸馏水至标线，导致溶液的体积V偏大，溶液的浓度偏低，故⑥错误；⑦定容时，俯视标线，导致溶液的体积偏小，溶液的浓度偏高，故⑦正确；。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
江苏省扬州中学2020-2021学年度第二学期期中考试高 一 数 学（试题满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，计60分．每小题所给的A .B .C .D .四个结论中，只有一个是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑。
1．若直线l 经过坐标原点和(3,3)-，则它的倾斜角是（ ） A ．135︒B ．45︒C ．45︒或135︒D ．45-︒2．22cos 15sin 15sin15cos15︒︒︒︒-+的值等于（ ）A ．34B ．54C ．14+ D ．44+ 3．过点A （1，2）作圆x 2+（y ﹣1）2＝1的切线，则切线方程是（ ） A ．x ＝1B ．y ＝2C ．x ＝2或y ＝1D ．x ＝1或y ＝24．平面αI 平面l β=，点A α∈，B α∈，C β∈，C l ∉，AB l R ⋂=，过A ，B ，C 确定的平面记为γ，则βγ⋂是（ ）A ．直线ACB ．直线CRC ．直线BCD ．以上都不对5．已知α、β为锐角，若3cos 5α=，()1tan 3βα-=，则tan β=（ ） A ．139B ．913 C ．3D ．136．圆2240x x y -+=与圆22430x y x +++=的公切线共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条7．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若sin :sin :sin 3:7:8A B C =，则ABC ∆的形状是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定8．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则12m n+的最小值为（ ）A ．3B ．3+C ．6D ．3+ 9．已知锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4) 10．在平面直角坐标系中，A 、B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线3210x y +-=相切，则圆C 面积的最小值（ ） A ．52πB ．54πC ．56πD ．58π11．在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，若ABD ∆是等边三角形，且AC =则ADC ∆的面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，角B 为锐角，若4cos c b A =，则tan 6tan tan tan A B C A+⋅的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．2D ．32二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卡相应位置． 13．下列说法中正确的有 个．①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面； ②一个平行四边形确定一个平面；③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；④已知两个不同的平面α和β，若,A A αβ∈∈，且l αβ=I ，则点A 在直线l 上．14．在ABC ∆中，已知2,45a b B ===︒，则A =__________．15．在ABC ∆中，60BAC ∠=o，BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，3AB AC =，则ACAD=_____．16．在平面四边形OPMN 中，90PON ∠=o，3OP =,1ON =．若4MO MP ⋅=u u u u r u u u r，则35MP MN +的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分：55''+）已知两条直线1:240l x y -+=，2:320l x y +-=相交于P 点.（1）求交点P 的坐标；（2）求过点P 且与直线30x y -+=垂直的直线l 的方程．18．（本小题满分12分：66''+）已知函数()3sin cos f x x x =-，x ∈R ．（1）当[0,]x π∈时，求函数()f x 的值域； （2）若α[0,]2π∈，10613f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．19．（本小题满分12分：66''+）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别是棱AB 、BC 、1CC 、11C D 的中点．（1）判断直线EF 与GH 的位置关系，并说明理由； （2）求异面直线1A D 与EF 所成的角的大小．20．（本小题满分12分：57''+）如图，在直角ACB △中，2ACB π∠=，3CAB π∠=，2AC =，点M 在线段AB 上．（1）若3sin 3CMA ∠=，求CM 的长； （2）点N 是线段CB 上一点，7MN =，且12BMN ACB S S =△△，求BM BN +的值．21．(本小题满分12分：57''+)如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个三角形PMN ，使得PM PN =，MN BC ⊥． (1)设30MOD ∠=o ，求三角形铁皮PMN 的面积； (2)求剪下的铁皮三角形PMN 的面积的最大值．22．（本小题满分12分：444'''++）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 过坐标原点O 且圆心在曲线xy 3=上． （1）求圆M 面积的最小值； （2）设直线433:+-=x y l 与圆M 交于不同的两点C D 、，且||||OD OC =，求圆M 的方程； （3）设直线3=y 与（2）中所求圆M 交于点E 、F ，P 为直线5=x 上的动点，直线PE ，PF 与圆M 的另一个交点分别为G ，H ，求证：直线GH 过定点．答案1．A 2．C 3．D 4．B 5．C 6．D 7．C 8． D 9．C 10．A 11．A 12．B13．2 14．30° 15．9 16．517．解：（1）由240320x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得：02x y =⎧⎨=⎩， ()0,2P ∴； （2）Q 直线30x y -+=斜率为1，∴直线l 斜率1k =-.():210l y x ∴-=--，即：20x y +-=.18．解：（1）()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当[0,]x π∈时，5[,]666x πππ-∈-，1sin()[,1]62x π-∈-，2sin()[1,2]6x π-∈-，所以函数()f x 的值域为[1,2]-．（2）102sin 613f παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，即5sin 13α=，0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，故12cos 13α=； 512120sin 22sin cos 21313169ααα==⨯⨯=． 19．解：（1）取CD 的中点I∵E 、F 、I 分别是正方形ABCD 中AB 、BC 、CD 的中点∴12CF EI ∥∴在平面ABCD 中，延长EF 与DC 必交于C 右侧一点P ，且PC CI = 同理，在平面11CC D D 中，延长HG 与DC 必交于C 右侧一点Q ，且QC CI = ∴P 与Q 重合进而，直线EF 与GH 相交方法二：∵在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、H 分别是AB 、11C D 的中点∴112EB CD HC ∥∥ ∴1EBC H 是平行四边形 ∴1EH BC ∥又∵F 、G 分别是BC 、1CC 的中点∴112FG BC ∥∴∥EH FG ，EH FG ≠∴EF 、GH 是梯形EFGH 的两腰 ∴直线EF 与GH 相交（2）解：∵在正方体1111ABCD A B C D -中，11AA CC ∥∴11ACC A 是平行四边形 ∴11//AC A C又∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点∴//EF AC ∴11EF AC P∴1A D 与EF 所成的角即为1A D 与11A C 所成的角（或：1A D 与EF 所成的角即为11DAC ∠及其补角中的较小角）① 又∵在正方体1111ABCD A B C D -中，11AC D ∆为等边三角形 ∴1160DAC ∠=︒②∴由①②得直线1A D 与EF 所成的角为60︒20．（1）在CAM V 中，已知3CAM π∠=，sin CMA ∠=2AC =，由正弦定理，得sin sin CM AC CAM CMA=∠∠，解得sin233sin AC CM CMA π⋅⨯===∠． （2）因为12BMN ACB S S =△△，所以111sin 22622BM BN π⋅⋅⋅=⨯⨯⨯BM BN ⋅=在BMN ∆中，由余弦定理得，()22222cos2162MN BM BN BM BN BM BN BM BN π⎛=+-⋅=+-⋅⋅+ ⎝⎭，即()2221BM BN ⎛=+-⨯+ ⎝⎭，()(22194BM BN +=+=+，故4BM BN +=+21．（1）由题意知11121222OM AD BC ===⨯=，3sin sin 1sin 3012MN OM MOD CD OM MOD AB ∴=∠+=∠+=⨯+=o ，cos 11cos301BN OA OM MOD =+∠=+⨯=+=o ，113222PMN S MN BN ∆∴=⋅=⨯=，即三角形铁皮PMN 的面积为； （2）（2）设MOD x ∠=，则0x π<<，因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，所以只需考察02x π<≤。
sin sin 1MN OM x CD x =+=+，cos cos 1BN OM x OA x =+=+，()()()111sin 1cos 1sin cos sin cos 1222PMN S MN BN x x x x x x ∆∴=⋅=+⋅+=+++令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由于02x π<≤，所以3444x πππ<+≤，则有sin 124x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以1t ≤≤ 且()22sin cos 12sin cos t x x x x =+=+，所以21sin cos 2t x x -=，故()()222111112112244PMNt S t t t t ∆⎛⎫-=++=++=+ ⎪⎝⎭，而函数()2114y t =+在区间⎡⎣上单调递增，故当t =时，y取最大值，即)2max 13144y +==， 即剪下的铁皮三角形PMN22．解：（Ⅰ）由题意可设圆M的圆心为(x ，≥=2x = 所以圆M的面积最小值为． （Ⅱ）由||||OD OC =，知l OM ⊥．所以332==tk OM ，解得1±=t ．当1=t 时，圆心M )3,1(到直线433:+-=x y l 的距离)13(2-=d 小于半径，符合题意；当1-=t 时，圆心M )3,1(--到直线433:+-=x y l 的距离)13(2+=d 大于半径，不符合题意．所以，所求圆M 的方程为4)3()1(22=-+-y x ．（Ⅲ）设),5(0y P ，),(11y x G ，),(22y x H ，又知)3,1(-E ，)3,3(F ，所以GE PE k x y y k =+-=-=1363110，FH PF k x y y k =--=-=3323220． 因为PF PEk k =3，所以22222121)3()3()1()3(9--=+-⨯x y x y ．将2121)1(4)3(--=-x y ，2222)1(4)3(--=-x y 代入上式， 整理得020)(722121=++-x x x x ． ①设直线GH 的方程为b kx y +=，代入4)3()1(22=-+-y x ， 整理得032)2322()1(222=-+--++b b x k kb x k ． 所以22112322k k kb x x +---=+，2221132kb b x x +-=⋅． 代入①式，并整理得033710)327(22=+-+-+b k b k b ， 即0)35)(32(=-+-+k b k b ， 解得k b 23-=或k b 53-=． 当k b 23-=时，直线GH 的方程为3)2(+-=x k y ，过定点)3,2(； 当k b 53-=时，直线GH 的方程为3)5(+-=x k y ，过定点)3,5( 第二种情况不合题意（G 、H 只可能在直径的异侧），舍去1、只要朝着一个方向奋斗，一切都会变得得心应手。